Fundamentos matematica iv

F UNDAMENTOS
DA
´
M ATEM A TICA IV

SOMESB
¸˜
Sociedade Mantenedora de Educacao Superior da Bahia S/C Ltda.

Presidente ´
Gervasio Meneses de Oliveira
Vice-Presidente William Oliveira
Superintendente Administrativo e Financeiro Samuel Soares
˜
Superintendente de Ensino, Pesquisa e Extensao Germano Tabacof
Superintendente de Desenvolvimento e
ˆ
Planejamento Academico ˜
Pedro Daltro Gusmao da Silva

FTC – EaD
ˆ ˆ
Faculdade de Tecnologia e Ciencias – Ensino a Distancia
Diretor Geral Waldeck Ornelas
ˆ
Diretor Academico Roberto Frederico Merhy
Diretor de Tecnologia ´
Andre Portnoi
Diretor Administrativo e Financeiro Reinaldo de Oliveira Borba
ˆ
Gerente Academico Ronaldo Costa
Gerente de Ensino Jane Freire
´
Gerente de Suporte Tecnologico Jean Carlo Nerone
Coord. de Softwares e Sistemas ˆ
Romulo Augusto Merhy
¸˜
Coord. de Telecomunicacoes e Hardware Osmane Chaves
¸˜ ´
Coord. de Producao de Material Didatico ˜
Joao Jacomel

E QUIPE ¸˜
DE ELABORAC AO ¸˜
/ P RODUC AO ´
DE MATERIAL DID ATICO

ˆ
Producao Academica
¸˜

Gerente de Ensino Jane Freire
Autor Eleazar Gerardo Madriz Lozada
˜
Supervisao Ana Paula Amorim
˜
Revisao Final Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.

¸˜ ´
Producao Tecnica

Edicao em LATEX 2ε
¸˜ Adriano Pedreira Cattai
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.
˜
Revisao de Texto Carlos Magno
Coordenacao
¸˜ ˜
Joao Jacomel
´
Equipe Tecnica Ana Carolina Alves, Cefas Gomes, Delmara Brito,
´
Fabio Goncalves, Francisco Franca J ´
¸ ¸ unior, Israel Dantas,
Lucas do Vale, Herm´ınio Filho, Alexandre Ribeiro e Diego Maia.

Copyright c FTC EaD

Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.610 de 19/02/98.
´ ¸˜ ¸˜ ´
E proibida a reproduc ao total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorizac ao previa, por escrito, da FTC EaD -
ˆ ` ˆ
Faculdade de Tecnologia e Ciencias - Ensino a distancia.

www.ftc.br/ead

Sum´rio
a
Geometria Espacial 7

Paralelismo e Perpendicularismo. Poliedros. 7
1.1 Ponto, Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 ˆ
Axiomas de Incidencia e Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 ¸˜
Posicoes relativas entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 ¸˜ ¸˜
Outras condicoes para a construcao de um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.4 ¸˜
Intersecao de Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.5 Semiplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.6 Retas Reversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.7 Exerc´cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
ı
1.1.8 Paralelismo entre Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.9 ¸˜
Posicoes Relativas entre uma Reta e um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
ı
1.2 ˆ
Angulo entre Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
ı
1.3 Reta e Plano Perpendicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Leitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
ı
1.4 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 Poliedro Convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2 ¸˜
Relacao de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3 Poliedros Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
˜
Poliedros de Platao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Poliedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
ı
1.5 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

´
Solidos e Superf´cies
ı 25
2.1 Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Paralelep´pedos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
ı
2.1.2 ´ ´
Area Lateral e Area Total do Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3 Volume do Prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
ı
2.1.5 Leitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Cavalieri e os Indivis´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
ı
2.2 ˆ
Piramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
ı
2.3 Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
ı
3

´
Fundamentos da Matematica IV

2.4 Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.1 Elementos do Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.2 Superfćies de um Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
ı
2.4.3 ¸˜
Classificacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.4 ¸˜
Secao Meridiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.5 ´ ´
Calculo das Areas de um Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.6 Volume do Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
ı
2.5 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.1 Superfćie da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
ı
2.5.2 ¸˜
Secoes Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.3 Elementos da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.4 ´ ˆ
Calculo das Distancias Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.5 ´
Area e Volume de uma Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
´
Area da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Volume da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
´ ¸˜
Area da secao (c´rculo) na esfera: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
ı
´ ¸˜ ´
Area da secao (coroa circular) no solido: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6 ¸˜ ¸˜ ´
Inscricao, Circunscricao de Solidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Porcentagem do Volume da Esfera Ocupada por um Poliedro Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6.1 ´
Algumas Propriedades Metricas dos Poliedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
ı
2.7 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

´ ´ ˆ
Analise Combinatoria e Binomio de Newton 43

´ ´ ´
Princ´pios Basicos da Analise Combinatoria
ı 43
3.1 ¨ˆ
Princ´pio Fundamental de Contagem e Consequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
ı
3.1.1 Princ´pio Fundamental da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
ı
ı
3.2 ¸˜
Princ´pio de Inducao Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
ı
3.2.1 ¸˜ ´ ¸˜
Como demonstrar que uma proposicao e verdadeira por inducao? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 ¸˜
Arranjo e Permutacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.1 Arranjo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.2 Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.3 ¸˜
Permutacoes Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
ı
3.4 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

¸˜ ¸˜ ˆ
Combinacao, Permutacao e Binomio de Newton 53
4.1 ¸˜
Combinacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
ı
4.2 ¸˜
Permutacao Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
ı
4.3 ˆ ´
O Triangulo Aritmetico de Pascal (ou de Tartaglia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4

ı
4.4 ˆ
O Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
ı
4.5 Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Atividade Orientada 61
Atividade Orientada 61
6.1 Etapa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2 Etapa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
´
PROPOSTA METODOLOGICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Procedimentos:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
¸˜
Problematizacao: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Procedimento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
¸˜
Consideracao: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Questionamentos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Para reﬂetir: (Liberte sua mente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3 Etapa 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

ˆ ´
Referencias Bibliograﬁcas 66

5

´

Apresenta¸õ da Disciplina
ca
Prezado aluno,

´ ˜
O estudo de Geometria Espacial e da Matematica Discreta sao temas
centrais nos conte ´
udos de Matem ´ ´
atica da segunda serie do Ensino
´
Medio. Em geral, os estudantes apresentam dificuldades quando iniciam
´
seus estudos nestas duas areas. Poder´ ıamos dizer que a Geometria
¸˜
Espacial requer um esforco maior de imaginacao do que a Geometria
¸
` ¸˜ ¸˜
Plana, devido as limitacoes causadas pela representacao das figuras em
˜ ´ ´
duas dimensoes. Por outro lado, alguns topicos da Matematica Discreta
´ ´
utilizam-se de tecnicas bem diferentes daquelas que o estudante esta
˜
acostumado, necessitando, entao, fazer uso do seu racioc´ ´
ınioogico e
l
¨ˆ ´
criativo com muito mais frequencia do que nas series anteriores.

Para que os alunos possam superar estas dificuldades, os professores
precisam ter um bom dom´ınio do conte ´ a ser trabalhado. O professor
udo
˜
nao deve simplesmente contentar-se em como resolver os problemas
´
que comumente aparecem nos livros, e, sim, aprofundar-se nestas areas
´ ´ ¸˜ ´
da Matematica. E preciso ter uma orientacao adequada, ja que se corre
´
o risco de transmitir para o aluno a ideia de que os assuntos tratados
requerem o uso de uma grande quantidade de artif´ ıcios e, dessa forma,
´ ´ ˆ
cometer o erro de reforcar a ideia da Matematica como uma ciencia de
¸
dif´ entendimento e restrita a poucos.
ıcil

´
Este material foi escrito para o curso de Licenciatura em Matematica da
FTC-Ead e visa, fundamentalmente, fornecer subs´ıdios para evitar que
˜
tudo isso nao venha a ocorrer.

Bons estudos!

Prof. Eleazar Madriz.

6

Geometria Espacial

Paralelismo e Perpendicularismo.
Poliedros.

1.1 Ponto, Reta e Plano

ˆ ´ ´
Imagine que voce esta voltando do seu trabalho numa noite e, no exato instante em que esta em
ˆ ¸˜ ´ ´ ˆ
frente a sua casa, a rua onde mora fica sem energia, e voce, guiado pela intuicao, olha para o ceu e so ve
estrelas. Voce fica maravilhado com o espetaculo e, so depois de 10 minutos, volta a energia e a vida segue
ˆ ´ ´
´
normalmente. No dia seguinte, o professor de Matematica de sua turma se atrapalha quando fala sobre o
´ ˆ ´ ´ ¸˜
que e um ponto e voce fala para ele - professor e so olhar as estrelas. Com esta situacao, queremos ilustrar
´ ´
a dificuldade que existe quando tentamos definir o que e um ponto. Dificuldade esta que os matematicos
´ ¸˜ ´ ¸˜
encaram axiomaticamente, isto e, aceitando “proposicoes” como validas sem contestacoes, ou seja, sem
ter como provar sua veracidade.

Originado da palavra grega αξιωµα (axioma), o termo axioma significa algo que e considerado ajustado
´
ou adequado, ou que tem um significado evidente. A palavra axioma vem de αξιo ειν (axioein), significando
considerar digno que, por sua vez, vem de αξ o ζ (axios), significando digno. Entre os filosofos gregos
´
¸˜
antigos, um axioma era uma reivindicacao que podia ser vista para ser verdade sem nenhuma necessidade
´
de prova. Na epistemologia (significado da palavra), um axioma e uma verdade auto-evidente sobre a qual
´
outros conhecimentos devem se apoiar, da qual outro conhecimento e constru´do. Para dizer o mńimo,
ı ı
nem todos os epistemologistas concordam que os axiomas, entendidos neste sentido, existem. A palavra
´ ˜ ´ ¸˜ ´
axioma como usada na Matematica moderna, nao e uma proposicao que e auto-evidente. Mais do que
´
isso, simplesmente significa um ponto de partida em um sistema logico.

˜
Provavelmente, o mais famoso e mais antigo conjunto de axiomas sao os postulados de Euclides.
Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.) foi um professor, matematico platonico e escritor de origem de-
´ ˆ
sconhecida, criador da famosa geometria euclidiana: ´
o espac o euclidiano, imut
¸ ´
avel, simetrico e
´ ´ ´ ´ ´
geometrico, metafora do saber na antiguidade classica, que se manteve incolume no pensamento matema-
tico medieval e renascentista, pois somente nos tempos modernos puderam ser constru´dos modelos de
ı
˜ ˜
geometrias nao-euclidianas. Teria sido educado em Atenas e frequentado a Academia de Platao, em
¨
pleno florescimento da cultura helen´stica. Convidado por Ptolomeu I para compor o quadro de profes-
ı
´ ´
sores da recem fundada Academia, que tornaria Alexandria no centro do saber da epoca, tornou-se o
´
mais importante autor de Matematica da Antiguidade greco-romana e talvez de todos os tempos, com
seu monumental Stoichia (Os elementos, 300 a.C.), no estilo livro de texto, uma obra em treze volumes,
ˆ ¸˜
sendo cinco sobre geometria plana, tres sobre numeros, um sobre a teoria das proporcoes, um sobre
´
´ ˆ ´
incomensuraveis e os tres ultimos sobre geometria no espac o. Escrita em grego, a obra cobria toda a
¸
´ ´ ´ ˜
aritmetica, a algebra e a geometria conhecidas ate entao no mundo grego, reunindo o trabalho de seus
7

´

´ ´ ´
predecessores, como Hipocrates e Eudoxio. Sistematizava todo o conhecimento geometrico dos antigos e
´ ¸˜
intercalava os teoremas ja conhecidos, com a demonstracao de muitos outros que completavam lacunas e
ˆ ´ ´ ¸˜
davam coerencia e encadeamento logico ao sistema por ele criado. Apos sua primeira edicao foi copiado
´ ´
e re-copiado inumeras vezes e, versado para o arabe (774), tornou-se o mais influente texto cient´fico de
ı
¸˜ ´
todos os tempos e um dos com maior numero de publicacoes ao longo da historia.
´

´
Depois da queda do Imperio Romano, os livros de Euclides foram recuperados para a sociedade eu-
´ ´ ´ ´ ´
ropeia pelos estudiosos arabes da penńsula Iberica. Escreveu ainda Optica (295 a.C.), sobre a otica da
ı
˜ ˆ ´ ´
visao e sobre Astrologia, Astronomia, Musica e Mecanica, alem de outros livros sobre Matematica. Entre
´
eles citam-se Lugares de Superfćie, Pseudaria e Porismas. Algumas das suas obras como Os elementos,
ı
´
Os Dados, outro livro de texto, uma especie de manual de tabelas de uso interno na Academia e com-
˜ ˜ ´
plemento dos seis primeiros volumes de Os Elementos, divisao de figuras, sobre a divisao geometrica de
ˆ ´ ˜
figuras planas, Os Fenomenos, sobre Astronomia, e Optica, sobre a visao, sobreviveram parcialmente e
˜ ´
hoje sao, depois de A Esfera de Autolico, os mais antigos tratados cient´ficos gregos existentes. Pela sua
ı
maneira de expor nos escritos deduz-se que tenha sido um habil´ssimo professor.
ı

´ ˜
Euclides, provavelmente, recebeu os primeiros ensinamentos de Matematica dos disc´pulo de Platao.
ı
ˆ
Ptolomeu I - general macedonio (favorito de Alexandre, o Grande) - trouxe Euclides de Atenas para Alexan-
ˆ ˆ
dria. Esta se tornara a nova capital eg´pcia no litoral mediterraneo e centro economico e intelectual do
ı
´ ´
mundo helen´stico. O sabio fundou a Escola de Matematica na renomada Biblioteca de Alexandria, que
ı
pode ter alcanc ado a cifra de 700.000 rolos (papiros e pergaminhos). Alexandria, a partir de Euclides at´ o
¸ e
seculo I V d.C., reinou quase absoluta nao so como a mais ecletica e cosmopolita cidade da Antiguidade,
´ ˜ ´ ´ ¨
´ ¸˜ ´ ´
mas tambem como principal centro de producao matematica. Alem de Os Elementos, a bibliografia de
´ ´ ¸˜ ´ ˜
Euclides e ecletica e valiosa: Os Dados (solucao de problemas geometricos planos); Da Divisao (trata da
˜ ˆ ´ ` ´
divisao de figuras planas); Fenomenos (geometria esferica aplicada a astronomia); Optica (que trata da
¸˜ ˆ
geometria dos raios refletidos e dos raios refratados); Introducao Harmonica (musica). E para desfortuna
´
´
de milhares de matematicos, muitas das obras de Euclides se perderam: Lugares de superfćie, Pseudaria,
ı
´
Porismas (que pode ter representado algo proximo da nossa atual Geometria Anal´tica). Precipuamente,
ı
ˆ ˆ
lamenta-se o desaparecimento de As Conicas, obra do autor, que, conforme referencias, deve ter tratado
´ ´ ´
da esfera, do cilindro, do cone, do elipsoide, do paraboloide e do hiperboloide, etc. A biblioteca de Alexan-
´
dria estava muito proxima do que se entende hoje por Universidade. E se faz apropriado o depoimento do
´ ´
insigne Carl B. Boyer, em a Historia da Matematica:

˜ ¸˜
“A Universidade de Alexandria, evidentemente, nao diferia muito de instituicoes modernas de
cultura superior”.

Parte dos professores provavelmente se notabilizou na pesquisa, outros eram melhores como admin-
istradores e outros ainda eram conhecidos pela sua capacidade de ensinar. Pelos relatos que possu´mos,
ı
` ´ ´
parece que Euclides definitivamente pertencia a ultima categoria. Nenhuma descoberta nova e atribu´da
ı
´
a ele, mas era conhecido pela sua habilidade ao expor. Essa e a chave do sucesso de sua maior obra
“Os Elementos”. Euclides foi sinonimo de Geometria e reinou absoluto ate o seculo X I X , quando foi par-
ˆ ´ ´
˜
cialmente contestado por Riemann, Lobatchewski e Bolyai (criadores das geometrias nao-euclidianas). Na
´
Teoria da Relatividade, a geometria euclidiana nem sempre e verdadeira. Exemplo: no gigantesco campo
´
gravitacional, que orbita nas vizinhanc as dos buracos negros e nas estrelas de n
¸ ˆ
eutrons. Mesmo assim,
´ ˜
o proprio Einstein se faz reconhecido: “Quem, na juventude, nao teve seu entusiasmo despertado por
˜
Euclides, certamente nao nasceu para ser cientista”.

´ ´ ˜ ´
As figuras geometricas basicas, no plano, sao os pontos e as retas. O plano e formado de pontos e as
8

˜ ´
retas sao subconjuntos especiais do plano, ja que elas podem ser definidas a partir dos pontos. Os pontos
e as retas do plano satisfazem um grupo de axiomas que apresentaremos ao longo deste material. Um
plano pode ser imaginado como a superfćie de uma folha de papel na qual podemos estender sem nenhum
ı
¸˜ ¸˜
tipo de restricao em qualquer direcao. Nela, um ponto pode ser interpretado como a marca gerada quando
´ ´ ´
a ponta de um lapis encontra a folha de papel, ou quando o lapis e pressionado sobre o papel. Com o
´ ´
aux´lio de uma regua, o desenho de uma parte da reta pode ser feito. E comum o uso de desenhos quando
ı
´
queremos estudar geometria, mas, devemos advertir que os desenhos so devem ser considerados como
um instrumento que possibilita o manejo da linguagem formal envolvida na geometria. No decorrer deste
´ ´
material, usaremos letras maiusculas do alfabeto indo-arabico para denotar pontos; e letras minusculas,
´
do mesmo alfabeto, para designar retas.

1.1.1 Axiomas de Incidˆncia e Ordem
e

¸˜
A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliacao da Geometria plana (euclidiana) e
´ ¸˜
trata dos metodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relacao entre esses ele-
˜
mentos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, sao: pontos, retas, segmentos de retas, planos,
ˆ ´ ˜
curvas, angulos e superfćies. Os principais tipos de calculos que podemos realizar sao: comprimentos
ı
´ ˜ ´
de curvas, areas de superfćies e volumes de regioes solidas. Tomaremos ponto e reta como conceitos
ı
˜ ¸˜
primitivos, os quais serao aceitos sem definicao. Consideraremos o ponto, a reta e o plano como objetos
´ ´ ´ ˜ ¸˜
matematicos definidos de forma axiomatica, isto e, que nao precisamos de demonstracao alguma para
ˆ ´ ¸˜
aceitar sua existencia. Destes elementos basicos temos um conhecimento gerado pela intuicao e das
ˆ ¸˜ ´
experiencias que a observacao nos da.

Para o estudo da Geometria Espacial (euclidiana), lidaremos com um conjunto-universo denominado
¸ ¸ ´
espaco. O espac o intuitivamente e o conjunto de todos os pontos e qualquer conjunto de pontos (como
´
por exemplo uma reta, um plano, uma esfera) e um subconjunto do espac o.
¸

¸˜
A Geometria Espacial funciona como uma ampliacao da Geometria Plana (euclidiana) e trata dos
´ ¸˜
metodos apropriados para o estudo de objetos espaciais, assim como a relacao entre esses elementos.
˜
Os objetos tratados na Geometria Espacial sao os pontos, as retas, os segmentos de retas, os planos, as
ˆ ´ ˜
curvas, os angulos e as superfćies. Os principais tipos de calculos que podemos realizar sao os compri-
ı
´ ˜ ´
mentos de curvas, as areas de superfćies e os volumes de regioes solidas.
ı

Assim, para iniciar o estudo da Geometria Espacial, enunciaremos alguns axiomas que relacionam o
ponto, a reta e o plano.

ˆ ˜
O axioma a seguir estabelece a existencia de pontos que pertencem ou nao a uma reta dada. Formal-
mente temos:

A r
`
Axioma 1. Para qualquer reta existem pontos que pertencem a reta
α
˜ `
e pontos que nao pertencem a reta.

´ ´ ´
Ja o proximo axioma responde a seguinte pergunta: “dados dois pontos existira uma reta que os
´
contem?”
9

´

Axioma 2. Para qualquer par de pontos distintos existe uma A B
´ ´
unica reta que os contem. ←→ r
r = AB

¸˜ ´ ¸˜
As primeiras definicoes basicas associadas a estes axiomas envolvem relacoes entre pontos e entre
´
pontos e retas. A primeira descreve quando varios pontos pertencem a mesma reta e a segunda quando
¸˜ ˜
duas retas se cortam. Estas definicoes sao fundamentais no desenvolvimento dos teoremas que usam a
¸˜
Geometria Espacial na resolucao de problemas.

1.1 Defini¸õ. Diremos que tres pontos sao colineares se existe somente uma reta que os contem.
ca ˆ ˜ ´

n
P
1.2 Defini¸õ. Diremos que duas retas se interceptam se elas
ca
ˆ
tem um ponto em comum. m

C B
A
Consideremos uma reta m e sobre ela os pontos A, B e C .

Podemos dizer que o ponto C localiza-se entre os pontos A e B , ou que os pontos A e B estao separa-
˜
dos pelo ponto C . Esta nocao de que um ponto localize-se entre dois outros e uma relacao que motiva o
¸˜ ´ ¸˜
seguinte axioma:

B C r
ˆ ´
Axioma 3. Dados tres pontos distintos em uma reta, um e so A
α
um localiza-se entre os outros dois.

¸˜
A partir deste axioma podemos apresentar a seguinte definicao:

1.3 Defini¸õ. Sejam A e B dois pontos e r a reta que passa por eles. Chamaremos de segmento AB ao
ca
conjunto de todos os pontos de r e que estao localizados entre A e B . A e B sao chamados de extremos
˜ ˜
do segmento AB .

˜ ´ ˆ ´
Muitas figuras sao constru´das usando-se segmentos. A mais simples e o triangulo que e formado por
ı
ˆ ˜ ˆ ˆ
tres pontos que nao pertencem a uma mesma reta e pelos tres segmentos determinados por estes tres
pontos.

¸˜
A partir destas definicoes podemos enunciar o primeiro dos teorema da Geometria Espacial, o qual
¸˜ ´
garante a relacao basica entre duas retas.

