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Transformações geométricas no plano

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• Transformações Afins na Reta II
• Transformações Afins na Reta III
• Transformações Geométricas - Questões Resolvidas
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Transformações Afins na Reta I


1 INTRODUÇÃO

Genericamente, entenderemos por transformação afim na reta, aquela definida
pela equação
x' = ax + b, onde a ≠ 0. Entre as transformações geométricas usuais
identificamos a translação, a simetria e a homotetia, assuntos que serão
desenvolvidos aqui neste texto. Para o entendimento deste assunto, entretanto,
é fundamental revisar o conceito de vetor, o que faremos agora, não obstante
ser um assunto por demais visto nos cursos regulares de Física.

Nota: consta que o termo AFIM, foi introduzido por Leonhard Euler, (grande
matemático suíço - 1707/1783), o primeiro a estudar tópicos avançados da
Geometria Afim, no século XVIII.

2 VETOR

                   Considere o segmento orientado AB na figura abaixo.




Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos
bastante definidos:
•   comprimento (denominado módulo)
   •   direção
   •   sentido (de A para B)

Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos orientados
equipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de todos os segmentos
orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo
sentido de AB.
Assim, a idéia de vetor nos levaria a uma representação do tipo:




Na prática, para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitos
segmentos orientados que o compõe. Guarde esta idéia, pois ela é importante!

Sendo u um vetor genérico, o representaremos pelo símbolo:


3 TRANSLAÇÃO NA RETA

Seja r uma reta e u um vetor em r .




Observe que o comprimento do vetor u é igual a 5 = 7 - 2, mas a sua medida
algébrica é igual - 5 , já que o seu sentido é contrário ao sentido positivo da
reta.
Sendo P um ponto da reta de abcissa x, uma translação de vetor u na reta,
levaria a um ponto P' de abcissa x' dado por x'= x + u, onde u é a medida
algébrica do vetor u.
Observe que a translação é uma transformação afim do tipo definido no item 1
acima, onde a = 1 e b = u.

Exemplos:

a) Qual o transformado do ponto de abcissa 3 por uma translação de vetor 5?
Resposta: x' = 3 + 5 = 8. Portanto, o ponto na reta de abcissa 8 é o
transformado do ponto de abcissa 3, pela translação de vetor 5.

b) Qual o transformado do ponto de abcissa 2 por uma translação de vetor -10?
Resposta: x' = 2 - 10 = -8.
c) Considere agora o segmento AB onde x A = 3 e x B = 7. Qual o transformado
do segmento AB por uma translação de vetor 2?

Teríamos: x'A = 3+2 = 5 e x'B = 7+2 = 9. Portanto, o transformado do segmento
AB de abcissas 3 e 2 é o novo segmento A'B' de abcissas 5 e 9. Observe que o
comprimento do segmento AB
(7 - 3 = 4) continuou inalterado no seu transformado A'B' cujo comprimento é
igual a 9 - 5 = 4. A distancia entre os pontos A e B pois, foi conservada pela
translação. Dizemos então que a TRANSLAÇÃO é uma transformação
ISOMÉTRICA, ou seja, é uma transformação que conserva as distancias.

3.1 - Composição de translações

Sejam T1 e T2, duas translações de vetores u e v respectivamente:
Temos: T1 = x + u e T2 = x + v
A composição das translações T1 e T2 ( T1 o T2 ) resultaria:
T1o T2 (x) = T1(T2(x)) = T1(x+v) = (x+v) + u = x + (u+v).
Concluímos pois que a composição de duas translações resulta numa nova
translação, cujo vetor translação é a soma dos vetores translação de cada uma
delas.

Podemos concluir facilmente o que segue:

a) a composição de translações, é uma nova translação, ou seja o conjunto das
translações goza da propriedade de FECHAMENTO para a operação "o" -
chamada 'composição'.

b) a composição de translações goza da propriedade associativa, ou seja:
T1o(T2 o T3) = (T1 o T2)o T3

c) Se considerarmos uma translação de vetor nulo, ou seja a translação que
leva um ponto em si mesmo, teremos x' = x + 0 = 0 + x = x, ou seja, sendo To
esta translação de vetor nulo, podemos concluir que To To = T e, portanto, a
composição de translações goza da propriedade da existência do ELEMENTO
NEUTRO.

d) É também fácil demonstrar que a composição de translações goza da
propriedade comutativa, ou seja, T1oT2 = T2 o T1.

e) Para toda translação de vetor u podemos considerar outra translação de
vetor - u, tal que a composição delas seja igual a uma translação de vetor nulo.
Seja T1 = x+u e T2 = x - u.
É óbvio que T1 o T2 = T2 o T1 = x = x+0 (translação de vetor nulo).

Dizemos então que a composição de translações goza da propriedade da
existência do ELEMENTO SIMÉTRICO (ou ELEMENTO INVERSO).

Portanto, como o conjunto das translações na reta goza das propriedades
ASSOCIATIVA, FECHAMENTO, ELEMENTO NEUTRO e EXISTÊNCIA DO
INVERSO (propriedades b, a, c e e respectivamente), dizemos que o conjunto
das translações na reta tem estrutura de GRUPO em relação à operação
'composição' ("o").

Como além das propriedades acima, ainda é válida a operação comutativa
(item d acima ) dizemos que o GRUPO é COMUTATIVO ou ABELIANO.

Observação: Abeliano em homenagem a Abel (Niels Henri Abel , matemático
norueguês que nasceu em 05/08/1802 e faleceu em 06/04/1829, vitimado pela
tuberculose, aos 27 anos!).

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Transformações Afins na Reta II


Vimos na Parte I, o conceito de translação que é um dos tipos de
transformação afim na reta. Veremos a seguir, os conceitos de SIMETRIA
CENTRAL e de HOMOTETIA na reta, sendo aconselhável, entretanto que você
faça uma revisão da Parte I já publicada neste site, para efeito de fixação de
conceitos.

