Este documento apresenta os fundamentos de funções afins, quadráticas, exponenciais e logarítmicas. Inclui definições dessas funções, propriedades, gráficos e resolução de equações envolvendo essas funções. O documento é dividido em seções tratando separadamente de funções afins e quadráticas, funções exponenciais e funções logarítmicas. Exercícios são fornecidos no final de cada seção para aplicação dos conceitos apresentados.

1. 3ª edição
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA II

2. F UNDAMENTOS
DA
M ATEMÁTICA II

3. SOMESB
Sociedade Mantenedora de Educação Superior da Bahia S/C Ltda.
Presidente Gervásio Meneses de Oliveira
Vice-Presidente William Oliveira
Superintendente Administrativo e Financeiro Samuel Soares
Superintendente de Ensino, Pesquisa e Extensão Germano Tabacof
Superintendente de Desenvolvimento e
Planejamento Acadêmico Pedro Daltro Gusmão da Silva
FTC-E A D
Faculdade de Tecnologia e Ciências – Ensino a Distância
Diretor Geral Reinaldo de Oliveira Borba
Diretor Acadêmico Roberto Frederico Merhy
Diretor de Tecnologia Jean Carlo Nerone
Diretor Administrativo e Financeiro André Portnoi
Gerente Acadêmico Ronaldo Costa
Gerente de Ensino Jane Freire
Gerente de Suporte Tecnológico Luís Carlos Nogueira Abbehusen
Coord. de Softwares e Sistemas Romulo Augusto Merhy
Coord. de Telecomunicações e Hardware Osmane Chaves
Coord. de Produção de Material Didático João Jacomel
E QUIPE DE E LABORAÇÃO / P RODUÇÃO DE MATERIAL D IDÁTICO
Produção Acadêmica
Autor Adriano Pedreira Cattai
Rui de Jesus Santos
Gerente de Ensino Jane Freire
Supervisão Ana Paula Amorim
Coordenador de Curso Geciara da Silva Carvalho
Revisão Final Adriano Pedreira Cattai
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.
Produção Técnica
Edição em LATEX 2ε Adriano Pedreira Cattai
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.
Revisão de Texto Carlos Magno
Coordenação João Jacomel
Alexandre Ribeiro, Cefas Gomes, Clauder Filho, Delmara
Brito, Diego Doria Aragão, Diego Maia, Fábio Gonçalves,
Equipe Técnica Francisco França Júnior, Hermínio Filho, Israel Dantas,
Lucas do Vale, Marcio Serafim, Mariucha Ponte, Ruber-
val Fonseca e Tatiana Coutinho.
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4. Sumário
Funções Afim, Quadráticas, Exponenciais e Logarítmicas 6
Funções Afins e Quadráticas 6
Definições Elementares 6
1.1 Função Par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Função Ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Função Crescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Função Decrescente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Função Sobrejetora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Função Injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Função Bijetora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8 Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.9 Função Periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.10 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A Função Afim 11
1.11 O Gráfico da Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.12 Sinal de uma Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.13 A Inversa da Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.14 Apêndice 1: Modelagem Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.15 Apêndice 2: Crescimento e Decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.16 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
A Função Quadrática 20
1.17 A Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.18 Raízes de uma Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.19 Extremo de uma Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.20 Sinal de uma Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.21 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.22 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Funções Exponenciais e Logarítmicas 28
Função Exponencial 28
2.1 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Potência de Expoente Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Propriedades das Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Equações Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 A Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1 Representação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Inequações Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3

5. Fundamentos da Matemática II
Função Logarítmica 36
2.8 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.9 Logaritmos: Definição e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.9.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.10 Equações Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.11 A Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.12 Gráfico da Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.13 Inequações Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.14 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Funções Trigonométricas e Outras Elementares 43
Funções Trigonométricas 44
Trigonometria 44
3.1 Relações Trigonométricas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Arcos Côngruos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Funções Trigonométricas 48
3.3 As Funções Seno e Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Outras Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Outras Funções Elementares 53
Outras Funções Elementares 53
4.1 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Função Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Funções Definidas por mais de uma Sentença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 Função Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.6 Função Recíproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Atividade Orientada 60
5.1 Etapa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Etapa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Etapa 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4

6. Apresentação de Disciplina
Caro aluno,
Damos-lhe boas vindas ao curso de Fundamentos de Matemática II.
Ao colocarmos este material à disposição de educadores e de alunos
que se preparam para o magistério, é nossa intenção destacar alguns
dos temas usualmente vistos no ensino médio, a exemplo das funções
elementares: afim, quadrática, exponencial e logarítmica. Buscamos,
tanto quanto possível, ilustrá-los mediante exemplos e interessantes apli-
cações que, sem dúvida alguma, tornarão mais instigantes e agradáveis
de estudá-los. Conforme verá, adotamos uma abordagem bem simples
e elementar. Evitamos o emprego de fórmulas, mesmo nas demon-
strações, preferindo, ao invés disso, um constante apelo ao raciocínio
lógico-dedutivo na obtenção de nossos resultados.
Ao longo do texto, inserimos questões para reflexão. Sugerimos
que pare, ao encontrá-las em sua leitura, e as considere com bastante
atenção. Incluímos, também, exercícios resolvidos e atividades comple-
mentares, bem como, no final deste trabalho, um bloco de atividades
orientadas como parte de sua de avaliação individual.
E, é claro, registramos nossa gratidão, ainda que previamente, por
quaisquer observações ou comentários sobre o trabalho, para que pos-
samos aprimorá-lo continuamente. Uma boa leitura, portanto, e boa sorte
na carreira que escolheu.
Prof. Rui Santos
5

7. Fundamentos da Matemática II
Funções Afim, Quadráticas, Exponenciais
e Logarítmicas
Funções Afins e Quadráticas
Definições Elementares
Na disciplina Fundamentos de Matemática I, a definição de uma função real a uma variável foi apresen-
tada da seguinte forma:
Uma função real é um objeto matemático que, a cada número x de um subconjunto A dos
números reais, associa um único número f (x ) de um subconjunto B dos números reais.
Em outras palavras:
f : A → B é função ⇔ ∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B ; y = f (x ).
O conjunto A é chamado de domínio da função f ; o conjunto dos números reais contido em B que
estão associados por f é chamado o conjunto imagem (ou simplesmente, a imagem) de f ; e o conjunto B
é chamado de contradomínio da função.
As seguintes notações foram estabelecidas:
1. f : A → B para dizer que se trata da função real cujo domínio é o conjunto A.
2. x → f (x ) para dizermos que f associa o número f (x ) ∈ B ao número x ∈ A.
3. Dom(f ) representa o domínio de f , e CD(f ) o contra-domínio.
4. Im(f ) representa a imagem de A, e se C ⊂ A, indicaremos por f (C ) o conjunto dos números f (x ),
com x ∈ C , que é chamado de imagem de C .
Neste primeiro tema, detalharemos duas funções especiais, a saber: a Função Afim e a Função
Quadrática. Antes disto, vejamos as seguintes definições:
6

8. 1.1 Função Par
y
y = f(x)
Dizemos que uma função f : (−c , c ) → R é uma função par, se
f (−x ) = f (x ), ∀ x ∈ (−c , c ).
Um exemplo bem simples de função par é f (x ) = x 2 . Seu gráfico é
exibido ao lado. -a a x
f(a) = f(-a)
De fato, o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Ou ainda:
f (−x ) = (−x )2 = x 2 = f (x ).
1.2 Função Ímpar
Dizemos que uma função f : (−c , c ) → R é uma função ímpar, se
f (−x ) = −f (x ), ∀ x ∈ (−c , c )
A função g (x ) = x 3 é um exemplo de função ímpar, pois, g (−x ) = (−x )3 = −x 3 = −g (x ).
Nota 1. Uma função pode não satisfazer uma destas duas definições. De fato, seja a função
definida por h(x ) = x − x 2 . Assim,
´
h(−x ) = −x − (−x )2 = −x − x 2 = h(x )
h(−x ) = −x − x 2 = −x + x 2 = −h(x )
Nota 2. Qualquer função com domínio simétrico em relação à origem pode ser escrita como
soma de uma função par com uma função ímpar:
fI (x )
Þ ß
f (x ) + f (−x ) f (x ) − f (−x )
f (x ) = fP (x ) + fI (x ) = + ,
2
ßÞ 2
fP (x )
em que a função fP (x ) é uma função par e fI (x ) é uma função ímpar. Verifique!
Se considerarmos a função h(x ) = x − x 2 , exibida acima, então,
x − x2 − x − x2
fP (x ) = = −x 2
2
x − x 2 − (−x − x 2 ) x − x2 + x + x2
fI (x ) = = −x 2 = = x,
2 2
ou seja, h(x ) = fP (x ) + fI (x ).
7

9. Fundamentos da Matemática II
1.3 Função Crescente
y
f(x)
Uma função f é crescente
f(b)
se ∀ a, b ∈ Dom(f ), a < b , então f (a) < f (b ).
f(a)
a b x
1.4 Função Decrescente
y
Uma função f é decrescente f(a) f(x)
se ∀ a, b ∈ Dom(f ), a < b , então f (a) > f (b ).
f(b)
a b x
1.5 Função Sobrejetora
Uma função é sobrejetora quando todo o contradomínio possui um elemento correspondente em seu
domínio, isto é, o conjunto imagem e o contradomínio são coincidentes. Em símbolos, se f : A → B , então:
∀ y ∈ B , ∃ x ∈ A; y = f (x ).
1.6 Função Injetora
Uma função f : A → B é injetora se, e somente se, elementos distintos no domínio possuem, como
imagem, elementos distintos no contradomínio. Em símbolos:
x1 , x2 ∈ A, x1 = x2 , ⇒ f (x1 ) = f (x2 ).
Nota 3. Uma outra maneira de exibir esta mesma condição é a através da sua contra-positiva,
ou seja,
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
8

10. y
y = f(x) Esta expressão afirma que cada elemento y da imagem da
função f provém de um único elemento x do seu domínio. Uma
maneira visual de interpretar este fato é pelo chamado teste da
linha horizontal. Se a linha interceptar o gráfico da função em
mais de um ponto, então existem pontos distintos no domínio tal
que suas imagens são iguais.
x
1.7 Função Bijetora
Uma função é bijetora se é, simultaneamente, injetora e sobrejetora. Deixamos a representação sim-
bólica deste conceito como exercício.
1.8 Função Inversa
Este é um conceito aplicável somente às funções bijetoras. Seja f : A → B uma função bijetora, ou
seja, para cada y ∈ B , existe exatamente um valor x ∈ A tal que y = f (x ). Assim, podemos definir uma
função g : B → A tal que x = g (y ). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f , a
qual denotaremos por f −1 . Em outras palavras:
f −1 : B → A
y → x = f −1 (y )
y
y y=x
a2
b2
A
B
a1
b1
a1 a2 x
A b1
B b2 x
f : A → B f −1 : B → A
a → b = f (a) b → a = f −1 (b )
1.9 Função Periódica
Dizemos que uma função f é periódica se existe um número real p = 0 tal que f (x + p ) = f (x ) para
todo x ∈ Dom(f ). O menor número p que satisfaz f (x + p ) = f (x ) é chmado de período da função f . O
gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento |p |.
9

11. Fundamentos da Matemática II
y
6
Na disciplina Fundamentros da Matemática III, veremos que as
funções f (x ) = sen(x ) e g (x ) = cos(x ) são funções periódicas
de período 2π.
A figura ao lado ilustra o gráfico de uma função periódica de
período 4.
-6 -2 2 6 x
1.10 Exercícios Propostos
√
1.1. Para que valor de x , f (x ) = x + 2 é igual a 6? e 0?
1.2. Verifique que a correspondência entre os valores x e y = f (x ), dados pelos conjuntos abaixo, não
definem uma função.
x2 y2
(a) R1 = {(x , y ) ∈ Z × Z; x 2 + y 2 = 4} (c) R3 = (x , y ) ∈ Z × Z; + =1
9 4
(b) R2 = {(x , y ) ∈ N × Z; x − y 2 = 0}
(d) R4 = {(x , y ) ∈ N × Z; x 2 − y 2 = 0}
1.3. Exiba os domínios das seguintes funções:
x 2
(a) f (x ) = + 1 (d) f (x ) = √
3 1−x
1 2x − 1
(b) f (x ) = (e) f (x ) = 2
x x −4
√ √ √
1−x x − x 2 − 25
(c) f (x ) = (f) f (x ) =
2 x
1.4. Decida se cada função é par, ímpar ou nem par e nem ímpar.
1
(a) f (x ) = x 5 (b) f (x ) = (c) f (x ) = x 3 − x (d) f (x ) = 5 − x 2
x2
1.5. Mostre que as funções abaixo não são nem pares e nem ímpares, e expresse-as como uma soma de
uma função par com uma função ímpar.
1
(a) g (x ) = x 2 − x (b) h(x ) = x 2 +
x
1.6. Dada uma função qualquer f : [−a, a] → R, mostre que:
(a) a função g definida por g (x ) = f (x ) + f (−x ) é uma função par;
(b) função h definida por h(x ) = f (x ) − f (−x ) é uma função ímpar.
1.7. Suponha f e g duas funções dadas. Então, definem-se as seguintes funções:
f f (x )
(f ± g )(x ) = f (x ) ± g (x ), (f · g )(x ) = f (x ) · g (x ) e (x ) = (g (x ) = 0).
g g (x )
√ √
Considere agora, que f (x ) = x − 2 e g (x ) = 16 − x 2 . Determine:
f
(i) (a) (f + g )(x ); (b) (f · g )(x ); (c) (x )
g
(ii) os domínios das funções do item (i)
10

12. 1.8. Ao analisar a função real f definida por f (x ) = x 2 + 4x − 12, podemos afirmar que f é injetora?
Justifique a resposta.
Gabarito
Questão. 1.1. 34 e −2 Questão. 1.3. (a) R . (b) R − {0}. (c) {x ∈ R; x ≤ 1} . (d) {x ∈ R; x < 1}. (e) R − {±2}. (f) {x ∈ R; x ≥ 5}.
Ô Ô Õ
√ x −2
Questão. 1.4. (a) Par. (b) Par. (c) Ímpar. (d) Par. Questão. 1.7. (i.a) x − 2 + 16 − x 2 . (i.b) (x − 2) · (16 − x 2 ). (i.c) .
16 − x 2
(ii.a) {x ∈ R; 2 ≤ x ≤ 4}. (ii.b) {x ∈ R; x ≤ −4 ou 2 ≤ x ≤ 4}. (ii.c) {x ∈ R; x < −4 ou 2 ≤ x < 4}. Questão. 1.8. Não, pois
f (2) = f (−6) = 0.
A Função Afim
Chama-se função afim a toda função f : R → R definida por f (x ) = ax + b , em que a e b são números
reais. Lembra-se de algo além deste conceito? Talvez se recorde que os coeficientes "a"e "b "são co-
mumente, e nesta ordem, chamados coeficientes angular e linear. E das condições de crescimento e
decrescimento desta função, sua inversa e condições de existência, e outras propriedades e aplicações?
Revisitaremos este e outros temas aqui - em parte porque vale a pena preencher possíveis lacunas ou,
eventualmente, corrigir uma ou outra imperfeição que assimilamos ao longo de nosso percurso; além disso,
este, afinal é o objeto de seu trabalho como educador. Começaremos com uma situação bem típica, como
escolher uma operadora de telefonia. Suponha - e isto não é mais que uma suposição - que as operadoras
Telemar e Embratel lançaram ao mercado os seguintes produtos:
TELEMAR EMBRATEL
Aparelho Assinatura mensal Aparelho Assinatura mensal
R $ 430, 00 R $ 70, 00 R $ 690, 00 R $ 50, 00
Qual destas opções é mais vantajosa?
Como resposta, experimente descrever cada um desses planos em termos de uma expressão que
forneça o montante pago em função do tempo de assinatura.
Você sabia?
A este trabalho, que busca uma expressão conveniente para a descrição de uma determinada
situação, chamamos modelagem matemática. E isto, em campos tão diversos quanto a Medic-
ina, a Engenharia de Tráfego, otimização, etc., tem sido um campo bem fértil para pesquisas.
Você deve ter obtido expressões do tipo: f (t ) = 70t +430 e g (t ) = 50t +690, respectivamente. É possível
que não se sinta seguro quanto a como se obtiveram estas expressões; neste caso, queira consultar o
Apêndice 1, “Modelagem matemática”. Apresentamos ali, um passo a passo com explicações um pouco
mais detalhadas sobre esse exemplo específico. Aliás, incluiremos, sempre que necessário, uma seção,
ou apêndice, com pormenores adicionais sobre certos cálculos, conceitos, etc. Sinta-se à vontade para
consultá-los.
11

