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MATEMÁTICA


                            GEOMETRIA ESPACIAL
1. POLIEDROS
                                                             4. NOMENCLATURA
      Define-se como poliedro a todo sólido forma-
                                                                  Os poliedros, convexos ou não, recebem no-
do por uma superfície fechada, limitada somente por
                                                             mes de acordo com o número de faces que possuem:
polígonos e que satisfaça às duas condições abaixo.
         O ângulo formado entre dois polígonos é                      Número de faces          Nome
         diferente de um ângulo raso.                                         4              tetraedro
         Cada lado dos polígonos pertence somente                             5             pentaedro
         a dois polígonos.                                                    6             hexaedro
Exemplos:                                                                     7             heptaedro
                                                                              8              octaedro
                                                                              9             eneaedro
                                                                             10             decaedro
                                                                             11           undecaedro
                                                                             12           dodecaedro
E.1)                       E.2)                                              13            tridecaedro
                                                                             ::                  ::
                                                                             20             icosaedro
                                                             5. RELAÇÃO DE EULER
                                                                    Existem poliedros que satisfazem a relação
E.3)                                                         V +F = A + 2, em que V, F e A representam, respecti-
                                                             vamente, o número de vértices, faces e arestas do po-
2. ELEMENTOS                                                 liedro.
      Os polígonos que limitam o poliedro são cha-                  Todo poliedro que satisfaz à relação de Euler é
mados de faces.                                              Euleriano.
      Os lados dos polígonos das faces são chama-            Observação:
dos de arestas.                                                        Todo poliedro convexo é Euleriano, ou se-
Exemplo:                                                               ja, satisfaz à relação de Euler.
      E.1)                                                   Exemplo
                                                                    E.1) Verifique se o poliedro do E.1 do tópico 1
                                  face                       dessa unidade é Euleriano.
                                                             Resolução:
                                    aresta                                                   8 faces quadrangular
                                                                   Nº de faces do poliedro : 
                                                                                             2 faces octogonais
                               vértice                                                            8⋅4 + 2⋅8
                                                                   Nº Arestas do poliedro: A =              = 24 .
                                                                                                      2
                                                                   Nº vértices do poliedro: 16.
                                                                   Substituindo, na relação, temos:
                                                                   (I) { + E = { + 2 (Sentença verdadeira).
                                                                       V { A
                                                                      16   10   24

                                                                   Como a sentença (I) é verdadeira, então o poli-
              Na figura, encontramos                         edro é Euleriano.
       Nº de faces                 8
                                                             6. SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE
       Nº de arestas              12
                                                                UM POLIEDRO CONVEXO
       Nº de vértices              6
                                                                   Para um poliedro convexo, com V vértices,
3. POLIEDRO CONVEXO
                                                             podemos determinar a soma dos ângulos de suas fa-
      Um poliedro é denominado de convexo se a               ces pela relação SF = ( V − 2) ⋅ 360º .
região interna limitada pelas faces é uma região con-
vexa.

Editora Exato                                           17
7. POLIEDROS DE PLATÃO                                                     8. PRISMAS

7.1. Definição                                                                    Considere dois planos paralelos ( α e β ) , uma
      Define-se como poliedro de Platão a todo poli-                       reta (t) incidente nesses planos e uma região poligo-
edro que obedece às três condições a seguir:                               nal pertencente a α . Observe a figura.
         Todas as faces possuem o mesmo número
         de arestas.                                                                                             t
         Em cada vértice concorrem os mesmos nú-
         meros de arestas.
         Satisfaz à relação de Euler, ou seja, é Eule-
         riano.                                                                                       β
7.2. Classes
      Existem somente cinco classes de poliedros de
Platão. Suas propriedades são resumidas no quadro                                Define-se como prisma ao conjunto formado
dado a seguir.                                                             por todos os segmentos, paralelos à reta t, que possui
                Poliedros de Platão                                        um de seus extremos na região poligonal e o outro no
                                            Número de   Número de
   Nome
                Número de     Número de
                                             arestas    arestas por
                                                                           plano β .
                 faces (F)   vértices (V)
                                               (A)        face (n)
  Tetraedro        4             4              6            3
                                                                           Exemplo:
  Hexaedro         6             8              12           4                   E.1)
  Octaedro         8             6              12           3
 Dodecaedro        12            20             30           5
  Icosaedro        20            12             30           3                                    t
7.3. Poliedros Regulares
       São poliedros de Platão que possuem suas fa-
ces formadas por polígonos regulares, congruentes
entre si e seus ângulos poliédricos são congruentes.
           Figuras representativas