1 - Simetria central
Seja C um ponto fixo de uma reta r. A transformação geométrica que a cada
ponto de P∈ r associa um outro ponto P' ∈ r tal que P' - A = A - P , é uma
simetria de centro C. Sendo x' a abcissa de P', c a abcissa do centro de
simetria C e x a abcissa do ponto P, conforme figura abaixo, poderemos
escrever:




P' - C = C - P ou em termos de suas abscissas: x' - c = c - x , donde concluímos
a fórmula fundamental da simetria central: x' = 2c - x

Por exemplo, se P é um ponto de abcissa x = 10, então o transformado de P
por uma simetria de centro no ponto C de abcissa c = 4 será o ponto P' de
abcissa x' dada por x'=2.4 - 10 = -2, ou seja -2 é o transformado do ponto 10
pela simetria de centro 4.
Como vimos na parte I, as transformações afins na reta são descritas de uma
forma genérica por uma equação do 1º grau da forma x'= ax+b. Comparando
com a equação da simetria (x' = 2c - x), concluímos que neste caso, como
também podemos escrever x'= -x + 2c, teremos então a = -1 e b = 2c.

NOTA: Na fórmula da simetria, sendo c = 0, obteremos x' = - x, ou seja, - x é o
simétrico de x em relação à origem (abcissa nula).

1.1 - Composição de duas simetrias centrais

Sejam as simetrias S1 e S2 definidas respectivamente pelas suas equações
genéricas
x' = S1(x) = 2c1 - x e x' = S2 (x)= 2c2 - x.
Vamos determinar a simetria composta S1 o S2.
Teremos:
S1 o S2 (x) = S1[S2(x)] = S1[2c2 - x] = 2c1 - (2c2 - x) = x + 2(c1 - c2)
Observe que x+2(c1-c2) é do tipo x + u onde u = 2(c1- c2), que é a fórmula da
translação e portanto, concluímos que a composição de duas simetrias resulta
numa translação.

Exercício resolvido:

UFBA-72) A composição das simetrias s e s1, de centros -1/2 e 3/2,
respectivamente, é:

a) uma translação de vetor 2
b) uma translação de vetor 4
c) uma translação de vetor - 4
d) uma simetria de centro 4
e) nenhuma das alternativas anteriores é válida

SOLUÇÃO:

Temos:
s(x) = 2(-1/2) - x = -1 - x
s1(x) = 2(3/2) - x = 3 - x
Vem então: sos1(x) = s[s1(x)]=s[3-x]= -1 - (3-x) = x - 4, portanto uma translação
de vetor -4.
Vamos agora determinar a transformação composta s1os. Vem:
s1os(x) = s1[s(x)]=s1[-1- x]=3-(-1 - x)= x + 4, portanto uma translação de vetor 4.
Observe aqui a sutileza da interpretação das respostas. Como o problema
solicitou a composição de s com s1 nessa ordem, isto significa que ele quer o
cálculo de s1os e não sos1! Lembre-se do curso de funções que quando
solicitamos determinar a composição da função f com a função g, na verdade o
símbolo correto é gof. Assim, concluímos pois, que a alternativa correta é a
letra B. Perceberam?

NOTA: do exercício anterior, concluímos que a composição de simetrias não é
uma operação comutativa, pois sos1 ≠ s1os.
Como a composição de duas simetrias não é outra simetria e sim uma
translação, concluímos também que o conjunto das simetrias não goza da
propriedade de FECHAMENTO em relação à operação "composição".

Exercícios

1 - Prove que a composição da simetria de centro c ,S(x) = 2c - x com a
translação de vetor u, T(x) = x + u, é uma simetria de centro c + u/2.

SOLUÇÃO:
Observe que pelo enunciado, devemos determinar ToS (e não SoT).
Portanto:
ToS(x) = T[2c - x] = (2c - x) + u = 2c + u - x = 2[c + u/2] - x e portanto uma
simetria de centro c+u/2, como queríamos demonstrar - c.q.d.

2 - Agora prove você mesmo que a composição de uma translação de vetor u,
T(x) = x+u com a simetria de centro c, S(x) = 2c - x, é uma simetria de centro
no ponto de abcissa c - u/2.
Sugestão: observe que agora você terá que calcular SoT.
Observe também que SoT ≠ ToS, o que nos indica que a operação não é
comutativa.

3 - Prove que a inversa de uma simetria é a própria simetria.

SOLUÇÃO:

Seja a simetria S(x) = 2c - x. Vamos obter a sua inversa, ou seja, S-1.
Temos: S(x) = x'= 2c - x, que é a fórmula fundamental da simetria na reta.
Logo, para determinar a sua inversa, lembrando do curso de funções já visto
nesta home page, basta permutar as variáveis x' e x. Logo:
x'= 2c - x ∴ permutando x por x' e vice versa vem:
x = 2c - x' ⇒ x + x' = 2c de onde concluímos que x' = 2c - x, que é a própria
simetria.

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Transformações Afins na Reta III


Já analisamos a translação e a simetria central na reta. Agora é a vez da
HOMOTETIA, uma transformação afim na reta de grande importância.
Antes, entretanto, vamos falar de ponto fixo ou ponto invariante de uma
transformação geométrica.
Já sabemos que as transformações geométricas na reta são definidas de uma
forma genérica por uma equação do 1º grau do tipo x' = ax + b, com a ≠ 0,
onde x' é a abcissa do transformado do ponto de abcissa x.
Diz-se que x é um PONTO FIXO (ou PONTO INVARIANTE) de uma
transformação geométrica na reta, se o transformado do ponto x é o próprio
ponto x, ou seja, x' = x.
Nestas condições, sendo x' = ax + b, fazendo x' = x, vem:
x = ax + b ∴ x - ax = b ∴ x(1 - a) = b ∴ x = b / (1 - a), para a ≠ 1.

Exemplo:

Seja a transformação T definida por x' = 3x + 18. Qual o ponto fixo dessa
transformação?
Ora, fazendo x' = x , vem: x = 3x + 18 de onde conclui-se que x = - 9.
Realmente, se determinarmos T(-9) obteremos:
T(-9) = 3(-9) + 18 = -9, ou seja: o transformado do ponto de abcissa -9 pela
transformação T é o próprio ponto.

Exercício Resolvido:

UFBA - 73
O ponto fixo da transformação afim que a x faz corresponder x' = 3x - 5 é:
a) 5/3
b) -5/3
c) -5/2
d) 5/2
e) nenhuma das alternativas anteriores

SOLUÇÃO:
Pela definição conhecida, temos:
x = 3x - 5 ∴ x - 3x = -5 ∴ -2x = -5 ∴ x = -5 / -2 = 5/2. Logo, alternativa D.

