09 eac proj vest mat módulo 2 geometria espacial

MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna

Obs.: Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo
Poliedros poliedro euleriano é convexo.

É o sólido limitado unicamente por superfície plana. - Cálculo do número de arestas
H G
O número de arestas de um poliedro é dado por:

E ∑ n.F
F A=
D C 2
Onde:

A B F – é número de faces
n - é o número de lados de cada face
Elementos:
- Poliedros regulares ou poliedros de Platão.
Faces – São as superfícies planas que limitam o sólidos.
(ABCD, EFGH, CBFG, ...) São aqueles em que todas as faces são polígonos
regulares congruentes e todos os ângulos poliédricos são
Arestas – são as interseções das faces, duas a duas. congruentes.
(AB, BC, CD, BF, ...) Só existem cinco poliedros regulares, são eles:

Vértices – São os pontos comuns a três ou mais arestas. Tetraedro – as faces são triângulos equiláteros.
(A, B, C, D, E. ...) Hexaedro – as faces são quadrados.
Octaedro – as faces são triângulos equiláteros.
Diagonais – São os segmentos de reta que unem dois Dodecaedro - as faces são pentágonos regulares.
vértices, não pertencentes a uma mesma face. Icosaedro – a faces são triângulos equiláteros.
(AG, BH, ...)

- Poliedro Convexo.

Um poliedro é convexo quando fica inteiramente situado
num mesmo semi-espaço limitado por qualquer uma de suas
faces. Caso contrário, é chamado de poliedro não convexo.
Tetraedro regular Hexaedro regular

Convexo Não Convexo Octaedro Regular Dodecaedro regular

5. Teorema de Euler:

Em todo poliedro convexo, número de arestas A
aumentado de 2 unidades é igual ao número de vértices V
aumentado do número de faces F.
Icosaedro regular
V+F=A+2

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Projeto

EXERCÍCIOS 06) (uerj-2005-2f)

01) Um poliedro convexo é formado por 6 faces
quadrangulares e oito faces triangulares. Determine o
número de arestas e o número de vértices desse poliedro.

02) Um poliedro convexo tem 6 vértices e 8 faces. Qual o
número de arestas desse poliedro ?
O poliedro acima, com exatamente trinta faces
03) Um poliedro convexo que só tem faces triangulares e quadrangulares numeradas de 1 a 30, é usado como um
quadrangulares tem 20 vértices. Calcule o número de faces dado, em um jogo.
do poliedro sabendo que o número de faces triangulares é o Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e que,
dobro do número de faces quadrangulares. ao ser lançado, cada face tenha a mesma probabilidade de
ser sorteada.
04) (UERJ) Um Icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a Calcule:
partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As
1 a) a probabilidade de obter um número primo ou múltiplo de
medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a da 5, ao lançar esse dado uma única vez;
3
aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado
b) o número de vértices do poliedro.
na fabricação de bolas. Observe as figuras:

Prismas
1. Superfície Prismática:

É a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se
desloca paralelamente a uma direção dada (d) e apoiando-se
numa linha poligonal plana (diretriz).
Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa
esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao d
costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele
gasta 7 cm de linha.
Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um g
comprimento de linha igual a:
D
(A) 7,0m (B) 6,3m (C) 4,9m (D) 2,1m A

B C
05) Numa publicação científica de 1985, foi divulgada a
descoberta de uma molécula tridimensional de carbono, na
qual os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo
cujas faces são 12 pentágonos e 20 hexágonos regulares,
como numa bola de futebol. Em homenagem ao arquiteto
norte-americano Buckminster Fuller, a molécula foi
denominada fulereno. Determine o número de átomos de A superfície prismática pode ser aberta ou fechada, se a
carbono (vértices) nessa molécula e o número de ligações linha poligonal for aberta ou fechada, respectivamente.
entre eles (arestas).
As geratrizes que passam pelos vértices da diretriz
chamam-se arestas da superfície.
(A) 65 átomos e 40 ligações
(B) 60 átomos e 90 ligações 2. Prisma:
(C) 60 átomos e 45 ligações
(D) 80 átomos e 90 ligações É o sólido limitado por uma superfície prismática fechada
(E) 60 átomos e 30 ligações e por dois planos paralelos que interceptam todas as
geratrizes.
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α
H G

E F h
h

β
D C
(Prisma Reto)
(Prisma Oblíquo)
A B
5. Prisma Regular:
As faces ABCD e EFGH são polígonos congruentes
chamadas de bases do prisma. As demais faces, chamadas de É todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares.
faces laterais, são paralelogramos.
6. Áreas do Prisma:
3. Elementos dos prisma:
1º) Área lateral (Al)
H G
É a soma das áreas das face laterais

E F 2º) Área total. (At).

h
É a soma da área lateral (Al) com a área das bases (Ab).

At = Al + 2Ab
D C
7. Volume:

A B Pelo princípio de CAVALIÉRE, o volume de um prisma
Arestas da base: qualquer é igual ao produto da área da base (Sb) pela altura
AB = EF, BC = FG, CD = GH, AD = EH h.

V = Ab . h
Arestas laterais: AE = BF = CG = DH

Altura: h (distância entre as duas a bases).
Exercícios
4. Classificação dos Prismas:
07) Dadas as figuras dos prismas abaixo:
1º)Quanto aos Polígonos das bases:
a) Paralelepípedo Retângulo b) Cubo ou Hexaedro
Podem ser triangular, quadrangular, pentagonal, etc.

