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MÓDULO II – PARTE 9                          MATEMÁTICA
                      Projeto
                     Vestibular                Geometria Espacial                            Prof. Bruno Vianna



                                                                      Obs.: Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo
                      Poliedros                                   poliedro euleriano é convexo.

   É o sólido limitado unicamente por superfície plana.              - Cálculo do número de arestas
                         H                      G
                                                                     O número de arestas de um poliedro é dado por:

                E                                                       ∑ n.F
                                         F                           A=
                          D                     C                          2
                                                                     Onde:

                A                       B                            F – é número de faces
                                                                     n - é o número de lados de cada face
   Elementos:
                                                                     - Poliedros regulares ou poliedros de Platão.
   Faces – São as superfícies planas que limitam o sólidos.
   (ABCD, EFGH, CBFG, ...)                                           São aqueles em que todas as faces são polígonos
                                                                  regulares congruentes e todos os ângulos poliédricos são
   Arestas – são as interseções das faces, duas a duas.           congruentes.
   (AB, BC, CD, BF, ...)                                             Só existem cinco poliedros regulares, são eles:

   Vértices – São os pontos comuns a três ou mais arestas.           Tetraedro – as faces são triângulos equiláteros.
   (A, B, C, D, E. ...)                                              Hexaedro – as faces são quadrados.
                                                                     Octaedro – as faces são triângulos equiláteros.
   Diagonais – São os segmentos de reta que unem dois                Dodecaedro - as faces são pentágonos regulares.
vértices, não pertencentes a uma mesma face.                         Icosaedro – a faces são triângulos equiláteros.
    (AG, BH, ...)

   - Poliedro Convexo.

   Um poliedro é convexo quando fica inteiramente situado
num mesmo semi-espaço limitado por qualquer uma de suas
faces. Caso contrário, é chamado de poliedro não convexo.
                                                                      Tetraedro regular          Hexaedro regular




        Convexo                    Não Convexo                       Octaedro Regular              Dodecaedro regular


   5. Teorema de Euler:

   Em todo poliedro convexo, número de arestas A
aumentado de 2 unidades é igual ao número de vértices V
aumentado do número de faces F.
                                                                                    Icosaedro regular
                    V+F=A+2



                                                                                                                        2011
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MÓDULO II – PARTE 9                                 MATEMÁTICA
                    Projeto
                   Vestibular                 Geometria Espacial                                   Prof. Bruno Vianna



EXERCÍCIOS                                                          06) (uerj-2005-2f)

01) Um poliedro convexo é formado por 6 faces
quadrangulares e oito faces triangulares. Determine o
número de arestas e o número de vértices desse poliedro.

02) Um poliedro convexo tem 6 vértices e 8 faces. Qual o
número de arestas desse poliedro ?
                                                                    O poliedro acima, com exatamente trinta faces
03) Um poliedro convexo que só tem faces triangulares e             quadrangulares numeradas de 1 a 30, é usado como um
quadrangulares tem 20 vértices. Calcule o número de faces           dado, em um jogo.
do poliedro sabendo que o número de faces triangulares é o          Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e que,
dobro do número de faces quadrangulares.                            ao ser lançado, cada face tenha a mesma probabilidade de
                                                                    ser sorteada.
04) (UERJ) Um Icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a       Calcule:
partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As
                                                       1            a) a probabilidade de obter um número primo ou múltiplo de
medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a         da        5, ao lançar esse dado uma única vez;
                                                       3
aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado
                                                                    b) o número de vértices do poliedro.
na fabricação de bolas. Observe as figuras:

                                                                                                 Prismas
                                                                       1. Superfície Prismática:

                                                                       É a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se
                                                                    desloca paralelamente a uma direção dada (d) e apoiando-se
                                                                    numa linha poligonal plana (diretriz).
   Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa
esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao                                     d
costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele
gasta 7 cm de linha.
   Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um                                  g
comprimento de linha igual a:
                                                                                                           D
(A) 7,0m         (B) 6,3m         (C) 4,9m         (D) 2,1m                          A

                                                                                         B         C
05) Numa publicação científica de 1985, foi divulgada a
descoberta de uma molécula tridimensional de carbono, na
qual os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo
cujas faces são 12 pentágonos e 20 hexágonos regulares,
como numa bola de futebol. Em homenagem ao arquiteto
norte-americano Buckminster Fuller, a molécula foi
denominada fulereno. Determine o número de átomos de                    A superfície prismática pode ser aberta ou fechada, se a
carbono (vértices) nessa molécula e o número de ligações            linha poligonal for aberta ou fechada, respectivamente.
entre eles (arestas).
                                                                       As geratrizes que passam pelos vértices da diretriz
                                                                    chamam-se arestas da superfície.
(A) 65 átomos e 40 ligações
(B) 60 átomos e 90 ligações                                            2. Prisma:
(C) 60 átomos e 45 ligações
(D) 80 átomos e 90 ligações                                            É o sólido limitado por uma superfície prismática fechada
(E) 60 átomos e 30 ligações                                         e por dois planos paralelos que interceptam todas as
                                                                    geratrizes.
                                                                                                                          2011
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                        Projeto
                       Vestibular                              Geometria Espacial                                Prof. Bruno Vianna



                                                           α
                                   H               G



                           E                   F                                                    h
                                                                                                                                          h




                                                       β
                               D               C
                                                                            (Prisma Reto)
                                                                                                        (Prisma Oblíquo)
                       A                   B
                                                                                 5. Prisma Regular:
   As faces ABCD e EFGH são polígonos congruentes
chamadas de bases do prisma. As demais faces, chamadas de                        É todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares.
faces laterais, são paralelogramos.
                                                                                 6. Áreas do Prisma:
   3. Elementos dos prisma:
                                                                           1º) Área lateral (Al)
                           H                   G
                                                                                 É a soma das áreas das face laterais

                   E                       F                               2º) Área total. (At).

                                                       h
                                                                                 É a soma da área lateral (Al) com a área das bases (Ab).

                                                                                                    At = Al + 2Ab
                       D                   C
                                                                                 7. Volume:

               A                       B                                      Pelo princípio de CAVALIÉRE, o volume de um prisma
   Arestas da base:                                                        qualquer é igual ao produto da área da base (Sb) pela altura
   AB = EF, BC = FG, CD = GH, AD = EH                                      h.

                                                                                                    V = Ab . h
   Arestas laterais: AE = BF = CG = DH

   Altura: h (distância entre as duas a bases).
                                                                                 Exercícios
   4. Classificação dos Prismas:
                                                                           07) Dadas as figuras dos prismas abaixo:
   1º)Quanto aos Polígonos das bases:
                                                                           a) Paralelepípedo Retângulo                b) Cubo ou Hexaedro
   Podem ser triangular, quadrangular, pentagonal, etc.

   2º) Quanto as arestas laterais:
                                                                                 c              D
                                                                                                                          a       D
   Podem ser: reto ou oblíquo.                                                         b
                                                                                                                                      a
                                                                             a
                                                                                            d
   Prisma reto – As arestas laterais são perpendiculares às                                                           a       d
bases.

   Prisma oblíquo – as arestas laterais são oblíquas às bases
                                                                           Calcule a área total, o volume e as diagonais de ambos em
                                                                           função de suas arestas.

                                                                                                                                              2011
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08) Quantos litros de água cabem em um reservatório em                     12) (PM-05-1) Um tijolo de sorvete de meio litro tem duas de
forma de paralelepípedo medindo internamente 2 m por 2 m                   suas dimensões iguais a 16,5 cm e 4,0 cm. A terceira
de base e 1,2 m de altura?                                                 dimensão mede aproximadamente:

(A) 800 (B) 1.200 (C) 1.600          (D) 4.800           (E) 5.200         (A) 6,0 cm     (B) 6,5 cm        (C) 7,0 cm     (D) 7,6 cm

09) (PM-00) O perímetro do polígono formado pelos                          13) (ENEM – 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz
segmentos que unem os centros das quatro faces laterais de                 diversos objetos maciços utilizando ferro. Um tipo especial de
um cubo de aresta medindo 4 cm é:                                          peça feita nessa companhia tem o formato de um
(A)   2 2 (B) 8 2 (C) 4 2 (D) 6 2                        (E) 16            paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões
                                                                           indicadas na figura que segue.
10) (PM-04) Seis blocos de concreto, em forma de
paralelepípedo retângulo, foram utilizados na construção da
escada representada abaixo:




                                                                           O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na
                                                                           medida da grandeza:

       3y                                                                  (A) massa.      (B) volume.                   (C) superfície.
                                                                           (D) capacidade. (E) comprimento.
                                                                  2y
                                                                           14) (UFF-01) Uma piscina tem a forma de um prisma reto,
]                                                                          cuja base é um retângulo de dimensões 15 m e 10 m.
                        3x
Se esses blocos são congruentes, a expressão algébrica que                    A quantidade necessária de litros de água para que o nível
corresponde ao volume de concreto necessário para a                           de água da piscina suba 10 cm é:
construção da escada é:                                                    (A) 0,15 L (B) 1,5 L (C) 150 L (D)1.500 L       (E) 15.000 L
        2                2               2           2
(A) 18 x y   (B) 18 xy       (C) 12 xy       (D) 12 x y                    15) (ENEM – 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates
                                                                           no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo
11) (UERJ-UENF-2001-2ªF) Na construção de um hangar, com                   volume. As arestas da barra de chocolate no formato de
a forma de um paralelepípedo retângulo, que possa abrigar                  paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de
um Airbus, foram consideradas as medidas apresentadas                      comprimento e 4 cm de espessura.
abaixo.                                                                       Analisando as características das figuras geométricas
                                                                           descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o
                                                                           formato de cubo é igual a:

                                                                           (A) 5 cm (B) 6 cm (C) 12 cm (D) 24 cm (E) 25 cm
                                                                           16) (UFF) Uma caixa de papelão, na forma de um
                                                                           paralelepípedo retângulo, é obtida dobrando-se o molde
                                                                           abaixo nas linhas tracejadas.
                                                                                                       3
                                                                           O volume da caixa, em cm , é:


                                                                           (A)120
                                                                           (B) 180      14 cm
                                                                           (C) 240
                                                                           (D) 480
                                                                           (E) 540                                        13 cm
Calcule o volume mínimo desse hangar.
                                                                                                  10 cm

                                                                                                                                        2011
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17) Na fabricação da peça abaixo, feita de um único material                   22) (UFRJ) Os pontos J e I são os pontos médios das arestas
                      3
que custa R$ 5,00 o cm , deve-se gastar a quantia de:                          do cubo sugerido na figura:


                                                                                                           θ

                                                                                                                               J




(A) R$ 400,00       (B) R$ 380,00             (C) R$ 360,00                                                 I
(D) R$ 340,00       (E) R$ 320,00                                                  a) Calcule, em função da medida a da aresta do cubo, a
                                                                               distância de I e J.
18) (UERJ-2004-1ª fase) As esferas da figura abaixo
representam os íons formadores de um cristal de cloreto de                           b) Determine a medida θ do ângulo IKJ .
                                                                                                                        ˆ
sódio.

                                                                               23) (UFRJ) Uma caixa sem tampa, completamente cheia de
                                                                               leite tem a forma e um paralelepípedo retângulo de
                                                                               dimensões internas a = 10 cm, b = 7 cm e c = 16 cm.
                                                                                   Inclina-se a caixa de 60º em relação ao plano horizontal
                                                                               de modo que apenas uma das menores arestas fique em
Considere que o íon com maior número de camadas                                contato com o plano, como mostra a figura:
eletrônicas é representado pela esfera de maior raio e que a
distância entre os núcleos dos íons X e Y vale 10 3
unidades de comprimento.
O símbolo do elemento formador do íon de menor tamanho
e a menor distância, na mesma unidade de comprimento,
entre o núcleo de um cátion e o núcleo de um ânion, são:

(A)Cℓ,    3     (B) Na,     3     (C) Cℓ, 5          (D) Na, 5                                                  c

19) (PUC) Se a área da base de um prisma diminui de 10% e a                                                              60º
altura aumenta 20%, o seu volume:
                                                                                                                    b
(A) aumenta de 8%                              (B) aumenta de 15%                                    a
(C) aumenta de 108%                            (D) diminui de 8%
(E) não se altera.

