Giuliano Munhoes, um estudante de 16 anos, criou um jogo educativo de matemática com 30 questões de vestibular, visando promover o aprendizado divertido. Ele destaca sua experiência em aulas de apoio e prêmios em olimpíadas de matemática e astronomia. O jogo inclui elementos interativos para facilitar a aprendizagem sobre poliedros, prismas, pirâmides e sólidos de revolução.

1. Por Giuliano Lioi Munhoes

3. Sou Giuliano Lioi Munhoes. Atualmente, tenho
16 anos, mas no dia 20 de maio vou fazer 17.
Estou no terceiro ano do ensino médio e, por
isso, não tenho formação profissional. Porém,
desde 2021, eu faço aulas de apoio em
matemática para o ensino médio no Instagram
(@giuliano_lioi). Ganhei duas medalhas de ouro
(Olimpíadas de Matemática do Poliedro 2021 e
Olimpíadas Brasileiras de Astronomia 2022) e
uma honra ao mérito para a segunda fase
(OBMEP 2022).

4. Criei este projeto, pois é muito
legal que o aluno aprenda se
divertindo. É o segundo jogo
que eu faço e o tema foi
selecionado por meio de
votação popular no Instagram.

5. Este jogo é composto por 30 questões alternativas de vestibular, pois é
uma área da matemática que cai muito nas maiores provas do país. Se
você clicar em uma alternativa correta, o bloco colorirá de verde, caso
contrário, de vermelho. Para entender melhor o exercício, terá, depois
de responder, uma resolução para conferir.
Se você clicar no sólido geométrico, ele se rotaciona em 10 segundos.

7. Definição, elementos e
classificação
Nomenclatura
Relação de Euler
Relação entre arestas e
faces
Poliedros regulares
Poliedros de Platão

8. Poliedro é todo sólido geométrico formado por faces poligonais.
Os polígonos que estão destacados
em azul são denominados Faces. Os
segmentos vermelhos indicam
arestas e os pontos são os vértices

9. Os poliedros são classificados em:
Neste sólido, todos
os segmentos de
reta conectados a
dois pontos internos
a ele não
apresentam região
externa, o que é
critério de
classificação para
convexo.
Agora, ocorreu o
contrário. Pelo
menos, um
segmento de reta
ligado a dois pontos
internos possui uma
região externa, o
que não é convexo.

10. Ela é muito semelhante a dos polígonos, porém o seu sufixo é “edro”, ao invés de “gono”.
Também, o prefixo indica a quantidade de faces (F)
F=4 → tetraedro
F=5→ pentaedro
F=6→ hexaedro
F=7→ heptaedro
F=8→octaedro
F=9→ nonaedro
F=10→ decaedro
F=11 → undecaedro
F=12→ dodecaedro
F=13→ tridecaedro
F=14→ tetradecaedro
...
F=20→ icosaedro
...

11. Vamos observar o prisma abaixo:
Determinando a quantidade de vértices(V), arestas(A) e faces(F), teremos,
respectivamente, V=8, A=12 e F=6. Podemos perceber que somados os números
de vértices e faces, obtemos A+2.
Portanto, para todos os convexos e alguns não convexos:

12. Vamos observar o prisma abaixo:
Podemos perceber que, para determinar o número de arestas a partir das faces, é
só contar a quantidade de faces do mesmo polígono e multiplicar pelo número
de lados que ele tem. Porém, há segmentos que estão em comum a duas faces,
logo, devemos dividir por dois no final.
𝐴 =
3𝐹3 + 4𝐹4 + 5𝐹5 + ⋯
2

13. Poliedros regulares são sólidos que apresentam todas as faces sendo polígonos regulares congruentes.
No espaço euclidiano tridimensional, existem, somente, 5 poliedros regulares, que são:
Tetraedro Regular Hexaedro regular (cubo) Octaedro Regular Dodecaedro Regular
Icosaedro Regular

14. Para que o poliedro seja de Platão, ele deve seguir estes critérios:
1- Precisa ser convexo ( válida relação de Euler).
2- Todos os vértices devem partir o mesmo número de arestas.
3- Todas as faces contém o mesmo número de arestas.
Exemplos: Todos os poliedros regulares, tronco de pirâmide retangular e outros sólidos.

