O documento apresenta um problema sobre a área total alugada por Fernanda para montar uma loja, sendo que o depósito é um quadrado de 9 m2. As alternativas são: 42, 51, 54 e 58 m2.

1. EM2D-11-34
Matemática 112 249
Capítulo 5
A figura, com medidas em metros, mos-409.
tra a sala, com um depósito, que Fernanda
alugou para montar uma loja. Sabendo-se que
o depósito é quadrado e tem 9 m2 de área,
pode-se concluir que a área total alugada por
Fernanda tem:
6 m
4 m
Sala
Depósito
9 m2
42 ma) 2
51 mb) 2
54 mc) 2
58 md) 2
60 me) 2
De um retângulo de lados 20 cm e 14 cm,410.
foram retirados dois quadrados iguais, como
mostra a figura a seguir:
20
14
Se o perímetro da figura acima é de 92 cm,
sua área é igual a:
152 cma) 2
182 cmb) 2
208 cmc) 2
230 cmd) 2
248 cme) 2
Uma quadra retangular de esportes de uma411.
escola, medindo 12 m por 24 m, foi ampliada em
96 m2, com acréscimo de uma faixa retangular
de largura L, como mostra a figura abaixo.
O valor aproximado do comprimento, ex-
pressso em metros, é:
24 m
12 m
L
L
10a)
2,5b)
20c)
40d)
60e)
Um feirante dispõe de uma área retan-412.
gular de medidas 2 m por 3,5 m, para armar
sua barraca. A fim de dar melhor atendimento
aos seus fregueses, ele quer mandar fazer uma
barraca retangular, com balcões de larguras
iguais, em todo o contorno, reservando, na
parte interna, uma área também retangular,
para a circulação dos empregados que atende-
rão aos compradores.
3,5 m
x
x
2 m
Balcão
Área de circulação
dos empregados
Para que a área de circulação dos emprega-
dos seja igual a 2,5 m2, a largura x dos balcões
deve ser de:
2,25 ma)
1,5 mb)
1 mc)
0,75 md)
0,5 me)

2. 250
Ao elaborar um projeto, o paisagista413.
dividiu a área reservada para o jardim em
três canteiros triangulares e um canteiro
quadrado, como mostra a figura. Se a área
do canteiro triangular sombreado na figura
é de 6 m2, então a área de todos os canteiros
juntos é:
3 m
x m
Então, é correto afirmar que, nessa com-
pra, a fração correspondente à quantidade de
sorvete do sabor chocolate foi:
28 ma) 2
32 mb) 2
37 mc) 2
38 md) 2
42 me) 2
João quer colocar azulejos em uma das414.
paredes do banheiro de sua casa. Se essa pare-
de tem uma área de 54.000 cm2 e cada azulejo
é um retângulo de 20 cm x 30 cm, quantos
azulejos são necessários?
No projeto de reforma de uma casa, pre-415.
tende-se fazer um jardim em forma de triângulo
numa área retangular de dimensões 15 m x y m.
Qual deve ser o valor de y, de modo que o
jardim tenha uma área de 23 m2?
15 m
8 m
Jardim y m
y
m
2
4,0 ma)
1,5 mb)
3,0 mc)
1,0 md)
3,5 me)
(UFMG) Paula comprou dois potes de416.
sorvete, ambos com a mesma quantidade do
produto.
Um dos potes continha quantidades iguais
dos sabores chocolate, creme e morango; e o
outro, quantidades iguais dos sabores choco-
late e baunilha.
a) 2
5
b) 3
5
c) 5
12
d) 5
6
Dois vizinhos tinham, em frente de suas417.
casas, gramados quadrados com área S. O pri-
meiro aumentou 5 m em uma das dimensões do
seu gramado e diminuiu 5 m na outra, transfor-
mando-o em um retângulo. O segundo manteve
a forma quadrada, mas diminuiu em 1 m o ta-
manho do lado. Com essas modificações, os dois
gramados permaneceram com a mesma área.
Observe as figuras e calcule o valor de S.
O comprimento de uma parede retangu-418.
lar é o dobro de sua largura. Se a parede tiver
55 cm a menos de comprimento e 55 cm a mais
de largura, será quadrada. Então, a área da
parede é de:
2,42 ma) 2
2,45 mb) 2
1,21 mc) 2
1,22 md) 2
2,24 me) 2
Para calcular o valor aproximado da área419.
da região do aquifero Guarani, representada
na figura a seguir, pode-se utilizar o seguinte
procedimento:
1o) Conta-se o número de unidades da malha
contida totalmente pela região desejada.
2o) Conta-se o menor número de unidades da
malha que envolve totalmente a região que
será calculada.
3o) Calcula-se a média aritmética entre as
duas quantidades contadas.
4o) Conhecendo a área de uma unidade da ma-
lha, determina-se, então, o valor aproximado
da área da figura em questão, cujo valor em
km2 é:

3. EM2D-11-34
Matemática 112 251
300 km
300 km
1,2 milhões.a)
1,6 milhões.b)
1,5 milhões.c)
1,8 milhões.d)
1,4 milhões.e)
A figura representa um retângulo subdi-420.
vidido em 4 outros retângulos com as respec-
tivas áreas.
a 8
9 2a
O valor de a é:
4a) 6b) 8c) 10d) 12e)
6
30°
6
4 3e)
4
6
60° 30°
f)
Na figura,422. ABCD é um trapézio isósceles,
em que AD = 4, CD = 1, Â = 60º e a altura é 2 3
A área desse trapézio é:
A B
CD
60°
Determine a área do trapézio nos casos a421.
seguir, sendo o metro a unidade das medidas
indicadas.
10
18
17
a)
10
20
1313
b)
3
3
5 2 13
c)
6
10
60°
d)
4a)
b) 4 3
3
c) 5 3
d) 6 3
e) 3
Obtenha as diagonais de um losango de423.
lados medindo 5 cm, equivalente a um qua-
drado de lado 2 6 cm.
A figura, cujas medidas estão em metros,424.
mostra um terreno destinado à plantação de um
certo tipo de flor. Sabe-se que 1
8
dessa área será
reservada para circulação de equipamentos e
materiais, e que as mudas serão plantadas na
área restante.
80 m
50 m
20 m
10 m
A área plantada terá:
1.925 ma) 2
2.025 mb) 2
2.975 mc) 2
3,025 md) 2
3.215 me) 2

4. 252
Um comício deverá ocorrer num ginásio425.
de esportes, cuja área é delimitada por um
retângulo, mostrado na figura.
30 m
18 m12 m
6 m
Por segurança, a coordenação do evento
limitou a concentração no local a 5 pessoas
para cada 2 m2 de área disponível. Excluindo-
se a área ocupada pelo palanque, com a forma
de um trapézio (veja as dimensões da parte
hachurada na figura), quantas pessoas, no
máximo, poderão participar do evento?
A figura seguinte representa a planta428.
baixa de uma sala de estar cujas paredes con-
tíguas são perpendiculares entre si, com exce-
ção da parede AI. Sabe-se ainda que AB = 2 m,
BC = 1,5 m, CD = 3 m, DE = 4,5 m, EF = 1 m,
FG = 1 m, GH = 5 m e HI = 5,5 m. A área dessa sala
de estar é, em metros quadrados:
A B
C
D
E
F
GH
I
2.700a)
1.620b)
1.350c)
1.125d)
1.050e)
Um cliente encomendou uma lâmina de vi-426.
dro em forma de paralelogramo, com perímetro
de 50 cm, devendo um dos lados ter 5 cm de
diferença em relação ao outro e com o menor
ângulo interno igual a 15°. Para fazer o orça-
mento, o vidraceiro precisa calcular a área dessa
lâmina de vidro.
Dados: sen 15° = 0,26; cos 15º = 0,96;
tg 15º = 2,70
A área da lâmina, em cm2, é:
40,5a)
26b)
39c)
144d)
96e)
Um terreno tem forma de um trapézio427.
ABCD, com ângulos retos nos vértices A e D,
como mostra a figura. Sabe-se que AB = 31 m,
AD = 20 m e DC = 45 m. Deseja-se construir
uma cerca, paralela ao lado AD, dividindo
esse terreno em dois terrenos de mesma área.
A distância do vértice D a esta cerca deve ser,
em metros, igual a:
D C
A B
12a)
19b)
20c)
22d)
26e)
34,75a)
35,75b)
37,50c)
37,75d)
38,50e)
(Ufla-MG) A letra429. M foi escrita com fai-
xas com as dimensões apresentadas na figura.
A área total das faixas é:
2 cm
2 cm2 cm
6 cm
10 cm
12 cm
2 cm
2 cm
64 cma) 2
30 cmb) 2
32 cmc) 2
60 cmd) 2

5. EM2D-11-34
Matemática 112 253
No quadrilátero ABCD representado abaixo,430.
os ângulos BAD e BCD são retos, AB = BC = 5 cm
e AD = DC = 10 cm.
B
A P
C
D
Se CP é perpendicular a AD, então as áreas
do quadrilátero ABCP e do triângulo CDP, em
cm2, valem, respectivamente:
Determine as áreas:433.
de um triângulo equilátero de lado iguala)
a 6 cm;
de um hexágono regular de lado igual ab)
4 cm.
Para realizar uma competição de vale-434.
-tudo, os organizadores precisam montar um
“hexagon” (ringue em forma de um hexágono
regular). De acordo com as especificações, o
ringue deve ter um diâmetro de 12 m. Assim,
qual será a área do “hexagon”?
22 e 28.a)
24 e 26.b)
25 e 25.c)
26 e 24.d)
28 e 22.e)
Calcule a área do trapézio em destaque431.
na figura, assumindo que os valores numéricos
no plano cartesiano estão em centímetros.
1
10 2 4
y
x
reta
3
Um losango possui 24 m432. 2 de área e 3 m de
distância entre dois lados paralelos. O períme-
tro do losango mede, em metros:
16a)
20b)
24c)
28d)
32e)
a) 48 3 2m
b) 54 3 2m
c) 24 2 2m
d) 36 2 2m
96 me) 2
Um hexágono regular ABCDEF tem lado435.
igual a 4 cm. A área do trapézio ADEF, em cm2,
é igual a:
a) 4 3
b) 2 3 4+
12c)
d) 8 4 3+
e) 12 3
Na figura, ABCDEF é um hexágono regu-436.
lar de lado 1 cm. A área do triângulo BCE, em
cm2, é:
BA
DE
F C
a) 2
3
b) 3
2
c) 3 2
d) 2 3
e) 3
(Fuvest-SP) Os pontos A, B e C são vérti-437.
ces consecutivos de um hexágono regular de
área igual a 6. Qual a área do triângulo ABC?
1a)
2b)
3c)
d) 2
e) 3

6. 254
Na figura abaixo, A, B e C são vértices438.
de hexágonos regulares justapostos, cada um
com área 8.
C
A
B
Segue-se que a área do triângulo cujos
vértices são os pontos A, B e C é:
As abelhas constroem seus favos na for-443.
ma de recipientes aglomerados de cera que se
propagam um ao lado do outro. Depois de vá-
rios experimentos em uma colmeia, verificou-
-se que o corte transversal de um favo apre-
senta uma das configurações abaixo:
8a)
12b)
16c)
20d)
24e)
O hexágono cujo interior aparece destaca-439.
do em alaranjado na figura é regular e origina-se
da sobreposição de dois triângulos equiláteros.
Se k é a área do hexágono, a soma das áre-
as desses dois triângulos é igual a:
ka)
2kb)
3kc)
4kd)
5ke)
A razão440.
Área H
Área K
S
S
= =
18
6
3, em que H é o hexágo-
no regular ABCDEF (com vértices nomeados
no sentido horário) e K é o hexágono obtido
pela intersecção dos triângulos ACE e BDF, é
igual a:
2a)
2,5b)
3c)
3,5d)
4e)
(Fuvest-SP) A figura representa sete he-441.
xágonos regulares de lado 1 e um hexágono
maior, cujos vértices coincidem com os cen-
tros de seis dos hexágonos menores. Então, a
área do pentágono hachurado é igual a:
d1
d2
d3
a) 3 3
b) 2 3
c) 3 3
2
d) 3
e) 3
2
Júlia construiu um losango, mostrado na442.
figura abaixo, usando 16 peças com a forma
de triângulos equiláteros. As peças claras têm
todas o mesmo tamanho, o mesmo ocorrendo
com as peças escuras.
Se a área do losango montado por Júlia é
64 3, então as áreas de uma peça clara e de
uma peça escura valem, respectivamente:
a) 3 3 9 3e .
b) 3 3 11 3e .
c) 2 3 6 3e .
d) 2 3 18 3e .
e) 3 25 3e .