2º) Quanto as arestas laterais:
c D
a D
Podem ser: reto ou oblíquo. b
a
a
d
Prisma reto – As arestas laterais são perpendiculares às a d
bases.

Prisma oblíquo – as arestas laterais são oblíquas às bases
Calcule a área total, o volume e as diagonais de ambos em
função de suas arestas.

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Projeto

08) Quantos litros de água cabem em um reservatório em 12) (PM-05-1) Um tijolo de sorvete de meio litro tem duas de
forma de paralelepípedo medindo internamente 2 m por 2 m suas dimensões iguais a 16,5 cm e 4,0 cm. A terceira
de base e 1,2 m de altura? dimensão mede aproximadamente:

(A) 800 (B) 1.200 (C) 1.600 (D) 4.800 (E) 5.200 (A) 6,0 cm (B) 6,5 cm (C) 7,0 cm (D) 7,6 cm

09) (PM-00) O perímetro do polígono formado pelos 13) (ENEM – 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz
segmentos que unem os centros das quatro faces laterais de diversos objetos maciços utilizando ferro. Um tipo especial de
um cubo de aresta medindo 4 cm é: peça feita nessa companhia tem o formato de um
(A) 2 2 (B) 8 2 (C) 4 2 (D) 6 2 (E) 16 paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões
indicadas na figura que segue.
10) (PM-04) Seis blocos de concreto, em forma de
paralelepípedo retângulo, foram utilizados na construção da
escada representada abaixo:

O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na
medida da grandeza:

3y (A) massa. (B) volume. (C) superfície.
(D) capacidade. (E) comprimento.
2y
14) (UFF-01) Uma piscina tem a forma de um prisma reto,
] cuja base é um retângulo de dimensões 15 m e 10 m.
3x
Se esses blocos são congruentes, a expressão algébrica que A quantidade necessária de litros de água para que o nível
corresponde ao volume de concreto necessário para a de água da piscina suba 10 cm é:
construção da escada é: (A) 0,15 L (B) 1,5 L (C) 150 L (D)1.500 L (E) 15.000 L
2 2 2 2
(A) 18 x y (B) 18 xy (C) 12 xy (D) 12 x y 15) (ENEM – 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates
no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo
11) (UERJ-UENF-2001-2ªF) Na construção de um hangar, com volume. As arestas da barra de chocolate no formato de
a forma de um paralelepípedo retângulo, que possa abrigar paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de
um Airbus, foram consideradas as medidas apresentadas comprimento e 4 cm de espessura.
abaixo. Analisando as características das figuras geométricas
descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o
formato de cubo é igual a:

(A) 5 cm (B) 6 cm (C) 12 cm (D) 24 cm (E) 25 cm
16) (UFF) Uma caixa de papelão, na forma de um
paralelepípedo retângulo, é obtida dobrando-se o molde
abaixo nas linhas tracejadas.
3
O volume da caixa, em cm , é:

(A)120
(B) 180 14 cm
(C) 240
(D) 480
(E) 540 13 cm
Calcule o volume mínimo desse hangar.
10 cm

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17) Na fabricação da peça abaixo, feita de um único material 22) (UFRJ) Os pontos J e I são os pontos médios das arestas
3
que custa R$ 5,00 o cm , deve-se gastar a quantia de: do cubo sugerido na figura:

θ

J

(A) R$ 400,00 (B) R$ 380,00 (C) R$ 360,00 I
(D) R$ 340,00 (E) R$ 320,00 a) Calcule, em função da medida a da aresta do cubo, a
distância de I e J.
18) (UERJ-2004-1ª fase) As esferas da figura abaixo
representam os íons formadores de um cristal de cloreto de b) Determine a medida θ do ângulo IKJ .
ˆ
sódio.

23) (UFRJ) Uma caixa sem tampa, completamente cheia de
leite tem a forma e um paralelepípedo retângulo de
dimensões internas a = 10 cm, b = 7 cm e c = 16 cm.
Inclina-se a caixa de 60º em relação ao plano horizontal
de modo que apenas uma das menores arestas fique em
Considere que o íon com maior número de camadas contato com o plano, como mostra a figura:
eletrônicas é representado pela esfera de maior raio e que a
distância entre os núcleos dos íons X e Y vale 10 3
unidades de comprimento.
O símbolo do elemento formador do íon de menor tamanho
e a menor distância, na mesma unidade de comprimento,
entre o núcleo de um cátion e o núcleo de um ânion, são:

(A)Cℓ, 3 (B) Na, 3 (C) Cℓ, 5 (D) Na, 5 c

19) (PUC) Se a área da base de um prisma diminui de 10% e a 60º
altura aumenta 20%, o seu volume:
b
(A) aumenta de 8% (B) aumenta de 15% a
(C) aumenta de 108% (D) diminui de 8%
(E) não se altera.

20) (UFF – 98) Em um cubo de aresta l , a distância entre o Calcule o volume do leite derramado.
ponto de encontro de suas diagonais internas e qualquer de
suas arestas é: 24) (UERJ-2004-2F) Dois prismas regulares retos P1 e P2 , o
primeiro de base triangular e o outro de base hexagonal, têm
l 3 l 2 l a mesma área da base e a mesma área lateral.
(A) l 3 (B) l 2 (C) (D) (E)
2 2 2 A razão entre o volume de P1 e o de P2 equivale a:

21) (UFRJ-2003-PNE) Uma pedra de massa 25 kg tem a forma 2 6
de um paralelepípedo com 2 cm de espessura. Sua base é um (A) (B)
quadrado com 1 m de lado. Qual a massa de uma outra 3 3
pedra, do mesmo material, que tem a forma de um 3
paralelepípedo com 2 m de comprimento, 80 cm de largura (C) (D) 1
2
e 3 cm de espessura?

