O documento discute os poliedros de Platão. São apresentados os cinco poliedros regulares: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o icosaedro e o dodecaedro. Estes poliedros são construídos a partir de triângulos, quadrados e pentágonos regulares e foram associados por Platão aos elementos da natureza.

1. Figu r as
Geo
m ét r
icas
Es p a c i a i s

2. Sólidos Geométricos

3. Poliedros (edro: do grego hedra-
face/poli:várias): Sólidos limitados
por polígonos planos.
 Diante da definição, identifique dentre os
sólidos apresentados no slide anterior, aqueles
que não são poliedros.
 Veja se você é um bom entendedor, verificando
com um clique quais os sólidos contidos no slide
que não poliédricos.

4. Sólidos Geométricos

5. • Você acertou? Parabéns, pela sua ótima
compreensão.
• Se não acertou entenda:
 Não poliedro: é um sólido que não é limitado
apenas por superfícies poligonais (polígonos).
O cone, o cilindro, e a esfera não são
poliedros, pois possuem superfícies curvas.
São também chamados sólidos de revolução.
 Poliedro tem “bicos”, que são ângulos
poliédricos, e é formado por apenas faces que
são polígonos.

6. OS POLIEDROS PODEM
SER:
• Poliedro Côncavo (não-convexo):
O que pode ser dividido em duas
ou mais partes por um plano que
contém uma de suas faces.
Podemos dizer ainda que ele é
não-convexo quando um segmento
que liga dois de seus pontos não está
totalmente contido nele.

7. • Poliedro Convexo: O que está inteiramente de
um dos lados de qualquer plano que contém uma
das suas faces.
Ou ainda é quando o segmento que liga dois de
seus pontos está sempre contido nele.

8. Dos poliedros abaixo quais são não convexos
(côncavos). Veja-os com um clique.
Justifique

9. Agora identifique os poliedros que são
convexos, justificando. Confira com um clique.

10. • A nomenclatura de um poliedro convexo é
dada de acordo com o número de faces. A
tabela a seguir mostra os nomes dos
principais poliedros convexos.

11. ELEMENTOS DE UM POLIEDRO:
• Cada poliedro é formado pela reunião de um número
finito de regiões poligonais planas chamadas faces e
a região do espaço limitada por elas.
• Cada lado de uma dessas regiões poligonais é
também lado de uma única outra região poligonal. E
cada lado de uma região poligonal, comum a
exatamente duas faces, é chamado aresta do
poliedro.
• A intersecção de duas faces quaisquer ou é um lado
comum, ou é um vértice. Cada vértice de uma face é
um vértice do poliedro.

12. Vértice/“bico”
Face/polígono
aresta

13. • Nos poliedros apresentados acima vamos, para
simplificar nossa escrita, chamar os vértices, as
arestas e as faces de V, A e F, respectivamente.
Com os dados obtidos dos poliedros dados
confeccionamos a tabela a seguir:
Complete a última coluna! O que você observa?

14.  OBSERVAÇÕES:
1) Na tabela apresentada observa-se um fato interessante: o valor na
última coluna é constante, 2. Este fato é válido para qualquer poliedro
convexo e é conhecido como RELAÇÃO DE EULER.
Leonhard Paul Euler* (pronuncia-se "Óiler“ - Basiléia, 15 de abril de 1707 – São
Pesterbugo, 18 de setembro de 1783) foi um matemático e físico suíço é
autor de contribuições importantes em todas as áreas da Matemática e da
Física-Matemática do seu tempo.
(“o mestre de nós todos”, como lhe chamava Laplace)

15. 2) Existem poliedros não-convexos que satisfazem
a relação de Euler:
Poliedro 1:
Poliedro 2:
Podemos afirmar que:

16. Aplicando a Relação de Euler
• Um poliedro convexo possui 4 faces triangulares todas regulares.
Quantos vértices esse poliedro possui?
Resolução:
Como o poliedro possui 4 faces triangulares, então:
4 (faces) X 3 (arestas de cada face) = 12.
Cada aresta foi contada duas vezes, portanto, temos:
2A = 12 A=12/2 A=6
Como o poliedro é convexo vale a relação de Euler:
V–A+F=2 V–6+4=2 V–2=2
V=2+2 V= 4