                                                                           9. ELEMENTOS

                                                                                                                 base
                                                                                                                               aresta da
                                                                                                                                 base
                                                                                 distância                                  faces laterais
                                                                                 entre as                                 (paralelogramos)
                                                                                  bases é
                                                                                 a altura



                                                                                             aresta lateral

                                                                           10.      ÁREAS IMPORTANTES

                                                                           10.1. Área da Base (Ab)
                                                                                Representa a área do polígono da base.
                                                                           10.2. Área lateral (AL)
                                                                                Representa a soma das áreas das faces laterais.
                                                                           10.3. Área total (At)

                                                                                              A t = 2 A b + AL
                                                                                                      { {
                                                                                                          area       area
                                                                                                           da        lateral
                                                                                                          base




Editora Exato                                                         18
11.     VOLUME (V)                                                    EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
      O volume do prisma é determinado pelo pro-
                                                            1   Determine a área total do prisma abaixo.
duto da área da base e altura, em símbolos,

                          V = {⋅ H
                              Ab {
                                 altura
                              area
                               da   do
                              base prisma                                                                       3cm

12.     ALGUNS MODELOS ESPECIAIS
                                                                                                              2cm
12.1. Paralelepípedo                                                                   4cm
      Prisma em que todas as suas faces são parale-
logramos.                                                   Resolução:
Observação:                                                        Observamos que a figura é formada por pares
         Quando todas as faces são retangulares, o          de retângulos.
         paralelepípedo será denominado de parale-
         lepípedo reto-retângulo.                                       A t = 2x       3 + 2x       2+2        3
Propriedades                                                                       2            4         4

      Considere um paralelepípedo reto-retângulo de                     A t = 2.2.3 + 2.4.2 + 2.4.3
dimensões a, b e c.                                                     A t = 52c2m
         A medida da diagonal é calculada pela rela-
         ção D = a2 + b2 + c2 .
         O valor da área total é expresso por
          at = 2 ( ab + ac + bc )                                                  EXERCÍCIOS
         O volume é obtido pelo produto das dimen-
                                                            1   (PMDF) Em uma escola, os alunos foram leva-
         sões, ou seja, V = abc .
                                                                dos ao laboratório para a realização de uma expe-
12.2. Cubo                                                      riência, a de determinar o volume de uma pedra,
      O cubo representa o paralelepípedo reto-                  imergindo-a na água de um recipiente. A experi-
retângulo cujas arestas são todas congruentes.                  ência consistia em submergir completamente a
         Representação usual                                    pedra e medir a variação da altura da água no re-
                                                                cipiente. Após a experiência, os alunos anotaram
                                                                que a variação da altura da água foi de 3 cm e que
                                                                o recipiente tinha a forma de um paralelepípedo
                                                                retângulo, medindo 80cmx50cmx40cm, mas não
                                                                anotaram qual dessas três medidas correspondia à
                                                                altura do recipiente. Mesmo sem essa informa-
                                                                ção, foi possível concluir que o volume máximo
                                                                da pedra, em litros, era de:
Propriedades                                                    a) 23,2.
    Considere um cubo de aresta.                                b) 20,4.
       A medida de sua diagonal é a 3 .                         c) 17,6.
       A área total é 6a2.                                      d) 14,8.
       O volume é a3.                                           e) 12.