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25) (UFRJ-04-PNE) Uma barra de sabão ABCDEFGH, com 28) (AFA-97) Qual deve ser a medida da altura de um prisma
forma de um paralelepípedo retângulo, foi cortada pelo reto, cuja base é um triângulo equilátero de lado a, para que
3
plano que contém os pontos C, D, F e G, como mostrado na seu volume tenha valor a ?
figura 1. O sólido ABCDFG obtido, foi cortado, mais uma vez,
pelo plano que contém os pontos M, N, P e Q que são, a 3 3a 3 a 3 4a 3
respectivamente, os pontos médios das arestas AD, BC, CG e (A) (B) (C) (D)
4 4 3 3
DF, como ilustrado na figura 2.
29) Uma caixa d'água tem o espaço interno na forma de
cubo com 1 metro de aresta. Retira-se um litro de água da
mesma o que baixa o nível da água em seu interior. De
quanto baixa esse nível?

(A) depende de quanta água havia (B) 1 metro
(C) 10 centímetros (D) 10 milímetros
(E) 1 milímetro

30) (UERJ – 2011 -1º ex) A embalagem de papelão de um
Calcule a razão entre o volume do sólido CDMNPQ determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a
resultante deste segundo corte (ilustrado na figura 3) e o forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm.
volume da barra de sabão original.

26) (UFRJ-06-PE) A figura abaixo corresponde à planificação
de um prisma regular hexagonal de altura 2a e perímetro da
base igual a 3a.

Em relação ao prisma, considere:
- cada um dos ângulos A, B, C e D da base superior mede
120º;
- as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada.

Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a
2
embalagem custa R$10,00 por m e que 3 = 1,73.
Na confecção de uma dessas embalagens, o valor,
em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente
igual a:
Determine a distância entre os pontos P e Q no prisma.
(A) 0,50 (B) 0,95 (C) 1,50 (D) 1,85
27) (UERJ-03-2ªF)Para uma demonstração prática, um
professor utiliza um tanque com a forma de um 31) (ENEM – 2010) Um porta-lápis de madeira foi construído
paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O
correspondem a 30 cm de largura, 60 cm de comprimento e cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm
50 cm de altura. Esse tanque possui uma torneira que pode e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm.
enchê-lo, estando ele completamente vazio, em 10 minutos,
e um ralo que pode esvaziá-lo, estando ele completamente O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi
cheio, em 18 minutos. de:
3
O professor abre a torneira, deixando o ralo aberto, e solicita (A) 12 cm
3
que um aluno registre o tempo decorrido (B) 64 cm
3
até que o tanque fique totalmente cheio. (C) 96 cm
3
(D) 1 216 cm
3
Estabeleça o tempo que deve ser registrado pelo aluno. (E) 1 728 cm

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32) (UERJ-2010-1ºEX) A figura abaixo representa uma piscina 2. Cilindro:
completamente cheia de água, cuja forma é um prisma
hexagonal regular. É o sólido limitado por uma superfície cilíndrica fechada e por
dois planos paralelos que interceptam todas as geratrizes.

0’ r
0 e 0’ → centros das bases.
g → geratriz
h → altura g
h

r
0

3. Classificação dos cilindros:
Admita que:
– A, B, C e D representam vértices desse prisma; São classificados de acordo com o ângulo formado pela
geratriz com os planos das bases.
3
– o volume da piscina é igual a 450 m e
• Cilindro reto;
– um atleta nada, em linha reta, do ponto A até o ponto A geratriz (g) é perpendicular às bases.
médio da aresta CD,utilizando apenas glicose como fonte de Neste caso, a medida da geratriz é igual à altura (h), (g = h).
0’
energia para seus músculos.

A velocidade média do atleta no percurso definido foi igual a
1,0 m/s. h g

O intervalo de tempo, em segundos, gasto nesse percurso
equivale a cerca de: 0

(A) 12,2 (B) 14,4 Obs.: Todo cilindro reto pode ser obtido pela rotação
(C) 16,2 (D) 18,1 completa de um retângulo em torno de um dos seus lados.
Por isso ele também é chamado de cilindro de revolução.

Cilindros r 0’

1. Superfície Cilíndrica:
h=g 00' − é o eixo de rotação.
É a superfície gerada por uma reta móvel g (geratriz)
que se desloca paralelamente a uma direção (∆) e apoiando-
se numa linha curva dada d (diretriz). r 0
∆

g • Cilindro oblíquo:

d
A geratriz (g) é oblíqua às bases.