20) (UFF – 98) Em um cubo de aresta l , a distância entre o                          Calcule o volume do leite derramado.
ponto de encontro de suas diagonais internas e qualquer de
suas arestas é:                                                                24) (UERJ-2004-2F) Dois prismas regulares retos P1 e P2 , o
                                                                               primeiro de base triangular e o outro de base hexagonal, têm
                                  l       3          l       2         l       a mesma área da base e a mesma área lateral.
(A)   l   3   (B)   l   2   (C)                (D)               (E)
                                      2                  2             2       A razão entre o volume de P1 e o de P2 equivale a:

21) (UFRJ-2003-PNE) Uma pedra de massa 25 kg tem a forma                            2                                6
de um paralelepípedo com 2 cm de espessura. Sua base é um                      (A)                        (B)
quadrado com 1 m de lado. Qual a massa de uma outra                                3                                3
pedra, do mesmo material, que tem a forma de um                                     3
paralelepípedo com 2 m de comprimento, 80 cm de largura                        (C)                (D) 1
                                                                                   2
e 3 cm de espessura?


                                                                                                                                     2011
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25) (UFRJ-04-PNE) Uma barra de sabão ABCDEFGH, com                    28) (AFA-97) Qual deve ser a medida da altura de um prisma
forma de um paralelepípedo retângulo, foi cortada pelo                reto, cuja base é um triângulo equilátero de lado a, para que
                                                                                               3
plano que contém os pontos C, D, F e G, como mostrado na              seu volume tenha valor a ?
figura 1. O sólido ABCDFG obtido, foi cortado, mais uma vez,
pelo plano que contém os pontos M, N, P e Q que são,                        a 3                 3a 3                a 3             4a 3
respectivamente, os pontos médios das arestas AD, BC, CG e            (A)                 (B)                 (C)             (D)
                                                                             4                    4                  3                3
DF, como ilustrado na figura 2.
                                                                      29) Uma caixa d'água tem o espaço interno na forma de
                                                                      cubo com 1 metro de aresta. Retira-se um litro de água da
                                                                      mesma o que baixa o nível da água em seu interior. De
                                                                      quanto baixa esse nível?

                                                                      (A) depende de quanta água havia                    (B) 1 metro
                                                                      (C) 10 centímetros                                  (D) 10 milímetros
                                                                      (E) 1 milímetro

                                                                      30) (UERJ – 2011 -1º ex) A embalagem de papelão de um
Calcule a razão entre o volume do sólido CDMNPQ                       determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a
resultante deste segundo corte (ilustrado na figura 3) e o            forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm.
volume da barra de sabão original.

26) (UFRJ-06-PE) A figura abaixo corresponde à planificação
de um prisma regular hexagonal de altura 2a e perímetro da
base igual a 3a.



                                                                      Em relação ao prisma, considere:
                                                                      - cada um dos ângulos A, B, C e D da base superior mede
                                                                      120º;
                                                                      - as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada.

                                                                                  Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a
                                                                                                          2
                                                                      embalagem custa R$10,00 por m e que 3 = 1,73.
                                                                               Na confecção de uma dessas embalagens, o valor,
                                                                      em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente
                                                                      igual a:
Determine a distância entre os pontos P e Q no prisma.
                                                                      (A) 0,50            (B) 0,95            (C) 1,50              (D) 1,85
27) (UERJ-03-2ªF)Para uma demonstração prática, um
professor utiliza um tanque com a forma de um                         31) (ENEM – 2010) Um porta-lápis de madeira foi construído
paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas                    no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O
correspondem a 30 cm de largura, 60 cm de comprimento e               cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm
50 cm de altura. Esse tanque possui uma torneira que pode             e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm.
enchê-lo, estando ele completamente vazio, em 10 minutos,
e um ralo que pode esvaziá-lo, estando ele completamente              O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi
cheio, em 18 minutos.                                                 de:
                                                                                  3
O professor abre a torneira, deixando o ralo aberto, e solicita       (A) 12 cm
                                                                                3
que um aluno registre o tempo decorrido                               (B) 64 cm
                                                                                3
até que o tanque fique totalmente cheio.                              (C) 96 cm
                                                                                   3
                                                                      (D) 1 216 cm
                                                                                  3
Estabeleça o tempo que deve ser registrado pelo aluno.                (E) 1 728 cm

                                                                                                                                        2011
                                                                  6
MÓDULO II – PARTE 9                                    MATEMÁTICA
                       Projeto
                      Vestibular              Geometria Espacial                                        Prof. Bruno Vianna



32) (UERJ-2010-1ºEX) A figura abaixo representa uma piscina         2. Cilindro:
completamente cheia de água, cuja forma é um prisma
hexagonal regular.                                                  É o sólido limitado por uma superfície cilíndrica fechada e por
                                                                    dois planos paralelos que interceptam todas as geratrizes.

                                                                                                                              0’ r
                                                                    0 e 0’ → centros das bases.
                                                                    g → geratriz
                                                                    h → altura                                g
                                                                                                                                     h




                                                                                                                          r
                                                                                                                      0

                                                                    3. Classificação dos cilindros:
Admita que:
– A, B, C e D representam vértices desse prisma;                    São classificados de acordo com o ângulo formado pela
                                                                    geratriz com os planos das bases.
                                     3
– o volume da piscina é igual a 450 m e
                                                                    • Cilindro reto;
– um atleta nada, em linha reta, do ponto A até o ponto             A geratriz (g) é perpendicular às bases.
médio da aresta CD,utilizando apenas glicose como fonte de          Neste caso, a medida da geratriz é igual à altura (h), (g = h).
                                                                                            0’
energia para seus músculos.

A velocidade média do atleta no percurso definido foi igual a
1,0 m/s.                                                                                        h         g



O intervalo de tempo, em segundos, gasto nesse percurso
equivale a cerca de:                                                                        0


(A) 12,2          (B) 14,4                                          Obs.: Todo cilindro reto pode ser obtido pela rotação
(C) 16,2          (D) 18,1                                          completa de um retângulo em torno de um dos seus lados.
                                                                    Por isso ele também é chamado de cilindro de revolução.

                            Cilindros                                       r      0’


1. Superfície Cilíndrica:
                                                                    h=g                                       00' − é o eixo de rotação.
        É a superfície gerada por uma reta móvel g (geratriz)
que se desloca paralelamente a uma direção (∆) e apoiando-
se numa linha curva dada d (diretriz).                                      r      0
                  ∆

                       g                                            • Cilindro oblíquo:

                              d
                                                                    A geratriz (g) é oblíqua às bases.

                                                                                            0’      r




                                                                                                         g        h
A superfície cilíndrica pode ser aberta ou fechada e conforme
a natureza da diretriz ela pode ser circular, elíptica,
parabólica, etc. No nosso caso estudaremos somente as
circulares.                                                                             0   r


                                                                                                                                         2011
                                                                7
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                         Projeto
                        Vestibular                          Geometria Espacial                           Prof. Bruno Vianna



4. Secções                                                              Teremos:

• Secção transversal: É obtida seccionando o cilindro por um            • Área lateral (Al)                       • Área da Base (Ab)
plano paralelo à base. Essa secção é um círculo congruente à
                                                                                                                            Ab = πr
                                                                                                                                      2
base.                                                                             Al= 2πrh


                                                                        • Área Total (At)

                                                                                  At = Al + 2Ab                   At = 2πr (h + r)


                                                                        • Volume (V)
• Secção Meridiana: É obtida seccionando o cilindro por um
                                                                                                                  V = πr . h
plano que contém o seu eixo.                                                                                            2
                                                                                  V = Ab . h
                                           0’



                                                                        Exercícios
                                                        h
                                                                        33) (UFF) - Um reservatório, na forma de um cilindro circular
                                                                        reto, tem raio da base r, altura h e volume V. Deseja-se
                                     r
                                                                        construir outro reservatório que tenha, também, a forma de
                                           0        r
                                                                        um cilindro circular reto, volume V, porém, raio da base igual
Obs.: A secção meridiana de um cilindro circular reto é um                  r
retângulo. Se h = 2r, essa secção é um quadrado, nesse caso,            a      e altura H.       A relação entre as alturas desses
                                                                           2
dizemos que o cilindro é equilátero.
                                                                        reservatórios é dada por:
                            0’
                                                                                                                                          h
                                                                        (A) H = 4h             (B) H = 2h                   (C) H =
                                                                                                                                          2
                                     h = 2r                                       h
                                                                        (D) H =                 (E) H = h
                                                                                  4

                        r   0    r                                      34) (UFRJ) A casa da Moeda está cunhando moedas de ouro
                                                                        de raios diferentes e mesma espessura. A moeda de 1,5 cm
                                                                        de raio tem 18g de massa. Qual a massa da moeda de 2,5 cm
5. Áreas e volume de um cilindro:
                                                                        de raio ?
Planificando o cilindro (Fig. 1)
                                                                        35) (UERJ – 2001 -2º EXAME) Um recipiente cilíndrico de 60
                                           0’                           cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma
                                                                        superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40
               0’                                                       cm, conforme indicado na figura.




    h                                                          h
                                      Sl



                                                                        Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o
                                                                        nível da água sobe 25%.
               0    r
                                                                        Considerando π igual a 3, a medida, em cm, da aresta do
             (Fig. 1)                     0                             cubo colocado na água é igual a:
                                                r
                                                                                                3                                         3
                                         2πr                            (A) 10    2    (B) 10       2    (C) 10    12          (D) 10         12
                                                                                                                                               2011
                                                                    8
MÓDULO II – PARTE 9                             MATEMÁTICA
                     Projeto
                    Vestibular               Geometria Espacial                                Prof. Bruno Vianna



36) (UFF)- Um tonel de forma cilíndrica, cheio d’água, é
inclinado conforme mostra a figura, derramando parte de seu
conteúdo. Se a altura desse tonel é o quádruplo do raio de
sua base, pode-se afirmar que a razão entre a quantidade de
água derramada e a quantidade de água que ainda ficou no
tonel é:


                                                                   (A) a quantidade de água economizada foi de 4,5 m3.

                                                                   (B) a altura do nível da água que sobrou no reservatório,
                                               45º                 no final do dia, foi igual a 60 cm.

                                                                   (C) a quantidade de água economizada seria suficiente
                                                 2
(A) 1/4   (B) 1/3    (C) 1/2    (D) 3/4     (E)                    para abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo
                                                2                  diário fosse de 450 litros.

37) (UERJ-2006-1ºEX) Para a obtenção do índice                     (D) os moradores dessas casas economizariam mais de
pluviométrico, uma das medidas de precipitação de água da          R$ 200,00, se o custo de 1 m3 de água para o
chuva, utiliza-se um instrumento meteorológico denominado          consumidor fosse igual a R$ 2,50.
pluviômetro.
A ilustração abaixo representa um pluviômetro com área de          (E) um reservatório de mesma forma e altura, mas com
                   2
captação de 0,5 m e raio interno do cilindro de depósito de        raio da base 10% menor que o representado, teria
10 cm.                                                             água suficiente para abastecer todas as casas.

                                                                   39) (ENEM-2010) Dona Maria, diarista na casa da família
                                                                   Teixeira precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se
                                                                   encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona
                                                                   Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos,
                                                                   também cilíndricos.