1.4 Teorema. Duas retas se interceptam em um unico ponto ou nao se interceptam.
´ ˜

Antes de apresentar a demonstracao do teorema 1.4 lembre-se que, em geral, na matematica existem
¸˜ ´
´ ¸˜ ˜ ¸˜
dois tipos basicos de proposicoes: as que sao aceitas sem demonstracao, chamadas de axiomas e, as
´
que podem ser deduzidas dos axiomas, conhecidas como lemas, teoremas e corolarios. Estas ultimas
´
podem ser ordenadas da seguinte maneira: os lemas podem ser usados para demonstrar um teorema e
´ ˜ ¨ˆ
os corolarios, sao uma consequencia do teorema.
10

ˆ ˜
Prova. Pelo axioma 2, se duas retas tem mais de um ponto em comum, entao elas devem coincidir.
` ¸˜ ´ ´ ´
Portanto, a intersecao e vazia ou contem so um ponto. 2

´ ´
Observe como e utilizado o axioma 2 na prova do teorema anterior. Ele e fundamental para estabelecer
˜ ´ ´ ˜
a conexao necessaria entre a hipotese e a tese que compoem o teorema.

´ ´ ˆ ´
Outro objeto elementar da geometria espacial e o plano. Este e de muita importancia, ja que nele
´ ˜
podemos agrupar diferentes objetos geometricos que sao fundamentais para esta geometria. Um axioma
´ ˆ ´
se faz necessario para garantir a existencia e unicidade deste tipo de objeto geometrico.

A B C
ˆ ˜
Axioma 4. Tres pontos nao-colineares determinam um unico plano.
´
α = (A, B , C )

ˆ
O axioma anterior garante a existencia e unicidade de um plano. Todavia, precisamos saber constru´-lo.
ı
´ ¸˜ ¸˜
O teorema a seguir nos da uma (das tantas) condicoes para tal construcao.

1.5 Teorema. Uma reta m e um ponto P , que nao pertence a m, determinam um unico plano que os
˜ ´
´
contem. Simbolicamente,
(P ∈ m) ⇒ (∃!α [P ∈ α ∧ m ⊂ α]). ( 1.1 )

Observe que a hipotese do teorema e P ∈ m e que a tese e (∃!α [P ∈ α ∧ m ⊂ α]), ou seja, devemos
´ ´ ´
provar que se o ponto P nao esta na reta m ⊂ α, entao existe um unico plano α que contem o conjunto
˜ ´ ˜ ´ ´
formado pelo ponto P e pela reta m. Para isto devemos provar que o plano existe e depois garantir a
˜
unicidade do mesmo. Vejamos entao a prova deste teorema.

Prova. Consideremos dois pontos A e B da reta m. Uma vez que P nao pertence a reta m, A, B e P sao
˜ ˜
˜
nao colineares. Assim, pelo axioma 1.1.6, estes determinam um plano α. Pela construcao, α contem a
¸˜ ´
reta m e o ponto P . 2

m m m
P B P B P
α A α A α

1.1.2 Posi¸oes relativas entre duas retas
c˜

As retas podem ser entendidas como conjuntos de pontos no plano. A partir disto, podemos estudar a
¸˜ ¸˜
intersecao entres duas delas por meio da seguinte definicao.

n
1.6 Defini¸õ. Duas retas sao chamadas de concorrentes se elas tem
ca ˜ ˆ
um unico ponto em comum.
´ m

Pelo Teorema 1.4 duas retas podem nõ ter intercedamo. Por isso, temos dois poss´
a ıveis casos:

As retas sõ coplanares:
a
11

´

n
1.7 Defini¸õ. Duas retas sao chamadas de paralelas se elas sao
ca ˜ ˜
˜ ˆ
coplanares nao tem um ponto em comum. m

Usaremos s r para denotar que as retas s e r sõ paralelas.
a

As retas nõ sõ coplanares:
a a

1.8 Defini¸õ. Duas retas sao reversas se nao existe um plano que as contenha.
ca ˜ ˜

Conseqëntemente, podemos dizer que: Dadas duas retas distintas, ou elas sõ concorrentes, ou paralelas ou
u a
reversas.

O axioma mais famoso de Euclides garante que se duas retas concorrentes sõ paralelas a uma terceira reta
a
entõ elas sõ coincidentes. Em outras palavras:
a a

Axioma 5. Por um ponto fora de uma reta m pode-se tracar uma unica reta paralela a m.
¸ ´

O axioma 5 ´ conhecido como O Quinto Postulado de Euclides ou Postulado das paralelas e ´ o postulado
e e
que caracteriza a geometria Euclidiana.

O paralelismo pode ser visto como uma rela¸õ sobre o conjunto de retas em um plano. A rela¸õ pode ser
ca ca
definida como: Sejam m e n duas retas no plano α, diremos que m ∼ n se, e somente se, m e n sõ paralelas.
a
Esta rela¸õ ´ reflexiva, j´ que toda reta ´ paralela a ela mesma, e ´ sim´trica, j´ que se m ´ paralela a n, entõ
ca e a e e e a e a
n ´ paralela a m. O seguinte teorema garante que a ∼ ´ transitiva.
e e

1.9 Teorema. Se duas retas m e n sao paralelas a uma reta s , entao m e n sao paralelas. Simbolicamente,
˜ ˜ ˜
(m s ∧ n s ) ⇒ (m n).

ˆ ˜
Prova. Consideraremos o caso geral onde as tres retas sao distintas.

Por hipotese, as retas m e s determinam um plano α. De maneira analoga, as retas n e s tambem
´ ´ ´
determinam um plano, β. Como s e comum aos planos α e β, s e a intersecao destes planos.
´ ´ ¸˜

Tomemos um ponto P em n e consideremos o plano γ que contem a reta m e o ponto P . Os planos
´ `
distintos β e γ tem em comum o ponto P . Logo, existe uma reta r em comum a β e γ. Assim, o ponto
ˆ
P pertence as retas n e r e ambas sao paralelas a reta s . Logo, pelo axioma 5, a reta r e igual a reta n.
` ˜ ` ´ `
Portanto, como m e paralela a r e r = n, vem que m e paralela a n.
´ ´ 2

1.1.3 Outras condi¸oes para a constru¸õ de um plano
c˜ ca

Vimos no axioma 1.1.6 que dados tres pontos nao colineares existe um e somente um plano que os
ˆ ˜
´ ¸˜ ¸˜ ¸˜ ¸˜
contem. Utilizando as definicoes da secao anterior podemos reunir outras condicoes para a construcao de
˜
um plano, sao elas:

— Usando uma reta e um ponto fora da reta.

— Usando duas retas concorrentes.

— Usando duas retas paralelas distintas.
12

¸˜ ´ ¸˜
Apresentaremos, formalmente, estas construcoes atraves de teoremas e respectivas demonstracoes.

1.10 Teorema. Duas retas m e n concorrentes determinam um unico plano que as contem. Simbolica-
´ ´
mente,
(m ∩ n = P ⇒ (∃!α [m ⊂ α ∧ n ⊂ α]) ( 1.2 )

Observe que neste caso a hipotese e m ∩ n = P e a tese e (∃!α [m ⊂ α ∧ n ⊂ α]). Devemos provar a
´ ´ ´
ˆ
existencia e a unicidade do plano.

Prova. Consideremos um ponto A da reta m e um ponto B da reta n, ambos distintos do ponto P , onde
P e o ponto que m e n tem em comum. Ja que os pontos A, B e P nao sao colineares, pelo axioma
´ ˆ ´ ˜ ˜ 1.1.6,
eles determinam um unico plano α.
´ 2

1.11 Teorema. Consideremos duas retas paralelas distintas. Entao, elas determinam um unico plano que
˜ ´
´
as contem.

O teorema pode ser representado como;

(t s ∧ r = s ) ⇒ (∃!α [r ⊂ α ∧ s ⊂ α]) ( 1.3)

A demonstracao do teorema consiste em supor que existem dois planos α e α que passam por r e s e
¸˜
logo em seguida se verifica que eles coincidem.

Prova. Sejam A e B dois pontos distintos em r e P um ponto em s . Visto que r s , temos:

(α = (r , s ); A, B ∈ r ; P ∈ s ) ⇒ α = (A, B , P )
(α = (r , s ); A, B ∈ r ; P ∈ s ) ⇒ α = (A, B , P )

Portanto, α = α . 2

1.1.4 Interse¸õ de Planos
ca

Axioma 6. Se dois planos distintos tem um ponto em comum A, existe outro ponto B , comum aos planos,
ˆ
diferente de A.

1.12 Teorema. Sejam α e β dois planos distintos. Se eles tem um ponto em comum A, entao a intersecao
ˆ ˜ ¸˜
deles e uma unica reta r que passa por A. Simbolicamente,
´ ´

(α = β ∧ A ∈ α ∧ A ∈ β) ⇒ (∃!r [A ∈ r = α ∩ β]) ( 1.4 )

´
Para esta prova temos, como hipotese,

(α = β ∧ A ∈ α ∧ A ∈ β)

e como tese,
(∃! r [A ∈ r = α ∩ β]).

Prova. Se A e o ponto em comum entre os planos α e β, temos pelo axioma 6 que deve existir outro
´
ponto B diferente de A comum aos planos. Usando o axioma 2, podemos garantir que existe uma unica
´
reta r que os contem.
´ 2

A partir do teorema 1.12 podemos apresentar a seguinte definicao:
¸˜
13

´

1.13 Deﬁni¸˜o. Dois planos distintos que se interceptam sao chamados de secantes ou concorrentes. A
ca ˜
´ ¸˜
reta comum e a intersecao desses planos ou o traco de um deles no outro.
¸

1.1.5 Semiplanos

Axioma 7. Uma reta m de um plano α separa esse plano em dois subconjuntos Γ e Σ , tais que:

1. Γ ∩ Σ = ∅;

2. Γ e Σ sao convexas;
˜

3. (A ∈ Γ , B ∈ Σ ) ⇒ AB ∩ m = ∅.

Os conjuntos Γ e Σ sao chamados de semiplanos abertos e os conjuntos m ∪ Γ e r ∪ Σ sao chamados
˜ ˜
de semiplanos, e a reta m e a origem de cada um desses semiplanos.
´

¸˜
Observe que a intersecao de dois planos determina 4 semiplanos.

1.1.6 Retas Reversas

ˆ ¸˜
Dadas duas retas reversas e um ponto, tres situacoes poss´veis devem ser analisadas:
ı

1. O ponto pertence a uma das retas;

`
2. O ponto e uma das retas determinam um plano paralelo a outra reta;

˜ `
3. O ponto e qualquer uma das retas determinam um plano nao paralelo a outra.

Exemplo 1.1. Dadas tres retas, duas a duas concorrentes, nao passando por um mesmo ponto, prove
ˆ ˜
˜
que estao no mesmo plano.

Solucao: Sejam m, n e r as tres retas. Denotemos com A, B e C os pontos de concorrencia de m com
¸˜ ˆ ˆ
n, m com r , n com r respectivamente. Visto que m, n, e r nao passam por um mesmo ponto entao A, B e
˜ ˜
C nao sao colineares. Pelo axioma esses tres pontos determinarao um unico plano α procurado.
˜ ˜ ˆ ˜ ´ 2

1.1.7 Exerc´
ıcios Propostos

1.1. Quantas retas existem em um plano?

1.2. Quantas retas ha no espac o?
´ ¸

1.3. Considere os pontos A, B , C e D , dois a dois, distintos. Quantas e quais sao as retas determinadas
˜
pelos pares de pontos A, B , C e D :

(a) A, B , C e D sao colineares.
˜

(b) A, B , C e D nao sao colineares.
˜ ˜
14

1.4. Frequentemente encontramos mesas com 4 pernas que, mesmo apoiadas no chao, balanc am e nos
¨ ˜ ¸
obrigam a colocar algum calc o em uma das pernas para que fique firme. Explique usando argumentos da
¸
geometria, porque isso nao acontece com uma mesa de 3 pernas.
˜

1.5. Classifique em verdadeiro ou falso as seguintes proposicoes:
¸˜

1. ( ˜ ˜
) Duas retas ou sao coincidentes ou sao distintas.

2. ( ˜ ˜
) Duas retas ou sao coplanares ou sao reversas.

3. ( ) Duas retas distintas determinam um planos.

4. ( ˆ
) Duas retas concorrentes tem um ponto em comum.

¸˜

(a) r ∩ s = ∅ ⇒ r e s sao reversas.
˜

(b) r e s sao reversas ⇒ r ∩ s = ∅.
˜

1.7. Num plano α ha duas retas, m e n, concorrentes num ponto Q . Seja P um ponto fora de α. Considere
´
o plano β que contem ao ponto P e a reta m e o plano γ que contem ao ponto P e a reta n. Qual e a
´ ` ´ ` ´
intersecao de β com γ?
¸˜

1.8. Demonstre que num plano existem infinitas retas.

1.9. Quantos sao os planos determinados por quatro pontos distintos, dois a dois?
˜

1.10. Classifique em verdadeiro ou falso:

ˆ
(a) Tres pontos distintos determinam un plano;

(b) Um ponto e uma reta determinam un unico plano;
´

(c) Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.

1.11. Duas retas distintas r e s , reversas a uma terceira reta t , sao reversas entre si?
˜

1.12. Quantos sao os planos que passam por uma reta?
˜

1.13. Quantos sao os planos que passam por dois pontos distintos?
˜

1.14. Prove a existencia de retas reversas.
ˆ

1.15. Prove que um quadrilatero reverso nao e paralelogramo.
´ ˜ ´

1.16. Prove que as diagonais de um quadrilatero reverso sao reversas.
´ ˜

1.17. Duas retas nao coplanares sao reversas?
˜ ˜

1.18. Duas retas coplanares ou sao paralelas ou sao concorrentes?
˜ ˜

s = ∅ e necessaria para que r e s sejam reversas?

1.19. A condicao r
¸˜ ´

1.20. Um ponto P e o trac o de uma reta r num plano α. Se βe um plano qualquer que passa por r , o que
´ ¸ ´
ocorre com a intersecao α ∩ β?
¸˜

1.21. Duas retas r e s sao reversas. Em r ha um ponto R e em s ha um ponto S . Sejam α o plano gerado
˜ ´ ´
por r e S , e β o gerado por s e R . Qual e a intersecao de α com β?
´ ¸˜

1.22. As retas que contem os lados de um triangulo ABC furam um plano α nos pontos O , P e R . Prove
´ ˆ
˜
que estes pontos sao colineares.
15

´

1.1.8 Paralelismo entre Retas e Planos

1.14 Defini¸õ. Diremos que a reta m e paralela ao plano α se, e somente se m e α nao tem um ponto
ca ´ ˜ ˆ
em comum.

Esta definicao pode ser representada como m
¸˜ α ⇔ m ∩ α = ∅.
1.15 Teorema. Se a reta m nao esta contida no plano α e e paralela a uma reta n contida em α, entao m
˜ ´ ´ ˜
e paralela a α. Simbolicamente,
´

(m α ∧ m n ∧ n ⊂ α) ⇒ m α ( 1.5 )

Neste caso a hipotese e (m
´ ´ α ∧ m n ∧ n ⊂ α) e a tese e m
´ α.

Prova. Visto que m e n sao paralelos, elas determinam um plano β cuja intersecao e a reta n. Logo,
˜ ¸˜ ´
todos os pontos comuns a α e β estao em n. Como m e n nao tem pontos comuns, temos que α e m nao
˜ ˜ ˜
tem pontos comuns logo m e α sao paralelos.
˜ 2

´ ¸˜ ¸˜
Esta e a condicao suficiente para que uma reta seja paralela a um plano. Vejamos agora a condicao
necessaria par que isto ocorra.

1.16 Teorema. Se a reta m e paralela ao plano α, entao existe uma reta n contida no plano α paralela a
´ ˜
m. Simbolicamente,
m α ⇒ (∃n ⊂ α [m n]). ( 1.6 )

Prova. Conduzimos por m um plano β que intercepta ao plano α. Logo, a intersecao de α com β nos
¸˜
da uma reta n. As retas m e n sao coplanares, pois estao em β e nao tem ponto em comum. Logo, m e n
˜ ˜ ˜ ˆ
˜
sao paralelas, completando assim a prova do teorema. 2

Os teoremas 1.15 e 1.16 apresentam as condicoes suficiente e necessaria, respectivamente, para a
` ¸˜ ´
ˆ
existencia de retas e planos paralelos. Podemos resumi-los no seguinte teorema.
1.17 Teorema. Uma condicao necessaria e suficiente para que uma reta m, que nao pertence ao plano
¸˜ ´ ˜
α, seja paralela a esse plano, e que exista uma reta n contida no plano α paralela a m.
´

1.1.9 Posi¸oes Relativas entre uma Reta e um Plano
c˜

Uma reta e um plano podem apresentar:
A C
1. Dois pontos distintos; B

2. Um unico ponto em comum;
´
m

3. Nenhum ponto em comum. α

1.1.10 Exerc´
ıcios Propostos

1.23. Considere um quadrilatero A, B , C e D , os pontos M , N , P , Q e R sao respectivamente pontos
´ ˜
medios dos segmentos AB , AD , C D , BC , BD e AC . Prove que MNPQ e um paralelogramo.
´ ´
16

1.24. Construa uma reta paralela a um plano dado.

1.25. Construa um plano paralelo a uma reta dada.

1.26. Prove que: Se uma reta e paralela a dois planos secantes, entao ela e paralela a intersecao.
´ ˜ ´ ` ¸˜

1.27. Dadas duas retas m e n, construa um plano α paralelo a m que contenha a m.

1.28. Construa, por um ponto P , um plano paralelo a duas retas reversas m e n dadas.

¸˜

ˆ ˜
1. Uma reta e um plano que tem um ponto comum sao concorrentes.

˜ ˆ
2. Uma reta e um plano paralelos nao tem ponto comum.

´ ´
3. Se uma reta e paralela a um plano, ela e paralela a qualquer reta do plano.

4. Dadas duas retas reversas, qualquer reta que encontra uma, encontra a outra.

5. Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa por uma, encontra a outra.

´ ´
6. Por qualquer ponto e poss´vel conduzir uma reta que se apoia em duas retas reversas dadas.
ı

1.30. Construa, por um ponto P , uma reta que se apoia em duas retas reversas r e s dadas.
´

1.31. Construa por um ponto P um plano paralelo a duas retas reversas r e s dadas.

1.32. Dadas duas retas reversas, existem pontos P pelos quais nao passa nenhuma reta que se apoie em
˜ ´
ambas?

1.33. Dadas duas retas reversas, prove que o plano paralelo a uma delas, conduzida pela outra, e unico.
´ ´

1.2 ˆ
Angulo entre Duas Retas

ˆ ´
Na Geometria plana vimos que angulo e a abertura formada por duas semi-retas de mesma origem.
˜
Visto que na geometria espacial trabalhamos com retas que podem nao ter pontos em comum precisamos
ˆ
definir angulo entre retas quaisquer.

1.18 Defini¸õ. Duas retas que se interceptam determinam quatro angulos, dois a dois opostos pelo
ca ˆ
vertice. O angulo entre elas e definido como menor desses angulos. Se as retas r1 e r2 sao reversas,
´ ˆ ´ ˆ ˜
entao existe um ponto P de r1 por onde passa uma reta s2 paralela a r2 . O angulo entre r1 e r2 e definido
˜ ˆ ´
como o angulo entre r1 e s2 . Se as retas sao paralelas o angulo entre elas e zero.
ˆ ˜ ˆ ´

¸˜
Com essa nova definicao, introduziremos de maneira natural um conceito muito importante na Geome-
tria espacial:

1.19 Defini¸õ. Duas retas sao ortogonais se, e somente se, o angulo entre elas e reto.
ca ˜ ˆ ´

Usaremos o s´mbolo ⊥ para denotar a ortogonalidade de duas retas.
ı

˜ ˜ ˆ ´
Lembre-se que duas retas sao perpendiculares se sao concorrentes e o angulo entre elas e reto.
˜ ´ ˜ ´
Assim retas perpendiculares sao ortogonais mas o contrario nao e sempre verdadeiro.

OBSERVE que durante o texto utilizaremos ⊥ tambem para indicar perpendicularidade.
´
17

´

1.2.1 Exerc´
ıcios Propostos

1.34. Classifique em verdadeiro o falso:

˜
1. Duas retas perpendiculares sao concorrentes;

ˆ ˜ ˜
2. Se duas retas formam angulo reto, entao elas sao perpendiculares;

˜ ˜ ˆ
3. Se duas retas sao perpendiculares, entao elas formam angulo reto;

˜ ˜ ˆ
4. Se duas retas sao ortogonais, entao elas formam angulo reto;

ˆ
5. Duas retas que formam angulo reto podem ser reversas;

˜
6. Duas retas perpendiculares a uma terceira sao perpendiculares entre si;

˜
7. Duas retas perpendiculares a uma terceira sao paralelas entre si.

1.3 Reta e Plano Perpendicular

1.20 Defini¸õ. Uma reta m e um plano α sao perpendiculares se, e somente se,
ca ˜

i. existe um ponto P comum a m e a α, e

ii. a reta m e perpendicular a todas as retas do plano α que passam pelo ponto P .
´

1.21 Defini¸õ. Diremos que a reta m e o plano α sao obl´quos se, e somente se, m e reversa e nao
ca ˜ ı ´ ˜
ortogonal a toda reta de α.

¨ˆ ¸˜ ´
Podemos dizer, como consequencia das definicoes anteriores, que se uma reta e perpendicular a um
plano, ela e ortogonal a qualquer reta do plano. De fato, sendo m perpendicular a α em O e x e uma reta
´ ´
qualquer de α, temos dois casos a considerar:

1◦ caso: x passa por O . Neste caso pela definicao m ⊥ x .
¸˜

2◦ caso: x nao passa por O . Seja x uma reta que passa por O que seja paralela a x . pela definicao
˜ ¸˜
temos que m ⊥ x e , entao m ⊥ x
˜

Portanto, podemos concluir que (m ⊥ α ∧ x ⊂ α) ⇒ (m ⊥ x ∨ x ⊥ m).
m
1.22 Teorema. Uma reta m e perpendicular a um plano α se, e somente
´
se, existem duas retas concorrentes a e b em α, tais que m forma angulo
ˆ b
reto com a e b . Simbolicamente, a

(m ⊥ a ∧ m ⊥ b ∧ a ∩ b = O ∧ a ⊂ α ∧ b ⊂ α) ⇒ m ⊥ α ( 1.7 )

Prova. Para provar que m ⊥ α, devemos provar que m e perpendicular a todas as retas de α que
´
passam por O . Para isso, basta provarmos que m e perpendicular a uma reta x generica de α, que passa
´ ´
por O .