13. Fundamentos da Matemática II
Examinemos a primeira expressão.
Observe que o coeficiente linear, 430, corresponde, precisamente, ao valor inicialmente pago, antes
sequer do primeiro mês de contrato. Em termos mais genéricos, isto nos fornece uma interessante
interpretação para o coeficiente linear numa função afim. Ele corresponde ao valor da função f (t )
avaliado em t = 0.
Quanto ao coeficiente angular, suponhamos que após uma longa pechincha, o gerente da empresa
de telefonia concorda em alterar sua proposta, concedendo um coeficiente angular realmente pro-
mocional. Imagine, então, que a nossa nova função é:
f1 (t ) = 50t + 430.
Compare-a com a anterior, f (t ) = 70t + 430. O que acha que muda no decorrer do contrato? Obvia-
mente, a taxa de crescimento de nosso montante é menor. E isto nos leva a uma óbvia, mas fundamental,
conclusão:
O coeficiente angular, numa função afim,
é o único fator que determina o seu crescimento ou decrescimento.
Nos exemplos que acabamos de ver, ambas as funções
f (t ) = 70t + 430 e f1 (t ) = 50t + 430,
em que ambos os coeficientes angulares são positivos, são crescentes, porém, observe que a velocidade
ou taxa de crescimento mudou.
No apêndice 2, “Crescimento e Decrescimento”, ilustramos com mais detalhes a influência do coefi-
ciente angular sobre a taxa de crescimento ou decrescimento de uma função afim. Queira consultá-lo, se
necessário.
A propósito, o que você supõe que acontece se o coeficiente angular for negativo ou nulo?
Agora é a sua vez!
O movimento de um ponto sobre um eixo chama-se uniforme quando ele percorre espaços iguais em
tempos iguais. Sua velocidade é, por definição, o espaço percorrido na unidade de tempo. Formule
estas definições matematicamente, e obtenha explicitamente a posição f (t ) do ponto em termos de
uma função de t e do ponto de partida.
Uma corrida de táxi custa m reais por km rodado, mais uma taxa fixa de n reais, chamada bandeirada.
Formule, matematicamente, o custo de uma corrida como função do número x de quilômetros per-
corridos.
Um pouco de história
Foi por volta de 1.360 d.C. que um matemático parisiense chamado Nicole Oresme teve um pensamento
brilhante:
12

14. “por que não traçar uma figura que representasse
a maneira pela qual as coisas variam?”
Ali estava um primeiro esboço do que conhecemos hoje como representação gráfica de funções. Este
processo era conhecido, então, como “a latitude das formas”. Oresme usava os termos latitude e longitude
dum modo equivalente à ordenada e à abscissa, e sua representação gráfica assemelhava-se à nossa
geometria analítica. Naturalmente, seu uso de coordenadas retangulares, ou cartesianas, não era novo,
mas a sua representação gráfica de uma quantidade variável, sim.
1.11 O Gráfico da Função Afim
Oresme sabia, já em 1.360 d.C., que a ‘latitude das formas’, ou gráfico, de uma função afim era uma
reta. Aliás, não apenas o gráfico de uma função afim é uma reta, mas, reciprocamente, a toda reta no
plano corresponde uma, e apenas uma, função.
O gráfico da função f (x ) = ax + b é uma reta.
Prova: Suponhamos inicialmente que o gráfico não seja uma reta, ou seja, existem três pontos
A, B e C distintos dois a dois, do gráfico de f que não estão alinhados, conforme figura.
Sejam (x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) e (x3 , y3 ), respectivamente, y
as coordenadas cartesianas destes pontos. Nestas
condições, temos y3 C
y1 = a · x1 + b B b E
y2
y2 = a · x2 + b
y3 = a · x3 + b
A a D
Subtraindo membro a membro, obtemos: y1
y3 − y2 = a(x3 − x2 ) y3 − y2 y2 − y1 x1 x2 x3 x
⇒ = = a.
y2 − y1 = a(x3 − x2 ) x3 − x2 x2 − x1
Observe que
y3 − y2 CE y2 − y1 BD
= = tg β e = = tg α.
x3 − x2 BE x2 − x1 AD
e, então tg β = tg α, ou seja, devemos ter α = β e, portanto, os pontos A, B e C estão neces-
sariamente alinhados. Isso conclui a nossa prova.
Transcrevemos, agora, um resultado fundamental da Geometria Plana que, aplicado ao nosso trabalho,
simplifica, em muito, a representação de uma função.
Dados dois pontos distintos no plano, P1 e P2 existe uma única reta que os contém.
Temos, portanto, que dada uma função afim f (x ) bastam dois pontos (x1 , f (x1 )) e (x2 , f (x2 )) para
representá-la graficamente. Naturalmente, podemos tomar uma seqüência de pontos, construindo uma
tabela e enumerando infinitos valores x1 , x2 , x3 , . . . , xp , . . . , e suas respectivas imagens. É claro, porém,
13

15. Fundamentos da Matemática II
que segundo o resultado acima, todos estes, não importa quais deles tomemos, estarão sobre a mesma
reta.
Uma dica
y
y = ax + b
Lembre-se do que já dissemos sobre o coeficiente linear b : ele indica
o valor da função f (x ) avaliado em x = 0. (0,b)
Isto equivale a dizer que o gráfico de f (x ) = ax + b passa pelo ponto (0, b ). x
( --,0 )
b
a
Queremos, agora, chamar a atenção para o inverso deste processo; isto é, dado um gráfico - neste
caso, uma reta no plano - o nosso trabalho será obter a função afim correspondente. Isto tem numerosas
e interessantes aplicações. O exemplo seguinte ilustra este fato.
Sabe-se, com base em observações, que o peso de uma criança, na faixa de Mês Peso
zero a seis meses, varia linearmente, isto é, o gráfico da função peso P (t ) é uma 2 ◦
4.450 g
reta. Suponha que aos dois e aos cinco meses a criança apresenta o quadro ao lado: 5 ◦
6.700 g
Note que isto corresponde a dois pontos no plano, a
P (peso em gramas)
saber,
P2
6.700 P1 (2, 4.450) e P2 (5, 6.700).
Se uma reta é bem determinada por dois de seus pon-
tos, obviamente, deve ser possível, com os dados que
P1 temos, P1 e P2 , obter a expressão
4.450
f (t ) = at + b ,
1 3 5 t (meses)
que representa a função. Observe como podemos fazê-lo.
Da seguinte identificação y = f (t ) = at + b , escrevemos:
4.450 = a·2+b
6.700 = a·5+b
resultando no seguinte sistema de equações:
2a + b = 4.450
5a + b = 6.700
Observe que os valores a determinar, desta vez, são os coeficientes angular e linear da função. Ao resolvê-
lo, você terá obtido a expressão que fornece o peso ideal duma criança, em função de sua idade t e seu
peso ao nascer, que é:
f (t ) = 750t + 2.950.
Há, de fato, inúmeras outras situações que podem ser modeladas em termos de funções afins. Al-
iás, todo e qualquer evento que apresente variação uniforme em função do tempo ou de qualquer outro
14

16. parâmetro x pode ser expresso mediante uma expressão do tipo f (x ) = ax + b . Veremos mais outras
aplicações oportunamente.
Até agora recapitulamos a definição de função afim. Vimos as implicações de seus coeficientes angu-
lar e linear sobre o valor inicial da função, bem como seu crescimento e decrescimento. Consideramos
algumas situações que envolvem modelagem matemática em termos destas funções e, por fim, relem-
bramos interessantes aspectos sobre como representá-la graficamente e, reciprocamente, como obter sua
expressão a partir de seu gráfico. Naturalmente, não esgotamos todo este tópico. Mas esta introdução ao
assunto deve servir como um bom ponto de partida para aplicações e conceitos adicionais.
1.12 Sinal de uma Função Afim
Nos parágrafos anteriores, examinamos o gráfico de uma função afim. Deste exame, obtemos infor-
mações importantes sobre o seu sinal, isto é, quanto aos intervalos em que a função é positiva, negativa
ou nula.
Em primeiro lugar, vimos que a raiz de uma função do primeiro grau f (x ) = ax + b , que corresponde ao
valor de x que anula a função, é dado pela solução da equação ax + b = 0, e corresponde a:
b
x =− .
a
Para qualquer x diferente deste valor, temos que a função ou é positiva ou é negativa, conforme o
crescimento ou decrescimento da função. Considere o exemplo a seguir, em que temos uma função
crescente.
y
Seja f (x ) = 2x − 6 uma função cuja raiz é, evidentemente, x = 3.
Seu gráfico exibimos ao lado.
Note como, para valores maiores do que x = 3, o gráfico da x
3
função se encontra acima do eixo-x , portanto, a função é positiva.
Reciprocamente, para valores menores que 3, a função é negativa.
-6
y
-6
O gráfico ao lado representa desta vez, uma função decrescente:
f (x ) = −2x +6; note como isto afeta a distribuição de sinais da função.
Temos que, para valores maiores do que 3 a função é, desta vez,
3 x
negativa. Isto naturalmente decorre de esta ser uma função decres-
cente.
15

17. Fundamentos da Matemática II
O estudo do sinal de uma função afim de modo algum exige sua representação gráfica. O conhecimento
da raiz da função, e do efeito do sinal do coeficiente angular sobre seu crescimento ou decrescimento é o
bastante.
Applet JAVA
Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, o gráfico de
uma função afim.
A
V
A
1.13 A Inversa da Função Afim
No Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) de Fundamentos de Matemática I, no capítulo sobre
funções, vimos um fato fundamental sobre funções bijetoras: elas, e apenas elas, possuem inversa. Con-
forme deve lembrar, funções bijetoras são aquelas que estabelecem uma
correspondência biunívoca entre seu domínio e seu contra-domínio. Observe como é este o caso de
uma função afim, desde que, naturalmente, não seja constante.
O modo como obtemos a inversa de uma função afim y = f (x ) pode ser descrito como a seguir.
Seja y = ax + b . Desejamos, em primeiro lugar, escrever x em função de y . Isto corresponde a isolar a
variável x no primeiro membro, e pode ser feito assim:
ax + b = y
ax = y −b
y −b y b
x = = − .
a a a
Obtivemos, aqui, uma nova função x (y ) dada pela expressão:
1 b
x (y ) = ·y − .
a a
Não é comum escrever x como função de y . É meramente uma questão de costume entre nós. Portanto,
uma vez obtida a inversa de uma função, intercambiamos as variáveis x e y , de modo a termos y como
função de x , como se costuma escrever.
Assim, escrevemos a inversa em sua forma final:
1 b
y (x ) = ·x − .
a a
Evidentemente, não convém decorar esta expressão. Ao contrário, em cada caso, basta que se façam
as manipulações algébricas necessárias, como ilustramos abaixo:
Seja a função f (x ) = 2x + 4. Para obter sua inversa, isolamos a variável x , no primeiro membro, assim:
y 4
2x + 4 = y ⇔ 2x = y − 4 ⇔ x = − .
2 2
donde
y
x= − 2.
2
16

18. Efetuando, por fim, a substituição sugerida, obtém-se:
x
y= − 2,
2
que é a função inversa desejada.
1.14 Apêndice 1: Modelagem Matemática
Consideremos o caso das operadoras de telefonia, proposto inicialmente em nosso roteiro. Naquele
exemplo, ambas as operadoras cobram um valor inicial pela aquisição do aparelho, de R $ 430, 00 (Telemar)
e R $ 690, 00 (Embratel). O montante pago, no decorrer do contrato é, evidentemente, uma função do
tempo de assinatura. E, no caso das duas operadoras, varia conforme a tabela a seguir, onde indicamos
os valores até o terceiro mês; observe que, em cada coluna, na segunda linha, o valor indicado entre
parênteses corresponde precisamente ao que foi pago no mês precedente. Observe também o modo
como agrupamos e reescrevemos estes valores, na terceira linha. Queremos, com isso, tornar evidente a
expressão genérica que indica o valor da função ‘Montante’ num tempo t qualquer.
TELEMAR
◦
Compra do aparelho 1 mês 2◦ mês 3◦ mês
430 430 + 70 (430 + 70) + 70 (430 + 70 + 70) + 70
430 70 + 430 70 · 2 + 430 70 · 3 + 430
Pare um pouco e pense em como completaria a tabela com os valores do 4◦ e do 5◦ mês. Qual seria o
valor obtido para o 12◦ mês?
Se você percebeu que, em cada mês, há um valor fixo (430), se observou que o valor da assinatura
mensal (70) é, em cada mês, multiplicado pelo correspondente tempo de assinatura t e, por fim, se notou
como esses valores são somados para se obter o montante respectivo, concordará com a expressão que
obtivemos para a nossa função:
f (t ) = 70t + 430.
Faremos o mesmo para a operadora Embratel. Observe cuidadosamente a tabela e compare as duas
expressões obtidas.
EMBRATEL
Compra do aparelho 1◦ mês 2◦ mês 3◦ mês
690 690 + 50 (690 + 50) + 50 (690 + 50 + 50) + 50
690 50 + 690 50 · 2 + 690 50 · 3 + 690
f (t ) = 50t + 690.
1.15 Apêndice 2: Crescimento e Decrescimento
Em nosso roteiro, comparamos as duas expressões:
f (t ) = 70t + 430 e f1 (t ) = 50t + 430
17

19. Fundamentos da Matemática II
e afirmamos que a velocidade ou taxa de crescimento ou decrescimento da primeira, em função do tempo,
é maior. Embora pareça evidente, vamos, inicialmente, ilustrar este fato de um modo bem simples. Con-
sidere a tabela abaixo, em que registramos os valores correspondentes à primeira e à segunda expressão.
f (t ) = 70t + 430 f1 (t ) = 50t + 430
t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=0 t=1 t=2 t=3 t=4
430 500 570 640 710 430 480 530 580 630
Comparando mês a mês os valores calculados em cada expressão, vemos, t |f (t ) − f1 (t )|
conforme ilustrado na tabela ao lado, que a sua diferença aumenta em função 0 0
do tempo. Isto parece confirmar a nossa suposição de que o coeficiente angu- 1 20
lar é o que determina a taxa ou, noutras palavras, o modo de crescimento ou 2 40
decrescimento de uma função afim. Nos casos que examinamos aqui, em que 3 60
o coeficiente angular é positivo, ambas as funções são crescentes. 4 80
Agora é a sua vez!
Preencha numa tabela seguinte, os valores correspondentes à função,
f (t ) = −50t + 430,
em que mantivemos o coeficiente linear, mas tornamos o coeficiente angular negativo. Por
fim, experimente representar as três funções que examinamos aqui num mesmo sistema de
coordenadas.
Em resumo, os dados e informações obtidos ilustram e confirmam um resultado que vimos diversas
vezes no ensino médio: enquanto o coeficiente linear ‘b ’, numa função afim f (x ) = ax + b , indica o valor
‘inicial’ da função, avaliado em x = 0, o coeficiente angular determina o seu crescimento ou decrescimento,
isto é, a função será crescente, decrescente ou constante conforme ‘a’ seja positivo, negativo ou nulo,
respectivamente.
1.16 Exercícios Propostos
1.9. Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f , g , h, p : R → R dadas por:
x
f (x ) = x , g (x ) = 4x , h(x ) = 2x e p (x ) = .
2
1.10. Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f , g , h, p : R → R dadas por:
x
f (x ) = −x , g (x ) = −4x , h(x ) = −2x e p (x ) = − .
2
1.11. Construir o gráfico cartesiano das funções de R em R dadas por:
(a) y = 2x − 1 (c) y = 3x + 2 (e) y = −3x − 4 (g) y = −2x + 3
2x − 3 4 − 3x
(b) y = x + 2 (d) y = (f) y = −x + 1 (h) y =
2 2
1.12. Resolver analítica e graficamente os sistemas de equações:
18

20. x +y = 5 2x − 5y = 9 x + 2y = 1
(a) (c) (e)
x −y = 1 7x + 4y = 10 2x + 4y = 3
3x − 2y = −14 4x + 5y = 2 2x + 5y = 0
(b) (d) (f)
2x + 3y = 4 6x + 7y = 4 3x − 2y = 0
1.13. Obter a equação da reta que passa pelos pontos
(a) (1, 2) e (3, −2) (b) (2, 3) e (3, 5) (c) (1, −1) e (−1, 2) (d) (3, −2) e (2, −3)
1.14. Obter a equação da reta que passa pelo ponto:
(a) (−2, 4) e tem coeficiente angular igual a −3; (c) (−2, 1) e tem coeficiente linear igual a 4;
1
(b) (−3, 1) e tem coeficiente angular igual a − ; (d) (1, 3) e tem coeficiente angular igual a 2.
2
1.15. Especificar, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em R.
(a) y = 1 + 5x (b) y = x + 2 (c) y = −3x − 2
1.16. Das alternativas abaixo, está correta apenas:
(a) Uma função constante é ao mesmo tempo crescente e decrescente;
(b) Se uma função afim não é crescente, então ela é decrescente.
(c) Se uma função afim não é decrescente, então ela é crescente.
(d) Se o conjunto das raízes de uma função constante não é vazio, então é infinito.
1.17. Estudar os sinais das funções, ou seja, para que valores de x a função é positiva, negativa ou nula:
(a) y = 2x + 3 (b) y = −3x + 2 (c) y = 4 − x (d) y = 5 + x
1.18. Dada a função f (x ) = −2x − 5, é correto dizer que:
(a) f não tem raiz, pois o coeficiente de x é negativo; (c) Esta função é decrescente;
1 1
(b) Seu gráfico intersecta o eixo 0x no ponto (−2, 0); (d) Sua inversa é f −1 (x ) = − − .
2x 5
2 x
1.19. Para que valores de x ∈ R a função f (x ) = − é negativa?
3 3
1.20. Determine m de modo que o gráfico da função f (x ) = −2x + 4m + 5, intercepte o eixo-x no ponto de
abscissa 3.
1.21. A unidade de um certo produto fabricado por uma indústria tem custo unitário de R $ 11, 00 e sua
produção tem um custo fixo de R $ 300, 00, devido a taxas de transporte. Qual o custo de 100 unidades
desse produto?
1.22. Construa o gráfico da função:
´
3x + 1 , se x ≥ 1
f (x ) =
1 , se x < 1
1.23. Paulo resolveu montar uma fábrica de bolsas. Calculou que teria uma despesa de R $ 4.000, 00 com
aluguel, manutenção, máquinas, etc., e que o preço de custo de cada bolsa seria R $ 200, 00. Resolveu,
então, fixar o preço em R $ 250, 00, para a venda de cada bolsa. Determine:
(a) O menor número de bolsas que Paulo deve fabricar para não ter prejuízo
19