7. EM2D-11-34
Matemática 112 255
Sabendo que
4
1 2
2 32
�
� �
�3
e 6= = , em que
l 1, l 2 e l 3 são, respectivamente, os lados do
quadrado, do triângulo equilátero e do hexá-
gono e que A , A e A são as áreas dos respec-
tivos polígonos, podemos afirmar que:
Aa) ≠ A ≠ A .
somente Ab) = A .
Ac) = A = A .
somente Ad) = A .
somente Ae) = A .
O octógono regular de vértices ABCDEFGH,444.
cujos lados medem 1 dm cada um, está inscrito
no quadrado de vértices PQRS, conforme mos-
trado nesta figura:
S F E R
D
C
G
H
P A B Q
Então, é correto afirmar que a área do qua-
drado PQRS é:
a) 1 2 2 2+ dm
b) 1 2 2+ dm
c) 3 2 2 2+ dm
d) 3 2 2+ dm
e) 2 2 2+ dm
A área de um triângulo de lados a, b e c é447.
dada pela fórmula S p p a p b p c= ⋅ −( )⋅ −( )⋅ −( ) ,
em que p é o semiperímetro (2p = a + b + c).
Qual a área do triângulo de lados 5, 6 e 7?
15a)
21b)
c) 7 5
d) 210
e) 6 6
(Fuvest-SP) Um triângulo tem 12 cm de448.
perímetro e 6 cm2 de área. Quanto mede o raio
da circunferência inscrita nesse triângulo?
Num triângulo isósceles, os lados de449.
mesma medida medem 2, e o ângulo for-
mado por eles mede 120°. A área desse tri-
ângulo é:
2a)
1b)
c) 1
2
d) 1
4
e) 3
Preocupado com a falta de área verde em450.
sua cidade, um prefeito resolveu aproveitar
um terreno triangular, localizado no cruza-
mento de duas ruas, para construir uma pra-
ça, conforme representado na figura abaixo:
150º
30 m 40 m
Praça
A área da praça a ser construída, em m2, é:
250a)
b) 250 3
300c)
d) 300 3
500e)
Dois lados de um triângulo medem, res-451.
pectivamente, 15 cm e 20 cm e formam um ân-
gulo de 30°. A área deste triângulo é igual a:
150a) 3 cm2
150 cmb) 2
300 cmc) 2
75d) 3 cm2
75 cme) 2
Dois lados de um paralelogramo medem445.
3 cm e 6 cm e formam um ângulo de 45°. De-
termine a área desse paralelogramo.
Um losango com lado 20 cm e um ângulo446.
interno de 30° tem área de:
57 cma) 2
87 cmb) 2
200 cmc) 2
346 cmd) 2
400 cme) 2

8. 256
Se em um painel retangular foi afixado um452.
cartaz de formato triangular, como mostra a fi-
gura, a área S ocupada pelo cartaz é igual a:
4 m S
120º
5 m
a)
5
2
3 2m
10 mb) 2
5 mc) 2
d) 10 3 2m
e) 5 3 2m
Num triângulo qualquer, dois lados me-453.
dem 10 cm e 8 cm, respectivamente, e o ân-
gulo por eles formado é de 30°. A área deste
triângulo mede:
20 cma) 2
10 cmb) 2
c) 80 3 2cm
d) 60 2 2cm
80 cme) 2
Qual dos dois triângulos tem área maior:454.
o de lados 5, 5 e 6 ou o de lados 5, 5 e 8?
Cada lado congruente de um triângulo455.
isósceles mede 10 cm, e o ângulo agudo definido
por esses lados mede a graus. Se sen a = 3 cos a,
a área desse triângulo, em cm2, é igual a:
a) 15 10
b) 12 10
c) 9 10
d) 15 3
e) 12 3
Na figura, um octógono regular e um456.
quadrado estão inscritos na circunferência de
raio r = 2. A área da região sombreada é:
a) 4 2 1⋅ −( )
b)
2
2
1+
c)
4 2 1
5
⋅ +( )
Determine a457. área do triângulo retângulo.
7 cm
4 cm
Determine a área do triângulo isósceles.458.
10 cm 10 cm
6 cm
Determine a medida do raio da circun-459.
ferência inscrita no triângulo de lados com
medidas 5 cm, 7 cm e 8 cm.
Determine a medida do raio da circunfe-460.
rência circunscrita ao triângulo do exercício
anterior.
Determine a medida da altura relativa461.
ao lado de medida 8 cm do triângulo do exer-
cício 459.
Na figura, os triângulos ABD e BCD são462.
isósceles. O triângulo BCD é retângulo, com o
ângulo C reto, e A, B, C estão alinhados.
A B C
D
Dê a medida do ângulo BÂD em graus.a)
Se BD = x, obtenha a área do triângulob)
ABD em função de x.
Tem-se um triângulo equilátero em que463.
cada lado mede 6 cm. O raio do círculo circuns-
crito a esse triângulo, em centímetros, mede:
a) 3
2b) 3
4c)
3d) 2
3e) 3
d) 8 2
7
e) 2 11
8
+

9. EM2D-11-34
Matemática 112 257
A figura seguinte apresenta um retângu-464.
lo ABCD e um triângulo equilátero ECD. A área
da região sombreada será:
D C
4
m
A E B
a)
5 3
2
2m
2b) 3 m2
3c) 3 m2
5d) 3 m2
4e) 3 m2
Numa esquina cujas ruas se cruzam,465.
formando um ângulo de 120°, está situado
um terreno triangular com frentes de 20 m e
45 m para essas ruas, conforme representado
na figura abaixo.
20 m
45 m
120º
A área desse terreno, em m2, é:
Na figura abaixo, os ângulos ABC = ADC são467.
retos. É correto afirmar que a área do quadrilá-
tero ABCD, em metros quadrados, é igual a:
60°
A B
C
D
4 m
4 m
225a)
225b) 2
225c) 3
450d) 2
450e) 3
A área do triângulo ABC da figura se-466.
guinte, em cm2, quando m(CD) = 40 cm, é:
120°
30°
A C
D
B
1.200a) 3
1.200b)
800c) 3
800d)
600e) 3
a) 16 3
b) 12 2
16c)
12d)
e) 24 6
A figura indica um triângulo equilátero468.
ABC de lado unitário. Sabe-se ainda que r, s e
t são retas paralelas, com A e B pertencentes
a t e C pertencente a r.
t
A B
C
r
s
x
Admitindo-se que s esteja se deslocando
de r até t e que x seja a distância entre r e s,
a área sombreada na figura, em função de x,
será igual a:
a) − +
+




x x2 1 3
2
b) − +
3
2
5
4
2x x
c) − +
3
3
2x x
d) − +
1
2
2x x
e)
1
2
x

10. 258
Determine a área de cada um dos setores469.
circulares abaixo.
a)
60°
R = 3 cm
b)
30°
R = 3 cm
c)
R = 3 cm
d)
120°
R = 3 cm
Determine a área de cada um dos seg-470.
mentos circulares abaixo.
Na figura abaixo, a relação entre a área ha-472.
churada e a área do círculo maior é de:
a)
60°
R = 3 cm
b)
R = 3 cm
c)
R = 3 cm
120°
471. Na figura 3 abaixo apresentada, temos três
circunferências com centros colineares cujo diâ-
metro AB da circunferência maior foi dividido em
6 partes iguais de 1 centímetro cada. Sabendo-
-se que C e D são os centros das circunferências
menores, calcule a área da região sombreada.
A
B
C
D
a) p cm2
1 cmb) 2
2c) p cm2
4d) p cm2
2 cme) 2
a) 1
5
b) 1
4
c) 1
3
d) 2
5
e) 1
2
Uma circunferência intercepta um triân-473.
gulo equilátero nos pontos médios de dois de
seus lados, conforme a figura, sendo que um
dos vértices do triângulo é o centro da cir-
cunferência.
Se o lado do triângulo mede 6 cm, a área
da região destacada na figura é:
a) 9 2 3
6
2−




π
cm
b) 9 3
18
2−




π
cm
c) 9 3 2−( )π cm
d) 9 3
3
2−




π
cm
e) 9 3
6
2−




π
cm

11. EM2D-11-34
Matemática 112 259
Uma metalúrgica utiliza chapas de aço474.
quadradas de 8 m x 8 m para recortar formas
circulares de 4 m de diâmetro, como mostrado
na figura abaixo.
Dado: considere p = 3,14.
A área da chapa que resta após a operação
é de, aproximadamente:
50 (2a) 3 – p)
100b) 3 – 2p
100 (c) 3 – p)
50d) 3 – 3p
100e) 3 – 3p
7,45 ma) 2
13,76 mb) 2
26,30 mc) 2
48 md) 2
56 me) 2
Na figura a seguir, sabe-se que cada um475.
dos quatro arcos AB, BC, CD e DA é um quarto
de uma circunferência de raio 2 cm. Sabe-se
ainda que os pontos A, B, C e D são pontos de
tangência entre arcos.
A
C
D B
Então, considerando p @ 3,14, a área da
figura será, aproximadamente:
3,44 cma) 2
0,86 cmb) 2
12,56 cmc) 2
6,28 cmd) 2
1,72 cme) 2
(Fameca-SP) O triângulo BIA da figura é476.
equilátero, de lado igual a 20. Os arcos de circun-
ferência MN, NP e PM têm centros, respectivamen-
te, nos vértices B, I e A. As medidas desses raios
são todas iguais à metade da medida do lado. A
área da região delimitada pelos três arcos é:
M
N
P
I
B
A
Considere uma circunferência de diâmetro477.
L e centro C, conforme a figura.
C
Calcule a razão entre a área do círculo e
área da região sombreada.
Considere um triângulo equilátero de478.
lado medindo x e um círculo de mesmo perí-
metro que o triângulo equilátero.
Calcule, em função de x, a área do círculo
em questão.
a) x2
6π
b) 9
4
2x
π
c) 36 2x
π
d) πx2
16
e) πx2
9
Na figura abaixo, o ângulo BAC mede 60°479.
e AB = AC. Se a circunferência tem raio 6, qual
é a área da região destacada?
Dados: use as aproximações: p @ 3,14,
3 1 73≅ , .
60°
A
B C

12. 260
(Unifesp) Na figura, são exibidas sete cir-480.
cunferências. As seis exteriores, cujos centros
são vértices de um hexágono regular de lado
2, são tangentes à interna. Além disso, cada
circunferência externa é também tangente às
outras duas que lhe são contíguas.
A área da figura no interior do retângulo não
ocupada pelos círculos, em cm2, está entre:
Nestas condições, calcule:
a área da região sombreada, apresentadaa)
em destaque à direita;
o perímetro da figura que delimita a re-b)
gião sombreada.
Na praia, ao meio-dia, com o Sol a pino,481.
um guarda-sol cobre perfeitamente uma mesa
quadrada de 1 metro de lado. A área de som-
bra fora da mesa, em m2, conforme mostra a
figura, é igual a:
a) p – 1
b) π − 2
2
2c) p – 1
0,5d)
10 –e) p
Os dois círculos sombreados da figura são482.
iguais, tangentes entre si e tangenciam o re-
tângulo LIMA. A menor das dimensões do re-
tângulo mede 4 cm.
L I
A M
8 e 10.a)
6 e 8.b)
4 e 6.c)
2 e 4.d)
0 e 2.e)
(Vunesp) Um salão de festas na forma de483.
um hexágono regular, com 10 m de lado, tem
ao centro uma pista de dança na forma de um
círculo, com 5 m de raio.
A área, em metros quadrados, da região do
salão de festas que não é ocupada pela pista
de dança é:
a) 25 30 3 −( )π
b) 25 12 3 −( )π
c) 25 6 3 −( )π
d) 10 30 3 −( )π
e) 10 15 3 −( )π
A figura abaixo mostra um círculo sobre484.
o qual estão desenhados um triângulo equilá-
tero e um retângulo, cada um com um vértice
no centro do círculo. A área da figura hachu-
rada em cinza mede 21p cm2.
A medida do raio do círculo é:
a) 21 cm
6 cmb)
c) 105 cm
10,5 cmd)
18 cme)

13. EM2D-11-34
Matemática 112 261
O cancro cítrico, causado por uma bactéria,485.
é uma das mais graves doenças da citricultura
brasileira. O seu controle é regulado por lei, que
determina a erradicação (plantas arrancadas
pela raiz) em um raio (r) de 30 metros em torno
do foco de contaminação, sendo que um produ-
tor consciente coloca em rigorosa observação
as plantas localizadas em um raio (R) de até 90
metros desse foco, conforme mostra a figura, em
que as circunferências concêntricas determinam
a região erradicada e a região em observação.
Foco
r
Região
erradicada
Região em
observação
R
A área da região em observação, em torno
do foco de contaminação, tem:
Na figura, o raio488. OA da circunferência
mede 6 cm. Adotando-se p = 3, a área da região
sombreada, em cm2, é igual a:
A B
0
30°
2.400a) p m2
5.200b) p m2
6.400c) p m2
7.200d) p m2
8.100e) p m2
A área do anel entre dois círculos con-486.
cêntricos é 25π cm2. O comprimento da corda
do círculo maior, que é tangente ao menor, em
centímetros, é:
a) 9 2 3 −( )π
b) 6 3 3 −( )π
c) 12 3π −( )
d) 8 2 3π −( )
e) 6 3 2 3π −( )
a) 9 4 3⋅ −( )
b) 9 3−
c) 4 3⋅
d) 9 3⋅
e) 4 9 3⋅ −( )
(Fuvest-SP) Na figura seguinte, estão re-489.
presentados um quadrado de lado 4, uma de
suas diagonais e uma semicircunferência de
raio 2. Então, a área da região hachurada é:
a)
π
2
2+
b) p + 2
pc) + 3
d) p + 4
2e) p + 1
Sobre a figura abaixo, calcule:490.
A
B C
60°
12
a área do setor circular ABC;a)
a área do círculo inscrito.b)
a) 5
2
5b)
c) 5 2
10d)
e) 10 2
Os dois arcos da figura abaixo têm o mes-487.
mo raio igual a 6 cm e seus centros são os pon-
tos B e C. A área hachurada mede, em cm2:
C A
D
B

14. 262
No setor circular da figura,491. a = 60° e M, N
e P são pontos de tangência. Se o raio do setor
é 12, a área do círculo de centro O é:
N
P
M
O
α
Em uma cidade do interior, a praça prin-492.
cipal, em forma de um setor circular de 180
metros de raio e 200 metros de comprimento
do arco, ficou lotada no comício político de
um candidato a prefeito.
Admitindo uma ocupação média de 4
pessoas por metro quadrado, a melhor esti-
mativa do número de pessoas presentes no
comício é:
70 mila)
30 milb)
100 milc)
90 mild)
40 mile)
18a) p
16b) p
9c) p
4d) p
12e) p
Capítulo 6
É dado o prisma reto de base triangular493.
da figura abaixo. Sabendo que a área da base
S vale 6 cm2, determine seu volume.
9 cm
S
A figura abaixo nos mostra um prisma494.
reto cuja base é o triângulo retângulo de cate-
tos 3 cm e 4 cm. Determine:
7 cm
Determine o volume do prisma reto mos-495.
trado a seguir.
a área da base;a)
a área lateral;b)
a área total;c)
o volume.d)
Dica: para calcular a área de um triângulo
retângulo, devemos multiplicar os catetos e
dividir por 2.
10 cm
2 cm
3 cm
60°
Dica: conhecendo
dois lados de um tri-
ângulo e o ângulo por
eles formado, podemos
determinar sua área:
multiplica-se os lados
pelo seno do ângulo e
divide-se por 2.
Um reservatório na forma de um prisma496.
reto de altura 20 cm apresenta a base em for-
mato de um triângulo isósceles de base 12 cm
e lados congruentes de medida igual a 10 cm
cada um.
20 cm
10 cm10 cm
12 cm
Determine a área da base, a área lateral, a
área total e o volume desse reservatório.