HOMOTETIA NA RETA

O termo homotetia segundo o Novo Dicionário Brasileiro de Melhoramentos, 7ª
edição, é também conhecido como homotesia e definido como "relação entre
duas séries de pontos, tal que os de cada uma estão dois a dois em linha reta
com um centro comum e separados destes por distancias de razão constante".
Complicado, não é? Vamos simplificar as coisas, usando a linguagem
matemática?
Vamos lá!
Consideremos uma reta r e um ponto P ∈ r. Seja C ∈ r um ponto denominado
centro da homotetia. Consideremos ainda um número real k ≠ 0, denominado
razão da homotetia. Entenderemos como HOMOTETIA, a transformação
geométrica H que transforma o ponto P num ponto P' da reta r tal que:
P' - C = k (P - C)
Sendo x', c e x as abscissas dos pontos P' , C e P respectivamente, podemos
então escrever:
x' - c = k(x - c) ∴ x' = kx - kc + c = kx + c(1 - k).
Portanto, x'= kx + c(1 - k) é a equação geral de uma homotetia na reta, de
centro c e razão k .
Vamos analisar a equação da homotetia:

a) centro na origem: c = 0
Substituindo na equação acima c = 0 vem: x' = kx e temos nesse caso uma
homotetia dita LINEAR.

b) razão da homotetia igual a 1 (k = 1)
Neste caso, teremos x' = x e temos nesse caso que a homotetia é uma
transformação INVARIANTE ou seja, todo ponto é transformado em si mesmo.

c) razão da homotetia igual a (-1) (k = - 1)
Substituindo na equação geral da homotetia, teremos x'= (-1).x + c[1 - (-1)]
Logo, nesse caso, x' = 2c - x , que como sabemos da aula anterior, trata-se da
fórmula da simetria.
Então, as homotetias de razão igual a (- 1), são simetrias.
Podemos então generalizar que as simetrias são simplesmente homotetias de
razão igual a menos um.

EXEMPLOS:

1 - Qual o transformado do ponto de abscissa 5 por uma homotetia de centro
10 e razão 2?

SOLUÇÃO:
Teremos: x'= kx + c(1 - k) = 2.5 + 10(1 - 2) = 0.
Resp: a homotetia transforma o ponto de abscissa 5 no ponto de abscissa 0.

2 - Qual o centro e a razão da homotetia definida por x' = 10x - 30?

SOLUÇÃO:
Vamos comparar a equação dada, com a equação geral das homotetias.
Temos:
x' = kx + (1 - k)c = 10x - 30
Para que a igualdade acima seja verdadeira, deveremos ter:
k = 10 e (1 - k)c = - 30
Substituindo o valor de k=10, vem: -9c = - 30 e portanto c =(-30)/(-9) = 10/3.
Resposta: razão 10 e centro 10/3.

3 - Qual o ponto invariante (ou ponto fixo) de uma homotetia definida pela sua
equação geral
x' = kx + (1 - k)c ?

SOLUÇÃO:
Como já sabemos, deveremos ter x'=x. Logo, x = kx + (1 - k)c
x - kx = (1 - k)c ∴ x(1 - k) = (1 - k)c.
Temos então:
1º caso: k = 1 ⇒ a igualdade é verdadeira para todo valor de x e isto significa
que todo ponto é invariante.
2º caso: k ≠ 1 ⇒ x = c e, neste caso, concluímos que só existe um ponto fixo ou
invariante que é o centro da homotetia.

NOTA: Dada a homotetia x' = mx + n, podemos concluir que a razão da
homotetia é igual a m
(k = m).
Considerando-se que o centro c da homotetia é um ponto fixo (ou invariante),
para determinar o centro da homotetia, basta fazer x = c.

Exemplo:
Qual a razão e o centro da homotetia definida pela equação x' = 5x - 40?

SOLUÇÃO:
A. razão da homotetia = 5
B. para determinar o centro, basta fazer x' = x. Logo, x = 5x - 40 ∴ x = 10.
Portanto, a expressão dada é uma homotetia de razão k = 5 e centro no ponto
da reta, de abcissa c = 10.

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Transformações Geométricas - Questões Resolvidas


1. UFBA.76 - Sejam A = {-5/2, -5, 1/3, 17/6} e B o conjunto das imagens dos
elementos de A pela composição das translações de vetores -3 e 1/2; então A∩
B é:
A) {1/3, -5}
B) {1/3, 17/6}
C) {5/2, -1/3, 17/6}
D) {-5/2, 1/3, -5}
E) {-5, 17/6, 1/3}

SOLUÇÃO:

Sabemos das aulas anteriores, que a composição de duas translações de
vetores u e v, é uma nova translação de vetor u+v. Logo, a translação
composta será de vetor igual a
-3+1/2 = -6/2 + 1/2 = -5/2. Portanto, a translação composta será: T(x) = x - 5/2.
Teremos então, para os elementos x∈ A:
Para x = -5/2 : T(-5/2) = -5/2 -5/2 = -10/2 = -5
Para x = -5 : T(-5) = -5 - 5/2 = -10/2 - 5/2 = -15/2
Para x = 1/3: T(1/3) = 1/3 - 5/2 = 2/6 - 15/6 = -13/6
Para x = 17/6 : T(17/6) = 17/6 - 5/2 = 17/6 - 15/6 = 2/6 = 1/3
Logo, o conjunto imagem B é igual a : B = {-5, -15/2, -13/6, 1/3}
Mas o problema pede A∩ B. Logo,
A∩ B = {-5/2, -5, 1/3, 17/6} ∩ { -5, -15/2, -13/6, 1/3} = { -5, 1/3 } = { 1/3, -5} e
portanto a alternativa correta é a letra A.