15. Definição e classificação
Nomenclatura
Áreas
Volume
Paralelepípedo
Cubo

16. Dado dois planos paralelos.
E polígonos congruentes de
mesma orientação, uma em
cada plano.
Ligo os pontos e formo um
sólido denominado prisma

17. O prisma é
classificado como
reto quando as
faces laterais são
perpendiculares ao
chão.
O prisma é
classificado como
oblíquo quando as
faces laterais
formam um ângulo
não reto ao chão.

18. O nome do prisma se baseia na base dele. E existem os poliedros regulares, nos quais a sua base é um
polígono regular. Por isso, o seu nome termina com regular.
Veja alguns exemplos:
Prisma Triangular
Regular
Prisma Triangular Prisma Quadrangular
Regular
Prisma Hexagonal
Regular

19. Para Começar, nós temos as bases do prisma, faces que
estão identificadas em azul. Elas tem uma área,
denominada área da base (𝐴𝑏). O seu cálculo depende do
seu formato.
Também temos as faces laterais, que estão entre bases,
indicadas em laranja. Todas elas são retângulos e, para
calcular a área lateral (𝐴𝐿), basta somar essas áreas.
𝐴𝑟𝑒𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑏ℎ
As arestas mostradas em vermelhas pertencem à região
lateral e significam as alturas do prisma reto.
Por último, temos a área total (𝐴𝑇)que é a soma de todas
as faces.
𝐴𝑇 = 2𝐴𝑏 + 𝐴𝐿

20. O Volume é a medida do espaço ocupado. Para
qualquer prisma, o volume é o produto entre a área
da base (destacado em azul) e a altura (destacado em
vermelho):
𝑉 = 𝐴𝑏ℎ
A unidade de medida para volume, no sistema
internacional, é m³. Porém, há variações
(cm³,dm³,km³,L,mL), logo, vamos saber como
transformar:

21. Para começar, devemos lembrar dos múltiplos e submúltiplos do metro:
𝑘𝑚 ℎ𝑚 𝑑𝑎𝑚 𝑚 𝑑𝑚 𝑐𝑚 𝑚𝑚
∙ 10
÷ 10
Quando a unidade está elevado ao quadrado, a sua passagem também possui expoente, logo, quando passo
uma casa para a direita, multiplico por 10²=100 e para o sentido contrário, divido também por ele.
É a mesma coisa quando está elevado ao cubo, ou seja, multiplico por 10³=1000 quando passo para a direita e
divido quando vai para a esquerda.
Além disso, temos o litro e devemos lembrar destas relações:
1m³=1000L
1L=1dm³
1L=1000mL
1mL=0,001L

22. O Paralelepípedo é um caso especial de prisma onde sua base é um
retângulo.
Cálculos:
𝐴𝑏 = 𝑎𝑏
𝐴𝐿 = 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 = 2(𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)
𝐴𝑇 = 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 = 2(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)
𝑉 = 𝐴𝑏ℎ = 𝑎𝑏𝑐
𝑑 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐²
D é a diagonal do Paralelepípedo. Ele é a maior distância entre os
vértices do sólido no qual ele parte de um vértice, atravessa dentro
da figura e termina no vértice oposto da outra face.
Sua demonstração é baseada no teorema de Pitágoras e, por isso,
sua formula é bem semelhante ao do triângulo retângulo.
d
a=comprimento
b=largura
c=altura

23. O cubo é considerado um hexaedro regular, ou seja, apresenta
seis faces quadriculadas congruentes e, como consequência,
arestas com medidas iguais.
Os seus cálculos são, considerando l como lado:
𝐴𝑏 = 𝑙²
𝐴𝐿 = 4𝑙²
𝐴𝑇 = 6𝑙²
𝑉 = 𝐴𝑏ℎ = 𝑙³
𝑑 = 𝑙 3
d