13.     PRISMA RETO
                                                            2   Um determinado bloco utilizado em construções
       O prisma é chamado de reto quando suas ares-             tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo,
tas laterais são perpendiculares ao plano da base.              cujas dimensões são 25cm, 15cm e 10cm. Pre-
Observação:                                                     tende-se transportar blocos desse tipo num cami-
       Quando o prisma reto possui em sua base um               nhão cuja carroceria tem, internamente, 4m de
polígono regular, então será denominado de prisma               comprimento por 2,5m de largura e 0,6m de pro-
regular.                                                        fundidade. No máximo, quantos blocos podem
                                                                ser transportados numa viagem, de modo que a
                                                                carga não ultrapasse a altura da carroceria?
                                                                a) 1600.
                                                                b) 1500.

Editora Exato                                          19
c) 1400.                                                6   (UFMT) Em um paralelepípedo retângulo com
    d) 1300.                                                    4cm de altura, a base tem comprimento cuja me-
    e) 1200.                                                    dida é igual ao dobro da medida da largura. Se
                                                                esse sólido tem 64cm2 de área total, o seu volu-
                                                                me, em centímetros quadrados, é?
3   Um aquário tem a forma de um paralelepípedo                 a) 24.                     b) 30.
    reto-retângulo e contém água até uma certa altu-            c) 32.                     d) 40.
    ra. As medidas internas da base do aquário são              e) 48.
    40cm por 25cm. Uma pedra é colocada dentro do
    aquário, ficando totalmente submersa e fazendo
    com que o nível da água suba 0,8cm. Qual é o            7   (FAFI-MG) As dimensões de uma piscina olím-
    volume dessa pedra?                                         pica são: 50m de comprimento, 25m de largura e
                                                                3m de profundidade. O seu volume, em litros, é:
                                                                a) 3750.                  b) 37500.
                                     0,8cm                      c) 375000.                d) 3750000.
                                                                e) 37500000.

                                                            8   (CESCEA-SP) Se a soma das arestas de um cu-
                                                                bo é igual a 72cm, então o volume do cubo é i-
    a) 100cm3.                                                  gual a:
    b) 800cm3.                                                  a) 100cm3.                b) 40cm3.
                                                                         3
    c) 1200cm3.                                                 c) 144cm .                d) 16cm3.
                                                                         3
    d) 400cm3.                                                  e) 216cm .
    e) 600cm3.
                                                            9   (FUVEST-SP) Dois blocos de alumínio, em
4   Uma face de um cubo tem área 81cm2. Seu vo-                 forma de cubo, com arestas medindo 10cm e
    lume é:                                                     6cm, são levados juntos à fusão e, em seguida, o
    a) 9cm3.                                                    alumínio é moldado como um paralelepípedo re-
    b) 81cm3.                                                   to-retângulo de arestas 8cm, 8cm e xcm. O valor
    c) 180cm3.                                                  de x é:
    d) 243cm3.                                                  a) 16.                     b) 17.
    e) 729cm3.                                                  c) 18.                     d) 19.
                                                                e) 20.
5   (MACK-SP) A área total do sólido abaixo é:
                                                                               GABARITO
                        5
                  4
                                                            1   E
                                 3           2
              7                                             2   A
                                                            3   B
                                                            4   E
                                                            5   D
                            13                              6   C
    a) 204.                                                 7   D
    b) 206.                                                 8   E
    c) 222.
    d) 244.                                                 9   D
    e) 262.