2 UFBA.76 - Dois vértices não consecutivos de um quadrado são (3,5) e
(2, -1/2); as coordenadas do centro de simetria desse quadrado são:
A) (5, 9/2)
B) (5, 9/4)
C) (5, 11/4)
D) (5/2, 9/2)
E) (5/2, 9/4)

SOLUÇÃO:

Seja o quadrado da figura abaixo:




É óbvio que o centro de simetria do quadrado é o ponto de interseção das
diagonais AD e CB. Logo, o centro de simetria é o ponto médio do segmento
CB que é uma das diagonais do quadrado ABDC. Já sabemos da Geometria
Analítica (veja nesta página), que o ponto médio de um segmento é um ponto
cujas coordenadas são as médias aritméticas das abcissas e das ordenadas.
Logo, o ponto médio, que neste caso é o centro de simetria do quadrado, será
dado por:
ABCISSA = (2+3)/2 = 5/2
ORDENADA = (-1/2 + 5) / 2 = (9/2)/2 = 9/4.
Logo, o centro de simetria do quadrado é o ponto S(5/2, 9/4) e portanto, a
alternativa correta é a letra E.

3 A translação T no plano, leva o ponto A(-2,3) no ponto B(4,6). Qual o
transformado de P(2, -3) pela translação T?

SOLUÇÃO:

Teremos: T(x,y) = (x,y) + (a,b) onde (a,b) é o vetor translação no plano. Logo,
como T(-2,3) = (4,6) [dado do problema], vem:
(4,6) = (-2,3) + (a,b) ⇒ (a,b) = (4,6) - (-2,3) = (4+2, 6-3) = (6,3)
Portanto, sendo (6,3) o vetor translação, o transformado do ponto (2,-3) será:
T(2,-3) = (2,-3) + (6,3) = (2+6, -3+3) = (8, 0).
Resp: o transformado do ponto (2, -3) pela translação T é o ponto (8, 0).
NOTA: Para resolver problemas de transformações geométricas no plano
(simetrias, translações ou homotetias), basta usar as mesmas fórmulas da
transformação na reta, efetuando as mesmas operações, com os pares
ordenados. Para isto, basta considerar que, dados dois pares ordenados (x, y)
e (w, z), são válidas as três seguintes propriedades:
P1) (x,y) + (w,z) = (x + y, w + z)
P2) (x,y) - (w,z) = (x - y, w - z)
P3) Sendo k∈ R , é válido que k.(x, y) = (kx, ky)

4 Qual o transformado do ponto P(2,3) pela homotetia no plano de centro
C(1,5) e de razão 4?

SOLUÇÃO:

Usando a fórmula da homotetia vista na aula anterior, adaptando-a para o caso
de pares ordenados, vem:
(x', y') = [1- k].(c1, c2) + k.(x, y)
(x', y') = [1- 4].(1,5) + 4.(2,3) = -3.(1,5) + 4.(2,3) = (-3, -15) + (8, 12)
(x', y') = (-3+8, -15+12) = (5, -3)
Portanto, o homotético do ponto P(2,3) pela homotetia de centro (1,5) e razão 4
é o ponto (5, -3).

5 Qual o simétrico do ponto P(3, 5) pela simetria de centro C(1,4)?

SOLUÇÃO:

Usando a fórmula da simetria vista em uma aula anterior, adaptando-a para o
caso de pares ordenados, vem:
(x', y') = 2(c1,c2) - (x,y)
(x', y') = 2(1,4) - (3,5) = (2,8) - (3,5) = (2-3, 8-5) = (-1, 3).
Resposta: (-1, 3)

6 Prove que o simétrico do ponto P(x, y) em relação à origem (0, 0) do sistema
de eixos coordenados é o ponto (-x, -y).

SOLUÇÃO:

Usando a fórmula de simetria vista acima, vem:
(x', y') = 2.(0, 0) - (x, y)
(x', y') = (0, 0) - (x, y)
(x', y') = (0-x, 0-y) = (-x, -y) , como queríamos demonstrar (c.q.d)
Ex: o simétrico do ponto P(-2,3) em relação à origem é o ponto (2, -3).

7 UFBA.72 - Seja (Oij) um sistema de referencia. Os pontos M' = O + 3i + 2j,
N' = O + i + j e P' = O + i são os transformados dos vértices M = O + 7i + 4j,
N = O + i + j e P = O + i - 2j de um triângulo por:

a) uma simetria de centro N
b) uma translação de vetor 4i+2j
c) uma homotetia de centro N e razão 1/3
d) uma homotetia de centro O e razão 1/3
e) nenhuma das respostas anteriores é válida

SOLUÇÃO:

Aqui neste problema aparece uma nova notação para pontos no plano, que
entretanto é fácil de assimilar. Vamos explicar:
O = origem do sistema de coordenadas cartesianas = (0, 0)
i = vetor de módulo 1, no eixo dos x.
j = vetor de módulo 1, no eixo dos y
Assim, o ponto P = O + xi + yj é o mesmo que o ponto P(x, y). Simples, não é?

Exemplos:
P = O + 2i + 3j = (2,3)
Q = O + 2i - 3j = (2, -3)
R = O - 3j = (0, -3)
S = O + i = (1, 0), e assim sucessivamente.

Face ao exposto, podemos escrever os pontos dados no enunciado do
problema, na forma usual de pares ordenados, conforme segue:
M'(3,2) N'(1,1) P'(1, 0) M(7, 4) N(1, 1) P(1, -2)

Este é o tipo de problema no qual temos de testar todas as alternativas.

Testei as alternativas e para economizar espaço, vou apenas demonstrar que a
alternativa correta é a letra C.

Vejamos:
A fórmula da homotetia no plano é, como já vimos:
(x', y') = [1 - k] . (c1, c2) + k. (x, y) onde k = razão da homotetia e (c1, c2) é o
centro da homotetia.
A alternativa C fala numa homotetia de centro N(1,1) e razão k = 1/3.
Temos, então:
(x', y') = [1-1/3].(1,1) + 1/3(7,4) = 2/3(1,1) + 1/3(7,4) = (2/3, 2/3) + (7/3, 4/3)
(x', y') = (2/3+7/3, 2/3+4/3) = (3, 2) = M' (CONFORME ENUNCIADO DA
ALTERNATIVA C).
Analogamente, obteríamos os pontos N' e P', partindo dos pontos N e P pela
homotetia de centro N(1, 1) e razão 1/3.

