1. MATEMÁTICA
GEOMETRIA ESPACIAL
1. POLIEDROS
4. NOMENCLATURA
Define-se como poliedro a todo sólido forma-
Os poliedros, convexos ou não, recebem no-
do por uma superfície fechada, limitada somente por
mes de acordo com o número de faces que possuem:
polígonos e que satisfaça às duas condições abaixo.
O ângulo formado entre dois polígonos é Número de faces Nome
diferente de um ângulo raso. 4 tetraedro
Cada lado dos polígonos pertence somente 5 pentaedro
a dois polígonos. 6 hexaedro
Exemplos: 7 heptaedro
8 octaedro
9 eneaedro
10 decaedro
11 undecaedro
12 dodecaedro
E.1) E.2) 13 tridecaedro
:: ::
20 icosaedro
5. RELAÇÃO DE EULER
Existem poliedros que satisfazem a relação
E.3) V +F = A + 2, em que V, F e A representam, respecti-
vamente, o número de vértices, faces e arestas do po-
2. ELEMENTOS liedro.
Os polígonos que limitam o poliedro são cha- Todo poliedro que satisfaz à relação de Euler é
mados de faces. Euleriano.
Os lados dos polígonos das faces são chama- Observação:
dos de arestas. Todo poliedro convexo é Euleriano, ou se-
Exemplo: ja, satisfaz à relação de Euler.
E.1) Exemplo
E.1) Verifique se o poliedro do E.1 do tópico 1
face dessa unidade é Euleriano.
Resolução:
aresta 8 faces quadrangular
Nº de faces do poliedro : 
2 faces octogonais
vértice 8⋅4 + 2⋅8
Nº Arestas do poliedro: A = = 24 .
2
Nº vértices do poliedro: 16.
Substituindo, na relação, temos:
(I) { + E = { + 2 (Sentença verdadeira).
V { A
16 10 24
Como a sentença (I) é verdadeira, então o poli-
Na figura, encontramos edro é Euleriano.
Nº de faces 8
6. SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE
Nº de arestas 12
UM POLIEDRO CONVEXO
Nº de vértices 6
Para um poliedro convexo, com V vértices,
3. POLIEDRO CONVEXO
podemos determinar a soma dos ângulos de suas fa-
Um poliedro é denominado de convexo se a ces pela relação SF = ( V − 2) ⋅ 360º .
região interna limitada pelas faces é uma região con-
vexa.
Editora Exato 17

2. 7. POLIEDROS DE PLATÃO 8. PRISMAS
7.1. Definição Considere dois planos paralelos ( α e β ) , uma
Define-se como poliedro de Platão a todo poli- reta (t) incidente nesses planos e uma região poligo-
edro que obedece às três condições a seguir: nal pertencente a α . Observe a figura.
Todas as faces possuem o mesmo número
de arestas. t
Em cada vértice concorrem os mesmos nú-
meros de arestas.
Satisfaz à relação de Euler, ou seja, é Eule-
riano. β
7.2. Classes
Existem somente cinco classes de poliedros de
Platão. Suas propriedades são resumidas no quadro Define-se como prisma ao conjunto formado
dado a seguir. por todos os segmentos, paralelos à reta t, que possui
Poliedros de Platão um de seus extremos na região poligonal e o outro no
Número de Número de
Nome
Número de Número de
arestas arestas por
plano β .
faces (F) vértices (V)
(A) face (n)
Tetraedro 4 4 6 3
Exemplo:
Hexaedro 6 8 12 4 E.1)
Octaedro 8 6 12 3
Dodecaedro 12 20 30 5
Icosaedro 20 12 30 3 t
7.3. Poliedros Regulares
São poliedros de Platão que possuem suas fa-
ces formadas por polígonos regulares, congruentes
entre si e seus ângulos poliédricos são congruentes.
Figuras representativas
9. ELEMENTOS
base
aresta da
base
distância faces laterais
entre as (paralelogramos)
bases é
a altura
aresta lateral
10. ÁREAS IMPORTANTES
10.1. Área da Base (Ab)
Representa a área do polígono da base.
10.2. Área lateral (AL)
Representa a soma das áreas das faces laterais.
10.3. Área total (At)
A t = 2 A b + AL
{ {
area area
da lateral
base
Editora Exato 18