Tomemos em m dois pontos A e A , simetricos em relacao a O : OA ≡ OA . Tomemos ainda um ponto
´ ¸˜
B ∈ a e um ponto C ∈ b , tais que BC intercepta x num ponto X . Notemos que, nessas condicoes, a e
¸˜ ´
18

mediatriz de AA , b e mediatriz de AA e por isso: AB ≡ A B e AC ≡ A C . Tambem notemos que para
´ ´
chegarmos a tese, basta provarmos que x e mediatriz de AA .
` ´

Temos que:

(AB ≡ A B , AC ≡ A C , BC comum)⇒ ABC ≡ ˆ ˆ ˆ ˆ
A BC ⇒ ABC ≡ A BC ⇒ ABX ≡ A BX .

ˆ ˆ
(AB ≡ A B , ABX ≡ A BX , BX comum) ⇒ ABX ≡ A BX ⇒ X A ≡ X A .

X A ≡ X A ⇒ x e mediatriz de AA ⇒ m ⊥ x ⇒ m ⊥ α.
´

2

1.23 Defini¸õ. Sejam α e β dois planos. Diremos que α e perpendicular a β se, e somente se, α contem
ca ´ ´
uma reta perpendicular a β.

Uma pergunta que surge de maneira natural a partir da definicao 1.21 e: Que condicao deve ser
¸˜ ´ ¸˜
` resposta e apresentada no seguinte teorema.
cumprida para que os planos α e β sejam perpendiculares? A ´

1.24 Teorema. Se dois planos sao perpendiculares entre si e uma reta de um deles e perpendicular a
˜ ´ `
¸˜ ˜ ´
intersecao dos planos, entao essa reta e perpendicular ao outro plano.

Prova. Se α ⊥ β, entao α contem uma reta a, perpendicular a β. Seja i a reta de intersecao entre os
˜ ´ ¸˜
planos e suponhamos que a reta r ∈ α seja perpendicular a i . Assim temos: (a ⊥ i , r ⊥ i ) ⇒ a r . Assim,
r ⊥ β. 2

OBS: Outra possibilidade seria que a reta perpendicular a intersecao dos planos i estivesse no pano β
` ¸˜
ı ı `
com o mesmo raciocńio chegarámos a tese do teorema.

Pela definicao 1.21, se a uma reta e perpendicular a um plano, qualquer outro plano que a contenha e
¸˜ ´ ´
perpendicular ao primeiro. Resumindo os resultados podemos formular o seguinte teorema:

1.25 Teorema. Sejam α e β dois planos secantes. α e β sao perpendiculares se, e somente se, toda reta
´ ˜
m em α perpendicular a intersecao de α com β e perpendicular a β.
` ¸˜ ´

1.3.1 Leitura

´ ˜
“Obviamente, e imposs´vel precisar as origens da geometria”. Mas essas origens, sem duvidas, sao
ı ´
´
muito remotas e muito modestas. Nessa longa trajetoria, segundo alguns historiadores, a geometria pas-
ˆ
sou por tres fases:

¸˜
(a) a fase subconsciente, em que, embora percebendo formas, tamanhos e relacoes espaciais, grac as
¸
˜ ˜ ˜
a uma aptidao natural, o homem nao era capaz ainda de estabelecer conexoes que lhe propor-
cionassem resultados gerais;

´
(b) a fase cient´fica, em que, embora empiricamente, o homem ja era capaz de formular leis gerais (por
ı
˜ ˆ ˆ ´
exemplo, a razao entre uma circunferencia qualquer e seu diametro e constante);

(c) a fase demonstrativa, inaugurada pelos gregos, em que o homem adquire a capacidade de de-
´ ´ `
duzir resultados gerais mediante raciocńios logicos. O primeiro matematico cujo nome se associa a
ı
19

´

matematica demonstrativa e Tales de Mileto (c. 585 a.C). Tales teria provado algumas poucas e es-
´ ´
¸˜ ˆ ˆ ´ ˜
parsas proposicoes, como, por exemplo, “os angulos da base de um triangulo isosceles sao iguais”.
Mas o aparecimento de cadeias de teoremas, em que cada um se demonstra a partir dos anteriores,
agoras de Samos (c. 532 a.C.) ou na escola pitagorica.
´
parece ter comec ado com Pit
¸ ´

1.3.2 Exerc´
ıcios Propostos

1.35. Sejam a,b e c tres retas no espac o tais que a ⊥ b e c ⊥ a. Que se pode concluir a prop
ˆ ¸ ´
osito das
posicoes das retas b e c ? (Justiﬁque sua resposta)
¸˜

1.36. Dois triangulos ABC e BC D sao retangulos em B . Se o cateto AB e ortogonal a hipotenusa C D ,
ˆ ˜ ˆ ´ `
prove que o cateto BD e ortogonal a hipotenusa AC .
´ `

1.37. Duas retas nao paralelas entre si sao paralelas a um plano. Toda reta que forma angulo reto com
˜ ˜ ˆ
´
ambas, e perpendicular ao plano.

1.38. Prove que: Se o plano α e perpendicular ao plano β e se uma reta m e perpendicular a um deles
´ ´
tem um ponto P comum com o outro, entao essa reta esta contida nesse outro plano.
˜ ´

1.39. Um triangulo ABC , retangulo em B , e um paralelogramo BC DE estao situados em planos distintos.
ˆ ˆ ˜
Prove que as retas AB e DE sao ortogonais.
˜

1.40. Classiﬁque em verdadeiro e falso:

´ ´
(a) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares e necessario que eles sejam secantes.

´
(b) Uma reta perpendicular a um plano e perpendicular a todas as retas do plano.

ˆ
(c) Uma reta perpendicular a um plano forma angulo reto com qualquer reta do plano.

´ ˜ ´
(d) Se uma reta e perpendicular a duas retas de um plano, entao ela e perpendicular ao plano.

1.41. Dois triangulos ABC e BC D sao retangulos em B . Se o cateto AB e ortogonal a hipotenusa C D ,
ˆ ˜ ˆ ´ `
prove que o cateto BD e ortogonal a hipotenusa AC .
´ `

1.42. Num quadrilatero reverso de lados congruentes entre si e congruentes as diagonais, prove que os
´ `
˜ ` ´ ˜
lados opostos sao ortogonais, assim como as diagonais tambem sao ortogonais.

1.43. Uma reta a e perpendicular a um plano α nu ponto O . Uma reta b de α nao passa por O e uma reta c
´ ˜
de α passa por O e e concorrente com b em R . Se S e um ponto qualquer de a e a reta SR e perpendicular
´ ´ ´
a b , entao b e perpendicular a c .
` ˜ ´

1.44. Uma reta e um plano, perpendiculares a uma outra reta em pontos distintos, sao paralelos?
˜

1.45. Uma reta e um plano sao paralelas. Toda reta perpendicular a reta dada e perpendicular ao plano?
˜ ` ´

¸˜

´ ˜ ´
(a) Se uma reta e ortogonal a duas retas distintas de um plano, entao ela e perpendicular ao plano.

(b) Uma reta ortogonal a duas retas paralelas e distintas de um plano pode ser paralela ao plano.

´ ` `
(c) Dadas duas retas distintas de um plano, se uma outra reta e perpendicular a primeira e ortogonal a
˜ ´
segunda, entao ela e perpendicular ao plano.
20

ˆ ˆ
(d) Se uma reta forma angulo reto com duas retas de um plano, distintas e que tem um ponto comum,
˜ ´
entao ela e perpendicular ao plano.

˜ ´
(e) Duas retas reversas sao paralelas a um plano. Toda reta ortogonal a ambas e perpendicular ao plano.

1.4 Poliedros

Um conjunto P e convexo se, para qualquer par de pontos pertencentes a P , o segmento de reta
´
que esta totalmente contido em P . Disto podemos afirmar que uma superfćie poliedrica limitada convexa
ı ´
˜ ˜
aberta ou fechada poderia ser ou nao ser uma regiao convexa.

1.26 Defini¸õ. Uma superfćie poliedrica limitada convexa e a reuniao de um numero finito de pol´gonos
ca ı ´ ´ ˜ ´ ı
˜
planos e convexos, que verificam as seguintes questoes:

˜ ˜
1. dois pol´gonos nao estao num mesmo plano;
ı

˜ ´
2. cada lado de pol´gono nao esta em mais que dois pol´gonos;
ı ı

˜ ´ ˜
3. havendo lados de pol´gonos que estao em um so pol´gono, entao eles devem formar uma unica
ı ı ´
˜
poligonal fechada, plana ou nao, chamada contorno;

4. o plano de cada pol´gono deixa os restos deles num mesmo semi-espaco.
ı ¸

¸˜ ´
Da definicao anterior podemos classificar as superficies poliedricas limitadas convexas a partir de seu
ˆ ˜ ˆ
contorno, assim chamaremos de abertas as que tem contorno, e de fechadas as que nao tem.

´ ´
Uma superfćie poliedrica limitada convexa tem os seguintes elementos basicos:
ı

• Faces: sao os pol´gonos;
˜ ı

• Arestas: sao os lados dos pol´gonos;
˜ ı

• Vertices: sao os vertices dos pol´gonos;
´ ˜ ´ ı

ˆ
• Angulos: sao os angulos dos pol´gonos;
˜ ˆ ı

¸˜ ´
Estudaremos as diferentes relacoes entre os elementos de uma superfćie poliedrica limitada convexa.
ı

1.4.1 Poliedro Convexo

Seja n um numero finito (n ≥ 4) e consideremos n pol´gonos convexos tais que:
´ ı

˜ ˜
1. Dois pol´gonos nao estao num mesmo plano;
ı

ı ´
2. Cada lado de pol´gono e comum a dois e somente dois pol´gonos;
ı

3. O plano de cada pol´gono deixa os demais pol´gonos num mesmo semi-espac o.
ı ı ¸

Se as condicoes anteriores sao consideradas, entao ficam determinados n semi-espac os, cada um
¸˜ ˜ ˜ ¸
ı ´
deles tem como origem o plano de um pol´gono, e contem os restantes pol´gonos.
ı
21

´

1.27 Defini¸õ. Um conjunto P e um poliedro convexo se e a intersecao de um numero finito de pol´gonos
ca ´ ´ ¸˜ ´ ı
que verificam as condicoes 1, 2 e 3 anteriores.
¸˜

´ ´ ˜
De maneira analoga, as superfćies poliedricas limitadas convexas sao poliedros convexos que pos-
ı
˜ ı ˜ ı ´ ˜
suem faces que sao pol´gonos convexos; arestas, que sao os lados dos pol´gonos e vertices que sao os
´ ˜
vertices dos pol´gonos. Chamaremos de superfćie do poliedro a reuniao das faces do poliedro.
ı ı

1.28 Defini¸õ. Diremos que dois poliedros convexos P e S sao congruentes se, e somente se, e poss´vel
ca ˜ ´ ı
ˆ ˆ ´
estabelecer uma correspondencia entre seus elementos de modo que as faces e os angulos poliedricos
de P sejam congruentes as faces e os angulos poliedricos S .
` ˆ ´

1.29 Defini¸õ. (auxiliar) Um angulo poliedrico e a regiao constitu´da por todas as faces que convergem
ca ˆ ´ ´ ˜ ı
´
em um vertice.

¸˜ ˆ ˆ
Naturalmente, da definicao de congruencia de poliedros, definimos a congruencia entre faces, arestas
ˆ
e angulos.

1.4.2 Rela¸õ de Euler
ca

¸˜ ¸˜ ´
A relacao de Euler estabelece uma relacao entre os vertices, arestas e faces de um poliedro. Para um
poliedro P denotaremos com V , A e F , o numero de vertices, arestas e faces de P , respectivamente.
´ ´

1.30 Teorema. Seja P um poliedro convexo. Entao,
˜

V −A+F =2 ( 1.8 )

¸˜ ´ ´
Para a demonstracao deste teorema provaremos previamente o seguinte lema. Porem, antes disto, e
necessario definirmos para uma superfćie poliedrica limitada convexa S , a seguinte notacao:
´ ı ´ ¸˜

• Va e o numero de vertices de S ;
´ ´

• Aa e o numero de arestas de S ;
´ ´

• Fa e o numero de faces de S .
´ ´

1.31 Lema. Seja S uma superfćie poliedrica limitada convexa aberta. Entao,
ı ´ ˜

Va − Aa + Fa = 1.

Prova. Para Fa = 1. Neste caso a superfćie se reduz a um pol´gono plano convexo de n lados e,
ı ı
entao, Va = Aa = n. Temos, portanto,
˜

Va − Aa + Fa = n − n + 1 = 1.

Agora, admitamos que a relacao vale para uma superfćie poliedrica limitada convexa aberta de F
¸˜ ı ´
faces com V vertices e A arestas. Provaremos a continuacao que a relacao e valida para uma superfćie
´ ¸˜ ¸˜ ´ ı
poliedrica limitada convexa aberta de F + 1 faces, que possui Va vertices e Aa arestas. Pela hipotese, para
´ ´ ´
a superfćie de F faces, A arestas e V vertices vale:
ı ´

V − A + F = 1. ( 1.9)
22

Acrescentemos a essa superfćie uma face de p arestas. Como q dessa aresta coincidem com arestas
ı
que ja existem, obtemos uma nova superfćie com Fa = F + 1 faces, Va vertices e Aa arestas tais que
´ ı ´

Fa = F + 1; ( 1.10)

Aa = A + p − q ( 1.11)

Va = V + p − (q + 1) ( 1.12)

onde para a equacao (5) q arestas coincidem, e para a equacao (6) o numero de arestas e de vertices
¸˜ ¸˜ ´ ´
coincidem que sao q e q + 1, respectivamente. Agora e so usar as equacoes (4), (5) e (6) para provar que
˜ ´ ´ ¸˜
Va − Aa + Fa = V − A + F . Como Va − Aa + Fa = V − A + F , podemos dizer que essa expressao nao
˜ ˜
se altera se acrescentamos uma face da superfćie, e como pela hipotese V − A + F = 1, completamos
ı ´
a prova do lema.

Prova. [do Teorema 1.30] Tomemos a superfćie de qualquer pol´gono convexo ou qualquer superfćie
ı ı ı
poliedrica limitada convexa fechada, que tenha V vertices, A arestas e F faces, e das faces retiremos uma.
´ ´
Logo, ficamos com uma superfćie aberta com Va vertices, Aa arestas e Fa faces, para qual vale o lema 1,
ı ´
isto e Va − Aa + Fa = 1. Como Va = V , Aa = A e Fa = F − 1, temos que V − A + F = 2, assim o teorema
´
fica provado.

¸˜ ˜
Os poliedros que verificam a relacao de Euler sao chamados poliedros eulerianos. Em geral, todo
´ ´
poliedro convexo e euleriano, mas nem todo poliedro eureliano e convexo.

1.4.3 Poliedros Importantes

Poliedros de Platõ
a

1.32 Defini¸õ. Um poliedro e chamado de poliedro de Platao se os seguintes ´tens estao satisfeitos:
ca ´ ˜ ı ˜

ˆ
i. todas as faces tem o mesmo numero de arestas;
´

ˆ ´ ˆ
ii. todos os angulos poliedricos tem o mesmo numero de arestas;
´

¸˜
iii. vale a relacao de Euler.

´ ˜ ˜
E poss´vel demonstrar que existem cinco classes de poliedros de Platao. Eles sao apresentados na
ı
seguinte tabela, em que m indica o numero de arestas associadas a uma face; m o numero de arestas
´ ´
associadas a um angulo; A o numero de arestas do poliedro; V o numero de vertices do poliedro e F o
ˆ ´ ´ ´
numero de faces do poliedro.
´
m n A V F Nome
3 3 6 4 4 Tetraedro
3 4 12 8 6 Hexaedro
4 3 12 6 8 Octaedro
3 5 30 20 12 Dodecaedro
5 3 30 12 20 Icosaedro

23

´

Poliedros Regulares

´
Outra classe de poliedros muito importante na geometria espacial e a classe dos poliedros regulares.

1.33 Defini¸õ. Um poliedro convexo e chamado de regular se, e somente se, verifica as seguintes
ca ´
¸˜
condicoes:

˜
i. suas faces sao pol´gonos regulares e congruentes;
ı

ˆ ´ ˜
ii. seus angulos poliedricos sao congruentes.

´ ´
Para esta classe de poliedros tambem existem so cinco tipos de poliedros: O tetraedro regular, o
hexaedro regular, o octaedro regular, dodecaedro regular e o icosaedro regular.

´
Uma propriedade importante que estes poliedros verificam e a seguinte:

1.34 Teorema. Todo poliedro regular e de Platao.
´ ˜

˜ ´ ´ ˜
Em geral, nao e valido que todo poliedro de Platao seja um poliedro regular.

1.4.4 Exerc´
ıcios Propostos

1.47. Seja P um poliedro convexo de onze faces que tem seis faces triangulares e cinco faces quadran-
gulares. Calcule o numero de arestas e de vertices do poliedro P .
´ ´

1.48. Num poliedro convexo de 10 arestas, o numero de faces e igual ao numero de vertices. Quantas
´ ´ ´ ´
faces tem esse poliedro?

1.49. Considere um poliedro de sete vertices que tem cinco angulos tetraedricos e dois angulos pentaedricos.
´ ˆ ´ ˆ ´
Quantas arestas e quantas faces tem o poliedro?

1.50. Ache o numero de faces de um poliedro convexo que possui 16 angulos triedros.
´ ˆ

1.51. Em qualquer poliedro convexo, e par o numero de faces que tem numero ´mpar de lados? Justifique
´ ´ ˆ ´ ı
sua resposta.

ˆ
1.52. A soma dos Angulos das faces de um poliedro convexo e 270◦. Calcule o numero de faces, sabendo
´ ´
que e 2/3 do numero de arestas.
´ ´

1.53. Determine o numero de vertices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face
´ ´
quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais.

1.54. Num poliedro convexo com 10 arestas, o numero de faces e igual ao numero de vertices. Quantas
´ ´ ´ ´
faces tem esse poliedro?

1.55. Num poliedro convexo o numero de aresta excede o numero de vertices em 6 unidades. Calcule o
´ ´ ´
numero de faces desse poliedro
´

1.56. Calcule o numero de faces triangulares e o numero de faces quadrangulares de um poliedro com 20
´ ´
arestas e 10 vertices.
´

1.57. Um poliedro de sete vertices tem cinco angulos tetraedricos e dois angulos pentaedricos. Quantas
´ ˆ ´ ˆ ´
arestas e quantas faces tem o poliedro?
24

1.58. Ache o numero de faces de um poliedro convexo que possui 16 angulos triedros.
´ ˆ

1.59. Um poliedro convexo tem 11 vertices, o numero de faces triangulares igual ao numero de faces
´ ´ ´
quadrangulares e uma face pentagonal. Calcule o numero de faces desse poliedro.
´

1.60. Calcule em graus a soma dos angulos das faces de um tetraedro.
ˆ

1.5 Gabarito
1.1. Infinitas. 1.2. Infinitas. 1.3. (a) 3 retas: AD , BD e C D . (b) 6 retas: AB , AC AD , BC , BD e C D . 1.4. Use o postulado da
determinac ao de planos. 1.5. 1. V 2. V 3. F 4. V 1.6. (a) F (b) V. 1.7. A reta OP . 1.8. 1.9. Nenhum, um ou quatro. 1.10. (a) F
¸˜
(b) F (c) F. 1.11. Nao sao obrigatoriamente reversas. Podem ser paralelas, concorrentes ou reversas. 1.12. Infinitos. 1.13. Infinitos.
˜ ˜
1.14. 1.15. 1.16. 1.17. Verdadeiro. 1.18. Verdadeiro. 1.19. 1.20. Verdadeiro. 1.21. A reta RS . 1.22. 1.23. 1.24. 1.25.
1.26. 1.27. 1.28. 1.29. 1. F 2. V 3. F 4. F 5. F 6. F 1.30. 1.31. 1.32. Existem infinitos pontos. 1.33. 1.34. 1. V 2. F 3. V 4.
V 5. V 6. F 7. F 1.35. Elas podem ser: concorrentes, paralelas ou reversas 1.36. 1.37. Por um ponto do plano conduza duas retas
respectivamente paralelas as retas dadas. 1.38. 1.39. 1.40. a) V; b) F; c) V; d) F 1.41. 1.42. 1.43. 1.44. Verdadeiro. 1.45.
`
Falso. 1.46. (a) F; (b) V; (c) F; (d) V; (e) V 1.47. N ´
umero de arestas 19, n ´ umeros de ertices 10. 1.48. 6 1.49. 1.50. 10. 1.51.
´
v
Verdadeiro. 1.52. 4. 1.53. 10. 1.54. 6. 1.55. 8. 1.56. 8 e 4. 1.57. N ´ umero de arestas 15 e n ´
umero de faces 10. 1.58. 10. 1.59.
11. 1.60. 720◦ .

S´lidos e Superf´
o ıcies

2.1 Prismas

2.35 Defini¸õ. Consideremos uma regiao convexa plana
ca ˜
P1 , . . . , Pn de n lados e uma reta m nao paralela nem contida
˜
˜
no plano da regiao. Chamaremos de prisma ilimitado convexo
a reuniao das retas paralelas a m que passam pelos pontos da
` ˜
˜
regiao poligonal dada.

No caso em que a regiao P1 , . . . , Pn seja concava, o prisma ilimitado resultara concavo.
˜ ˆ ´ ˆ

´ ˜ ˜
Em geral, um diedro e a reuniao de dois semiplanos de mesma origem nao contidos num mesmo plano.
O prisma possui os seguintes elementos: n arestas, n diedros e n faces.