O ENTENDIMENTO DESTE PROBLEMA REQUER BASTANTE ATENÇÃO.
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Transformações geométricas no plano

  • 1. Transformações geométricas no plano • Transformações Afins na Reta I • Transformações Afins na Reta II • Transformações Afins na Reta III • Transformações Geométricas - Questões Resolvidas INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASIL Transformações Afins na Reta I 1 INTRODUÇÃO Genericamente, entenderemos por transformação afim na reta, aquela definida pela equação x' = ax + b, onde a ≠ 0. Entre as transformações geométricas usuais identificamos a translação, a simetria e a homotetia, assuntos que serão desenvolvidos aqui neste texto. Para o entendimento deste assunto, entretanto, é fundamental revisar o conceito de vetor, o que faremos agora, não obstante ser um assunto por demais visto nos cursos regulares de Física. Nota: consta que o termo AFIM, foi introduzido por Leonhard Euler, (grande matemático suíço - 1707/1783), o primeiro a estudar tópicos avançados da Geometria Afim, no século XVIII. 2 VETOR Considere o segmento orientado AB na figura abaixo. Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante definidos:
  • 2. comprimento (denominado módulo) • direção • sentido (de A para B) Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos orientados equipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de todos os segmentos orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB. Assim, a idéia de vetor nos levaria a uma representação do tipo: Na prática, para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitos segmentos orientados que o compõe. Guarde esta idéia, pois ela é importante! Sendo u um vetor genérico, o representaremos pelo símbolo: 3 TRANSLAÇÃO NA RETA Seja r uma reta e u um vetor em r . Observe que o comprimento do vetor u é igual a 5 = 7 - 2, mas a sua medida algébrica é igual - 5 , já que o seu sentido é contrário ao sentido positivo da reta. Sendo P um ponto da reta de abcissa x, uma translação de vetor u na reta, levaria a um ponto P' de abcissa x' dado por x'= x + u, onde u é a medida algébrica do vetor u. Observe que a translação é uma transformação afim do tipo definido no item 1 acima, onde a = 1 e b = u. Exemplos: a) Qual o transformado do ponto de abcissa 3 por uma translação de vetor 5? Resposta: x' = 3 + 5 = 8. Portanto, o ponto na reta de abcissa 8 é o transformado do ponto de abcissa 3, pela translação de vetor 5. b) Qual o transformado do ponto de abcissa 2 por uma translação de vetor -10? Resposta: x' = 2 - 10 = -8.
  • 3. c) Considere agora o segmento AB onde x A = 3 e x B = 7. Qual o transformado do segmento AB por uma translação de vetor 2? Teríamos: x'A = 3+2 = 5 e x'B = 7+2 = 9. Portanto, o transformado do segmento AB de abcissas 3 e 2 é o novo segmento A'B' de abcissas 5 e 9. Observe que o comprimento do segmento AB (7 - 3 = 4) continuou inalterado no seu transformado A'B' cujo comprimento é igual a 9 - 5 = 4. A distancia entre os pontos A e B pois, foi conservada pela translação. Dizemos então que a TRANSLAÇÃO é uma transformação ISOMÉTRICA, ou seja, é uma transformação que conserva as distancias. 3.1 - Composição de translações Sejam T1 e T2, duas translações de vetores u e v respectivamente: Temos: T1 = x + u e T2 = x + v A composição das translações T1 e T2 ( T1 o T2 ) resultaria: T1o T2 (x) = T1(T2(x)) = T1(x+v) = (x+v) + u = x + (u+v). Concluímos pois que a composição de duas translações resulta numa nova translação, cujo vetor translação é a soma dos vetores translação de cada uma delas. Podemos concluir facilmente o que segue: a) a composição de translações, é uma nova translação, ou seja o conjunto das translações goza da propriedade de FECHAMENTO para a operação "o" - chamada 'composição'. b) a composição de translações goza da propriedade associativa, ou seja: T1o(T2 o T3) = (T1 o T2)o T3 c) Se considerarmos uma translação de vetor nulo, ou seja a translação que leva um ponto em si mesmo, teremos x' = x + 0 = 0 + x = x, ou seja, sendo To esta translação de vetor nulo, podemos concluir que To To = T e, portanto, a composição de translações goza da propriedade da existência do ELEMENTO NEUTRO. d) É também fácil demonstrar que a composição de translações goza da propriedade comutativa, ou seja, T1oT2 = T2 o T1. e) Para toda translação de vetor u podemos considerar outra translação de vetor - u, tal que a composição delas seja igual a uma translação de vetor nulo. Seja T1 = x+u e T2 = x - u. É óbvio que T1 o T2 = T2 o T1 = x = x+0 (translação de vetor nulo). Dizemos então que a composição de translações goza da propriedade da existência do ELEMENTO SIMÉTRICO (ou ELEMENTO INVERSO). Portanto, como o conjunto das translações na reta goza das propriedades ASSOCIATIVA, FECHAMENTO, ELEMENTO NEUTRO e EXISTÊNCIA DO INVERSO (propriedades b, a, c e e respectivamente), dizemos que o conjunto