15. EM2D-11-34
Matemática 112 263
Seja o prisma reto da figura abaixo. Sua497.
base é um trapézio isósceles. Considerando as
medidas indicadas, determine:
4 cm
5 cm 5 cm
15 cm
10 cm
a área do trapézio, ou seja, a área da basea)
desse prisma;
a soma das áreas de cada um dos retângu-b)
los que compõem a lateral do prisma, ou seja,
a área lateral;
a capacidade desse prisma, ou seja, seuc)
volume.
Observe o formato da parte de um te-498.
lhado de uma loja. Determine o volume desse
sólido.
4 cm5 cm
5 cm
10 cm
21 cm
Um galpão de mantimentos tem a forma do499.
sólido ilustrado abaixo. Determine seu volume.
4 m
4 m
6 m
3 m
Com uma folha de zinco retangular de500.
dimensões 40 cm por 3 m, constrói-se uma ca-
lha em forma de “V”, conforme ilustra a figura
abaixo.
3 m
20 cm
120°
Considerando-se que seja possível encher
totalmente a calha de água, o volume da água
acumulada, em m3, é de:
0,03a) 3
0,04b) 3
0,05c) 3
0,06d) 3
0,07e) 3
Um sistema de irrigação é formado por501.
seis canais que se cruzam como na figura. As
dimensões das seções transversais dos canais
são apresentadas abaixo.
3 m
2 m
2 m
2 m
3 m 3 m
70 m
50 m
1 m
3 m
1 m
2 m
Calcule o volume de água armazenado no
sistema.
A figura abaixo mostra a seção transver-502.
sal de uma piscina com 20 m de comprimento
por 15 m de largura, cuja profundidade varia
uniformemente de 1 m a 3 m.
20 m
1 m
3 m
Considerando-se que o volume dessa piscina
é o produto da área da seção exibida pela largu-
ra da piscina, é correto afirmar que sua capaci-
dade, em litros, é igual a:
600a)
6.000b)
60.000c)
600.000d)
6.000.000e)

16. 264
Uma caçamba para recolher entulho, sem503.
tampa, tem a forma de um prisma reto, con-
forme mostra a figura, em que o quadrilátero
ABCD é um trapézio isósceles.
A B
C
D
E
F
H G
As dimensões da caçamba, dadas em me-
tros, são AB = 2, CD = 3,2, BC = 1 e CG = 1,5.
Calcule a capacidade dessa caçamba, ema)
metros cúbicos.
As chapas de aço que compõem a caçambab)
devem ser protegidas com tinta anticorrosiva,
tanto na parte interna quanto na parte ex-
terna. Calcule a área a ser pintada, em metros
quadrados.
Uma película de cromo é depositada504.
por evaporação, de maneira uniforme, sobre
uma placa de vidro que possui o formato de
um trapézio isósceles, conforme a figura a
seguir. Considerando que a massa de Cr de-
positada é de 0,357 g, qual é a espessura (al-
tura) aproximada da película depositada?
(Dados: densidade do cromo = 7,14 g · cm−3)
45º
14 cm
4 cm
Na figura abaixo, temos um prisma regu-505.
lar triangular de aresta da base 4 cm. Se sua
altura mede 11 cm, determine:
a área da base;a)
a área lateral;b)
a área total;c)
o volume.d)
Uma caixa de acondicionamento na for-506.
ma de um prisma regular quadrangular possui
área externa total igual a 48 m2.
Sendo sua altura igual a 5 m, determine
seu volume.
Observe o prisma regular hexagonal ilus-507.
trado na figura a seguir.
A medida da aresta da base é 6 cm e a me-
dida da altura é 10 cm. Assim, qual é o valor
de sua área total e de seu volume?
O perímetro da base de um prisma trian-508.
gular regular mede 21 cm e a área lateral mede
105 cm2. A medida, em cm, da altura do sólido é:
a)
1
900
cm
b)
1
1 800.
cm
c)
1
90
cm
d)
1
180
cm
e)
1
450
cm
11a)
9b)
7c)
5d)
3e)

17. EM2D-11-34
Matemática 112 265
Na figura abaixo, está representada a509.
planificação de um prisma hexagonal regular
de altura igual à aresta da base.
Se a altura do prisma é 2, seu volume é:
648a) 3 m3
216b) 3 m3
108c) 3m3
96d) 3 m3
72e) 3 m3
4a) 3
6b) 3
8c) 3
10d) 3
12e) 3
O volume de um prisma regular reto he-510.
xagonal, com 2 m de altura, é 3 m3. A medi-
da da área lateral deste prisma é:
Considere um prisma hexagonal regular,511.
com as características: altura de 4 3 cm e
área lateral o dobro da área de sua base, e as
seguintes afirmativas:
A área da base do prisma é 96I. 3 cm2.
O volume do prisma é 1.152 cmII. 3.
O prisma tem 18 arestas e 12 vértices.III.
É correto o que se afirma em:
I, II e III.a)
II e III apenas.b)
I e III apenas.c)
I e II apenas.d)
III apenas.e)
A área da base de um prisma triangular512.
regular é 4 3 m2 e sua altura é 3 m. A área
lateral e o volume do prisma são, respectiva-
mente:
8a) 3 m2 e 16 3 m3.
36 mb) 2 e 4 3 m2.
12 mc) 2 e 12 3 m3.
(36 + 8d) 3)m2 e 24 3 m3.
36 me) 2 e 12 3 m3.
Num prisma hexagonal regular reto, a513.
área lateral é igual ao triplo da área da base,
e a aresta lateral mede 9 cm. O volume desse
prisma é:
Uma peça feita de ferro maciço tem a514.
forma de um prisma reto com 4 3 cm de al-
tura. Sabendo-se que a base dessa peça é um
triângulo equilátero de 5 cm de lado e que
a densidade do ferro é 7,8 g/cm3, podemos
afirmar que a massa da peça em gramas é
igual a:
585a)
525b)
625c)
685d)
700e)
Um recipiente, na forma de um prisma515.
reto de base quadrada, cuja área lateral é
igual ao sêxtuplo da área da base, contém
um determinado medicamento que ocu-
pa
3
4
de sua capacidade total. Conforme
prescrição médica, três doses diárias desse
medicamento, de 50 m l cada uma, deve-
rão ser ministradas a um paciente durante
seis dias. Nessa condições, é correto afir-
mar que, para ministrar a quantidade total
prescrita, o medicamento contido nesse re-
cipiente será:
15 cm
x
x
insuficiente, faltando 125 ma) l.
insuficiente, faltando 100 mb) l.
suficiente, não faltando nem restando me-c)
dicamentos.
suficiente, restando ainda 125 md) l.
suficiente, restando ainda 225 me) l.
3a) m2
2b) 3 m2
3c) 3 m2
4d) 3 m2
5e) 3 m2

18. 266
Sejam dois prismas regulares de mesma516.
altura h, o primeiro de base triangular e o se-
gundo de base hexagonal. Em ambos os pris-
mas, a aresta da base mede a. A razão entre
o volume do prisma triangular e o volume do
prisma hexagonal é:
a) 1
2
b) 1
3
c) 1
4
d) 1
6
e) 1
9
(UFV-MG) Uma piscina de 12 m de compri-519.
mento, 6 m de largura e 3 m de profundidade
está cheia até os
5
8
de sua capacidade. Quantos
litros de água ainda cabem na piscina?
81.000a)
27.000b)
54.000c)
84.000d)
42.000e)
Um reservatório de água inicialmente520.
vazio possui sua base com o formato retan-
gular medindo 10 metros de comprimento
por 5 metros de largura. Uma torneira é
aberta para enchê-lo e, em alguns minutos,
o nível da água no interior do reservatório
atinge 10 cm. Para atingir esse nível foram
necessários:
12.000 litros.a)
50.000 litros.b)
10.000 litros.c)
5.000 litros.d)
500 litros.e)
Em cada canto de uma folha quadrada521.
de papelão, cujo lado mede 18 cm, é cortado
um pequeno quadrado de lado medindo 4 cm.
Dobrando-se estes lados, formamos uma caixa
sem tampa de volume 400 cm3. Existe um ou-
tro valor da medida do lado do quadrado a ser
recortado em cada canto, para que o volume
da caixa resultante também seja de 400 cm3.
Esse valor é:
7a)
b) 6 6−
c) 7
d) 7 2 6−
e) 6
A figura é um prisma oblíquo cuja base é522.
um triângulo equilátero de perímetro 18 cm.
60°
10 cm
O volume desse prisma, em centímetros
cúbicos, é igual a:
270a)
135b)
c) 45 3
d) 45 2
45e)
Se um prisma triangular reto é tal que517.
cada uma de suas arestas mede 2 m, então a
medida do seu volume é:
3a) 2 m3
2b) 3 m3
6 mc) 3
8 md) 3
e) 3 m3
Um recipiente, com a forma de um pris-518.
ma reto retângulo, cujas dimensões estão
mostradas na figura, contém 60 litros de
água:
40
cm
50cm
70 cm
Para que esse recipiente fique totalmente
cheio, será necessário colocar, de água, mais:
Dado: 1 dm3 = 1 litro
220 litros.a)
180 litros.b)
140 litros.c)
100 litros.d)
80 litros.e)

19. EM2D-11-34
Matemática 112 267
Observe o bloco retangular da figura 1,523.
de vidro totalmente fechado e com água den-
tro. Virando-o, como mostra a figura 2, pode-
mos afirmar que o valor de x é:
Figura 1
20 cm
10 cm
40 cm
6 cm
Figura 2
20 cm
10 cm
x cm 40 cm
da na figura, apresentava a forma de um he-
xágono regular. Por razões técnicas, o projeto
original precisou ser modificado. Para tanto, o
arquiteto uniu os pontos médios de cada lado
do hexágono ABCDEF, estabelecendo um novo
hexágono regular GHIJLM, base do novo re-
servatório, que terá 2 metros de largura.
A G
C
H
I
F
M
L
B
E J
6 m
D
Determine:
a diferença entre a área da base do reser-a)
vatório original e a área da base do novo re-
servatório;
a capacidade do novo reservatório, queb)
tem a forma de um prisma reto de base hexa-
gonal regular.
O sólido da figura I foi obtido retirando-526.
-se de um prisma triangular regular três pris-
mas iguais, também triangulares e regulares,
cada um deles representado pela figura II. Se
d =
5
8
x e o volume de cada cada prisma re-
tirado é 3, então o volume desse sólido é
igual a:
Figura I
d
3
d
d
d
x x
2
Figura II
x
x
2
12 cma)
11 cmb)
10 cmc)
5 cmd)
6 cme)
A estrutura de um telhado tem a forma524.
de um prisma triangular reto, conforme o es-
quema abaixo. Sabendo que são necessárias
20 telhas por metro quadrado para cobrir esse
telhado, assinale a alternativa que mais se
aproxima da quantidade de telhas necessárias
para construí-lo. (Use 3 =1,7.)
10 m30º
30º
18 m
4.080a)
5.712b)
4.896c)
3.670d)
2.856e)
Um projeto original previa a construção525.
de um reservatório, cuja base ABCDEF, mostra-
12a) 3
14b) 3
15c) 3
16d) 3
19e) 3

20. 268
(Vunesp) Considere o sólido da figura527.
(em amarelo), construído a partir de um pris-
ma retangular reto.
A
B
C
E
F
D
G
Se AB = 2 cm,
AD = 10 cm,
FG = 8 cm e
BC = EF = x cm,
o volume do sólido, em cm3, é:
Calcule o volume, em litros, de um cubo531.
cuja área total vale 54 cm2.
A diagonal de um cubo mede 6532. 3 cm.
Determine a área total desse cubo.
A área total de um cubo de aresta igual533.
a 2 m é:
4x (2x + 5)a)
4x (5x + 2)b)
4 (5 + 2x)c)
4xd) 2 (2 + 5x)
4xe) 2 (2x + 5)
Uma metalúrgica que fabrica componentes528.
para um estaleiro deverá produzir uma peça ma-
ciça de cobre, conforme a figura abaixo.
85°
35°
2 m
4 m
7m
Com base nos textos e em seus conheci-
mentos, é correto afirmar que o volume de co-
bre necessário para a produção dessa peça é:
12a) 3 m3
3b) 3 m3
6c) 2 m3
12d) 2 m3
6e) 3 m3
Considere um cubo de aresta medindo529.
4 cm. Determine:
a medida da diagonal de uma face;a)
a medida da diagonal do cubo;b)
a área total;c)
o volume.d)
Sabe-se que 1 dm530. 3 = 1 l. Determine a
capacidade, em litros, de um cubo de aresta
igual a 5 dm.
12 ma) 2
16 mb) 2
20 mc) 2
22 md) 2
24 me) 2
Um cubo tem área total igual a 72 m534. 2;
sua diagonal vale:
a) 2 6 m
6 mb)
6 mc)
d) 12 m
e) 2 24 m
A soma dos comprimentos de todas as535.
arestas de um cubo é igual a 60 metros. A dia-
gonal, em metros, mede:
a) 3
3b) 3
5c) 3
7d) 3
9e) 3
Uma caixa d’água, completamente cheia,536.
de formato cúbico, aresta L e volume de
4.096.000 litros foi usada na fabricação de va-
silhame PET de 1 litro. A medida da aresta L,
em metros, está compreendida no intervalo:
15a) < L < 20
20b) < L < 25
25c) < L < 30
30d) < L < 35
35e) < L < 40
Flávia possui um jogo com 216 cubos537.
iguais, com as dimensões mostradas na figura I,
que ficam guardados em uma caixa (figura II),
também cúbica, preenchendo-a totalmente.
5 cm
xcm
x cmx cm
5 cm
5 cm
Figura I
Figura II
A medida x da caixa é igual a:
0,65 ma)
0,50 mb)
0,45 mc)
0,40 md)
0,30 me)

21. EM2D-11-34
Matemática 112 269
Considere a figura abaixo, que represen-538.
ta a planificação de um cubo.
Qual dos cubos apresentados nas alternativas
pode corresponder ao desenho da planificação?
Considere um paralelepípedo reto retân-541.
gulo de dimensões iguais a 3 cm, 7 cm e 10 cm.
Determine desse sólido:
a área total;a)
o volume;b)
a diagonal;c)
Sabe-se que 1 dm542. 3 = 1 l. Determine a
capacidade, em litros, de um reservatório na
forma de um paralelepípedo reto retângulo de
dimensões 3 m, 5 dm e 80 cm.
Um certo tipo de sabão em pó é vendido543.
em caixas com a forma de um paralelepípedo
reto retângu]o.
Antigamente, essa caixa media:
6 cm x 15 cm x 20 cm
Por questões de economia do material da
embalagem, a mesma quantidade de sabão
passou a ser vendida em caixas que medem
8 cm x 15 cm x a.
Assim, o valor de a, em cm, é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Ao desdobrar um cubo, obteve-se a figu-539.
ra plana abaixo. Se o montarmos novamente,
a face oposta à face B será a face:
A B
F
E
C D
Aa)
Cb)
Dc)
Ed)
Fe)
Uma formiga move-se na superfície de540.
um cubo de aresta a. O menor caminho que
ela deve seguir para ir de um vértice ao vérti-
ce oposto tem comprimento:
a) a 2
b) a 3
3 ac)
d) 1 2+( )a
e) a 5
12a)
15b)
18c)
20d)
24e)
A figura abaixo é a representação de um544.
tabuleiro.
B
5 cm
12 cm
9 cm C
F E
D
A
Qual o comprimento de uma linha esticada da
extremidade A à extremidade D do tabuleiro?
15 cma)
b) 10 5 cm
c) 5 10 cm
d) 10 2cm
15 2 cme)
Um tanque tem a forma de um parale-545.
lepípedo de dimensões 3 m, 3 m e 10 m. Para
enchê-lo de água, são necessárias 5 horas.
Esse tanque recebe água à razão de:
30 ma) 3 por hora.
6 mb) 3 por hora.
15 mc) 3 por hora.
18 md) 3 por hora.
35 me) 3 por hora.

