Poliedros 2.pptx

POLIEDROS:
CLASSIFICAÇÃO E REPRESENTAÇÕES
1

POLIEDROS
2
Nas nossas atividades de todos os dias, em todos os lugares por onde
andamos, podemos observar com frequência a presença de poliedros. São
presença certa em áreas como Arquitetura, Engenharia, Transportes, ou até
mesmo dentro da nossa própria casa. Vejamos alguns exemplos:
A caixa de sapatos
que alguém da sua
casa insiste em deixar
fora do lugar !
Imagem: How can I recycle this / Creative
Commons Attribution 2.0 Generic

3
Os dados que você e
seus amigos jogam
naquela partidinha de
ludo, gamão ou em
jogos de RPG.
POLIEDROS
Imagem: Copat / Public Domain

4
Ou até mesmo as famosas
Pirâmides de Gizéh (dos
Faraós Quéops, Quéfren e
Miquerinos), que ocupam
uma área de 129.000 metros
quadrados.
POLIEDROS
Imagem: Sebi / Public Domain

MATEMÁTICA, 2ª Série
Poliedros: classificação e representações
5
POLIEDROS
Agora, vamos pensar no seguinte:
O que todos eles têm em
comum ?????
Imagem: How can I recycle this / Creative
Commons Attribution 2.0 Generic
Imagem: Copat / Public Domain Imagem: Sebi / Public Domain

6
• Possuem superfícies externas na
forma de polígonos (triângulos,
quadrados ou retângulos). A elas
damos o nome de faces. Com
um detalhe: algumas delas
recebem um nome especial, que
são as bases (nos que têm duas
bases), pois alguns deles têm
apenas uma, como as
pirâmides;
Vértice
Aresta
Face
Base
Vamos ver:
Base
• Possuem segmentos de reta que são os
encontros de duas faces. São as arestas;
• Possuem pontos que são o encontro de três
ou mais arestas. São as vértices.
POLIEDROS
Imagem: Pumbaa80 / Public Domain

7
A diferença nas
pirâmides é uma só !!
Observe:
Base
Elas possuem
apenas uma base !
Vértice
E o vértice superior é
um só e dele partem
todas as arestas
laterais !!
POLIEDROS
Imagem: Crimson Cherry Blossom / Public Domain

Poliedro
Planificação
Nº de faces
Nome
8
POLIEDROS
Agora vamos classificar os poliedros. Isso é feito de modo parecido com as
denominações do polígonos, que recebem o nome de acordo com um número
de lados, enquanto os poliedros recebem o nome de acordo com um número
de faces que possuem. Vamos aos nomes dos principais deles:
4
tetraedro
6
hexaedro
8
octaedro
12
dodecaedro
20
icosaedro
Imagens a,b,c,d,e: DTE / GNU Free Documentation License
Imagens f, g, h, i, j: Júlio Reis / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported

9
POLIEDROS
A B
C D
Destacando a face frontal ABCD, podemos perceber
facilmente que o plano que a contém, divide o espaço
em duas regiões (semi-espaços), de maneira que todo
o restante do cubo está em um destes semi-espaços.
Quando isso acontece, dizemos que o poliedro é
convexo.
Agora vamos diferenciar poliedros convexos e não convexos, observando o cubo
abaixo:

10
POLIEDROS
Agora vamos diferenciar poliedros convexos e não convexos, observando o
poliedro abaixo:
A face definida pelos pontos I, J, L
e M, define também um plano que
“divide” o poliedro em duas
regiões, cada uma delas
localizada em um semi-espaço
diferente, ou seja, cada um dos
semi-espaços definidos pelo plano
de IJLM, que contém uma
“porção” do poliedro. Logo, ele é
dito não convexo.
Porção do
poliedro em
um dos semi-
espaços
Porção do
poliedro no
outro semi-
espaço
Face que
define o
plano que
separa as
porções do
poliedro
Imagens: SEE-PE,
redesenhado a partir de
imagem de Autor
Desconhecido.

Poliedro
Nº de faces
Nº de arestas
Nº de vértices
11
POLIEDROS
4
tetraedro
6
hexaedro octaedro
12
dodecaedro icosaedro
12
8
12
6
4 20
30 30
8
6 12
20
Vamos rever o quadro dos principais poliedros e acrescentar nele informações do
tipo: quantas arestas e quantos vértices têm cada um deles.

Poliedro
Nº de
vértices
(V)
Nº de
faces
(F)
Nº de
arestas
(A)
V + F = A + 2
TETRAEDRO 4 4 6 4 + 4 = 6 + 2
HEXAEDRO 8 6 12 8 + 6 = 12 + 2
OCTAEDRO 6 8 12 6 + 8 = 12 +2
DODECAEDRO 20 12 30 20 + 12 = 30 + 2
ICOSAEDRO 12 20 30 12 + 20 = 30 + 2
12
POLIEDROS
Percebeu alguma
regularidade nos
números do
quadro anterior??
Vamos ver alguns
detalhes do quadro
novamente ??
Observe que em todos
os poliedros a soma do
número de vértice mais
o de faces é igual a
soma do número de
arestas mais 2
Imagem: Emanuel Handmann / United
States Public Domain

13
POLIEDROS
É uma relação que
existem em todos os
poliedros convexos...
... e recebe o nome de
Relação de Euler, em
homenagem a mim...
A propósito, meu nome
é Leonhard Paul Euler.
Nasci em São
Petersburgo, em 1707.
Desenvolvi trabalhos em
áreas como a Física,
Filosofia e Matemática.

14
POLIEDROS
Agora, então, vamos
definir a Relação de
Euler para que você
possa utilizá-la...
Observe ao lado a fórmula
que relaciona vértices ,
faces e arestas de um
poliedro convexo...
A partir de agora, você
poderá encontrar
informações sobre os
poliedros, relacionando
estes dados
V + F = A + 2

15
POLIEDROS
Soma dos Ângulos das Faces de um Poliedro Convexo:
Consideremos um poliedro convexo com 2 faces pentagonais e 5 faces
quadrangulares (figura abaixo), que possui 10 vértices. Para calcular a soma dos
ângulos de suas faces, basta lembrar que a soma S1 dos ângulos internos de um
polígono convexo de n lados é dada pela relação:
S1 = (n – 2).180º
A soma dos ângulos de uma face quadrangular é dada por:
S1 = (4 – 2).180º = 2 . 180º = 360º
Como são 5 faces, temos: 5 . 360º = 1.800º (SA)
A soma dos ângulos de uma face pentagonal é dada por:
S1 = (5 – 2).180º = 3 . 180º = 540º
Como são 2 faces, temos: 2 . 540º = 1.080º (SB)
Imagem: SEE-PE,
redesenhado a partir de
imagem de Autor
Desconhecido.