  • 4. das translações na reta tem estrutura de GRUPO em relação à operação 'composição' ("o"). Como além das propriedades acima, ainda é válida a operação comutativa (item d acima ) dizemos que o GRUPO é COMUTATIVO ou ABELIANO. Observação: Abeliano em homenagem a Abel (Niels Henri Abel , matemático norueguês que nasceu em 05/08/1802 e faleceu em 06/04/1829, vitimado pela tuberculose, aos 27 anos!). INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASIL Transformações Afins na Reta II Vimos na Parte I, o conceito de translação que é um dos tipos de transformação afim na reta. Veremos a seguir, os conceitos de SIMETRIA CENTRAL e de HOMOTETIA na reta, sendo aconselhável, entretanto que você faça uma revisão da Parte I já publicada neste site, para efeito de fixação de conceitos. 1 - Simetria central Seja C um ponto fixo de uma reta r. A transformação geométrica que a cada ponto de P∈ r associa um outro ponto P' ∈ r tal que P' - A = A - P , é uma simetria de centro C. Sendo x' a abcissa de P', c a abcissa do centro de simetria C e x a abcissa do ponto P, conforme figura abaixo, poderemos escrever: P' - C = C - P ou em termos de suas abscissas: x' - c = c - x , donde concluímos a fórmula fundamental da simetria central: x' = 2c - x Por exemplo, se P é um ponto de abcissa x = 10, então o transformado de P por uma simetria de centro no ponto C de abcissa c = 4 será o ponto P' de abcissa x' dada por x'=2.4 - 10 = -2, ou seja -2 é o transformado do ponto 10 pela simetria de centro 4.
  • 5. Como vimos na parte I, as transformações afins na reta são descritas de uma forma genérica por uma equação do 1º grau da forma x'= ax+b. Comparando com a equação da simetria (x' = 2c - x), concluímos que neste caso, como também podemos escrever x'= -x + 2c, teremos então a = -1 e b = 2c. NOTA: Na fórmula da simetria, sendo c = 0, obteremos x' = - x, ou seja, - x é o simétrico de x em relação à origem (abcissa nula). 1.1 - Composição de duas simetrias centrais Sejam as simetrias S1 e S2 definidas respectivamente pelas suas equações genéricas x' = S1(x) = 2c1 - x e x' = S2 (x)= 2c2 - x. Vamos determinar a simetria composta S1 o S2. Teremos: S1 o S2 (x) = S1[S2(x)] = S1[2c2 - x] = 2c1 - (2c2 - x) = x + 2(c1 - c2) Observe que x+2(c1-c2) é do tipo x + u onde u = 2(c1- c2), que é a fórmula da translação e portanto, concluímos que a composição de duas simetrias resulta numa translação. Exercício resolvido: UFBA-72) A composição das simetrias s e s1, de centros -1/2 e 3/2, respectivamente, é: a) uma translação de vetor 2 b) uma translação de vetor 4 c) uma translação de vetor - 4 d) uma simetria de centro 4 e) nenhuma das alternativas anteriores é válida SOLUÇÃO: Temos: s(x) = 2(-1/2) - x = -1 - x s1(x) = 2(3/2) - x = 3 - x Vem então: sos1(x) = s[s1(x)]=s[3-x]= -1 - (3-x) = x - 4, portanto uma translação de vetor -4. Vamos agora determinar a transformação composta s1os. Vem: s1os(x) = s1[s(x)]=s1[-1- x]=3-(-1 - x)= x + 4, portanto uma translação de vetor 4. Observe aqui a sutileza da interpretação das respostas. Como o problema solicitou a composição de s com s1 nessa ordem, isto significa que ele quer o cálculo de s1os e não sos1! Lembre-se do curso de funções que quando solicitamos determinar a composição da função f com a função g, na verdade o símbolo correto é gof. Assim, concluímos pois, que a alternativa correta é a letra B. Perceberam? NOTA: do exercício anterior, concluímos que a composição de simetrias não é uma operação comutativa, pois sos1 ≠ s1os. Como a composição de duas simetrias não é outra simetria e sim uma
  • 6. translação, concluímos também que o conjunto das simetrias não goza da propriedade de FECHAMENTO em relação à operação "composição". Exercícios 1 - Prove que a composição da simetria de centro c ,S(x) = 2c - x com a translação de vetor u, T(x) = x + u, é uma simetria de centro c + u/2. SOLUÇÃO: Observe que pelo enunciado, devemos determinar ToS (e não SoT). Portanto: ToS(x) = T[2c - x] = (2c - x) + u = 2c + u - x = 2[c + u/2] - x e portanto uma simetria de centro c+u/2, como queríamos demonstrar - c.q.d. 2 - Agora prove você mesmo que a composição de uma translação de vetor u, T(x) = x+u com a simetria de centro c, S(x) = 2c - x, é uma simetria de centro no ponto de abcissa c - u/2. Sugestão: observe que agora você terá que calcular SoT. Observe também que SoT ≠ ToS, o que nos indica que a operação não é comutativa. 3 - Prove que a inversa de uma simetria é a própria simetria. SOLUÇÃO: Seja a simetria S(x) = 2c - x. Vamos obter a sua inversa, ou seja, S-1. Temos: S(x) = x'= 2c - x, que é a fórmula fundamental da simetria na reta. Logo, para determinar a sua inversa, lembrando do curso de funções já visto nesta home page, basta permutar as variáveis x' e x. Logo: x'= 2c - x ∴ permutando x por x' e vice versa vem: x = 2c - x' ⇒ x + x' = 2c de onde concluímos que x' = 2c - x, que é a própria simetria. INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASIL Transformações Afins na Reta III Já analisamos a translação e a simetria central na reta. Agora é a vez da HOMOTETIA, uma transformação afim na reta de grande importância. Antes, entretanto, vamos falar de ponto fixo ou ponto invariante de uma
