Paralelepípedo e pirâmide

Geometria Espacial
(Paralelepípedo e Pirâmide)

Paralelepípedo: Definição, Tipos, Área da
Base (AB), Área Lateral (AL), Área Total (AT) e
Volume (V). Pirâmide: Definição, Elementos,
Classificação, Planificação, Área da Base (AB),
Área Lateral (AL), Área Total (AT) e Volume (V).

Prof. Ary de Oliveira

Paralelepípedos – Definição

Paralelepípedo é um prisma composto por 6
faces as quais são paralelogramos.


Tipos de Paralelepípedos

Os paralelepípedos podem ser:

Paralelepípedo Oblíquo:

Paralelepípedo Reto:

Paralelepípedo Reto-retângulo:
(ou Paralelepípedo Retângulo, ou Ortoedro ou Bloco
Retangular)



EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 01
Classifique os paralelepípedos oblíquo ou reto:

(A) (B)

(C) (D)



Classifique os paralelepípedos oblíquo ou reto:

(A) Oblíquo (B) Reto

(C) Reto (D) Oblíquo


Área da Base (AB)

Como o paralelepípedo é composto por quadriláteros,
então a área da base será a área do quadrilátero (que
depende do caso).

Retângulo Quadrado

2
A = b×h A=l


Área Lateral (AL)

Para o exemplo a seguir a área lateral de um
paralelepípedo é dada por:

AL = 2(ac + bc)


Área Total (AT)

Para o exemplo a seguir a área total de um
paralelepípedo é dada por:

AT = 2(ab + ac + bc)


Área Total (AT)

Deseja-se confeccionar um cubo utilizando para tanto
uma folha de zinco com 24 dm2. Qual será a medida da
aresta do cubo em centímetros?


Área Total (AT)

Deseja-se confeccionar um cubo utilizando para tanto
uma folha de zinco com 24 dm2. Qual será a medida da
aresta do cubo em centímetros?
SOLUÇÃO
AT = 2(a2 + a2 + a2) = 24 dm2
2(3a2) = 24
6a2 = 24
a2 = 4
a = 2 dm x 10 a = 20 cm


Volume

Assim como os prismas o volume do
PARALELEPÍPEDO é dado pelo produto da área da
base (AB) pela altura do paralelepípedo (h).
V = AB x h

No exemplo acima o volume é: V = abc


Volume

Qual o volume, em litros, de uma caixa d’água que tem a
forma de um paralelepípedo reto-retângulo e possui 1
metro de largura, 2 metros de comprimento e 1,5 metros
de altura?


Volume

Qual o volume, em litros, de uma caixa d’água que tem a
forma de um paralelepípedo reto-retângulo e possui 1
metro de largura, 2 metros de comprimento e 1,5 metros
de altura?
SOLUÇÃO
a = 1 m x 10 = 10 dm V = 10 x 20 x 15
b = 2 m x 10 = 20 dm V = 3000 dm3
c = 1,5 m x 10 = 25 dm OU
V = abc = ? V = 3000 L


Pirâmide – Definição

Pirâmide é a reunião dos segmentos de reta com
extremidades em V (no vértice) e a outra nos pontos do
polígono contido no plano.


Elementos do Pirâmide (Parte I)


Elementos do Pirâmide (Parte II)

Altura: É a distância entre o vértice e a base.
Aresta da Base: Os segmentos que unem os vértices
do polígono da base.
Aresta Lateral: Os segmentos que unem os vértices do
polígono da base ao vértice da pirâmide.
Base: É a região poligonal na qual a pirâmide se apoia.
Face: É a região triangular delimitada pelas aresta da
base, aresta lateral e o vértice da pirâmide.
Vértice: É o ponto mais distante da base da pirâmide.


Elementos do Pirâmide (Parte II)

Identifique os elementos da pirâmide a seguir:


Classificação da Pirâmide (Parte I)

A pirâmide pode ser classificada quanto:
Polígono da base:

A projeção ortogonal do vértice:


Classificação da Pirâmide (Parte II)

OBS.:
Na Pirâmide Reta a projeção ortogonal (ou vertical) do
vértice sobre o plano da base coincide com o centro da
base, enquanto na Pirâmide Oblíqua a projeção
ortogonal (ou vertical) do vértice sobre o plano da base
NÃO coincide com o centro da base.



Classifique as pirâmides abaixo quanto ao polígono da
base e quanto a projeção ortogonal do vértice.