Editora Exato                                          20

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  • 1. MATEMÁTICA GEOMETRIA ESPACIAL 1. POLIEDROS 4. NOMENCLATURA Define-se como poliedro a todo sólido forma- Os poliedros, convexos ou não, recebem no- do por uma superfície fechada, limitada somente por mes de acordo com o número de faces que possuem: polígonos e que satisfaça às duas condições abaixo. O ângulo formado entre dois polígonos é Número de faces Nome diferente de um ângulo raso. 4 tetraedro Cada lado dos polígonos pertence somente 5 pentaedro a dois polígonos. 6 hexaedro Exemplos: 7 heptaedro 8 octaedro 9 eneaedro 10 decaedro 11 undecaedro 12 dodecaedro E.1) E.2) 13 tridecaedro :: :: 20 icosaedro 5. RELAÇÃO DE EULER Existem poliedros que satisfazem a relação E.3) V +F = A + 2, em que V, F e A representam, respecti- vamente, o número de vértices, faces e arestas do po- 2. ELEMENTOS liedro. Os polígonos que limitam o poliedro são cha- Todo poliedro que satisfaz à relação de Euler é mados de faces. Euleriano. Os lados dos polígonos das faces são chama- Observação: dos de arestas. Todo poliedro convexo é Euleriano, ou se- Exemplo: ja, satisfaz à relação de Euler. E.1) Exemplo E.1) Verifique se o poliedro do E.1 do tópico 1 face dessa unidade é Euleriano. Resolução: aresta 8 faces quadrangular Nº de faces do poliedro :  2 faces octogonais vértice 8⋅4 + 2⋅8 Nº Arestas do poliedro: A = = 24 . 2 Nº vértices do poliedro: 16. Substituindo, na relação, temos: (I) { + E = { + 2 (Sentença verdadeira). V { A 16 10 24 Como a sentença (I) é verdadeira, então o poli- Na figura, encontramos edro é Euleriano. Nº de faces 8 6. SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE Nº de arestas 12 UM POLIEDRO CONVEXO Nº de vértices 6 Para um poliedro convexo, com V vértices, 3. POLIEDRO CONVEXO podemos determinar a soma dos ângulos de suas fa- Um poliedro é denominado de convexo se a ces pela relação SF = ( V − 2) ⋅ 360º . região interna limitada pelas faces é uma região con- vexa. Editora Exato 17
  • 2. 7. POLIEDROS DE PLATÃO 8. PRISMAS 7.1. Definição Considere dois planos paralelos ( α e β ) , uma Define-se como poliedro de Platão a todo poli- reta (t) incidente nesses planos e uma região poligo- edro que obedece às três condições a seguir: nal pertencente a α . Observe a figura. Todas as faces possuem o mesmo número de arestas. t Em cada vértice concorrem os mesmos nú- meros de arestas. Satisfaz à relação de Euler, ou seja, é Eule- riano. β 7.2. Classes Existem somente cinco classes de poliedros de Platão. Suas propriedades são resumidas no quadro Define-se como prisma ao conjunto formado dado a seguir. por todos os segmentos, paralelos à reta t, que possui Poliedros de Platão um de seus extremos na região poligonal e o outro no Número de Número de Nome Número de Número de arestas arestas por plano β . faces (F) vértices (V) (A) face (n) Tetraedro 4 4 6 3 Exemplo: Hexaedro 6 8 12 4 E.1) Octaedro 8 6 12 3 Dodecaedro 12 20 30 5 Icosaedro 20 12 30 3 t 7.3. Poliedros Regulares São poliedros de Platão que possuem suas fa- ces formadas por polígonos regulares, congruentes entre si e seus ângulos poliédricos são congruentes. Figuras representativas 9. ELEMENTOS base aresta da base distância faces laterais entre as (paralelogramos) bases é a altura aresta lateral 10. ÁREAS IMPORTANTES 10.1. Área da Base (Ab) Representa a área do polígono da base. 10.2. Área lateral (AL) Representa a soma das áreas das faces laterais. 10.3. Área total (At) A t = 2 A b + AL { { area area da lateral base Editora Exato 18