16
POLIEDROS
Sendo assim, a soma S dos ângulos das faces deste poliedros será dada por:
S = SA + SB = 1.800º + 1.080º = 2.880º
O que é equivalente a termos este valor dado pelo produto entre o número de
vértices do poliedro menos 2, multiplicado por 360º. Observe:
S = (V – 2).360º
S = (10 – 2).360º = 8 . 360º = 2.880º
Na tela anterior, vimos que o poliedro em questão tem 10 vértices. Logo:

17
POLIEDROS
Para concluir nosso estudo
sobre poliedros, sua
classificação e suas
representações, passo a
“bola” para um cara que é
“fera”...
... Fala aí, Platão...
E isso aí, Euler. Vamos
concluir falando sobre os
Poliedros Regulares e os
meus poliedros, ou seja, os
Poliedros de Platão...
Vamos lá, pessoal...
Imagem: Autor desconhecido / United States Public Domain

18
POLIEDROS
Bom... mas antes vou falar
um pouco de mim. Sou
grego, nasci em 427 a.C.
Desenvolvi trabalhos nas
áreas da Filosofia e da
Matemática...
Mas minha paixão
declarada era realmente a
Geometria...
A paixão de Platão pela matemática era tanta que, às
portas de sua escola, ele mantinha a seguinte inscrição,
em destaque:
όποιος αγνοεί την γεωμετρία εισάγετε εδώ
Que ninguém que ignore a Geometria entre aqui
Imagem: Autor
desconhecido / United

19
POLIEDROS
Poliedros de Platão:
Um Poliedro para ser de Platão, tem que possuir as seguintes características :
I. Todas as faces têm que ter o mesmo números de arestas;
II. Todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas;
Bom, Velhinho! Vamos antes
definir o que é um ângulo
poliédrico, ok ?
III. É válida a Relação de Euler.

20
POLIEDROS
Sejam n (n  3) semirretas de mesma origem tais que nunca fiquem três
num mesmo semiplano. Essas semirretas determinam n ângulos em que
o plano de cada um deixa as outras semirretas em um mesmo semi-
espaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.
Hehe... Eu sei que
eu sou um gênio,
mas vamos falar
isso de um jeito
mais simples...
...um ângulo
poliédrico em um
poliedro é a mesma
coisa que um “bico”,
onde chega uma certa
quantidade de
arestas...
... É moleza, não é
pessoal ??
...todos os vértices na
verdade são ângulos
poliédricos...
... Apenas seu nome
muda de acordo com o
número de arestas que
chegam nele...
... Vamos ver isso
novamente daqui a
pouco nos Poliedros
de Platão !
Imagem:
SEE-PE,
redesenhado
a
partir
de
imagem
de
Autor
Desconhecido.

21
POLIEDROS
ATENÇÃO:
Com o objetivo de facilitar a compreensão e a
visualização, os Poliedros que utilizamos até aqui
são todos de Platão e Regulares. Vamos agora ver
mais algumas características a respeito deles, o que
os faz serem por isso de Platão ou Regulares.
Obedecendo as condições necessárias citadas agora, temos apenas cinco
classes de Poliedros ditos de Platão. Vamos vê-los:

22
POLIEDROS
Poliedros de Platão
NOME FACES (F) VÉRTICES (V) ARESTAS
(A)
Nº de
arestas por
face (n)
Nº de arestas
por vértice
(m)
Tetraedro 4 4 6 3 3
Hexaedro 6 8 12 4 3
Octaedro 8 6 12 3 4
Dodecaedro 12 20 30 5 3
Icosaedro 20 12 30 3 5
O número de arestas por vértice denomina o ângulo poliédrico,
ou seja, se chegam 3 arestas por vértice o ângulo é triédrico, e
assim sucessivamente.

23
POLIEDROS
Poliedros de Platão
NOME FACES (F) VÉRTICES (V) ARESTAS
(A)
Nº de
arestas por
face (n)
Nº de arestas
por vértice
(m)
Tetraedro 4 4 6 3 (triângulos) 3
Hexaedro 6 8 12 4
(quadriláteros)
3
Octaedro 8 6 12 3 (triângulos) 4
Dodecaedro 12 20 30 5 (pentágonos) 3
Icosaedro 20 12 30 3 (triângulos) 5
O número de arestas por face determina que tipo de
região poligonal cada poliedro tem. Observe... Voltar ao slide 24
Só apertar quando passar
pelo slide 24

24
POLIEDROS
Beleza... mas me diz uma coisa:
porque as faces dos poliedros que
estamos estudando tem que ser nas
formas desses polígonos aí ????
Imagem: LadyofHats / Public Domain

25
Cada ângulo poliédrico (constituído por
todas as faces que convergem num vértice)
terá de ter menos de 360 graus. Por outro
lado, cada um desses ângulos terá de ter
pelo menos 3 faces (que corresponde a 3
regiões poligonais). Logo, as faces só
podem ser triângulos (ângulos internos
iguais a 60º), quadrados (ângulos internos
iguais a 90º) e pentágonos (ângulos internos
iguais a 108º).
Com Hexágonos regulares isso não seria
possível, pois seus ângulos internos medem
120º e 120º 3 vezes dá 360º !!!
POLIEDROS
Muito boa esta !
Mas vamos as explicações...
Imagem: LadyofHats / Creative
Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported

26
POLIEDROS
Vamos analisar cada caso
individualmente...
Com triângulos equiláteros:
Como cada ângulo interno é de 60º, pode existir em cada vértice 3, 4 ou 5
triângulos, totalizando em cada ângulo poliédrico 180º, 240º ou 300º,
respectivamente. Logo:
3 triângulos em cada vértice acontecem nos tetraedros.
4 triângulos em cada vértice acontecem nos octaedros.
5 triângulos em cada vértice acontecem nos icosaedros.
Com quadrados:
Como cada ângulo interno mede 90º, só podem existir em cada vértice 3
quadrados, totalizando em cada ângulo poliédrido 270º. Logo, 3
quadrados em cada vértice acontecem-se nos cubos.
Com pentágonos:
Como cada ângulo interno mede 108º, que só podem existir em cada
vértice 3 pentágonos, totalizando em cada ângulo poliédrico 324º. Logo, 3
pentágonos em cada vértice são encontrados nos dodecaedros.
Use este botão para observar esta relação.
Imagem:
LadyofHats
/
Creative
Commons
Attribution-Share
Alike
3.0
Unported

27
POLIEDROS
Outro detalhe importante: o
poliedro para ser de Platão
não precisa ser Regular...
Observe abaixo:
Dodecaedro Regular Dodecaedro Irregular
Apesar de um ter faces
regulares e o outro não, em
ambas são válidas as
características exigidas...
Imagem: LadyofHats / Public Domain Imagem: Pearson Scott Foresman / Public Domain
Imagens: DTE / GNU Free Documentation License

28
POLIEDROS
As condições para um Poliedro ser regular são bem específicas:
Poliedros Regulares:
I. Todas as faces são regiões poligonais regulares (polígonos regulares)
e congruentes entre si;
II. Todos os seus ângulos poliédricos também são congruentes entre si.
Propriedade:
Todo Poliedro Regular é também Poliedro de Platão.
É??...
Mas por quê ??

29
POLIEDROS
Vamos ver:
Tomemos como exemplo o hexaedro regular:
Agora, vamos analisar suas características:
I. Todas as faces do hexaedro regular (ou cubo) são quadrados, isto é,
regiões poligonais regulares e congruentes entre si;
II. Todas os ângulos poliédricos são triédricos (têm o mesmo número de
arestas), sendo, portanto, congruentes entre si;
III. A Relação de Euler vale para o hexaedro regular.
Logo, o Hexaedro, além de Regular, é também de Platão, bem como todos
os outros poliedros regulares.
A B
C D

30
POLIEDROS
Devido exatamente as condições semelhantes que acabamos de ver, as
classes dos poliedros regulares são as mesmas dos poliedros de Platão:

31
POLIEDROS
Bom, pessoal... Depois de todas estas
informações, tá na hora de nós exercitarmos
o que aprendemos. Vamos a algumas
atividades ???? Vou ajudar vocês...