22. 270
Um tanque em forma de paralelepípedo546.
tem por base um retângulo cujos lados medem
90 cm e 18 dm. Uma pessoa, ao mergulhar to-
talmente nesse tanque, faz o nível da água su-
bir 0,15 m. O volume dessa pessoa, em m3, é:
(UEMG) Observe o desenho a seguir:550.
I
II
12 cm
10 cm
40 cm
O vasilhame I é cúbico com a medida da
aresta igual a 10 cm. O vasilhame II tem a
forma de um paralelepípedo retangular com
dimensões 10 cm, 12 cm e 40 cm.
Enchendo o vasilhame I de água e despejan-
do esse líquido em II, que está vazia, esta terá
sua capacidade ocupada em, aproximadamente:
20,8%a)
28%b)
22,2%c)
12,5%d)
Um reservatório de água tem a forma de551.
um paralelepípedo reto retangular cujos lados
da base medem 1 m e 2 m. Se forem retirados
360 litros desse reservatório, então a altura
do nível da água diminui:
30 cma)
27 cmb)
24 cmc)
21 cmd)
18 cme)
O reservatório de água de um prédio tem552.
a forma de um paralelepípedo reto retângulo de
dimensões 3 m, 4 m e 2 m. Se o prédio tem 10
apartamentos e, devido ao racionamento, ficou
estabelecido que o tanque só seria cheio uma
vez por dia, pode-se afirmar que o gasto médio
de água diário por apartamento será:
2.400 litros.a)
1.500 litros.b)
2.500 litros.c)
3.000 litros.d)
1.800 litros.e)
0,183a)
0,196b)
0,25c)
0,243d)
0,190e)
Para fazer refresco, a merendeira de uma547.
escola utilizou um recipiente com a forma de
um paralelepípedo reto retângulo, com medi-
das internas iguais a 30 cm, 40 cm e 60 cm,
que estava completamente vazio. Ela colocou
nesse recipiente uma quantidade de água
igual à metade da sua capacidade total e, em
seguida, colocou 5 litros de suco concentrado.
A quantidade total de refresco preparado pela
merendeira foi:
36 litros.a)
41 litros.b)
48 litros.c)
49 litros.d)
51 litros.e)
(UEG-GO) Uma indústria deseja fabricar548.
um galão no formato de um paralelepípedo
retângulo, de forma que duas de suas arestas
difiram em 2 centímetros e a outra meça 30
centímetros. Para que a capacidade desse ga-
lão não seja inferior a 3,6 litros, a menor de
suas arestas deve medir, no mínimo:
11 cma)
10,4 cmb)
10 cmc)
1,6 cmd)
Medidas de áreas de superficíes e de vo-549.
lume são utilizadas com frequência em várias
atividades humanas, destacando-se o seu uso
na construção civil.
Admite-se que uma lata de tinta pinte 80 m2,
que a área de um piso seja 1.600 cm2 e que um
tijolo tenha as dimensões da face lateral de
10 cm x 20 cm. Para se construir um galpão de
base retangular, de dimensões 10 m x 20 m x 3 m
(altura), pintando internamente e externa-
mente as paredes laterais, exceto o teto, com
piso colocado completamente no chão, neces-
sita-se de:
6,0 latas de tinta, 800 pisos e 12.000 tijolos.a)
4,5 latas de tinta, 1.250 pisos e 12.000 tijo-b)
los.
4,5 latas de tinta, 1.250 pisos e 9.000 tijolos.c)
6,0 latas de tinta, 800 pisos e 8.000 tijo-d)
los.

23. EM2D-11-34
Matemática 112 271
Dado um cubo de aresta 8 cm, determine553.
a distância entre os centros A e B das faces
adjacentes mostradas abaixo.
A
B
Observe o cubo de volume 27 cm554. 3 dese-
nhado abaixo. Sabe-se que AB = 2 cm. Nessas
condições, determine:
A B
C D
F
E
a medida da aresta desse cubo;a)
a distância entre os pontos A e C;b)
a distância entre os pontos A e D;c)
a distância entre os pontos A e E;d)
a distância entre os pontos A e F.e)
O hexaedro regular (cubo) representado555.
a seguir possui 96 cm2 de área total. Sendo
igual a 3 cm a medida de AB, determine:
A
B
C
D
a medida de sua aresta;a)
a distância AC;b)
a distância AD.c)
Na figura abaixo, A e G são vértices opostos556.
de um cubo de lado a, P é um ponto da semirreta
EA tal que AP = a e Q é um ponto da semirreta BF
tal que FQ = a. As distâncias do ponto G ao ponto
P e do ponto G ao ponto Q são, respectivamente.
No cubo representado na figura,557.
A
C
B
4
4
4
a área do triângulo ABC é:
4a) 2
8b) 2
4c) 3
8d) 3
8e)
O cubo de vértices ABCDEFGH, indica-558.
do na figura, tem arestas de comprimento a.
Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta
AE, então a distância do ponto M ao centro do
quadrado ABCD é igual a:
A
P
E F
Q
B
G
aa) 2 e a 3
ab) 2 e a 5
ac) 6 e a 2
ad) 3 e a 6
ae) 2 e a 3
A
C
B
E
H
D
M
G
F
a)
a 3
5
b) a 3
3
c)
a 3
2
d) a 3
e) 2a 3

24. 272
Considere o cubo ABCDEFGH de aresta559.
medindo 40 cm. Seja P um ponto da aresta
AB do cubo, que está localizado a 10 cm do
vértice A.
Calcule a distância do ponto P ao ponto de
intersecção das diagonais do cubo.
Determine a diagonal de um paralelepí-560.
pedo, sendo 62 cm2 sua área total e 10 cm a
soma de suas dimensões.
(FGV-SP) A soma das medidas das 12561.
arestas de um paralelepípedo reto retângulo
é igual a 140 cm. Se a distância máxima entre
dois vértices do paralelepípedo é 21 cm, sua
área total, em cm2, é:
A partir das leituras acima, considerando
3 = 1,7 e a profundidade dessa caixa d’água
que é igual à diagonal de um cubo, é correto
afirmar que a aresta do referido cubo é de:
776a)
784b)
798c)
800d)
812e)
Foram construídos dois aquários cúbi-562.
cos, sem a tampa, utilizando-se em cada um
deles 5 placas de vidro de 2 dm e de 4 dm de
lado cada uma, respectivamente. A capacidade
e a área do cubo maior superam a capacidade e
a área do cubo menor, respectivamente, em:
52 litros e 54 dma) 2.
54 litros e 58 dmb) 2.
56 litros e 60 dmc) 2.
60 litros e 62 dmd) 2.
563.
A charge acima ilustra uma campanha de
conscientização da população sobre a necessi-
dade de se evitar o desperdício de água. Os do-
micílios são campeões do desaproveitamento de
água. A mangueira da ilustração, ligada a uma
torneira com vazão constante, enche em 34 mi-
nutos uma caixa d’água cujas medidas internas
são 0,80 m de comprimento, 1 m de largura e
“x” m de profundidade.
www.saaej.so.gob.br/ambiente/desperdicio/
htn-acessado em 6.4.2008(adaptado).
0,85 ma)
0,50 mb)
0,37 mc)
0,22 md)
0,26 me)
36 litros de água estão no interior de uma564.
caixa em forma de paralelepípedo, totalmen-
te fechada. Conforme a face que fica apoiada
numa mesa horizontal, a altura do líquido na
caixa pode ser de 15 cm, 20 cm ou 30 cm. A
capacidade total dessa caixa é de:
48 litros.a)
54 litros.b)
64 litros.c)
72 litros.d)
86 litros.e)
Calcule a medida da aresta de um cubo,565.
sabendo que a diagonal dele excede em 2 cm a
diagonal da face.
A aresta de um cubo mede 2 cm. Em566.
quanto se deve aumentar a diagonal desse
cubo de modo que a aresta do novo cubo seja
igual a 3 cm?
Calcule o volume de um cubo cuja área567.
total mede 600 cm2.
O segmento de reta que liga um dos vérti-568.
ces de um cubo ao centro de uma das faces opos-
tas mede 60 cm. Calcule o volume desse cubo.
Calcule o comprimento da aresta de um569.
cubo equivalente a um paralelepípedo retân-
gulo de dimensões 8 cm, 64 cm e 216 cm.
As faces de um paralelepípedo retângulo570.
têm por área 6 cm2, 9 cm2 e 24 cm2. O volume
desse paralelepípedo é:
1.296 cma) 3
48 cmb) 3
39 cmc) 3
36 cmd) 3
6e) 6 cm3
A diagonal da face de um cubo mede d.571.
Calcule, em função de d, a medida da diagonal
do cubo.
Calcule o volume de um cubo cuja diago-572.
nal mede 6 cm.

25. EM2D-11-34
Matemática 112 273
Calcule a área total de um cubo cuja dia-573.
gonal mede 1 cm.
Aumentando-se de 1 m cada aresta de um574.
cubo, a sua área lateral aumenta de 164 m2. O
volume do cubo original é:
6.000 ma) 3
7.000 mb) 3
8.000 mc) 3
12.000 md) 3
16.400 me) 3
Duas das três dimensões de um parale-575.
lepípedo reto retângulo são iguais. Calcule o
volume desse paralelepípedo, sabendo que as
medidas, em metros, das arestas desse parale-
lepípedo são números inteiros, sua área é 10 m2
e que uma de suas diagonais mede 6 m.
Um cubo de aresta de comprimento576. a vai
ser transformado num paralelepípedo reto-re-
tângulo de altura 25% menor, preservando-se,
porém, o seu volume e o comprimento de uma
de suas arestas.
A diferença entre a área total (a soma das
áreas das seis faces) do novo sólido e a área
total do sólido original será:
a)
1
6
2a
b)
1
3
2a
c)
1
2
2a
d)
2
3
2a
e)
5
6
2a

26. 274
Anotações

27. Resoluções 275
EM2D-11-34
Matemática 112
Capítulo 5
B409.
4
3
36
7 S = 6 · 7 = 42 m2
9 m2
S = 42 + 9 = 51 m2
C410.
20
14
x
x
x
x
x
x
x
x
2p = 92 cm
14 + 20 + 14 + 20 + 4x = 92 ⇒
⇒ 68 + 4x = 92 ⇒ 4x = 24 ⇒
⇒ x = 6 cm
S = 20 · 14 – 2 · x2 ⇒
⇒ S = 280 – 2 · 62 ⇒ S = 280 – 72 ⇒
⇒ S = 208 cm2
B411.
24
24 + L
12
L
12
L
L
(24 + L) · L + 12 L = 96 ⇒
⇒ L2 + 36 L – 96 = 0
D = 362 – 4 · 1 · (– 96) = 1.680
Observe que 1 681 41. = . Como o texto
pede um valor aproximado para a largura L,
temos:
1
2
L 2,5
36 41
L 772 L (não convém)
2
≅
≅ −
=
− ±
L @ 2,5 m
E412.
3,5
x
xxx
2 – 2x2
3,5 – 2x
(3,5 – 2x) (2 – 2x) = 2,5 ⇒
⇒ 7 – 7x – 4x + 4x2 = 2,5 ⇒
⇒ 4x2 – 11x + 4,5 = 0
Multiplicando por 10, temos:
40x2 – 110x + 45 = 0
Dividindo por 5, temos:
8x2 – 22x + 9 = 0
D = (– 22)2 – 4 · 8 · 9 = 196
x
x m
x m
=
±
⋅
=
±
= = =
=
−
= = =
22 196
2 8
22 14
16
36
16
9
4
2 25
22 14
16
8
16
1
2
0 5
1
2
,
,
Como 2x < 2 ⇔ x < 1,
a resposta é x = 0,5 m.
A413.
3
3
xx
x
x

28. 276
S m
x
x
x m
∆ =
⋅
= ⇒ = ⇒
⇒ =
6
3
2
6 3 12
4
2
Área de todos os canteiros juntos:
S = x(x + 3) = 4 · 7 ⇒ S = 28 m2
Seja 2 L (L em cada um) a quantidade
total de sorvete.
No pote 1, temos L
3
de chocolate e, no
pote 2, temos L
2
.
Assim, a fração correspondente à quan-
tidade de sorvete de sabor chocolate é:
L L
L
L L
L
L
L
2 3
2
3 2
6
2
5
6
1
2
5
12
+
=
+
= ⋅ =
Seja x o lado do quadrado original. Para417.
que, após as modificações, as áreas permane-
çam iguais, devemos ter:
(x – 5) (x + 5) = (x – 1)2, o que dá
x = 13.
A área S do quadrado original é x2 = 169.
A418.
2x 2x – 55
x x + 55Quadrado
2x – 55 = x + 55 ⇒ x = 110 cm
S = 2x · x = 2x2 = 2 · 1102 = 2 · 12.100 =
= 24.200 cm2 ⇒
⇒ S = 2,42 cm2
A419.
1o passo: 6 unidades da malha
2o passo: 20 unidades da malha
3o passo: 20 6
2
13
+
=
4o passo: S = 13 ·300 ·300 = 1.170.000 km2,
aproximadamente 1,2 milhões de km2
B420.
x z
y a 8 y
t 9 2a t
x z
54.000 cm2
414.
30
20
S = 20 · 30 = 600 cm2
Quantidade de azulejos necessária:
n = =
54 000
600
90
. azulejos
A415.
15
8 7
S = 23 m2
SIII
SI
SII
y
y
2
y
2
Área do retângulo é igual à soma das áre-
as triangulares.
15
2
15
2 2
8
2
7
2
23
15
15
4
8
4
7
2
23
15
23
4
7
⋅ = ⋅ + ⋅ +
⋅
+ ⇒
⇒ = + + + ⇒
⇒ = +
y
y y y
y
y y y
y
y yy
2
23+
Multiplicando por 4, temos:
60y = 23y + 14y + 92 ⇒
⇒ 23y = 92 ⇒
⇒ y = 4 m
C416.
Pote 1 Pote 2
chocolate chocolate
creme baunilha
morango