0’ r

g h
A superfície cilíndrica pode ser aberta ou fechada e conforme
a natureza da diretriz ela pode ser circular, elíptica,
parabólica, etc. No nosso caso estudaremos somente as
circulares. 0 r

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4. Secções Teremos:

• Secção transversal: É obtida seccionando o cilindro por um • Área lateral (Al) • Área da Base (Ab)
plano paralelo à base. Essa secção é um círculo congruente à
Ab = πr
2
base. Al= 2πrh

• Área Total (At)

At = Al + 2Ab At = 2πr (h + r)

• Volume (V)
• Secção Meridiana: É obtida seccionando o cilindro por um
V = πr . h
plano que contém o seu eixo. 2
V = Ab . h
0’

Exercícios
h
33) (UFF) - Um reservatório, na forma de um cilindro circular
reto, tem raio da base r, altura h e volume V. Deseja-se
r
construir outro reservatório que tenha, também, a forma de
0 r
um cilindro circular reto, volume V, porém, raio da base igual
Obs.: A secção meridiana de um cilindro circular reto é um r
retângulo. Se h = 2r, essa secção é um quadrado, nesse caso, a e altura H. A relação entre as alturas desses
2
dizemos que o cilindro é equilátero.
reservatórios é dada por:
0’
h
(A) H = 4h (B) H = 2h (C) H =
2
h = 2r h
(D) H = (E) H = h
4

r 0 r 34) (UFRJ) A casa da Moeda está cunhando moedas de ouro
de raios diferentes e mesma espessura. A moeda de 1,5 cm
de raio tem 18g de massa. Qual a massa da moeda de 2,5 cm
5. Áreas e volume de um cilindro:
de raio ?
Planificando o cilindro (Fig. 1)
35) (UERJ – 2001 -2º EXAME) Um recipiente cilíndrico de 60
0’ cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma
superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40
0’ cm, conforme indicado na figura.

h h
Sl

Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o
nível da água sobe 25%.
0 r
Considerando π igual a 3, a medida, em cm, da aresta do
(Fig. 1) 0 cubo colocado na água é igual a:
r
3 3
2πr (A) 10 2 (B) 10 2 (C) 10 12 (D) 10 12
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36) (UFF)- Um tonel de forma cilíndrica, cheio d’água, é
inclinado conforme mostra a figura, derramando parte de seu
conteúdo. Se a altura desse tonel é o quádruplo do raio de
sua base, pode-se afirmar que a razão entre a quantidade de
água derramada e a quantidade de água que ainda ficou no
tonel é:

(A) a quantidade de água economizada foi de 4,5 m3.

(B) a altura do nível da água que sobrou no reservatório,
45º no final do dia, foi igual a 60 cm.

(C) a quantidade de água economizada seria suficiente
2
(A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 3/4 (E) para abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo
2 diário fosse de 450 litros.

37) (UERJ-2006-1ºEX) Para a obtenção do índice (D) os moradores dessas casas economizariam mais de
pluviométrico, uma das medidas de precipitação de água da R$ 200,00, se o custo de 1 m3 de água para o
chuva, utiliza-se um instrumento meteorológico denominado consumidor fosse igual a R$ 2,50.
pluviômetro.
A ilustração abaixo representa um pluviômetro com área de (E) um reservatório de mesma forma e altura, mas com
2
captação de 0,5 m e raio interno do cilindro de depósito de raio da base 10% menor que o representado, teria
10 cm. água suficiente para abastecer todas as casas.

39) (ENEM-2010) Dona Maria, diarista na casa da família
Teixeira precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se
encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona
Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos,
também cilíndricos.

Considere que cada milímetro de água da chuva depositado
2
no cilindro equivale a 1 L/m .
No mês de janeiro, quando o índice pluviométrico foi de 90
mm, o nível de água no cilindro, em dm, atingiu a altura de, Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja
aproximadamente: colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher
os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona
(A) 15 (B) 25 (C) 35 (D) 45 Maria deverá:

38) (ENEM-08) A figura ao lado mostra um reservatório de (A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume
água na forma de um cilindro circular reto, com 6 m de 20 vezes maior que o volume do copo.
altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é
suficiente para abastecer, por um dia, 900 (B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20
casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água. vezes maior que o volume do copo.
Suponha que, um certo dia, após uma campanha de
conscientização do uso da água, os moradores das (C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10
900 casas abastecidas por esse reservatório tenham feito vezes maior que o volume do copo.
economia de 10% no consumo de água. Nessa situação,
(D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10
vezes maior que o volume do copo.

(E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10
vezes maior que o volume do copo.
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40) (ENEM-2010) Para construir uma manilha de esgoto, um 43) (UFRJ-2011) Considere a superfície cilíndrica S obtida a
cilindro com 2 m de diâmetro e 4m de altura (de espessura partir da superposição dos segmentos AB e DC do retângulo
desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma ABCD indicado a seguir.
camada de concreto, contendo 20 cm de espessura.

Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e
tomando 3,1 como valor aproximando de π, então o preço
dessa manilha é igual a:

(A) R$ 230,40. (B) R$ 124,00.

(C) R$ 104,16. (D) R$ 54,56.

(E) R$ 49,60

41) (ENEM-2010) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda
para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o Uma formiga percorreu o caminho mais curto sobre a
formato de um prisma reto com base triangular, cujas superfície S, partindo do ponto P para chegar ao ponto Q.
dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10
cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração Determine o comprimento desse caminho.
na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas
faces laterais, conforme mostra a figura. Cone
1. Superfície Cônica:

É a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se desloca
passando sempre por um ponto fixo V(vértice) e apoiando-se
numa linha curva plana dada d (diretriz).

V

g

d

O raio da perfuração da peça é igual a:

(A) 1 cm. (B) 2 cm. (C) 3 cm. A superfície cônica pode ser aberta ou fechada e
conforme a natureza da diretriz ela pode ser circular ou
(D) 4 cm. (E) 5 cm. elíptica. No nosso caso, estudaremos somente as circulares.