32
POLIEDROS
Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o de vértices é 12. Qual o
número de arestas deste poliedro ??
1ª Questão:
Resolução:
Utilizando a Relação de Euler, válida para todo poliedro convexo, temos:
V + F = A + 2  12 + 8 = A + 2  A + 2 = 20  A = 20 – 2  A = 18
Sendo assim, o poliedro tem 18 arestas.
Um poliedro convexo é constituído por 6 arestas e o seu número de vértices
é igual ao de faces. Quantos vértices ele possui??
2ª Questão:
Resolução:
Também utilizando a Relação de Euler, e a partir dos dados do problema
(A = 6 e V = F), temos:
V + F = A + 2  V + V = 6 + 2  2V = 8  V = 4
Logo, o poliedro tem 4 vértices.

Imagem: Emanuel
Handmann / United
States Public
Domain
33
POLIEDROS
E aí, pessoal ?? Fácil,
né mesmo ???
Vamos em frente ??
Dá uma olhada nestes
agora...
Imagem: Autor
desconhecido / United

34
POLIEDROS
Um poliedro convexo tem 6 faces quadrangulares e 2 hexagonais. Qual o
número de vértices deste poliedro ?
3ª Questão:
Resolução:
Inicialmente devemos calcular o número de arestas. Assim, teremos:
• Nas 6 faces quadrangulares: 6 x 4 = 24 arestas.
• Nas 2 faces hexagonais: 2 x 6 = 12 arestas.
O total de faces do poliedro é : 6 + 2 = 8 faces.
Porém, como cada aresta é o encontro (interseção) de duas faces, cada
uma delas acima foi contada duas vezes. Sendo assim, temos:
• 2 A = 24 + 12  2 A = 36  A = 18 arestas.
Agora, vamos aplicar a Relação de Euler:
V + F = A + 2  V + 8 = 18 + 2  V + 8 = 20  V = 20 – 8  V = 12 vértices.
Sendo assim, o poliedro tem um total de 12 vértices.

35
POLIEDROS
(UFPE) O poliedro convexo que inspirou a bola de futebol é formado de faces
regulares pentagonais e hexagonais. O número total de vértices é 60 e o de
arestas é 90. Quantas são as faces hexagonais ?
4ª Questão:
Resolução:
Vamos chamar as faces pentagonais de x e as faces hexagonais de y. Assim,
o total de faces será dado pela relação: F = x + y.
O número de arestas é 90, segundo o problema. Porém, ser formos calcular
a partir dos dados acima, teríamos: 5 x + 6 y.
Porém, desta forma, cada uma delas é contada duas vezes, a realção correta
é: 2 A = 5 x + 6 y. Logo, 5 x + 6 y = 180 (Equação 1).
Lançando as informações básicas na Relação de Euler, temos:
V + F = A + 2  60 + x + y = 90 + 2  x + y = 92 – 60  x + y = 32 (Equação 2).
As Equações 1 e 2 forma um sistema de equações cuja solução é:
x = 12 e y = 20.
Como queremos o número de faces hexagonais, dado por y, então a
resposta do problema é: O poliedro tem 20 faces hexagonais.

36
POLIEDROS
Um poliedro convexo é constituído por 6 ângulos triédricos e 4 ângulos
tetraédricos. Quantas arestas possui o poliedro ?
5ª Questão:
Resolução:
Nos ângulos triédricos chegam 3 arestas. Logo: 6 x 3 = 18 arestas.
Nos ângulo tetraédricos chegam 4 arestas. Logo: 4 x 4 = 16 arestas.
Como elas são contadas duas vezes, temos a relação:
2 A = 18 + 16  2 A = 34  A = 17
Logo, o poliedro tem 17 arestas.
Um poliedro convexo é constituído por 12 vértices. E de cada vértice partem
5 arestas. Quantas faces possui o poliedro?
6ª Questão:
Resolução:
Como de cada vértice partem 5 arestas, temos então ângulos pentaédricos. Assim, o
número total de arestas é, em dobro:
2 A = 12 x 5  2 A = 60  A = 30.
Sendo o número de vértice igual a 12 (V = 12), vamos lançar os dados na Relação de
Euler. Logo, teremos: V + F = A + 2  12 + F = 30 + 2  F = 32 – 12  F = 20.
Logo, o número de faces do poliedro é 20.

37
7. Qual a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo constituído por 11 faces e 27
arestas ?
Agora é com vocês...
Tentem até
conseguirem, ok?? EXERCÍCIOS:
1. Um dodecaedro convexo possui todas as faces pentagonais. Quantas arestas possui este
poliedro ?
2. Um octaedro convexo possui todas as faces triangulares. Qual o número de arestas deste
poliedro?
3. Um poliedro convexo é constituído por 20 ângulos triédricos. Quantas arestas possui o poliedro ?
4. Um poliedro convexo constituído por 5 ângulos tetraédricos e 2 ângulos pentaédricos. Determine
o número de arestas deste poliedro.
5. Uma bola de futebol é formada por 20 faces hexagonais e 12 faces pentagonais, todas com lados
congruentes. Para costurar duas faces adjacentes, gastam-se 15 cm de linha. Quantos metros de
linha são necessários para costurar todas as faces lado a lado ?
6. Calcule a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo constituído por 6 vértices.
8. (Fuvest – SP) Quantas faces tem um poliedro convexo com 6 vértices e 9 arestas?

38
Os centros das faces de um hexaedro regular (cubo) de aresta 10cm são
vértices de um octaedro regular. Calcule a medida da aresta desse octaedro e
a razão entre as áreas das superfícies desse octaedro e desse hexaedro,
nessa ordem.
14. Qual é a soma dos ângulos das faces do poliedro convexo ao lado ?
9. O número de arestas de octaedro convexo é o dobro do número de vértices. Quantas arestas
possui este poliedro?
10. O número de faces de um poliedro convexo é igual ao número de vértices. Sabendo que esse
poliedro é constituído por 10 arestas, determine o seu número de vértices.
11. (UFPE) Um poliedro convexo possui 10 faces com 3 lados, 10 faces com 4 lados e 1 face com 10
lados. Determine o número de vértices desse poliedro.
12. (UFRGS) Um poliedro convexo de 11 faces tem 6 delas triangulares e 5 quadrangulares. Os
números de arestas e vértices deste poliedro são, respectivamente:
a) 34 e 10. b) 19 e 10. c) 34 e 20. d) 12 e 10. e) 19 e 12
13. (Cefet – RJ) Um poliedro convexo de 17 arestas e 12 vértices tem somente faces
quadrangulares e heptagonais. Os números de faces quadrangulares e heptagonais são,
respectivamente, iguais a:
a) 5 e 2. b) 2 e 5. c) 3 e 4. d) 4 e 3. e) 4 e 7.
Imagem: SEE-PE
Imagem:
SEE-PE

39
POLIEDROS
E o DESAFIO??
Bem legal, não é
mesmo ??
O que achou dos
exercícios ??
Resolveu todos ??
Se um ou outro for
mais difícil, peça ajuda
ao professor...
Você vai ver que vale a
pena tentar. O gostinho
de conseguir é legal !!
Bons estudos a
todos !!
Imagem: Autor desconhecido /
United States Public Domain
Imagem: LadyofHats / Creative
Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported

É um sólido geométrico delimitado por faces
planas, no qual as bases se situam em planos
paralelos. Quanto à inclinação das arestas
laterais, os prismas podem ser retos ou
oblíquos”. (PRISMA, Matemática essencial, 2008).
PRISMA

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano
Volume dos prismas
 Observe:


r
Então o conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico
chamado prisma.