24. Definição e nomenclatura
Áreas
Apótemas
Tetraedro Regular
Tronco de pirâmide
Volumes

25. Dado um plano, uma
polígono marcado nela e um
ponto externo a ela (vértice)
Conectamos os pontos
e formamos um sólido
denominado pirâmide

26. A nomenclatura, a mesma dos prismas, depende da sua base e, se for regular (base sendo polígono
regular), acrescente regular.
Veja alguns exemplos:
Pirâmide Triangular
Regular
Pirâmide
Quadrangular Regular
Pirâmide
Quadrangular
Pirâmide Hexagonal
Regular

27. Nos polígonos regulares, o apótema é a menor distância do centro até um dos seus lados.
Nas pirâmides regulares, teremos dois apótemas:
𝑎𝑝
𝑎𝑏
ℎ
Apótema da base (𝑎𝑏): é a menor distância do centro da
base até uma de suas arestas. Lembrando de uma das
propriedades do apótema, ela intercepta no ponto médio
do lado.
Apótema da pirâmide (𝑎𝑝): é a distância do vértice da
pirâmide até o ponto médio da aresta da base.
Traçando uma altura (h), determinamos uma relação
𝑎𝑝² = 𝑎𝑏² + ℎ²

28. A pirâmide possui uma base (está em azul) e faces laterais
(amarelo). A partir disso, temos a área da base (𝐴𝑏), que
depende do formato para o seu cálculo. A área lateral (𝐴𝐿) é
a soma das faces laterais, o que é a união das áreas dos
triângulos. Percebe-se que a altura das faces triangulares é o
apótema da pirâmide, o que difere com a altura da pirâmide.
Finalmente, temos a área total (𝐴𝑇) que é a soma de todas as
faces:
𝐴𝑇 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐿
𝐴𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =
𝑏ℎ
2

29. O Volume de uma pirâmide é parecido
com a de um prisma, porém, se tem
ponta, divide por 3:
𝑉 =
𝐴𝑏ℎ
3

30. É uma poliedro regular que possui 4 faces triangulares regulares,
logo, todas as arestas possuem a mesma medida. Ela é uma
pirâmide onde sua base é um triângulo equilátero. Com base de
tudo que foi citado e, por deduções, chegaremos a algumas
fórmulas opcionais (considerando “a” como a medida da aresta):
ℎ =
𝑎 6
3
𝐴𝑇 = 𝑎2 3
𝑉 =
𝑎² 3
12

31. O tronco de uma pirâmide é determinada por um plano paralelo a base que
limita uma pirâmide, o famoso “corte”. Percebe-se que a pirâmide amarela é
proporcional à pirâmide maior antes da interseção. E para calcular o volume
do tronco, basta fazer a diferença entre a pirâmide maior e a menor:
𝑉 = 𝑉𝑝𝑖𝑟𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝑉𝑝𝑖𝑟𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

32. Definição
Áreas
Volume
Seção meridiana

33. Dado uma figura qualquer e um eixo de rotação. Quando rotaciono 360º em torno do eixo, formo
um sólido de revolução.
Os principais exemplos são: Cilindro, cone e esfera. Importante ressaltar que eles não são
poliedros, pois uma de suas faces não são polígonos.

34. Dado um retângulo e um eixo de
rotação. Quando dou uma volta na
figura, o sólido formado é um Cilindro.
Mesmo que ele apresenta propriedades
semelhantes ao prisma, ele não é
considerado como isso , pois não é um
poliedro, uma vez que sua base é
circular.