42) Determine o volume do sólido abaixo: 2. Cone:

É o sólido limitado por uma superfície cônica fechada e por
um plano que interpreta todas as geratrizes.
V

0 → centro da base
g → geratriz
10
h → altura g
h
0V → eixo
6
V → vértice
r → raio
r 0 r
2 0 2

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3. Classificação dos cones: • Secção Meridiana: É obtida seccionando o cone por um
São classificados de acordo com a inclinação de seu eixo. plano que contém o seu eixo.
• Cone Reto: V

O eixo é perpendicular à base. Neste caso, a medida do eixo é
igual a altura.
g g

h g
Relação Métrica: r 0 r

Obs.:
2 2 2
r r
g =h +r A secção meridiana de um cone circular reto é um triângulo
0
isósceles. Quando esse triângulo é equilátero (g = 2r), o
cone é chamado cone equilátero.
Obs. Todo cone reto pode ser obtido pela rotação completa V
de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
Por isso ele também é chamado de cone de revolução.
V

g = 2r

g h

r 0 r
r 0

• Cone Oblíquo 5. Áreas e volume de um cone:

O eixo é oblíquo à base. Planificando o cone (Fig. 1)
V
V
g

h
g Sl
g

0 r r
Sb
0
0 r
4. Secções:
(Fig 1)
C = 2πr
• Secção transversal: É obtida seccionando o cone por um
plano paralelo à base. Essa secção é um círculo.

• Área lateral (Al):

É obtida calculando-se a área do setor circular de raio g,
através de uma regra de três simples, ou seja:

Área Comprimento do Arco
πg
2
2πg
Al 2πr

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11

Projeto

πg 2 2πg
47) (UFRJ-01-PNE) Um recipiente em forma de cone circular
= , simplificando: reto de altura h é colocado com vértice para baixo e com eixo
Al 2πr na vertical, como na figura. O recipiente, quando cheio até a
borda, comporta 400 ml.
Al = πrg

• Área da base (Ab): Ab = πr
2

• Área total (At): At = Al + Ab = πrg + πr
2

At = πr (g + r)

• Volume: h
Determine o volume de líquido quando o nível está em .
O volume do cone é igual a 1/3 do vlome do cilindro 2
1 48) (UERJ 2011- 2ºex qualif) Um sólido com a forma de um
V = . Ab . h cone circular reto, constituído de material homogêneo, flutua
3
em um líquido, conforme a ilustração abaixo.

πr 2 ⋅ h
V=
3

Exercícios

44) A figura abaixo representa um lápis de 8 mm de diâmetro Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio
apontado: Use π=3 pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o
volume do sólido será igual a:
8 mm
(A) ½ (B) ¾ (C) 5/6 (D) 7/8

12 cm 2 cm 49) (UFF) Considere um cone equilátero de raio r e volume V.
Seccionou-se este cone a uma distância h do seu vértice por
Determine o volume deste lápis. um plano paralelo a sua base;
V
obteve-se, assim, um novo cone de volume .
45) (AFA-97) A razão entre os volumes de dois cones 2
eqüiláteros de alturas h e 2h é Expresse h em termos de r.

(A) 1/2 (B) 1/4 (C) 1/6 (D) 1/8 50) (UFRJ-01-PE) Dois cones circulares retos têm bases
tangentes e situadas no mesmo plano, como mostra a figura.
46) Calcule o raio do cone da figura abaixo, sabendo que Sabe-se que ambos têm o mesmo volume e que a reta que
inicialmente o cone estava vazio e o cilindro totalmente cheio suporta uma das geratrizes de um passa pelo vértice do
e na situação abaixo o cone encontra-se totalmente cheio. outro.

Sendo r o menor dentre os raios das bases, s o maior e
Sabe-se que a altura do cone é de 6dm e que a altura e o raio r
da base do cilindro medem respectivamente 9dm e 2dm .
x= , determine x.
s
2011
12

Projeto

51) (AFA-01) A área total do sólido gerado pela rotação do A superfície piramidal pode ser aberta ou fechada,
polígono ABCDE em torno do eixo y, que contém o lado AE, é, respectivamente.
2
em m , igual a
y
2. Pirâmide:
Dados:
(A) 144π D C
(B) 150π AE = 2m É o sólido limitado por uma superfície piramidal fechada
(C) 168π e por um plano que intercepta todas as geratrizes.
AB = 6m
(D) 170π E V
BC = 6m

A B CD = 3m

h

52) (UERJ-2010-2ºEX) A figura abaixo representa um D C
recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio
a 27%. O nível desse líquido tem 12 cm de altura. A figura
abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa A B
de hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido tem 12
cm de altura. O polígono ABCD é a base da pirâmide.

AB, BC, CD, AD . São as arestas da base da pirâmide.

VA, VB, VC, VD são as arestas laterais da pirâmide.

AVB, BVC, CVD, AVD são as faces laterais da pirâmide.

A distância h do ponto V ao plano da base é a altura da
pirâmide.

Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial Quanto ao polígono da base a pirâmide é triangular
com água, até completar o recipiente, obtendo-se a solução (tetraedro), quadrangular, pentagonal, etc.
aquosa do hipoclorito de sódio a 8%.
Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a : 3. Pirâmide Regular:

(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22 É aquela cuja base é um polígono regular e a projeção do
vértice sobre o plano da base coincide com o centro da base.
V
Pirâmides
1. Superfície Piramidal:
h
É a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se
D C
desloca passando sempre por um ponto fixo V (vértice) e
apoiando-se numa linha poligonal plana dada (diretriz). O
V A B

g ABCD é o polígono da base, nesse caso é um quadrado.
D
A O é o centro da base.
B C
V é o vértice da pirâmide.

VO = h é a altura da pirâmide.