Considere que cada milímetro de água da chuva depositado
                            2
no cilindro equivale a 1 L/m .
No mês de janeiro, quando o índice pluviométrico foi de 90
mm, o nível de água no cilindro, em dm, atingiu a altura de,       Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja
aproximadamente:                                                   colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher
                                                                   os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona
(A) 15          (B) 25           (C) 35              (D) 45        Maria deverá:

38) (ENEM-08) A figura ao lado mostra um reservatório de           (A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume
água na forma de um cilindro circular reto, com 6 m de             20 vezes maior que o volume do copo.
altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é
suficiente para abastecer, por um dia, 900                         (B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20
casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água.           vezes maior que o volume do copo.
Suponha que, um certo dia, após uma campanha de
conscientização do uso da água, os moradores das                   (C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10
900 casas abastecidas por esse reservatório tenham feito           vezes maior que o volume do copo.
economia de 10% no consumo de água. Nessa situação,
                                                                   (D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10
                                                                   vezes maior que o volume do copo.

                                                                   (E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10
                                                                   vezes maior que o volume do copo.
                                                                                                                               2011
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40) (ENEM-2010) Para construir uma manilha de esgoto, um            43) (UFRJ-2011) Considere a superfície cilíndrica S obtida a
cilindro com 2 m de diâmetro e 4m de altura (de espessura           partir da superposição dos segmentos AB e DC do retângulo
desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma                  ABCD indicado a seguir.
camada de concreto, contendo 20 cm de espessura.

Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e
tomando 3,1 como valor aproximando de π, então o preço
dessa manilha é igual a:

(A) R$ 230,40.                    (B) R$ 124,00.

(C) R$ 104,16.                    (D) R$ 54,56.

(E) R$ 49,60

41) (ENEM-2010) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda
para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o                 Uma formiga percorreu o caminho mais curto sobre a
formato de um prisma reto com base triangular, cujas                superfície S, partindo do ponto P para chegar ao ponto Q.
dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10
cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração        Determine o comprimento desse caminho.
na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas
faces laterais, conforme mostra a figura.                                                        Cone
                                                                    1. Superfície Cônica:

                                                                    É a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se desloca
                                                                    passando sempre por um ponto fixo V(vértice) e apoiando-se
                                                                    numa linha curva plana dada d (diretriz).

                                                                                         V

                                                                                             g



                                                                                                   d


O raio da perfuração da peça é igual a:

(A) 1 cm.             (B) 2 cm.           (C) 3 cm.                      A superfície cônica pode ser aberta ou fechada e
                                                                    conforme a natureza da diretriz ela pode ser circular ou
(D) 4 cm.             (E) 5 cm.                                     elíptica. No nosso caso, estudaremos somente as circulares.

42) Determine o volume do sólido abaixo:                            2. Cone:

                                                                    É o sólido limitado por uma superfície cônica fechada e por
                                                                    um plano que interpreta todas as geratrizes.
                                                                                                                       V

                                                                    0 → centro da base
                                                                    g → geratriz
                 10
                                                                    h → altura                             g
                                                                                                                            h
                                                                    0V → eixo
                                             6
                                                                    V → vértice
                                                                    r → raio
                                                                                                       r       0   r
                           2      0   2

                                                                                                                            2011
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                        Vestibular                           Geometria Espacial                                     Prof. Bruno Vianna



3. Classificação dos cones:                                                  • Secção Meridiana: É obtida seccionando o cone por um
São classificados de acordo com a inclinação de seu eixo.                 plano que contém o seu eixo.
• Cone Reto:                                                                                                        V


O eixo é perpendicular à base. Neste caso, a medida do eixo é
igual a altura.
                                                                                                        g                        g




                h           g
                                            Relação Métrica:                                                r       0        r

                                                                          Obs.:
                                                 2   2   2
        r               r
                                             g =h +r                      A secção meridiana de um cone circular reto é um triângulo
                0
                                                                          isósceles. Quando esse triângulo é equilátero   (g = 2r), o
                                                                          cone é chamado cone equilátero.
Obs. Todo cone reto pode ser obtido pela rotação completa                                                       V
de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
Por isso ele também é chamado de cone de revolução.
                                            V


                                                                                                                            g = 2r

                                    g        h



                                                                                                    r           0       r
                                        r   0


• Cone Oblíquo                                                            5. Áreas e volume de um cone:

O eixo é oblíquo à base.                                                  Planificando o cone (Fig. 1)
                            V
                                                                                   V
                                                                                                                g

                                h
                                                                             g                          Sl
                                                                                                g

            0       r                                                                                                                    r
                                                                                                                        Sb
                                                                                                                                     0
                                                                                   0       r
4. Secções:
                                                                                 (Fig 1)
                                                                                                                                             C = 2πr
• Secção transversal: É obtida seccionando o cone por um
plano paralelo à base. Essa secção é um círculo.

                                                                          • Área lateral (Al):

                                                                          É obtida calculando-se a área do setor circular de raio g,
                                                                          através de uma regra de três simples, ou seja:


                                                                                               Área             Comprimento do Arco
                                                                                               πg
                                                                                                  2
                                                                                                                       2πg
                                                                                                Al                     2πr

                                                                                                                                                       2011
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                          Vestibular                         Geometria Espacial                            Prof. Bruno Vianna



          πg 2        2πg
                                                                               47) (UFRJ-01-PNE) Um recipiente em forma de cone circular
                  =       , simplificando:                                     reto de altura h é colocado com vértice para baixo e com eixo
             Al       2πr                                                      na vertical, como na figura. O recipiente, quando cheio até a
                                                                               borda, comporta 400 ml.
          Al = πrg


• Área da base (Ab):             Ab = πr
                                           2



• Área total (At):        At = Al + Ab = πrg + πr
                                                         2



                                 At = πr (g + r)

• Volume:                                                                                                                              h
                                                                               Determine o volume de líquido quando o nível está em      .
O volume do cone é igual a 1/3 do vlome do cilindro                                                                                    2
    1                                                                          48) (UERJ 2011- 2ºex qualif) Um sólido com a forma de um
V = . Ab . h                                                                   cone circular reto, constituído de material homogêneo, flutua
    3
                                                                               em um líquido, conforme a ilustração abaixo.

               πr 2 ⋅ h
          V=
                  3

Exercícios

44) A figura abaixo representa um lápis de 8 mm de diâmetro                    Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio
apontado: Use π=3                                                              pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o
                                                                               volume do sólido será igual a:
 8 mm
                                                                               (A) ½              (B) ¾          (C) 5/6          (D) 7/8

                                 12 cm                        2 cm             49) (UFF) Considere um cone equilátero de raio r e volume V.
                                                                               Seccionou-se este cone a uma distância h do seu vértice por
Determine o volume deste lápis.                                                um plano paralelo a sua base;
                                                                                                                          V
                                                                               obteve-se, assim, um novo cone de volume     .
45) (AFA-97) A razão entre os volumes de dois cones                                                                       2
eqüiláteros de alturas h e 2h é                                                Expresse h em termos de r.

(A) 1/2                (B) 1/4                 (C) 1/6          (D) 1/8        50) (UFRJ-01-PE) Dois cones circulares retos têm bases
                                                                               tangentes e situadas no mesmo plano, como mostra a figura.
46) Calcule o raio do cone da figura abaixo, sabendo que                       Sabe-se que ambos têm o mesmo volume e que a reta que
inicialmente o cone estava vazio e o cilindro totalmente cheio                 suporta uma das geratrizes de um passa pelo vértice do
e na situação abaixo o cone encontra-se totalmente cheio.                      outro.




                                                                               Sendo r o menor dentre os raios das bases, s o maior e
Sabe-se que a altura do cone é de 6dm e que a altura e o raio                          r
da base do cilindro medem respectivamente 9dm e 2dm .
                                                                               x=        , determine x.
                                                                                       s
                                                                                                                                      2011
                                                                          12
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                   Vestibular                      Geometria Espacial                                 Prof. Bruno Vianna



51) (AFA-01) A área total do sólido gerado pela rotação do               A superfície piramidal pode ser aberta ou fechada,
polígono ABCDE em torno do eixo y, que contém o lado AE, é,           respectivamente.
      2
em m , igual a
                          y
                                                                            2. Pirâmide:
                                                     Dados:
(A) 144π                          D           C
(B) 150π                                             AE = 2m              É o sólido limitado por uma superfície piramidal fechada
(C) 168π                                                              e por um plano que intercepta todas as geratrizes.
                                                     AB = 6m
(D) 170π              E                                                              V
                                                     BC = 6m

                      A                       B      CD = 3m


                                                                                     h

52) (UERJ-2010-2ºEX) A figura abaixo representa um                               D                        C
recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio
a 27%. O nível desse líquido tem 12 cm de altura. A figura
abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa               A                            B
de hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido tem 12
cm de altura.                                                               O polígono ABCD é a base da pirâmide.

                                                                            AB, BC, CD, AD . São as arestas da base da pirâmide.

                                                                            VA, VB, VC, VD são as arestas laterais da pirâmide.

                                                                            AVB, BVC, CVD, AVD são as faces laterais da pirâmide.

                                                                          A distância h do ponto V ao plano da base é a altura da
                                                                      pirâmide.

Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial            Quanto ao polígono da base a pirâmide é triangular
com água, até completar o recipiente, obtendo-se a solução            (tetraedro), quadrangular, pentagonal, etc.
aquosa do hipoclorito de sódio a 8%.
Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a :               3. Pirâmide Regular:

(A) 16           (B) 18                   (C) 20      (D) 22             É aquela cuja base é um polígono regular e a projeção do
                                                                      vértice sobre o plano da base coincide com o centro da base.
                                                                                             V
                      Pirâmides
   1. Superfície Piramidal:
                                                                                                 h
   É a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se
                                                                                         D                C
desloca passando sempre por um ponto fixo V (vértice) e
apoiando-se numa linha poligonal plana dada (diretriz).                                      O
                                      V                                      A                        B



                          g                                                 ABCD é o polígono da base, nesse caso é um quadrado.
                                              D
                      A                                                     O é o centro da base.
                              B           C
                                                                            V é o vértice da pirâmide.

                                                                            VO = h é a altura da pirâmide.

                                                                                                                                2011
                                                                 13
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    4. Elementos de uma pirâmide regular:                                            Sendo A’B’C’D’ paralelo a ABCD a razão entre as áreas é
                                                                                  dada por:
                               V
                                                                                                                                  2
                                                                                                      área de A' B' C' D'  d 
                                                                                                                         = 
                                                                                                         área ABCD        h

               Al                            Ap
                                                                                     6. Volume da Pirâmide:

               C                                              B                       Todo prisma triangular pode ser decomposto em três
                                                                                  pirâmides triangulares (tetraedros) equivalentes entre si.
                R              O        An            M                                           Z                       X

    D                     a                       A                                                          V

    Apótema da pirâmide (Ap) – é a altura em relação em
relação à base, de uma de suas faces laterais, que são
triângulos isósceles.

    Ap = VM                                                                                 A                         C

    Apótema da base da pirâmide OM = An.
                                                                                                         B
  Raio    do     círculo                circunscrito              à   base           Seja o prisma triangular ABCVXZ.
OA = OB = OC = OD = R.
                                                                                      Se cortarmos esse prisma pelos planos ACV e CVZ, as
    Arestas da base AB = BC = CD = AD = A.                                        pirâmides são equivalentes, por terem bases congruentes e a
                                                                                  mesma altura (bases e altura do prisma).
                                                                                      As pirâmides VACZ e VCXZ também são equivalentes, por
    Arestas laterais VA = VB = VC = VD = A
                                                                                  terem a mesma altura, distância de V à face ACXZ do prisma,
                                                                                  e bases equivalentes, ACZ e CZX, como metades do
                                                                                  paralelogramo ACXZ.
    5. Tronco de Pirâmide:
                                                                                      Portanto as três pirâmides VABC, VCXZ e VACZ são
                                                                                  equivalentes. Como as três pirâmides têm o mesmo volume,
    É a porção da pirâmide compreendida entre a base e uma
                                                                                  cada uma delas terá um terço do volume do prisma, ou seja:
seção plana que intercepta todas as arestas laterais.
    Quando a seção for paralela à base, temos um tronco de
                                                                                                      1
pirâmide de bases paralelas.                                                         V pirâmide =       ⋅ V prisma
    A distância entre as bases é a altura do tronco.                                                  3
                     V
                                                                                                         Ab ⋅ h
                                                                                     V pirâmide =               , onde:
                                                                                                          3
                                                      d
                    D’
                                   C’
                                                          h                          Ab – é a área da base.
          A’                                                                         h – é a altura.
                    O’        B’
                                                      H                               Obs: Tal fórmula é válida para qualquer pirâmide, pois
         D                                   C
                                                                                  sempre podemos dividir uma pirâmide em várias de bases
                                                                                  triangulares.
                     O
A                                   B
                                                                                     Área Total        At = Al + Ab
    H é a altura do tronco.