21. Fundamentos da Matemática II
(b) A quantidade de bolsas que Paulo deverá fabricar para ter um lucro de R $ 110.000, 00
4x − 1
1.24. Sejam as funções f (x ) = 2x + 3, g (x ) = 2 − 3x e h(x ) = definidas em R. Para que valores de
2
x ∈ R, tem-se:
(a) f (x ) ≥ g (x )? (c) f (x ) ≥ h(x )?
(b) g (x ) < h(x )? (d) Ilustre cada item acima graficamente.
Gabarito
34 40
Questão. 1.12. (a) (3, 2). (b) − , . (c) (2, −1). (d) (3, 2). (e) ∅. (f) (0, 0). Questão. 1.13. (a) y = −2x + 4. (b) y = 2x − 1. (c)
13 13
3 1 1 1
y = − + . (d) y = x − 5. Questão. 1.14. (a) y = −3x − 2. (b) y = − x − . (c) y = 4x + 9. (d) y = 2x + 1. Questão. 1.15. (a)
2 2 2 2
crescente. (b) crescente. (c) decrescente. Questão. 1.16. d.
y =0⇒x =−
3
y =0⇒x =
2 ´ ´
2 3 y =0⇒x =4 y = 0 ⇒ x = −5
3 2
Questão. 1.17. (a) y >0⇒x >− . (b) y >0⇒x < . (c) y > 0 ⇒ x < 4 . (d) y > 0 ⇒ x > −5 .
2 3
3 2 y <0⇒x >4 y < 0 ⇒ x < −5
y <0⇒x <− y <0⇒x >
2 3
1
Questão. 1.18. c. Questão. 1.19. x > 2. Questão. 1.20. m = . Questão. 1.21. R $ 1.400, 00. Questão. 1.23. (a) 80. (b) 2.280
4
1 1
Questão. 1.24. (a) x ≥ − . (b) x > . (c) ∀ x .
5 2
A Função Quadrática
O aparelho ao lado chama-se osciloscópio. Ele permite visualizar grafi-
camente sinais elétricos tais como voltagem e corrente elétrica.
I Suponha que ele forneça, num ponto em determinado circuito, o
seguinte sinal representado graficamente ao lado.
Este é um sinal conhecido como ‘dente de serra’ e tem diversas apli-
cações em televisão e outras formas de tratamento de imagens. Observe
atentamente o seu gráfico. Localmente, isto é, tomando-se um intervalo
a b t
adequado - digamos [a, b ] - ele representa uma função afim, cujo estudo
fizemos no capítulo precedente.
Técnicos e engenheiros, em laboratório, ao lidarem com sinais alternados, isto é, variáveis como este,
buscam, freqüentemente, um sinal constante - contínuo - que forneça a mesma potência do sinal original.
Isto corresponde a obter uma equação quadrática conveniente, do tipo que já examinamos, no ensino
médio, há alguns anos. Oportunamente, em seus estudos de cálculo diferencial e integral, você aprenderá
como tratar este exemplo específico. Por ora, relembraremos alguns conceitos básicos sobre essa função
e veremos algumas de suas aplicações mais comuns.
20

22. 1.17 A Função Quadrática
Chamamos função quadrática à relação definida por
f (x ) = ax 2 + bx + c
sendo a, b e c , constantes reais, com a = 0.
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Embora se possa provar este fato, não o faremos
aqui. Apresentamos, porém, uma interessante propriedade que lhe serve de definição:
Considere, no plano, uma reta d e um ponto F
fora dela. Uma parábola é precisamente o conjunto
dos pontos no plano que são eqüidistantes do ponto
P F F e da reta d . O ponto F e a reta d são, respectiva-
mente, o foco e a diretriz da parábola. A reta perpen-
dicular à diretriz, que passa pelo foco, chamamos de
d Eixo da parábola.
P ∈ Parábola ⇔ dist (P , d ) = dist (P , F )
Como fizemos no capítulo precedente, vejamos como os coeficientes a, b , c , numa função quadrática,
determinam o seu comportamento.
Diferentemente dos coeficientes angular e linear duma função afim, as constantes a, b e c não
possuem, na teoria de funções quadráticas, uma designação especial. Elas são comumente
chamadas coeficiente de x 2 , coeficiente de x e termo independente, respectivamente.
A interpretação geométrica do termo independente é de to- y
das, a mais evidente e, portanto, é a que trataremos agora. 4
Tomemos uma função f (x ) qualquer, por exemplo
f (x ) = x 2 + 2x + 1.
1
Observe que ao avaliarmos o valor da função em x = 0, obte-
-3 -2 -1 1 2 x
mos:
f (x ) = (0)2 + 2(0) + 1 = 1.
y
Tomando uma segunda função f (x ) = 2x 2 + 3x + 7, e
avaliando em x = 0, temos:
f (0) = 2 · 02 + 3 · 0 + 7 = 7.
7
5 Podemos, portanto, verificar que se f (x ) = ax 2 + bx + c ,
3
1
então,
x f (0) = a · 02 + b · 0 + c = c .
-2 -1 1 2
21

23. Fundamentos da Matemática II
Se você percebeu, nestes casos, que as duas primeiras parcelas, em x , na expressão, se anulam
em x = 0, deve-se concluir que o termo independente, ’c ’, corresponde precisamente ao valor da função
avaliado na origem. Em termos mais simples, o gráfico da função f (x ) = ax 2 + bx + c corta o eixo-y no
ponto (0, c ). Observe, abaixo, os gráficos das duas primeiras funções.
O coeficiente de x 2 tem uma interpretação um tanto mais significativa. Compare os gráficos das duas
funções e f (x ) = x 2 e g (x ) = −x 2 .
y y
Observamos que o sinal de x 2 deter-
mina a concavidade do gráfico da função. x
Também seu valor absoluto nos fornece
uma interessante informação: quanto
maior, mais fechada será a parábola que
x
a representa, e reciprocamente.
f (x ) = x 2 g (x ) = −x 2
Uma vez entendida a interpretação geométrica dos coeficientes a e c numa função do segundo grau, e
sua relação com o seu gráfico, examinemos, agora os zeros, ou raízes, dessa função.
1.18 Raízes de uma Função Quadrática
Em Fundamentos de Matemática I, relembramos um algoritmo antigo, fórmula de Bhaskara, que nos
permite obter a solução de uma equação do segundo grau. Neste parágrafo, o que antes chamávamos
solução, chamaremos zeros ou raízes da função que, geometricamente, correspondem aos pontos onde o
gráfico corta o eixo-x .
Como exemplo, consideremos a função f (x ) = x 2 − 5x + 4. Suas raízes são obtidas resolvendo-se a
equação x 2 − 5x + 4 = 0, donde x1 = 1 e x 2 = 4. Portanto, o gráfico dessa função corta o eixo-x nos pontos
(1, 0) e (4, 0).
Estas informações são, certamente, valiosas. Porém, não são suficientes para se fazer, de forma mais
precisa, o gráfico de uma função do 2◦ grau.
Outros elementos são necessários para esta construção. Um destes, bastante relevante, é o estudo
dos pontos de máximos e mínimos de uma função quadrática que, juntamente com as informações que
obtivemos acima, nos fornecerá uma idéia mais precisa de sua representação gráfica.
1.19 Extremo de uma Função Quadrática
É bastante intuitivo, ao examinarmos o gráfico de uma função f (x ) do segundo grau, que seu ponto de
máximo ou mínimo ocorre quando o correspondente valor de x , que chamaremos xv se encontra no ponto
médio de suas raízes x1 e x2 , isto é, quando
x1 + x2
xv =
2
Recordemos as expressões de x1 e x2 , dadas pela fórmula de Bhaskara:
√ √
−b + ∆ −b − ∆
x1 = e x2 = .
2a 2a
22

24. Temos, portanto, que, em função dos coeficientes a, b e c da função, o valor de xv é dado por
b
xv = − .
2a
Avaliando-se a função neste ponto, obtemos f (xv ), que corresponde ao valor de máximo ou mínimo da
função, conforme o sinal de a seja positivo ou negativo:
∆
f (xv ) = −
4a
b ∆
O ponto de máximo - ou mínimo - dessa função, dado por − ,− é chamado vértice da parábola.
2a 4a
Até aqui, examinamos a expressão de uma função do 2◦ grau, e obtivemos alguns resultados que
fornecem indicações úteis sobre o seu gráfico. Condensemos, agora, essas informações no seguinte
exemplo:
y
Seja f (x ) = x 2 − 2x − 3. Do exame de seus coeficientes, 4
observamos que: 3
2
• Interseções com os eixos coordenados:
1
1. Oy : (0, −3);
-2 -1 1 2 x
2. Ox : (−1, 0) e (3, 0); -1
-2
• Concavidade: voltada para cima.
-3
• Ponto de mínimo: (1, −4). -4
Para pensar Applet JAVA
É possível que o gráfico de uma função do segundo grau não
intersecte algum dos eixos coordenados? Em que casos isso pode V
A
A
ocorrer?
Observe que este conjunto de informações sobre o gráfico de uma função do 2◦ grau orienta-nos,
similarmente, quanto à sua imagem. Com efeito, se yν = f (xν ) é o valor mínimo de uma função, isto, por
si, subentende o fato de que todos os demais valores assumidos pela função são maiores que yν , donde
escrevemos Im(f ) = {y ∈ R; y ≥ yν }. Claramente, se yν = f (xν ) é o valor máximo da função, seu conjunto
imagem é dado por Im(f ) = {y ∈ R; y ≤ yν }.
1.20 Sinal de uma Função Quadrática
Estudar o sinal de uma função quadrática, basicamente, significa determinar o conjunto de valores de
seu domínio para os quais a função assume valor positivo, negativo ou nulo. No parágrafo acerca de zeros
ou raízes de uma função, examinamos parte desta questão. Restam, portanto, os dois outros casos. Isto,
conforme veremos, resume-se a observar a concavidade da parábola que a representa.
23

25. Fundamentos da Matemática II
y
4
Considere a função f (x ) = x 2 − 4 cujo gráfico está exibido ao
3
lado.
2
Note, em primeiro lugar, que sua concavidade é voltada para cima 1
e, portanto, para valores de x situados entre as duas raízes, o valor
-2 -1 1 2 x
da função é negativo, sendo positivo nos demais intervalos. -1
-2
Esta breve observação é a base da resolução de inequações do
◦ -3
2 grau, conforme veremos abaixo:
-4
Seja a inequação −x 2 + 6x − 5 ≤ 0. O gráfico da função f (x ) = −x 2 + 6x − 5 pode ser visto a seguir.
y
4
2
+
1 3 5 x 1
+ 5
- -2 - - - x
Note as raízes desta função, bem como os intervalos onde ela assume valor negativo. Isto nos fornece
o seguinte conjunto solução para a inequação:
S = {x ∈ R ; x ≤ 1 ∨ x ≥ 5}
1.21 Aplicações
Há muitos problemas que podem ser formulados em termos de equações e funções quadráticas. Con-
sidere os seguintes:
Exemplo 1.1. Um garoto chuta uma bola obliquamente. Sabendo-se que a trajetória da bola é dada pela
função f (x ) = −x 2 + 9x − 8, determine a altura máxima atingida pela bola.
y
12
10
Solução: Apenas como ilustração, esboçamos o
8
gráfico da função ao lado, embora não seja isso um
6
requisito inicial para a resolução da questão.
4
O que se requer, nesse caso, é apenas determi-
2
nar o valor máximo da função, que pode ser obtido
por se determinar f (xv ). -1 1
4 5 8 x
-1
Como vimos,
−b −9
f (xv ) = f =f = f (4, 5) = 12, 25.
2a −2
Exemplo 1.2. Duas torneiras juntas enchem um tanque em 12 horas. Uma delas, sozinha, levaria 10
horas a mais que a outra para enchê-lo. Quantas horas leva cada torneira para encher esse tanque?
24

26. Solução: Convencionemos que uma das torneiras leva x horas para encher o tanque, e que a outra o
1 1
faz em x + 10 horas. Assim, em uma hora, cada torneira contribui, respectivamente, com e do
x x + 10
volume total do tanque. Como, juntas, elas enchem o tanque em 12 horas, temos que, em uma hora, elas
1
enchem do seu volume. Segue que, podemos escrever:
12
1 1 1
+ =
x x + 10 12
Isto resulta na equação do 2◦ grau:
x 2 − 14x − 120 = 0,
cujas soluções são 20 e −6. Uma vez que não há sentido em x = −6 temos que uma das torneiras enche
o tanque em 20 horas, enchendo-o a outra em 20 + 10 + 30 horas.
Propriedade Refletora da Parábola
Há uma interessante propriedade, conhecida já há muitos séculos como “propriedade refle-
tora da parábola”, e que explicaremos aqui da seguinte maneira:
Os raios que incidem na parábola, paralelamente ao seu eixo, são refletidos para seu foco
F ; e inversamente, os raios, partindo do foco F que são incididos na parábola, são refletidos
paralelamente ao seu eixo.
d d
F Eixo F Eixo
Esta propriedade faz com que a parábola tenha várias aplicações práticas. Como exemplo,
citamos as conhecidas antenas parabólicas, que concentram num aparelho receptor os débeis
sinais vindos de um satélite de televisão. Encontramos uma outra aplicação nos faróis dos
automóveis e motocicletas, que são espelhados por dentro. Colocando-se a lâmpada no foco,
seus raios são refletidos em feixes paralelos e bem regulares.
1.22 Exercícios Propostos
1.25. Determinar os zeros reais, quando existir, das funções:
25

27. Fundamentos da Matemática II
(a) f (x ) = x 2 − 3x + 2 √ √
(j) f (x ) = x 2 + (1 − 3)x − 3 (s) f (x ) = 2x 4 + 6x 2 + 4
(b) f (x ) = −x 2 + 7x − 12 (k) f (x ) = 2x 2 − 4x (t) f (x ) = −x 4 + 3x 2 − 3
2
(c) f (x ) = 3x − 7x + 22
(l) f (x ) = −3x 2 + 2 (u) f (x ) = 3x 4 − 12x 2
2
(d) f (x ) = x − 2x + 2
(m) f (x ) = 4x 2 + 3 (v) f (x ) = x 6 − 7x 3 − 8
2
(e) f (x ) = x + 4x + 4 (n) f (x ) = −5x 2 (w) f (x ) = −x 2 − 9
3
(f) f (x ) = −x 2 + x + 1 (o) f (x ) = x 4 − 5x 2 + 4 (x) f (x ) = x 2 − 9x + 8
2
(g) f (x ) = x 2 − 2x − 1 (p) f (x ) = −x 4 + 5x 2 + 36 (y) f (x ) = −x 2 + 9x − 8
(h) f (x ) = −x 2 + 3x − 4 (q) f (x ) = x 4 − x 2 − 6 (z) f (x ) = 2x 2 + x − 1
√ 3
(i) f (x ) = x 2 − 2x + (r) f (x ) = x 4 − 4x 2 + 4
2
1.26. Determinar os valores de m para que a função
(a) f (x ) = mx 2 + (2m − 1)x + (m − 2) tenha dois zeros reais e distintos;
(b) f (x ) = (m − 1)x 2 + (2m + 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos;
(c) f (x ) = (m + 2)x 2 + (3 − 2m)x + (m − 1) tenha raízes reais;
(d) f (x ) = mx 2 + (m + 1)x + (m + 1) tenha um zero real duplo;
(e) f (x ) = x 2 + (3m + 2)x + (m2 + m + 2) = 0 tenha duas raízes reais iguais;
(f) f (x ) = (m + 1)x 2 + (2m + 3)x + (m − 1) não tenha zeros reais.
1.27. Obter uma equação do segundo grau de raízes:
1 −3 √ √ √
(a) 2 e −3 (b) e (c) 0, 4 e 5 (d) 1 e − 2 (e) 1 + 3e1− 3
2 2
1
1.28. Estude as seguintes funções, f1 (x ) = −x 2 + 2x − 1, f2 (x ) = x 2 + 3x − 2 e f3 (x ) = 3x 2 + x + 4, quanto
2
a:
(a) Intersecção com o eixo-y ; (b) Suas raízes e intersecções com o eixo-x ;
(c) Concavidade e pontos de máximo ou mínimo.
1.29. Determinar o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das
funções abaixo definidas em R.
(a) y = 2x 2 + 5x (d) y = −3x 2 + 12x (g) y = −x 2 + 5x − 7
(b) y = −2x 2 − 4x (e) y = 4x 2 − 8x + 4 x2 4x 1
(h) y = − + −
7x 5 2 3 2
(c) y = 2x 2 + 4x (f) y = x 2 − +
2 2
1.30. Dentre todos os números reais de soma 8, determine aqueles cujo produto é máximo.
1.31. Dentre todos os números reais a e b tais que 2a + b = 8 determine aqueles cujo produto é máximo.
1.32. Dentre todos os retângulos de perímetro 20 cm, determine o de área máxima.
1.33. Dentre todos os números de soma 9, determine aqueles cuja soma dos quadrados é mínima.
1.34. Determinar os vértices das parábolas:
(a) y = x 2 − 4 (b) y = −x 2 + 3x (c) y = 2x 2 − 5x + 2
1x 3 2 7x
(d) y = −x 2 + + (e) y = −x 2 + x − (f) y = x 2 − −2
2 2 9 3
26