(A) (C)

(B) (D)



Classifique as pirâmides abaixo quanto ao polígono da
base e quanto a projeção ortogonal do vértice.

(A) (C)
Quadrangular Reta Pentagonal Oblíqua

(B) (D)
Quadrangular Oblíqua Hexagonal Reta


Planificações de Pirâmides

Até o presente momento mostramos as pirâmides,
apenas, em perspectiva. Agora iremos apresentar
algumas representações planas de pirâmides.
Abaixo temos as planificações de Pirâmides de base:

Triangular Quadrangular Pentagonal Hexagonal



Classifique as planificações das pirâmides abaixo quanto
ao seu polígono da base.

(A) (C)

(B) (D)



Classifique as planificações das pirâmides abaixo quanto
ao seu polígono da base.

(A) Triangular (C) Quadrangular

(B) Hexagonal (D) Pentagonal


Área da Base (AB)

Nesse caso a área da base da pirâmide é a área do
polígono que compõe sua base.
Retângulo Quadrado Triângulo Hexágono

A = b×h A=l 2 b×h 3l 2
3
A= A=
2 2


Área da Base (AB)

Calcule a área da base de uma pirâmide de base
quadrada cuja aresta da base mede 8 cm.


Área da Base (AB)

Calcule a área da base de uma pirâmide de base
quadrada cuja aresta da base mede 8 cm.
SOLUÇÃO
l = 8 cm
AB = l² = 8² = 64 cm²

l = 8 cm


Área Lateral – AL (Parte I)

Para começo de história devemos saber encontrar a
apótema da pirâmide regular. Para só então
encontrarmos a área lateral.
Antes vejamos um exemplo:


Área Lateral – AL (Parte II)

Perceba que o apótema da pirâmide será a hipotenusa
do triângulo VMN e também será a altura do triângulo
que compõe a face BCV.
Note que na pirâmide regular as face são congruente.
Portanto a área lateral (AL) da pirâmide é a soma das
áreas da face da pirâmide que é dada por:
1
AL = 4 × A∆ ⇒ AL = 4 ⋅ la
perímetro 2
1 2p
AL = 4l × a ⇒ AL = ×a
2 2
AL = p × a


Área Lateral – AL (Parte III)

Onde:
AL : área lateral;
A : área de um face;
l : lado do polígono da base;
a : apótema da pirâmide;
2p : perímetro;
p : semiperímetro.


Área Lateral – AL (Parte IV)

Generalizando a área lateral para uma pirâmide regular
de “n” lados temos:

AL = pa


Uma pirâmide regular de base
quadrada tem área da base 36

4 cm
cm² e altura 4 cm. Qual a área
lateral da pirâmide dada?


Uma pirâmide regular de base
quadrada tem área da base 36

4 cm
cm² e altura 4 cm. Qual a área
lateral da pirâmide dada?
SOLUÇÃO
Encontrando o lado do quadrado (l):
A = l² = 36 cm² l = 6 cm
Encontrando o apótema (a)

h = 4 cm
a² = h² + (l/2)² = 4² + 3² = 16 + 9
a² = 25 a = 5 cm
Encontrando a área lateral (AL):
AL = pa = 8x5 AL = 40 cm² l/2 = 3 cm


Área Total (AT)

A área total de uma pirâmide regular é dada pela mesma
equação da área total do prisma, ou seja, a soma da
área da base (AB) com a área lateral (AL).
Desse modo obtemos o seguinte:

AT = AB + AL


Área Total (AT)

De posse das informações do exercício anterior. Calcule
a área total.


Área Total (AT)

De posse das informações do exercício anterior. Calcule
a área total.
SOLUÇÃO
AB = 36 cm² AT = AB + AL
AL = 40 cm² AT = 36 + 40
AT = ? AT = 76 cm²


Volume (V)

O volume da pirâmide é um terço do volume do prisma
que tem mesma base da pirâmide. Não é tão elementar
ver isso, mas esta observação ajuda consideravelmente
no cálculo do volume da pirâmide.

1
V = AB × h
3


Volume (V)

Calcule o volume do sólido (octaedro) que é a união de
duas pirâmides regulares de bases quadradas conforme
a figura a seguir:


Volume (V)

Calcule o volume do sólido (octaedro) que é a união de
duas pirâmides regulares de bases quadradas conforme
a figura a seguir:
SOLUÇÃO
AB = l² = 4² = 16 cm²
h = 6/2 = 3 cm
1 2 × 16 × 3
V = 2 × AB × h ⇒ V =
3 3
V = 32 cm3


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