                                                                                                                                        2011
                                                                             14
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                    Vestibular                    Geometria Espacial                                    Prof. Bruno Vianna



   Al – Somatórios das áreas dos triângulos das faces laterais
   Ab – Área do polígono da base

Tetraedro Regular

Quando todas as suas faces são triângulos eqüiláteros.
                            V



                                                                       Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em
                                                                                                    3
                                                                       cada ano de trabalho é, em dm , igual a:
               A                           C
V – Vértice                 G                                          (A) 12             (B) 13               (C) 14                (D) 15
                                     M

G – Baricentro da base          B                                      55) (UFF–00) No tetraedro regular representado na
                                                                       figura, R e S são, respectivamente, os pontos médios de NP e
                                     a 6
VG – Altura do tetraedro →      h=                                     OM.                        P
                                      3
AM – Altura da base
                            a3 2                                                              .
AT = a 2 3            V =                                                                 R
                             12                                                                           O

EXERCÍCIOS PROPOSTOS
                                                                                                               .
                                                                                                               S
                                                                                  N                                    M
53) (uff-2005-1f) A grande pirâmide de Quéops, antiga                            RS
construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de              A razão        é igual a:
base quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa                              MN
pirâmide é um triângulo isósceles cuja a altura relativa à base                       3                            2
mede 179 m.                                                            (A)   3 (B)            (C)   2    (D)               (E) 3 2
                                               2                                      2                            2
         A área da base dessa pirâmide, em m , é:

(A) 13.272         (B) 26.544        (C) 39.816                        56) (UFRJ-00-PNE) Uma pirâmide regular tem base quadrada
                                                                       de área 4. Ela é seccionada por um plano paralelo à base de
(D) 53.088         (E) 79.432
                                                                       modo a formar um tronco de pirâmide de altura 2 e de base
                                                                       superior de área 1.
54) (UERJ – 2002 -1º EXAME)
                                                                       Determine o valor da aresta lateral do tronco de pirâmide.


                                                                       57) (UERJ-93-2ª FASE) ABCD é um tetraedro regular de aresta
                                                                       a. O ponto médio da aresta AB é M e o ponto médio da
                                                                       aresta CD é N. Calcule:



Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-de-                a)   MN
mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado
na figura abaixo, formado por uma pirâmide reta sobreposta             b) seno do ângulo       $
                                                                                              NMD .
a um paralelepípedo retângulo.




                                                                                                                                         2011
                                                                  15
MÓDULO II – PARTE 9                                  MATEMÁTICA
                   Projeto
                  Vestibular                 Geometria Espacial                                   Prof. Bruno Vianna



58) (AFA-06) Um cubo tem quatro vértices nos pontos                Dobrando-a nas linhas BE = CE ,constrói-se um objeto que
médios das arestas laterais de uma pirâmide quadrangular           tem a forma de uma pirâmide.
regular, e os outros quatro na base da pirâmide, como
mostra a figura abaixo.




                                                                   Desprezando a espessura da chapa, calcule o cosseno do
                                                                   ângulo formado pela aresta     AE e o plano ABC.
A razão entre os volumes do cubo e da pirâmide é:                  61) (UNICAMP – 2003) Considere um cubo cuja aresta mede
                                                                   10cm. O sólido cujos vértices são os centros das faces do
      3               1                3                  1        cubo é um octaedro regular, cujas faces são triângulos
(A)             (B)              (C)                (D)            eqüiláteros congruentes.
      4               2                8                  8
                                                                   a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular.
59) (UFRJ-2010) A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD
e ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a.             b) Calcule o volume do mesmo octaedro.
Considere o cubo de volume máximo
contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A,
como ilustra a figura ao lado.                                                               ESFERAS
                                                                   1. Definição:
                                                                   É o sólido gerado pela rotação completa de um semi-círculo
                                                                   em torno de seu diâmetro.




                                                                                             R        R




                                                                   • Superfície esférica – é a superfície gerada pela semi-
Determine a medida da aresta desse cubo em função de a.
                                                                   circunferência

60) (UERJ-2001-2ªF)                                                2. Secções :
                                                                   Toda secção plana de uma esfera é um círculo.
                                                                   Quando o plano da secção passa pelo centro da esfera, temos
                                                                   um círculo máximo.

                                                                   R – raio da esfera
                                                                                                            0’    r
                                                                   0 – centro da esfera
                                                                   0’ – centro da secção                   d
                                                                                                                      R
                                                                   d – distância do centro
                                                                   da esfera à secção.                      0
A figura acima representa uma chapa de metal com a forma
de um triângulo retângulo isósceles em que
                                                                   Da figura temos:
AB = BC = CD = 2 cm .
                                                                    2   2    2
                                                                   R =d +r

                                                                                                                            2011
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                     Vestibular                Geometria Espacial                                     Prof. Bruno Vianna



3. Pólos:                                                         5. Zona esférica:

 Denominamos pólos de um círculo da esfera as                     É a porção da superfície esférica compreendida entre dois
extremidades do diâmetro perpendicular ao plano dessa
                                                                  planos paralelos.
secção.
O pólo de um círculo da esfera é eqüidistante de todos os         Os círculos determinados pelos dois planos paralelos são as
pontos da circunferência desse círculo.                           bases da zona e a distância entre eles é a altura (h).
                    P1

                                                                  h                                                Zona esférica
        A
                                          d
                                               2R
                0
                                                                                              0




                    P2
   • P1 e P2 são os pólos.
                                                                  Obs.: Se um dos planos for tangente à esfera, uma das bases
   • P1 A e P2 A são as distâncias polares.                       reduzirá a um ponto, teremos a zona de uma só base, que se
                                                                  denomina Calota Esférica.
   • No triângulo retângulo P1AP2, temos:
                                                                      h
       2                                                                                                          Calota Esférica
    P1A = 2R (R − d)
        2
    P2 A = 2R (R + d)
                                                                                                  0
   4. Considerando a superfície esférica de eixo e:
                         e
                             P1


                                        P



                         0                                        6. Fuso esférico
                                        E

                                                                  É a porção da superfície esférica compreendida entre duas
                                    M                             semi-circunferências máximas de mesmo diâmetro.
                             P2

Teremos:                                                                                                     Fuso Esférico
                                                                                      R
• Meridiano (M) – é a secção determinada por um plano que
contém o eixo e.
• Equador (E) – é a secção determinada por um plano                                   0   θ
perpendicular ao eixo e e passando pelo centro da esfera.
• Paralelos (P) – são as secções obtidas por planos
perpendiculares ao eixo e, e que não passam pelo centro da                            R
esfera.

                                                                  Os semi-planos e os semi-círculos formam um diedro, cujo
                                                                  ângulo plano θ é o ângulo do fuso.

                                                                                                                                2011
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                        Vestibular                      Geometria Espacial                             Prof. Bruno Vianna



7. Área e volume:                                                         64) (UFRJ-2003-PNE) Considere um retângulo, de altura y e
                                                                          base x, com x > y, e dois semicírculos com centros nos lados
Demonstra-se que a área da superfície esférica de raio R é                do retângulo, como na figura abaixo.
dada por:
                      2
               At= 4πR

O volume é dado por:


                         4
                   V=      πR 3
                         3                                                Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
                                                                          sombreada em torno de um eixo que passa pelos centros
                                                                          dos semicírculos.
Exercícios
                                                                          65) (UFRJ-2004-PE) Uma esfera de vidro, de diâmetro interno
62) (UFF – 97) Na figura estão representados três sólidos de              10 cm, está cheia de bolas de gude perfeitamente esféricas,
mesma altura h — um cilindro, uma semi-esfera e um prisma                 de raio 1 cm.
                                                                                   Se n é o número de bolas de gude dentro da esfera,
— cujos volumes são                        , respectivamente.
                                                                          indique qual das opções a seguir é verdadeira:

                                                                          Opção I : n > 125
                                                                          Opção II : n = 125
                                                                          Opção III : n < 125

                                                                          Justifique a sua resposta.
A            relação               entre                        é:

(A) V3 < V2 < V1                                                          66) (UFRJ-02-PE) Considere uma esfera E1 , inscrita, e outra
(B) V2 < V3 < V1                                                          esfera E2 circunscrita a um cubo de aresta igual a 1cm.
(C) V1 < V2 < V3                                                          Calcule a razão entre o volume de E2 e o volume de E1 .
(D) V3 < V1 < V2
                                                                                                                   3
(E) V2 < V1 < V3                                                          67) (UFRJ-98-PE) Ping Oin recolheu 4,5 m de neve para
                                                                          construir um grande boneco de 3m de altura, em
63) (UERJ – 2001 -1º EXAME) O modelo astronômico                          comemoração à chegada do verão no Pólo Sul.
heliocêntrico de Kepler, de natureza geométrica, foi
construido a partir dos cinco poliedros de Platão, inscritos em                   O boneco será composto por uma cabeça e um
esferas concêntricas, conforme ilustra a figura abaixo                    corpo, ambos em forma de esfera, tangentes, sendo o corpo
                                                                          maior que a cabeça, conforme mostra a figura a seguir.

                                                                                  Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping
                                                                          Oin aproximou π por 3.




A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida do
diâmetro da esfera a ele circunscrita, é:

                    3                3                   3
(A)   3      (B)             (C)                  (D)
                   2                3                   4
                                                                                   Calcule, usando a aproximação considerada, os
                                                                          raios das duas esferas.

                                                                                                                                   2011
                                                                     18
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68) (UFF-1ªfase-2011) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola           70) A escultura sólida abaixo foi feita toda em bronze pelo
de futebol deve passar por vários testes. Um deles visa               escultor Zé Roscof, sendo ABCD a base quadrada (da
garantir a esfericidade da bola: o seu “diâmetro” é medido            pirâmide regular onde VA = VB = VC = VD = AB = BC= 2 m) ;
em dezesseis pontos diferentes e, então, a média aritmética           totalmente inscrita no círculo máximo da semi-esfera.
desses valores é calculada. Para passar nesse teste, a
variação de cada uma das dezesseis medidas do “diâmetro”
da bola com relação à média deve ser no máximo 1,5%.
Nesse teste, as variações medidas na Jabulani, bola oficial da
Copa do Mundo de 2010, não ultrapassaram 1%.




                                                                                                      Calcule:

                                                                      a) o volume de bronze utilizado.

                                                                      b) A quantidade de litros de impermeabilizante, utilizado
                                                                      em todo o sólido, sabendo que 300 ml de
                                                                                                                            2
                                                                      impermeabilizante, impermeabiliza uma área de 1 m (use
Se o diâmetro de uma bola tem aumento de 1%, então o seu              π = 3 ; 2 = 1,4 e            3 = 1,7 )
volume aumenta x %.