29. Resoluções 277
EM2D-11-34
2
x y a x t 9
z t 2a y z 8
xyzt 2a xyzt 72
⋅ = ⋅ = 
 
⋅ = ⋅ = 
= =
⇒
a)421.
10
10 8
18
17h
172 = h2 + 82
h = 15
A h
A
A m
=
+
⋅
= ⋅
=
10 18
1
28
2
15
210 2
b)
h
10
10
20
1313
5 5
132 = h2 + 52
h = 12
A h
A
A m
=
+
⋅
= ⋅
=
20 10
2
30
2
12
180 2
c) 3
3 3 x
5 4h 2 13
52 = h2 + 32
h = 4
2 13 4
2
2 2
( ) = + x
x = 6
A
x
h
A m
=
+ +( ) +
⋅ =
+( ) +
⋅ =
⋅ ⇒ =
3 3 3
2
6 6 3
2
4
15
2
4 30 2
d)
10
h
6
6 4
60°
tg
h
h
A h
A
A m
60
4
4 3
10 6
2
16
2
4 3
32 3 2
º =
=
=
+
⋅
= ⋅
=
e)
h
x x
6
30°
6
4 3
4 3
h
sen
h
x
x
A
x x
h
A
A m
=
=
=
=
=
+ +( )⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⇒
⇒ =
3
30
6
30
6
3 3
4 3
2
14 3
2
3
21 3 2
º
cos º

30. 278
f)
h
x y
3 3
4
4
6
60° 30°
sen
h
h
x
x
tg
y
y
A
x y
h
A
60
6
3 3
60
6
3
30
3 3
9
4 4
2
20
3
º
cos º
º
=
=
=
=
=
=
=
+ +( ) +
⋅ ⇒
⇒ = ⋅⋅ ⇒
⇒ =
3 3
30 3 2A m
D422.
A B
44
C1
1x
D
60°
2 3
x
cos60
4
1
2 4
2 4 2
5 1 2 3
2
6 3
 = ⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ =
=
+( )⋅
⇒ =
x x
x x
S S
55
55
d
2
D
2
423.
2 6
2 6
Losango equivalente a um quadrado sig-
nifica que esses dois polígonos possuem mes-
ma área.
S = S
2 6
2
48
2
( ) =
⋅
⇒ ⋅ =
D d
D d
Teorema de Pitágoras:
S
D d
D d
Assim vamos resolver o siste
2
2 2
2 2
2 2
100
=



 +



 ⇒
⇒ + =
, mma
D d
D d d
D
D
D
D
D
:
2 2
2
2
2
100
48
48
48
100
2 304
+ =
⋅ = ⇒ =





+



 = ⇒
⇒ +
.
22
4 2100 100 2 304 0= ⇒ − + =D D .
Fazendo D x temos
x x
x
2
2 100 2 304 0
10 000 9 216 784
100 7
=
− + =
= − =
=
±
,
.
. .
:
∆
884
2
100 28
2
128
2
64
72
2
36
1
2
=
±
= =
= =
x
x
Substituindo os valores acima em D2 = x,
temos:
D2 = 64 D2 = 36
D = 8 cm D = 6 cm
Assim, as diagonais do losango medem
8 cm e 6 cm.
A424.
80
20
40
60
50
20
10

31. Resoluções 279
EM2D-11-34
S
S
S m
= ⋅ +
⋅
⇒
⇒ = + ⇒
⇒ =
50 20
60 40
2
1 000 1 200
2 200 2
. .
.
Se 1
8
da área é reservado para circulação
de equipamentos e materiais, 7
8
é reservado
para o plantio.
Assim, S mp = ⋅ =
7
8
2 200 1 925 2. .
D425.
Área do ginásio de esportes:
30 · 18 = 540 m2
Área do palanque:
18 12 6
2
90 2
+( )⋅
= m
Área a ser ocupada pelo público:
540 – 90 = 450 m2
Número de pessoas =
450
2
5 1 125⋅ = .
C426.
x + 5
15°
x + 5
xx h
2p = x + 5 + x + 5 + x + x
50 = 4x + 10 ⇒ x = 10 cm
sen
h
x
h
h cm
A
A cm
15
0 26
10
2 6
15 2 6
39 2
° =
= ⇒ =
∴ = ⋅
=
, ,
,
B427.
AADEF = AFBCE
20 45 31
20
2
⋅ = −( ) + −( )  ⋅x x x
20x = (76 – 2x) · 10
2x = 76 – 2x
x = 19 m
D C
A F
E
20 m
31 m
x
45 m
B
B428.
A
SI
SII
SIII
C
B2
3
1
1
5
3
5,5
1,5
4,5
D
EF
GH
I
S S S S
S
S S
I II III= + +
=
+( )⋅
+ ⋅ + ⋅ ⇒
⇒ = + + ⇒ =
3 2 1 5
2
5 5 5 1 4 5
3 75 27 5 4 5 3
,
, ,
, , , 55 75 2, m
D429.
2
2
2
2 233
2 233
10
12
A área total é igual à área de dois retân-
gulos mais a área de dois paralelogramos.
2
12 S = 12 · 2 = 24 cm2

32. 280
2
3 S = 2 · 3 = 6 cm2
Assim, S = 2 · 24 + 2 · 6 = 48 + 12 ⇒
⇒ S = 60 cm2
D430.
B S
5
5
10
S
A P
C
D
10
SABCD = 2 · SDABD = 2 · 10 5
2
⋅ ⇒
⇒ SABCD = 50 cm2
B
A
5
5
10
Y
x 10 – xP
C
D
y x x y+( )⋅
+
−( )⋅5
2
10
2
= 50
xy + 5x + 10y – xy = 100 ⇒ x + 2y = 20
⇒ x = 20 – 2y (I) e
102 = y2 + (10 – x)2 ⇒
⇒ 100 = y2 + 100 – 20x + x2 ⇒
⇒ x2 + y2 – 20x = 0 (II)
Substituindo (I) em (II), temos:
(20 – 2y)2 + y2 – 20 (20 – 2y) = 0 ⇒
⇒ 400 – 80y + 4y2 + y2 – 400 + 40y = 0 ⇒
⇒ 5y2 – 40y = 0 ⇒
⇒ 5y (y – 8) = 0
y = 0 ou y = 8
Para y = 8 ⇒ x = 20 – 2 · 8 ⇒ x = 4
Assim, as áreas do quadrilátero e do tri-
ângulo são:
B
A
5
5
8
4 6P
C
D
S cm
S cm
ABCP
CDP
=
+( )⋅
=
=
⋅
=
8 5 4
2
26
8 6
2
24
2
2
∆
Inicialmente, precisamos encontrar uma431.
equação da reta. Usando a equação reduzida
da reta, temos:
y = ax + b
(0, 1) ∈ à reta
y = ax + 1
1 3,( )
x y
∈ à reta
3 = a + 1 ⇒ a = 2
y = 2x + 1
Para x = 4, temos:
y = 2 · 4 + 1 ⇒ y = 9
Para x = 2, temos:
y = 2 · 2 + 1 ⇒ y = 5
1
10 2 4
y
x
3
5
5
9
2
9
S =
9 5 2
2
+( )⋅
⇒
⇒ S = 14 cm2

33. Resoluções 281
EM2D-11-34
E432.
Lembre-se de que um losango é um pa-
ralelogramo. Então, podemos determinar sua
área fazendo base x altura.
x
24 m2 3 m
x
x x
S = 24 m2 ⇒ x · 3 = 24 ⇒
⇒ x = 8 m
2p = 4x = 4 · 8 ⇔ 2p = 32 m
a)433.
6 cm 6 cm
6 cm
S
cm
=
⋅
⋅
= =
l2
2
2
3
4
6 3
4
36 3
4
9 3 =
S = 9 3 2cm
b)
4 cm
2
2
2
3
S 6
4
4 3
S 6
4
S 6 4 3 S 24 3 cm
⋅
= ⇒
⋅
⇒ = ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =
�
B434.
6 m
12 m
�2
2
2
3
S 6
4
6 3
S 6
4
S 6 9 3
S 54 3 m
= ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⇒
⇒ =
E435.
4 cm
BA
DE
F C
�2
ADEF
2
ADEF
ADEF
2
ADEF
3
S 3
4
4 3
S 3
4
S 3 4 3
S 12 3 cm
= ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⇒
⇒ =
B436.
BA
D1 cmE
F C
BA
DE
F C
Assim:
�2 2
23 1 3 3
S 2 2 S cm
4 4 2
= = ⋅ ⇒ =

34. 282
A437.
BA
C
BA
C
Como a área do hexágono é 6, temos que
a área sombreada é S = =
6
6
1.
B438.
CA
B
A área de cada hexágono regular é 8.
Então, cada um dos 6 triângulos equilá-
teros em que o hexágono se divide tem área
igual a 8
6
4
3
= .
Note que a área do triângulo ABC é igual
a 9 desses triângulos equiláteros. Assim:
S SABC ABC= ⋅ ⇒ =9
4
3
12
C439.
Com base no texto, temos a figura:
P
U
ABT
C F
A
S
EDQ R
Chamando de S a área da região desta-
cada e sendo k a área do hexágono ABCDEF,
temos:
S
K
=
6
Decompondo a figura anterior, têm-se os
dois triângulos equiláteros, PQR e STU:
P
RQ
k
6
k
6
k
6
k
6
k
6
k
6
k
6
k
6
k
6
U
T S
k
6
k
6
k
6
k
6
k
6k
6
k
6
k
6
k
6
Logo, a soma das áreas dos triângulos
equiláteros PQR e STU é:
18
6
3⋅ =
k
k
C440.
S S S
S
S
S S
S
S
S S
S
S
S
S
S S
S
A
D
F B
E C
Área H
Área K
S
S
= =
18
6
3

35. Resoluções 283
EM2D-11-34
E441.
1 1
�2 2
3 2 1 3 3
S 2 S
4 4 2
⋅ ⋅
= ⋅ = ⇒ =
D442.
Como a figura pode ser fracionada em 32
triângulos de mesma área (sendo 14 brancos e
18 escuros), temos:
A
Logo
A
A
branco
= =
=
= ⋅ =




64 3
32
2 3
2 3
9 2 3 18 3preto
C443.
�
�
�
�
4
1
2
2
3
3
2
6

=


 =


Assumiremos que A = A e que A = A .
A = A
2 2
3 2
2
3 2
3
6
6 6
=
= ⇔ =
� �
�
�
�
�
2 2
3 23 3
6
4 4
⋅
⋅ =
� �
⇒
⇒
⇒ ⇒
A = A
�
�
�
�
�
�
2
22
1
4 4
2 1
1
2
3
4
3 3
2 2
=
= ⇔ =⇒
⇒
A = A = A
C444.
S Fa
1
1
1
a
aa
E R
D
C
G
H
P A B Q
12 = a2 + a2
2 1
1
2
1
2
2
2
2
2
1 2 1 2 2 2
3 2 2
2 2
2
2
a a
a a cm
S
S cm
= ⇒ = ⇒
⇒ = ⋅ ⇒ =
= +( ) = + + ⇒
⇒ = +( )


9 2 2cm445.
3
6
45°
SI
SI
S S S
sen
S S cm
I= ⋅ ⇒ = ⋅
⋅ ⋅ °
⇒
⇒ = ⇒ =
2 2
6 3 45
2
18
2
2
9 2 2
C446.
20
20
30° SI SI
S S
S
sen
S cm S cm
I= ⋅
= ⋅
⋅ ⋅ °
⇒
⇒ = ⋅ ⇒ =
2
2
20 20 30
2
400
1
2
2002 2
E447.
2p = 5 + 6 + 7 = 18 ⇒ p = 9
S p p a p b p c= ⋅ −( )⋅ −( )⋅ −( )

36. 284
S
S
S
= −( ) −( ) −( )
= ⋅ ⋅ ⋅
=
9 9 5 9 6 9 7
9 4 3 2
6 6
Há uma fórmula que dá a área, em função448.
da circunferência inscrita e do semiperíme-
tro: S = p · r.
No caso, 12 = perímetro ⇒ p = 6
r
S
p
r r cm= ⇒ = ⇒ =
6
6
1 .
E449.
2
2
120º
A
b c sen
A
A
sen
=
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ °
=
= ⋅ =
∴ =
=
⋅ ⋅
cos α
α
2
2 2 120
2
2
3
2
3
3
2
Dica: use
l l
C450.
praça
2
30 40 sen 150
S 600 sen 30
2
1
600 300 m
2
⋅ ⋅ °
= = ⋅ ° =
= ⋅ =
E451.
20
15
30°
S
sen
cm=
⋅ ⋅ °
= ⋅ =
15 20 30
2
150
1
2
75 2
E452.
S
sen
sen
m
=
⋅ ⋅ °
= ⋅ ° =
= =
4 5 120
2
10 60
10 3
2
5 3 2
A453.
10
8
30°
S
sen
cm=
⋅ ⋅ °
= ⋅ =
10 8 30
2
40
1
2
20 2
Os triângulos são equivalentes.454.
5
5
6
P1
5 5 6
2
8=
+ +
=
S
S S
S S
1
1 1
1 1
8 8 5 8 5 8 6
8 3 3 2 16 9
4 3 12
= ⋅ −( ) −( ) −( ) ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⇒ =
5
5
8
P2
5 5 8
2
9=
+ +
=
S
S S
S S
2
2 2
2 2
9 9 5 9 5 9 8
9 4 4 1 16 9
4 3 12
= ⋅ −( )⋅ −( )⋅ −( ) ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⇒ =
A455.
1010
α
sen
sen
tg
α α
α
α
α
= ⇒
⇒ = ⇒
⇒ =
3
3
3
1
cos
cos

37. Resoluções 285
EM2D-11-34
α
1
3 x
x
x
sen
x
2 2 23 1 10
10
3 3
10
= + = ⇒
⇒ =
∴ = =α
Área do triângulo:
S
sen
cm
=
⋅ ⋅
=
⋅
⋅ =
= =
10 10
2
50 3
10
10
10
150 10
10
15 10 2
α
A456.
45°
45°
A
C
B
2
2
O
Note que a área sombreada é igual à diferen-
ça entre duas vezes a área do DAOC e o DAOB.
S
sen
=
⋅ ⋅ °
⋅ −
⋅
=
= − = −
2 2 45
2
2
2 2
2
2 2
2
1 2 1
Assim, a área pedida é:
Spedida = 4 · S = 4 ( 2 – 1)
S cm=
⋅
=
4 7
2
14 2457.
10
3 3
h
458. 10 3
100 9
91
91
6 91
2
3 91
2 2 2
2
2
2
= + ⇒
⇒ − = ⇒
⇒ = ⇒
⇒ =
=
⋅
=
h
h
h
h
S
S cm
5 7
8
459.
p
S p p a p b p c
S
S
=
+ +
=
= −( ) −( ) −( )
= ⋅ −( ) −( ) −( ) ⇒
⇒ =
5 7 8
2
10
10 10 8 10 7 10 5
10 ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅
⇒ =
= ⋅
= ⋅ ⇒ =
2 3 5 10 10 3
10 3
10 3 10 3
2
S
S cm
S p r
r r
Agora, usamos .
ccm
7
3
4
10 3
5 7 8
4
10 3 70
70
10 3
7
3
2
cm
S
abc
R
R
R
R
R cm
=
=
⋅ ⋅
⇒
⇒ = ⇒
⇒ = ⇒
⇒ =
460.