35. Sólido Planificação
𝑏 = 𝐶 = 2𝜋𝑟
r
h=g h
r
r
Para facilitar o nosso cálculo, vamos planificar
(representação de todas as faces em um espaço
plano) o cilindro. Ele possui raios da base (r) e
altura (h) que pode ser chamada de geratriz(g)
A área da base é um círculo, logo:
𝐴𝑏 = 𝜋𝑟²
A área lateral é um retângulo, onde sua base é o
comprimento da circunferência. Com tudo isso:
𝐴𝐿 = 𝑏ℎ = 2𝜋𝑟ℎ
Por último, temos a área total que é a soma de
todas as faces:
𝐴𝑇 = 2𝐴𝑏 + 𝐴𝐿

36. Mesmo que o cilindro não é prisma, a fórmula do
volume é igual a desse poliedro.
𝑉 = 𝐴𝑏ℎ = 𝜋𝑟2
ℎ
r
h=g

37. Tenho um cilindro e determino a intersecção entre sólido e o plano
perpendicular a base que passa no centro.
A figura que foi determinada é chamada de seção meridiana
A partir disso, há o cilindro equilátero, quando sua seção meridiana é
um quadrado. Sua propriedade é que a altura é o diâmetro da base.

38. Definição
Geratriz
Volume
Áreas
Tronco
Seção meridiana

39. Dado um triângulo retângulo e o seu eixo de
rotação. Quando dou uma volta nessa figura,
determino um Cone
Mesmo que ele apresenta propriedades de
pirâmides, ele não é classificado desse tipo, pois
não é um poliedro, uma vez que sua base é
circular.

40. O cone apresenta um raio da base(b) , altura(h) e um
segmento importante denominado geratriz(g) que parte
do vértice (topo do cone) e vai até o comprimento da
circunferência.
A união dos segmentos forma um triângulo retângulo e o
teorema de Pitágoras determina a relação entre suas
medidas:
𝑔2
= ℎ2
+ 𝑟²
g
h
r

41. h
r
g
g
r
Sólido Planificação
Nós temos a área da base (em laranja)
que é do círculo:
𝐴𝑏 = 𝜋𝑟²
Quando planifico o cone, a sua área
lateral (em amarelo) é um setor circular
com o raio sendo a geratriz e o
comprimento dele é o perímetro da
circunferência da base. Por meio de
deduções, a sua fórmula é dada por:
𝐴𝐿 = 𝜋𝑟𝑔
Por último, é a sua área total que é a
soma de todas as faces:
𝐴𝑇 = 𝐴𝑏 + 𝐴𝐿

42. h
r
Mesmo que o cone não é pirâmide, seu
se aproxima dela:
𝑉 =
𝐴𝑏ℎ
3
=
𝜋𝑟2ℎ
3

43. A mesma coisa que acontecia com as pirâmides, os cones
também apresentam troncos. Ele é definido como um “corte”
de um plano paralelo à base diante ao sólido.
O cone restante (amarelo) é semelhante ao cone maior(
laranja+ amarelo). Por isso, para determinar o seu volume,
basta fazer a diferença entre o cone maior e o menor:
𝑉 = 𝑉𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝑉
𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

44. A seção meridiana, como a dos cilindros, é uma região de intersecção entre o
sólido e um plano que passa no centro ele, dividindo em duas partes.
No cone, a seção forma um triângulo.
Por último, temos o cone equilátero, onde essa região é um triângulo
equilátero e sua principal propriedade é que a sua geratriz é o diâmetro da
base.

45. Definição
Área e volume Fuso e Cunha
Seção esférica

46. A esfera é gerada a partir de uma volta completa de uma
semicircunferência em relação ao seu eixo de inclinação. Um outro
significado, semelhante a definição de circunferência, é o conjunto
de todos os pontos no espaço, equidistantes a um ponto fixo
denominado centro.
Ela possui um raio (r) e alguns elementos interessantes, como o
paralelo, meridiano, equador e polos(P1 e P2).
r
paralelo
meridiano
equador
P1
P2
C

47. A esfera só tem uma área superficial e um Volume.
A partir disso, existem estas duas fórmulas
importantes:
𝐴 = 4𝜋𝑟²
𝑉 =
4
3
𝜋𝑟³
r