O prisma e suas formas
 Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de poliedro, mas
apresentam algumas características comuns. Eles estão associados
a um tipo de poliedro muito especial: o prisma.

Volume dos prismas
Elementos principais do prisma
O prisma tem dois tipos de
faces
A
B C
D
E
F
A’
B’ C’
D’
E’
F’
 Bases
(polígonos congruentes).
 Faces laterais
(paralelogramos).
 Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as
duas bases do prisma.

Volume dos prismas
O prisma tem dois tipos de
arestas
A
B C
D
E
F
A’
B’ C’
D’
E’
F’
 Arestas das bases
(AB, A’B’, ..., FA, F’A’).
 Arestas laterais
(AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).

Volume dos prismas
h
A
B C
D
E
F
A’
B’ C’
D’
E’
F’
 A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.

Volume dos prismas
Nomenclatura dos prismas
 Um prisma é classificado pelo tipo de polígono
que constitui suas bases.
Prisma hexagonal
Hexágono
Prisma pentagonal
Pentágono
Prisma quadrangular
Quadrilátero
Prisma triangular
Triângulo
Prisma
Polígonos das bases

Volume dos prismas
Veja alguns desses prismas
Prisma triangular Prisma Pentagonal

Classificação dos prismas
 Um prisma pode ser classificado, também, pela posição
das arestas laterais em relação ao plano da base.
Nos prismas retos, as arestas laterais são alturas e as faces
laterais são retângulos.
• As arestas laterais são
perpendiculares aos
planos de base.
PRISMA
RETO
• As arestas laterais são
oblíquas ao plano das
bases.
PRISMA
OBLÍQUO

Volume dos prismas
Prisma triangular reto Prisma Pentagonal
oblíquo
h
h
Classificação dos prismas

Volume dos prismas Prisma regular
 Todo prisma reto cujas bases são polígonos
regulares é chamado de prisma regular.
O prisma é reto e
ABC é triângulo eqüilátero
⇒
A
B
C
Prisma triangular regular
O prisma é reto e a
Base é hexágono regular
⇒
Prisma hexagonal regular

Volume dos prismas
Prismas quadrangulares
 Todo prisma cujas bases são paralelogramos é
chamado paralelepípedo.
Paralelepípedo

Volume dos prismas
 Se as bases de um paralelepípedo reto são
retângulos, ele é chamado paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo retângulo

Volume dos prismas
 Se todas as arestas de um paralelepípedo
retângulo são congruentes entre si, ele é chamado
cubo ou hexaedro regular.
Cubo ou hexaedro regular

Volume dos prismas Estudo geral do prisma
 Vamos aprender a calcular volume em prismas
quaisquer. Em geral. Vamos considerar prismas
retos em que:
 As arestas laterais são alturas;
 As faces laterais são retângulos;

Volume dos prismas
Áreas no prisma
 No prisma as áreas.
 Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos;
 Área da base (AB) – Área do polígono da base;
 Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases.
AT = AL + 2AB

Princípio de Cavalieri
 Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no
final do século XVI. Discípulo de Galileu,
ele deixou contribuições importantes nas
áreas de óptica e geometria.
Dados dois ou mais sólidos apoiados em um mesmo plano ,
se
Todos têm a mesma altura;
Todo plano  paralelo a  e que corte os sólidos
determina, em todos eles, seções planas de mesma
área;
Então os sólidos têm o mesmo volume.

Volume dos prismas
Volume do prisma
 Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do volume do
prisma. Para isso, vamos aplicar o princípio de Cavalieri.
V = AB.h
V – é o volume do prisma
Sʙ – é a soma da área das duas
bases
h – é a altura do prisma
Brasil
Escola

Volume dos prismas
Estudo do cubo
 O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um prisma
quadrangular regular, cujas faces são quadrados
congruentes. Por isso qualquer de suas faces pode ser
considerada como base.
a → medida de cada uma das
arestas
a
a
a

Diagonais no cubo
 Obtendo os valores d e D em função da medida a da
aresta.
a
a
a
d
D
a
D2 = a2 + d2
⇒ D = a2 + 2a2
⇒ D = 3a2
D = a√3

Volume dos prismas
Área da superfície total do cubo
 Planificando a superfície total de um cubo de aresta
a, obtemos a figura.
a
a
a
a
a
a
a
AT = 6a2

Volume dos prismas
O cubo como unidade de volume
 Se considerarmos a medida da aresta de um cubo
como unidade de medida de comprimento, a medida
do volume desse cubo é a unidade de volume.
V = 1 u3
1 u
1 u
1 u
1 u
 Se a unidade de comprimento é 1 m, a unidade de volume é 1 m3.
 Se a unidade de comprimento é 1 dm, a unidade de volume é 1 dm3.

Volume dos prismas Volume
 O volume de um sólido qualquer, numa certa unidade,
é um número que indica quantas vezes o cubo de
volume unitário “cabe” naquele sólido.
Considerando o cubo da primeira figura como unidade de
medida. Seu volume é 1 u3. qual o volume dos sólidos
abaixo?
V = 1 u3 V = 9 u3 V = 11 u3

Volume dos prismas
Volume do cubo
 Analise as três figuras a seguir.
a = 1 u
V = 1 u3
a = 2 u a = 3 u
V = 23 = 8 u3 V = 33 = 27 u3
De uma maneira geral, o volume de um cubo cuja aresta mede a é
V = a3

Volume dos prismas
Estudo do paralelepípedo retângulo
 O paralelepípedo retângulo é um prisma quadrangular.
Suas faces são duas a duas congruentes.
a, b e c → As dimensões do
paralelepípedo.
a
c
b
Suas doze arestas são quatro a quatro congruentes. As medidas
dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.

Volume dos prismas
b
a
Cálculo da diagonal do paralelepípedo
 Obtendo o valor de D em função das dimensões a, b
e c do paralelepípedo.
c D
d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2
d
D2 = a2 + b2 + c2
D = √a2 + b2 + c2

Volume dos prismas
Área da superfície total do paralelepípedo
 Planificando a superfície total de um paralelepípedo
de dimensões a, b e c obtemos a figura.
a
c
b
a
b
c
ab
ab
ac
ac
bc bc
AT = 2ab + 2ac + 2bc
AT = 2(ab + ac + bc)

Volume dos prismas
Volume do paralelepípedo retângulo
 Analise as duas figuras a seguir.
cubo unitário
V = 1 u3
V = 5.3.4 = 60 u3
5 u
3 u
4 u
De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e
c é dado por
V = a.b.c

Volume dos prismas
 Podemos interpretar o volume de um
paralelepípedo retângulo de outra forma. Veja a
figura a seguir.
V = abc
V = AB.h
a
b
c
A = ab
= (ab)c = (área da base) . (altura relativa)