2.36 Defini¸õ. Chamaremos secao a uma regiao plana com um so vertice em cada aresta. Diremos
ca ¸˜ ˜ ´ ´
¸˜ ´ ´ `
que a secao e reta ou normal se e perpendicular as arestas.

˜ ´
A reuniao das faces de um prisma ilimitado convexo e chamada de superfćie convexa ilimitada do
ı
prisma. Esta tem as seguinte propriedades.

¸˜ ˜
1. As secoes paralelas de um prisma ilimitado sao pol´gonos congruentes.
ı

2. A soma dos diedros de um prisma ilimitado convexo de n arestas e igual a 2(n − 2) retos.
´

2.37 Defini¸õ. Seja ABC D . . . MN um pol´gono convexo situado num plano α e um segmento PQ , cuja
ca ı
reta suporte intercepta o plano α. A reuniao de todos os segmentos congruentes e paralelos a PQ , com
˜
uma extremidade nos pontos do pol´gono e situado num mesmo semi-espac o dos determinados pelo plano
ı ¸
α, chama-se de prisma limitado convexo.
25

´

Uma definicao de prisma equivalente a definicao 2.37 e a seguinte:
¸˜ ` ¸˜ ´

2.38 Defini¸õ. Um prisma limitado convexo e a reuniao
ca ´ ˜
da parte do prisma convexo ilimitado, compreendida entre os
¸˜ ¸˜
planos de duas secoes paralelas distintas com essas secoes.

Se consideramos um prisma formado por um pol´gono de n lados, ele possui os seguintes elementos
ı
´
basicos:

• 2 bases congruentes; • 3n arestas;
• n faces laterais; • 3n diedros;
← Aresta lateral
• (n + 2) faces; • 2n vertices;
´
• n arestas laterais; • 2n triedros. ← Aresta da base

´ ´
Um novo conceito que aparece neste tipo de figura geometrica e a altura.

2.39 Defini¸õ. Seja o prisma limitado P1 . . . Pn . A altura do prisma e a distancia h entre os planos das
ca ´ ˆ
bases.

¸˜ ´ ¸˜ ´
Uma primeira relacao que verifica o prisma e a relacao de Euler, isto e:

V − A + F = 2n − 3n + (n + 2) = 2.

´ ´ ¸˜
De maneira analoga que para com o prisma ilimitado, o prima limitado tambem possui secoes.

2.40 Defini¸õ. Uma secao de um prisma limitado convexo e o lugar geometrico formado pela intersecao
ca ¸˜ ´ ´ ¸˜
¸˜ ˜
do prisma com um plano que tem intersecao nao-vazia com todas as arestas laterais do prisma. Chamare-
¸˜ ¸˜ ´ `
mos de secao reta uma secao cujo plano e perpendicular as arestas laterais do prisma.

¸˜ ´
Outra definicao que aparece de maneira natural ao estudar prisma limitados e a de superfćie, formal-
ı
mente temos.

2.41 Defini¸õ. Chama-se superfćie lateral do prisma a reuniao das faces laterais e denotada usual-
ca ı ˜
mente por Al . A reuniao da superfćie lateral com as base e chamada de superfćie total do prisma e
˜ ı ´ ı
denotada por At .

¸˜
Existe uma classificacao para os prismas convexos limitados.

´ ˜
1. Prisma reto: e aquele cujas arestas laterais sao perpendiculares aos planos das bases.

´ ˜
2. Prisma obl´quo: e aquele cujas arestas laterais sao obl´quas aos planos das bases.
ı ı

´ ˜
3. Prisma regular: e um prisma reto cujas bases sao pol´gonos regulares.
ı

´ ´
Em geral, a natureza de um prisma depende de sua base, isto e, se e um pol´gono triangular, quadran-
ı
gular, pentagonal, etc.
26

2.1.1 Paralelep´
ıpedos

˜ ˜
Uma classe interessante de prismas limitados sao aquelas cujas bases estao definidas por paralelo-
gramos. Apresentaremos os mais importantes.

2.42 Defini¸õ. Um paralelep´pedo e um prisma cujas bases sao paralelogramos.
ca ı ´ ˜

´ ˜
A superfćie de um paralelep´pedo e a reuniao de seis paralelogramos, dois que constituem suas bases
ı ı
e o restante as 4 faces laterais.

2.43 Defini¸õ. Um paralelep´pedo reto e um prisma reto cujas bases sao paralelogramos.
ca ı ´ ˜

´ ˜ ˆ
No caso do paralelep´pedo reto, a superfćie total e a reuniao de quatro retangulos, que conformam
ı ı
suas faces laterais com dois paralelogramos, definindo suas bases.

2.44 Defini¸õ. Um paralelep´pedo reto-retangulo e um prisma reto cujas bases sao retangulos.
ca ı ˆ ´ ˜ ˆ

ˆ ˜ ˆ
Para esta classe de paralelep´pedos reto-retangulos, tanto as bases como as faces laterais sao retangulos.
ı
´ ˜ ˆ
Portanto, a superfćie total e a reuniao desses seis retangulos.
ı

ˆ ˜
Dos paralelep´pedos retangulos sao os mais estudados:
ı

ˆ ˜
O cubo: paralelep´pedo reto-retangulo cujas arestas sao congruentes;
ı

O romboedro: paralelep´pedo com doze arestas congruentes entre si;
ı

O romboedro reto: paralelep´pedo reto que possui as doze arestas congruentes entre si;
ı

ˆ ˜
O romboedro reto-retangulo: romboedro reto cujas bases sao quadrados.

2.1.2 ´ ´
Area Lateral e Area Total do Prisma

2.45 Defini¸õ. A area lateral Al de um prisma e a soma das areas de suas faces laterais, e a area do
ca ´ ´ ´ ´
´ ´ ´ ´
prisma ou area total e a soma da area lateral com as areas das bases.

Consideremos um prisma de aresta lateral medindo a e de lados de uma secao lateral medindo l1 , . . . , ln ,
¸˜
respectivamente. Observe que a face lateral e um paralelogramo de base medindo a e altura igual a um
´
¸˜ ˜
lado da secao reta. Entao podemos escrever:

At = al1 + . . . + aln = (l1 + . . . + ln )a.

Chamemos de 2p a soma dos comprimentos dos lados l1 + . . . + ln . Na realidade, 2p e a medida do
´
¸˜ ¸˜
per´metro da secao reta. Assim, podemos escrever a seguinte equacao:
ı

At = 2 · p · a . ( 2.13)

A equacao ( 2.13) nos permite calcular a ´rea lateral de um prisma. Para o c´lculo da ´rea total, basta somar
¸˜ a a a
` ´rea lateral duas vezes a ´rea da base, isto ´:
aa a e

AT = Al + 2B , ( 2.14)

em que B denota a ´rea da base.
a
27

´

2.1.3 Volume do Prisma

Nesta se¸õ usaremos o princ´ de Cavallieri que garante:
ca ıpio

Dois s´lidos nos quais todo plano paralelo a um dado plano, determina neles se¸oes de mesma ´rea
o c˜ a
sõ s´lidos de volumes iguais.
a o

´ ˜
Nota 1. Dois solidos de volumes iguais sao chamados equivalentes.

Seja P1 um prisma qualquer de altura h e base B1 e P2 um paralelep´
ıpedo retˆngulo de altura h e base B 2 .
a
Sejam AB1 = B e AB2 = B respectivamente as ´reas de B1 e B2 . Podemos supor, sem perda de generalidade, que
a
os dois s´lidos tˆm bases num mesmo plano α e estõ num dos semi-espa¸os determinados por α. Al´m disso,
o e a c e
para qualquer plano β, paralelo ao plano α que intercepta ou secciona a P 1 , o plano β deve seccionar a P2 , sõ
a
as se¸oes B1 e B2 , respectivamente, tˆm ´reas iguais, j´ que sõ congruentes `s respectivas bases.
c˜ e a a a a

Podemos afirmar o seguinte:

(AB1 = AB1 , AB2 = AB2 , AB1 = AB2 = B ) ⇒ AB1 = AB2 .

Entõ, pelo principio de Cavallieri, P1 e P2 tˆm volumes iguais. Assim, se denotamos por VP1 e VP2 os volumes de
a e
P1 e P2 , respectivamente, podemos escrever VP1 = VP2 . Visto que VP2 = AB2 · h = B · h temos que VP1 = B · h.
ımos que o volume V de um prisma qualquer ´
De onde conclu´ e

V = B · h, ( 2.15)

ou seja, ´ o produto da ´rea da base pela altura.
e a

Exemplo 2.1. Prove que a soma dos angulos de todas as faces de um prisma de n faces laterais vale
ˆ
S = (n − 1) · 8r , onde r = 90◦ .

Solucao: Um prisma que possui n faces laterais, tem uma base que e um pol´gono de n lados, e a
¸˜ ´ ı
soma dos angulos internos desse pol´gono igual a (n − 2) · 2r . Como cada face lateral e um paralelogramo
ˆ ı ´
e a soma dos angulos internos de cada uma e 4 · r , fazendo os calculos para as duas bases do prisma,
ˆ ´ ´
temos: S = 2 · (n − 2) · 2r + n · 4r ⇒ S = n · 4r − 8 · r + n · 4r ⇒ S = n · 8r − 8r ⇒ S = (n − 1) · 8r .

Exemplo 2.2. Quantas diagonais possui um prisma cuja base e um pol´gono convexo de n lados?
´ ı

´ ´
Solucao: Unindo-se um dos vertices de uma das bases aos vertices da outra base, temos um total de
¸˜
(n − 3) diagonais, isto pelo fato de eliminar duas diagonais de face e uma aresta. Como existem n vertices
´
na base tomada, o numero total de diagonais e exatamente n(n − 3).
´ ´

Exemplo 2.3. Demonstrar que as diagonais de um paralelep´pedo retangulo interceptam-se em seus
ı ˆ
´
pontos medios.

Solucao: Sejam BC e E H , AD e F G arestas opostas do paralelep´pedo. Por estas arestas opostas
¸˜ ı
¸˜ ˜
passam planos diagonais que determinam no paralelep´pedo secoes que sao paralelogramos. As diago-
ı
˜
nais destes paralelogramos sao diagonais do paralelep´pedo, logo como estas se interceptam nos pontos
ı
´ ¸˜
medios fica completada a demonstracao.

Exemplo 2.4. Considere um prisma triangular regular que tem a aresta da base medindo 10dm. De
´
quanto podemos aumentar a altura, conservando-se a mesma base, para que a area lateral do novo
` ´
prisma seja igual a area total do prisma dado?
28

√
1 a 3
Solucao: Se um triangulo equilatero tem lado de medida a, entao sua area A
¸˜ ˆ ´ ˜ ´ e a·
´ . Logo,
√ 2 2
2
a 3
A = .
4
Sejam All e At1 as areas lateral e total do prisma e Al2 a area lateral do novo prisma. Sendo B a area
´ ´ ´
da base, temos: √
102 3 √
B= = 25 3.
4

Supondo que a altura H do prisma teve um aumento x , temos:
¡

√ ¡

√
¢
At1 = Al1 + 2B = 3(10h) + 2 · 25 3 ¢
At1 = 30h + 50 3
¡£

A l2 = 3(10h2 ) ⇒ ¡£

Al = 30(h + x )
√2 √
At1 = A l2 30h + 50 3 = 30(h + x ) ⇒ 30x = 50 3
√
5 3
Portanto, temos que x = dm.
3

2.1.4 Exerc´
ıcios Propostos

2.1. Ache a natureza de um prisma, sabendo que ele possui:

(a) 7 faces;

(b) 8 faces.

2.2. Prove que a soma dos angulos de todas as faces de um prisma de n faces laterais vale S = (n − 1) · 8r ,
ˆ
em que r = 90◦

2.3. Ache a natureza de um prisma, sabendo que a soma dos angulos das faces e 72 retos
ˆ ´

2.4. A soma dos angulos internos de todas as faces de um prisma e igual a 96 r . Calcule a soma dos
ˆ ´
ˆ
angulos internos de uma de suas bases.

2.5. Calcule a soma dos angulos internos de todas as faces de um prisma obl´quo, sabendo que o prisma
ˆ ı
tem 8 faces

2.6. Quantas diagonais possui um prisma cuja base e um pol´gono convexo de n lados?
´ ı

2.7. Prove que um numero de diagonais de um prisma e igual ao dobro do numero de diagonais de uma
´ ´ ´
de suas bases.

2.8. Calcule a soma dos angulos diedros de um prisma que tem por base um pol´gono convexo de n lados.
ˆ ı

2.9. Calcule a soma dos angulos das faces de um paralelep´pedo
ˆ ı

2.10. Mostre que as diagonais de um paralelep´pedo retangulo sao congruentes.
ı ˆ ˜

2.11. Ache a natureza de um prisma , sabendo que ele possui:

(a) 15 arestas;

(b) 24 arestas.

2.12. Se a soma dos angulos das faces de um prisma e 72 retos, qual e a natureza do prima?
ˆ ´ ´
29

´

2.13. Prove que o numero de diagonais de um prisma e igual ao dobro do numero de diagonais de uma
´ ´ ´
de suas faces.

2.14. A soma dos angulos internos de todas as faces de um prisma que possui 40 diagonais e:
ˆ ´

(a) 1.160◦;

(b) 2.160◦.

2.15. Escreva as equacoes das areas lateral e da area total para:
¸˜ ´ ´

(a) o prisma reto;

(b) o prisma regular.

2.16. Se a altura de um prisma e de 10 cm e sua base e um triangulo retangulo isosceles de 6 cm, quanto
´ ´ ˆ ˆ ´
´
mede a area lateral e o volume do prisma?

2.17. Dado um prisma triangular regular de volume 8 m3 e de altura 80 cm, determine quanto mede a
aresta da base.

2.18. A base de um prisma de 10 cm de altura e um triangulo retangulo isosceles de 6 cm de hipotenusa.
´ ˆ ˆ ´
´
Calcule a area lateral e o volume do prisma.

2.19. Calcule o volume e a area total de um prisma, sendo sua secao reta um trapezio isosceles cujas
´ ¸˜ ´ ´
√ 2
bases medem 30 cm e 20 cm e cuja altura mede 10 2 cm e a area lateral 640 cm
´

2.20. Determine a area lateral e o volume de um prisma reto de 25 cm de altura, cuja base e um hexagono
´ ´ ´
√
regular de apotema 4 3 cm
´

2.21. Um prisma reto tem por base um hexagono regular. Qual e o lado do hexagono e a altura do prisma,
´ ´ ´
sabendo que o volume e de 4 cm3 e a superfćie lateral de 12 cm2 ?
´ ı

2.22. Determine a area total de um prisma triangular obl´quo, sendo a sua secao reta um triangulo
´ ı ¸˜ ˆ
√ 2
equilatero de 16 3 cm de area e um dos lados da secao igual a aresta lateral do prisma.
´ ´ ¸˜ `

2.1.5 Leitura

Cavalieri e os Indivis´
ıveis

de Hygino H. Domingues.

“No inćio do seculo X V I I , os metodos deixados pelos gregos para o calculo de areas e
ı ´ ´ ´ ´
de volumes, apesar de sua beleza e rigor, mostravam-se cada vez menos adequados a um
mundo em franco progresso cient´fico, pois faltavam a eles operacionalidade e algoritmos para
ı
´ ˜ ¸˜ ´
implementa-los. Como nao havia ainda condicoes matematicas de se obter esse requisitos,
´ ˜
os metodos entao surgidos eram sempre pass´veis de cr´ticas - como o mais famoso deles, a
ı ı
geometria dos indivis´veis, de Boanaventura Cavalieri (1.598 − 1.647).
ı
ˆ ´ ´
O milanes Cavalieri foi um dos matematicos mais influentes de sua epoca. De familia nobre,
Cavalieri seguiu paralelamente a carreira religiosa e a atividade cient´fica. Disc´pulo de Galileu
ı ı
Galilei (1.564 − 1.642), por indicacao deste, ocupou desde 1.629 a catedra de Matematica da
¸˜ ´ ´
30

´ ˜ ˆ
Universidade de Bolonha, ao mesmo tempo que era o superior do monasterio de Sao Jeronimo.
´ ˆ ´
Cavalieri foi tambem astronomo, mas, se ainda e lembrado, isso se deve em grande parte ao
metodo dos indivis´veis que desenvolveu a partir de 1.626.
´ ı

˜
Cavalieri nao definia, em suas obras sobre o assunto, o que vinham a ser os indivis´veis.
ı
´
Segundo ele, porem, uma figura plana seria formada por uma infinidade de cordas paralelas
´ ¸˜
entre si e uma figura solida por uma infinidade de secoes planas paralelas entre si - a essas
¸˜ ´
cordas e a essas secoes chamava de indivis´veis. Num de seus livros “explicava” que um solido
ı
´ ´ ´ ´
e formado de indivis´veis, assim como um livro e composto de paginas. Do ponto de vista logico,
ı
´ ´
essas ideias envolviam uma dificuldade insuperavel.”

2.2 Pirˆmide
a

2.46 Defini¸õ. Consideremos uma regiao poligonal plano-convexa
ca ˜
V
definida como A1 , . . . , An com n lados e um ponto V que nao pertence
˜
´ ˜ ˆ ´
ao plano onde esta a regiao. Uma piramide ilimitada convexa e o lugar
geometrico formado pela reuniao das semi-retas de origem V que pas-
´ ˜
˜
sam pelos pontos que definem a regiao poligonal plano-convexa dada. No
˜ ˆ ˆ
caso em que a regiao poligonal plano-convexa seja concava, a piramide
ˆ
ilimitada resulta concava.

ˆ
Um piramide ilimitada convexa possui os seguintes elementos:
A1 A3
1. n arestas;

2. n diedros; A2

3. n faces.

2.47 Defini¸õ. Uma secao de uma piramide e a regiao poligonal plana com um so vertice em cada
ca ¸˜ ˆ ´ ˜ ´ ´
´ ˜ ˆ
aresta e uma superfćie e a reuniao das faces da piramide.
ı

ˆ ˜ ¸˜
Um tipo muito importante de piramide sao as limitadas. Elas aparecem em muitas aplicacoes da vida
real.

2.48 Defini¸õ. Consideremos um pol´gono convexo ABC . . . MN situado em um plano α e um ponto
ca ı
V que nao esta no plano α. Chamaremos de piramide ao lugar geometrico definido pela reuniao dos
˜ ˆ ´ ˜
segmentos com uma extremidade em V e outra nos pontos do pol´gono. V e ABC . . . MN sao chamados
ı ˜
´ ˆ
de vertice e base da piramide, respectivamente.

¸˜ ´
Uma definicao equivalente e a seguinte.

2.49 Defini¸õ. Uma piramide convexa limitada e a parte da piramide ilimitada que contem o vertice
ca ˆ ´ ˆ ´ ´
ˆ ¸˜ ¸˜
quando se divide essa piramide pelo plano de uma secao reunida com essa secao.
31

´

Nota 2. Nesta secao, usaremos a seguinte definicao de triedro. Dadas tres arestas a, b e
¸˜ ¸˜ ˆ
c , consideremos as semi-retas Va , Vb , Vc de mesma origem V , nao coplanares. Estas retas
˜
tomadas duas a duas formam tres semi-espac os que denotaremos com ε , ε2 e ε3 , onde:
ˆ ¸ 1

ε1 : com origem no plano formado por as retas b , c e contendo a semi reta Va ;

ε2 : com origem no plano formado por as retas a, c e contendo a semi reta Vb ;

ε3 : com origem no plano formado por as retas a, b e contendo a semi reta Vc .

O triedro determinado por Va , Vb , Vc e a intersecao dos semi-espac os ε , ε2 , ε3 .
´ ¸˜ ¸ 1

´ ˆ ˜
Os elementos basicos da piramide sao:

1. Uma base;

2. n faces laterais;

3. n + 1 faces;

4. n arestas laterais; ← Aresta lateral

5. 2n arestas;
← Aresta da base
6. 2n diedros;

7. n + 1 vertices;
´

8. n + 1 angulos poliedricos;
ˆ ´

9. n triedros.
2.50 Defini¸õ. Chama-se altura de uma piramide a distancia h entre o vertice e o plano da base.
ca ˆ ˆ ´

ˆ
Nota 3. Para entender o conceito de distancias no espac o consulte o material online.
¸

2.51 Defini¸õ. Chamaremos de superfćie lateral da piramide a reuniao das faces laterais da piramide, e
ca ı ˆ ˜ ˆ
a area desta superfćie e chamada de area lateral e a denotaremos com Al . A superfćie total da piramide
´ ı ´ ´ ı ˆ
´ ˜ ´ ´ ´
e reuniao das faces laterais e da base e a area total (area da superfćie das faces laterais e da base) sera
ı
denotada por At .

ˆ `
Quando se secciona uma piramide triangular por um plano paralelo a base temos:

˜
1. As aresta laterais e a altura ficam dividas na mesma razao;

¸˜ ˜
2. A secao e a base sao triangulares semelhantes;

˜ ´ ¸˜ ´ ˜ ˆ ´
3. A razao entre as areas da secao e a base e igual ao quadrado da razao de suas distancias ao vertice.

ˆ ´
Em geral, temos que, duas piramides triangulares com bases de areas iguais e alturas congruentes
ˆ ´ ´ ˆ ˆ
tem volumes iguais. Alem disso o volume de prisma triangular e a soma dos volumes de tres piramides
triangulares equivalentes (de volumes iguais).