2011
13

Projeto

4. Elementos de uma pirâmide regular: Sendo A’B’C’D’ paralelo a ABCD a razão entre as áreas é
dada por:
V
2
área de A' B' C' D'  d 
= 
área ABCD h

Al Ap
6. Volume da Pirâmide:

C B Todo prisma triangular pode ser decomposto em três
pirâmides triangulares (tetraedros) equivalentes entre si.
R O An M Z X

D a A V

Apótema da pirâmide (Ap) – é a altura em relação em
relação à base, de uma de suas faces laterais, que são
triângulos isósceles.

Ap = VM A C

Apótema da base da pirâmide OM = An.
B
Raio do círculo circunscrito à base Seja o prisma triangular ABCVXZ.
OA = OB = OC = OD = R.
Se cortarmos esse prisma pelos planos ACV e CVZ, as
Arestas da base AB = BC = CD = AD = A. pirâmides são equivalentes, por terem bases congruentes e a
mesma altura (bases e altura do prisma).
As pirâmides VACZ e VCXZ também são equivalentes, por
Arestas laterais VA = VB = VC = VD = A
terem a mesma altura, distância de V à face ACXZ do prisma,
e bases equivalentes, ACZ e CZX, como metades do
paralelogramo ACXZ.
5. Tronco de Pirâmide:
Portanto as três pirâmides VABC, VCXZ e VACZ são
equivalentes. Como as três pirâmides têm o mesmo volume,
É a porção da pirâmide compreendida entre a base e uma
cada uma delas terá um terço do volume do prisma, ou seja:
seção plana que intercepta todas as arestas laterais.
Quando a seção for paralela à base, temos um tronco de
1
pirâmide de bases paralelas. V pirâmide = ⋅ V prisma
A distância entre as bases é a altura do tronco. 3
V
Ab ⋅ h
V pirâmide = , onde:
3
d
D’
C’
h Ab – é a área da base.
A’ h – é a altura.
O’ B’
H Obs: Tal fórmula é válida para qualquer pirâmide, pois
D C
sempre podemos dividir uma pirâmide em várias de bases
triangulares.
O
A B
Área Total At = Al + Ab
H é a altura do tronco.

2011
14

Projeto

Al – Somatórios das áreas dos triângulos das faces laterais
Ab – Área do polígono da base

Tetraedro Regular

Quando todas as suas faces são triângulos eqüiláteros.
V

Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em
3
cada ano de trabalho é, em dm , igual a:
A C
V – Vértice G (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15
M

G – Baricentro da base B 55) (UFF–00) No tetraedro regular representado na
figura, R e S são, respectivamente, os pontos médios de NP e
a 6
VG – Altura do tetraedro → h= OM. P
3
AM – Altura da base
a3 2 .
AT = a 2 3 V = R
12 O

EXERCÍCIOS PROPOSTOS
.
S
N M
53) (uff-2005-1f) A grande pirâmide de Quéops, antiga RS
construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de A razão é igual a:
base quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa MN
pirâmide é um triângulo isósceles cuja a altura relativa à base 3 2
mede 179 m. (A) 3 (B) (C) 2 (D) (E) 3 2
2 2 2
A área da base dessa pirâmide, em m , é:

(A) 13.272 (B) 26.544 (C) 39.816 56) (UFRJ-00-PNE) Uma pirâmide regular tem base quadrada
de área 4. Ela é seccionada por um plano paralelo à base de
(D) 53.088 (E) 79.432
modo a formar um tronco de pirâmide de altura 2 e de base
superior de área 1.
54) (UERJ – 2002 -1º EXAME)
Determine o valor da aresta lateral do tronco de pirâmide.

57) (UERJ-93-2ª FASE) ABCD é um tetraedro regular de aresta
a. O ponto médio da aresta AB é M e o ponto médio da
aresta CD é N. Calcule:

Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-de- a) MN
mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado
na figura abaixo, formado por uma pirâmide reta sobreposta b) seno do ângulo $
NMD .
a um paralelepípedo retângulo.

2011
15

Projeto

58) (AFA-06) Um cubo tem quatro vértices nos pontos Dobrando-a nas linhas BE = CE ,constrói-se um objeto que
médios das arestas laterais de uma pirâmide quadrangular tem a forma de uma pirâmide.
regular, e os outros quatro na base da pirâmide, como
mostra a figura abaixo.

Desprezando a espessura da chapa, calcule o cosseno do
ângulo formado pela aresta AE e o plano ABC.
A razão entre os volumes do cubo e da pirâmide é: 61) (UNICAMP – 2003) Considere um cubo cuja aresta mede
10cm. O sólido cujos vértices são os centros das faces do
3 1 3 1 cubo é um octaedro regular, cujas faces são triângulos
(A) (B) (C) (D) eqüiláteros congruentes.
4 2 8 8
a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular.
59) (UFRJ-2010) A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD
e ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a. b) Calcule o volume do mesmo octaedro.
Considere o cubo de volume máximo
contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A,
como ilustra a figura ao lado. ESFERAS
1. Definição:
É o sólido gerado pela rotação completa de um semi-círculo
em torno de seu diâmetro.

R R

• Superfície esférica – é a superfície gerada pela semi-
Determine a medida da aresta desse cubo em função de a.
circunferência

60) (UERJ-2001-2ªF) 2. Secções :
Toda secção plana de uma esfera é um círculo.
Quando o plano da secção passa pelo centro da esfera, temos
um círculo máximo.