Volume dos prismas
EXEMPLO 1: Um prisma de base quadrangular possui volume
igual a 192 cm³. Determine sua altura sabendo que ela
corresponde ao triplo da medida da aresta da base.
Solução:
Aresta da base: x cm
Altura: 3x cm
Volume: 192
Altura: 3 . 4 = 12 cm
A altura do prisma de
base é correspondente a
12 cm.
EXEMPLO 2: Calcule o volume de um cubo que tem 10 cm de
aresta.
Solução: O cubo possui todas as dimensões com
mesma medida. V = a3 . Logo V = (10)3 = 1000 cm3.
APLICAÇÃO DO VOLUME
DOS CILINDROS
V = x . x . 3x
3x³ = 192
x³ = 192/3
x³ = 64 x = 4

Volume dos prismas
Exemplo 3: Uma caixa de papelão será fabricada por uma
indústria com as seguintes medidas: 40 cm de comprimento,
20 cm de largura e 15 cm de altura. Essa caixa irá armazenar
doces na forma de um prisma com as dimensões medindo 8 cm
de comprimento, 4 cm de largura e 3 cm de altura. Qual o
número de doces necessários para o preenchimento total da
caixa fabricada?
Solução:
Volume da caixa
V = 40 . 20 . 15
V = 12000 cm³
Volume do doce
V = 8 . 4 . 3
V = 96 cm³
Número total de doces
armazenados na caixa 12000 / 96
= 125
Serão armazenadas 125 barras de
doces na caixa.
Exemplo 4: O comprimento EA, a largura EH e a altura EF do
paralelepípedo reto-retângulo representado ao lado são 12
cm, 3 cm e 4cm, respectivamente. Calcule seu volume:
Solução:
V = 12.3.4 V = 169
cm

Volume dos prismas
AGORA É SUA VEZ!
ATIVIDADE 1: A garagem subterrânea de um edifício tem 18
boxes retangulares, cada um com 3,5m de largura e 5m de
comprimento. O piso da garagem é de concreto e tem 20cm de
espessura. Calcule o volume de concreto utilizado para o piso
da garagem.
O volume total utilizado nos 18 boxes será V = (18) . (3,5) = 63m3.
Solução. O piso terá a forma de um paralelepípedo muito fino, já que sua
espessura é de 0,20m.
Esse piso entrará em cada box.
O volume de cada piso é V = (3,5) . (5) . (0,20) = 3,5m3.
ATIVIDADE 2: Uma caixa de fósforos tem a forma de um
paralelepípedo retângulo de dimensões 4,5cm, 3,2cm e 1,2cm.
Na caixa há em média, 40 palitos. Qual é, aproximadamente, o
volume ocupado por um palito de fósforos?
Solução: O volume da caixa é calculado pelo produto
3
3
17280
28
,
17
)
2
,
1
)(
2
,
3
)(
5
,
4
( mm
cm
V 


Como cabem 40 palitos, cada palito possui 3
432
40
17280
mm
V 


Volume dos prismas
ATIVIDADE 3: À razão de 25 litros de água por minuto, quanto
tempo será necessário para o enchimento de uma piscina de
7m de comprimento, 4m de largura e 1,5m de profundidade?
Solução. O volume total da piscina
é de
)
(
42000
42000
42
)
5
,
1
)(
4
)(
7
( 3
3
litros
dm
m
V 



Se em 1 minuto caem 25 litros de água, 42000 litros cairão
em
horas
t 28
min
1680
25
42000



Solução: A medida correspondente a 10 cm
forma um paralelepípedo de medidas 10 m, 5 m
e 10 cm
ATIVIDADE 4: (FGV–SP)Em uma piscina retangular com 10 m
de comprimento e 5 m de largura, para elevar o nível de água
em 10 cm são necessários:
a) 500 l de água
b) 5 000 l de água
c) 10 000 l de água
d) 1 000 l de água
e) 50 000 l de água
Transformando 10 cm em metros temos
0,1. Dessa forma:
V = 10 . 5 . 0,1
V = 5 m³
V = 5000 Litros
X

PIRÂMID
E A pirâmide tem dois tipos de
faces
A base
(polígono ABCDEF).
 Faces
laterais
(triângulos).
Superfície total da pirâmide é a união da
base com a superfície lateral.
V
A
B C
D
E
F

Elementos principais da pirâmide
A pirâmide tem dois
tipos de arestas
 arestas da base
(AB, BC, CD, DE, EF
e FA).
 arestas laterais
(VA, VB, VC, VD, VE e
VF ).
V
A
B C
D
E
F


h
A distância h do vértice ao plano da
base é a altura da pirâmide.
V
A
B C
D
E
F
Elementos principais da pirâmide

Classificação
• Uma pirâmide é classificado pelo tipo de
polígono que constitui sua base.
Polígono da base Pirâmide
triângulo Pirâmide triangular
quadrado Pirâmide quadrangular
pentágono Pirâmide pentagonal
hexágono Pirâmide hexagonal

Veja algumas dessas pirâmides
Pirâmide
triangular
Pirâmide
Pentagonal

Pirâmides regulares
A base da pirâmide é
um quadrado
Pirâmide
quadrangular
regular
A base da pirâmide é
um hexágono
regular
Pirâmide hexagonal
regular
V
h
O
V
h
O

V
A B
Apótema da pirâmide
VM é o apótema (p)
da pirâmide
p
D C
M
BM =
MC

Segmentos notáveis na pirâmide regular
V
B
M
O
a
h
m
r
A
p
b
 VO = h, altura;
 VA = a, aresta
lateral;
 AB = b, aresta da
base;

Segmentos notáveis na pirâmide regular
V
B
A
M
O
a
h
m
r
p
b
 OM = m, apótema da
base;
 OA = r, distância
do centro ao
vértice
 VM = p, apótema
pirâmide;

A pirâmide e o teorema de Pitágoras
p2 = h2 + m2
V
B
A
M
O
h
m
p

V
h
a
O
r
A
a2 = h2 + r2

a2 = p2 +
𝑏
2
2
V
p
a
B
M
b/2
A

Volume da pirâmide
•Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e suas bases
têm a mesma área, então o volume da pirâmide é a terça parte
do volume do prisma.
3
B
V 
1
 A h

Calcule o volume de uma pirâmide regular
quadrangular de altura 6 cm e aresta da base 4
cm.
4
cm
6
cm
Base
A  42
 16cm2
3
V 
1
16  6
3
 V 
1
16  6
 V  16 2
 V  32 cm3
3
B
PIRÂMIDE
V 
1
 A h

(VUNESP)
O
prefeito de uma
cidade
pretende colocar em frente à prefeitura
um
mastro
apoiad
o
com
sobr
e
uma bandeira,
uma
pirâmide
que
ser
á
de
bas
e
quadradafeita de concreto maciço,
como mostra a figura.
Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m
e que a altura da pirâmide será de 4 m, determine o
volume de concreto (em m³) necessário para a
construção da pirâmide.
89

3
m
4
m
Base
A  32
 9 m2
3
V 
1
9 4  V  3 4
 V  12 m3
3
V B
PIRÂMIDE

1
 A h

Calcule a área total e o volume de um octaedro
regular cujas arestas medem 2 cm.
91

2
cm
2
cm
2
cm
TRIÂNGU
LO
EQUILÁTE
RO l
l
l
OCTAEDRO 8 FACES
3
22
4
A 
4
3
 A 
4
A  3 cm2
3 cm2
ATOTAL  8 