  • 7. transformação geométrica. Já sabemos que as transformações geométricas na reta são definidas de uma forma genérica por uma equação do 1º grau do tipo x' = ax + b, com a ≠ 0, onde x' é a abcissa do transformado do ponto de abcissa x. Diz-se que x é um PONTO FIXO (ou PONTO INVARIANTE) de uma transformação geométrica na reta, se o transformado do ponto x é o próprio ponto x, ou seja, x' = x. Nestas condições, sendo x' = ax + b, fazendo x' = x, vem: x = ax + b ∴ x - ax = b ∴ x(1 - a) = b ∴ x = b / (1 - a), para a ≠ 1. Exemplo: Seja a transformação T definida por x' = 3x + 18. Qual o ponto fixo dessa transformação? Ora, fazendo x' = x , vem: x = 3x + 18 de onde conclui-se que x = - 9. Realmente, se determinarmos T(-9) obteremos: T(-9) = 3(-9) + 18 = -9, ou seja: o transformado do ponto de abcissa -9 pela transformação T é o próprio ponto. Exercício Resolvido: UFBA - 73 O ponto fixo da transformação afim que a x faz corresponder x' = 3x - 5 é: a) 5/3 b) -5/3 c) -5/2 d) 5/2 e) nenhuma das alternativas anteriores SOLUÇÃO: Pela definição conhecida, temos: x = 3x - 5 ∴ x - 3x = -5 ∴ -2x = -5 ∴ x = -5 / -2 = 5/2. Logo, alternativa D. HOMOTETIA NA RETA O termo homotetia segundo o Novo Dicionário Brasileiro de Melhoramentos, 7ª edição, é também conhecido como homotesia e definido como "relação entre duas séries de pontos, tal que os de cada uma estão dois a dois em linha reta com um centro comum e separados destes por distancias de razão constante". Complicado, não é? Vamos simplificar as coisas, usando a linguagem matemática? Vamos lá! Consideremos uma reta r e um ponto P ∈ r. Seja C ∈ r um ponto denominado centro da homotetia. Consideremos ainda um número real k ≠ 0, denominado razão da homotetia. Entenderemos como HOMOTETIA, a transformação geométrica H que transforma o ponto P num ponto P' da reta r tal que: P' - C = k (P - C) Sendo x', c e x as abscissas dos pontos P' , C e P respectivamente, podemos então escrever: x' - c = k(x - c) ∴ x' = kx - kc + c = kx + c(1 - k).
  • 8. Portanto, x'= kx + c(1 - k) é a equação geral de uma homotetia na reta, de centro c e razão k . Vamos analisar a equação da homotetia: a) centro na origem: c = 0 Substituindo na equação acima c = 0 vem: x' = kx e temos nesse caso uma homotetia dita LINEAR. b) razão da homotetia igual a 1 (k = 1) Neste caso, teremos x' = x e temos nesse caso que a homotetia é uma transformação INVARIANTE ou seja, todo ponto é transformado em si mesmo. c) razão da homotetia igual a (-1) (k = - 1) Substituindo na equação geral da homotetia, teremos x'= (-1).x + c[1 - (-1)] Logo, nesse caso, x' = 2c - x , que como sabemos da aula anterior, trata-se da fórmula da simetria. Então, as homotetias de razão igual a (- 1), são simetrias. Podemos então generalizar que as simetrias são simplesmente homotetias de razão igual a menos um. EXEMPLOS: 1 - Qual o transformado do ponto de abscissa 5 por uma homotetia de centro 10 e razão 2? SOLUÇÃO: Teremos: x'= kx + c(1 - k) = 2.5 + 10(1 - 2) = 0. Resp: a homotetia transforma o ponto de abscissa 5 no ponto de abscissa 0. 2 - Qual o centro e a razão da homotetia definida por x' = 10x - 30? SOLUÇÃO: Vamos comparar a equação dada, com a equação geral das homotetias. Temos: x' = kx + (1 - k)c = 10x - 30 Para que a igualdade acima seja verdadeira, deveremos ter: k = 10 e (1 - k)c = - 30 Substituindo o valor de k=10, vem: -9c = - 30 e portanto c =(-30)/(-9) = 10/3. Resposta: razão 10 e centro 10/3. 3 - Qual o ponto invariante (ou ponto fixo) de uma homotetia definida pela sua equação geral x' = kx + (1 - k)c ? SOLUÇÃO: Como já sabemos, deveremos ter x'=x. Logo, x = kx + (1 - k)c x - kx = (1 - k)c ∴ x(1 - k) = (1 - k)c. Temos então: 1º caso: k = 1 ⇒ a igualdade é verdadeira para todo valor de x e isto significa que todo ponto é invariante.
  • 9. 2º caso: k ≠ 1 ⇒ x = c e, neste caso, concluímos que só existe um ponto fixo ou invariante que é o centro da homotetia. NOTA: Dada a homotetia x' = mx + n, podemos concluir que a razão da homotetia é igual a m (k = m). Considerando-se que o centro c da homotetia é um ponto fixo (ou invariante), para determinar o centro da homotetia, basta fazer x = c. Exemplo: Qual a razão e o centro da homotetia definida pela equação x' = 5x - 40? SOLUÇÃO: A. razão da homotetia = 5 B. para determinar o centro, basta fazer x' = x. Logo, x = 5x - 40 ∴ x = 10. Portanto, a expressão dada é uma homotetia de razão k = 5 e centro no ponto da reta, de abcissa c = 10. INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASIL Transformações Geométricas - Questões Resolvidas 1. UFBA.76 - Sejam A = {-5/2, -5, 1/3, 17/6} e B o conjunto das imagens dos elementos de A pela composição das translações de vetores -3 e 1/2; então A∩ B é: A) {1/3, -5} B) {1/3, 17/6} C) {5/2, -1/3, 17/6} D) {-5/2, 1/3, -5} E) {-5, 17/6, 1/3} SOLUÇÃO: Sabemos das aulas anteriores, que a composição de duas translações de vetores u e v, é uma nova translação de vetor u+v. Logo, a translação composta será de vetor igual a -3+1/2 = -6/2 + 1/2 = -5/2. Portanto, a translação composta será: T(x) = x - 5/2. Teremos então, para os elementos x∈ A: Para x = -5/2 : T(-5/2) = -5/2 -5/2 = -10/2 = -5 Para x = -5 : T(-5) = -5 - 5/2 = -10/2 - 5/2 = -15/2