Dessa forma, é correto afirmar que                                    GABARITOS

                                                                      01) A=24 e V=12                02) A=12           03) F=27

                                                                      04) B              05) B                   06) a) ½ b) V=32
69) (UFRJ-2008-PE) Um cone circular reto de altura H
circunscreve duas esferas tangentes, como mostra a figura a           07) a) At = 2(ab + ac + bc) ; V = a.b.c ; D =     a 2 + b2 + c2
seguir.                                                                             2          3
                                                                         b) At = 6a ; V = a        ; D= a 3
A esfera maior tem raio de 10 cm e seu volume é oito vezes o
                                                                      08) D                          09) B              10) C
volume da menor.
                                                                      11)140392,14                   12) D              13) B

                                                                      14) E                          15) B               16) C

                                                                      17) B                          18) D              19) A

                                                                      20) D                          21) 60 kg

                                                                      22) a) a 6         b)             4 5           23) V = 350 3 cm 3
                                                                                              θ = arccos
                                                                                                        
                                                                                                             
                                                                                                             
                                                                              2                                                     3
                                                                                                         15 

                                                                      24) B                          25) 1/8            26) a 2
Determine H.
                                                                      27) 22 min 30s                 28) D              29) E

                                                                      30) B                          31) D              32) D

                                                                      33) A                          34) 50g            35) D

                                                                                                                                        2011
                                                                 19
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36) B                     37)                  38) B                    Questão 6
                                                                        a)
39) A                     40) D                41) B
                                                                                  Primos ⇒ A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}

42) 8π                    43)   3 2            44) V=6,08 cm
                                                               3        Múltiplos de 5 ⇒ B = {5, 10, 15, 20, 25, 30}
                                                                                    10 6   1 15 1
                                                                        P(AUB) =      +  −  =  =
45) D                     46) r = 3dm          47) 50 ml                            30 30 30 30 2
                                                                        b)
                          49) h = 3 ⋅ 4 r                               A = nº arestas 
                                     3
48) D
                                        2                                               4F = 2A ⇒ A = 60
                                                                        F = nº faces 
           −1+ 5
50)   x=                  51) C                52) B
             2                                                          V = nº de vértices
53) D                     54) D                55) D                    V+F=A+2               ⇒ V = 32
                                                                        Questão 50)
        3 2
56) l =                   57) a) a 2 b)       3
         2                          2        3                          Sejam H e h respectivamente as alturas do cone de raio
                                                                        menor r e do cone de raio maior
                                                        6               s. Por semelhança de triângulos temos:
58) D                     59) a/3              60)
                                                       3
                                500   3
61) a) CD = 5 2 cm        b)        cm         62) E
                                 3                                      Como os cones têm o mesmo volume,
                                                                          2    2
                                                                        Hr = hs . Logo,
                                      πy 2 (3 x − 2 y )
63) C                     64)   V=
                                            12
65) opção III             66)   3 3            67) ½ e 1
                                                                        Daí, obtemos:
68) D                     69) h=10 e H = 40

70) em aula.                                                                                                               3
                                                                        Dividindo ambos os lados da equação em por s , obtemos:


Questão 4)

Cada um dos 12 vértices serão arrancados do icosaedro, por              Como x = r/s, podemos expressar a equação ) na forma:
isso teremos 12 pirâmides. Não é difícil visualizar que cada
uma dessas pirâmides tem base pentagonal, ou seja, o                    x + 2x − 1 = 0
                                                                         3    2
polígono resultante terá 12 faces pentagonais (gomos
pretos), e as demais faces serão hexagonais uma para cada
                                                                                            −1+ 5        −1− 5
face do antigo icosaedro, logo 20 faces hexagonais (gomos               Obtemos:     x1 =         e x2 =
brancos). Daí teremos:                                                                        2            2
                                                                        Como x é positivo temos:
12 faces pentagonais = 12 . 5 = 60 arestas
                                                                             −1+ 5
20 faces hexagonais = 20 . 6 = 120 arestas                              x=
                                                                               2
Daí o poliedro resultante terá:

      60 + 120 180
A=            =    = 90
         2      2
Como o poliedro que irá gerar a bola terá 90 arestas e estas
serão costuradas com 7 cm de linha, usaremos um total de 7              Questão 56)
x 90 = 630 cm de linha = 6,3 m de linha (LETRA B).

                                                                                                                                      2011
                                                                   20
MÓDULO II – PARTE 9                             MATEMÁTICA
                        Projeto
                       Vestibular                Geometria Espacial                                Prof. Bruno Vianna



                                                                                                                       1
                                                                                                                          ( )
                                                                       B) b) O volume do octaedro regular é igual a 2 ⋅ ⋅ 5 2
                                                                                                                       3
                                                                                                                                   2
                                                                                                                                       ⋅5 ,

                                                                                   500   3
                                                                          ou seja,     cm .
                                                                                    3

                                                                       Questão 64)




                                                                       Questão 65)
Sejam A, B, C e D os vértices da base da pirâmide, A’, B’, C’ e        Opção III, já que o volume interno do recipiente é de
D’ os respectivos vértices da base superior do tronco de
                                                                       4          3
                                                                                                                    4
pirâmide ( como na figura) e l o valor da aresta AA’.                    π .125 cm e o volume de cada bola de gude é π cm3,
                                                                       3                                            3
Considerando-se o triângulo com vértices em AA’P, onde P é             mas há espaços vazios.
a projeção ortogonal do vértice A sobre a base da pirâmide,
temos:                                                                 Questão 66)
                                                                       A razão entre os volumes é o cubo da razão entre os
A´P = 2. Como     AC = 2 2 e A´C´= 2 , concluímos que:                 diâmetros.
                                                                       A medida do diâmetro de E1(d1) é igual à medida da aresta do
                                                                       cubo (1cm).
            2                                   18                     A medida do diâmetro de E2(d2) igual à medida da hipotenusa
AP =          , pelo teorema de Pitágoras : l =
                                             2
                                                                       do triângulo retângulo cujos catetos são a aresta e a diagonal
           2                                     4
                                                                       da face (a), como mostra a figura ao lado.

     3 2
l=
      2
Questão 61)
Do enunciado temos a figura, onde os pontos A, B, C, D, E e F
são os vértices do octaedro regular:




                               10
        10                 A
                                                          5

                                F
                                            D
       B                                                               Questão 69)
                                                          5
                       E
                                                                       Sejam e Rr respectivamente os raios das esferas maior e
                                                                       menor. Então podemos escrever H = 2R + 2r + h, sendo h
                                           5                           a distância entre o vértice do cone e a esfera menor. Por
A) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulocotada em cm
                                     ▪           retângulo
                     C                 M                               hipótese,
   CMD, temos:                     5
        2      2     2
   (CD) = (CM) + (MD)
                       ∴
        2     2    2
     (CD) = 5 + 5          CD = 5 2 cm




                                                                                                                                2011
                                                                  21
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                    Projeto
                   Vestibular                  Geometria Espacial    Prof. Bruno Vianna




Para determinar h, consideremos os triângulos retângulos e
ABCADE. Por semelhança, temos:




Portanto, h=10 e H = 40




                                                                                          2011
                                                             22

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  • 1. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna Obs.: Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo Poliedros poliedro euleriano é convexo. É o sólido limitado unicamente por superfície plana. - Cálculo do número de arestas H G O número de arestas de um poliedro é dado por: E ∑ n.F F A= D C 2 Onde: A B F – é número de faces n - é o número de lados de cada face Elementos: - Poliedros regulares ou poliedros de Platão. Faces – São as superfícies planas que limitam o sólidos. (ABCD, EFGH, CBFG, ...) São aqueles em que todas as faces são polígonos regulares congruentes e todos os ângulos poliédricos são Arestas – são as interseções das faces, duas a duas. congruentes. (AB, BC, CD, BF, ...) Só existem cinco poliedros regulares, são eles: Vértices – São os pontos comuns a três ou mais arestas. Tetraedro – as faces são triângulos equiláteros. (A, B, C, D, E. ...) Hexaedro – as faces são quadrados. Octaedro – as faces são triângulos equiláteros. Diagonais – São os segmentos de reta que unem dois Dodecaedro - as faces são pentágonos regulares. vértices, não pertencentes a uma mesma face. Icosaedro – a faces são triângulos equiláteros. (AG, BH, ...) - Poliedro Convexo. Um poliedro é convexo quando fica inteiramente situado num mesmo semi-espaço limitado por qualquer uma de suas faces. Caso contrário, é chamado de poliedro não convexo. Tetraedro regular Hexaedro regular Convexo Não Convexo Octaedro Regular Dodecaedro regular 5. Teorema de Euler: Em todo poliedro convexo, número de arestas A aumentado de 2 unidades é igual ao número de vértices V aumentado do número de faces F. Icosaedro regular V+F=A+2 2011 1
  • 2. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna EXERCÍCIOS 06) (uerj-2005-2f) 01) Um poliedro convexo é formado por 6 faces quadrangulares e oito faces triangulares. Determine o número de arestas e o número de vértices desse poliedro. 02) Um poliedro convexo tem 6 vértices e 8 faces. Qual o número de arestas desse poliedro ? O poliedro acima, com exatamente trinta faces 03) Um poliedro convexo que só tem faces triangulares e quadrangulares numeradas de 1 a 30, é usado como um quadrangulares tem 20 vértices. Calcule o número de faces dado, em um jogo. do poliedro sabendo que o número de faces triangulares é o Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e que, dobro do número de faces quadrangulares. ao ser lançado, cada face tenha a mesma probabilidade de ser sorteada. 04) (UERJ) Um Icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a Calcule: partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As 1 a) a probabilidade de obter um número primo ou múltiplo de medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a da 5, ao lançar esse dado uma única vez; 3 aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado b) o número de vértices do poliedro. na fabricação de bolas. Observe as figuras: Prismas 1. Superfície Prismática: É a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se desloca paralelamente a uma direção dada (d) e apoiando-se numa linha poligonal plana (diretriz). Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao d costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um g comprimento de linha igual a: D (A) 7,0m (B) 6,3m (C) 4,9m (D) 2,1m A B C 05) Numa publicação científica de 1985, foi divulgada a descoberta de uma molécula tridimensional de carbono, na qual os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo cujas faces são 12 pentágonos e 20 hexágonos regulares, como numa bola de futebol. Em homenagem ao arquiteto norte-americano Buckminster Fuller, a molécula foi denominada fulereno. Determine o número de átomos de A superfície prismática pode ser aberta ou fechada, se a carbono (vértices) nessa molécula e o número de ligações linha poligonal for aberta ou fechada, respectivamente. entre eles (arestas). As geratrizes que passam pelos vértices da diretriz chamam-se arestas da superfície. (A) 65 átomos e 40 ligações (B) 60 átomos e 90 ligações 2. Prisma: (C) 60 átomos e 45 ligações (D) 80 átomos e 90 ligações É o sólido limitado por uma superfície prismática fechada (E) 60 átomos e 30 ligações e por dois planos paralelos que interceptam todas as geratrizes. 2011 2
  • 3. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna α H G E F h h β D C (Prisma Reto) (Prisma Oblíquo) A B 5. Prisma Regular: As faces ABCD e EFGH são polígonos congruentes chamadas de bases do prisma. As demais faces, chamadas de É todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares. faces laterais, são paralelogramos. 6. Áreas do Prisma: 3. Elementos dos prisma: 1º) Área lateral (Al) H G É a soma das áreas das face laterais E F 2º) Área total. (At). h É a soma da área lateral (Al) com a área das bases (Ab). At = Al + 2Ab D C 7. Volume: A B Pelo princípio de CAVALIÉRE, o volume de um prisma Arestas da base: qualquer é igual ao produto da área da base (Sb) pela altura AB = EF, BC = FG, CD = GH, AD = EH h. V = Ab . h Arestas laterais: AE = BF = CG = DH Altura: h (distância entre as duas a bases). Exercícios 4. Classificação dos Prismas: 07) Dadas as figuras dos prismas abaixo: 1º)Quanto aos Polígonos das bases: a) Paralelepípedo Retângulo b) Cubo ou Hexaedro Podem ser triangular, quadrangular, pentagonal, etc. 2º) Quanto as arestas laterais: c D a D Podem ser: reto ou oblíquo. b a a d Prisma reto – As arestas laterais são perpendiculares às a d bases. Prisma oblíquo – as arestas laterais são oblíquas às bases Calcule a área total, o volume e as diagonais de ambos em função de suas arestas. 2011 3
  • 4. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna 08) Quantos litros de água cabem em um reservatório em 12) (PM-05-1) Um tijolo de sorvete de meio litro tem duas de forma de paralelepípedo medindo internamente 2 m por 2 m suas dimensões iguais a 16,5 cm e 4,0 cm. A terceira de base e 1,2 m de altura? dimensão mede aproximadamente: (A) 800 (B) 1.200 (C) 1.600 (D) 4.800 (E) 5.200 (A) 6,0 cm (B) 6,5 cm (C) 7,0 cm (D) 7,6 cm 09) (PM-00) O perímetro do polígono formado pelos 13) (ENEM – 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz segmentos que unem os centros das quatro faces laterais de diversos objetos maciços utilizando ferro. Um tipo especial de um cubo de aresta medindo 4 cm é: peça feita nessa companhia tem o formato de um (A) 2 2 (B) 8 2 (C) 4 2 (D) 6 2 (E) 16 paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue. 10) (PM-04) Seis blocos de concreto, em forma de paralelepípedo retângulo, foram utilizados na construção da escada representada abaixo: O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza: 3y (A) massa. (B) volume. (C) superfície. (D) capacidade. (E) comprimento. 2y 14) (UFF-01) Uma piscina tem a forma de um prisma reto, ] cuja base é um retângulo de dimensões 15 m e 10 m. 3x Se esses blocos são congruentes, a expressão algébrica que A quantidade necessária de litros de água para que o nível corresponde ao volume de concreto necessário para a de água da piscina suba 10 cm é: construção da escada é: (A) 0,15 L (B) 1,5 L (C) 150 L (D)1.500 L (E) 15.000 L 2 2 2 2 (A) 18 x y (B) 18 xy (C) 12 xy (D) 12 x y 15) (ENEM – 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo 11) (UERJ-UENF-2001-2ªF) Na construção de um hangar, com volume. As arestas da barra de chocolate no formato de a forma de um paralelepípedo retângulo, que possa abrigar paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de um Airbus, foram consideradas as medidas apresentadas comprimento e 4 cm de espessura. abaixo. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a: (A) 5 cm (B) 6 cm (C) 12 cm (D) 24 cm (E) 25 cm 16) (UFF) Uma caixa de papelão, na forma de um paralelepípedo retângulo, é obtida dobrando-se o molde abaixo nas linhas tracejadas. 3 O volume da caixa, em cm , é: (A)120 (B) 180 14 cm (C) 240 (D) 480 (E) 540 13 cm Calcule o volume mínimo desse hangar. 10 cm 2011 4
  • 5. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna 17) Na fabricação da peça abaixo, feita de um único material 22) (UFRJ) Os pontos J e I são os pontos médios das arestas 3 que custa R$ 5,00 o cm , deve-se gastar a quantia de: do cubo sugerido na figura: θ J (A) R$ 400,00 (B) R$ 380,00 (C) R$ 360,00 I (D) R$ 340,00 (E) R$ 320,00 a) Calcule, em função da medida a da aresta do cubo, a distância de I e J. 18) (UERJ-2004-1ª fase) As esferas da figura abaixo representam os íons formadores de um cristal de cloreto de b) Determine a medida θ do ângulo IKJ . ˆ sódio. 23) (UFRJ) Uma caixa sem tampa, completamente cheia de leite tem a forma e um paralelepípedo retângulo de dimensões internas a = 10 cm, b = 7 cm e c = 16 cm. Inclina-se a caixa de 60º em relação ao plano horizontal de modo que apenas uma das menores arestas fique em Considere que o íon com maior número de camadas contato com o plano, como mostra a figura: eletrônicas é representado pela esfera de maior raio e que a distância entre os núcleos dos íons X e Y vale 10 3 unidades de comprimento. O símbolo do elemento formador do íon de menor tamanho e a menor distância, na mesma unidade de comprimento, entre o núcleo de um cátion e o núcleo de um ânion, são: (A)Cℓ, 3 (B) Na, 3 (C) Cℓ, 5 (D) Na, 5 c 19) (PUC) Se a área da base de um prisma diminui de 10% e a 60º altura aumenta 20%, o seu volume: b (A) aumenta de 8% (B) aumenta de 15% a (C) aumenta de 108% (D) diminui de 8% (E) não se altera. 20) (UFF – 98) Em um cubo de aresta l , a distância entre o Calcule o volume do leite derramado. ponto de encontro de suas diagonais internas e qualquer de suas arestas é: 24) (UERJ-2004-2F) Dois prismas regulares retos P1 e P2 , o primeiro de base triangular e o outro de base hexagonal, têm l 3 l 2 l a mesma área da base e a mesma área lateral. (A) l 3 (B) l 2 (C) (D) (E) 2 2 2 A razão entre o volume de P1 e o de P2 equivale a: 21) (UFRJ-2003-PNE) Uma pedra de massa 25 kg tem a forma 2 6 de um paralelepípedo com 2 cm de espessura. Sua base é um (A) (B) quadrado com 1 m de lado. Qual a massa de uma outra 3 3 pedra, do mesmo material, que tem a forma de um 3 paralelepípedo com 2 m de comprimento, 80 cm de largura (C) (D) 1 2 e 3 cm de espessura? 2011 5
  • 6. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna 25) (UFRJ-04-PNE) Uma barra de sabão ABCDEFGH, com 28) (AFA-97) Qual deve ser a medida da altura de um prisma forma de um paralelepípedo retângulo, foi cortada pelo reto, cuja base é um triângulo equilátero de lado a, para que 3 plano que contém os pontos C, D, F e G, como mostrado na seu volume tenha valor a ? figura 1. O sólido ABCDFG obtido, foi cortado, mais uma vez, pelo plano que contém os pontos M, N, P e Q que são, a 3 3a 3 a 3 4a 3 respectivamente, os pontos médios das arestas AD, BC, CG e (A) (B) (C) (D) 4 4 3 3 DF, como ilustrado na figura 2. 29) Uma caixa d'água tem o espaço interno na forma de cubo com 1 metro de aresta. Retira-se um litro de água da mesma o que baixa o nível da água em seu interior. De quanto baixa esse nível? (A) depende de quanta água havia (B) 1 metro (C) 10 centímetros (D) 10 milímetros (E) 1 milímetro 30) (UERJ – 2011 -1º ex) A embalagem de papelão de um Calcule a razão entre o volume do sólido CDMNPQ determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a resultante deste segundo corte (ilustrado na figura 3) e o forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm. volume da barra de sabão original. 26) (UFRJ-06-PE) A figura abaixo corresponde à planificação de um prisma regular hexagonal de altura 2a e perímetro da base igual a 3a. Em relação ao prisma, considere: - cada um dos ângulos A, B, C e D da base superior mede 120º; - as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada. Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a 2 embalagem custa R$10,00 por m e que 3 = 1,73. Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a: Determine a distância entre os pontos P e Q no prisma. (A) 0,50 (B) 0,95 (C) 1,50 (D) 1,85 27) (UERJ-03-2ªF)Para uma demonstração prática, um professor utiliza um tanque com a forma de um 31) (ENEM – 2010) Um porta-lápis de madeira foi construído paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O correspondem a 30 cm de largura, 60 cm de comprimento e cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm 50 cm de altura. Esse tanque possui uma torneira que pode e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm. enchê-lo, estando ele completamente vazio, em 10 minutos, e um ralo que pode esvaziá-lo, estando ele completamente O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi cheio, em 18 minutos. de: 3 O professor abre a torneira, deixando o ralo aberto, e solicita (A) 12 cm 3 que um aluno registre o tempo decorrido (B) 64 cm 3 até que o tanque fique totalmente cheio. (C) 96 cm 3 (D) 1 216 cm 3 Estabeleça o tempo que deve ser registrado pelo aluno. (E) 1 728 cm 2011 6