R – raio da esfera
0’ r
0 – centro da esfera
0’ – centro da secção d
R
d – distância do centro
da esfera à secção. 0
A figura acima representa uma chapa de metal com a forma
de um triângulo retângulo isósceles em que
Da figura temos:
AB = BC = CD = 2 cm .
2 2 2
R =d +r

2011
16

Projeto

3. Pólos: 5. Zona esférica:

Denominamos pólos de um círculo da esfera as É a porção da superfície esférica compreendida entre dois
extremidades do diâmetro perpendicular ao plano dessa
planos paralelos.
secção.
O pólo de um círculo da esfera é eqüidistante de todos os Os círculos determinados pelos dois planos paralelos são as
pontos da circunferência desse círculo. bases da zona e a distância entre eles é a altura (h).
P1

h Zona esférica
A
d
2R
0
0

P2
• P1 e P2 são os pólos.
Obs.: Se um dos planos for tangente à esfera, uma das bases
• P1 A e P2 A são as distâncias polares. reduzirá a um ponto, teremos a zona de uma só base, que se
denomina Calota Esférica.
• No triângulo retângulo P1AP2, temos:
h
2 Calota Esférica
P1A = 2R (R − d)
2
P2 A = 2R (R + d)
0
4. Considerando a superfície esférica de eixo e:
e
P1

P

0 6. Fuso esférico
E

É a porção da superfície esférica compreendida entre duas
M semi-circunferências máximas de mesmo diâmetro.
P2

Teremos: Fuso Esférico
R
• Meridiano (M) – é a secção determinada por um plano que
contém o eixo e.
• Equador (E) – é a secção determinada por um plano 0 θ
perpendicular ao eixo e e passando pelo centro da esfera.
• Paralelos (P) – são as secções obtidas por planos
perpendiculares ao eixo e, e que não passam pelo centro da R
esfera.

Os semi-planos e os semi-círculos formam um diedro, cujo
ângulo plano θ é o ângulo do fuso.

2011
17

Projeto

7. Área e volume: 64) (UFRJ-2003-PNE) Considere um retângulo, de altura y e
base x, com x > y, e dois semicírculos com centros nos lados
Demonstra-se que a área da superfície esférica de raio R é do retângulo, como na figura abaixo.
dada por:
2
At= 4πR

O volume é dado por:

4
V= πR 3
3 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
sombreada em torno de um eixo que passa pelos centros
dos semicírculos.
Exercícios
65) (UFRJ-2004-PE) Uma esfera de vidro, de diâmetro interno
62) (UFF – 97) Na figura estão representados três sólidos de 10 cm, está cheia de bolas de gude perfeitamente esféricas,
mesma altura h — um cilindro, uma semi-esfera e um prisma de raio 1 cm.
Se n é o número de bolas de gude dentro da esfera,
— cujos volumes são , respectivamente.
indique qual das opções a seguir é verdadeira:

Opção I : n > 125
Opção II : n = 125
Opção III : n < 125

Justifique a sua resposta.
A relação entre é:

(A) V3 < V2 < V1 66) (UFRJ-02-PE) Considere uma esfera E1 , inscrita, e outra
(B) V2 < V3 < V1 esfera E2 circunscrita a um cubo de aresta igual a 1cm.
(C) V1 < V2 < V3 Calcule a razão entre o volume de E2 e o volume de E1 .
(D) V3 < V1 < V2
3
(E) V2 < V1 < V3 67) (UFRJ-98-PE) Ping Oin recolheu 4,5 m de neve para
construir um grande boneco de 3m de altura, em
63) (UERJ – 2001 -1º EXAME) O modelo astronômico comemoração à chegada do verão no Pólo Sul.
heliocêntrico de Kepler, de natureza geométrica, foi
construido a partir dos cinco poliedros de Platão, inscritos em O boneco será composto por uma cabeça e um
esferas concêntricas, conforme ilustra a figura abaixo corpo, ambos em forma de esfera, tangentes, sendo o corpo
maior que a cabeça, conforme mostra a figura a seguir.

Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping
Oin aproximou π por 3.

A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida do
diâmetro da esfera a ele circunscrita, é:

3 3 3
(A) 3 (B) (C) (D)
2 3 4
Calcule, usando a aproximação considerada, os
raios das duas esferas.

2011
18

Projeto

68) (UFF-1ªfase-2011) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola 70) A escultura sólida abaixo foi feita toda em bronze pelo
de futebol deve passar por vários testes. Um deles visa escultor Zé Roscof, sendo ABCD a base quadrada (da
garantir a esfericidade da bola: o seu “diâmetro” é medido pirâmide regular onde VA = VB = VC = VD = AB = BC= 2 m) ;
em dezesseis pontos diferentes e, então, a média aritmética totalmente inscrita no círculo máximo da semi-esfera.
desses valores é calculada. Para passar nesse teste, a
variação de cada uma das dezesseis medidas do “diâmetro”
da bola com relação à média deve ser no máximo 1,5%.
Nesse teste, as variações medidas na Jabulani, bola oficial da
Copa do Mundo de 2010, não ultrapassaram 1%.

Calcule:

a) o volume de bronze utilizado.

b) A quantidade de litros de impermeabilizante, utilizado
em todo o sólido, sabendo que 300 ml de
2
impermeabilizante, impermeabiliza uma área de 1 m (use
Se o diâmetro de uma bola tem aumento de 1%, então o seu π = 3 ; 2 = 1,4 e 3 = 1,7 )
volume aumenta x %.