Desse modo, o volume do tetraedro, VT , pode ser calculado da seguinte maneira: Seja B a area da
´
1
base e h a medida da altura do prisma, entao VT = B · h, em geral o volume de uma piramide qualquer
˜ ˆ
3
1
V = B · h, onde B e a area da base e h a medida da altura da piramide.
´ ´ ˆ
3
32

´ ˆ ´ ´ ´ ´
A area lateral de uma piramide e a soma das areas das faces laterais, e a area total e a soma das
areas das faces laterais com a area da base. Assim, temos que, se B e a area da base, Al a area lateral,
´ ´ ´ ´ ´
podemos escrever At = Al + B , onde At representa a area total. Se
´

• 2p e a medida do per´metro da base;
´ ı

• m e a medida do apotema da base;
´ ´

• m e a medida do apotema da piramide,
´ ´ ˆ

1
podemos escrever as seguintes equacoes: Al = pm , At = p (m + m e V =
¸˜ pm · h. Estas equacoes
¸˜
3
veriﬁcam a relacao (m )2 = h2 + m2 .
¸˜

Exemplo 2.5. Prove que a soma dos angulos S de todas as faces de uma piramide de n faces laterais
ˆ ˆ
vale S = (n − 1) · 4r .

Solucao: A soma dos angulos S de todas as faces e igual a soma dos angulos da base, que e (n −2)·2r ,
¸˜ ˆ ´ ˆ ´
com a soma dos angulos das faces laterais, que e n · 2r . Assim, temos que:
ˆ ´

S = (n − 2) · 2r + n · 2r = (n − 1) · 4r .

2.2.1 Exerc´
ıcios Propostos

2.23. Ache a natureza de uma piramide, sabendo que a soma dos angulos das faces e 20 retos
ˆ ˆ ´

2.24. Ache a natureza de uma piramide, sabendo que a soma dos angulos das faces e 56 retos
ˆ ˆ ´

2.25. Calcule o numero de diagonais da base de uma piramide, sabendo que a soma dos angulos internos
´ ˆ ˆ
de todas as suas faces e igual a 32 retos.
´

2.26. Calcule a soma dos angulos das faces de uma piramide cuja base e um pol´gono convexo de n
ˆ ˆ ´ ı
lados.

2.27. Ache a natureza de uma piramide que possui:
ˆ

(a) 6 faces

(b) 8 faces

(c) 12 arestas

(d) 20 arestas

2.28. Calcule o numero de diagonais da base de uma piramide, sabendo que a soma dos angulos internos
´ ˆ ˆ
de todas as suas faces e igual a 32 retos.
´

2.29. De um tetraedro regular de aresta a calcule:

´
(a) a area total

(b) a medida h da altura

(c) o seu volume V

2.30. Sabendo-se que a aresta de um tetraedro regular mede 3 cm, calcule a medida de sua altura, sua
´
area total e seu volume.
33

´

2.3 Cilindro

2.52 Defini¸õ. Consideremos um c´rculo de centro O e raio r , situado num plano α, e um segmento
ca ı
de reta PQ , nao-nulo, nao-paralelo e nao-contido em α. Um cilindro circular e a reuniao dos segmentos
˜ ˜ ˜ ´ ˜
congruentes e paralelos a PQ , com extremidade nos pontos do c´rculo e situados num mesmo semi-espac o
ı ¸
dos determinados pelo plano α.

2.53 Defini¸õ. Um cilindro e a regiao compreendida entre as secoes circulares do cilindro circular
ca ´ ˜ ¸˜
¸˜
determinadas por dois planos paralelos e distintos unida com tais secoes.

Um cilindro possui os seguintes elementos:

2 bases: sao c´rculos congruentes situados em planos paralelos;
˜ ı

Geratrizes: sao os segmentos com extremidade em um ponto da circunferencia de centro O e raio r e a
˜ ˆ
outra no ponto correspondente da circunferencia de centro O e raio r ;
ˆ

r : e raio da base.
´

2.54 Defini¸õ. Seja C um cilindro. Chamaremos de altura do cilindro e denotaremos com h, a distancia
ca ˆ
entre os planos das bases de C . A superfćie de C , a reuniao das geratrizes. A area dessa superfćie e
ı ˜ ´ ı ´
chamada area lateral e indicada por Al .
´

˜
Os cilindros podem ser classificados dependendo das geratrizes. Se as geratrizes sao obl´quas aos
ı
˜
planos das bases, temos um cilindro circular obl´quo. Se as geratrizes sao perpendiculares aos planos das
ı
´ ´ ¸˜
bases, temos um cilindro circular reto. O cilindro circular reto e tambem chamado cilindro de revolucao,
´ ¸˜ ˆ ´
pois e gerado pela rotacao de um retangulo em torno de um eixo que contem um dos seus lados.

2.55 Defini¸õ. Secao meridiana e a intersecao do cilindro com um plano que contem a reta OO deter-
ca ¸˜ ´ ¸˜ ´
minada pelos centros das bases.

¸˜ ´
Observe que a secao meridiana de um cilindro obl´quo de um cilindro obl´quo e um paralelogramo e a
ı ı
secao meridiana de um cilindro reto e um retangulo. Se r e o raio da base e h a altura do cilindro, a secao
¸˜ ´ ˆ ´ ¸˜
meridiana tem uma area de 2r · h.
´

2.56 Defini¸õ. Cilindro equilatero e um cilindro cuja secao meridiana e um quadrado.
ca ´ ´ ¸˜ ´

Em geral, a area lateral de um cilindro e Al = 2π r h, e a area total e At = 2π r (h + r ). Por ultimo o volume
´ ´ ´ ´ ´
pode ser calculado pela formula V = π r 2 h.

2.3.1 Exerc´
ıcios Propostos

2.31. Calcule a medida da area lateral de um cilindro circular reto, sabendo que o raio da base mede 4 cm
´
e a geratriz 10 cm.

2.32. O raio de um cilindro circular reto mede 3 cm e altura 3 cm. Determine a area lateral desse cilindro.
´

2.33. Determine o raio de um c´rculo cuja area e igual a area lateral de um cilindro equilatero de raio r .
ı ´ ´ ` ´ ´

2.34. Demonstre que, se a altura de um cilindro reto e metade do raio da base, a area lateral e igual a
´ ´ ´ `
´
area da base.
34

2.35. Um cilindro tem 2, 7 cm de altura e 0, 4 cm de raio da base. Calcule a diferenca entre a area lateral
¸ ´
´
e a area da base.

2.36. Determine a area lateral de um cilindro equilatero, sendo 15 cm a medida de sua geratriz.
´ ´

2.37. Um pluviometro cilńdrico tem um diametro de 30 cm. A agua colhida pelo pluviometro depois de um
ˆ ı ˆ ´ ˆ
temporal e colocada em um recipiente tambem cilńdrico, cuja circunferencia da base mede 20π cm. Que
´ ´ ı ˆ
altura havia alcancado a agua no pluviometro, sabendo-se que no recipiente alcancou 180 mm?
¸ ´ ˆ ¸

2.4 Cone

2.57 Defini¸õ. Consideremos um c´rculo de centro O e raio r situado em um plano α e um ponto V fora
ca ı
de α. Chama-se cone circular o lugar geometrico formado pela reuniao dos segmentos de reta com uma
´ ˜
extremidade em V e outra nos pontos do c´rculo.
ı

2.4.1 Elementos do Cone

O cone possui os seguintes elementos:

Base: e o c´rculo de centro O e raio r ;
´ ı

Vertice: e o ponto V fora do plano;
´ ´

Geratrizes: sao os segmentos formados com uma extremidade em V e outra nos pontos da circun-
˜
ˆ
ferencia;

´
Raio: e o raio da base.

´ ´
Eixo: e aresta determinada pelo vertice e pelo centro da base.

2.58 Defini¸õ. Dado um cone C , chama-se altura do cone a distancia entre o vertice e o plano e a base.
ca ˆ ´

2.4.2 Superf´
ıcies de um Cone

Em um cone podemos observar que as geratrizes definem uma superfćie.
ı

2.59 Defini¸õ. A superfćie lateral de um cone e a reuniao de suas geratrizes e sera denotada com Al .
ca ı ´ ˜ ´
˜
Chamaremos de superfćie total a reuniao da superfćie lateral com a superfćie do c´rculo que define a
ı ı ı ı
base.

2.4.3 Classifica¸õ
ca

Considere um cone de vertice V e centro da base O . A reta OV e o plano α que contem a base
´ ´
classificam um cone em:

Cone obl´quo: a reta OV e obl´qua ao plano α;
ı ´ ı
35

´

Cone circular reto: a reta OV e perpendicular ao plano α.
´

´ ´ ¸˜ ¸˜
O cone circular reto tambem e chamado de cone de revolucao, pois ele pode ser gerado pela rotacao
ˆ ˆ ¸˜
de um triangulo retangulo, tomando-se um dos catetos como eixo de revolucao.

2.4.4 Se¸õ Meridiana
ca

´
Uma pergunta natural surge quando estudamos cones: Que lugar geometrico fica definido quando
interceptamos um plano com um cone?

2.60 Defini¸õ. Consideremos um cone C de vertice V e centro da base O . Chamaremos de secao
ca ´ ¸˜
meridiana do cone C a intersecao de C com um plano que contem a reta OV .
¸˜ ´

¸˜ ¸˜
A partir da definicao de secao meridiana, temos o seguinte tipo de cone:

2.61 Defini¸õ. Um cone e equilatero se sua secao meridiana e um triangulo equilatero.
ca ´ ´ ¸˜ ´ ˆ ´

2.4.5 ´
C´lculo das Areas de um Cone
a

Em um cone circular reto, todas suas geratrizes sao congruentes entre si. Se g e a medida da geratriz,
˜ ´
˜ ´ ¸˜ ´
entao, pelo Teorema de Pitagoras, temos uma relacao notavel no cone:

g 2 = h2 + r 2 ,

em que h e a altura e r o raio da base do cone. Assim, podemos afirmar que a superfćies de um cone
´ ı
circular reto de raio r e geratriz g e equivalente a um setor circular de raio g e comprimento do arco 2r π.
´
˜ ´
Entao, a superfćie lateral pode ser calculada considerando o comprimento do arco e a area do setor, temos
ı
assim que a area lateral de um cone circular reto pode ser obtida em funcao de g (medida da geratriz) e r
´ ¸˜
(raio da base do cone):

• comprimento de arco: = 2π g ;

• area do setor: As = π g 2 .
´

2π r · π g 2
Al = ⇒ Al = π r g . ( 2.16)
2π g

Usando a equacao anterior, a area total de um cone circular reto pode ser obtida em funcao de g
¸˜ ´ ¸˜
(medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

At = Al + B = π r g + π r 2 = π r (g + r ). ( 2.17)

2.4.6 Volume do Cone

Seja C um cone de altura H1 = h e base B1 e T um tetraedro de altura H2 = h e base B2 . Sejam
AB1 = B e AB2 as areas de B1 e B2 . Desta forma, o cone e o tetraedro tem alturas congruentes e bases
´ ˆ
36

equivalentes. Suponha que as bases estao num mesmo plano α e que os vertices estao num mesmo
˜ ´ ˜
semi-espac o dos determinados por α. Nestas condic
¸ oes, qualquer plano β paralelo a o plano α, distando
¸˜
h dos vertices que dividem o cone, tambem divide o tetraedro. Considerando-se as areas das secoes B1
´ ´ ´ ¸˜
e B2 , AB1 e AB2 respectivamente, temos:
2 2
A B1 h A B2 h A B1 A B2
= , = ⇒ =
A B1 h A B2 h A B1 A B2

¡ ¡

visto que AB1 = AB2 = B , temos que AB1 = AB2 .

ˆ
Agora, pelo princ´pio de Cavallieri, podemos afirmar que o cone e o tetraedro tem volumes iguais, isto
ı
1
AB2 · h = B · h, assim, o volume do cone pode ser calculado
e, Vcone = Vtetr aedr o , e como Vtetr aedr o =
´
3
¸˜
usando a seguinte equacao:
1
Vcone = Bh,
3
onde B e a superfćie da base e h a altura do cone. Concluindo, podemos dizer que o volume de um cone
´ ı
´ area da base pela medida da altura. Se B = π r 2 , entao pela equacao anterior,
e um terc o do produto da´
¸ ˜ ¸˜
temos que
1 2
Vcone = π r h.
3
Exemplo 2.6. Seja C um cone equilatero que tem raio da base r . Calcule:
´

´
(a) a area lateral;

ˆ `
(b) a medida em radianos do angulo do setor equivalente a superfćie lateral;
ı

´
(c) a area total;

(d) o volume.

Solucao: Observe que a geratriz do cone e o dobro do raio, isto e g = 2r , e que a altura verifica
√¸˜ ´ ´
3 √
h = 2r = r 3. Assim temos:
2

(a) Al = π r g ⇒ Al = 2π r 2 .
2π r
(b) θ = g ⇒ θ = π r ad

(c) At = Al + B ⇒ At = 2π r 2 + π r 2 ⇒ At = 3π r 2 .
√
1 2 1 2 √ 3 2
(d) V = π r h ⇒ V = π r r 3 ⇒ V = πr .
3 3 3
Exemplo 2.7. A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um angulo de 60 graus com o
ˆ
´ ´
plano da base. Determinar a area lateral, area total e o volume do cone.

√ √
Solucao: Como sen(60o ) = h/20, entao (1/2) 3 = h/20h = 10 3 cm, e como V = (1/3) · B · h, entao
¸˜ ˜ ˜
temos que:
√ √
V = (1/3)π · r 2 h ⇒ V = (1/3)π · 102 · 10 3 ⇒ V = (1/3)1000 · 3 · π cm3 .

Agora, se r = 10 cm; g = 20 cm e Al = π r g , escreveremos:

Al = π r g = π · 10 · 20 = 200 · π cm2

e
At = Al + B = π r g + π r 2 = π r (r + g ) = π · 10 · (10 + 20) = 300π cm2 .
37

´

2.4.7 Exerc´
ıcios Propostos

2.38. Para cada um dos seguintes cones, calcule a area lateral, a area total e o volume:
´ ´

(a) cone equilatero de raio r = 11 cm e geratriz g = 22 cm;
´

(b) cone reto de diametro da base 20 cm e altura h = 35 cm.
ˆ

2.39. Represente, atraves de expressoes algebricas, a area lateral, a area total e o volume dos solidos
´ ˜ ´ ´ ´ ´
˜
cujas medidas estao indicadas a seguir:

h
(a) cone reto de altura h e raio ;
2
(b) cone equilatero de geratriz g = 2r e raio r .
´

2.40. A geratriz de um cone mede 14 cm e a area da base 80π cm2 . Calcule a medida da altura do cone.
´

2.41. Determine a medida da altura de um cone cuja geratriz mede 10 cm, sendo 12 cm o diametro de sua
ˆ
base.

2.42. Calcule o raio e a altura de um cone de revolucao cujo desenvolvimento e um semic´rculo de raio a.
¸˜ ´ ı

2.43. Um cone tem 8 cm de altura e 15 cm de raio. Outro cone tem 15 cm de altura e 8 cm de raio. Quanto
´ ´
a area lateral do primeiro excede a area lateral do segundo?

2.5 Esfera

Um problema fundamental para empresas que fabricam recipientes que armazenam uma determinada
´ ´
quantidade de um produto l´quido, e a necessidade de realizar o calculo do volume destes em recipientes
ı
´
esfericos, a partir do conhecimento da altura do l´quido colocado no mesmo. Por exemplo, quando um
ı
´ ´ ´
recipiente e esferico, ele possui um orifćio na parte superior (Polo Norte) por onde pode ser introduzido,
ı
verticalmente, uma vareta escalonada com indicadores de medidas. Ao retirar a vareta, observa-se o n´vel
ı
ı `
de l´quido que fica impregnado na vara e esta medida corresponde a altura do l´quido contido no recipiente
ı
´
esferico.

2.62 Defini¸õ. Seja O um ponto no espac o e um segmento
ca ¸
de medida r . Chamaremos de esfera de centro O e raio r ao
conjunto dos pontos P do espac o, tais que a dist
¸ ancia O a P
ˆ
seja menor ou igual r .

´ ¸˜ ¸˜
A esfera pode ser definida como um solido de revolucao gerado pela rotacao de um semic´rculo em
ı
´ ˆ
torno de um eixo que contem o diametro do semic´rculo.
ı

2.5.1 Superf´ da Esfera
ıcie

2.63 Defini¸õ. Seja C uma esfera de centro O e raio r . Chama-se superfćie da esfera de centro O e
ca ı
raio r ao conjunto dos pontos P do espac o, tais que a dist
¸ ancia de O a P seja igual a r .
ˆ
38

¸˜ ¸˜
Podemos definir a superfćie da esfera como a superfćie de revolucao gerada pela rotacao de uma
ı ı
ˆ
semi-circunferencia com extremidades no eixo.

2.5.2 Se¸oes Planas
c˜

¸˜ ´
Quando interceptamos uma esfera com um plano, a secao plana e um c´rculo. Se o plano passa pelo
ı
¸˜ ´
centro da esfera, obtemos como secao um c´rculo maximo da esfera.
ı

Considere uma esfera de raio r e uma secao plana paralela a um c´rculo maximo e que dista d unidades
¸˜ ı ´
deste. Claramente, d < r . Se a secao plana possui raio de medida s , entao a seguinte relacao e valida:
¸˜ ˜ ¸˜ ´ ´

r 2 = s 2 + d 2.

2.5.3 Elementos da Esfera

¸˜ ` ¸˜
Em relacao a intersecao de um plano com uma esfera, alguns elementos se destacam.

Considere uma reta que passa pelo centro O de uma esfera. Esta reta intercepta a esfera em dois pon-
tos. Seja e o segmento de reta com extremidades nestes pontos. Observe que eles sao as extremidades
˜
ˆ
do diametro da esfera. Assim, temos os seguintes elementos:

Polos: sao as extremidades do eixo e ;
´ ˜

´ ¸˜
Equador: e a secao perpendicular ao eixo e que passa pelo centro da superfćie;
ı

´ ¸˜ ´
Paralelo: e a secao perpendicular ao eixo e que e paralela ao equador;

´ ¸˜ ´
Meridiano: e a secao cujo plano contem o eixo;

ˆ ´ ˆ ´
Distancia polar: e a distancia de um ponto qualquer de um paralelo ao polo.

2.5.4 C´lculo das Distˆncias Polares
a a

Em geral, associamos a um ponto A da superfćie de uma esfera, duas distancias polares: P1 A e P2 A,
ı ˆ
em que P1 e P2 representam os polos desta esfera.
´

Considere uma esfera de centro em O e raio r e um ponto A nao coincidente com os polos P1 e P2 e
˜ ´
cujas distancias polares sao p1 e p2 unidades, respectivamente. Considere, ainda, um paralelo que dista d
ˆ ˜
´
unidades do c´rculo maximo.
ı

Usando-se as relacoes metricas no triangulo retangulo formado pelos pontos P1 , A e P2 , temos:
¸˜ ´ ˆ ˆ

2 2
AP1 = P 1 P2 · P1 M p1 = 2r (r − d )
2 ⇒ 2
AP2 = P 1 P2 · P2 M p2 = 2r (r + d )

¸˜ ¸˜ ˆ
Estas equacoes estabelecem relacoes que permitem calcular as distancias polares.
39

´

2.5.5 ´
Area e Volume de uma Esfera

´
Area da Esfera

A area da superfćie de uma esfera de raio r e igual a A = 4π r 2 .
´ ı ´

Volume da Esfera

Consideremos um cilindro equilatero de raio da base r e seja S o ponto medio do eixo do cilindro.
´ ´
Tomemos dois cones tendo como bases as do cilindro e S como vertice comum, a reuniao dois cones e
´ ˜ ´
´ ´ ´ ´
um solido chamado clepsidra. Ao solido que esta dentro do cilindro e fora dos dois cones vamos chamar
de solido X , este solido e chamado de anticlepsidra.
´ ´ ´ ´

Consideremos, agora, uma esfera de raio r e solido X descrito anterior. Suponhamos que a esfera seja
´
tangente a um plano α, que o cilindro tenha base em α e que os dois solidos, esfera e solido X , estejam
´ ´
num mesmo semi-espac o dos determinados por α. Agora, qualquer plano β, paralelo a α, distando d do
¸
centro da esfera, tambem divide o solido X . Assim, temos
´ ´

´
Area da se¸õ (c´
ca ırculo) na esfera:
ASC = π s 2 = π(r 2 − d 2 ).

´
Area da se¸õ (coroa circular) no s´lido:
ca o

AX = π r 2 − π d 2 = π(r 2 − d 2 ).

´ ¸˜ ´ ˜ ˜
As areas das secoes na esfera e no solido sao iguais. Entao, pelo princ´pio de Cavallieri, a esfera e o
ı
solido X tem volumes iguais, Vesf er a = VX . Mas,
´ ˆ

1
VX = Vci li ndr o − 2Vcone = π r 2 · 2r − 2 · ( π r 2 · r ). ( 2.18)
3

Assim, como Vesf er a = VX , temos que

2 4
Vesf er a = 2 · π r 3 − π r 3 = π r 3 . ( 2.19)
3 3

Portanto, podemos dizer que o volume de uma esfera de raio r e:
´

4 3
Vesf er a = πr .
3

Exemplo 2.8. Determine a area do c´rculo da esfera cujas distancias polares sao de 5 cm e 3 cm.
´ ı ˆ ˜

√
Solucao: Sendo o raio da secao r e d o diametro da esfera, temos que: d 2 = 52 + 32 ⇒ d =
¸˜ ¸˜ ˆ 34.
Sejam P1 e P2 os polos e A um ponto na esfera, diferente dos polos. Eles formam um triangulo P1 AP2 ,
´ ´ ˆ
√ 15
neste triangulo se verifica que: dr = 5 · 3 ⇒ 34r = 15 ⇒ r = √ . A area da secao S e igual a :
ˆ ´ ¸˜ ´
34
15 2 225π 225π
S = πr ⇒ S = π √ ⇒S = ´ ´
. Portanto, a area do c´rculo e
ı cm2 .
34 34 34
40

2.6 Inscri¸õ, Circunscri¸õ de S´lidos
ca ca o

2.64 Defini¸õ. Seja P um poliedro e S um solido qualquer. P diz-se inscrito em S se P ⊂ S e a intersecao
ca ´ ¸˜
entre P e a superfćie de S sao somente vertices de P .
ı ˜ ´

Exemplo 2.9. Tetraedros inscritos

Nota 4. Se a intersecao entre P e a superfćie de S e constitu´da de todos os vertices, a
¸˜ ı ´ ı ´
¸˜ ´ ¸˜
inscricao diz-se completa. Neste modulo trataremos somente deste tipo de inscricao.