17. DESAFIO
1) Um poliedro convexo possui 20 vértices e de
cada um deles saem 3arestas. Calcule o número
de arestas e o número de faces desse sólido.
2) Arquimedes descobriu um poliedro convexo
formado por 12 faces pentagonais e 20 faces
hexagonais, todas regulares. Este poliedro
inspirou a fabricação da bola de futebol que
apareceu pela primeira vez na copa do mundo de
1970. Quantos vértices possui esse poliedro?

18. • Há uma infinidades de poliedros. No
segundo slide desta apresentação
podemos observar alguns.
• Porém existem poliedros que possuem
algumas características especiais, os
apresentados no primeiro slide, lembram
das formas geométricas?
• Relembremos:

19. Poliedros
de
Platão

20. Porque Poliedros de Platão? Quem
foi Platão?
• POLIEDROS DE PLATÃO SÃO POLIEDROS REGULARES.
– Poliedro Regular é aquele que:
• suas faces são polígonos regulares;
• de cada vértice do poliedro sai o mesmo número de arestas.
• PLATÃO de Atenas (428/27- 347 a.C.) foi um filósofo grego: Acredita-se que seu
nome verdadeiro tenha sido Aristocles; Platão era um apelido que, provavelmente,
fazia referência à sua característica física, tal como o porte atlético ou os ombros
largos, ou ainda a sua ampla capacidade intelectual de tratar de diferentes temas.
Πλάτος (plátos) em grego significa amplitude, dimensão, largura. Sua filosofia é de
grande importância e influência. Platão ocupou-se com vários temas, entre eles ética,
política, metafísica e teoria do conhecimento. Discípulo de Sócrates, fundador da
Academia e mestre de Aristóteles.
• Polígono Regular tem todos os
lados e ângulos internos
congruentes.

21. POLIEDROS REGULARES
• tem todos os lados e ângulos internos
congruentes

22. • Os antigos gregos tinham conhecimento da existência de apenas cinco poliedros
regulares, este fato os impressionou de tal forma que os Pitagóricos e, mais tarde,
Platão, construíram as suas teorias cosmogônicas, associando aos cinco poliedros
regulares a constituição fundamental da natureza. É por este motivo que os poliedros
regulares são também denominados sólidos platônicos. Além disso, ainda defendia uma
outra teoria. Defendia que o mundo só poderia ter sido feito a partir de corpos
perfeitos. Mais tarde descobriu que podia existir mais um sólido geométrico regular e
deu-lhe o nome de dodecaedro que representava o universo.
• Em sua obra intitulada “Timeu”, Platão descreve o tetraedro como “elemento e origem”
do fogo, o octaedro do ar, o icosaedro da água, o cubo da terra, enquanto o dodecaedro
representa a imagem do universo no seu todo: “permanecendo uma quinta combinação,
que Deus utilizou para o desenho do universo”.
• Foram também encontrados modelos de poliedros regulares em civilizações anteriores
à grega; o seu fascínio, ligado quer à harmonia das proporções quer às propriedades
matemáticas, continuou a inspirar artistas e cientistas até aos nossos dias.

23. • Na cultura etrusca, os dodecaedros tinham também um significado religioso e
foram utilizados como dados na Itália romana.
No Renascimento, os poliedros regulares constituíram um ótimo tema para a
realização de estudos de perspectiva: podemos encontrá-los em obras de Paolo
Uccello, Piero della Francesca, Albrecht Dürer, Leonardo da Vinci, Luca Pacioli e
Leonardo Pisano (o Fibonacci).
• Em 1595, Kepler acreditou “ter penetrado nos segredos do criador” ao elaborar um
modelo do sistema planetário (que posteriormente se viria a revelar errado)
utilizando os sólidos platónicos para descrever as distâncias entre as órbitas
elípticas dos seis planetas conhecidos naquela época (a figura abaixo da direita foi
retirada do “Mysterium Cosmographicum” de Kepler).
• Também a natureza nos revela exemplos de poliedros regulares: alguns cristais, os
vírus, que têm muitas vezes forma icosaédrica, ou simples organismos vivos como os
radiolários, …
Texto original (italiano): por Cristina Vezza