1
cm
2
cm
H
1
cm
H
Pitágor
as
2
3
h 
2  h  3 cm
3
3  2
 H2
12
3  H2
1
H2
 2
H  2 cm

2
cm
2
cm
Base
A  22
 4 cm2
2
3
V B
PIRÂMIDE

1
 A h
3
V 
1
 4  2
3
2
x 2
VOCTAEDRO

4
3
2
cm3
 V 
4
OCTAEDRO
3
2
cm3
V 
8

Calcule o volume de uma pirâmide regular de base
hexagonal sabendo que sua altura é de 12 cm e que
cada aresta da base mede 8 cm.
8
cm
8
cm
8
cm
8
cm
4
3
2
 A 
8
4
3
 A 
64
16 3 cm2
AHEXÁGONO
BASE
16 3 x 6
A  96 3 cm2

12
cm
BASE
A  96 3 cm2
3
V B
PIRÂMIDE

1
 A h
3
V 
1
96 3 12
V  96 3 4
V  384 3 cm3

Suponha que o volume de terra acumulada no
carrinho de mão do personagem seja igual ao do
sólido esquematizado na figura ao lado, formado por
uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo
retângulo.
97

Assim, o volume médio de terra que Hagar
acumulou em cada ano de trabalho é, em dm3,
igual a:
A)12
B)13
C)14
D)15
E)16
98

Volume do cilindro.
CILINDRO
Em matemática, um cilindro é
o objeto tridimensional gerado
pela superfície de revolução de
um retângulo em torno de um de
seus lados. De maneira mais prática,
o cilindro é um corpo alongado e de
aspecto redondo, com o
mesmo diâmetro ao longo de todo o
comprimento.
O cilindro é um não poliedro,
pois tem uma superfície curva.
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CILINDRO E O
COTIDIANO
Estão presentes de inúmeras maneiras em
nossa vida cotidiana. O cilindro é a forma mais
comum de um recipiente simples: uma lata de
refrigerante, uma pilha, um cano de água.
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Volume do cilindro.
Os cilindros podem ser
classificados, de acordo
com a inclinação da
geratriz em relação aos
planos das bases, em:
Cilindro circular oblíquo
(a geratriz é oblíqua às bases).
Cilindro circular reto
(a geratriz é perpendicular às
bases).


g
g

eixo
 90º
Base
Base
O
*
O
*
R
h
Cilindro
Oblíquo.
R = raio da base
h= altura
g = geratriz
Volume do cilindro.

Cilindro Circular Reto
O
*
g g
h
- o eixo é perpendicular aos
planos das bases.
R
D
C
R
B
A
O’
*
- g = h
Volume do cilindro.

A B
D C
Volume do cilindro.
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.

Volume do cilindro.
Seção Meridiana
Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro.
2R
Seção
Meridiana
A
B
C
D
O
*
O’
*
h Se ABCD
é um quadrado 
cilindro equilátero
Cilindro equilátero é o cilindro reto em que
h = 2R

Planificação :
R
x
h
Volume do cilindro.

Volume do cilindro.
Planificação :
R
x
h

Volume do cilindro.
Planificação :
R
h
x

Volume do cilindro.
Planificação :
R
h
x
R
R
2pR

Volume do cilindro.
VOLUME
Volume: é o espaço ocupado por um sólido, por um
líquido ou por gás.
Quando trabalhamos com sólidos geométricos
precisamos relembrar as principais relações entre as
medidas de volume e de capacidade, veja:
1 m³ (metro cúbico) = 1 000 litro
1 dm³ (decímetro cúbico) = 1 litro
1 cm³ (centímetro cúbico) = 1 ml

Volume do cilindro.
VOLUME DO CILINDRO
V= π . r².h
O cilindro possui duas
faces iguais e de formato circular.
Para calcular o volume do cilindro,
deve-se fazer o produto da área de
sua base pela altura.
Área da base: B = π .
r²
π (pi) ≈ 3,14
Volume: V = B . h
Então para calcular o
volume de um
cilindro:
• exprimem-se o raio da
base e a altura do cilindro
na mesma unidade;
• calcula-se a medida da
área da base e multiplica-
se pela altura;
• indica-se a unidade de
volume correspondente à
unidade de comprimento
escolhida.

Volume do cilindro.
EXEMPLO 1: Um tanque no formato cilíndrico é utilizado no
armazenamento de combustível de uma transportadora de produtos
alimentícios. As medidas desse tanque são as seguintes: raio da base
medindo 4 metros e altura igual a 12 metros. Deseja-se encher esse tanque
com óleo diesel para abastecer a frota de 150 caminhões que possuem o
tanque também no formato cilíndrico, medindo 1,5 metros de altura e raio
da base medindo 90 centímetros. Verifique se a quantidade de óleo diesel a
ser armazenado no tanque da empresa é necessária para abastecer todos
os caminhões uma única vez durante um dia, considerando que o
combustível dos caminhões esteja bem próximo de acabar.
APLICAÇÃO DE VOLUME
DO CILINDRO
Volume do tanque da
empresa
V = π . r² . h
V = 3,14 . 4² . 12
V = 3,14 . 16 . 12
V = 602,88 m³
Volume do tanque de cada caminhão
90 centímetros equivale a 0,9 metros
V = π . r² . h
V = 3,14 . 0,9² . 1,5
V = 3,14 . 0,81 . 1,5
V = 3,8151 m³
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Público

Volume do cilindro.
Quantidade necessária de combustível para abastecer a frota:
150 . 3,8151 = 572,27 m³
A capacidade total do tanque de armazenamento é de 602,88 m³ e a
quantidade necessária para abastecer todos os caminhões é de 572,27 m³,
então o óleo diesel do tanque é suficiente para abastecer toda a frota e ainda
sobram 30,61 m³ de óleo.
EXEMPLO 2: Deseja-se construir um tanque no formato cilíndrico com
volume de, aproximadamente, 250 m³ (metros cúbicos) e altura igual a 9
metros. Determine a medida aproximada do raio da base.
V = π . r² . h
250 = 3,14 . r² . 9
250 = 28,26 . r²
r² = 250 / 28,26
r² = 8,84
√r² = √8,84
r = 2,9 m (aproximadamente)

Volume do cilindro.
EXEMPLO 3 : Uma empresa irá fabricar latinhas de alumínio para uma
indústria de refrigerantes. A lata precisa comportar a quantidade de 450 ml
de refrigerante. Considerando que o formato da lata é semelhante a um
cilindro e que a altura seja de 10 cm, qual será a medida do raio da base?
Temos que 450 ml corresponde a 450 cm , pois 1 cm³ =
1 ml
V = π . r² . h
450 = 3,14 . r² . 10
450 = 31,4 . r²
450/31,4 = r²
r² = 14,3
r = 3,8 cm (aproximadamente)
O raio da base devera medir aproximadamente
3,8 cm
EXEMPLO 4: Uma lata de óleo de soja possui as seguintes dimensões: raio
da base medindo 4,5 cm e altura igual a 16 cm. Considerando que o
conteúdo da lata seja de 900 ml, calcule a parte não ocupada da lata de óleo.
Vamos determinar o volume total da lata
V = π . r² . h
V = 3,14 . 4,5² . 16
V = 3,14 . 20,25 . 16
V = 1017,36 cm³
Obtendo o volume da parte não ocupada
1 017,36 – 900 = 117,36 ml