Um caso particular, muito interessante, da definicao 2.64 surge quando o
¸˜
poliedro P e regular (um solido de Platao). Visto que a distancia entre o centro
´ ´ ˜ ˆ
´ ´
do poliedro e seus vertices e sempre a mesma, existe sempre uma esfera cuja
superfćie contem todos os vertices de P . Neste caso chamaremos S de esfera
ı ´ ´
circunscrita.

´
Uma outra caracter´stica dos poliedros regulares e que todas as suas faces
ı
ˆ
equidistam do centro, assim podemos garantir a existencia de uma esfera que
¸˜
contem somente um ponto de intersecao com cada face do poliedro. Esta esfera
´
sera especialmente chamada esfera inscrita.

ˆ ´ ´ ´
Do mesmo modo, a distancia do centro aos vertices e sempre a mesma. Assim, existe tambem uma
ˆ ` ˆ ´
esfera que circunscreve esse poliedro de diametro igual a distancia entre dois vertices opostos.

Porcentagem do Volume da Esfera Ocupada por um Poliedro Regular

Poliedro % do volume da esfera
Tetraedro 2,2518%
Cubo 36,7553%
Octaedro 31,8310%
Dodecaedro 66,4909%
Icosaedro 60,5461%

41

´

2.6.1 Algumas Propriedades M´tricas dos Poliedros Regulares
e

´ ´ ˆ
A tabela seguinte agrupa algumas das principais propriedades metricas dos solidos platonicos. Seja a
a medida da aresta de um poliedro; podemos calcular em funcao de a os raios r e R , respectivamente, da
¸˜
esfera inscrita e da circunscrita.

Poliedro r R
√
6 √
6
Tetraedro a 4 a
12 √
1 3
Cubo ou Hexaedro
√2a 2 a
√
6 2
Octaedro 6 a 2 a
1
√ √
3
√
Dodecaedro 20 10(25 + 11 5 a ¢

4 (1 + 5)a
√ √ √
¡

3 1
Icosaedro 12 (3 + 5)d 4 (10 + 2 5)a

2.6.2 Exerc´
ıcios Propostos

2.44. Obtenha o raio de uma esfera, sabendo que um plano α determina na esfera um c´rculo de raio
ı
20 cm, sendo 21 cm a distancia do plano ao centro da esfera.
ˆ

2.45. Determine o diametro de um c´rculo cuja area e igual a superfćie de uma esfera de raio r .
ˆ ı ´ ´ ` ı

2.46. Determine o raio de uma esfera de superfćie 36π cm2 .
ı

2.47. Determine o volume de uma esfera de 100π cm2 de superfćie.
ı

2.48. A cupula de uma igreja e uma semi-esfera apoiada sobre um quadrado de 12 m de lado. Determine
´ ´
ı ´ ´ ı ´
a superfćie da cupula (isto e, o c´rculo base da semi-esfera esta inscrito nesse quadrado).

2.7 Gabarito
2.1. (a) pentagonal; (b) hexagonal. 2.2. 2.3. Decagonal. 2.4. 22 r . 2.5. 40 r . 2.6. n · (n − 3). 2.7. 2.8. (n − 1) · 4r . 2.9. 1.080 ◦ .
2.10. 2.11. (a) pentagonal; (b) octogonal. 2.12. decagonal. 2.13. 2.14. (b). 2.15. (a) A l = 2ph e At = 2ph + 2B ; (b)Al = 2pa e
√ 2√4 √
At = 2p (h + m). 2.16. Al = 60(1 + 2) cm2 . V = 90 cm3 . 2.17. 2700. 2.18. Al = 60(1 + 2) cm2 e V = 90 cm3 . 2.19.
√ √ 3
√ √ 4 3 3 3 √
Al = 20(32 + 25 2) cm2 e V = 2000 2 cm3 . 2.21. m, m. 2.22. At = 32(6 + 3) cm2 . 2.23. Piramide Hexagonal.
ˆ
9 2
2.24. Piramide pentadecagonal.
ˆ 2.25. 27. 2.26. (n − 1) · 4 retos. 2.27. (a) pir amide pentagonal; (b) piramide heptagonal; (c)
ˆ ˆ
√ √ 3√ √ √
piramide hexagonal; (d) piramide decagonal. 2.28. 27. 2.29. (a) At = a2 3; (b) h = a 3 6 e (c) V = a 12 2 . 2.30. 6 cm; 9 3 cm2 e
ˆ ˆ
√
9 2
cm3 . 2.31. 80π cm2 . 2.32. 18π cm2 . 2.33. 2r . 2.34. Saia da Al e chegue na B . 2.35. 2π cm2 . 2.36. 225π cm2 . 2.37.
4
1331π √ √ 3500π
8 cm. 2.38. (a) Al = 242π cm2 ; At = 363π cm2 ; V = cm3 . (b) Al = 50π 53 cm2 ; At = 50(2 + 53)π cm2 ; V = cm3
√ 3 √ 3
π 17 2 √
π(2+ 17 2 π 3 3 3 √
2.39. (a) Al = h ; At = 8 h ;V = h . (b) Al = 2π r 2 ; At = 3π r 2 ; V = π r . 2.40. 2 29 cm. 2.41. 8 cm. 2.42.
√ 8 12 3
a 3a 500
; . 2.43. 119π cm2 . 2.44. 29 cm. 2.45. 4r . 2.46. 3 cm. 2.47. π cm3 . 2.48. 72π m2 .
2 2 3

42

An´lise Combinat´ria e
a o
Binˆmio de Newton
o
Princ´
ıpios B´sicos da An´lise Com-
a a
binat´ria
o

3.1 Princ´
ıpio Fundamental de Contagem e Conseq¨ˆncias
ue

´ ´ ´
A Analise Combinatoria visa desenvolver metodos que permitam contar – de uma forma indireta – o
¸˜
numero de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condicoes.
´

´ ´ ´ ¸˜
Analise Combinatoria e um conjunto de procedimentos que possibilita a construcao, sob certas cir-
ˆ
cunstancias, de grupos diferentes formados por um numero ﬁnito de elementos de um conjunto.
´

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com n elementos e os grupos formados com ele-
mentos de Z terao k elementos, isto e, k sera a taxa do agrupamento, com 0 ≤ k ≤ n.
˜ ´ ´

¸˜ ¸˜ ˜ ˆ
Arranjos, Permutacoes ou Combinacoes sao os tres tipos principais de agrupamentos, sendo que eles
¸˜
podem ser simples, com repeticao ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.
´ ´
E comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado e
` ˜
pouco com os mesmos, que as vezes sao utilizados em concursos em uma forma dubia!
´

´
Para motivar a ideia de contagem considere o seguinte exemplo:

Exemplo 3.1. Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal?

˜
Solucao: Formar um casal equivale a tomar as decisoes:
¸˜

D1 : Escolha do homem (5 modos)

D2 : Escolha da mulher (5 modos).

Desta forma, ha 5 × 5 = 25 modos de formar um casal.
´

Em geral, se ha k1 modos de tomar uma decisao D1 e, tomada essa decisao, ha k2 modos de tomar
´ ˜ ˜ ´
outra decisao D2 , entao o numero de modos de tomar sucessivamente as decisoes D1 e D2 e k1 · k2 .
˜ ˜ ´ ˜ ´

Podemos estender este princ´pio para uma quantidade n de decisoes a serem tomadas.
ı ˜

3.1.1 Princ´
ıpio Fundamental da Contagem

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1
maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, entao o numero total
˜ ´
43

´

T de maneiras de ocorrer o acontecimento e dado por:
´

T = k 1 · k2 · k3 · . . . · kn

´ ´
Uma estrategia para resolver problemas de contagem e a seguinte:

´ ´ ¸˜
1. Postura: E necessario colocar-se no papel da pessoa que deve fazer a acao solicitada pelo problema
˜ ´
e ver que decisoes deveremos tomar. No exemplo, nos nos colocamos no papel da pessoa que
deveria formar o casal.

˜ ˜ ˜
2. Divisao: Sempre que seja poss´vel, dividir as decisoes a serem tomadas em decisoes mais simples.
ı
Observe que formar um casal foi dividido em escolher o homem e escolher a mulher.

˜
3. Nao adiar dificuldades: Pequenas dificuldades adiadas costumam se transformar em imensas dificul-
˜ ´ ˜
dades. Se uma das decisoes a serem tomadas for restrita que as demais, essa e a decisao que deve
ser tomada em primeiro lugar.

Exemplo 3.2. O codigo Morse usa duas letras, ponto, e trac o, e as palavras em 1 a 4 letras. Quantas
´ ¸ ˆ
t
˜ ´
sao as palavras do codigo Morse?

Solucao: Ha 2 palavras de uma letra. Ha 2 · 2 = 4 palavras de duas letras, pois ha dois modos de
¸˜ ´ ´ ´
escolher a primeira letra e dois modos de escolher a segunda letra; analogamente, ha 2 · 2 · 2 = 8 palavras
´
de tres letras e 2 · 2 · 2 · 2 = 16 palavras de 4 letras. Assim, o numero total de palavras e 2 + 4 + 8 + 16 = 30
ˆ ´ ´

Exemplo 3.3. Uma bandeira e formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores
´
˜
verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e nao se pode usar cores iguais em listras
adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?

Solucao: Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra. Ha 3 modos de escolher a cor
¸˜ ´
da primeira listra e, a partir da´, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras. A Resp. e
ı ´
3 · 26 = 192

Exemplo 3.4. De quantos modos podemos escolher uma revista e um jornal numa banca que possui 4
revistas e 3 jornais?

ˆ ˜ ˆ
Solucao: A cada revista podemos juntar um jornal de tres modos diferentes, pois sao tres os jornais
¸˜
existentes na banca. Como a revista pode ser escolhida de quatro modos diferentes (sao 4 as revistas na
˜
banca), entao a escolha de uma revista e um jornal pode ser feita 4 · 3 = 12 modos diferentes.
˜

Nota 5. Neste ultimo exemplo destacamos os eventos:
´

Escolha das revistas: 4 modos diferentes.

Escolha dos jornais: 3 modos diferentes.

Escolha de uma revista e um jornal: 12 modos diferentes.

Exemplo 3.5. Quantos sao os numeros de tres d´gitos distintos?
˜ ´ ˆ ı

Solucao: O primeiro d´gito pode ser escolhido de 9 modos, pois ele nao pode ser igual a 0. O segundo
¸˜ ı ˜
d´gito pode ser escolhido de 9 modos, pois nao pode ser igual a 0. O terceiro d´gito pode ser escolhido de
ı ˜ ı
8 modos, pois nao pode ser igual nem ao primeiro nem ao segundo d´gitos. A resposta e 9 · 9 · 8 = 648.
˜ ı ´
44

Exemplo 3.6. Um salao tem 8 portas. De quantos modos uma pessoa pode entrar no salao e sair por
˜ ˜
uma porta diferente da que entrou?

Solucao: Consideremos os seguintes eventos:
¸˜

Entrada no sal˜o: 8 modos diferentes.
a

Sa´ do sal˜o: 7 modos diferentes.
ıda a

Entrada e sa´ 8 · 7 = 56 modos diferentes.
ıda:

Exemplo 3.7. De quantos modos 4 pessoas podem sentar-se em 6 cadeiras dispostas em linhas?

Solucao: A primeira pessoa a sentar-se tem 6 possibilidades. A segunda tem 5 possibilidades. A
¸˜
terceira tem 4 possibilidades. A quarta tem 3 possibilidades. Deste modo, as quatro pessoas podem
sentar-se de 6 · 5 · 4 · 3 = 360 modos diferentes.

Exemplo 3.8. Quantos numeros de tres algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2, 3, 4
´ ˆ
e 5?

Solucao: Consideremos os seguintes eventos:
¸˜

Algarismo das centenas: este algarismo pode ser qualquer dos
numeros dados 2, 3, 4 ou 5. Portanto, quatro possibilidades.
´
4
Algarismo das dezenas: tres possibilidades, porque o algar-
ˆ
˜
ismo posto na centena nao pode ser repetido, de acordo com
˜
o enunciado da questao. 4 3

Algarismo das unidades: duas possibilidades.
4 3 2

Deste modo, o total de numeros que podem ser formados e 4 · 3 · 2 = 24.
´ ´

Exemplo 3.9. Quantos multiplos de 5 com tres algarismos distintos podemos formar com os algarismos
´ ˆ
1, 2, 3, 4, 5?

Solucao:
¸˜

Algarismo das unidades: uma possibilidade, pois este algar-
5
ismo so pode ser 5.
´
1

Algarismo das centenas: quatro possibilidades. 5
4 1

Algarismo das dezenas: tres possibilidades.
ˆ 5
4 3 1

Deste modo, o total de numeros e 1 · 4 · 3 = 12.
´ ´
45

´

Exemplo 3.10. Quantos multiplos de 5 com tres algarismos distintos podem ser formados com os
´ ˆ
algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?

Solucao: Os numeros procurados devem terminar em 0 ou em 5. Como os numeros terminados em 0
¸˜ ´ ´
sao, em quantidade, como veremos, maior que os terminados em 5, teremos que fazer duas hipoteses:
˜ ´

I. Numeros terminados em 0.
´
0
5 4 1
O total de numeros e 5 · 4 · 1 = 20.
´ ´

II. Numeros terminados em 5.
´
5
4 4 1
Esses numeros nao podem comec ar por 0. Logo, existem apenas 4 possibilidades para o algarismo
´ ˜ ¸
das centenas (1, 2, 3 ou 4). Para o algarismo das dezenas existem, novamente, 4 possibilidades, pois
0 pode ser, tambem, esse algarismo.
´
Deste modo o total de numeros terminados em 5 e 4 · 4 · 1 = 16.
´ ´

Total procurado: 20 + 16 = 36.

´ ´ ´ ´
Nota 6. Toda vez que e necessaria a feitura de hipoteses o resultado ﬁnal e a soma dos
´
resultados obtidos em cada hipotese.

Exemplo 3.11. Quantos sao os numeros inteiros positivos de cinco algarismos que nao tem algarismos
˜ ´ ˜ ˆ
adjacentes iguais?

Solucao:
¸˜

9 9 9 9 9
Sao em numero de 10 os algarismos a serem utilizados. Os numeros que estamos formando nao podem
˜ ´ ´ ˜
comec ar por zero. Logo, existem 9 possibilidades para o primeiro algarismo da esquerda. O algarismo
¸
adjacente nao pode ser igual ao ja utilizado, portanto, 9 possibilidades (o zero que nao entrou anterior-
˜ ´ ˜
´ ˜
mente pode, agora, ser, tambem, esse algarismo). Da mesma forma sao as possibilidades dos demais
algarismos.

A resposta e, portanto, 9 · 9 · 9 · 9 · 9 = 95 .
´

Exemplo 3.12. Calcule o numero de divisores do numero α = 23 · 32 · 54 .
´ ´

Solucao: Para formar um divisor de n, primeiramente, devemos escolher um dos fatores entre 20 ,
¸˜
21 , 22 , 23 , portanto, 4 possibilidades. Outro fator desse divisor deve ser escolhido entre 30 , 31 , 32 , por-
tanto, 3 possibilidades. Finalmente, um terceiro fator deve ser escolhido entre 50 , 51 , 52 , 53 , 54 , logo, 5
possibilidades.

De acordo com o princ´pio fundamental o numero de divisores de n e 4 · 3 · 5 = 60.
ı ´ ´

Nota 7. De modo geral, o numero de divisores de α = 2k1 · 3k2 · 5k3 · 7k4 · . . . · p kn , em que p e
´ ´
´
primo, e
(k1 + 1) · (k2 + 1) · (k3 + 1) · (k4 + 1) · . . . · (kn + 1).
46

Exemplo 3.13. Quantas sequencias de 5 algarismos podemos formar com os algarismos 0 e 1?
¨ˆ

Solucao: Exemplos de algumas dessas sequencias: (0, 0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 0, 0), etc.
¸˜ ¨ˆ

O primeiro termo pode ser 0 ou 1. Deste modo, duas possibilidades. O segundo termo pode ser 0 ou 1.
Assim, duas possibilidades.

˜ ¨ˆ
Da mesma forma sao as possibilidades dos demais termos. Conclu´mos que o numero de sequencias
ı ´
e 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 = 32.
´

3.1.2 Exerc´
ıcios Propostos

3.1. Numa festa existem 90 homens e 80 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados?

3.2. Uma prova consta de 20 questoes do tipo verdadeiro ou falso. De quantas formas diferentes uma
˜
pessoa podera responder esses 20 testes?
´

3.3. Quantos divisores inteiros e positivos possui o numero 360?
´

3.4. Quantos divisores inteiros e positivos do numero 360 sao pares?
´ ˜

3.5. Quantos divisores inteiros e positivos do numero 360 sao ´mpares?
´ ˜ ı

3.6. O conjunto A possui n elementos. Quantas sao as funcoes f : A → A bijetoras?
˜ ¸˜

3.7. O conjunto A possui 4 elementos, o conjunto B , 7 elementos. Quantas funcoes f : A → B existem?
¸˜
˜
Quantas delas sao injetoras?

3.8. Dispomos de 5 cores distintas. De quantos modos podemos colorir os quatro quadrantes de um
´ ´ ˜
c´rculo, cada quadrante de um so cor, se quadrantes cuja fronteira e uma linha nao podem receber a
ı
mesma cor?

3.9. As placas dos većulos sao formados por tres letras (de um alfabeto de 26 letras) seguidas por 4
ı ˜ ˆ
˜
algarismos. Quantas placas poderao ser formadas?

3.10. Um vagao do metro tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros,
˜ ˆ
4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais nao tem preferencia. De quantos
˜ ˆ ˆ
ˆ
modos eles podem se sentar, respeitadas as preferencias?

3.11. Quantos sao os numeros pares de tres d´gitos distintos?
˜ ´ ˆ ı

3.2 Princ´
ıpio de Indu¸õ Finita
ca

¸˜ ´ ´
Como podemos demonstrar que uma proposicao e verdadeira para qualquer numero natural? e uma
´
´ ´ ¸˜
pergunta basica no fazer da matematica. Existem algumas proposicoes que seguem diretamente de leis
´ ´
da aritmetica, como por exemplo, a identidade algebrica:

(n + 1)2 = n2 + 2n + 1, ∀n ∈ N

´ ¸˜ ´ ˜ ˜
Porem as proposicoes mais interessantes e de teor aritmetico mais genuńo nao sao como este simples
ı
exemplo. Como podemos demonstrar por exemplo, que a soma de todos os numeros de 0 ate n e igual a
´ ´ ´
n(n+1)
2 ?
47

´

´ ˜ ¸˜ ´ ´
E claro que nao podemos demonstrar uma proposicao de carater geral provando apenas que ela e
verdadeira quando o numero em questao e 1, ou 2 ou 3 e assim sucessivamente, porque nao e poss´vel
´ ˜ ´ ˜ ´ ı
¸˜ ´ ˜ ¸˜
efetuar infinitas verificacoes. Mesmo que tivessemos efetuado milhoes de verificacoes estarámos ainda
ı
muito longe de garantir a veracidade no caso geral.

¸˜ ´ ´ ´ ´
A inducao matematica e um metodo de prova matematico usado para demonstrar a verdade de um
¸˜ ¸˜ ¸˜ ´
numero infinito de proposicoes. A formulacao mais simples e mais comum de inducao matematica foi feita
´
por Peano e diz:

Seja N um conjunto de numeros naturais e dado um natural n, indiquemos por S (n) seu sucessor
´
(n + 1). Se:

Para cada numero natural n ∈ N , se S (n) ∈ N , entao N = N, isto e, N e o conjunto de todos os
´ ˜ ´ ´
naturais.

Partindo deste princ´pio, seja P (n) um enunciado que depende de uma variavel n ∈ N e suponhamos
ı ´
que sejam satisfeitas as seguintes propriedades:

i) O enunciado P (1) e valido.
´ ´

ii) Se o enunciado P (k ) vale entao o enunciado P (k + 1) tambem vale.
˜ ´

Entao o enunciado e valido para todos os numeros naturais. Nesse caso entao P (n) e valido para todo
˜ ´ ´ ´ ˜ ´ ´
n ≥ 1.

3.2.1 Como demonstrar que uma proposi¸õ ´ verdadeira por indu¸õ?
ca e ca

¸˜ ¸˜
Para demonstrar a veracidade de uma proposicao por inducao devemos seguir os seguintes passos:

¸˜ `
a) Verifica-se que a proposicao e verdadeira para n=1;

b) Supoe-se que a proposicao e verdadeira para k ;
˜ ¸˜ ´

¸˜ ´
c) Se verifica que a proposicao e verdadeira para k+1

¸˜ ´ ¸˜
O passo a) e chamado BASE DA INDUCAO e o passo b ) e chamado HIPOTESE DA INDUCAO.
´ ´

´ ´ ˆ
Uma maneira util para entender esse problema e pensar ao efeito domino: se voce tem uma longa fila
´
´ ´ ˆ
de dominos em pe e voce puder assegurar que:

´ ´ ´ ´ ´ ´ ˜ ˆ
O primeiro domino caira. Sempre que um domino cair, seu proximo vizinho tambem caira. entao voce
´ ˜
pode concluir que todos os dominos cairao.
n(n+1)
Exemplo 3.14. Provar que a soma Sn dos n+1 primeiros numeros naturais e igual a
´ 2 .

¸˜ ´
Solucao: A propriedade que temos que provar e que

n(n + 1)
Sn = 0 + 1 + 2 + 3 + . . . + (n − 1) + n =
2

¸˜
Primeiro passo: Verificar a base da inducao
48

0(0 + 1)
S0 = 0 =
2

´ ¸˜
Segundo passo: Hipotese da inducao:

Suponhamos que a propriedade Sn e verdadeira para todo n = k ≥ 0. Isto e,
´ ´

k (k + 1)
Sk = .
2

Queremos provar que esta propriedade tambem e verdadeira para todo n = k + 1, isto e que
´ ´ ´

(k + 1) (k + 1) + 1 ¢

(k + 1)(k + 2)
Sk +1 = = .
¡

2 2

Sk +1 = 0 + 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) =
= Sk + (k + 1)
k (k + 1)
= + (k + 1) Pela hipotese da inducao
´ ¸˜
2
k (k + 1) + 2(k + 1)
=
2
(k + 1)(k + 2)
=
2

Assim pelo princ´pio da inducao P (n) e verdadeira para todo n ≥ 1.
ı ¸˜ ´ 2

Exemplo 3.15. Provar que 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 .