24. Poliedros: podemos imaginar que
existe uma infinidade, mas quantos
poliedros de Platão existirá?
• Aparentemente é possível construir poliedros regulares com quantas faces
desejarmos.
Quantos poliedros regulares é possível construir?
Para responder esta pergunta vamos recordar dos polígonos regulares e, com eles
construir poliedros.
Utilizando régua e compasso a construção de polígonos regulares se torna uma tarefa
fácil.
• Para isto é preciso lembrar a medida do ângulo interno ou externo de cada polígono.
 O triângulo eqüilátero possui ângulo interno de 60º. Se o interno é 60º o externo é
120º.

25.  O quadrado: ângulo interno mede 90º e o externo 90º.
 Para construir o pentágono basta lembrar que:
Logo o ângulo externo de um pentágono é 360º÷5 = 72º.
E o interno é 180º - 72º = 108º.

26. • Assim para construir qualquer polígono regular basta dividir 360º pelo
número de lados, pois todos os ângulos são todos congruentes.

27. • Para construir um poliedro precisamos de um estoque de polígonos
regulares.
Obs. : Para podermos unir as faces, vamos fixar um comprimento para os
lados de todos os polígonos de por exemplo, 6 cm.
CONSTRUINDO POLIEDROS:
Para perceber as limitações da construção de polígonos regulares ou não.
Precisamos então construir o primeiro vértice (bico), que será necessário no
mínimo três polígonos para formar um bico (ângulo poliédrico). E os outros
bicos:
 A escolha de polígonos para formar o primeiro bico não é totalmente livre.
Não conseguimos formar um bico com seis triângulos eqüiláteros.

28.  Nem com quatro quadrados, conseguimos construir um bico:
 Nem com cinco hexágonos:

29. • Nesses casos, a soma dos ângulos internos dos polígonos totalizam 360º,
formando um ângulo plano, e não um bico (ângulo poliédrico).
Se tentarmos formar um bico com o heptágono ou com o octógono, veremos
que os ângulos totalizam mais que 360º, não formando assim um bico.
Então para formar um ângulo poliédrico (bico), precisamos reunir pelo menos
3 polígonos e a soma dos ângulos internos não deves ser inferior a 360º.
 Portanto para construir poliedros regulares, com bicos idênticos e polígonos
regulares, é possível utilizar o triângulo, o quadrado e o pentágono.

30. • Mãos a obra!
 Com três triângulos formamos o primeiro bico e utilizando quatro triângulos
construímos o Tetraedro Regular:
 Já formando o primeiro bico com quatro triângulos regulares e completando
os demais com triângulos regulares obteremos o Octógono Regular:

31.  Ainda é possível formar o primeiro bico com cinco triângulos, e completando
os demais com triângulos teremos o: Icosaedro Regular (20 faces):
 Já utilizando quadrados é possível juntar apenas três deles, pois com quatro
não formamos um bico, ma sim um ângulo plano.
Completando o primeiro bico com outros quadrados, teremos o: Hexaedro
Regular ou Cubo:

32.  Reunindo três pentágonos, e completando cada um dos bicos com pentágonos,
obteremos o: Dodecaedro Regular:
 Obs. : Com hexágonos obteremos apenas uma trilha.
Como os ângulos internos dos heptágonos, eneágonos, etc. totalizam mais de
360º não se pode formar um bico.

33. • Portanto só é possível construir cinco tipos de poliedros regulares:
– usando pentágonos, somente conseguimos construir o dodecaedro;
– usando quadrados, somente é possível construir o hexágono;
– usando triângulos, é possível construir o tetraedro, o octaedro e o icosaedro.
 Logo não existe mais poliedros d e Platão do que os dedos de uma mão!