Volume do cilindro.
ATIVIDADE 1: Uma indústria irá produzir dois tipos de copos com formato
cilíndrico. O copo azul terá as seguintes medidas 5 cm de raio da base e 12
cm de altura e o copo verde 3 cm de raio da base e 18 cm de altura. Qual dos
copos possuirá o maior volume?
AGORA É SUA VEZ!
SOLUÇÃO:
Copo azul
V = π . r² . h
V = 3,14 . 5² . 12
V = 3,14 . 25 . 12
V = 942 cm³
Copo verde
V = π . r² . h
V = 3,14 . 3² . 14
V = 3,14 . 9 . 18
V = 508,68 cm³
O copo azul possuirá o maior volume
ATIVIDADE 2: Se a área da seção meridiana de um cilindro equilátero é 100
cm2, qual é o volume, em cm3, deste sólido?
Solução: Se o cilindro é equilátero a seção meridiana é um quadrado.
Então o lado mede 10 cm. Esse valor é o mesmo da altura. O diâmetro é o lado do
quadrado na base e mede 10 cm.
Logo o raio mede 5 cm. O volume, então será:
V = p.r2.h = (3,14).(5)2.10 =
785cm3.

Volume do cilindro.
ATIVIDADE 3: Um reservatório de combustíveis apresenta o formato de
um cilindro circular reto de 15 metros de diâmetro e 6 metros de altura.
Determine a capacidade, em litros, desse reservatório. (Utilize π=3,14)
Solução:
Temos que:
r = d/2 = 15/2 = 7,5 m
h = 6 m
Utilizando a fórmula do volume, obtemos:
V = π∙r2∙h
V = 3,14 ∙ (7,5)2 ∙ 6
V = 3,14 ∙ 56,25 ∙ 6
V = 1059,75 m3
O exercício quer a capacidade em litros. Devemos lembrar que:
1dm3 = 1 litro ou 1m3 = 1000 litros
Assim, o volume, em litros, desse reservatório será de:
V = 1059,75 ∙ 1000 = 1.059.750 litros

Volume do cone.
CONE
Em geometria, o cone é
um sólido geométrico obtido quando
se tem uma pirâmide cuja base é um
polígono regular, e o número de lados
da base tende ao infinito.
O cone é uma figura
geométrica de base circular gerada
pela revolução de um triângulo
retângulo.
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Considere um círculo C contido num plano  e um ponto V
não pertencente a .
Chama-se cone a reunião de todos os segmentos que
ligam cada ponto de R ao ponto P.
g
r
h
Note: g, h e r formam um triângulo
retângulo.
Volume do cone.
CONE

CONE E O COTIDIANO
Estão presentes de inúmeras maneiras em nossa vida
cotidiana. Veja alguns exemplos.
Volume do cone.
Imagem
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Público

Volume do cone.
CLASSIFICAÇÃO DO
CONE
RETO
• cone é dito reto quando a
sua base é um círculo e
a reta que liga o vértice
superior
ao centro da circunferência
da sua base (isto é, o seu
eixo) é perpendicular ao
plano da base.
OBLÍQUO
• Denomina-se oblíquo quando
não é um cone reto, ou seja,
quando o eixo não é
perpendicular ao plano da
base.
Observação: O cone circular reto é chamado de cone equilátero se a
sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso
a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.


O
*
h
 90º
Cone Oblíquo.
V é vértice
R é raio da base
h é altura
g é geratriz
R
V
g’ g
eixo
Volume do cone.

Volume do cone.
Note que quando o cone é reto o eixo coincide com a altura.
O eixo do cone é o segmento que liga o vértice ao centro da
base.
Se o eixo é perpendicular à base, o cone é reto.
Se o eixo não é perpendicular à base, o cone é oblíquo.
Eixo = Altura
A altura é sempre perpendicular ao plano.
altura

Volume do cone.
Cone Circular Reto
O*
g
No DVOA :
A
B
V
ou Cone de Revolução
g2 = h2 + R2
R
h
O eixo é perpendicular ao
plano da base.

Volume do cone.
A
B C
Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.

O DVBA é a seção meridiana do cone.
Seção
Meridiana
O
* A
B
V
g
2R
Seção Meridiana
Se o triângulo VBA
é equilátero, o
cone é um Cone
Equilátero.
g=2R
Volume do cone.

Volume do cone.
Planificação do Cone Reto
R
x
h
g

Volume do cone.
R
x
h
g

Volume do cone.
x
h
g
R

Volume do cone.
:
x
h
g
R

Volume do cone.
VOLUME
Volume: é o espaço ocupado por um sólido, por um
líquido ou por gás.
Quando trabalhamos com sólidos geométricos
precisamos relembrar as principais relações entre as
medidas de volume e de capacidade, veja:
1 m³ (metro cúbico) = 1 000 litro
1 dm³ (decímetro cúbico) = 1 litro
1 cm³ (centímetro cúbico) = 1 ml

Volume do cone.
VOLUME DO CONE
O volume de um cone é
igual a 1/3 do volume de
um cilindro de mesma
área da base e mesma
medida da altura. ...
R
x
h
g
Área da base B = π . r²
Volume = B . H
3
V = π . r² . H
3

H G
R
H G
R
A secção transversal forma o tronco de cone
Chama-se secção
transversal a intersecção de
um cone com um plano
paralelo à base.
Seção
Transversal
Suas áreas são proporcionais.
2
´ ´ ´
b l t
b l t
A A A
k
A A A
  
Seus volumes são proporcionais.
3
v
k
V

k = Constante de proporcionalidade.
k
H
h
G
g
R
r



r
h
g
Note que o cone
menor, acima da
secção é
semelhante ao
cone original, o
que significa que
suas dimensões
são proporcionais.
Volume do cone.

Volume do cone.
Semelhança de uma forma mais clara
Altura do tronco
(HT)
Altura do cone
original (H)
Altura do cone
semelhante
(h)
Geratriz do
Tronco (GT)
Geratriz do cone semelhante (g)
Obviamente G = g +
GT
Outra conclusão lógica
V = v + VT

Volume do cone.
Tronco de Cone
Elementos:
R  raio da base maior
r  raio da base menor
hT  altura do tronco
gT  geratriz do tronco
R
r
gT
hT
As fórmulas do tronco de cone são todas dedutíveis a partir da semelhança.
Área Lateral do
Tronco(ALT)
ALT = p(R + r)gT
Área Total do
Tronco(ATT)
ATT = ALT + Ab + AB
ATT = p(R + r)gT +
p(r2 + R2)
Volume do Tronco
(VT)
VT = V - v
VT = (r² + rR + R²)
3
. t
h
p

Volume do cone.
EXEMPLO 1: Um copo será fabricado no formato de um cone com
as seguintes medidas: 4 cm de raio e 12 cm de altura. Qual será a
capacidade do copo?
APLICAÇÃO DO VOLUME
DO CONE
Público

Volume do cone.
EXEMPLO 2: Uma casquinha de sorvete possui o formato de um
cone reto com altura de 10 cm e raio da base medindo 5 cm.
Determine o volume da casquinha.
O volume da casquinha é de 261,66 cm³, que
corresponde a, aproximadamente, 261 ml.
EXEMPLO 3: Um depósito de grãos apresenta a forma de um tronco de
cone cujo raio da base maior mede 12 metros e o raio da base menor tem 7
metros de comprimento. Calcule a capacidade desse depósito sabendo que
sua altura é de 9 metros.
Solução: Calcular a capacidade do depósito é
o mesmo que calcular seu volume. Temos que:
h = 9 m; R = 12 m; r = 7 m
Aplicando a fórmula do volume, obtemos:

Volume do cone.
EXEMPLO 4 : (ENEM 2010) Um arquiteto está fazendo um projeto de
iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a
luminária ilustrada na figura
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26m2,
considerando π(pi) = 3,14 , a altura h será igual a
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 5 m.
d) 9 m.
e) 16 m.
Sabe-se que área circular da
base a ser iluminada é de
28,26m2, ou seja,
X

ESFERA
MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio
Volume da Esfera
Imagem: Geek3 / GNU Free Documentation
License.
Imagem: Andrevuras/ GNU Free
Documentation License.
Imagem: Higor
Douglas / Creative
Commons Attributio
n-Share Alike 3.0
Unported license.