28. 1.35. Determinar a imagem das seguintes funções definidas em R:
(a) y = x 2 − 3x (b) y = −x 2 + 4 (c) y = 3x 2 − 9x + 6
3x x2
(d) y = −4x 2 + 8x + 12 (e) y = −x 2 + +1 (f) y = +x +1
2 2
1.36. Construir o gráfico cartesiano das funções definidas em R e determinar suas imagens:
(f) y = −3x 2 + 6x − 3 (k) y = −x 2 + 4
(a) y = x 2 − 2x − 3
(g) y = 3x 2 + 5x − 12 (l) y = 3x 2 − 9x + 6
2
(b) y = x − 2x + 3
9 (m) y = −4x 2 + 8x + 12
2 (h) y = x 2 − 3x +
(c) y = −x + 2x + 3 4 3x
(i) y = 3x 2 − 4x + 2 (n) y = −x 2 + +1
(d) y = 4x 2 − 10x + 4 2
x 1 (j) y = x 2 − 3x x2
(e) y = −x 2 − + (o) y = +x +1
2 2 2
1.37. Em cada item da questão anterior, determinar intervalos para x em que a função é maior do que
zero e em que a função é menor do que zero.
1.38. Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a 12 reais o quilo. Uma pesquisa de opinião
revelou que, por cada real de aumento no preço, o restaurante perderia 10 clientes, com o consumo médio
de 500 gramas cada um. Qual deve ser o preço do quilo de comida para que o restaurante tenha a maior
receita possível?
Sugestão: Inicialmente, chamemos de x o aumento no preço do quilo, em relação ao seu valor atual.
Neste caso, o preço aumentado será 12 + x reais. Conforme os dados fornecidos pelo problema, se o
preço passar de 12 para 12 + x reais, o restaurante perderá 10x clientes, pois são 10 clientes a menos por
cada real de aumento. Uma vez que o consumo médio é de 500 gramas, a sua queda correspondente
seria de 10x · 500 gramas = 5x quilos. A venda diária, então, passaria a ser 100 − 5x quilos, donde a receita
seria de
R (x ) = (100 − 5x ) · (12 + x ).
Isto resulta na função do segundo grau
f (x ) = −5x 2 + 40x + 1200.
Note que seu coeficiente de x 2 é negativo, donde ela tem um ponto de máximo, que é o que se pede para
determinar.
y
3
1.39. Determine a função quadrática que representa o
gráfico ao lado: 1
-1 1 3 5 x
-2
27

29. Fundamentos da Matemática II
Gabarito
1 √ √ √
Questão. 1.25. (a) 1 e 2. (b) −3 e −4. (c) ∅. (d) ∅. (e) −2. (f) − e 2. (g) 1 − 2 e 1 + 2. (h) ∅. (i) ∅. (j) −1 e 3 (k) 0 e 2. (l)
√ 2
6 √ √
± . (m) ∅. (n) 0. (o) −2, −1, 1 e 2. (p) ±3. (q) ± 3. (r) ± 2. (s) ∅. (t) ∅. (u) −2, 0 e 2. (v) −1 e 2 (w) ∅. (x) 1 e 8. (y) 1 e 8. (z)
3
1 1 9 17 1 2 13
−1 e . Questão. 1.26. (a) m > − . (b) m > − . (c) m ≤ − . (d) m = −1 ou m = . (e) m = −2 ou m = . (f) m < − .
2 4 16 16 √ √ 3 5 12
Questão. 1.27. (a) x 2 + x − 6. (b) 4x 2 + 4x − 3. (c) x 2 − 5, 4x + 2. (d) x 2 + ( 2 − 1)x − 2. (e) x 2 − 2x − 2. √ √
−3 + 17 −3 − 17
Questão. 1.28. f1 : (a) (0, −1); (b) 1 e (1, 0); (c) para baixo, máximo (1, 0). f2 : (b) (0, −2); (b) e ;
√ √ 2 2
−3 + 17 −3 − 17 3 17
,0 e , 0 (c) para cima, mínimo − , − . f3 : (c) (0, 4); (b) não possui raízes; (c) para cima, mín-
2 2 2 4
3 191 5 25
imo − , − . Questão. 1.29. (a) mínimo − ; − . (b) máximo(−1; 2). (c) mínimo(−1; −2). (d) máximo(2; 12). (e)
12 48 4 8
7 9 5 3 4 7
mínimo(1; 0). (f) mínimo ;− . (g) máximo ;− . (h) máximo ; . Questão. 1.30. 4 e 4. Questão. 1.31. 2 e 4.
4 8 2 4 3 18
9 9 3 9 5 9 1 25
Questão. 1.32. b = h = 5. Questão. 1.33. e Questão. 1.34. (a) (0, −4). (b) , . (c) ,− . (d) , (e)
1 1 7 121
2 2 9
4
2 4
3
8 4 16
, . (f) ,− . Questão. 1.35. (a) y ∈ R y ≥ − . (b) {y ∈ R y ≤ 4}. (c) y ∈ R y ≥ − . (d) {y ∈ R y ≤ 16}.
2 36 6 36 4 4
25 1
(e) y ∈ R y ≤ . (f) y ∈ R y ≥ . Questão. 1.37. (a) y 0 ⇒ x −1 ou x 3; y 0 ⇒ −1 x 3. (b) . (c) . (d)
16 2
1 1 1 1
y 0 ⇒ x ou x 2; y 0 ⇒ x 2. (e) y 0 ⇒ x −1 ou x ; y 0 ⇒ −1 x . (f) y 0, ∀ x = 1.
2 2 2 2
4 4 3
(g) y 0 ⇒ x −3 ou x ; y 0 ⇒ −3 x . (h) y 0, ∀ x = . (i) y 0, ∀ x ∈ R. (j) y 0 ⇒ x 0 ou x 3;
3 3 2
y 0 ⇒ 0 x 3. (k) y 0 ⇒ x −2 ou x 2; y 0 ⇒ −2 x 2. (l) y 0 ⇒ x 1 ou x 2; y 0 ⇒ 1 x 2. (m)
1 1
y 0 ⇒ x −1 ou x 3; y 0 ⇒ −1 x 3. (n) y 0 ⇒ x − ou x 2; y 0 ⇒ − x 2. (o) y 0, ∀ x ∈ R.
2 2
Questão. 1.38. r $ 16, 00 Questão. 1.39. −x 2 + 2x + 3.
Funções Exponenciais e Logarítmicas
Função Exponencial
2.1 Apresentação
Em Fundamentos de Matemática I, consideramos grandezas que variam proporcionalmente entre si.
Talvez recorde que duas grandezas são proporcionais quando existe entre elas uma correspondência
x → y satisfazendo as seguintes condições:
(a) Quanto maior for x , maior será y , e reciprocamente;
(b) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x , então o valor correspondente de y será dobrado,
triplicado, etc.
Este é o caso de grandezas tais como peso e volume, montante e capital investido, etc.
Considere, agora, o seguinte exemplo:
Segundo a lei de resfriamento de Newton, a temperatura de CORPO SALA
◦
um corpo, num ambiente mantido a uma temperatura constante,
a
1 Medição 36 25◦
varia proporcionalmente com a diferença de temperatura entre o 2a Medição 30◦ 25◦
corpo e o ambiente. 3a Medição 26◦ 25◦
Para ilustrá-lo, suponha que um perito criminalista, medindo a temperatura de um corpo, num aposento
a 25◦ , obteve os valores apresentados na tabela acima.
28

30. A lei de resfriamento de Newton, aplicada a este exemplo, DT
nos diz que na primeira medição a taxa de variação da temper-
atura entre o corpo e o ambinete era maior do que se observou 11
na segunda, que, por sua vez, era maior que a taxa de variação
na terceira.
5
É evidente, portanto, que a temperatura do corpo decresceu
com a passagem do tempo, mas não proporcionalmente. Seu 1
comportamento pode ser ilustrado conforme o esboço gráfico
1 2 3 Medidas
ao lado.
Funções com este comportamento são ditas exponenciais, e são da forma
f (x ) = ax .
Ela aparece naturalmente na modelagem de problemas de crescimento e decrescimento de popu-
lações, em Matemática Financeira e em outros temas que encontram larga aplicação em Medicina, Engen-
haria, etc. Antes, porém, de alguns pormenores sobre essa função, convém fazer uma breve recapitulação
de potências.
2.2 Potências
Em nossos estudos, no ensino médio e no fundamental, lidamos com expressões do tipo
1 3
√
30 , 4−7 , 5 5 , 7 5 , 4 3
.
Curiosamente, não poucos de nós deixamos de nos certificar de que realmente entendemos o sentido
destas expressões. De fato, se a nossa noção de potência mn começa no universo dos Naturais, como
um produto de n fatores iguais a m, que sentido haveria numa potência de expoente negativo, irracional,
fracionário, etc.? É esta a questão que abordamos agora.
2.2.1 Potência de Expoente Natural
Dados dois números naturais, a e n, não nulos, definimos an como o produto
a · a ·... ·a
ßÞ
n fatores
Assim,
32 = 3·3=9
43 = 4 · 4 · 4 = 64.
Desta definição decorrem as familiares propriedades fundamentais das potências de expoente natural.
2.2.2 Propriedades das Potências
1. am+n = am · an
29

31. Fundamentos da Matemática II
2. am·n = (am )n
3. Se m n,, então am an , desde que a seja um número natural. Partindo deste conceito e de suas
propriedades, passaremos a definir potência de um expoente real qualquer. Manteremos, no entanto,
a seguinte preocupação: qualquer que seja a definição que estabelecermos, desejamos adequá-la
às propriedades fundamentais acima. Assim, definimos:
4. a0 = 1. Esta definição é coerente com a propriedade 1, acima, pois, se an = a0+n , então
an = a0 · an ,
donde a0 = 1. Note, embora isto não seja, de algum modo, uma demonstração, ilustra como esta
definição, para potências de expoente zero, é coerente com a estrutura de definição e propriedades
que estabelecemos.
1
5. a−m = .
am
Note, com esta definição, a aplicação da propriedade 1, pois,
a−m · am = a0 = 1,
donde
1
a −m =
.
am
Mais uma vez, porém, nós lembramos: isto não é uma demonstração. Apenas ilustra a
adequação da definição.
Podemos, agora, estender a nossa noção de potência a um expoente racional qualquer. Desejamos
1
definir a n de tal modo a adequá-la à propriedade 2, acima citada. Inicialmente, recordemos que,
√
dados dois números naturais a e n é sempre possível obter um número real r = n a. Este número é,
por definição, a raiz n-ésima de a, e é único. Além disso, vale r n = a.
Observemos, agora, a propriedade 2. Se vale essa propriedade, então
1 1 n
a = a 1 = a n ·n = a n ,
donde faz sentido escrever:
1 √
n
an = a
m
Isto nos permite escrever ax , para todo x racional, pois se x = , então escrevemos:
n
m 1 √
6. ax = a n = (a n )m = n
am
Note como tudo o que definimos verifica e obedece às propriedades fundamentais de potências de
expoente natural, que exibimos no início. Encerraremos este parágrafo com um breve comentário sobre
potências de expoente irracional.
Como exemplo, considere a potência aπ . O expoente aqui π é irracional e, portanto, não se pode
escrever em forma fracionária. Qual é, então, o significado de aπ ?
Na verdade, não é necessária uma nova definição. Basta lembrar, neste caso, que todo número irra-
cional pode ser aproximado, de forma arbitrária, por números racionais.
30

32. √
A aproximação arbitrária a que nos referimos pode ser ilustrada por 2, cujas melhores aproxi-
mações racionais com 1, 2, 3, . . . casas decimais são, respectivamente,
1, 41; 1, 414; e etc.
Isto sugere que podemos aproximar qualquer número irracional por números racionais tanto
quanto quisermos.
Estas observações expandem a nossa definição para potências de um expoente real qualquer, e nos
deixa bem à vontade para trabalhar com expressões do tipo ax , para quaisquer a, x ∈ R, com a 0, a = 1.
2.3 Equações Exponenciais
A equação exponencial caracteriza-se pela presença da incógnita no expoente. Assim, são exemplos
de equações exponenciais:
2 11
(a) 2x = 32 (b) 5−x +4 = 25 (c) 3x + 3x +1 − 3x −1 =
9
Em qualquer caso, utilizaremos um fato fundamental na resolução destas equações:
Se ax = ay , então x = y .
Qualquer que seja a equação, tentaremos, de algum modo, reduzí-la a uma igualdade de potências de
mesma base.
Assim, considere o primeiro exemplo:
2x = 32.
Note que o segundo membro pode ser reduzido a uma potência de 2, pois, de fato, 32 = 25 . Segue que:
2x = 32 = 25 ,
donde x = 5.
Resolvendo o segundo exemplo, nós temos:
2 2
5 −x +4
= 125 ⇔ 5−x +4
= 53 ,
donde obtemos
−x 2 + 4 = 3.
Resolvendo esta equação do 2◦ grau, obtemos x = −1, ou x = 1, e isto conclui a resolução.
Alguns exemplos só podem ser resolvidos mediante o uso de algum artifício, como no caso
11
3x + 3x +1 − 3x −1 = .
9
Em primeiro lugar, note que o termo 3x é comum a todas as parcelas do primeiro membro. Então,
trataremos de colocá-lo em evidência. Utilizando as propriedades de potências, obtemos:
11
3x + 3x · 3 − 3x · 3−1 = .
9
y 11
É conveniente, aqui, efetuar a seguinte substituição: y = 3x , donde y + 3y − =
3 9
31

33. Fundamentos da Matemática II
Daí, resolvendo a equação do primeiro grau, acima, obtemos:
1
y= .
3
E, portanto, se 3x = y , então
1
3x = ⇒ x = −1.
3
Todo e qualquer exemplo de equação exponencial pode ser resolvido, quer diretamente, por se igualarem
os expoentes no primeiro e segundo membros, quer pela utilização de algum artifício, como o que ilus-
tramos acima.
Voltemos, agora, às funções exponenciais.
2.4 A Função Exponencial
Chamamos função exponencial à função definida por
f (x ) = ax
onde a 0, e a = 1. São exemplos de funções exponenciais:
√
f (x ) = 2x , f (x ) = ( 3)x , f (x ) = e x , etc .
2.4.1 Representação Gráfica
x
y f(x) = 2
x
Considere a função f (x ) = 2 . Para esboçar o seu gráfico,
observe os dados da tabela abaixo.
x f (x ) = 2x 4
1
−2 2−2 = 4
3
1
−1 2−1 = 2
2
0 20 = 1
1
1 21 = 2
2 22 = 4 -2 -1 1 2 x
Podemos fazer as seguintes observações:
(I) Para valores negativos de x , o gráfico da função se aproxima do eixo 0x , embora sem nunca tocá-lo.
Dizemos que o eixo 0x é uma assíntota do gráfico desta função.
(II) Para valores positivos de x , a função assume valores progressivamente maiores, isto é, trata-se
duma função crescente.
Para pensar
Teria isto algo a ver com o fato de a base desta função ser maior que 1?
32