´
Nossa propriedade e:

P (n) : 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2

¸˜
Base da Inducao:

P (1) : 1 = 12

P (2) : 1 + 3 = 4 = 22

´ ¸˜
Hipotese da inducao:

Suponhamos que a propriedade P (n) e verdadeira para todo n = k ≥ 0, isto que:
´

P (k ) : 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2

queremos provar que P (n) tambem e verdadeira para n = k + 1, ou seja que
´ ´

P (k + 1) : 1 + 3 + 5 + . . . + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2

De fato,
49

´

P (k + 1) : 1 + 3 + 5 + . . . + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) =
= P (k ) + (2(k + 1) − 1)
= k 2 + (2k + 1)
= (k + 1)2

Assim pelo princ´pio da inducao P (n) e verdadeira para todo n ≥ 1.
ı ¸˜ ´

3.3 Arranjo e Permuta¸õ
ca

3.3.1 Arranjo

3.65 Defini¸õ. Seja S um conjunto de m elementos, onde m e um inteiro positivo. Um arranjo de p
ca ´
(p < m) elementos de S e um agrupamento, de forma que os p elementos sejam distintos entre si pela
´
´ ´ ˜ ¸˜
ordem ou pela especie. O arranjo e simples, se nao ocorre repeticao de qualquer elemento, em caso
´ ´ ¸˜ ´ ¸˜
contrario, isto e, se existe repeticao de algum elementos, e chamado de arranjo com repeticao.

Nota 8. Usaremos AS para indicar arranjo simples, e AR para arranjo com repeticao.
¸˜

Exemplo 3.16. Seja Z = {a, b , c , d } com m = 4 e p = 2. Os arranjos simples desses 4 elementos
tomados 2 a 2 sao 12 grupos que nao podem ter a repeticao de qualquer elemento mas que podem
˜ ˜ ¸˜
˜
aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estao no conjunto:

AS = {ab , ac , ad , ba, bc , bd , ca, cb , cd , da, db, dc }

¸˜
Nota 9. Em um arranjo com repeticao todos os elementos podem aparecer repetidos em cada
grupo de p elementos.

Exemplo 3.17. Seja Z = {a, b , c , d }, m = 4 e p = 2. Os arranjos com repeticao desses 4 elemen-
¸˜
tos, tomados 2 a 2, sao 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os
˜
˜
agrupamentos estao no conjunto:

AR = {aa, ab , ac , ad , ba, bb , bc , bd , ca, cb, cc , cd , da, db , dc , dd }

3.66 Defini¸õ. Um arranjo e chamado de condicional se todos os elementos aparecem em cada grupo
ca ´
de p elementos, mas existe uma condicao que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.
¸˜

Exemplo 3.18. Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {a, b , c , d , e , f , g } comecam com duas
¸
letras escolhidas no subconjunto {a, b , c }?

Solucao: Aqui temos um total de m = 7 letras, a taxa e p = 4, o subconjunto escolhido tem m1 = 3
¸˜ ´
elementos e a taxa que este subconjunto sera formado e p1 = 2. Com as letras a,b e c , tomadas 2 a 2,
´ ´
temos 6 grupos que estao no conjunto: Pabc = {ab , ba, ac , ca, bc , cb }. Com as letras d , e , f e g tomadas 2
˜
a 2, temos 12 grupos que estao no conjunto: Pdef g = {de , df , dg , ed , ef , eg , f d , f e , f g , g d , g e , g f }
˜
50

3.3.2 Fatorial

3.67 Defini¸õ. Dado um inteiro positivo n definimos o fatorial de n, que denotamos por n!, por:
ca

1 , n=0
n! =
n · (n − 1)! , n = 0

Assim, se estamos interessados em calcular 5!, devemos calcular 4! e multiplicar por 5, mas para
calcular 4! e necessario calcular 3!, que depende do calculo de 2!, que a sua vez depende de calcular 1!,
´ ´
que e igual a 1, ja que 1! = 1 · (1 − 1)! = 1 · 0! = 1 · 1 = 1. Portanto, para calcular 5! temos que:
´ ´
3!
¢ ¤¥ £
¡
5! = 5 · 4! = 5 · 4 · 3! = 5 · 4 · 3 · 2! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.
¥ ¤¢ ¡
£ ¥ ¤¢ ¡
£
4! 2!

Nota 10. Em geral, para todo inteiro positivo n, temos:

n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1.

Por exemplo, 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5.040.

3.3.3 Permuta¸oes Simples
c˜

´ ¸˜ ´
Poucos problemas de Combinatoria que, embora sejam aplicacoes do princ´pio basico de contagem,
ı
¨ˆ ´
aparecem com muita frequencia. O primeiro desses problemas e exibido no seguinte exemplo:

Exemplo 3.19. De quantos modos podemos ordenar em fila n objetos distintos?

´ ¸˜
O problema que foi enunciado anteriormente e conhecido como Problema das Permutacoes Simples.
A escolha do objeto que ocupara o primeiro lugar pode ser feita de n modos; a escolha do objeto que
´
ocupara o segundo lugar pode ser feita de n − 1 modos; a escolha do objeto que ocupara o terceiro lugar
´ ´
pode ser feita de n − 2 modos; etc. Assim, a escolha do objeto que ocupara o ultimo lugar pode ser feita
´ ´
de 1. Isto e, cada vez que ocupamos uma posicao, o seguinte perde para uma, portanto a Resp. para este
´ ¸˜
´
problema e:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 2 · 1.

´ ´ ¸˜
Podemos dizer que cada ordem que se da aos objetos e chamada de uma permutacao simples dos
objetos. Assim, por exemplo, as permutacoes das letras a, b e c , sao:
¸˜ ˜

(abc ), (acb ), (bac ), (bca), (cab ) e (cba).

No total temos 6 permutacoes simples. Portanto, o numero de permutacoes simples de n objetos distintos,
¸˜ ´ ¸˜
isto e, o numero de ordens em que podemos colocar n objetos distintos e exatamente Pn = n!.
´ ´ ´

Exemplo 3.20. Quantos anagramas sao poss´veis com as letras da palavra AMOR?
˜ ı

Solucao: O numero de arranjos e P4 = 24 e o conjunto solucao e:
¸˜ ´ ´ ¸˜ ´

{AMOR , AMRO , AROM , ARMO , AORM , AOMR , MARO , MAOR ,
MROA, MRAO , MORA, MOAR , OAMR , OARM , ORMA, ORAM ,
OMAR , OMRA, RAMO , RAOM , RMOA, RMAO , ROAM , ROMA}

51

´

Exemplo 3.21. Quantos sao os anagramas da palavra “calor”? Quantos comec am por consoante?
˜ ¸

Solucao: Cada anagrama corresponde a uma ordem de colocacao dessas 5 letras. Portanto, o numero
¸˜ ¸˜ ´
de anagramas e P5 = 5! = 150. Agora, para formar um anagrama comec ado por consoante devemos
´ ¸
primeiramente escolher a consoante, existem 3 modos de fazer a eleicao e, depois, arrumar as quatro letras
¸˜
restantes em seguida a consoante, que representam 4! = 24 modos. Entao, ha 3 × 24 = 72 anagramas
` ˜ ´
comec ados por consoante.
¸

Exemplo 3.22. De quantos modos podemos dividir 8 objetos em um grupo de 5 objetos, e um de 3
objetos?

Solucao: Um processo de fazer a divisao e colocar os objetos em fila; os 5 primeiros formam o grupo
¸˜ ˜ ´
de 5 e os 3 ultimos formam o grupo de 3. Ha 8 modos de colocar os objetos em fila. Entretanto, note que
´ ´
filas como abcde |f g h e badce |g hf sao filas diferentes e geram a mesma divisao em grupos. Cada divisao
˜ ˜ ˜
em grupos foi contada uma vez para cada ordem dos objetos dentro de cada grupo. Ha, entao 5!3! modos
´ ˜
de arrumar os objetos em cada grupo. Cada divisao em grupos foi contada 5!3! vezes. Assim, a Resp. e
˜ ´
8!
= 56.
5!3!

3.3.4 Exerc´
ıcios Propostos

3.12. Quantos sao os anagramas da palavra “BOTAFOGO”?
˜

3.13. De quantos modos podemos arrumar em fila 5 livros diferentes de Matematica, 3 livros diferentes de
´
Estat´stica e 2 livros diferentes de F´sica, de modo que livros de uma mesma materia permanec am juntos?
ı ı ´ ¸

3.14. Se A e um conjunto de n elementos, quantas sao as funcoes f : A → A injetoras?
´ ˜ ¸˜

3.15. Quantas sao as permutacoes simples dos numeros 1, 2, 3, . . . ,10?
˜ ¸˜ ´

3.16. Permutam-se, de todos os modos poss´veis os algarismos, 1, 2, 4, 6 e 7, e escreve-se os numeros
ı ´
assim formados em ordem crescente.
(a) Que lugar ocupa o numero 62.417?
´ (c) Qual o 200◦ algarismo escrito?
(b) Qual o numero que ocupa o 66◦ ?
´ (d) Qual a soma dos numeros assim formados?
´
3.17. De quantos modos e poss´vel sentar 7 pessoas em cadeiras em fila de modo que duas determinadas
´ ı
pessoas dessas 7 nao fiquem juntas?
˜

3.18. De quantos modos podemos dividir 12 pessoas:
(a) Em dois grupos de 6? (d) Em seis grupos de 2?
(b) Em tres grupos de 4?
ˆ (e) Em dois grupos de 4 e dois grupos de 2
(c) Em um grupo de 5 e um grupo de 7? (f) Em quatro grupos de 3?
3.19. Quantos dados diferentes podemos formar gravando numeros de 1 a 6 sobre as faces indistingu´veis
´ ı
de um cubo de madeira?

3.20. Um campeonato e disputado por 12 clubes em rodadas de 6 jogos cada. De quantos modos e
´ ´
poss´vel selecionar os jogos de primeira rodada?
ı

3.21. Quantas sao as permutacoes simples dos numeros 1, 2, . . . , n nas quais o elemento que ocupa a
˜ ¸˜ ´
k -esima posicao e inferior a k + 4 para todo k ?
´ ¸˜ ´
52

3.22. Quantas sao as permutacoes simples dos numeros 1, 2, . . . , n nas quais o elemento que ocupa a
˜ ¸˜ ´
k -esima posicao e maior que k − 3, para todo k ?
´ ¸˜ ´

3.4 Gabarito
3.1. 7.200. 3.2. 220 = 1.048.576. 3.3. 24. 3.4. 18. 3.5. 6. 3.6. n!. 3.7. 2.401 e 840. 3.8. 260. 3.9. 175.760.000. 3.10. 43.200.
3.11. 328. 3.12. 6.720. 3.13. 8.640 3.14. n!. 3.15. 10!. 3.16. (a) 81◦ ; (b) 46.721; (c) 1 n ´ umero; (d) 5.333.280. 3.17. 3.600. 3.18.
(a) 462; (b) 5.775; (c) 792; (d) 10.395; (e) 51.975; (f) 51.975. 3.19. 30. 3.21. 6 · 4 n−3 . 3.22. 2 · 3n−2 .

Combina¸õ,
ca Permuta¸õ
ca e
Binˆmio de Newton
o

4.1 Combina¸õ
ca

˜ ´ ´
Um motivo tao mundano quanto os jogos de azar e que acabou levando ao desenvolvimento da Analise
´
Combinatoria. A necessidade de calcular o numero de possibilidades existentes nos jogos gerou o estudo
´
´ ´
dos metodos de contagem. Grandes matematicos se ocuparam com o assunto: o italiano Niccollo Fontana
(1.500 − 1.557), conhecido como Tartaglia, e os franceses Pierre de Fermat (1.601 − 1.665) e Blaise Pascal
(1.623 − 1.662).

´ ´ ´
Como dissemos acima, a Analise Combinatoria visa desenvolver metodos que permitam contar – de
uma forma indireta – o numero de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob cer-
´
tas condicoes. Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p < m) de forma que os p elementos
¸˜
´
sejam distintos entre si apenas pela especie.

´
O segundo problema importante e o seguinte:

Exemplo 4.1. De quantos modos podemos selecionar p objetos distintos entre n objetos distintos dados?

´ ¸˜
O problema que enunciamos anteriormente e conhecido como Problema das Combinacoes Simples.
¸˜ ´ ˜ ¸˜
Nele uma Combinacao simples e quando nao ocorre a repeticao de qualquer elemento em cada grupo
de p elementos. Cada selecao de p objetos e chamada de uma Combinacao Simples de Classe p dos n
¸˜ ´ ¸˜
objetos.

Para resolver o problema das combinacoes simples basta notar que selecionar p objetos entre n objetos
¸˜
dados e equivalente a dividir n objetos em grupo de p objetos, que sao selecionados, e um grupo de n − p
´ ˜
˜ ˜ ˜ ´
objetos, que sao nao selecionados. Entao temos as seguinte formula:

p n!
Cn,p = Cn = .
p !(n − p )!

Exemplo 4.2. Seja C = {a, b , c , d }, m = 4 e p = 2. As combinacoes simples desses 4 elementos
¸˜
tomados 2 a 2 sao 6 grupos que nao podem ter a repeticao de qualquer elemento nem podem aparecer na
˜ ˜ ¸˜
˜
ordem trocada. Todos os agrupamentos estao no conjunto:

CS = {ab , ac , ad , bc , bd , cd }
53

´

´
Solucao: Usando a formula para o exemplo acima, temos:
¸˜

4! 24
C4,2 = = = 6.
2!(4 − 2)! 4

Exemplo 4.3. Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissoes de 5 pessoas, com pelo menos 3
˜
homens, podem ser formadas?

Solucao: Ha comissoes com: 3 homens e 2 mulheres, 4 e 1 mulher, 5 homens. Entao
¸˜ ´ ˜ ˜

C5,2 · C4,2 + C5,4 · C5,5 = 10 · 6 + 95 · 4 + 1 = 81.

Assim, podemos formar 81 comissoes.
˜

Exemplo 4.4. De quantos modos 5 criancas podem formar uma roda de ciranda?
¸

¸˜ `
Solucao: A primeira vista parece que para formar uma roda com as cinco crianc as basta escolher uma
¸
ordem para elas, o que poderia ser feito 5! = 120 modos. Entretanto, as rodas ABC DE e E ABC D sao
˜
iguais, pois na roda o que importa e a posicao relativa das crianc as entre si e a roda ABC DE pode ser
´ ¸˜ ¸
virada na roda E ABC D . Como cada roda por der virada de cinco modos, a contagem de 120 rodas contou
120
cada roda 5 vezes e a resposta e
´ = 24.
5
Exemplo 4.5. Quantas sao as solucoes inteiras e nao-negativas da equacao x1 + . . . + xn = p ?
˜ ¸˜ ˜ ¸˜

Solucao: A resposta deste problema e representada por Cn,p .
¸˜ ´

4.1.1 Exerc´
ıcios Propostos

n
4.1. Determine n para que k ! seja um quadrado perfeito.
k =1

4.2. Uma faculdade realiza seu vestibular em dois dias de provas, com 4 materias em cada dia. Este ano
´
˜ ´ ˆ ˆ ´
a divisao: Matematica, Portugues, Biologia e Ingles no primeiro dia e Geograﬁa, Historia, F´sica e Qu´mica
ı ı
´
no segundo. De quantos modos pode ser feito o calendario de provas?

4.3. Quantos sao os numeros naturais de 7 d´gitos nos quais o d´gito 7 ﬁgura exatamente 3 vezes e o
˜ ´ ı ı
d´gito 8 exatamente 2 vezes?
ı

4.4. De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um grupo
de 7 homens e 4 mulheres?

4.5. Uma comissao formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser escolhida em um grupo de 8 homens e
˜
5 mulheres.

˜
(a) Quantas comissoes podem ser formadas?

˜ ˜
(b) Qual seria a resposta se um dos homens nao aceitasse participar da comissao se nela estivesse
determinada mulher?

4.6. Para a selecao brasileira foram convocados dois goleiros, 6 zagueiros, 7 meios de campo e 4 ata-
¸˜
cantes. De quantos modos e poss´vel escalar a selecao com 1 goleiro, 4 zagueiros , 4 meios de campo e
´ ı ¸˜
2 atacantes?
54

4.7. Quantas diagonais possui:
(a) um octaedro regular? (d) um cubo?
(b) um icosaedro regular? (e) um prisma hexagonal regular?
(c) um dodecaedro regular?

4.8. Em um torneio no qual cada participante enfrenta todos os demais uma unica vez, sao jogadas 780
´ ˜
˜
partidas. Quantos sao os participantes?

4.9. Sejam Im = {1, 2, . . . , m} e In = {1, 2, . . . , n}, com m ≤ n. Quantas sao as funcoes f : Im → In
˜ ¸˜
estritamente crescentes?

4.10. Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos. De quantos modos
eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos, se cada um deve convidar 6 pessoas?

4.2 Permuta¸˜o Circular
ca

Quando queremos saber o numero de modos de colocar n objetos em c´rculo, considerando que as
´ ı
¸˜
possibilidades que possam coincidir por rotacao sejam consideradas iguais, em outras palavras estamos
querendo calcular o numero de permutacoes circulares de n objetos, que denotamos por: PC (n). Essa
´ ¸˜
¸˜ ´
permutacao e dada por:
n!
PC (n) = = (n − 1)!
n
Exemplo 4.6. Seja um conjunto com 4 pessoas Z = {a, b , c , d }. De quantos modos distintos estas
˜
pessoas poderao sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que
¸˜ ¸˜
haja repeticao das posicoes?

¸˜ ´ ¸˜
Solucao: Se considerassemos todas as permutacoes simples poss´veis com estas 4 pessoas, ter´amos
ı ı
24 grupos, apresentados no conjunto:

PC (4) = {abcd , abdc , acbd , acdb , adbc , adcb, bacd , badc , bcad , bcda, bdac , bdca, cabd ,
cadb , cbad , cbda, cdab , cdba, dabc , dacb , dbac , dbca, dcab, dcba}

Acontece que junto a uma mesa “circular” temos que:

abcd = bcda = cdab = dabc
abdc = bdca = dcab = cabd
acbd = cbda = bdac = dacb
acdb = cdba = dbac = bacd
adbc = dbca = bcad = cadb
adcb = dcba = cbad = badc

Existem somente 6 grupos distintos, dados por:

PC (4) = {abcd , abdc , acbd , acdb , adbc , adcb}.

4!
Note que PC (4) = = (4 − 1)! = 3! = 6.
4
55

´

4.2.1 Exerc´
ıcios Propostos

4.11. De quantas formas 8 sinais “+” e 4 sinais “-” podem ser colocados em uma sequencia?
¨

4.12. Se uma pessoa gasta exatamente um minuto para escrever cada anagrama da palavra ESTAT´STICA,
I
´ ˜
quanto tempo levara para escrever todos, se nao deve parar nenhum instante para descansar?

4.13. Uma moeda e lanc ada 20 vezes. Quantas sequ
´ ¸ encias de caras e coroas existem, com 10 caras e 10
¨ˆ
coroas?

4.14. Uma urna contem 3 bolas vermelhas e 2 amarelas. Elas sao extra´das uma a uma sem reposicao.
´ ˜ ı ¸˜
Quantas sequencias de cores podemos observar?
¨

4.15. Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele so pode dar um passo
´
de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). Partindo da origem e passando pelo ponto A(3, 1), quantas
trajetorias existem ate o ponto B (5, 4)?
´ ´

4.3 O Triˆngulo Aritm´tico de Pascal (ou de Tartaglia)
a e

Comec aremos esta sec com seguinte observacao: para todo numero real n, desde que p seja um
¸ ¸˜
ao ¸˜ ´
¸˜
inteiro positivo, faz sentido a seguinte operacao:
n · (n − 1) · . . . · (n − p + 1)
.
p!
Definiremos, entao, para qualquer n real e qualquer p inteiro nao-negativo o binomial de n sobre p por
˜ ˜
n · (n − 1) · . . . · (n − p + 1)
.
p!

n
No caso em que n seja um inteiro nao-negativo o binomial de n sobre p coincide com Cp e sera denotado
˜ ´
n
por

p ¡
.

¸˜ ¸˜ ˆ ´
Partindo da definicao de combinacoes, podemos construir o seguinte triangulo, que e conhecido na
ˆ ´
literatura como Triangulo de Tartaglia-Pascal (Tartaglia, Nicolo Fontana (1.500−1.557), matematico italiano,
´ ˆ ¸˜ ´
e Pascal, Blaise, matematico, filosofo e f´sico frances). Sua formacao esta baseada em os diversos valores
ı
p
de Cn

0
C0 1
0 1
C1 C1 1 1
0 1 2
C2 C2 C2 1 2 1
0 1 2 3
C3 C3 C3 C3 1 3 3 1
0 1 2 3 4
C4 C4 C4 C4 C4 1 4 6 4 1
0 1 2 3 4 5
C5 C5 C5 C5 C5 C5 1 5 10 10 5 1
.
. .
. .
. .
. .
. .
. .. . . .
. . . . . .
. . . ..
. . . . . . . . . . . . . .

´ p
E importante observar que, numerando as linhas e colunas a partir de zero, Cn aparece na linha n e
coluna p .