38. 286
461.
5
h
7
8
S
H
H
H cm
=
⋅
⇒
⇒ = ⇒
⇒ =
8
2
10 3 4
5 3
2
A CB
45°
45°
135°
x
x
α
α
462.
a) No
a a
No ABD temos
a b b b
∆
+ = ⇒ =
∆
= ⇒ = ⇒ =
BCD, temos:
:
2 90 180 45
2 2 45 2
º º º
,
º 22 30º ’
b) No ABD, temos:∆
∆
∆
A
x x sen a
A
x sen
ABD
ABD
=
⋅ ⋅ −( ) ⇒
⇒ =
⋅ −
180
2
180 452
º
º ºº
º
( ) ⇒
⇒ =
⋅
⇒
⇒ =
2
135
2
2
4
2
2
A
x sen
A
x
ABD
ABD
∆
∆
B463.
6 6
6
R
S
abc
R R R
= ⇒
⋅
=
⋅ ⋅
⇒ = ⇒
4
6 3
4
6 6 6
4
3
62
⇒ = ⋅ ⇒
⇒ = ⇒ =
R
R R cm
6
3
3
3
6 3
3
2 3
E464.
D C
A E
4
4
4
2 2
H H H
B
2
3
H (altura de triângulo equilátero)
2
4 3
H
2
H 2 3 m
Assim
2 H
S 2 2 2 3 S 4 3 m
2
=
= =
⋅
= ⋅ = ⋅ ⇒ = 2
H (altura de triângulo equilátero)
2
4 3
H
2
H 2 3 m
Assim:
2 H
2
=
= =
⋅
�
⇒
C465.
S
sen
sen
S m
=
⋅ ⋅ °
= ⋅ ° =
=
⋅
⇒ =
20 45 120
2
450 60
450 3
2
225 3 2
E466.
120°
30°
30°
40 40
30°
A C
D
a
b
B
No ABC, temos:∆
sen
a
a
a cm
e
b
b
b
30
40
1
2 40
20
30
40
3
2 40
20
° =
=
=
° =
=
=
cos
33
40
2
20 3 60
2
600 3 2
cm
S
b a
S cm
Área do ABC:∆
=
+( ) =
⋅
⇒ =

39. Resoluções 287
EM2D-11-34
A467.
30°
30°
A B
C
D
SI
SI
4
4
a
No ABC, temos:∆
° = ⇒ = ⇒ =
= ⋅ = ⋅
⋅
= ⋅
tg
a a
a
S S
a
ABCD I
30
4 3
3
4 12
3
2 2
4
2
12
3
4 ==
= ⋅ = ⇒ =
48
3
3
3
48 3
3
16 3 2S mABCD
C468.
t A B
1
Cr
s
x
y
3
2
3 2x
2
−
1
2
1
2
Por semelhança de triângulo, temos:
1
2
3
2
3 2
2
3
3 2
2
3 2
2 3
3
3
3 2 3
6
y x
y
x
y
x
y
x
=
−
⇒ =
−
⇒
⇒ =
−
⋅ ⇒
⇒ =
−
Área sombreada em função de x:
A
x
x
A
x
x
x x x
A x x
S
S
S
= ⋅
+
−
⋅ ⇒
⇒ =
+ −
⋅ =
+ −
⇒
⇒ =
−
+
2
1
2
3 2 3
6
2
3 3 2 3
6
3 3 2 3
6
3
3
2
2
a)469. S
R
cm=
⋅
=
⋅
= =
π π π π2 2
2
6
3
6
9
6
3
2
b) S
R
cm=
⋅
=
⋅
= =
π π π π2 2
2
12
3
12
9
12
3
4
c) S
R
cm=
⋅
=
⋅
=
π π π2 2
2
4
3
4
9
4
d) S
R
cm=
⋅
=
⋅
=
π π
π
2 2
2
3
3
3
3
470. a) S
R R R sen
S cm
=
⋅
−
⋅ ⋅ °
=
=
⋅
−
⋅
⋅ ⇒
⇒ = −
π
π
π
2
2
2
6
60
2
3
6
3 3
2
3
2
3
2
9 3
4
b) S
R R R
S cm
=
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
⇒
⇒ = −
π π
π
2 2
2
4 2
3
4
3 3
2
9
4
9
4
c) S
R R R sen
sen
S
S
=
⋅
−
⋅ ⋅ °
=
=
⋅
−
⋅ ⋅ °
⇒
⇒ = − −
⇒ = −
π
π
π
π
2
2
3
120
2
3
3
3 3 60
2
3
9
2
3
2
3
9 33
4
2cm
C471.
A
1
1
1
B
C
D
Note que a circunferência maior tem raio
R = 3 cm e as duas circunferências menores
têm raios R1 = 2 cm e R2 = 1 cm.

40. 288
Assim, a área em destaque é:
S
R R R
S
S
S
S
=
⋅ − ⋅ − ⋅
⇒
=
⋅ − ⋅ − ⋅
=
⋅ − ⋅ −
=
⋅
=
π π π
π π π
π π π
π
2
1
2
2
2
2 2 2
2
3 2 1
2
9 4
2
4
2
2⋅⋅ π cm2
B472.
r r r r
A r r r
A
r r r
círculo maior
hachurada
= ( ) = =
=
−
=
π π π
π π π
2 4 4
4 2
2
2
2
2 2 2
2 2 2
.
==
= = =
π
π
π
r
razão
A
A
r
r
hachurada
círculo maior
2
2
2
4
1
4
E473.
3
3
660°
S S S
S
S
S cm
setor= −
=
⋅
−
⋅
⇒
⇒ = − ⇒
⇒ = −




∆
6 3
4
3
6
9 3
9
6
9 3
6
2 2
2
π
π
π
B474.
2 2 2
8
8
2
S = 82 – 4 · p · 22 ⇒
⇒ S = 64 – 16 · 3,14 ⇒
⇒ S = 16(4 – 3,14) ⇒
⇒ S = 16 · 0,86 ⇒
⇒ S = 13,76 m2
A475.
2
2
2
2
22
22
S
S
S
S
S cm
= − ⋅
⋅
⇒
⇒ ≅ − ⋅ ⇒
⇒ ≅ −( ) ⇒
⇒ ≅ ⋅ ⇒
⇒ ≅
4 4
2
4
16 4 3 14
4 4 3 14
4 0 86
3 44
2
2π
,
,
,
, 22
A476.
M
N
P
10
10
10
10
10
10
60°
60°
60°
I
B
A
S
S
S S
=
⋅
− ⋅
⋅
⇒
⇒ = − ⇒
⇒ = − ⇒ = −( )
20 3
4
3
10
6
100 3
100
2
100 3 50 50 2 3
2 2π
π
π π
x
x
S
477.
Seja L = 2x
• Área do círculo: p · x2
•S
x x x x x x
=
⋅
−
⋅
= − =
−( )π π π2 2 2 2
4 2 4
2
4
2
4
Assim, a razão pedida fica:
π
π
π
π
π
π
x
x
x
x
2
2
2
22
4
4
2
4
2−( )
= ⋅
−( )
=
−

41. Resoluções 289
EM2D-11-34
B478.
Rxx
x C = 2πR
Como o círculo tem o mesmo perímetro
que o triângulo equilátero, temos:
2pR = 3x ⇒ R
x
x
=
3
2
Assim, a área do círculo fica:
S R
x x x
= ⋅ = ⋅



 = =π π
π
π
π π
2
2 2
2
23
2
9
4
9
4
60°
60° 60°
A
B CM
O
3
6
479.
O DABC é equilátero.
O ponto O é o baricentro do DABC, então
OA = 6 ⇒ OM = 3 e a altura do DABC, de lado
d, vale AM = 9, mas:
3
9 6 3
2
= ⇒ =
A área da região destacada, AD, vale:
A A AD c rculo ABC= ⋅ −( )2
3 í ∆
2
2
D
2 3
A r
3 4
 
= ⋅ π − 
 
AD = −( )2 12 9 3π
AD = −( )2 12 9 3π , usando 3 1 73≅ , e
π = 3,14.
Temos:
AD @ 2 (12 · 3,14 – 9 · 1,73)
AD @ 44,22
Do enunciado, temos a figura:480.
120°
1
11
1
1
1
a) A área S pedida pode ser obtida fa-
zendo-se a área do hexágono regular menos a
área de seis setores circulares de ângulo cen-
tral 120° e raio unitário, cada um.
Logo:
S
S S
= ⋅
⋅
− ⋅
⋅
⇒
⇒ = − ∴ = ⋅ −( )
6
2 3
4
6
1
3
6 3 2 2 3 3
2 2π
π π
b) O perímetro pedido é igual a 6
2 1
3
2
⋅
⋅π
,
ou seja, 4p.
B481.
Seja r o raio da circunferência:
r
r
1 m
1 m
(2r)2 = 12 + 12
r m2 1
2
=
a área de sombra, As, vale:
As = Acírculo – Aquadrado
As = pr2 – 12 = p · 1
2
– 1 ⇒
⇒ As m=
−π 2
2
2
B482.
L I
A M
2 2 2 2
2
4
8
Área pedida:
A = 4 · 8 – 2 · p · 22 ⇒
⇒ A = 32 – 8p ⇒
⇒ A @ 32 – 8 · 3,14 ⇒
⇒ A @ 6,88 cm

42. 290
C483.
10
10
10
5
S = Shex. – Scír.
S = ⋅
⋅
− ⋅6
10 3
4
5
2
2π ⇒
⇒ S = −150 3 25π ⇒
⇒ S m= −( )25 6 3 2π
B484.
60°
R
R
R
R
S = 21 p cm2
π
π π
πR
R R2
2 2
6 4
21− − =
Multiplicando-se por 12, vem:
12 pR2 – 2pR2 – 3pR2 = 12 · 21 · p ⇒
⇒ 7pR2 = 12 · 21 · p ⇒
⇒ R2 = 12 · 3 ⇒
⇒ R2 = 36 ⇒ R = 6 cm
D485.
30
90
S = pR2 – pr2 ⇒
⇒ S = p · 902 – p · 302 ⇒
⇒ S = p · 90 · 90 – p · 900 ⇒
⇒ S = p · 900 · 9 – p · 900 ⇒
⇒ S = 900 p (9 – 1) ⇒
⇒ S = 900 p · 8 ⇒
⇒ S = 7.200 p m2
D486.
Seja AB a corda:
A
B
C
O
R
r
a
a
S = 25p cm2
pR2 – pr2 = 25p ⇒
⇒ p(R2 – r2) = 25p ⇒
⇒ R2 – r2 = 25
No DOAC, temos:
R2 = r2 + a2
R2 – r2 = a2 ⇒
⇒ a2 = 25 ⇒
⇒ a = 5
a corda AB mede 2a = 2 · 5 = 10 cm.
A487.
C A
D
B
6
6
6
6
α
β12
x
No DABC, temos:
sen
AB
BC
α = = =
6
12
1
2
a = 30° e b = 60°
cos
cos
α =
= ⇒
⇒ = ⇒ = ⇒ =
AC
BC
x
x x
x cm
30
12
3
12 12
3
6
6 3

Assim, a área hachurada mede:
S S S S
S
S
S
= − −
=
⋅
−
⋅
−
⋅
⇒
⇒ = − − ⇒
⇒ = − ⇒
∆ 30 60
2 26 3 6
2
6
12
6
6
18 3 3 6
18 3 9
 
π π
π π
π SS cm= −( )9 2 3 2π

43. Resoluções 291
EM2D-11-34
A488.
A B
O
30°
30°
120°
6 6
6
S S S
S
sen
S sen
S
setor= −
=
⋅
−
⋅ ⋅
⇒
⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒
⇒ = −
∆
π 6
3
6 6 120
2
12 3 18 60
36
18
2 

⋅⋅
⇒
⇒ = − ⇒
⇒ = −( )
3
2
36 9 3
9 4 3 2
S
S cm
B489.
2
I II
2 2
Área = AI + AII,
em que A e AI II=
⋅
= =
⋅2 2
2
2
2
4
2π
π,
Área = 2 + p
490.
A
B C
60°
30°
12
R
R
12 – R
O
M
a) A
A
setor
setor
=
=
π
π
·12
6
24
2
b)
2
círculo
círculo
No BOM temos :
R
sen 30 R 4
12 R
A 4
A 16
∆
° = ⇒ =
−
∴ = π⋅
= π
A491.
Do enunciado, temos a figura, onde r é a
medida do raio do círculo de centro O:
N
P
M
O
r
r12 – r
30°
30°
No triângulo retângulo LMO, temos:
sen
r
r
r
r
r
30
12
1
2 12
4
 =
−
=
−
∴ =
Logo, a área pedida é igual a π · 42, ou
seja, 16π.
A492.
180
d = 200
π π
π
π
R R
S
S
R
R
2
2
2
200
200
2
=
⋅ ⋅
⇒
⇒ S = 100 R ⇒
⇒ S = 100 · 180 ⇒
⇒ S = 18.000 m2
Assim, o número de pessoas presentes no
comício é:
n = 4 · 18.000 ⇒
⇒ n = 72.000

44. 292
Capítulo 6
SB =
+( )⋅10 4 4
2
= 28 cm2
b) SL = 10 · 15 + 5 · 15 + 4 · 15 + 5 · 15
SL = 150 + 75 + 60 + 75 ⇒ SL = 360 cm2
c) V = SB · H
V = 28 · 15 ⇒ V = 420 cm3
Note a presença de um prisma reto de498.
altura 21 cm. É o trapézio com as mesmas di-
mensões do exercício anterior.
3
4
4 55
4
3
10
S cmB =
+( )⋅
=
10 4 4
2
28 2
Assim, V = SB · H = 28 · 21 = 588 cm3
1
33 64
4
499.
A área da base é dada pela soma das áre-
as de um retângulo e de um triângulo.
V = SB · H
V = ⋅ +
⋅