34. x
1 x
f(x) = ()
1
2 y
Vejamos um outro exemplo, f (x ) = .
2
x f (x ) = 2x
1 −2
−2 2 =4 4
1 −1
−1 2 =2 3
10
0 2 = 1
1 2
1 1
1 2 = 2
1
2
1 1
2 2 = 4
-2 -1 1 2 x
Note como, agora, temos uma função decrescente, o que é bem natural, uma vez que a base desta
função é um número menor que 1.
Encerramos este parágrafo com esta importante observação:
Nota 4. Dada a função exponencial f (x ) = ax , f é crescente se a 1; f é decrescente se
0 a 1.
Estas considerações sobre o crescimento ou decrescimento de uma função exponencial são bastante
úteis ao resolvermos inequações exponenciais.
2.5 Inequações Exponenciais
Considere a seguinte inequação:
2x 25 .
Tendo o prévio conhecimento de que a função correspondente f (x ) = 2x é crescente, torna-se bastante
óbvio que o conjunto de números reais x , tais que x 5 é solução da inequação.
Por outro lado, considere o exemplo seguinte:
x 4
1 1
.
2 2
1 x
Sendo a função f (x ) = decrescente, isto é, se ela cresce no sentido negativo do eixo Ox , então é
2
evidente que a solução do problema é o conjunto de reais x , tais que x 4.
Em resumo, a resolução de uma inequação exponencial observa o mesmo padrão e os mesmos
critérios utilizados nas resoluções de equações. Podem-se utilizar dos mesmos artifícios que ilustramos
num parágrafo anterior, atentando-se apenas para o crescimento ou decrescimento da função correspon-
dente, conforme a base em ambos os membros seja maior ou menor que 1.
33

35. Fundamentos da Matemática II
2.6 Aplicações
Poderíamos encher diversos volumes com aplicações da teoria de funções exponenciais.
Como afirmado no início, suas aplicações penetram campos tão diversos quanto a Engenharia,
Biologia, Medicina, Criminalística, Medicina veterinária, Economia, Arqueologia, etc.
Nos exemplos que seguem, sugerimos que não se concentre na modelagem do
problema. Em outros termos, não estaremos preocupados em entender como se chegou à
expressão que o representa matematicamente. Faremos isto oportunamente, numa disciplina
futura. Nosso objetivo, por ora, é ilustrar as suas muitas aplicações.
Assim, examine a seguinte situação:
Suponha que um poderoso anestésico seja utilizado em guepardos por veterinários nas savanas do
Serengueti. Isto, de fato, acontece em seu trabalho de prevenção de zoonoses. Considere que:
(a) um guepardo fica anestesiado quando a concentração em sua corrente sanguínea é de, pelo
menos, 45 mg de anestésico por quilo de peso do animal;
(b) a droga é eliminada exponencialmente, com uma meia vida de 5 horas (meia vida é o tempo
necessário para que a concentração de anestésico se reduza à metade da original).
(c) a equipe de veterinários tem apenas uma hora para examinar o animal antes que passem os efeitos
da droga.
Nestas condições, e supondo que se aplique uma dose única de 2.500 mg a um guepardo de 50 kg , a
equipe poderá trabalhar em segurança?
Solução: Em primeiro lugar, note que, em 1 hora, o nível de segurança de anestésico na corrente
sanguínea do animal deve ser de
(50 · 45) mg = 2.250 mg .
Designemos por f (t ) a quantidade de anestésico no tempo t . Os dados acima nos permitem modelar
o problema e obter a seguinte expressão:
f (t ) = 2500 · e −0,138t .
Avaliando o valor da função f em t = 1h, obtemos
f (1) ≈ 1.090, 95 g ,
que é uma concentração menor do que seria necessária para manter o animal anestesiado durante uma
hora.
Não nos preocuparemos, aqui, com o modo como modelamos este e outros problemas en-
volvendo exponenciais. Isto será abordado com mais pormenores oportunamente. O mais
importante, neste estágio, é perceber suas muitas aplicações.
Um Segundo Exemplo
Um perito criminalista chegou à 1 h da madrugada ao local dum assassinato, tomando imediatamente
a temperatura do corpo da vítima, que era de 34, 8◦C . Uma hora mais tarde, ele tomou novamente a
34

36. temperatura do corpo, obtendo 34, 1◦C . Uma testemunha afirmou que a morte se deu, precisamente,
à meia-noite. Sabendo-se que a temperatura do aposento onde se encontravam era de 20◦ C , e que a
temperatura normal de uma pessoa viva é de 36, 5◦ C , verifique se a testemunha disse a verdade.
Solução: Chamemos de T (t ) a temperatura do corpo num tempo t , qualquer. Os dados acima nos
permitem modelar o problema e obter a seguinte expressão:
T (t ) = 20 + 14, 8 · e −0,048t .
Considerando o instante da chegada da equipe de investigação 1 hora da madrugada, como referência,
isto é, como t = 0, temos, naturalmente, que o horário alegado pela testemunha corresponde a t = −1.
Calculando a temperatura correspondente a t = −1, obtemos:
T (−1) ≈ 35, 53◦C ,
donde concluímos que a morte deve ter ocorrido em algum tempo antes da meia-noite. E, portanto, a
testemunha não disse a verdade.
2.7 Exercícios Propostos
2.1. Construir os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
1 x
(a) y = 3x (b) y = (c) y = 10x (d) y = 10−x
3
2.2. Construir os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
2x +1 |x |
x +1 1 1
(a) y = 21−x (b) y = 3 2 (c) y = 2|x | (d) y = (e) y =
2 2
2.3. Resolva as seguintes equações:
¡x −1 2
(a) (2x )x −1 = 4 (b) 9x +1 = 3x +x +4 (c) 23x +2 ÷ 82x −7 = 4x −1
2.4. Em cada caso, determine o valor de x .
√
(a) (0, 1)x −5 = 10 (b) 10x = 10−0,2 · 4
10 (c) 33x −1 · 93x +3 = 273−x (d) 32x − 6 · 3x = −9
(e) 125x = 0, 04 (f) 72x + 52x = 2.35x (g) 4x + 6x = 2 · 9x
2.5. Determine o conjunto solução das inequações a seguir.
1 2 2x −3 1
(a) 251−x (b) 0, 84x −x 0, 83x +3 (c) 2 x −1 ÷ 32 x +1 4
5
2.6. Se y = 10x é um número entre 1.000 e 10.000, então x está entre:
(a) −1 e 0 (b) 2 e 3 (c) 3 e 5 (d) 5 e 10 (e) 10 e 100
2.7. Se f (x ) = 4x +1 e g (x ) = 4x , a solução da inequação f (x ) g (2 − x ) é:
(a) x 0 (b) x 0, 5 (c) x 1 (d) x 1, 5 (e) x 2
2.8. Considere as funções (f ) = 2x e g (x ) = 2x .
(a) Esboce-as num mesmo sistema de coordenadas
(b) Baseado nos gráficos do item acima, resolva a inequação 2x ≤ 2x
√ √
(c) Qual é o maior destes números: 2 2 ou 2 2? Por quê?
35

37. Fundamentos da Matemática II
√ x 5
2.9. Determine os domínios das funções f (x ) = 2 − 64 e g (x ) = √ .
25 − 5x
350 − 348
2.10. Simplificando-se a expressão , obtém-se
25 − 23
3 9 349
(a) (b) (c) 347 (d)
2 4 24
2.11. Sobre a função exponencial f (x ) = ax , é correto afirmar que:
(a) Seu domínio é o conjunto dos reais positivos;
(b) A função é decrescente se o valor de for negativo;
(c) O gráfico da função não intersecta o eixo−x ;
(d) O gráfico da função não intersecta o eixo−y .
2.12. Meia vida de uma substância é o tempo necessário para que sua massa se reduza à metade.
Suponha que, hoje, temos 16 gramas de uma substância radioativa, cuja meia vida é de 5 anos. Supondo
que a concentração da substância tenha um decrescimento exponencial dado por C (t ) = C0 · at , e que,
daqui a t anos, sua massa será 2−111 gramas, o valor de t é:
5 1
Sugestão: Note que em t = 0, C0 = 16 e que C (5) = 8. Obtenha então a = . Em seguida
2
resolva Ö t
1
= 2−111
5
16
2
√
2.13. Calcule o valor de x que satisfaz a equação 9x = 729 3x .
√ x
Sugestão: Inicialmente, fatore o termo 729 e, então, escreva 3x como 3 2 . Você recairá num
daqueles casos elementares que incluímos no texto como exercícios resolvidos.
Gabarito
1 1 2
. (c) . (d) 1. (e) − . (f) 0. (g) 0 Questão.
Questão. 2.3. (a) S = {−1, 2}. (b) S = {−2, 3}. (c) S = {5}. Questão. 2.4. (a) 4. (b)
3
1 3
20 3
2
3
2.5. (a) S = x ∈ R; x . (b) S = x ∈ R; − x . (c) S = x ∈ R; x −1 ou x 1 . Questão. 2.6. c.
2 2 2 3
√ √ √
Questão. 2.7. b. Questão. 2.8. (b) S = {x ∈ R; 1 ≤ x ≤ 2}. (c) 2 2 2 2 . Como 2 ∈ (1, 2) e pelo item (b) 2x 2x , ∀x ∈ (1, 2).
Questão. 2.9. Dom(f ) = {x ∈ R; x ≥ 6}, Dom(g ) = {x ∈ R; x 2}. Questão. 2.10. c. Questão. 2.11. c. Questão. 2.12. 575.
Questão. 2.13. x = 4.
Função Logarítmica
2.8 Apresentação
No capítulo precedente consideramos o seguinte problema:
Um perito criminalista chegou à 1 h da madrugada ao local dum assassinato, tomando imediatamente a
temperatura do corpo da vítima, que era de 34, 8◦ C . Uma hora mais tarde, ele tomou novamente a temper-
atura do corpo, obtendo 34, 1◦ C . Uma testemunha afirmou que a morte se deu, precisamente, à meia-noite.
36

38. Sabendo-se que a temperatura do aposento onde se encontravam era de 20◦ C , e que a temperatura nor-
mal de uma pessoa viva é de 36, 5◦ C , verifique se a testemunha disse a verdade. Reexaminemos esta
questão. Desta vez, porém, suponha que desejamos saber o momento aproximado da morte da vítima.
Como vimos, na resolução do problema, a expressão que o descreve é:
T (t ) = 20 + 14, 8 · e −0,048t
O que desejamos, portanto, é obter o valor de t tal que T (t ) = 36, 5◦C , que é a temperatura normal de
uma pessoa viva. Isto resulta na seguinte equação exponencial:
20 + 14, 8 · e −0,048t = 36, 5,
que resolvemos assim:
36, 5 − 20 16, 5
e −0,048t = = .
14, 8 14, 8
Nos deparamos aqui com uma equação exponencial em que as bases no primeiro e segundo membros
são diferentes, de modo que não podemos recorrer ao método costumeiro de igualar os expoentes, ou
mesmo aos artifícios que vimos no capítulo precedente, para resolvê-la.
Precisamos desenvolver uma teoria diferente, embora relacionada: a teoria dos logaritmos.
Um Pouco de História
Os logaritmos foram concebidos, inicialmente, com a intenção de simplificar cálculos, devido a suas
propriedades que permitem transformar produtos em somas. Isto é de grande valor quando se tratam
números muito extensos. Em especial durante o Renascimento, com o desenvolvimento da astronomia e
as grandes navegações, os logaritmos cumpriram bem sua finalidade. Durante muitos séculos, matemáti-
cos e profissionais de outras áreas mantinham tabelas extensas de logaritmos, cujo uso foi descontinuado
apenas em tempos recentes, com o advento das calculadoras eletrônicas. Particularmente, com o desen-
volvimento do Cálculo Diferencial e Integral, percebeu-se gradualmente o amplo espectro de aplicações da
teoria dos logaritmos nos mais diversos campos. Um dos matemáticos ligados à teoria dos logaritmos foi o
escocês Jonh Napier (1550-1617), a quem devemos a expressão logaritmos neperianos ou naturais, bem
como a designação de um dos números irracionais mais freqüentes nas mais diversas aplicações dentro
e fora da Matemática: o número e , cuja aproximação, com duas casas decimais, vale 2, 71.
2.9 Logaritmos: Definição e Propriedades
Dados dois números reais a e b , com a, b 0, a = 1, definimos o logaritmo de b na base a como o
número x tal que ax = b , e o representamos por
x = logb a.
O número b é chamado a base do logaritmo, enquanto o número a é o logaritmando. Assim, segundo
esta definição, temos que: log2 8 = 3, pois, 23 = 8 e log3 1 = 0, pois, 30 = 1.
Desta definição, e do que sabemos sobre potências, decorrem as seguintes propriedades:
37

39. Fundamentos da Matemática II
2.9.1 Propriedades
Introduzimos a primeira propriedade mediante o seguinte exemplo: Seja x = log2 24 . Utilizando a
definição, temos: 2x = 24 , donde x = 4. Mais geralmente, temos:
P1. Se x = loga ay , então ax = ay , donde x = y . Assim, log3 81 = log3 34 = 4; e log5 125 = log5 53 = 3.
Uma propriedade um pouco mais evidente é:
P2. Se a é um número real, então loga 1 = 0, ∀a ∈ R.
Sua demonstração é evidente.
P3. Se x = aloga b , então x = b .
De fato, segundo a definição, podemos escrever loga x = loga b , donde x = b .
Também em conseqüência da definição, temos:
P4. Logaritmo do produto: loga (m · n) = loga m + loga n.
Para demonstrá-la, usaremos a definição para provar que aloga m+loga n = m · n. Com efeito,
a(loga m+loga n) = aloga m · aloga n = m · n.
Assim:
log3 10 = log3 (2 · 5) = log3 2 + log3 5.
Observe que, respeitadas as condições de existência, não existe qualquer restrição quanto à decom-
posição do logaritmando, isto é, vale
log3 30 = log3 (3 · 10) = log3 3 + log3 10
ou
log3 (5 · 6) = log3 5 + log3 6.
m
P5. Logaritmo do quociente: loga = loga m − loga n.
n
A demonstração desta propriedade pode ser feita de forma direta, isto é, utilizando-se diretamente a
definição, para obter
aloga m m
a(loga m−loga n) = = .
aloga n n
P6. Logaritmo de potência: loga mp = p · loga m.
Também aqui, utilizando a definição, podemos verificar que
p
ap·loga m = aloga m = mp .
Ainda outra propriedade fundamental, nos diz que:
1
P7. loga b =
logb a
Sua demonstração também se faz utilizando-se a definição e demais propriedades fundamentais de
potências. Observe, em primeiro lugar, que a igualdade acima é equivalente a
(loga b ) · (logb a) = 1,
que provaremos assim:
logb a
a(loga b·logb a) = aloga b = b logb a = a,
donde
(loga b ) · (logb a) = 1
38

40. 1
P8. logam n = loga n
m
Deixaremos a demonstração desta propriedade como exercício.
A última propriedade que apresentamos, na verdade, consiste em um procedimento bastante útil em
diversas aplicações.
loga n
P9. Mudança de base: logm n =
loga m
Também neste caso, podemos fazer uma aplicação direta da definição e das demais propriedades
fundamentais de potências para provar que
loga n
m loga m = n.
Omitiremos os detalhes aqui.
Esta propriedade serve a um propósito bastante freqüente. As modernas calculadoras científicas
possuem teclas que permitem calcular logaritmos nas bases 10 e e . Considere, então, o problema
de calcular log9 2. Utilizando a propriedade acima, obtemos:
log 2
log9 2 = ,
log 9
que é uma razão dos logaritmos de 2 e 9 na base 10.
Uma sugestão é que não decore estas propriedades. Provavelmente notou como todas elas foram
testadas utilizando-se a definição e o que sabemos sobre as propriedades fundamentais de potências.
Suponha, como exemplo, que desejamos obter o valor de x em 3x = 5. Obviamente, temos que, por
definição,
x = log3 5.
Se, porém, nós dispomos, apenas, de uma tábua de logaritmos - ou mesmo uma máquina de calcular
- com logaritmos na base 10, podemos escrever
log 3x = log 5,
donde
x · log 3 = log 5
e, portanto,
log 5
x= .
log 3
2.10 Equações Logarítmicas
Como fizemos no capítulo precedente, utilizaremos aqui tanto a definição quanto as propriedades op-
eracionais de logaritmos para resolver equações. Como verá, em alguns casos, uma mera aplicação da
definição é o bastante para fornecer-nos a solução. Note os exemplos:
(a) log6 2x = 2.
Observe como, neste caso, é suficiente escrever, por definição,
62 = 2x
39