34. TETRAEDRO
Este poliedro é formado por quatro triângulos
equiláteros. E em cada um dos vértices encontra-se o
mesmo número de lados (arestas). O prefixo tetra
deriva do grego e significa quatro (quatro faces).
HEXAEDRO
O cubo é o único poliedro regular com faces
quadrangulares. Cada vértice une três quadrados. O
cubo tem 6 faces, pelo que também se pode chamar
de hexaedro (hesa significa seis em grego).
OCTAEDRO
As faces deste poliedro são também triângulos
equiláteros, mas em cada vértice reúnem-se quatro
triângulos. Assim, o total das faces é oito, pelo que o
poliedro se chama octaedro (octa significa oito em
grego).
DODECAEDRO
O dodecaedro é o único poliedro regular cujas faces
são pentágonos regulares. Em cada vértice
encontram-se três pentágonos. Assim, este poliedro é
formado por doze faces e daí ter o nome de
dodecaedro (dodeca significa doze em grego).
ICOSAEDRO
Neste poliedro são cinco os triângulos equiláteros
que se encontram em cada vértice, perfazendo vinte
faces. Por isso, o poliedro se chama icosaedro (icosa
significa 20 em grego).

35. Planificação

36. • O fascínio dos poliedros (quer na harmonia ou nas propriedades
matemáticas), continuou a inspirar até a atualidade numerosos matemáticos,
artistas plásticos, designers e arquitetos, propondo várias formas de os
construir e também de os representar. Podendo ser encontrados em
construções, nas obras de Leonardo da Vinci, Leonardo de Pisa (o
Fibonacci), nas obras de Ester, entre outros. Sendo também a principal
fonte de inspiração do chamado origami modular.

37. Cubo modular

38. Construção de um tetraedro regular com canudinhos
Um metro de linha nº 10;
Seis pedaços de canudo de mesma cor e comprimento (sugiro 8 centímetros).
Tome o fio de linha, passe-o através de três pedaços de canudo, construindo um
triângulo e o feche por meio do um nó. Agora, passe o restante da linha por mais
dois pedaços de canudo, juntando-os e formando mais um triângulo com um dos
lados do primeiro triângulo. Finalmente, passe a linha por um dos lados desse
triângulo e pelo pedaço que ainda resta, fechando a estrutura com um nó. Essa
estrutura representa as arestas de um tetraedro regular e as etapas intermediárias
de sua construção estão representadas abaixo:

39. Resolução/Desafios
1)
Smole/Diniz
2)
Dante-3ª série

40. * Entre outras obras, Euler é ainda o criador da teoria dos
grafos, que teve origem no seu artigo sobre o problema das
sete pontes de Königsberg. O problema consistia em passear
pelas ruas da cidade prussiana de Königsberg (a atual cidade
russa de Kaliningrado) passando cada ponte uma e uma só
vez de maneira a terminar no ponto de partida (veja-se o
mapa abaixo). Euler provou que o problema não tem solução.

41. BIBLIOGRAFIA
– Smole, Kátia Cristina Stocco/smole, Maria Inez de Souza Diniz –
Matemática, ensino médio, v. 2, 2ª série, 5ª ed., São Paulo: Saraiva,
2005;
– Dante, Luiz Roberto – Matemática, ensino médio, 3ª série, 1ª ed., São
Paulo: Ática, 2004;
– Machado, Nilson José – Os poliedros de Platão e os dedos da mão, São
Paulo:Scipioni, 2000. (Coleção Vivendo a matemática);
– Enciclopédia do origami, Robinson, trad. Assunção, Joana, 1ª ed, Lisboa:
Quarto Publishing, 2006;
– http://www.eb23anadia.rcts.pt/ProjectoTurmas/ProjMatematica5F/So
lidos%20Geometricos.htm;
– http://www.atractor.pt/simetria/matematica/docs/regulares2.html.