  • 3. 11. VOLUME (V) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS O volume do prisma é determinado pelo pro- 1 Determine a área total do prisma abaixo. duto da área da base e altura, em símbolos, V = {⋅ H Ab { altura area da do base prisma 3cm 12. ALGUNS MODELOS ESPECIAIS 2cm 12.1. Paralelepípedo 4cm Prisma em que todas as suas faces são parale- logramos. Resolução: Observação: Observamos que a figura é formada por pares Quando todas as faces são retangulares, o de retângulos. paralelepípedo será denominado de parale- lepípedo reto-retângulo. A t = 2x 3 + 2x 2+2 3 Propriedades 2 4 4 Considere um paralelepípedo reto-retângulo de A t = 2.2.3 + 2.4.2 + 2.4.3 dimensões a, b e c. A t = 52c2m A medida da diagonal é calculada pela rela- ção D = a2 + b2 + c2 . O valor da área total é expresso por at = 2 ( ab + ac + bc ) EXERCÍCIOS O volume é obtido pelo produto das dimen- 1 (PMDF) Em uma escola, os alunos foram leva- sões, ou seja, V = abc . dos ao laboratório para a realização de uma expe- 12.2. Cubo riência, a de determinar o volume de uma pedra, O cubo representa o paralelepípedo reto- imergindo-a na água de um recipiente. A experi- retângulo cujas arestas são todas congruentes. ência consistia em submergir completamente a Representação usual pedra e medir a variação da altura da água no re- cipiente. Após a experiência, os alunos anotaram que a variação da altura da água foi de 3 cm e que o recipiente tinha a forma de um paralelepípedo retângulo, medindo 80cmx50cmx40cm, mas não anotaram qual dessas três medidas correspondia à altura do recipiente. Mesmo sem essa informa- ção, foi possível concluir que o volume máximo da pedra, em litros, era de: Propriedades a) 23,2. Considere um cubo de aresta. b) 20,4. A medida de sua diagonal é a 3 . c) 17,6. A área total é 6a2. d) 14,8. O volume é a3. e) 12. 13. PRISMA RETO 2 Um determinado bloco utilizado em construções O prisma é chamado de reto quando suas ares- tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo, tas laterais são perpendiculares ao plano da base. cujas dimensões são 25cm, 15cm e 10cm. Pre- Observação: tende-se transportar blocos desse tipo num cami- Quando o prisma reto possui em sua base um nhão cuja carroceria tem, internamente, 4m de polígono regular, então será denominado de prisma comprimento por 2,5m de largura e 0,6m de pro- regular. fundidade. No máximo, quantos blocos podem ser transportados numa viagem, de modo que a carga não ultrapasse a altura da carroceria? a) 1600. b) 1500. Editora Exato 19
  • 4. c) 1400. 6 (UFMT) Em um paralelepípedo retângulo com d) 1300. 4cm de altura, a base tem comprimento cuja me- e) 1200. dida é igual ao dobro da medida da largura. Se esse sólido tem 64cm2 de área total, o seu volu- me, em centímetros quadrados, é? 3 Um aquário tem a forma de um paralelepípedo a) 24. b) 30. reto-retângulo e contém água até uma certa altu- c) 32. d) 40. ra. As medidas internas da base do aquário são e) 48. 40cm por 25cm. Uma pedra é colocada dentro do aquário, ficando totalmente submersa e fazendo com que o nível da água suba 0,8cm. Qual é o 7 (FAFI-MG) As dimensões de uma piscina olím- volume dessa pedra? pica são: 50m de comprimento, 25m de largura e 3m de profundidade. O seu volume, em litros, é: a) 3750. b) 37500. 0,8cm c) 375000. d) 3750000. e) 37500000. 8 (CESCEA-SP) Se a soma das arestas de um cu- bo é igual a 72cm, então o volume do cubo é i- a) 100cm3. gual a: b) 800cm3. a) 100cm3. b) 40cm3. 3 c) 1200cm3. c) 144cm . d) 16cm3. 3 d) 400cm3. e) 216cm . e) 600cm3. 9 (FUVEST-SP) Dois blocos de alumínio, em 4 Uma face de um cubo tem área 81cm2. Seu vo- forma de cubo, com arestas medindo 10cm e lume é: 6cm, são levados juntos à fusão e, em seguida, o a) 9cm3. alumínio é moldado como um paralelepípedo re- b) 81cm3. to-retângulo de arestas 8cm, 8cm e xcm. O valor c) 180cm3. de x é: d) 243cm3. a) 16. b) 17. e) 729cm3. c) 18. d) 19. e) 20. 5 (MACK-SP) A área total do sólido abaixo é: GABARITO 5 4 1 E 3 2 7 2 A 3 B 4 E 5 D 13 6 C a) 204. 7 D b) 206. 8 E c) 222. d) 244. 9 D e) 262. Editora Exato 20