41. Fundamentos da Matemática II
e, então, obtemos x = 18.
Queremos, agora, chamar-lhe a atenção para um detalhe bastante freqüente na resolução de equações
logarítmicas. Com isto em mente, queira examinar o exemplo seguinte:
(b) logx (6 − 5x ) = 2
Aqui, temos que, por definição, x 2 = 6 − 5x , donde x 2 + 5x − 6 = 0. A equação logarítmica acima
resultou numa equação do 2◦ grau, cujas raízes são x1 = 1 e x2 = −6. Atente, apenas, à seguinte
ressalva: as raízes que obtivemos acima satisfazem à equação do segundo grau x 2 + 5x − 6 = 0,
podendo, talvez, não satisfazer à equação logarítmica. E é o que acontece aqui, pois, aplicando-
se à equação logarítmica a segunda raiz, x2 = −6, deixa-se de satisfazer uma condição básica de
existência dos logaritmos: tanto a base quanto o logaritmando devem ser positivos.
Assim, antes mesmo de iniciar a resolução duma equação logarítmica, convém estabelecer as
condições de existência que as soluções porventura encontradas devem satisfazer.
O exemplo abaixo, mais que a aplicação da definição, exige a utilização de algumas das propriedades
que examinamos:
(c) log5 x − log5 (2x − 1) = 1
As condições de existência nos dizem que:
(I) x 0;
1
(II) 2x − 1 0 e, portanto, x .
2
Note que qualquer solução que encontrarmos deve satisfazer a ambas as condições, acima. Por outro
lado, observe que a segunda condição verifica a primeira, donde concluímos que a condição de existência
é:
1
x .
2
Esta é a condição que qualquer solução que encontrarmos deve satisfazer. A diferença de logaritmos
de mesma base nos leva a pensar na propriedade P5., logaritmo do quociente. Aplicando-a, obtemos:
x
log5 = 1 = log5 5.
2x − 1
donde
x
= 5.
2x − 1
5
Desenvolvendo esta igualdade, obtemos uma equação do primeiro grau, cuja solução é x = .
9
5 1 5
Como é fácil de demonstrar, e, portanto, S = .
9 2 9
2.11 A Função Logarítmica
Definimos função logarítmica como a função
f : R∗ → R; f (x ) = loga x , a 0, a = 1.
+
Deve ter notado que os conceitos de potência e logaritmo estão estreitamente relacionados. Aliás, por
definição, temos que, se y = ax , então x = loga y , donde concluímos que a função logarítmica é a inversa
da função exponencial. Isto ficará bem evidente ao examinarmos, num mesmo sistema de coordenadas,
os gráficos de ambas as funções.
40

42. 2.12 Gráfico da Função Logarítmica
y
Seja a função f (x ) = log3 x . Como no capítulo prece-
3
dente, observe que colocando-se os dados obtidos da f(x) = log3 x
tabela, com valores de x e log3 x , num sistema de coor-
1
denadas cartesianas, podemos esboçar o gráfico de f (x ).
1 3 5 7 9 x
1 -1
x 3 1 3 9
f (x ) = log3 x −1 0 1 2
-3
Observe que o gráfico desta função não intersecta o eixo das ordenadas; isto se traduz dizendo-se
que a função não está definida para x = 0, e é compatível com a nossa definição. Note, também, o seu
crescimento.
y
Poderíamos estabelecer alguma relação entre o cresci-
mento ou decrescimento de uma função logarítmica e o 3 f(x) = log 1 x
3
valor de sua base? Compare o gráfico do exemplo anterior
com o da função f (x ) = log 1 x . Tabelando-se os valores,
3
1
podemos obter o gráfico ao lado: 3
1 5 7 9 x
-1
1
x 3 1 3 9
f (x ) = log 3 x
1 1 0 −1 −2 -3
Desta vez, note que, similarmente, o gráfico da função não intersecta o eixo Oy ; além disso, a função
é decrescente, o que evidentemente se deve ao valor da sua base. Generalizando, podemos afirmar que:
Numa função logarítmica f (x ) = loga x , f é decrescente se, e somente se, 0 a 1, e é crescente se,
e somente se, a 1.
Estas condições de crescimento e decrescimento de uma função logarítmica nos permite abordar a
resolução de inequações logarítmicas.
Applet JAVA
Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, gráficos de
A
funções logarítmicas.
V
A
2.13 Inequações Logarítmicas
Resolver uma inequação logarítmica observa os mesmos métodos e critérios da resolução de equações.
Também aqui se devem estabelecer, previamente, as condições de existência, como no exemplo a seguir:
(a) log2 4x 3
41

43. Fundamentos da Matemática II
Aqui, observamos, em primeiro lugar, que o logaritmando deve satisfazer 4x 0, donde x 0.
Quanto à resolução propriamente dita, utilizamos inicialmente o seguinte artifício:
log2 4x 3 ⇔ log2 4x log2 23 .
Observe que escrevemos o segundo membro como um logaritmo na base 2. E sendo esta base
maior que 1, temos que a função correspondente é crescente e, portanto,
4x 23 ,
que é uma inequação do primeiro grau, cuja solução são os valores de x tais que x 2. Como esta
solução deve satisfazer a condição de existência x 0, temos que S = {x ∈ R; 0 x 2}.
(b) log3 (x − 1) − log9 (x − 1) ≤ 1
Aqui, a condição de existência é dada por x − 1 0, donde obtemos x 1. Resolvendo a in-
equação, percebemos a impossibilidade de aplicar diretamente a definição. Recorrendo, porém, às
propriedades que examinamos acima, podemos reescrever a inequação como:
log3 (x − 1) − log2 (x − 1) ≤ 1.
3
Assim,
1
log3 (x − 1) − log3 (x − 1) ≤ 1.
2
Pondo log3 (x − 1) em evidência, temos:
1
1− · log3 (x − 1) ≤ 1
2
1
log3 (x − 1) ≤ 1
2
log3 (x − 1) ≤ 2.
Logo, log3 (x − 1) ≤ log3 32 , donde x − 1 ≤ 9 e, portanto, x ≤ 10.
Uma vez que, pela condição de existência, x 1, temos que a solução da inequação logarítmica é
dada pelos valores de x pertencentes ao intervalo (1, 10].
2.14 Exercícios Propostos
2.14. Calcular, pela definição, os seguintes logaritmos:
(a) log 16 (d) log 1 8 (g) log125 25 (j) log0,25 8
4 2
1 1 (h) log 1 32
(b) log3 (e) log7 4 (k) log25 0, 008
9 7 1
(c) log81 3 (f) log27 81 (i) log9 (l) log0,01 0, 001
27
2.15. Calcular, pela definição, os seguintes logaritmos:
√
√ √ √ (g) log √ 27
(a) log2 2 3
(c) log100 10 (e) log√25 4 125
1
3
3
(i) log √3 √
4
√ √ 1
3
3
(b) log √7 49
3 (d) log√8 32 (f) log√27 3 9 (h) log √4 √
3
8
2.16. Calcular a soma de S nos seguintes casos:
√ √
(a) S = log100 0, 001 + log1,5 4 − log1,25 0, 64
9 (c) S = log √9
3
1
27 − log √0,5
3 8 + log √100 6 0, 1
3
√
(b) S = log8 2 + log√2 8 − log √2 8 (d) S = log4 (log3 9) + log2 (log81 3) + log0,8 (log16 32)
42

44. 2.17. Calcular o valor de.
(a) 3log3 2 (b) 4log2 3 (c) 5log25 2 (d) 8log4 5
√
(e) 21+log2 5 (f) 32−log3 6 (g) 81+log2 3 (h) 92−log3 2
2.18. Desenvolver aplicando as propriedades dos logaritmos (a b c 0):
(b) (d)
2a √ a(a + b )2
(a) log2
2
a bc (c) logc c· 3
√
5
a(a − b )2
a2 − b 2 log3 b log √
5
(a + b )3 a2 + b 2
2.19. Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é dado abaixo (a b c 0)?
(a) 1 + log2 (a + b ) − log2 (a − b ) (d) 2 log(a2 + b 2 ) − 3 log(a + b ) − log(a − b )
(b) 2 log(a + b ) − 3 log(a) − log(a − b ) (e) 3 log(a − b ) − 2 log(a + b ) − 4 log b 5
(c) 2 log(a − b ) + log a − log(a + b )
√
2.20. Calcular A = log3 5 · log4 27 · log2 5 2.
1
2.21. O pH de uma solução é definido por pH = log , onde H + é a concentração de hidrogênio em
H+
ions-grama por litro de solução. O pH de uma solução tal que H + = 1, 0 · 10−8 é:
(a) 7 (b) 10−8 (c) 1, 0 (d) 8 (e) 0
2.22. Sabendo que log20 2 = a e log20 3 = b , calcular log6 5.
√
3
a
2.23. Se logab a = 4, calcule logab √ .
b
2.24. Se log12 27 = a, calcule log6 16.
n
√
2.25. Para todo natural n ≥ 2, a expressão logn logn n
n não depende de n. Determine o valor desta
expressão.
Gabarito
1 4 2 5 3 3 3 3 1
Questão. 2.14. (a) 2. (b) −2. (c) . (d) −3. (e) −1. (f) . (g) . (h) − . (i) − . (j) − . (k) − . (l) . Questão. 2.15. (a) . (b) 6.
1 5 3 4
4
9 8
3 3 2 2 11 2 1 2
2 5
2
(c) . (d) . (e) . (f) . (g) −3. (h) − . (i) − . Questão. 2.16. (a) S = − . (b) S = . (c) S = {2}. (d) S = − .
6 3 4 9 4 3 2 6 2
√ √ 3 81
Questão. 2.17. (a) 2. (b) 9. (c) 2. (d) 5 5. (e) 10. (f) . (g) 216. (h) . Questão. 2.18. (a) 1 + log2 a − log2 (a + b ) − log2 (a − b ). (b)
2 2
1 1 3 1 2 1 1 2 1
2 log3 a + log3 b + log3 c − log3 (a + b ). (c) 1 + logc a + logc (a + b ) − logc b . (d) log a + log(a − b ) − log(a2 + b 2 ).
2 2 ä 5 ç 3 3 6 5 5 2
a+b (a + b )2 a(a − b )2 (a2 + b 2 )2 (a − b )3
Questão. 2.19. (a) log2 2 . (b) log . (c) log . (d) log . (e) log .
a−b a3 (a − b ) a+b (a + b )2 (a2 − b 2 ) b 20 (a + b )2
1 − 2a 17 12 − 4a
Questão. 2.20. A ∼ 9, 81. Questão. 2.21. d. Questão. 2.22.
= . Questão. 2.23. . Questão. 2.24. . Questão. 2.25.
a+b 6 3+a
−2.
Funções Trigonométricas e Outras
Elementares
43

45. Fundamentos da Matemática II
Funções Trigonométricas
Trigonometria
A presença das funções periódicas nas nossas vidas é percebida quando, por exemplo, observamos
um eletrocardiograma, o lançamento de uma pedra no lago e sinais de ondas de rádio, etc. Estas funções
geralmente possuem em suas expressões as funções:
f (x ) = sen(x ), f (x ) = cos(x ), f (x ) = tg(x ),
que definem, respectivamente, as funções seno, cosseno e tangente.
Convém fazer uma breve revisão desses temas.
3.1 Relações Trigonométricas Fundamentais
Vimos, no ensino médio e fundamental, que as relações do seno, do cosseno e da tangente de um
ângulo derivam de um triângulo retângulo. Recordemos estes conceitos apenas ao ponto de podermos
introduzir as funções trigonométricas correspondentes.
Dois triângulos são semelhantes, se e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congru-
entes e os lados homólogos proporcionais, ou seja,
C
g
′ ′ ′
∆ABC ∼ ∆A B C
a b
AB AC BC A B
(α ≡ α′ , β ≡ β ′ , γ ≡ γ ′ ) ∧ A′ B ′
= A′ C ′
= B ′C ′
C’
em que o símbolo ‘∼’ é usado pra indicar a relação de semelhança.
g’
a’ b’
A’ B’
Consideremos os triângulos retângulos semelhantes abaixo:
C
C‘
a a‘
A B A‘ B‘
Pela semelhança escrevemos:
AB AC BC
′B ′
= ′ ′ = ′ ′
A AC BC
ou ainda:
AB A′ B ′ BC B ′C ′ BC B ′C ′
= ′ ′ , = ′ ′ e = ′ ′
AC AC AC AC AB AB
44

46. Observe que estas relações dependem apenas do ângulo α, e não dos comprimentos envolvidos. São,
portanto, funções de α, a que atribuímos, respectivamente, os nomes cosseno, seno e tangente.
Assim, dado um ângulo α, em que 0 α 90◦ , definimos:
AB BC BC
cos(α) = , sen(α) = , tg(α) =
AC AC AB
Portanto, as razões entre estes segmentos definem, no triângulo retângulo, as relações
trigonométricas. Os segmentos de reta AB e BC são chamados de cateto adjacente e cateto oposto
ao ângulo α e o segmento AC é chamado de hipotenusa.
Durante muito tempo, tabelas trigonométricas com os valores de cossenos, senos, e tangentes de diver-
sos arcos ou ângulos, foram utilizadas para consulta. Graças a estas tabelas que entusiastas conseguiam
estimar as medidas de segmentos que não se poderia obter de maneira direta. Por exemplo, os gregos
fizeram uma estimativa para o raio da terra, utilizando-se o raciocínio a seguir:
t
De uma torre bem alta com base em A e topo em B , de altura h, construía- B
se, de forma imaginária, uma reta t que passava por B e um ponto C a h
qualquer do horizonte. Então, era feita uma estimativa da medida do ân-
C A
gulo α formado pelas retas r e a que passa pelos pontos A e B . Como r
o prolongamento do segmento AB passa pelo ponto O (centro da Terra), r
obtemos assim o triângulo ∆OBC , retângulo em C , conforme ilustração ao O
lado.
Sendo ´
OC = r
OB = r + h
em que r corresponde ao raio da terra. Portanto,
r h · sen(α)
sen(α) = e então r = .
r +h 1 − sen(α)
Desejamos, agora, estender estes conceitos a ângulos de medida qualquer. Observe que as nossas
definições, até aqui, baseiam-se todas em ângulos internos de um triângulo retângulo e, portanto, referem-
se única e exclusivamente a ângulos agudos.
y
Considere, então, um círculo orientado unitário, isto é, de raio r = 1, a
1
cujos pontos faremos corresponder à medida do ângulo α nele inscrito,
e cujo centro faremos coincidir com a origem dum sistema cartesiano de B
coordenadas, como na figura ao lado.
a
O triângulo AOB é retângulo em A, donde podemos escrever as seguintes A
O x
relações:
AB OA AB
sen(α) = , cos(α) = , tg(α) =
OB OB OA
45

47. Fundamentos da Matemática II
Nota 5. Note que:
(i) A hipotenusa OB coincide com o raio do círculo, que possui medida 1 uc (unidade de com-
primento). Desta forma, podemos escrever, simplesmente, o seno e o cosseno do ângulo
α como:
sen(α) = AB , cos(α) = OA
(ii) Os comprimentos AB e AO coincidem com as coordenadas do ponto B , no plano, de modo
que faz sentido, então, definir:
cos(α) = xB (abscissa do ponto B )
sen(α) = yB (ordenada do ponto B )
sen(α)
tg(α) = cos(α) se cos(α) = 0.
Isto estende os conceitos do seno, do cosseno e da tangente para ângulos de qualquer medida. No que
consideramos acima, deve ter ficado evidente que o sentido positivo, no círculo, corresponde ao sentido
anti-horário, e que o ponto A, de intersecção com o eixo das abscissas, corresponde ao ângulo α = 0.
Comumente é adotado no círculo orientado, uma outra medida para ângulos: o radiano (rad) que, a
rigor, pode ser assim definido:
A medida de um ângulo α em radianos é dada pela razão entre o
comprimento do arco ℓ determinado pelo ângulo, em um círculo l
cujo centro corresponde ao vértice do ângulo, e o comprimento
a
do raio deste círculo, ou seja,
r
ℓ
α= .
r
Num círculo de raio unitário, podemos simplificar esta definição, simplesmente, dizendo que um radiano
corresponde, no círculo, a um arco de comprimento 1.
O comprimento C de uma circunferência é dado em função de seu raio r através da seguinte relação:
C = 2π r .
Segue que a medida do ângulo em radianos correspondente a uma volta completa em torno de um
círculo é 2π, pois:
ℓ 2π r
α= = = 2π.
r r
Através de uma regra de três simples e direta, estabelecemos:
180◦ ⇔ π rad
Agora é sua vez
Pense em como escreveria, em radianos, os ângulos de 30◦ , 45◦ e 60◦ .
Deve ter ficado evidente haver uma correspondência entre os pontos no círculo orientado e os pontos
da reta real compreendidos entre 0 e 2π. Seria interessante estender esta correspondência de modo a
46