Dessa forma, é correto afirmar que GABARITOS

01) A=24 e V=12 02) A=12 03) F=27

04) B 05) B 06) a) ½ b) V=32
69) (UFRJ-2008-PE) Um cone circular reto de altura H
circunscreve duas esferas tangentes, como mostra a figura a 07) a) At = 2(ab + ac + bc) ; V = a.b.c ; D = a 2 + b2 + c2
seguir. 2 3
b) At = 6a ; V = a ; D= a 3
A esfera maior tem raio de 10 cm e seu volume é oito vezes o
08) D 09) B 10) C
volume da menor.
11)140392,14 12) D 13) B

14) E 15) B 16) C

17) B 18) D 19) A

20) D 21) 60 kg

22) a) a 6 b) 4 5 23) V = 350 3 cm 3
θ = arccos



2 3
 15 

24) B 25) 1/8 26) a 2
Determine H.
27) 22 min 30s 28) D 29) E

30) B 31) D 32) D

33) A 34) 50g 35) D

2011
19

Projeto

36) B 37) 38) B Questão 6
a)
39) A 40) D 41) B
Primos ⇒ A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}

42) 8π 43) 3 2 44) V=6,08 cm
3 Múltiplos de 5 ⇒ B = {5, 10, 15, 20, 25, 30}
10 6 1 15 1
P(AUB) = + − = =
45) D 46) r = 3dm 47) 50 ml 30 30 30 30 2
b)
49) h = 3 ⋅ 4 r A = nº arestas 
3
48) D
2  4F = 2A ⇒ A = 60
F = nº faces 
−1+ 5
50) x= 51) C 52) B
2 V = nº de vértices
53) D 54) D 55) D V+F=A+2 ⇒ V = 32
Questão 50)
3 2
56) l = 57) a) a 2 b) 3
2 2 3 Sejam H e h respectivamente as alturas do cone de raio
menor r e do cone de raio maior
6 s. Por semelhança de triângulos temos:
58) D 59) a/3 60)
3
500 3
61) a) CD = 5 2 cm b) cm 62) E
3 Como os cones têm o mesmo volume,
2 2
Hr = hs . Logo,
πy 2 (3 x − 2 y )
63) C 64) V=
12
65) opção III 66) 3 3 67) ½ e 1
Daí, obtemos:
68) D 69) h=10 e H = 40

70) em aula. 3
Dividindo ambos os lados da equação em por s , obtemos:

Questão 4)

Cada um dos 12 vértices serão arrancados do icosaedro, por Como x = r/s, podemos expressar a equação ) na forma:
isso teremos 12 pirâmides. Não é difícil visualizar que cada
uma dessas pirâmides tem base pentagonal, ou seja, o x + 2x − 1 = 0
3 2
polígono resultante terá 12 faces pentagonais (gomos
pretos), e as demais faces serão hexagonais uma para cada
−1+ 5 −1− 5
face do antigo icosaedro, logo 20 faces hexagonais (gomos Obtemos: x1 = e x2 =
brancos). Daí teremos: 2 2
Como x é positivo temos:
12 faces pentagonais = 12 . 5 = 60 arestas
−1+ 5
20 faces hexagonais = 20 . 6 = 120 arestas x=
2
Daí o poliedro resultante terá:

60 + 120 180
A= = = 90
2 2
Como o poliedro que irá gerar a bola terá 90 arestas e estas
serão costuradas com 7 cm de linha, usaremos um total de 7 Questão 56)
x 90 = 630 cm de linha = 6,3 m de linha (LETRA B).

2011
20

Projeto

1
( )
B) b) O volume do octaedro regular é igual a 2 ⋅ ⋅ 5 2
3
2
⋅5 ,

500 3
ou seja, cm .
3

Questão 64)

Questão 65)
Sejam A, B, C e D os vértices da base da pirâmide, A’, B’, C’ e Opção III, já que o volume interno do recipiente é de
D’ os respectivos vértices da base superior do tronco de
4 3
4
pirâmide ( como na figura) e l o valor da aresta AA’. π .125 cm e o volume de cada bola de gude é π cm3,
3 3
Considerando-se o triângulo com vértices em AA’P, onde P é mas há espaços vazios.
a projeção ortogonal do vértice A sobre a base da pirâmide,
temos: Questão 66)
A razão entre os volumes é o cubo da razão entre os
A´P = 2. Como AC = 2 2 e A´C´= 2 , concluímos que: diâmetros.
A medida do diâmetro de E1(d1) é igual à medida da aresta do
cubo (1cm).
2 18 A medida do diâmetro de E2(d2) igual à medida da hipotenusa
AP = , pelo teorema de Pitágoras : l =
2
do triângulo retângulo cujos catetos são a aresta e a diagonal
2 4
da face (a), como mostra a figura ao lado.

3 2
l=
2
Questão 61)
Do enunciado temos a figura, onde os pontos A, B, C, D, E e F
são os vértices do octaedro regular:

10
10 A
5

F
D
B Questão 69)
5
E
Sejam e Rr respectivamente os raios das esferas maior e
menor. Então podemos escrever H = 2R + 2r + h, sendo h
5 a distância entre o vértice do cone e a esfera menor. Por
A) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulocotada em cm
▪ retângulo
C M hipótese,
CMD, temos: 5
2 2 2
(CD) = (CM) + (MD)
∴
2 2 2
(CD) = 5 + 5 CD = 5 2 cm

2011
21

Projeto

Para determinar h, consideremos os triângulos retângulos e
ABCADE. Por semelhança, temos:

Portanto, h=10 e H = 40

2011
22

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