ESFERA
• É A UNIÃO DE TODOS
OS PONTOS DO
ESPAÇO EM QUE A
DISTÂNCIA AO
CENTRO DADO É A
MESMA.
Volume da Esfera
Imagem: Autor desconhecido /Disponibilizada por
OgreBot/ Public domain.

ÁREA DA ESFERA
• EXPERIMENTALMENTE,
PODE-SE CONSTATAR QUE
UMA ESFERA TEM O
EXATO “PESO” DE QUATRO
CÍRCULOS CUJO RAIO É O
MESMO QUE GEROU A
ESFERA, SENDO DO
MESMO MATERIAL.
Volume da Esfera
Imagem: Autor desconhecido / Disponibilizada por
Marcelo Reis/GNU Free Documentation License.

2
4 R
AESFERA p

Volume da Esfera

VOLUME DA ESFERA
3
4 3
R
VOLUME
p

Volume da Esfera
Imagem: Autor desconhecido / Disponibilizada por
Jynus/GNU Free Documentation License .

Podemos tentar
demonstrar as
fórmulas.
Volume da Esfera

Consideremos um cilindro de raio da base r
(a altura é 2r) e tendo como S o ponto médio do
eixo do cilindro.
Tomemos dois cones, tendo como bases as
do cilindro e S como vértice comum (a reunião
desses dois cones é um sólido chamado
Clépsidra).
Volume da Esfera

Volume da Esfera
S S
S
S
r
h=2r
Cilindro
equilátero
Cilindro
Equilátero e
Os dois
cones
Reunião dos
Dois cones
Sólido X,
Cilindro menos
Os dois cones

Ao sólido que está dentro do cilindro e fora dos dois
cones, vamos chamar de sólido X (este sólido X é chamado
anticlépsidra).
Volume da Esfera
r
esfera clépsidra anticlépsidra

Consideremos agora uma esfera de raio r e o sólido X descrito acima.
Suponhamos que a esfera
seja tangente a um plano α, que o
cilindro (que originou o sólido X)
tenha base em α e que os dois
sólidos, esfera e sólido X, estejam
num mesmo semiespaço dos
determinados por α.
Qualquer plano secante β,
paralelo a α, distando d do centro
da esfera (e do vértice do sólido X),
também secciona o sólido X.
Temos, portanto:
Área da secção na esfera = πs² = π(r² - d²) círculo
Área da secção no sólido X = πr² - πd² = π(r² - d²) coroa circular
Volume da Esfera
s
ß
α
o
s
s
p Q
r
d

As áreas das secções na esfera e no sólido X são iguais. Então, pelo Princípio de Cavalieri, a esfera
e o sólido X têm volumes iguais.
Vesfera = Vsólido X
Mas:
Vsólido X = Vcilindro - 2Vcone = πr² . 2r – 2 . (π r² . r/3 )= πr² . 2r – 2πr³/3 = 4πr³/3
Conclusão: O volume de uma esfera de raio r é de 4πr³/3
V= 4πr³/3
Volume da Esfera

Área da superfície esférica
A= 4 πr²
Referência bibliográfica
Gelson Iezzi; Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 10 – Geometria Espacial – Parte 2
Volume da Esfera
Então, para x = 0, vem:
r +
x

Noção intuitiva
Se considerarmos uma superfície limitada de área A e
sobre ela formarmos um sólido, de altura x, de bases
“paralelas”, teremos, indicando com V, o volume do
sólido de base A e altura x.
V=Ax A= V/x
Esta igualdade é verificada para qualquer x.
Intuitivamente, uma superfície é imaginada como
uma “placa sólida” de “espessura infinitamente
pequena”.
Por isso, se uma “placa sólida” de volume Vp e
espessura x for tal que a expressão (função) Vp/x tem
sentido para x = 0, então:
Vp/x ( para x = 0 ) será definida como a área da placa.
Assim podemos deduzir as expressões das áreas
laterais da superfície esférica.
Volume da Esfera

Área do fuso
Note que quanto maior for o ângulo,
maior será o fuso correspondente; a área do
fuso é diretamente proporcional a α. .
Volume da Esfera
r
α
Fuso esférico
Arco equatorial

Assim, podemos estabelecer as seguintes regras de três simples:
Volume da Esfera
Para α em graus: Para a em radianos:

CUNHA ESFÉRICA
Se um semicírculo com o diâmetro num eixo
gira a graus (0°< α ≤ 360°) em torno do eixo, ele
gera um sólido que é chamado de CUNHA
ESFÉRICA.
Volume da Esfera
r
α
Cunha esférica
Arco equatorial

Volume da cunha
Note que quanto maior for o ângulo, maior será o volume
da cunha correspondente; o volume da cunha é
diretamente proporcional a α. .
Assim, podemos estabelecer as seguintes regras de três simples:
Volume da Esfera

Exercícios
 Considerando as interações anteriores, é possível partir para os
cálculos mais comuns envolvendo esferas, que são a determinação
da área e do volume. O professor pode propor alguns desafios para
que sejam utilizadas as expressões abaixo.
1) Uma esfera tem raio 15 cm. Calcule:
a) seu volume;
b) sua área;
c) a área da secção feita a 9 cm do centro.
Volume da Esfera
r
9 15
15
http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CDoQFjAB&url=http%3A%2F%2Fprofessorwaltertadeu.mat.br%2FEsf
eras2010.doc&ei=HLGyUOmkD4no8QTb8IGQBg&usg=AFQjCNE7l9z8hUloTQhMJ0JHQbWuWXS3VA&sig2=9KiMi2NrFBdtMkWG68VG_Q

2) Calcule o volume e a área total de uma cunha
esférica de raio 12 cm e ângulo central de 60°.
Volume da Esfera
A
B
12 cm
60°

3) Calcule a capacidade de uma esfera cuja superfície esférica tem
área igual a 144 m2.
4) Seccionando-se uma esfera por um plano que dista 3 m do seu
centro, obtém-se uma secção de área de 72π m2, determine o volume
dessa esfera.
2
72 m
p
Volume da Esfera
r
3 R

5) Calcule o volume da esfera inscrita num cubo cuja
área total é 216 cm2.
Volume da Esfera
R = a/2
M N
P
Q
a
M N
P
Q
E
F
A
B C
D
G
H
a
R

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