  • 10. Para x = 1/3: T(1/3) = 1/3 - 5/2 = 2/6 - 15/6 = -13/6 Para x = 17/6 : T(17/6) = 17/6 - 5/2 = 17/6 - 15/6 = 2/6 = 1/3 Logo, o conjunto imagem B é igual a : B = {-5, -15/2, -13/6, 1/3} Mas o problema pede A∩ B. Logo, A∩ B = {-5/2, -5, 1/3, 17/6} ∩ { -5, -15/2, -13/6, 1/3} = { -5, 1/3 } = { 1/3, -5} e portanto a alternativa correta é a letra A. 2 UFBA.76 - Dois vértices não consecutivos de um quadrado são (3,5) e (2, -1/2); as coordenadas do centro de simetria desse quadrado são: A) (5, 9/2) B) (5, 9/4) C) (5, 11/4) D) (5/2, 9/2) E) (5/2, 9/4) SOLUÇÃO: Seja o quadrado da figura abaixo: É óbvio que o centro de simetria do quadrado é o ponto de interseção das diagonais AD e CB. Logo, o centro de simetria é o ponto médio do segmento CB que é uma das diagonais do quadrado ABDC. Já sabemos da Geometria Analítica (veja nesta página), que o ponto médio de um segmento é um ponto cujas coordenadas são as médias aritméticas das abcissas e das ordenadas. Logo, o ponto médio, que neste caso é o centro de simetria do quadrado, será dado por: ABCISSA = (2+3)/2 = 5/2 ORDENADA = (-1/2 + 5) / 2 = (9/2)/2 = 9/4. Logo, o centro de simetria do quadrado é o ponto S(5/2, 9/4) e portanto, a alternativa correta é a letra E. 3 A translação T no plano, leva o ponto A(-2,3) no ponto B(4,6). Qual o transformado de P(2, -3) pela translação T? SOLUÇÃO: Teremos: T(x,y) = (x,y) + (a,b) onde (a,b) é o vetor translação no plano. Logo, como T(-2,3) = (4,6) [dado do problema], vem: (4,6) = (-2,3) + (a,b) ⇒ (a,b) = (4,6) - (-2,3) = (4+2, 6-3) = (6,3) Portanto, sendo (6,3) o vetor translação, o transformado do ponto (2,-3) será: T(2,-3) = (2,-3) + (6,3) = (2+6, -3+3) = (8, 0). Resp: o transformado do ponto (2, -3) pela translação T é o ponto (8, 0).
  • 11. NOTA: Para resolver problemas de transformações geométricas no plano (simetrias, translações ou homotetias), basta usar as mesmas fórmulas da transformação na reta, efetuando as mesmas operações, com os pares ordenados. Para isto, basta considerar que, dados dois pares ordenados (x, y) e (w, z), são válidas as três seguintes propriedades: P1) (x,y) + (w,z) = (x + y, w + z) P2) (x,y) - (w,z) = (x - y, w - z) P3) Sendo k∈ R , é válido que k.(x, y) = (kx, ky) 4 Qual o transformado do ponto P(2,3) pela homotetia no plano de centro C(1,5) e de razão 4? SOLUÇÃO: Usando a fórmula da homotetia vista na aula anterior, adaptando-a para o caso de pares ordenados, vem: (x', y') = [1- k].(c1, c2) + k.(x, y) (x', y') = [1- 4].(1,5) + 4.(2,3) = -3.(1,5) + 4.(2,3) = (-3, -15) + (8, 12) (x', y') = (-3+8, -15+12) = (5, -3) Portanto, o homotético do ponto P(2,3) pela homotetia de centro (1,5) e razão 4 é o ponto (5, -3). 5 Qual o simétrico do ponto P(3, 5) pela simetria de centro C(1,4)? SOLUÇÃO: Usando a fórmula da simetria vista em uma aula anterior, adaptando-a para o caso de pares ordenados, vem: (x', y') = 2(c1,c2) - (x,y) (x', y') = 2(1,4) - (3,5) = (2,8) - (3,5) = (2-3, 8-5) = (-1, 3). Resposta: (-1, 3) 6 Prove que o simétrico do ponto P(x, y) em relação à origem (0, 0) do sistema de eixos coordenados é o ponto (-x, -y). SOLUÇÃO: Usando a fórmula de simetria vista acima, vem: (x', y') = 2.(0, 0) - (x, y) (x', y') = (0, 0) - (x, y) (x', y') = (0-x, 0-y) = (-x, -y) , como queríamos demonstrar (c.q.d) Ex: o simétrico do ponto P(-2,3) em relação à origem é o ponto (2, -3). 7 UFBA.72 - Seja (Oij) um sistema de referencia. Os pontos M' = O + 3i + 2j, N' = O + i + j e P' = O + i são os transformados dos vértices M = O + 7i + 4j, N = O + i + j e P = O + i - 2j de um triângulo por: a) uma simetria de centro N b) uma translação de vetor 4i+2j c) uma homotetia de centro N e razão 1/3
  • 12. d) uma homotetia de centro O e razão 1/3 e) nenhuma das respostas anteriores é válida SOLUÇÃO: Aqui neste problema aparece uma nova notação para pontos no plano, que entretanto é fácil de assimilar. Vamos explicar: O = origem do sistema de coordenadas cartesianas = (0, 0) i = vetor de módulo 1, no eixo dos x. j = vetor de módulo 1, no eixo dos y Assim, o ponto P = O + xi + yj é o mesmo que o ponto P(x, y). Simples, não é? Exemplos: P = O + 2i + 3j = (2,3) Q = O + 2i - 3j = (2, -3) R = O - 3j = (0, -3) S = O + i = (1, 0), e assim sucessivamente. Face ao exposto, podemos escrever os pontos dados no enunciado do problema, na forma usual de pares ordenados, conforme segue: M'(3,2) N'(1,1) P'(1, 0) M(7, 4) N(1, 1) P(1, -2) Este é o tipo de problema no qual temos de testar todas as alternativas. Testei as alternativas e para economizar espaço, vou apenas demonstrar que a alternativa correta é a letra C. Vejamos: A fórmula da homotetia no plano é, como já vimos: (x', y') = [1 - k] . (c1, c2) + k. (x, y) onde k = razão da homotetia e (c1, c2) é o centro da homotetia. A alternativa C fala numa homotetia de centro N(1,1) e razão k = 1/3. Temos, então: (x', y') = [1-1/3].(1,1) + 1/3(7,4) = 2/3(1,1) + 1/3(7,4) = (2/3, 2/3) + (7/3, 4/3) (x', y') = (2/3+7/3, 2/3+4/3) = (3, 2) = M' (CONFORME ENUNCIADO DA ALTERNATIVA C). Analogamente, obteríamos os pontos N' e P', partindo dos pontos N e P pela homotetia de centro N(1, 1) e razão 1/3. O ENTENDIMENTO DESTE PROBLEMA REQUER BASTANTE ATENÇÃO. FAÇA OS CÁLCULOS SUGERIDOS PARA UM PERFEITO ENTENDIMENTO! NÃO DESANIME! MATEMÁTICA É INSPIRAÇÃO, MAS TAMBÉM TRANSPIRAÇÃO! GASTE UM POUCO DE ENERGIA, QUE VALE A PENA! INVISTA EM VOCÊ, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO. E-mail: colegiocascavelense@yahoo.com.br www.colegiocascavelense.com.br. CASCAVEL – CEARÁ - BRASIL