 ⋅3 4
4 1
2
6 ⇒ V = 14 · 6
V = 84 m3
A500.
Considerando-se que seja possível encher
totalmente a calha de água, temos um prisma
de base triangular.
V
sen
V V m
=
⋅ ⋅ °
⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =
0 2 0 2 120
2
3
0 02
3
2
3 0 03 3 3
, ,
, ,
V = S493. B · H
V = S · H ⇒ V = 6 · 9 ⇒
⇒ V = 54 cm3
5
43
43
7
494.
a) SB =
3 4
2
⋅
= 6 cm2
b) SL = 4 ­· 7 + 3 · 7 + 5 · 7 = 84 cm2
c) ST = 2SB + SL = 2 · 6 + 84 = 96 cm2
d) V = SB · H = 6 · 7 = 42 cm3
V = SB · H495.
V
sen
V V cm
=
⋅ ⋅ °
⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =
2 3 60
2
10
3
3
2
10 15 3 3
h
12
1010
66
496.
102 = h2 + 62 ⇒ h2 = 64 ⇒ h = 8 cm
S• B = 12
2
⋅ h = 6 · 8 = 48 cm2
S• L = 10 · 20 + 10 · 20 + 12 · 20 = 640 cm2
S• T = 2 · SB + SL = 2 · 48 + 640 =
= 96 + 640 = 736 cm2
V = S• B · H = 48 · 20 = 960 cm3
a497. )
3
4
h 55
4
3
10
52 = h2 + 32 ⇒ h = 4 cm

45. Resoluções 293
EM2D-11-34
3
2
2
2
3 3
70
50
501.
Vamos determinar o volume dos seis ca-
nais e descontar o volume hachurado.
V = 3 (2 · 70 · 1 + 30 · 50 · 1) – 9 · 2 · 3 · 1 ⇒
⇒ V = 3 · 290 – 54 ⇒ V = 870 – 54 ⇒
⇒ V = 816 m3
D502.
A área da base é igual à área da seção,
que, por sua vez, coincide com a área de um
trapézio retângulo.
V S H
V
B= ⋅
=
+( )⋅
⋅ = ⋅ =
3 1 20
2
15 40 15
= 600 m3 = 600.000 l
0,6
2
h 1
BA
D C
1
2
0,6
3,2503.
1 0 6
1
6
10
1
36
100
1
36
100
64
100
8
10
2 2 2
2
2
2
2
2
= +
= +




= +
= −
=
=
h
h
h
h
h
h
,
hh m= 0 8,
a) V S H
V
h
CG
V
V
V
B= ⋅
=
+( )⋅
⋅ ⇒
⇒ =
⋅
⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⇒
⇒ =
3 2 2
2
5 2 0 8
2
1 5
2 6 0 8 1 5
3
,
, ,
,
, , ,
,112 3m
V S H
V
h
CG
V
V
V
B= ⋅
=
+( )⋅
⋅ ⇒
⇒ =
⋅
⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⇒
⇒ =
3 2 2
2
5 2 0 8
2
1 5
2 6 0 8 1 5
3
,
, ,
,
, , ,
,112 3m
b) A área a ser pintada é dada pelo do-
bro das seguintes áreas:
trapézio ABCD•
trapézio EFGH•
retângulo BCGF•
retângulo AEHD•
retângulo ABEF•
Assim,
S = ⋅
+( )⋅
+
+( )⋅
+
+ ⋅ + ⋅ + ⋅










2
3 2 2 0 8
2
3 2 2 0 8
2
1 1 5 1 1 5 2 1 5
, , , ,
, , ,
⇒⇒
⇒ =S m20 32 2,
A504.
45º 45º
55
4
4
a
14
d
m
V
V
V V cm
=
= ⇒ = ⇒ =7 14
0 357 0 357
7 14
0 05 3,
, ,
,
,
Assim,
V S H
H
H
H H
B= ⋅
=
+( )⋅
⋅ ⇒
⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ = = =
0 05
14 4 5
2
0 05 45
0 05
45
5
100
45
1
20
45
,
,
, 11
900
cm
a)505. S cmB =
⋅
=
4 3
4
4 3
2
2
b) SL = 3 · 4 · 11 = 132 cm2
c) S S S
cm
T B L= ⋅ + = ⋅ + =
= + = +( )
2 2 4 3 132
8 3 132 4 2 3 33 2
d) V S H cmB= ⋅ = ⋅ =4 3 11 44 3 3

46. 294
Seja x a medida da aresta da base.506.
ST = 48 m2
2 · SB + SL = 48 ⇒
⇒ 2x2 + 20x – 48 = 0 ⇒
⇒ x2 + 10x – 24 = 0
Soma:
Produto:
S
P
= −
= −
−( )
10
24
12 2,
x = 2 m
Assim, o volume fica:
V = SB · H
V = x2 · 5 ⇒ V = 22 · 5 ⇒
⇒ V = 20 m3
S cm V cmT = +( ) =36 3 3 10 540 32 3;507.
Área total:
S S S
S
S
T B L
T
T
= + = ⋅ ⋅
⋅
+ ⋅ ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ + = + ⇒
⇒ =
2 2 6
6 3
4
6 6 10
12 9 3 360 108 3 360
36 3
2
33 10 2+( )cm
Volume:
V S H V
V V cm
B= ⋅ ⇒ = ⋅
⋅
⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =
6
6 3
4
10
6 9 3 10 540 3
2
3
D508.
a
h
a
a
E509.
Área da base:
S
Volume
V S H
B
B
= ⋅
⋅
=
= ⋅ = ⋅ =
6
2 3
4
6 3
6 3 2 12 3
2
:
2p = 21 cm
3a = 21 ⇒ a = 7 cm
SL = 105 cm2
3 · a · h = 105 ⇒
⇒ 3 · 7 · h = 105 ⇒
⇒ h =
105
21
⇒ h = 5 cm
D510.
V m
S H
a
a
a a
a
Assim
S
B
L
=
⋅ =
⋅
⋅
⋅ = ⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒
⇒ =
=
3
3
6
3
4
2 3 3 1
1
3
1
3
3
3
3
2
3
2
2
2
:
66
6
3
3
2
12 3
3
4 3 2
⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒
⇒ =
a h
S S
S m
L L
L
A511.
SL = 2 · SB
6 · a · h = 2
6 3
4
2
⋅
⋅ ⋅a
⇒
⇒ 6 · a · 4 · 3 = 3 · a2 · 3 ⇒
⇒ 24a = 3a2 ⇒ 8 = a ⇒ a = 8 cm2
I. S
a
S
S cm
B B
B
= ⋅
⋅
⇒ =
⋅ ⋅
⇒
⇒ =
6
3
4
6 8 3
4
96 3
2 2
2
II. V = SB · H = 96 3 · 4 3 ⇒
⇒ V = 96 · 3 · 4 ⇒ V = 1.152 cm3
III. 12 vértices
18 arestas
E512.
3
aa
a
S
a
a a m
B =
⋅
= ⇒
⇒ = ⇒ =
4 3
3
4
4 3
16 4
2
2

47. Resoluções 295
EM2D-11-34
Assim:
SL = 3 · a · h
SL = 3 · 4 · 3 ⇒ SL = 36 m2
V = SB · H ⇒ V = 4 3 · 3 ⇒
⇒ V = 12 3 m2
A513.
S S
a h
a
a
a
a a a
a
L B= ⋅
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
⋅
⇒
⇒ ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅
⇒
⇒ = ⇒ = ⇒
⇒
3
6 3 6
3
4
6 9
3 6 3
4
36 3 3 12 3
2
2
2
==
= ⋅ = ⋅
⋅
⋅ ⇒
= ⋅ ⋅ ⇒ =
12
3
6
3
4
9
6
4
144
3
9 3 648 3
2
3
cm
As
V S H
a
V V cm
B
sim:
A514.
V S H
V
V V cm
As
d
m
V
m
m g
B= ⋅
=
⋅
⇒
⇒ = ⋅ ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
5 4 3
4
25 3 75
7 8
75
585
2
3
sim:
,
E515.
SL = 6 · SB
4 · x · 15 = 6 · x2 ⇒
⇒ 60x = 6x2 ⇒ 10 = x
Volume de medicamento:
V =
3
4
· SB · H =
3
4
· 102 · 15 =
= 3 · 25 · 15 = 1.125 cm3 = 1.125 ml
Três doses durante seis dias totalizam 18
doses.
Assim:
18 · 50 = 900 ml
O medicamento será suficiente, restando
ainda 1.125 – 900 = 225 ml no recipiente.
D516.
Volume do prisma triangular regular:
V
a
hT = ⋅
2 3
4
Volume do prisma hexagonal regular:
V
a
h
A
V
V
a
h
a
h
H
T
H
= ⋅ ⋅
∴ =
⋅
⋅ ⋅
=
6
3
4
3
4
6
3
4
1
6
2
2
2
B517.
V S H mB= ⋅ =
⋅
⋅ =
2 3
4
2 2 3
2
3
E518.
Volume do recipiente, em dm3:
V = 7 · 4 · 5
V = 140 dm3
V = 140 l
Assim, serão necessários mais
140 – 60 = 80 l de água.
A519.
Capacidade da piscina, em dm3:
V = 120 · 60 · 30
V = 216.000 dm3
V = 216.000 l
Quantidade de água que ainda cabe na
piscina:
3
8
· 216.000 = 81.000 l
D520.
1
50
100
V = 100 · 50 · 1
V = 5.000 dm3
V = 5.000 l

48. 296
D521.
18 – 2x
x
x
x
x
x
x
x
x
18 – 2x
18 – 2x
x
18 – 2x
V = 400 cm3
(18 – 2x)(18 – 2x) · x = 400 ⇒
⇒ 2(9 – x) · 2(9 – x) · x = 400 ⇒
⇒ (9 – x)2 · x = 100 ⇒
⇒ (81 – 18x + x2) · x = 100 ⇒
⇒ x3 – 18x2 + 81x – 100 = 0
Sabemos que x = 4 é uma das raízes, então:
4 1 – 18 81 – 100
1 – 14 25 0
x2 – 14x + 25 = 0
D = (–14)2 – 4 · 1 · 25
D = 196 – 100 = 96
x
x
x
=
± ⋅
=
±
= ±
∴
= +
= −
14 6 16
2
14 4 6
2
14
2
4 6
2
7 2 6
7 2 6
1
2
Como 2x deve ser menor que 18, temos:
2x < 18
x < 9
Assim, 7 2 6−
B522.
60°
10 h
6
66
sen
h h
h cm
Assi
V S h cmB
60
10
3
2 10
5 3
6 3
4
5 3 9 5 3 135
2
 = ⇒ = ⇒
⇒ =
= ⋅ =
⋅
⋅ = ⋅ ⋅ =
m:
22
A523.
Note que os volumes são iguais:
40 · 10 · 14 = 20 · 10 · (40 – x) ⇒
⇒ 4 · 14 = 2 (40 – x) ⇒ 40 – x = 28 ⇒
⇒ x = 12 cm
A524.
1030º
30º
a
9
9
cos 30
9 3
2
9
18
3
 = ⇒ = ⇒
⇒ =
a a
a m
Quantidade de telhas necessária:
n a
n
= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ = ≅
2 10 20
400
18
3
7 200
1 7
4 235 3
.
,
. ,
O valor mais próximo é 4.080 telhas.
A G
CO
H
I
F x x
x
M
L
B
E J
6 m
D
525.
x x m=
⋅
⇒ =
6 3
2
3 3
Observe que OJ é altura do triângulo
equilátero OED e também é o lado do hexágo-
no GHIJLM.
a) S
S
S
= ⋅
⋅
− ⋅
⋅( )⇒
⇒ =
⋅
− ( )


 ⇒
⇒ = ⋅ −( ) ⇒
6
6 3
2
6
3 3 3
4
6 3
2
6 3 3
3 3
2
36 27
2
2
2
2
⇒⇒ = ⋅ ⇒S
3 3
2
9

49. Resoluções 297
EM2D-11-34
S
S
S
= ⋅
⋅
− ⋅
⋅( )⇒
⇒ =
⋅
− ( )


 ⇒
⇒ = ⋅ −( ) ⇒
6
6 3
2
6
3 3 3
4
6 3
2
6 3 3
3 3
2
36 27
2
2
2
2
⇒⇒ = ⋅ ⇒
⇒ = ⋅
S
S m
3 3
2
9
27 3
2
2
b) V S H
V
V
V m
B= ⋅
= ⋅
( ) ⋅
⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
⇒ =
6
3 3 3
4
2
3
2
9 3 2 3
81 3
2
3
C526.
Volume do prisma da figura II:
V
x x
x x
II =
⋅
⋅ = ⇒ = ⇒ =
3
3
4 2
3 8 2
2
3
Volume do sólido total:
V S H d
x
x x
V
B= ⋅ =
⋅
⋅ +



 =
= ⋅ ⋅ +



 ⇒
⇒ = ⋅
⋅
3 3
4
4
3
2
9 3
4
4
5
8
3
2
9 3
4
20 2
2
88
3 2
2
9 3
4
8 18 3+
⋅


 = ⋅ =
Volume do sólido da figura I:
VI = V – 3 VII ⇒
⇒ VI = 18 3 – 3 · 3 ⇒
⇒ VI = 15 3
A527.
A
B
2
x
x x
8
C
E
F
D
G
10
S
V = S · x,
em que S = 2 · 10 + 8 · x = 8x + 20
V = (8x + 20) x ⇒ V = 4x (2x + 5)
E528.
85°
35°60°
2
a
7
7 2 2 2 60
7 4 4
1
2
2 3 0
2
3
1 3
2 2 2
2
2
= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ⇒
⇒ = + − ⋅ ⇒
⇒ − − =
=
= −
−(
a a
a a
a a
S
P
cos
, )) ∴ =a m3
Assim, o volume fica:
V S H
sen
m
B= ⋅ =
⋅ ⋅
⋅ =
= ⋅ =
2 3 60
2
4
3 3
2
4 6 3 3
º
a)529. d = 4 2 cm
b) D = 4 3 cm
c) ST = 6 · 42 = 96 cm2
d) V = 43 = 64 cm3
V = 5530. 3
V = 125 dm3
V = 125 l
S531. T = 54 cm2
6 · a2 =54 ⇒ a = 3 cm ⇒ a = 0,3 dm
V = a3 = (0,3)3 =
3
10
27
1 000
3
3