A relacao que permite construir o triangulo e conhecida como relacao de Stifel, (Stifel, Michael (1.487 −
¸˜ ˆ ´ ¸˜
1.567, algebrista alemao) que afirma que somando dois elementos lado a lado no triangulo obtem-se o
˜ ˆ ´
elemento situado embaixo do da direita. Isto queda expressado pelos seguintes teoremas.
56

4.68 Teorema (Rela¸õ de Stifel). Para todo p e todo n, inteiros positivos tais que p < n, se verifica que:
ca

p +1
Cn + Cn +1 = Cn+1 .
p p

¸˜
Com a relacao de Stifiel temos a garantia que Somando dois elementos consecutivos de uma mesma
linha obtemos o elemento situado abaixo da ultima parcela
´

4.69 Teorema (Rela¸õ das Combina¸oes Complementares). Para todo p e todo n, inteiros positivos tais que
ca c˜
p < n,
Cn = Cn −p .
p n

¸˜ ¸˜
A relacao das combinacoes complementares pode ser interpretado como: Em uma mesma linha do
ˆ ˜
triangulo de Pascal, elementos equidistantes dos extremos sao iguais.
¨

4.70 Teorema (das Linhas). Para todo inteiro positivo n,

0
Cn + . . . + C n = 2 n .
n

4.71 Teorema (das Colunas). Para todo p e todo n, inteiros positivos tais que p < n,

p p p +1
Cp + . . . + Cp+n = Cp+n+1 .

Exemplo 4.7. Um palacio tem 7 portas. De quantos modos pode ser aberto o palacio?
´ ´

1 2
Solucao: C7 conta os modos de abrir o palacio abrindo uma so porta, C7 conta os modos de abrir o
¸˜ ´ ´
palacio abrindo duas portas, assim temos C7 + . . . + C7 = 27 − C7 = 128 − 1 = 127.
´ 1 7 0

4.3.1 Exerc´
ıcios Propostos

4.16. Usando a relacao de Stifel, escreva as sete primeiras linhas do triangulo de Pascal.
¸˜ ˆ

4.17. Determine um conjunto que possua exatamente 48 subconjuntos.

4.18. Tem-se n comprimidos de substancias distintas, soluveis em agua e que nao podem reagir entre
ˆ ´ ´ ˜
¸˜
si. Quantas solucoes distintas podem ser obtidas dissolvendo-se um ou mais desses comprimidos em um
´
copo com agua?

n
k
4.19. Calcule (k + 1)Cn
k =0

4.20. Prove, por inducao, o Teorema das Linhas.
¸˜

4.21. Calcule o valor da soma S = 50 · 51 + 51 · 52 . . . + 100 · 1001.

4.22. Qual e o valor da soma S = 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + . . . + 50 · 51 · 52?
´

4.23. Qual e valor da soma S = 12 + 22 + . . . + n2 ?
´

4.24. Calcule o valor da soma s = 2 · 12 + 5 · 22 + 8 · 23 + . . . + (3n − 1) · n2

4.25. Se A possui 512 subconjuntos, qual e o numero de elementos de A?
´ ´
14 14
4.26. Resolva a equacao
¸˜

2x ¡
=

2x −1 ¡
.

57

´

4.4 O Binˆmio de Newton
o

´
Queremos desenvolver um metodo para expandir o seguinte produto:

(x + a)n = (x + a) · (x + a) · (x + a) · . . . · (x + a) .
¡ £ ¤¢ ¥
n vezes

Para expandir um produto deste tipo, deve-se tomar os seguintes cuidados:

Todos os membros terao o termo x e, tambem, o termo a. Ou seja, deve existir x · a em todos os termos;
˜ ´

ˆ
A soma dos expoentes de cada membro deve ser igual ao expoente do binomio;

¨ˆ ´ ˆ ¸˜
Toma-se a sequencia numerica obtida no triangulo referente ao numero de combinacoes usado e
´
distribui-se ordenadamente.

Deste modo, para n = 2, temos:

(x + a)2 = x 2 a0 + x 1 a1 + x 0 a2 .

Lembrando que qualquer numero elevado a zero e igual a 1 e que nao e necessario colocar o expoente
´ ´ ˜ ´ ´
quando for igual a 1, temos:
(x + a)2 = x2 + xa + a2 ,

´ ¸˜ ˆ
ou seja, so falta saber os coeﬁcientes da equacao. Para tanto usaremos o Triangulo de Pascal

n Coeﬁcientes
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 74 116 116 74 36 9 1
10 1 10 45 110 190 232 190 110 45 10 1

´ ˜
Deste modo, como imaginavamos, temos, entao:

(x + a)2 = x 2 + 2xa + a2 .

Analogamente, obtemos:

ˆ
Binomio ˜
Expressao expandida
(x + a)2 1x 2 a0 + 2x 1 a1 + 1x 0 a2
(x + a)3 1x 3 a0 + 3x 2 a1 + 3x 1 a2 + 1x 0 a3
(x + a)4 1x 4 a0 + 4x 3 a1 + 6x 2 a2 + 4x 1 a3 + 1x 0 a4

Generalizando, temos o seguinte teorema.
58

4.72 Teorema. Se x e a sao numeros reais e n e um inteiro positivo, entao
˜ ´ ´ ˜

n
n
(x + a) = Ck ak x n−k .
n

k =0

Prova. Temos que (x + a)n = (x + a)(x + a) . . . (x + a).

Cada termo do produto e obtido escolhendo-se em cada parenteses um x ou um a e multiplicando-se
´ ˆ
os escolhidos. Para cada valor de k , 0 ≤ k ≤ n, se escolhermos a em k dos parenteses, x sera escolhido
ˆ ´
em n − k dos parenteses e o produto sera igual a ak x n−k (0 ≤ k ≤ n). Isso pode ser feito de Ck modos.
ˆ ´ n

entao (x + a)n e uma soma onde ha, para cada k ∈ 1, . . . , n, Ck iguais a ak x n−k .
˜ ´ ´ n
2

Observe que:

i. O teorema e valido para o binomio (x − a)n , a ≥ 0.
´ ´ ˆ

ii. O desenvolvimento de (x + a)n possui n + 1 termos.

iii. Os coeficientes do desenvolvimento de (x + a)n sao os elementos de linha n do triangulo de Pascal.
˜ ˆ

iv. Escrevendo os termos do desenvolvimento na ordem acima, o termo de ordem k + 1 e
´

Tk +1 = Ck ak x n−k .
n

´
Este termo e chamado Termo Geral.
7
1
Exemplo 4.8. Determine o coeficiente de x 3 no desenvolvimento de x 4 − .
x

¡

´ ´
Solucao: O termo generico do desenvolvimento e
¸˜
p
p −1 p
C7 (x 4 )7−p = C7 (−1)p x 28−5p .
x

¡

O termo em x 3 e obtido se 28 − 5p = 3, isto e, se p = 5.
´ ´
8
1
Exemplo 4.9. Qual o termo independente de x no desenvolvimento de x − ?
x

¡

´ ´
Solucao: O termo generico do desenvolvimento e
¸˜
p
p −1 p
C8 x 8−p = C8 (−1)p x 8−2p .
x

¡

Para que este termo seja independente de x , devemos ter 8 − 2p = 0. Assim, p = 4. Portanto, o termo
´
procurado e:
4
−1
C8 x 4
4
= 70.
x

¡

4.4.1 Exerc´
ıcios Propostos
120
1
4.27. Calcule o termo maximo do desenvolvimento de 1 +
´ .
2

¡

4.28. Prove que 100150 > 9950 + 10050.
9
1
4.29. Determine o coeficiente de x2 no desenvolvimento de x 3 − .
x2

¡

59

´

n
1
4.30. Para que valores de n o desenvolvimento de 2x 2 − possui um termo independente de x .
x3

¡

10
1
4.31. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de x 2 +
x3

¡

n

n k
4.32. Calcule x
k ¡
k =0

n

n k
4.33. Calcule k x .
k ¡
k =0

4.5 Gabarito
4.1. n = 1 e n = 3. 4.3. C7 · C4 · 82 − C6 · C3 · 8 = 12.960 4.4. 371 4.5. a)560; b)434 4.6. 6.300 4.7. (a) 3, (b) 36, (c) 100,
3 2
4.2. 3 2

m 20! (a + b )!
(d) 4, (e) 18 4.8. 40 4.9. Cn 4.10. 267.148 4.11. 495 4.12. 577 dias e meio. 4.13. . 4.14. 10. 4.15. . 4.16.
¢£ ¦ §¥ 10! · 10! a! · b !
£ 1 ¦
£ ¦
£ 1 1 ¦
£ 1 2 1
¦
£¤ ¦
1 3 3 1 4.17. Imposs´ıvel, pois ao existe n natural tal que 2n = 48. 4.18. 2n − 1.. 4.19. 2n−1 (n + 2).
˜
n
1 4 6 4 1
¨
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
n(n + 1)(2n + 1) (n + 1)n(9n2 + 5n − 2
4.21. 301.750. 4.22. 1.756.950. 4.23. . 4.24. . 4.25. 9. 4.26. x = 1 ou x = 5. 4.27.
6 12
40
C120
. 4.28. 4.29. −126. 4.30. n deve ser um m ´ ao-negativo de 5.
ultiplo n˜ 4.31. 210. 4.32. (1 + x )n . 4.33. nx (1 + x )n−1 .
240

60

Atividade Orientada

6.1 Etapa 1

ˆ ˜ ˜
Nas tres questoes seguintes, veriﬁque se os ´tens indicados sao verdadeiros ou falsos e assinale a
ı
¨ˆ
sequencia verdadeira.

Questao 6.1.1.
˜

( ˆ
) Uma reta e um plano secantes tem um unico ponto comum.
´

( ´ ´
) Se uma reta e paralela a um plano, ela e paralela a inﬁnitas retas do plano.

( ˜ ˜ ˜
) Se duas retas distintas sao paralelas a um plano, entao elas sao paralelas entre si.

( `
) Por um ponto fora de uma reta passa um unico plano paralelo a reta.
´

(a) FFFV (b) VVVF (c) VVFF (d) VFVF

Questao 6.1.2.
˜

( ´ ˜ ˜
) Se uma reta e paralela a dois planos, entao esses planos sao paralelos.

( ˜ ˜ ´
) Se dois planos distintos sao paralelos, entao uma reta de um deles e paralela ao outro.

( ˜ ˜ ´
) Se dois planos sao secantes, entao qualquer reta de um deles e concorrente com o outro.

( ˆ
) Dois planos distintos paralelos tem um ponto comum.

(a) FFFV (b) VFVF (c) VVFV (d) FVFF

Questao 6.1.3.
˜

( ´ ˜ ´
) Se uma reta e perpendicular a duas retas paralelas e distintas de um plano, entao ela esta contida
no plano.

( ´
) Uma reta perpendicular a um plano e perpendicular a todas as retas do plano.

( ˜ ` ´
) Uma reta e um plano sao perpendiculares. Toda reta perpendicular a reta dada e paralela ao plano
´
ou esta contida nele.

( ˜
) Uma reta e um plano, perpendiculares a uma outra reta em pontos distintos, sao paralelos.

( ´ ´
) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares e necessario que eles sejam secantes.

(a) FFVVV (b) VFVFF (c) VFVFV (d) FVFFV

61

´

Questao 6.1.4. Um poliedro de sete vertices tem cinco angulos tetraedricos e dois angulos pentaedricos.
˜ ´ ˆ ´ ˆ ´
Quantas arestas e quantas faces tem o poliedro?

Questao 6.1.5. O “cubo-octaedro” possui seis faces quadradas e oito triangulares. Determine o numero
˜ ´
´ ´
de faces, arestas e vertices desse solido euleriano.

˜
Questao 6.1.6. Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos angulos das
ˆ
faces e igual a 2.160◦. Determine o numero de faces de cada especie desse poliedro, sabendo que ele tem
´ ´ ´
15 arestas.

Questao 6.1.7. Demonstre que, em qualquer poliedro convexo, e par o numero de faces que tem numero
˜ ´ ´ ˆ ´
´mpar de lados.
ı

Questao 6.1.8. Calcule a diagonal de um paralelep´pedo retangulo de dimensoes y , (y + 1) e (y − 1).
˜ ı ˆ ˜

Questao 6.1.9. Ache a natureza de um prisma, sabendo que a soma dos angulos das faces e 32 retos.
˜ ˆ ´

˜
Questao 6.1.10. A altura de um prisma reto mede 15 cm; e a base e um triangulo cujos lados medem
´ ˆ
4 cm, 6 cm e 8 cm. Calcule a area lateral e o volume do solido.
´ ´

˜
Questao 6.1.11. Calcule o volume e a area total de um prisma cuja base e um triangulo equilatero de
´ ´ ˆ ´
6 dm de per´metro, sendo a altura do prisma o dobro da altura da base.
ı

Questao 6.1.12. Calcule a area lateral e total de uma piramide quadrangular regular, sendo 7 m a medida
˜ ´ ˆ
do seu apotema e 8 m o per´metro da base.
´ ı

Questao 6.1.13. Calcule o volume de uma piramide regular hexagonal, sendo 6 cm a medida da aresta
˜ ˆ
da base e 10 cm a medida da aresta lateral.

6.2 Etapa 2

˜
Questao 6.2.1. Com uma prancha retangular de 8 cm de largura por 12 cm de comprimento podemos
construir dois cilindros, um segundo o comprimento e outro segundo a largura. Determine em qual dos
´
casos o volume sera menor.

Questao 6.2.2. Um suco de frutas e vendido em dois tipos de latas cil´ndricas: uma de raio r cheia ate
˜ ´ ı ´
a altura h e outra de raio r /2 e cheia ate a altura 2h. A primeira e vendida por R 3, 00 e a segunda por 1, 60.
´ ´
Qual a embalagem mais vantajosa para o comprador?

˜
Questao 6.2.3. Calcule a area total e o volume de um cone equilatero, sabendo que a area lateral e
´ ´ ´ ´
igual a 24π cm2 .

Questao 6.2.4. Determine a altura de um cone, sabendo que o desenvolvimento de sua superf´cie lateral
˜ ı
e um setor circular de 135◦ e raio igual a 10 cm.
´

Questao 6.2.5. Determine a area e o volume de uma esfera de 58 cm de diametro.
˜ ´ ˆ

Questao 6.2.6. Determine a distancia polar de um c´rculo menor de uma esfera, sendo 10 cm o raio da
˜ ˆ ı
esfera e 6 cm a distancia do c´rculo ao centro da esfera.
ˆ ı

62

UTILIZANDO GEOMETRIA NAS EMBALAGENS

Caro(a) estudante,
Nesta etapa da Atividade Orientada, pretendemos desenvolver algumas atividades em que buscaremos
˜ ¸˜ ¸ ´
es ¸˜
ampliar a compreensao da relacao plano/espac o, em Geometria, atrav de uma de suas aplicacoes mais
´
usuais na pratica cotidiana: as embalagens.

O que vai trabalhar?

´ ´
I. Poliedros e Superfćies de Solidos Geometricos
ı
´ ´
(a) Identificar os Poliedros ou Superfćies de Solidos Geometricos;
ı
¸˜ ´
(b) Classificacao dos objetos geometricos;
¸˜
(c) Identificacao dos elementos;
¸˜
(d) Planificacao;
¸˜
(e) Construcao a partir de figuras planas.

´ ´
II. Modelagem Matematica atraves da geometria das embalagens.

´
PROPOSTA METODOLOGICA

´
Realizar a atividade nos mesmos grupos do Seminario Presencial III e socializar as respostas na tutoria.

Procedimentos:

´ ´
I. Poliedros e Superfćies de Solidos Geometricos
ı
´ ´
(a) Identificar os Poliedros ou Superfćies de Solidos Geometricos;
ı
Selecionar, no mńimo, 5 (cinco) embalagens de formatos diferentes, como caixa de sapato, leite,
ı
conservas, etc. e identificar as que mais se aproximam/assemelham aos Poliedros ou Superfćies
ı
´ ´ ˜
de Solidos Geometricos. As embalagens devem ser de papelao ou similar para que possam ser
desmontadas.
¸˜ ´
(b) Classificacao dos objetos geometricos;
´
Com as embalagens identificadas na proposta anterior, classificar os objetos geometricos de acordo
com os tipos estudados.
¸˜
(c) Identificacao dos elementos
´
Identificar elementos da geometria pertinentes aos solidos, tais como: linha (paralelas, perpendicu-
ˆ
lares, etc.), plano, segmentos, congruentes, angulos, etc.
¸˜
(d) Planificacao
´
Planificar essas caixas e encontrar a area da superfćie e o volume.
ı
´ ¸˜
(e) ATIVIDADE PRATICA: Construcao a partir de figuras planas
´
Usando uma folha de cartolina, cada equipe devera projetar e construir uma embalagem de modo a
´
obter o menor desperdćio de cartolina e o maximo de capacidade da embalagem.
ı

´ ´
II. Modelagem matematica atraves da geometria das embalagens
63

´

Problematiza¸õ: Selecionar duas embalagens de mesma capacidade e formatos diferentes, conforme
ca
¸˜
descricao a seguir:

ˆ
- uma em forma de paralelep´pedo retangulo;
ı

- outra de forma cilńdrica.
ı

´
Obs.: O ideal e que se trabalhe com embalagens de mesmo produto, como: leite condensado; polpa
de tomate; molhos; etc.

Procedimento:

´ ´ ´ ˜
1. Coletar os dados necessarios para o calculo das areas de superfćies das embalagens. ( Sugestao:
ı
ˆ
Para calcular o raio da base da embalagem cilńdrica, medir o comprimento da circunferencia).
ı

´
2. Encontrar a area de superfćie das duas embalagens planificadas e comparar os resultados obtidos.
ı

Considera¸õ: Considerando o fator economico, desperdćio de material, a embalagem que obtiver a
ca ˆ ı
´ ´ ´
menor area representara um modelo matematico.

Questionamentos:

(a) Qual das duas embalagens desperdic a menos material poss´vel na sua construc
¸ ı ˜
¸ A forma cilńdrica
ao? ı
ou a forma retangular?

´ ´
(b) Justificando a resposta utilizando calculos matematicos.

Para refletir: (Liberte sua mente)

ˆ ´ `
Naturalmente, voce percebeu que o modelo matematico buscou atender a necessidade real de quanti-
´ ´
dade de materia prima utilizada nas embalagens a partir de conceitos de medidas de area e de superfćie.
ı
ˆ ´ ¸˜ ´
Mas, voce ha de convir que outras intencoes podem gerar outros modelos matematicos. Portanto, liberte
˜
sua mente e viaje em outros questionamentos que partem de outras intencionalidades e sao pass´veis de
ı
´ ¸˜ ´
fazer emergir novos modelos matematicos: - E se a intencao fosse criar uma estetica diferente de em-
¸˜ ¸˜
balagem para atrair a atencao dos consumidores? - E se a intencao fosse criar a embalagem ideal para
` ˜ ¸˜
adequar-se a anatomia da mao favorecendo a praticidade do uso do produto? - E se a intencao fosse
¸˜
acondicionar o maior numero de unidades de produto em caixas maiores? - E se a intencao fosse oferecer
´
um servic o de uso individual? E de uso familiar? E de uso industrial?
¸

´ ˆ ¸˜ ´
Agora e com voce! Use sua imaginacao, signifique a geometria e descubra modelos matematicos.
Liberte sua mente!

64

6.3 Etapa 3

Questao 6.3.1. Quantos anagramas existem da palavra AMARILIS?
˜

Questao 6.3.2. Se uma pessoa gasta exatamente um minuto para escrever cada anagrama da palavra
˜
´ ´ ˜
ESTATISTICA, quanto tempo levara para escrever todos, se nao deve parar nenhum instante para des-
cansar?

˜
Questao 6.3.3. De quantos modos e poss´vel colocar 5 rapazes e 4 moc as em fila de modo que as
´ ı ¸
moc as permanec am juntas?
¸ ¸

˜
Questao 6.3.4. Quantos sao os anagramas da palavra ESTUDO que comec am por vogal e terminam
˜ ¸
por consoantes?

Questao 6.3.5. De quantas formas 20 alunos podem ser colocados em 4 classes A, B , C e D ficando 5
˜
alunos por classe?

Questao 6.3.6. Um baralho tem 52 cartas. De quantos modos podemos distribu´-las entre 4 jogadores,
˜ ı
de modo que cada um receba 13 cartas?

˜
Questao 6.3.7. De quantas formas 15 pessoas podem ser divididas em 3 times, com 5 pessoas por
time?

Questao 6.3.8. Um grupo de 10 viajantes para para dormir num hotel. So havia 2 quartos com 5 lugares
˜ ´
cada um. De quantas formas eles puderam se distribuir para dormir naquela noite?
√ √
Questao 6.3.9. Desenvolva ( x − y )4 usando o teorema binomial.
˜

Questao 6.3.10. Qual o coeficiente de x 6 no desenvolvimento de (x 2 + x −3 )8 ?
˜
10
1
Questao 6.3.11. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de x 3 −
˜ .
x2

¡

12 12
Questao 6.3.12. Sendo a equacao
˜ ¸˜ = , calcule p .
p+3 ¡ p−1 ¡

65

´
Fundamentos da Matematica IV ˆ ´
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Referˆncias Bibliogr´ﬁcas
e a
´ ˜
[1] MORGADO, Augusto Cesar de Oliveira. CARVALHO, Joao Bosco Pitombeira de. CARVALHO, Paulo
´ ´ ´
Cezar Pinto. FERNANDEZ, Pedro. Analise Combinatoria e Probabilidade. Brasil: SBM.

[2] LIMA, Elon Lages. CARVALHO, Paulo Cezar Pinto de. WAGNER, Eduardo. MORGADO, Augusto
´ ´ ´
Cesar. A Matematica do Ensino Medio — Vol. 2. Rio Janeiro, Brasil: SBM, 1.998.

´
[3] LIMA, Elon Lages. CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. WAGNER, Eduardo. MORGADO, Augusto Cesar.
´ ´
A Matematica do Ensino Medio — Vol. 3. Rio de Janeiro, Brasil: SBM, 1.998.

´ ´ ˜
[4] DOLCE, Osvaldo. POMPEO, Jose Nicolau. Fundamentos de Matematica Elementar - Vol. 10. Sao
Paulo, Brazil: ATUAL, 1993.

66

FTC – EaD
ˆ ¸˜ ˆ
Faculdade de Tecnologia e Ciencias – Educacao a Distancia
¸˜
Democratizando a educacao.
www.ftc.br/ead

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