  • 7. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna 32) (UERJ-2010-1ºEX) A figura abaixo representa uma piscina 2. Cilindro: completamente cheia de água, cuja forma é um prisma hexagonal regular. É o sólido limitado por uma superfície cilíndrica fechada e por dois planos paralelos que interceptam todas as geratrizes. 0’ r 0 e 0’ → centros das bases. g → geratriz h → altura g h r 0 3. Classificação dos cilindros: Admita que: – A, B, C e D representam vértices desse prisma; São classificados de acordo com o ângulo formado pela geratriz com os planos das bases. 3 – o volume da piscina é igual a 450 m e • Cilindro reto; – um atleta nada, em linha reta, do ponto A até o ponto A geratriz (g) é perpendicular às bases. médio da aresta CD,utilizando apenas glicose como fonte de Neste caso, a medida da geratriz é igual à altura (h), (g = h). 0’ energia para seus músculos. A velocidade média do atleta no percurso definido foi igual a 1,0 m/s. h g O intervalo de tempo, em segundos, gasto nesse percurso equivale a cerca de: 0 (A) 12,2 (B) 14,4 Obs.: Todo cilindro reto pode ser obtido pela rotação (C) 16,2 (D) 18,1 completa de um retângulo em torno de um dos seus lados. Por isso ele também é chamado de cilindro de revolução. Cilindros r 0’ 1. Superfície Cilíndrica: h=g 00' − é o eixo de rotação. É a superfície gerada por uma reta móvel g (geratriz) que se desloca paralelamente a uma direção (∆) e apoiando- se numa linha curva dada d (diretriz). r 0 ∆ g • Cilindro oblíquo: d A geratriz (g) é oblíqua às bases. 0’ r g h A superfície cilíndrica pode ser aberta ou fechada e conforme a natureza da diretriz ela pode ser circular, elíptica, parabólica, etc. No nosso caso estudaremos somente as circulares. 0 r 2011 7
  • 8. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna 4. Secções Teremos: • Secção transversal: É obtida seccionando o cilindro por um • Área lateral (Al) • Área da Base (Ab) plano paralelo à base. Essa secção é um círculo congruente à Ab = πr 2 base. Al= 2πrh • Área Total (At) At = Al + 2Ab At = 2πr (h + r) • Volume (V) • Secção Meridiana: É obtida seccionando o cilindro por um V = πr . h plano que contém o seu eixo. 2 V = Ab . h 0’ Exercícios h 33) (UFF) - Um reservatório, na forma de um cilindro circular reto, tem raio da base r, altura h e volume V. Deseja-se r construir outro reservatório que tenha, também, a forma de 0 r um cilindro circular reto, volume V, porém, raio da base igual Obs.: A secção meridiana de um cilindro circular reto é um r retângulo. Se h = 2r, essa secção é um quadrado, nesse caso, a e altura H. A relação entre as alturas desses 2 dizemos que o cilindro é equilátero. reservatórios é dada por: 0’ h (A) H = 4h (B) H = 2h (C) H = 2 h = 2r h (D) H = (E) H = h 4 r 0 r 34) (UFRJ) A casa da Moeda está cunhando moedas de ouro de raios diferentes e mesma espessura. A moeda de 1,5 cm de raio tem 18g de massa. Qual a massa da moeda de 2,5 cm 5. Áreas e volume de um cilindro: de raio ? Planificando o cilindro (Fig. 1) 35) (UERJ – 2001 -2º EXAME) Um recipiente cilíndrico de 60 0’ cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40 0’ cm, conforme indicado na figura. h h Sl Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobe 25%. 0 r Considerando π igual a 3, a medida, em cm, da aresta do (Fig. 1) 0 cubo colocado na água é igual a: r 3 3 2πr (A) 10 2 (B) 10 2 (C) 10 12 (D) 10 12 2011 8
  • 9. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna 36) (UFF)- Um tonel de forma cilíndrica, cheio d’água, é inclinado conforme mostra a figura, derramando parte de seu conteúdo. Se a altura desse tonel é o quádruplo do raio de sua base, pode-se afirmar que a razão entre a quantidade de água derramada e a quantidade de água que ainda ficou no tonel é: (A) a quantidade de água economizada foi de 4,5 m3. (B) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, 45º no final do dia, foi igual a 60 cm. (C) a quantidade de água economizada seria suficiente 2 (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 3/4 (E) para abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo 2 diário fosse de 450 litros. 37) (UERJ-2006-1ºEX) Para a obtenção do índice (D) os moradores dessas casas economizariam mais de pluviométrico, uma das medidas de precipitação de água da R$ 200,00, se o custo de 1 m3 de água para o chuva, utiliza-se um instrumento meteorológico denominado consumidor fosse igual a R$ 2,50. pluviômetro. A ilustração abaixo representa um pluviômetro com área de (E) um reservatório de mesma forma e altura, mas com 2 captação de 0,5 m e raio interno do cilindro de depósito de raio da base 10% menor que o representado, teria 10 cm. água suficiente para abastecer todas as casas. 39) (ENEM-2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos. Considere que cada milímetro de água da chuva depositado 2 no cilindro equivale a 1 L/m . No mês de janeiro, quando o índice pluviométrico foi de 90 mm, o nível de água no cilindro, em dm, atingiu a altura de, Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja aproximadamente: colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona (A) 15 (B) 25 (C) 35 (D) 45 Maria deverá: 38) (ENEM-08) A figura ao lado mostra um reservatório de (A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume água na forma de um cilindro circular reto, com 6 m de 20 vezes maior que o volume do copo. altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é suficiente para abastecer, por um dia, 900 (B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água. vezes maior que o volume do copo. Suponha que, um certo dia, após uma campanha de conscientização do uso da água, os moradores das (C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 900 casas abastecidas por esse reservatório tenham feito vezes maior que o volume do copo. economia de 10% no consumo de água. Nessa situação, (D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. (E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 2011 9
  • 10. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna 40) (ENEM-2010) Para construir uma manilha de esgoto, um 43) (UFRJ-2011) Considere a superfície cilíndrica S obtida a cilindro com 2 m de diâmetro e 4m de altura (de espessura partir da superposição dos segmentos AB e DC do retângulo desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma ABCD indicado a seguir. camada de concreto, contendo 20 cm de espessura. Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximando de π, então o preço dessa manilha é igual a: (A) R$ 230,40. (B) R$ 124,00. (C) R$ 104,16. (D) R$ 54,56. (E) R$ 49,60 41) (ENEM-2010) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o Uma formiga percorreu o caminho mais curto sobre a formato de um prisma reto com base triangular, cujas superfície S, partindo do ponto P para chegar ao ponto Q. dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração Determine o comprimento desse caminho. na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura. Cone 1. Superfície Cônica: É a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se desloca passando sempre por um ponto fixo V(vértice) e apoiando-se numa linha curva plana dada d (diretriz). V g d O raio da perfuração da peça é igual a: (A) 1 cm. (B) 2 cm. (C) 3 cm. A superfície cônica pode ser aberta ou fechada e conforme a natureza da diretriz ela pode ser circular ou (D) 4 cm. (E) 5 cm. elíptica. No nosso caso, estudaremos somente as circulares. 42) Determine o volume do sólido abaixo: 2. Cone: É o sólido limitado por uma superfície cônica fechada e por um plano que interpreta todas as geratrizes. V 0 → centro da base g → geratriz 10 h → altura g h 0V → eixo 6 V → vértice r → raio r 0 r 2 0 2 2011 10
  • 11. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna 3. Classificação dos cones: • Secção Meridiana: É obtida seccionando o cone por um São classificados de acordo com a inclinação de seu eixo. plano que contém o seu eixo. • Cone Reto: V O eixo é perpendicular à base. Neste caso, a medida do eixo é igual a altura. g g h g Relação Métrica: r 0 r Obs.: 2 2 2 r r g =h +r A secção meridiana de um cone circular reto é um triângulo 0 isósceles. Quando esse triângulo é equilátero (g = 2r), o cone é chamado cone equilátero. Obs. Todo cone reto pode ser obtido pela rotação completa V de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Por isso ele também é chamado de cone de revolução. V g = 2r g h r 0 r r 0 • Cone Oblíquo 5. Áreas e volume de um cone: O eixo é oblíquo à base. Planificando o cone (Fig. 1) V V g h g Sl g 0 r r Sb 0 0 r 4. Secções: (Fig 1) C = 2πr • Secção transversal: É obtida seccionando o cone por um plano paralelo à base. Essa secção é um círculo. • Área lateral (Al): É obtida calculando-se a área do setor circular de raio g, através de uma regra de três simples, ou seja: Área Comprimento do Arco πg 2 2πg Al 2πr 2011 11
  • 12. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna πg 2 2πg 47) (UFRJ-01-PNE) Um recipiente em forma de cone circular = , simplificando: reto de altura h é colocado com vértice para baixo e com eixo Al 2πr na vertical, como na figura. O recipiente, quando cheio até a borda, comporta 400 ml. Al = πrg • Área da base (Ab): Ab = πr 2 • Área total (At): At = Al + Ab = πrg + πr 2 At = πr (g + r) • Volume: h Determine o volume de líquido quando o nível está em . O volume do cone é igual a 1/3 do vlome do cilindro 2 1 48) (UERJ 2011- 2ºex qualif) Um sólido com a forma de um V = . Ab . h cone circular reto, constituído de material homogêneo, flutua 3 em um líquido, conforme a ilustração abaixo. πr 2 ⋅ h V= 3 Exercícios 44) A figura abaixo representa um lápis de 8 mm de diâmetro Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio apontado: Use π=3 pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a: 8 mm (A) ½ (B) ¾ (C) 5/6 (D) 7/8 12 cm 2 cm 49) (UFF) Considere um cone equilátero de raio r e volume V. Seccionou-se este cone a uma distância h do seu vértice por Determine o volume deste lápis. um plano paralelo a sua base; V obteve-se, assim, um novo cone de volume . 45) (AFA-97) A razão entre os volumes de dois cones 2 eqüiláteros de alturas h e 2h é Expresse h em termos de r. (A) 1/2 (B) 1/4 (C) 1/6 (D) 1/8 50) (UFRJ-01-PE) Dois cones circulares retos têm bases tangentes e situadas no mesmo plano, como mostra a figura. 46) Calcule o raio do cone da figura abaixo, sabendo que Sabe-se que ambos têm o mesmo volume e que a reta que inicialmente o cone estava vazio e o cilindro totalmente cheio suporta uma das geratrizes de um passa pelo vértice do e na situação abaixo o cone encontra-se totalmente cheio. outro. Sendo r o menor dentre os raios das bases, s o maior e Sabe-se que a altura do cone é de 6dm e que a altura e o raio r da base do cilindro medem respectivamente 9dm e 2dm . x= , determine x. s 2011 12
  • 13. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna 51) (AFA-01) A área total do sólido gerado pela rotação do A superfície piramidal pode ser aberta ou fechada, polígono ABCDE em torno do eixo y, que contém o lado AE, é, respectivamente. 2 em m , igual a y 2. Pirâmide: Dados: (A) 144π D C (B) 150π AE = 2m É o sólido limitado por uma superfície piramidal fechada (C) 168π e por um plano que intercepta todas as geratrizes. AB = 6m (D) 170π E V BC = 6m A B CD = 3m h 52) (UERJ-2010-2ºEX) A figura abaixo representa um D C recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido tem 12 cm de altura. A figura abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa A B de hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido tem 12 cm de altura. O polígono ABCD é a base da pirâmide. AB, BC, CD, AD . São as arestas da base da pirâmide. VA, VB, VC, VD são as arestas laterais da pirâmide. AVB, BVC, CVD, AVD são as faces laterais da pirâmide. A distância h do ponto V ao plano da base é a altura da pirâmide. Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial Quanto ao polígono da base a pirâmide é triangular com água, até completar o recipiente, obtendo-se a solução (tetraedro), quadrangular, pentagonal, etc. aquosa do hipoclorito de sódio a 8%. Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a : 3. Pirâmide Regular: (A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22 É aquela cuja base é um polígono regular e a projeção do vértice sobre o plano da base coincide com o centro da base. V Pirâmides 1. Superfície Piramidal: h É a superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se D C desloca passando sempre por um ponto fixo V (vértice) e apoiando-se numa linha poligonal plana dada (diretriz). O V A B g ABCD é o polígono da base, nesse caso é um quadrado. D A O é o centro da base. B C V é o vértice da pirâmide. VO = h é a altura da pirâmide. 2011 13