3. 11. VOLUME (V) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
O volume do prisma é determinado pelo pro-
1 Determine a área total do prisma abaixo.
duto da área da base e altura, em símbolos,
V = {⋅ H
Ab {
altura
area
da do
base prisma 3cm
12. ALGUNS MODELOS ESPECIAIS
2cm
12.1. Paralelepípedo 4cm
Prisma em que todas as suas faces são parale-
logramos. Resolução:
Observação: Observamos que a figura é formada por pares
Quando todas as faces são retangulares, o de retângulos.
paralelepípedo será denominado de parale-
lepípedo reto-retângulo. A t = 2x 3 + 2x 2+2 3
Propriedades 2 4 4
Considere um paralelepípedo reto-retângulo de A t = 2.2.3 + 2.4.2 + 2.4.3
dimensões a, b e c. A t = 52c2m
A medida da diagonal é calculada pela rela-
ção D = a2 + b2 + c2 .
O valor da área total é expresso por
at = 2 ( ab + ac + bc ) EXERCÍCIOS
O volume é obtido pelo produto das dimen-
1 (PMDF) Em uma escola, os alunos foram leva-
sões, ou seja, V = abc .
dos ao laboratório para a realização de uma expe-
12.2. Cubo riência, a de determinar o volume de uma pedra,
O cubo representa o paralelepípedo reto- imergindo-a na água de um recipiente. A experi-
retângulo cujas arestas são todas congruentes. ência consistia em submergir completamente a
Representação usual pedra e medir a variação da altura da água no re-
cipiente. Após a experiência, os alunos anotaram
que a variação da altura da água foi de 3 cm e que
o recipiente tinha a forma de um paralelepípedo
retângulo, medindo 80cmx50cmx40cm, mas não
anotaram qual dessas três medidas correspondia à
altura do recipiente. Mesmo sem essa informa-
ção, foi possível concluir que o volume máximo
da pedra, em litros, era de:
Propriedades a) 23,2.
Considere um cubo de aresta. b) 20,4.
A medida de sua diagonal é a 3 . c) 17,6.
A área total é 6a2. d) 14,8.
O volume é a3. e) 12.
13. PRISMA RETO
2 Um determinado bloco utilizado em construções
O prisma é chamado de reto quando suas ares- tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo,
tas laterais são perpendiculares ao plano da base. cujas dimensões são 25cm, 15cm e 10cm. Pre-
Observação: tende-se transportar blocos desse tipo num cami-
Quando o prisma reto possui em sua base um nhão cuja carroceria tem, internamente, 4m de
polígono regular, então será denominado de prisma comprimento por 2,5m de largura e 0,6m de pro-
regular. fundidade. No máximo, quantos blocos podem
ser transportados numa viagem, de modo que a
carga não ultrapasse a altura da carroceria?
a) 1600.
b) 1500.
Editora Exato 19

4. c) 1400. 6 (UFMT) Em um paralelepípedo retângulo com
d) 1300. 4cm de altura, a base tem comprimento cuja me-
e) 1200. dida é igual ao dobro da medida da largura. Se
esse sólido tem 64cm2 de área total, o seu volu-
me, em centímetros quadrados, é?
3 Um aquário tem a forma de um paralelepípedo a) 24. b) 30.
reto-retângulo e contém água até uma certa altu- c) 32. d) 40.
ra. As medidas internas da base do aquário são e) 48.
40cm por 25cm. Uma pedra é colocada dentro do
aquário, ficando totalmente submersa e fazendo
com que o nível da água suba 0,8cm. Qual é o 7 (FAFI-MG) As dimensões de uma piscina olím-
volume dessa pedra? pica são: 50m de comprimento, 25m de largura e
3m de profundidade. O seu volume, em litros, é:
a) 3750. b) 37500.
0,8cm c) 375000. d) 3750000.
e) 37500000.
8 (CESCEA-SP) Se a soma das arestas de um cu-
bo é igual a 72cm, então o volume do cubo é i-
a) 100cm3. gual a:
b) 800cm3. a) 100cm3. b) 40cm3.
3
c) 1200cm3. c) 144cm . d) 16cm3.
3
d) 400cm3. e) 216cm .
e) 600cm3.
9 (FUVEST-SP) Dois blocos de alumínio, em
4 Uma face de um cubo tem área 81cm2. Seu vo- forma de cubo, com arestas medindo 10cm e
lume é: 6cm, são levados juntos à fusão e, em seguida, o
a) 9cm3. alumínio é moldado como um paralelepípedo re-
b) 81cm3. to-retângulo de arestas 8cm, 8cm e xcm. O valor
c) 180cm3. de x é:
d) 243cm3. a) 16. b) 17.
e) 729cm3. c) 18. d) 19.
e) 20.
5 (MACK-SP) A área total do sólido abaixo é:
GABARITO
5
4
1 E
3 2
7 2 A
3 B
4 E
5 D
13 6 C
a) 204. 7 D
b) 206. 8 E
c) 222.
d) 244. 9 D
e) 262.
Editora Exato 20