48. abranger toda a reta. Isto, intuitivamente, pode ser conseguido fazendo-se tantas voltas no círculo quanto
necessário. Como exemplo, obter um arco de 4π rad equivale a dar duas voltas completas no círculo; 3π
rad corresponde a uma volta e meia, e assim sucessivamente.
3.2 Arcos Côngruos
Naturalmente, a correspondência que estabelecemos acima não é, de modo algum, biunívoca. De fato,
enquanto a cada número real corresponde um único ponto no círculo, temos, em contrapartida, que, a
cada ponto no círculo, estão associados infinitos números sobre a reta. Como exemplo, considere o ponto
P , abaixo.
y
Observe que a este ponto ficam associados todos os números reais da
1
forma
π
P ± 2k π,
6
a= p-
6
sendo k = ±1, ±2, . . ..
π
O x Veja a seguir dois arcos côngruos ao arco , são eles:
6
π π
+ 2π e + 4π.
6 6
y y
a= p- + 2p
6 a= p- + 4p
6
1 1
P P
x x
π b
Exprimimos este fato dizendo que a expressão ± 2k π fornece todas as “determinações” do arco OP .
6
Mais genericamente, ao arco de medida x rad correspondem todas as suas determinações (x + 2k π) rad.
Diz-se, neste caso, que os arcos x e x + 2k π são côngruos.
Exemplo 3.1. A primeira determinação positiva de um arco x é um arco côngruo de x que está na
primeira volta, ou seja, α é a primeira determinação positiva de x se: 0 ≤ α 2π e x = α + 2k π, k ∈ Z. De
acordo com esta definição, calcule a primeira determinação positiva dos arcos (a) 820◦ e (b) −4200◦.
Solução:
(a) Para o arco de 820◦ devemos obter quantas voltas completas este arco possui, pois 820◦ 360◦ . Do
algoritmo da divisão de Euclides, temos:
820◦ = 2 · 360◦ + 100◦,
obtido através do seguinte dispositivo:
820◦ 360◦
100◦ 2
47

49. Fundamentos da Matemática II
Isto significa que precisaremos dar duas voltas completas e mais 100◦ para completarmos o arco de
820◦ . Assim, a primeira determinação positiva será 100◦ .
(b) Novamente, utilizando-se o algoritmo de Euclides, temos que:
−4200◦ = −12 · 360◦ + 120◦.
Isto significa que precisaremos dar doze voltas completas, no sentido horário, mais 120◦ para com-
pletarmos o arco de −4200◦. Assim, a primeira determinação positiva será 120◦ .
7π 19π
Exemplo 3.2. Verifique se os arcos de medidas e são arcos côngruos.
3 3
Solução: Calculemos, portanto, a diferença D entre as medidas dos dois arcos dados:
7π 19π
D= − = 4π.
3 3
Como D é um múltiplo de 2π, concluímos que os arcos dados são côngruos.
Exemplo 3.3. Marcar no círculo trigonométrico as extremidades dos arcos de medidas:
π 2k π
xk = + , k ∈ Z.
4 3
Solução: Para cada valor de k , temos que x0
x0 , x1 , x2 , x3 , . . . são as medidas dos arcos, logo: 2p
π x1 3 p
x0 = 4
4
π 2π 11π
x1 = + =
4 3 12 2p
π 4π 19π 3
x2 = + =
4 3 12
π 6π π
x3 = + = + 2π
4 3 4
x2
Funções Trigonométricas
3.3 As Funções Seno e Cosseno
Começamos esta consideração examinando as relações entre os lados e ângulos de um triângulo
retângulo. Destas relações emergiram os conceitos de seno, cosseno e tangente. Estendemos, então,
estes conceitos, inicialmente, a ângulos compreendidos entre 0 e 2π e, em seguida, a arcos côngruos de
qualquer valor. Uma vez estabelecida esta correspondência entre os pontos da reta e os pontos no círculo,
podemos, então, definir, as funções seno e cosseno,
f (x ) = sen(x ) e f (x ) = cos(x ),
que atribuem a cada número real x os valores do seno e cosseno do arco correspondente, no círculo
orientado.
Para obtermos uma idéia do comportamento global destas funções, é conveniente esboçar o seu grá-
fico. Antes, porém, vale a pena lembrar que, para valores de x maiores que 2π, obtemos, no círculo, arcos
48

50. côngruos da forma x + 2k π, isto é, pontos coincidentes no círculo que, naturalmente, fornecem os mesmos
valores para o seno e cosseno. Isto define as funções seno e cosseno como periódicas, de período 2π. Em
termos simples, dizemos que, a cada intervalo de comprimento 2π, os valores destas funções se repetem.
Matematicamente, escrevemos
sen(x ) = sen(x + 2k π) e cos(x ) = cos(x + 2k π)
Podemos, portanto, ter uma boa idéia do comportamento global destas funções se examinarmos seu
comportamento no intervalo [0, 2π].
π π 5π 3π
Consideremos a função seno, f (x ) = sen(x ). Atribuindo-se valores 0, , , π, , e 2π para x ,
4 2 4 2
temos a tabela de pontos:
π π 5π 3π
x 0 4 2 π 4 2 2π
√ √
2
f (x ) = sen(x ) 0 2 1 0 − 22 −1 0
O seu gráfico, para valores restritos a esse intervalo é:
f(x) = sen (x)
sen( p4 )
- 1
{ { p
-
4
p p
5p
4.
3p
2.
p 2p
4. 2. x
sen(5p )
- -1
4
Período 2p
Fazendo o mesmo para a função cosseno, obtemos seu gráfico:
f(x) = cos (x)
1
p
p 3p 2p
2. x
2.
-1
Período 2p
49

51. Fundamentos da Matemática II
Nota 6 (Paridade das funções seno e cosseno). Considere um ângulo α com extremidade no
primeiro quadrante. Naturalmente, temos que o ângulo −α está localizado no quarto quadrante,
conforme ilustração abaixo.
A
Como os triângulos ∆AOM e ∆BOM são congruentes, temos
que: ´ a
sen(α) = yA = −yB = − sen(−α)
cos(α) = xA = xB = cos(−α) O M
-a
Portanto, a função seno é uma função ímpar, enquanto que a
função cosseno é uma função par.
B
AppletJAVA
Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, gráficos de
A
V
A
algumas funções trigonométricas.
3.4 Outras Funções Trigonométricas
As funções seno e cosseno são, dentre as funções trigonométricas, as mais elementares no seguinte
sentido: todas as demais derivam delas a sua definição. Assim, definimos abaixo as funções: tangente,
cotangente, secante e cossecante, representando, em seguida, o gráfico correspondente.
f(x) = tg(x) f(x) = cotg(x)
1 1
p p p 3p
p 3p 2p x 2. 2p x
2. 2. 2.
-1 -1
Período p Período p
sen(x ) 1 cos(x )
f (x ) = tg(x ) = f (x ) = cotg(x ) = =
cos(x ) tg(x ) sen(x )
50

52. f(x) = cossec (x)
1
sen (x)
- p p
3p
-2p 2. 2.
-p p 2p
- 3p 2. x
2.
-1
Período 2p Período 2p
1
f (x ) = cossec(x ) =
sen(x )
f(x) = sec (x)
1
cos (x)
- p p
2.
-p p 3p 2p
-2p - 3p 2. 2.
x
2.
-1
Período 2p Período 2p
1
f (x ) = sec(x ) =
cos(x )
51

53. Fundamentos da Matemática II
Nota 7 (Paridade das outras funções trigonométricas). Da paridade das funções seno e
cosseno, deduziremos a paridade das outras funções trigonométricas.
sen(−x ) − sen(x )
tg(−x ) = = = − tg(x ) ⇒ f (x ) = tg(x ) é ímpar
cos(−x ) cos(x )
cos(−x ) cos(x )
cotg(−x ) = = = − cotg(x ) ⇒ f (x ) = cotg(x ) é ímpar
sen(−x ) − sen(x )
1 1
cossec(−x ) = = = − cossec(x ) ⇒ f (x ) = cossec(x ) é ímpar
sen(−x ) − sen(x )
1 1
sec(−x ) = = = sec(x ) ⇒ f (x ) = sec(x ) é par
cos(−x ) cos(x )
3.5 Exercícios Propostos
3.1. Determine o valor do seno e do cosseno dos ângulos 510◦ , −3555◦ e 4290◦.
17π 9π −35π
3.2. Determine o valor do seno e do cosseno dos ângulos , e .
6 4 4
3.3. Esboce o gráfico das seguintes funções construindo a tabela de pontos:
x
(a) f (x ) = − sen(x ) (d) f (x ) = −3 cos(x ) (g) f (x ) = sen −
2
(b) f (x ) = − cos(x ) (e) f (x ) = sen(2x ) x
(h) f (x ) = cos
2
(c) f (x ) = 2 sen(x ) (f) f (x ) = − cos(3x )
3.4. Expresse em rad cada ângulo a seguir:
(a) 60◦ (c) 350◦ (e) 2◦ (g) 150◦ (i) 330◦
(b) 210◦ (d) 12◦ (f) 25◦ (h) 2120◦
3.5. Expresse em graus:
10π π 4π
(a) (c) (e)
9 9 3
11π π 5π
(b) (d) (f)
8 10 12
3.6. Calcule a principal determinação dos arcos abaixo:
46π
(a) 1550 (c) 440 (e)
5
23π
(b) −2165 (d) 17π
4 (f)
3
Gabarito
√ √ √ √ √ √ √ √ √
1 3 2 2 2 − 2 1 3 2 2 1 3 π 7π
Questão. 3.1. e− ; e ;− e . Questão. 3.2. e− ; e ;− e . Questão. 3.4. (a) . (b) .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 6
35π π π 5π 5π 106π 11π ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
(c) . (d) . (e) . (f) . (g) . (h) . (i) . Questão. 3.5. (a) 200 . (b) 247, 5 . (c) 20 . (d) 18 . (e) 240 . (f) 75 .
18 15 90 36 6 9 6
◦ ◦ ◦ 7π 6π 5π
Questão. 3.6. (a) 110 . (b) 355 . (c) 80 . (d) . (e) . (f) .
4 5 3
52

54. Outras Funções Elementares
Outras Funções Elementares
4.1 Apresentação
Apresentaremos algumas funções elementares e sues gráficos, como por exemplo a função modular,
que por sua vez, nada mais é do que uma função definida por mais de uma sentença que também é
um objeto de estudo desta seção. Iremos construir os gráficos de algumas funções importantes, que
servirão para a construção de outras funções. Lembramos que a investigação e esboço de outras formas
de função será estudo numa disciplina posterior, Cálculo Diferencial I. Solicitamos ainda que consulte o
AVA (Ambiente Virtual de Aprendizagem) para ampliarmos nosso rol de gráficos com auxílio dos Applets,
possibilitando-nos, em tempo real, manipulações capazes de analisarmos gráficos em diversas formas.
4.2 Função Potência
Para cada natural n, consideremos a função f : R → R, tal que, para cada x ∈ R associa o número real
x n . Dividiremos em dois casos, conforme n seja par ou ímpar. Vejamos cada um deles.
(1) f (x ) = x n , n é um natural par. Para construção de gráficos de funções desta natureza, basta notar
que:
6
y h(x) = x
g(x) = x 4
x6 x4 x2 ⇔ −1 x 1
x6 = x4 = x2 ⇔ x = ±1
x6 x4 x2 ⇔ x −1 ou x 1 f(x) = x²
A figura ao lado apresenta, num mesmo sistema de co-
ordenadas, os gráficos das funções:
f (x ) = x 2 , g (x ) = x 4 , h(x ) = x 6 .
x
Observe ainda que, neste caso, as funções não apresentam imagens negativas, ou seja, seu gráfico
encontra-se todo acima do eixo-x .
(2) f (x ) = x n , n é um natural ímpar. A análise é análoga à construção anterior. Ou seja:
53

55. Fundamentos da Matemática II
y 7
h(x) = x g(x) = x 5
x7 x5 x3 ⇔ 0 x 1 ou x −1 f(x) = x³
x7 = x5 = x3 ⇔ x = ±1
x7 x5 x3 ⇔ −1 x 0 ou x 1
A figura ao lado apresenta, num mesmo sistema de co-
ordenadas, os gráficos das funções:
f (x ) = x 3 , g (x ) = x 5 e h(x ) = x 7 .
x
Observe que, neste caso, as imagens das funções po-
dem assumir valores negativos, fato que não é possível
quando a potência tem expoente par.
Applet JAVA
Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, o gráfico de
uma função potência qualquer.
A
V
A
4.3 Funções Definidas por mais de uma Sentença
Dizemos que as funções definidas por mais de uma sentença, são as funções da forma:
S1 (x ), C1
S2 (x ), C2
f (x ) = .
.
.
Sn (x ), Cn
em que cada Si (x ) é uma sentença sujeita à condição Ci , ou seja, cada condição será o domínio para a
respectiva sentença. Assim,
−1, x −1
f (x ) = x, −1 ≤ x 1
2, x ≥1
é um exemplo de uma função definida por três sentenças em que S1 (x ) = −1, S2 (x ) = x e S3 (x ) = 2, e
suas respectivas condições: C1 : x −1, C2 : −1 ≤ x 1 e C3 : x ≥ 1.
Seu gráfico é facilmente construído, se olharmos para ela como sendo três funções distintas, que serão
as sentenças, com seus respectivos domínios, as condições. Veja ilustração abaixo:
54

56. y y y
x x x
Unindo os gráficos acima, num mesmo sistema de coorde- y
nadas, temos o gráfico da função:
−1, x −1 1
f (x ) = x , −1 ≤ x 1
2, x ≥1 x
1
conforme ilustra a figura ao lado
4.4 Função Modular
A função módulo, f (x ) = |x |, é a função f : R → R em que a cada x ∈ R associa um único número real
|x |. Da definição de módulo (ou valor absoluto) de um número real, escrevemos:
´
x, x ≥ 0
f (x ) = |x | =
−x , x 0
Gráfico: Note que a função modular é uma função definida por
y
sentenças. Assim, seu gráfico é obtido a partir da construção das
funções
a
S1 (x ) = x , se x ≥ 0 e S2 (x ) = −x , se x 0
como a figura ao lado. -a a x
¬ ¬
Exemplo 4.1. Consideremos a seguinte função f (x ) = ¬x 2 − 4¬. Pela definição de módulo, dada acima,
escrevemos:
´ ´
¬ ¬ x 2 − 4, se x2 − 4 ≥ 0 x 2 − 4, se x2 ≥ 4
f (x ) = ¬x 2 − 4¬ = =
−(x 2 − 4), se x2 − 4 0 −x 2 + 4, se x2 4
Para construirmos o gráfico desta função, é suficiente que construamos o gráfico das funções S1 (x ) = x 2 −4
e S2 (x ) = −x 2 + 4, sujeitas às condições C1 : x 2 ≥ 4 e C2 : x 2 4, respectivamente. Assim, será preciso
obter os intervalos em x para essas duas condições, ou seja, a solução destas inequações serão os
domínios de cada sentença.
55

57. Fundamentos da Matemática II
Como solução para as inequações
C1 : x 2 − 4 ≥ 0 e C2 : x 2 − 4 0 + +
temos, respectivamente, -2 2
- x
x ≤ −2 ou x ≥ 2 e − 2 x 2.
´
¬ ¬ x 2 − 4, se x ≤ −2 ou x ≥ 2
Desta forma, reescrevemos f (x ) = ¬x 2 − 4¬ =
−x 2 + 4, se −2 x 2
Segue o gráfico abaixo
y y
y
-2 2 x -2 2 x
-2 2 x
¬ ¬
S1 (x ) = x 2 − 4, S2 (x ) = −x 2 + 4, f (x ) = ¬x 2 − 4¬
se x ≤ −2 ou x ≥ 2 se − 2 x 2
Applet JAVA
Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, o gráfico de
algumas funções modulares.
A
V
A
4.5 Função Polinomial
São exemplos de funções polinomiais, as funções afins e quadráticas. Uma função polinomial, ou
simplesmente um polinômio, tem a forma:
f (x ) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0
em que n é um número natural, e os números a0 , a1 , a2 , . . . , an são constantes denominadas coeficientes
do polinômio.
O domínio desta função é R. Se o coeficiente do termo de maior potência é não nulo, isto é, an = 0,
então o polinômio é dito de grau n. Assim, por exemplo, os polinômios p (x ) = 7x − 3, f (x ) = −x 2 + x + 1 e
√
g (x ) = 3x 5 + 2x 3 − x + 2 são polinômios de graus 1, 2 e 5, respectivamente.
Vimos que não há dificuldades em esboçar gráficos de funções polinomiais de graus um e dois. O
mesmo não se pode dizer para um polinômio de grau n ≥ 3. Na disciplina Cálculo I, veremos algu-
mas técnicas (limites e derivadas) que nos são úteis para esboçar o gráfico de uma função polinomial
de grau qualquer. No entanto, além da função potência f (x ) = x 3 , podemos construir facilmente gráficos
de algumas funções definidas por polinômios de grau três, fatorando-os num produto de fatores lineares.
Primeiramente, um polinômio de grau 3 tem a forma
f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , a = 0,
56