  • 14. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna 4. Elementos de uma pirâmide regular: Sendo A’B’C’D’ paralelo a ABCD a razão entre as áreas é dada por: V 2 área de A' B' C' D'  d  =  área ABCD h Al Ap 6. Volume da Pirâmide: C B Todo prisma triangular pode ser decomposto em três pirâmides triangulares (tetraedros) equivalentes entre si. R O An M Z X D a A V Apótema da pirâmide (Ap) – é a altura em relação em relação à base, de uma de suas faces laterais, que são triângulos isósceles. Ap = VM A C Apótema da base da pirâmide OM = An. B Raio do círculo circunscrito à base Seja o prisma triangular ABCVXZ. OA = OB = OC = OD = R. Se cortarmos esse prisma pelos planos ACV e CVZ, as Arestas da base AB = BC = CD = AD = A. pirâmides são equivalentes, por terem bases congruentes e a mesma altura (bases e altura do prisma). As pirâmides VACZ e VCXZ também são equivalentes, por Arestas laterais VA = VB = VC = VD = A terem a mesma altura, distância de V à face ACXZ do prisma, e bases equivalentes, ACZ e CZX, como metades do paralelogramo ACXZ. 5. Tronco de Pirâmide: Portanto as três pirâmides VABC, VCXZ e VACZ são equivalentes. Como as três pirâmides têm o mesmo volume, É a porção da pirâmide compreendida entre a base e uma cada uma delas terá um terço do volume do prisma, ou seja: seção plana que intercepta todas as arestas laterais. Quando a seção for paralela à base, temos um tronco de 1 pirâmide de bases paralelas. V pirâmide = ⋅ V prisma A distância entre as bases é a altura do tronco. 3 V Ab ⋅ h V pirâmide = , onde: 3 d D’ C’ h Ab – é a área da base. A’ h – é a altura. O’ B’ H Obs: Tal fórmula é válida para qualquer pirâmide, pois D C sempre podemos dividir uma pirâmide em várias de bases triangulares. O A B Área Total At = Al + Ab H é a altura do tronco. 2011 14
  • 15. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna Al – Somatórios das áreas dos triângulos das faces laterais Ab – Área do polígono da base Tetraedro Regular Quando todas as suas faces são triângulos eqüiláteros. V Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em 3 cada ano de trabalho é, em dm , igual a: A C V – Vértice G (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 M G – Baricentro da base B 55) (UFF–00) No tetraedro regular representado na figura, R e S são, respectivamente, os pontos médios de NP e a 6 VG – Altura do tetraedro → h= OM. P 3 AM – Altura da base a3 2 . AT = a 2 3 V = R 12 O EXERCÍCIOS PROPOSTOS . S N M 53) (uff-2005-1f) A grande pirâmide de Quéops, antiga RS construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de A razão é igual a: base quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa MN pirâmide é um triângulo isósceles cuja a altura relativa à base 3 2 mede 179 m. (A) 3 (B) (C) 2 (D) (E) 3 2 2 2 2 A área da base dessa pirâmide, em m , é: (A) 13.272 (B) 26.544 (C) 39.816 56) (UFRJ-00-PNE) Uma pirâmide regular tem base quadrada de área 4. Ela é seccionada por um plano paralelo à base de (D) 53.088 (E) 79.432 modo a formar um tronco de pirâmide de altura 2 e de base superior de área 1. 54) (UERJ – 2002 -1º EXAME) Determine o valor da aresta lateral do tronco de pirâmide. 57) (UERJ-93-2ª FASE) ABCD é um tetraedro regular de aresta a. O ponto médio da aresta AB é M e o ponto médio da aresta CD é N. Calcule: Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-de- a) MN mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura abaixo, formado por uma pirâmide reta sobreposta b) seno do ângulo $ NMD . a um paralelepípedo retângulo. 2011 15
  • 16. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna 58) (AFA-06) Um cubo tem quatro vértices nos pontos Dobrando-a nas linhas BE = CE ,constrói-se um objeto que médios das arestas laterais de uma pirâmide quadrangular tem a forma de uma pirâmide. regular, e os outros quatro na base da pirâmide, como mostra a figura abaixo. Desprezando a espessura da chapa, calcule o cosseno do ângulo formado pela aresta AE e o plano ABC. A razão entre os volumes do cubo e da pirâmide é: 61) (UNICAMP – 2003) Considere um cubo cuja aresta mede 10cm. O sólido cujos vértices são os centros das faces do 3 1 3 1 cubo é um octaedro regular, cujas faces são triângulos (A) (B) (C) (D) eqüiláteros congruentes. 4 2 8 8 a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular. 59) (UFRJ-2010) A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a. b) Calcule o volume do mesmo octaedro. Considere o cubo de volume máximo contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A, como ilustra a figura ao lado. ESFERAS 1. Definição: É o sólido gerado pela rotação completa de um semi-círculo em torno de seu diâmetro. R R • Superfície esférica – é a superfície gerada pela semi- Determine a medida da aresta desse cubo em função de a. circunferência 60) (UERJ-2001-2ªF) 2. Secções : Toda secção plana de uma esfera é um círculo. Quando o plano da secção passa pelo centro da esfera, temos um círculo máximo. R – raio da esfera 0’ r 0 – centro da esfera 0’ – centro da secção d R d – distância do centro da esfera à secção. 0 A figura acima representa uma chapa de metal com a forma de um triângulo retângulo isósceles em que Da figura temos: AB = BC = CD = 2 cm . 2 2 2 R =d +r 2011 16
  • 17. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna 3. Pólos: 5. Zona esférica: Denominamos pólos de um círculo da esfera as É a porção da superfície esférica compreendida entre dois extremidades do diâmetro perpendicular ao plano dessa planos paralelos. secção. O pólo de um círculo da esfera é eqüidistante de todos os Os círculos determinados pelos dois planos paralelos são as pontos da circunferência desse círculo. bases da zona e a distância entre eles é a altura (h). P1 h Zona esférica A d 2R 0 0 P2 • P1 e P2 são os pólos. Obs.: Se um dos planos for tangente à esfera, uma das bases • P1 A e P2 A são as distâncias polares. reduzirá a um ponto, teremos a zona de uma só base, que se denomina Calota Esférica. • No triângulo retângulo P1AP2, temos: h 2 Calota Esférica P1A = 2R (R − d) 2 P2 A = 2R (R + d) 0 4. Considerando a superfície esférica de eixo e: e P1 P 0 6. Fuso esférico E É a porção da superfície esférica compreendida entre duas M semi-circunferências máximas de mesmo diâmetro. P2 Teremos: Fuso Esférico R • Meridiano (M) – é a secção determinada por um plano que contém o eixo e. • Equador (E) – é a secção determinada por um plano 0 θ perpendicular ao eixo e e passando pelo centro da esfera. • Paralelos (P) – são as secções obtidas por planos perpendiculares ao eixo e, e que não passam pelo centro da R esfera. Os semi-planos e os semi-círculos formam um diedro, cujo ângulo plano θ é o ângulo do fuso. 2011 17
  • 18. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna 7. Área e volume: 64) (UFRJ-2003-PNE) Considere um retângulo, de altura y e base x, com x > y, e dois semicírculos com centros nos lados Demonstra-se que a área da superfície esférica de raio R é do retângulo, como na figura abaixo. dada por: 2 At= 4πR O volume é dado por: 4 V= πR 3 3 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada em torno de um eixo que passa pelos centros dos semicírculos. Exercícios 65) (UFRJ-2004-PE) Uma esfera de vidro, de diâmetro interno 62) (UFF – 97) Na figura estão representados três sólidos de 10 cm, está cheia de bolas de gude perfeitamente esféricas, mesma altura h — um cilindro, uma semi-esfera e um prisma de raio 1 cm. Se n é o número de bolas de gude dentro da esfera, — cujos volumes são , respectivamente. indique qual das opções a seguir é verdadeira: Opção I : n > 125 Opção II : n = 125 Opção III : n < 125 Justifique a sua resposta. A relação entre é: (A) V3 < V2 < V1 66) (UFRJ-02-PE) Considere uma esfera E1 , inscrita, e outra (B) V2 < V3 < V1 esfera E2 circunscrita a um cubo de aresta igual a 1cm. (C) V1 < V2 < V3 Calcule a razão entre o volume de E2 e o volume de E1 . (D) V3 < V1 < V2 3 (E) V2 < V1 < V3 67) (UFRJ-98-PE) Ping Oin recolheu 4,5 m de neve para construir um grande boneco de 3m de altura, em 63) (UERJ – 2001 -1º EXAME) O modelo astronômico comemoração à chegada do verão no Pólo Sul. heliocêntrico de Kepler, de natureza geométrica, foi construido a partir dos cinco poliedros de Platão, inscritos em O boneco será composto por uma cabeça e um esferas concêntricas, conforme ilustra a figura abaixo corpo, ambos em forma de esfera, tangentes, sendo o corpo maior que a cabeça, conforme mostra a figura a seguir. Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin aproximou π por 3. A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida do diâmetro da esfera a ele circunscrita, é: 3 3 3 (A) 3 (B) (C) (D) 2 3 4 Calcule, usando a aproximação considerada, os raios das duas esferas. 2011 18
  • 19. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna 68) (UFF-1ªfase-2011) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola 70) A escultura sólida abaixo foi feita toda em bronze pelo de futebol deve passar por vários testes. Um deles visa escultor Zé Roscof, sendo ABCD a base quadrada (da garantir a esfericidade da bola: o seu “diâmetro” é medido pirâmide regular onde VA = VB = VC = VD = AB = BC= 2 m) ; em dezesseis pontos diferentes e, então, a média aritmética totalmente inscrita no círculo máximo da semi-esfera. desses valores é calculada. Para passar nesse teste, a variação de cada uma das dezesseis medidas do “diâmetro” da bola com relação à média deve ser no máximo 1,5%. Nesse teste, as variações medidas na Jabulani, bola oficial da Copa do Mundo de 2010, não ultrapassaram 1%. Calcule: a) o volume de bronze utilizado. b) A quantidade de litros de impermeabilizante, utilizado em todo o sólido, sabendo que 300 ml de 2 impermeabilizante, impermeabiliza uma área de 1 m (use Se o diâmetro de uma bola tem aumento de 1%, então o seu π = 3 ; 2 = 1,4 e 3 = 1,7 ) volume aumenta x %. Dessa forma, é correto afirmar que GABARITOS 01) A=24 e V=12 02) A=12 03) F=27 04) B 05) B 06) a) ½ b) V=32 69) (UFRJ-2008-PE) Um cone circular reto de altura H circunscreve duas esferas tangentes, como mostra a figura a 07) a) At = 2(ab + ac + bc) ; V = a.b.c ; D = a 2 + b2 + c2 seguir. 2 3 b) At = 6a ; V = a ; D= a 3 A esfera maior tem raio de 10 cm e seu volume é oito vezes o 08) D 09) B 10) C volume da menor. 11)140392,14 12) D 13) B 14) E 15) B 16) C 17) B 18) D 19) A 20) D 21) 60 kg 22) a) a 6 b) 4 5 23) V = 350 3 cm 3 θ = arccos    2 3  15  24) B 25) 1/8 26) a 2 Determine H. 27) 22 min 30s 28) D 29) E 30) B 31) D 32) D 33) A 34) 50g 35) D 2011 19
  • 20. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna 36) B 37) 38) B Questão 6 a) 39) A 40) D 41) B Primos ⇒ A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} 42) 8π 43) 3 2 44) V=6,08 cm 3 Múltiplos de 5 ⇒ B = {5, 10, 15, 20, 25, 30} 10 6 1 15 1 P(AUB) = + − = = 45) D 46) r = 3dm 47) 50 ml 30 30 30 30 2 b) 49) h = 3 ⋅ 4 r A = nº arestas  3 48) D 2  4F = 2A ⇒ A = 60 F = nº faces  −1+ 5 50) x= 51) C 52) B 2 V = nº de vértices 53) D 54) D 55) D V+F=A+2 ⇒ V = 32 Questão 50) 3 2 56) l = 57) a) a 2 b) 3 2 2 3 Sejam H e h respectivamente as alturas do cone de raio menor r e do cone de raio maior 6 s. Por semelhança de triângulos temos: 58) D 59) a/3 60) 3 500 3 61) a) CD = 5 2 cm b) cm 62) E 3 Como os cones têm o mesmo volume, 2 2 Hr = hs . Logo, πy 2 (3 x − 2 y ) 63) C 64) V= 12 65) opção III 66) 3 3 67) ½ e 1 Daí, obtemos: 68) D 69) h=10 e H = 40 70) em aula. 3 Dividindo ambos os lados da equação em por s , obtemos: Questão 4) Cada um dos 12 vértices serão arrancados do icosaedro, por Como x = r/s, podemos expressar a equação ) na forma: isso teremos 12 pirâmides. Não é difícil visualizar que cada uma dessas pirâmides tem base pentagonal, ou seja, o x + 2x − 1 = 0 3 2 polígono resultante terá 12 faces pentagonais (gomos pretos), e as demais faces serão hexagonais uma para cada −1+ 5 −1− 5 face do antigo icosaedro, logo 20 faces hexagonais (gomos Obtemos: x1 = e x2 = brancos). Daí teremos: 2 2 Como x é positivo temos: 12 faces pentagonais = 12 . 5 = 60 arestas −1+ 5 20 faces hexagonais = 20 . 6 = 120 arestas x= 2 Daí o poliedro resultante terá: 60 + 120 180 A= = = 90 2 2 Como o poliedro que irá gerar a bola terá 90 arestas e estas serão costuradas com 7 cm de linha, usaremos um total de 7 Questão 56) x 90 = 630 cm de linha = 6,3 m de linha (LETRA B). 2011 20
  • 21. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna 1 ( ) B) b) O volume do octaedro regular é igual a 2 ⋅ ⋅ 5 2 3 2 ⋅5 , 500 3 ou seja, cm . 3 Questão 64) Questão 65) Sejam A, B, C e D os vértices da base da pirâmide, A’, B’, C’ e Opção III, já que o volume interno do recipiente é de D’ os respectivos vértices da base superior do tronco de 4 3 4 pirâmide ( como na figura) e l o valor da aresta AA’. π .125 cm e o volume de cada bola de gude é π cm3, 3 3 Considerando-se o triângulo com vértices em AA’P, onde P é mas há espaços vazios. a projeção ortogonal do vértice A sobre a base da pirâmide, temos: Questão 66) A razão entre os volumes é o cubo da razão entre os A´P = 2. Como AC = 2 2 e A´C´= 2 , concluímos que: diâmetros. A medida do diâmetro de E1(d1) é igual à medida da aresta do cubo (1cm). 2 18 A medida do diâmetro de E2(d2) igual à medida da hipotenusa AP = , pelo teorema de Pitágoras : l = 2 do triângulo retângulo cujos catetos são a aresta e a diagonal 2 4 da face (a), como mostra a figura ao lado. 3 2 l= 2 Questão 61) Do enunciado temos a figura, onde os pontos A, B, C, D, E e F são os vértices do octaedro regular: 10 10 A 5 F D B Questão 69) 5 E Sejam e Rr respectivamente os raios das esferas maior e menor. Então podemos escrever H = 2R + 2r + h, sendo h 5 a distância entre o vértice do cone e a esfera menor. Por A) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulocotada em cm ▪ retângulo C M hipótese, CMD, temos: 5 2 2 2 (CD) = (CM) + (MD) ∴ 2 2 2 (CD) = 5 + 5 CD = 5 2 cm 2011 21
  • 22. MÓDULO II – PARTE 9 MATEMÁTICA Projeto Vestibular Geometria Espacial Prof. Bruno Vianna Para determinar h, consideremos os triângulos retângulos e ABCADE. Por semelhança, temos: Portanto, h=10 e H = 40 2011 22