 =
.
dm ⇒
⇒ V = 0,027 l
D = 6532. 3
a 3 = 6 3
a = 6 cm
ST = 6a2 = 6 · 62 = 63 = 216 cm2
E533.
2 m
2 m
2 m

50. 298
A área total do cubo é dada por:
AT = 6 · Ab ⇒ AT = 6 · a2 ⇒
⇒ AT = 6 · 22 ⇒ AT = 24 m2
B534.
A = 6a2 ⇒ 6a2 = 72 ⇒ a2 = 12 ⇒
⇒ a = 2 3
D a D D= ⇒ = ⋅ ⇒ =3 2 3 3 6 m
C535.
E540.
B
B'
a
aaA
No desenho destacado:
AB’2 = (2a)2 + a2
AB’2 = 5a2
AB’ = a 5
a)541. ST = 2(3 · 7 + 3 · 10 + 7 · 10) =
= 2 · (21 + 30 + 70) ⇒
⇒ ST = 2 · 121 = 242 cm2
b) V = 3 · 7 · 10 = 210 cm3
c) D
cm
= + + = + + =
=
3 7 10 9 49 100
158
2 2 2
542.
5 dm
3 m = 30 dm
80 cm = 8 dm
V = 8 · 5 · 30
V = 1.200 dm3
V = 1.200 l
B543.
6 · 15 · 20 = 8 · 15 · a ⇒
⇒ 6 · 20 = 8 · a ⇒ 8a = 120 ⇒
⇒ a = 15 cm
C544.
D
D cm
= + + = + + = ⇒
⇒ = ⋅ =
5 9 12 25 81 144 250
25 10 5 10
2 2 2
a
a
a
12 60 5
3 5 3
·a a m
D a D m
= ⇒ =
= ⇒ =
A536.
�
3 3
33 12
4
V 4.096.000
V 4.096 m L 4.096
L 2 L 16 m
=
= ⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ =
E537.
216 = 63 cubos como o da figura I.
Assim, temos 6 camadas de cubinhos de
aresta 5 cm.
x = 6 · 5 = 30 cm = 0,3 m
A538.
Observando atentamente, marcamos a
alternativa A.
C539.
Considere na figura uma representação
da nova montagem do cubo:
A
B
F
E
C
D
Logo, a face oposta à face é a face D.

51. Resoluções 299
EM2D-11-34
D545.
A razão pela qual esse tanque recebe
água é:
3 3 10
5
18 3⋅ ⋅
= m hora/
D546.
18 dm = 1,8 m
0,15 m
90 cm = 0,9 m
Note que o volume da pessoa é igual ao
volume de água deslocado.
V = 0,9 · 1,8 · 0,15 = 0,243 m3
B547.
40 cm = 4 dm
30 cm = 3 dm
60 cm = 6 dm
�
6 3 4
V 5 36 5 V 41
2
⋅ ⋅
= + = + ⇒ =
C548.
a + 0,2 dm
a
30 cm = 3 dm
V ≥ 3,6 d
3 · a · (a + 0,2) ≥ 3,6 ⇒
⇒ a(a + 0,2) ≥ 1,2 ⇒
⇒ 10 a (a + 0,2) ≥ 12
No mínimo, a menor aresta medirá:
10a (a + 0,2) = 12 ⇒
⇒ 10 a2 + 2a – 12 = 0 ⇒
⇒ 5a2 + a – 6 = 0
∆ = 12 – 4 · 5 (–6) = 121
1 121
a
2 5
− ±
= ⇒
⋅
a
1
2
1 11 10
a 1
1 11 10 10
10
− +
= = =
− ±
1 11 12
10 10
−− não
convém
 
  
a
= =
∴ a menor aresta mede 1 dm = 10 cm.
C549.
3 m
20 m
10 m
Galpão
• 1 lata → 80 m2
• área de um piso → 1.600 cm2
• tijolo → 10
20
I. Quantidade x de pisos no chão:
x =
⋅
= =
10 20
0 16
200
0 16
1 250
, ,
.
II. Quantidade y de tijolos nas paredes:
y =
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
⋅
=
+
=
= =
2 10 3 2 20 3
0 1 0 2
60 120
0 02
180
0 02
9 000
, , ,
,
.
III. Quantidade z de latas de tinta nas
paredes (dentro e fora):
z =
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
=
=
+
= =
4 10 3 4 20 3
80
120 240
80
360
80
4 5,
A550.
• VI = 103 ⇒ • VII = 40 · 10 · 12 ⇒
⇒ VI = 1.000 cm3 ⇒ VII = 4.800 cm3
A água ocupará 1.000 cm3 no vasilhame
II, que possui 4.800 cm3 de capacidade. Assim,
temos:
1 000
4 800
10
48
5
24
0 2083 20 8
.
.
, , %= = ≅ ou

52. 300
E551.
x
20 dm
10 dm
V = 360 l
20 · 10 x = 360 ⇒ x = 1,8 dm ⇒
⇒ x = 18 cm
A552.
V = 30 · 40 · 20
V = 24.000 dm3
V = 24.000 l
Gasto médio por apartamento
G = =
24 000
10
2 400
.
. l
4
4
A
B
x
553.
x2 = 42 + 42 = 2 · 42 ⇒
⇒ x = 4 2 cm
a)554. V = 27 cm3
a3 = 27 ⇒ a = 3 cm
b)
C
BA 2
3x
x2 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13 ⇒ x = 13 cm
c)
B 3A 2
y
D
3
5
y2 = 52 + 32 = 25 + 9 = 34 ⇒
⇒ y = 34 cm
d)
B
3
A 2
z
E
z2 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13 ⇒
⇒ z = 13 cm
e)
β
3
A 2
t 3
F
3 2
t2 = 22 + (3 2)2 = 4 + 9 · 2 ⇒
t2 = 4 + 18 = t2 = 22 ⇒
⇒ t = 22 cm
a)555. ST = 96 cm2
6 · a2 = 96 ⇒ a2 = 16 ⇒ a = 4 cm
b) A
B
C
4
4
3
x
4 2

53. Resoluções 301
EM2D-11-34
x2 = 32 + (4 2 )2 ⇒
⇒ x2 = 9 + 42 · 22 ⇒
⇒ x2 = 9 + 32 = 41 ⇒
⇒ x = 41 cm
c) A
D
4
3
4
4
4
4 2
y 7
y2 = 72 + (4 2)2 ⇒
⇒ y2 = 49 + 16 · 2 ⇒
⇒ y2 = 49 + 32 ⇒
⇒ y2 = 81 ⇒ y = 9 cm
C556.
A
a
P
E F
Q
G
a
a
a
x
y
aa 2
x2 = a2 + a2 = 2a2 ⇒ x = a 2
y2 = (2a)2 + (a 2 )2 ⇒ y2 = 4a2 + 2a2 = 6a2 ⇒
⇒ y = a 6
B557.
A
C
B
4
4
4
4 2
S SABC ABC∆ ∆=
⋅
⇒ =
4 4 2
2
8 2
C558.
A a
a
C
B
E
H
DM
G
F
a
2
x
a 2
2
x
a a
x
a a a
x
a
2
2 2
2
2 2 2
2
2
2
4
2
4
3
4
3
2
=



 +





 ⇒
⇒ = + = ⇒ =
559.
A
C
B
E
H
D
M
N
RP
10
G
F
Sejam N o ponto de intersecção das dia-
gonais do cubo, M o encontro das diagonais do
retângulo ABCD e R o ponto médio do lado AB.
Queremos calcular a medida do segmento NP.
Temos que PR = 10 cm e MR = 20 cm.
O triângulo MPR é retângulo. Logo,
MP2 = PR2 + RM2 = 100 + 400 = 500
O triângulo NMP também é retângulo.
Portanto, NP2 = MP2 + MN2 ⇔
⇔ NP2 = 900 + 400 ⇒ NP2 = 900 ⇒
⇒ NP = 30 cm
(a + b + c)560. 2 = D2 + ST
102 = D2 + 62 ⇒
⇒ D2 = 100 – 62 ⇒
⇒ D2 = 28 ⇒
⇒ D = 28 ⇒
⇒ D = 2 7 cm

54. 302
B561.
a
a
a
a
c
c
c
c
bb
b b
4a + 4b + 4c = 140 ⇒
⇒ a + b + c = 35 ⇒
(a + b + c)2 = D2 + ST
352 = 212 + ST ⇒
⇒ ST = 352 – 212 ⇒
⇒ ST = (35 + 21) · (35 – 21) ⇒
⇒ ST = 56 · 14 ⇒
⇒ ST = 784 cm2
C562.
4 dm
I
VI = 43 = 64 dm3 = 64 l
SI = 5 · 42 = 5 ·16 = 80 dm2
2 dm
II
VII = 23 = 8 dm3 = 8 l
SII = 5 · 22 = 5 · 4 = 20 dm2
Assim, I supera II em 64 l – 8 l = 56 l
e 80 – 20 = 60 dm2.
B563.
0,8 m = 8 dm
1 m = 10 dm
=x a 3
a
a
a
D = a 3 = x
300 l ________ 15 minutos
8 · 10 · x ________ 34
80 x · 15 = 300 · 34 ⇒
⇒ m=
⋅
⋅
=
⋅
= = =
300 34
15
2 34
8
34
4
17
2
8 5,
80
Assim:
0,85 = a 3 ⇒ 0,85 = a · 1,7 ⇒
⇒ a =
0 85
1 7
,
,
⇒ a = 0,5 m
D564.
1,5
a
b
b
c
2
a
c
3
a b
b c
a b
⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ =





1 5 36
2 36
3 36
,
Multiplicando-se as equações, vem:
a2 · b2 · c2 · 9 = 36 · 36 · 36 ⇒
⇒ a2b2c2 = 4 · 36 · 36 ⇒
⇒ (abc)2 = 4 · 36 · 36 ⇒
⇒ abc = 4 36 36⋅ ⋅ ⇒
⇒ abc = 2 · 6 · 6 ⇒
⇒ V = 72 l
a
a
a
a 2
a 3
565.
D d
a a a a
a a cm
= + ⇒
⇒ = + ⇒ − = ⇒
⇒ −( )= ⇒ =
−
2
3 2 2 3 2 2
3 2 2
2
3 2

55. Resoluções 303
EM2D-11-34
566.
2
2
2 3
3
3
2 3
3 3
Assim, sendo x esse aumento, temos:
2 3 3 3 3 3 2 3
3
+ = ⇒ = − ⇒
⇒ =
x x
x cm
S567. T = 600 cm2 ⇒
⇒ 6a2 = 600 ⇒ a2 = 100 ⇒ a = 10 cm ⇒
V = a3 ⇒ V = 103 ⇒ V = 1.000 cm3
Seja A o vértice e C o centro de uma das568.
faces opostas.
A D
B
C
2a
60
a
a
a
NO ∆ABD, temos:
A D
B
2a
x
a
x2 = (2a)2 + a2 = 4a2 + a2 = 5a2 ⇒
⇒ x = a 5
No ∆ABC, temos:
A
B
C
60 a
a 5
60 = a2 + (a 5)2 ⇒
⇒ 3.600 = a2 + 5a2 ⇒ 6 a2 = 3.600 ⇒
⇒ a2 = 600 ⇒ a = 10 6 cm
∴ a aresta desse cubo mede 2a = 20 6 cm
e seu volume vale:
V = a3 = (20 6)3 = 203 · 63 = 8.000 · 6 6 ⇒
⇒ V = 4.800 6 cm3
Se o cubo e o paralelepípedo são equiva-569.
lentes, então eles possuem mesmo volume.
Vcubo = Vparalelepípedo
a3 = 8 · 64 · 216
a
a
a
a
a cm
= ⋅ ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⇒
⇒ =
8 64 216
8 64 36 6
8 64 6
2 4 6
48
3
3
3 3 33
D570.
a
a · b
a · c
b · c
b
c
ab
ac
bc
a b c
abc
V
V
=
=
=





⇒
⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⇒
⇒
6
9
24
6 9 24
6 9 6 4
6 3 2
2 2 2
== 36 3cm
571.
a
a
a
a 2
a 3
d a a
d
a
d
D a D
d
D
d
= ⇒ = ⋅ ⇒
⇒ =
= ⇒ = ⋅ ⇒
⇒ =
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
6
2

56. 304
• = ⇒
⇒ = ⇒
⇒
⋅
=
⇒ =
D a
a
a
a
3
6 3
2 3
3
2
572. • = ⇒
⇒ = ⇒
⇒ = ⋅ ⇒
⇒ =
V a
V
V
V cm
3
3
2
3
2
2 2
2 2
• = ⇒
⇒ = ⇒
⇒ =
D cm
a
a cm
1
3 1
1
3
573.
• = ⇒
⇒ = ⋅ = ⋅ = ⇒
⇒ =
S a
S
S cm
T
T
T
6
6
1
3
6
1
3
6
3
2
2
2
2
C574.
a
a
a a + 1
a + 1
a + 1
S aL1
4 2=
S aL2
4 1
2
= +( )
Assim, de acordo com o texto:
4(a + 1)2 = 4a2 + 164 ⇒
⇒ (a + 1)2 = a2 + 41 ⇒
⇒ a2 + 2a + 1 = a2 + 41 ⇒
⇒ 2a = 40 ⇒ a = 20 m
V = a3 ⇒ V = 203 ⇒ V = 8.000 m3
a
a
b
6
575.
• =
+ + = ⇒ + =
D m
a a b a b
6
6 2 62 2 2 2 2
e
• ST = 10 m2
2(a · a + a · b + a · b) = 10 ⇒
⇒ a2 + 2ab = 5
Veja as opções para a e b inteiros:
a = 1 e b = 2
2a2 + b2 = 6 ⇒
⇒ 2 · 12 + 22 = 6 ⇒
⇒ 6 = 6
e
a2 + 2ab = 5 ⇒
⇒ 12 + 2 · 1 · 2 = 5 ⇒
⇒ 5 = 5
Assim, as dimensões são 1 m, 1 m e 2 m.
V = 1 · 1 · 2 ⇒
⇒ V = 2 m3
A576.
a c
a a
a b
Seja a dimensão b 25% menor que a ares-
ta a do cubo. Assim:
b a b
a
= ⋅ ⇒ =75
3
4
%
Sabemos que os dois volumes são iguais.
Então:
a a b c a a
a
c
c
a
3 3 3
4
4
3
= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒
⇒ =
· ·
Assim, a diferença entre as áreas totais
do sólido novo (paralelepípedo) e do cubo é:
D
a a a
a
a
a a D
a
= ⋅ + ⋅ + ⋅



 − ⇒ =2
3
4
4
3
3
4
4
3
6
6
2
2