58. e é também chamada função cúbica. Vamos ao exemplo.
Exemplo 4.2. Seja f (x ) = x 3 − 4x . Observe que x 3 − 4x = x (x 2 − 4) = x (x + 2)(x − 2). Então as raízes
de f são os números 0, 2 e−2. Para esboçar o gráfico, analisemos a tabela abaixo, contendo o estudo de
sinal dos fatores lineares e, portanto, de f (x ):
y
x −2 x x +2 f (x )
x −2 − − − −
−2 x 0 − − + +
0x 2 − + + −
x 2 + + + +
Assim, o gráfico tem um ponto de máximo no intervalo -2 2 x
(−2, 0) e um ponto de mínimo no intervalo (0, 2), nos aju-
dando a esboçar seu gráfico, conforme a figura ao lado.
Atenção: Veremos, na disciplina “Cálculo Diferencial e In-
tegral I”, que estes pontos são de mínimo e de máximo
local da função f (x ).
Applet JAVA
Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, o gráfico de
algumas funções polinomiais.
A
V
A
4.6 Função Recíproca
y
Uma função f : R∗ → R recebe o nome de função
recíproca quando a cada elemento x ∈ R∗ associa o ele-
1
mento , ou seja,
x 1
1
f (x ) = , ∀ x ∈ R∗ .
x -1 1 x
Para esboçar o gráfico desta função, (figura ao lado) -1
basta notar que os pontos (1, 1) e (−1, −1) pertencem ao
seu gráfico, e as seguintes importantes informações:
(i) À medida que x cresce indefinidamente, temos que f (x ) tende para 0;
(ii) À medida que x decresce indefinidamente, temos que f (x ) tende para 0;
(iii) À medida que x se aproxima de 0 pela direita, f (x ) cresce indefinidamente;
57

59. Fundamentos da Matemática II
(iv) À medida que x se aproxima de zero pela esquerda, f (x ) decresce indefinidamente.
Nota 8.
(1) No gráfico de f (x ), dizemos que os eixos coordenados são, neste caso, as assíntotas ver-
tical e horizontal. (Maiores detalhes, serão vistos em Cálculo I)
y
(2) No curso de Geometria Analítica, disciplina fu-
tura, veremos que a expressão:
1 v u
y= ,
x
equivalentemente a xy = 1, é na verdade 1
uma hipérbole no plano sob rotação de eixos 45º
de um ângulo 45o , veja a figura ao lado. -1 1 x
Mais geralmente, para quaisquer números -1
A, B , C , D , E e F , veremos que equações do
tipo
Ax 2 + Bxy + C y 2 + Dx + E y + F = 0
quando possuir lugar geométrico, será uma parábola, uma elipse, uma hipérbole, uma reta
ou um par de retas.
1 1
Para as funções g (x ) = e h(x ) = , procedemos de modo análogo, desde que tenhamos em
x +1 x −1
mente os domínios destas funções, que são:
Dom(g ) = {x ∈ R; x = −1} e Dom(h) = {x ∈ R; x = 1}.
Com esses domínios, em relação aos ítens (iii) e (iv), exibidos acima, escreveremos para g e h, respec-
tivamente,
(iii′ ) À medida que x se aproxima de −1 pela direita, temos que x + 1 se aproxima de 0, por valores
positivos e, logo, g (x ) cresce indefinidamente;
(iv′ ) À medida que x se aproxima de −1 pela esquerda, temos que x + 1 se aproxima de 0, por valores
negativos e, logo, g (x ) decresce indefinidamente.
(iii′′ ) À medida que x se aproxima de 1 pela direita, temos que x + 1 se aproxima de 0 por valores positivos
e, logo, h(x ) cresce indefinidamente;
(iv′′ ) À medida que x se aproxima de 1 pela esquerda, temos que x + 1 se aproxima de 0 por valores
negativos e, logo, h(x ) decresce indefinidamente.
1 1
Abaixo estão exibidos os gráficos das funções g (x ) = e h(x ) = , respectivamente.
x +1 x −1
58

60. y y
1 1
-2 -1 1 -2
x x
-1
-1
Applet JAVA
Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, o gráfico de
V
A algumas recíprocas.
A
4.7 Exercícios Propostos
4.1. Transforme as funções na forma de sentenças e, em seguida, esboce seus gráficos.
¬ ¬
(a) f (x ) = |2x − 1| + 2 (e) f (x ) = x 2 − 3|x | + 2 (i) f (x ) = ¬|x − 1| + x − 3¬
(b) f (x ) = |x | + 2 (f) f (x ) = | sen(x )| (j) f (x ) = |x + 1| + x − 2
(c) f (x ) = |x | − 2 (g) f (x ) = | cos(x )|
(d) f (x ) = |2x − x 2 | (h) f (x ) = k − |x − k |, k 0
4.2. Esboce os gráficos das seguintes funções polinomiais.
(a) f (x ) = x 3 − 3x 2 + 2x (c) f (x ) = x 4 − x 2
(b) f (x ) = x 4 − 5x 3 + 6x 2 (d) f (x ) = x 3 − x 2 − 9x + 9
4.3. Determine os domínios e esboce os gráficos das funções a seguir.
1 1 1 1
(a) f (x ) = (b) f (x ) = (c) f (x ) = (d) f (x ) =
x2 (x − 1)2 (x + 1)2 |x |
Gabarito
´
2x + 1, se x ≥
1 Ò Ò
2 x + 2, se x ≥ 0 x − 2, se x ≥ 0
Questão. 4.1. (a) f (x ) = 1 . (b) f (x ) = . (c) f (x ) = .
−2x + 3, se x −x + 2, se x 0 −x − 2, se x 0
Ò 2 Ò
2x − x 2 , se 0 ≤ x ≤ 2 x 2 − 3x + 2, se x ≥ 0
(d) f (x ) = . (e) f (x ) = .
x 2 − 2x , se x 0 ou x 2 x 2 + 3x + 2, se x 0
Ò cos(x ),
π
se −
+ 2k π ≤ x ≤
π
+ 2k π, k ∈ Z
sen(x ), se 2k π ≤ x ≤ π + 2k π, k ∈ Z 2 π 2 π
(f) f (x ) = . (g) f (x ) = .
− sen(x ), se x 2k π ou x π + 2k π, k ∈ Z − cos(x ), se x − + 2k π ou x + 2k π, k ∈ Z
Ò Ò Ò 2 2
2k − x , se x ≥ k 2x − 4, se x ≥ 2 3x − 1, se x ≥ −1
(h) f (x ) = . (i) f (x ) = . (j) f (x ) = . Questão. 3.3. (a) R − {0}.
x , se x k 4 − 2x , se x 2 −3, se x −1
(b) R − {1}. (c) R − {−1}. (d) R − {0}.
59

61. Fundamentos da Matemática II
Atividade Orientada
O material que abrangemos neste volume consiste, basicamente, numa revisão de conceitos e pro-
priedades já explorados no ensino médio. Considerando as muitas lacunas deixadas quando se estudam
estes tópicos, pela primeira vez, entendemos válida e plenamente justificada esta revisão. Isto, certa-
mente, confere uma visão mais geral e abrangente destes temas, além de tornar mais claras as suas
inter-relações.
Entretanto, não seria, de modo algum, adequado limitarmo-nos a uma mera revisão de conceitos.
Com este propósito, concebemos um bloco de atividades que exigem, além de um razoável conhecimento
destes temas, uma cuidadosa reflexão para sua análise e resolução. Esclarecemos que estas atividades
têm caráter, acima de tudo, educativo, embora integrem o sistema de avaliação neste curso. Desejamos-
lhe boa sorte.
5.1 Etapa 1
5.1.1. Nosso primeiro trabalho consiste num exemplo bem simples de modelagem. A situação envolve
uma operadora de telefonia e seu sistema de tarifação. Suponha que desejamos formular matematica-
mente uma expressão que forneça o valor de uma conta em função dos chamados “pulsos além franquia”.
Considere que tudo o que temos são duas contas, cada uma delas contendo os “pulsos além franquia” e
o correspondente valor cobrado, conforme a tabela seguinte. Lembre-se que o valor total da conta equivale
ao custo relativo aos “pulsos além franquia”, mais uma assinatura mensal.
Pulsos além franquia Valor total da conta
Conta 1 35 R $ 75, 00
Conta 2 65 R $ 92, 00
Supondo que a relação entre pulsos e o correspondente valor cobrado seja dada por uma função afim,
pede-se:
(a) A função correspondente a este exemplo. (b) O valor da assinatura cobrado pela operadora.
5.1.2. Uma companhia de telefones celulares oferece a seus clientes duas opções: na primeira opção,
cobra R $ 38, 00 pela assinatura mensal e mais R $ 0, 60 por minuto de conversação; na segunda, não há
taxa de assinatura, mas o minuto de conversação custa R $ 1, 10.
(a) Qual a opção mais vantajosa para um cliente que utiliza em média 1 hora de conversação mensal?
(b) A partir de quanto tempo deve-se optar pela primeira opção?
5.1.3. Há muitos anos uma professora do ensino fundamental adotava o seguinte critério como nota
de participação no bimestre: todo aluno começava com 10; quando ele deixava de fazer uma tarefa ou
apresentava um comportamento inadequado em aula, recebia um negativo, perdendo 0, 4 na nota.
(a) Qual seria a nota de participação de um aluno que recebesse 7 negativos no bimestre?
(b) Em geral, como se expressaria a nota n de participação de um aluno que recebesse x negativos?
5.1.4. Para certo automóvel considere:
60

62. I. O consumo de combustível C (número de litros necessários para percorrer 100 km).
II. A velocidade média v (em quilômetros horários).
v2 3v
Determinou-se que C é uma função de v ; dada por C (v ) = − + 26; para v entre 45 km/h e
200 5
125 km/h. Nessas condições, qual é a velocidade média correspondente a um consumo igual a 10 litros?
5.1.5. Uma malharia familiar fabrica camisetas a um custo de R $ 2, 00 por peça e tem uma despesa fixa
22 x
semanal de R $ 50, 00. Sabe-se que são vendidas x camisetas por semana ao preço de − reais a
3 30
unidade. Nessas condições:
(a) Obtenha a lei que define o lucro L dessa malharia.
(b) Especifique quantas camisetas deverão ser vendidas por semana para se obter o maior lucro possível.
5.1.6. Duas plantas de mesma espécie, A e B , que nasceram no mesmo dia, foram tratadas desde o
início com adubos diferentes. Um botânico mediu todos os dias o crescimento, em centímetros, dessas
plantas. Após 10 dias de observação, ele notou que o gráfico que representa o crescimento da planta A
é uma reta passando por (2, 3) e o que representa o crescimento da planta B pode ser descrito pela lei
24x − x 2
matemática y = . Um esboço desses gráficos está representado na figura abaixo. Sendo assim
12
determine:
y Planta A
(altura)
Planta B
(a) A equação da reta que representa o crescimento da planta
A.
(b) O dia em que as plantas A e B atingiram a mesma altura e
qual foi essa altura.
3
2 x (dias)
5.2 Etapa 2
5.2.1. A lei seguinte representa o crescimento do número de pessoas infectadas por uma gripe, em
certa metrópole: N (t ) = a · 2bt , em que N (t ) é o número de pessoas infectadas t dias após a realização
desse estudo e a e b são constantes reais. Sabendo que no dia em que se iniciou o estudo já havia 3.000
pessoas infectadas e que; após 2 dias, esse número já era de 24.000 pessoas, determine:
(a) Os valores das constantes a e b .
(b) O número de pessoas infectadas pela gripe após 16 horas do início dos estudos.
5.2.2. Agora, trataremos das propriedades operatórias dos logaritmos. Realize a demonstração das
propriedades listadas abaixo:
1
I. loga (m · n) = loga m + loga n; III. logab m = loga m
b
m
II. loga = loga m − loga n; logm b
n IV. loga b = :
logm a
61

63. Fundamentos da Matemática II
Como sugestão, considere a primeira propriedade. Em sua demonstração, escreva
loga m = x e loga n = y ,
e prove, utilizando as propriedade que você conhece, que
loga m · n = x + y .
Proceda desta maneira em relação às demais propriedades, e sucesso!.
5.2.3. Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em
relação ao tempo t , contado em anos, aproximadamente, segundo a relação:
P (t ) = P (0) · 2−0,25t .
Sendo P (0) uma constante que representa a população inicial dessa região e P (t ) a população t anos
após, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à quarta parte da
inicial.
5.2.4. Daqui a t anos o valor de um automóvel será V = 2.000 · (0, 75)t reais. A partir de hoje, daqui a
quantos anos ele valerá a metade do que vale hoje? Adote log(2) = 0, 3 e log(3) = 0, 48.
5.2.5. Segundo uma pesquisa, após x meses da constatação da existência de uma epidemia, o número
de pessoas por ela atingidas é
20.000
f (x ) = .
2 + 15 · 4−2x
Supondo log(2) = 0, 3 e log(3) = 0, 48; daqui a quanto tempo, aproximadamente, o número de pessoas
atingidas por essa epidemia será de 2.000?
5.2.6. Um medicamento dado a um paciente entra em sua corrente sangüínea. Ao passar pelo fígado
e pelos rins, é metabolizado e eliminado a uma taxa que depende da droga. Para o antibiótico ampicilina,
aproximadamente 40% da droga é eliminada a cada hora.
(a) Qual a quantidade de ampicilina (Q ), em mg , na corrente sangüínea, após t horas desde que a droga
foi dada?
(b) Qual é a meia-vida da ampicilina no corpo? (Meia-vida de Q : tempo para o qual Q se reduz a metade).
5.2.7. Uma xícara de café contém cerca de 100 mg de cafeína. A meia-vida da cafeína no corpo é de
cerca de 4 horas. Isto significa que a cafeína decai a uma taxa de 16% por hora.
(a) Descreva uma fórmula para calcular a quantidade Q de cafeína no corpo como função do número de
horas t desde que o café foi tomado e confirme que a meia vida de uma substância que decai a uma
taxa de 16% por hora é de cerca de 4 horas.
(b) Quanto tempo levará até que o nível de cafeína no corpo atinja 20 mg ?
5.3 Etapa 3
Resolva as questões 5.3.1, 5.3.2 e 5.3.3, utilizando a relação fundamental sen2 (x ) + cos2 (x ) = 1.
1
5.3.1. Se x pertence ao segundo quadrante e sen(x ) = √ , calcule o valor de tg(x ).
26
62

64. 12
5.3.2. Se x está no segundo quadrante e cos(x ) = − , determine valor de sen(x ).
13
5.3.3. Determine os valores de y de modo que satisfaçam ambas as igualdades:
y +2 y +1
sen(x ) = e cos(x ) =
y y
5.3.4. Considere que as fases da Lua sejam regidas, aproximadamente, pela função
1 1 d ·π
f (d ) = + · sen
2 2 14
em que f (d ) corresponde à fração (em porcentagem) da superfície lunar visível iluminada no “d-ésimo” dia
de uma observação. Nessas condições, pergunta-se:
(a) De acordo com a função dada, em que dia teremos 100% de visibilidade, ou seja, lua cheia?
(b) Que fração da superfície lunar estará visível no 49◦ dia de observação?
y
5.3.5. O gráfico, ao lado, se refere a função f (x ) = b · cos(mx ), 3
em que 0 ≤ x ≤ π e m = 0. Nessas condições, determine os π
2
valores de b e m. π
4
3π π x
4
Para responder as questões 5.3.6 e 5.3.7, considere: −3
É comum observarmos em casas de xerox promoções do tipo: “Até 100 cópias: R $ 0, 10 por
cópia. Acima de 100 cópias (de um mesmo original): R $ 0, 07 por cópia excedente.”
5.3.6. Sendo assim determine:
(a) O valor pago por 130 cópias de um mesmo original.
(b) A lei que define a função preço p pago pela reprodução de x cópias de um mesmo original.
5.3.7. Suponha que, durante um certo mês, a promoção tenha se estendido do seguinte modo: até 100
cópias, R $ 0, 10 por cópia; de 100 a 200 cópias de um mesmo original, R $ 0, 07 por cópia excedente e,
acima de 200 cópias de um mesmo original, R $ 0, 05 por cópia excedente. Determine:
(a) O preço pago por 230 cópias de um mesmo original.
(b) A lei que define o preço p em função do número de cópias x .
5.3.8. Construa o gráfico da função
f :R → R
−1 − x , se x ≤ 1
x → 2 , se 1 x 2
|4 − x 2 | , se x ≥ 2
63

65. Fundamentos da Matemática II
Referências Bibliográficas
[1] AABOE, Asger. Episódios da História Antiga da Matemática. Coleção Fundamentos da Matemática
Elementar. 2a edição. Rio de Janeiro: SBM, 2.002.
[2] EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. 3a edição. Campinas: Editora da UNICAMP,
2.002.
[3] LIMA, Elon Lages. Logaritmos. 2a edição. Rio de Janeiro: SBM, 1.996.
[4] IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. Vol. 1. 8a edição. São
Paulo: Atual Editora Ltda, 2.004.
[5] LIMA, Elon Lages e outros. A Matemática do Ensino Médio.
[6] LIMA, Elon Lages e outros. Matemática e Ensino. Coleção do Professor de Matemática. 2a edição.
Rio de Janeiro: SBM, 2.003.
[7] SODRÉ, Ulysses. Matemática Essencial: Ensino Fundamental, Médio e Superior.
URL: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica
[8] PAULO, Marques. Matemática do Científico ao Vestibular.
URL: http://www.terra.com.br/matematica
64

66. Anotações
65

67. FTC-E A D
Faculdade de Tecnologia e Ciências – Educação a Distância
Democratizando a educação.
www.ead.ftc.br

68. www.ead.ftc.br