48. R
h
r
A seção esférica é uma região de intersecção entre um plano e
esfera.
Para determinar o raio da circunferência que foi formada, basta
fazer uma relação pitagórica entre a altura h ( menor distância do
centro até a região) e o raio da esfera R:
𝑅2 = 𝑟2 + ℎ²

49. Existem regiões importantes para a esfera, a primeira é o
fuso, parecido com o arco de circunferência, que é uma
área superficial de uma esfera delimitada por dois planos.
Já a segunda é semelhante, porém conta a região interna
Para determinar a área do fuso a partir do ângulo de abertura, é
apenas fazer uma regra de três, a mesma coisa para encontrar o
volume do fuso.
360º → 4𝜋𝑟²
𝛼 → 𝐴
360º →
4
3
𝜋𝑟³
𝛼 → 𝑉

52. PISM 2019-UFJF
A figura abaixo corresponde à planificação de um determinado poliedro:
O número de vértices desse poliedro é
12
18
21
30
36

53. Na planificação, há 4 triângulos e 4 hexágonos. Para
determinar a quantidade de vértices, primeiro, vamos
determinar o número de arestas (Tenha atenção que não
é contar o número de segmentos) utilizando a relação
entre A e F que está no tópico 4 da teoria dos poliedros.
𝐴 =
3𝐹𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 + 6𝐹ℎ𝑒𝑥𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠
2
𝐴 =
3 ∙ 4 + 6 ∙ 4
2
𝐴 = 18
Agora, vamos usar a relação de Euler para chegar na
resposta:
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2
𝑉 + 8 = 18 + 2
𝑉 = 12
Alternativa A

54. Fuvest 2022
Um deltaedro é um poliedro cujas faces são todas triângulos equiláteros. Se um
deltaedro convexo possui 8 vértices, então o número de faces desse deltaedro é:
4 6 8 10 12

55. Sabendo que todas as suas faces são triângulos equiláteros, já podemos
estabelecer uma relação entre A e F:
𝐴 =
3𝐹
2
Utilizando V=8 na relação de Euler, obtemos a resposta:
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2
8 + 𝐹 =
3𝐹
2
+ 2 (∙ 2)
16 + 2𝐹 = 3𝐹 + 4
𝐹 = 12
Alternativa E

56. EsPCEx 2019
Um poliedro convexo, com 13 vértices, tem uma face hexagonal e 18 faces formadas por polígonos do tipo P.
Com base nessas informações, pode-se concluir que o polígono P é um:
dodecágono
Octógono
Pentágono
Quadrilátero
Triângulo

57. Começaremos a usar a relação entre arestas e faces, tendo consciência que
o polígono do gênero P possui P lados:
𝐴 =
1∙6+18𝑃
2
= 3 + 9𝑃
Utilizando V=13 na relação de Euler, determinamos o número de lados de P:
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2
13 + 19 = 3 + 9𝑃 + 2
27 = 9𝑃
𝑃 = 3
Portando o Polígono P é um triângulo
Alternativa E

58. Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces têm o
poliedro?
4
5
6
8

59. Se V=F e A=10, vamos usar a relação de Euler:
V+F=A+2
V+V=10+2
2V=12
V=6
Alternativa C

60. No ano de 1751, o matemático Euler conseguiu demonstrar a famosa relação para poliedros convexos que relaciona o
número de suas faces (F), arestas (A) e vértices (V): V + F = A + 2. No entanto, na busca dessa demonstração, essa relação
foi sendo testada em poliedros convexos e não convexos. Observou-se que alguns poliedros não convexos satisfaziam a
relação e outros não. Um exemplo de poliedro não convexo é dado na figura. Todas as faces que não podem ser vistas
diretamente são retangulares.
V+F=A
ENEM 2019 PPL
Qual a relação entre os vértices, as faces e as arestas do poliedro apresentado na figura?
V+F=A-1 V+F=A+1
V+F=A+2 V+F=A+3

61. Começaremos a contar os números de vértices, faces e arestas do poliedro.
Temos F=11, V=16 e A=24
Somamos F e V
F+V=27
Podemos observar que 27=A+3.
Portanto F+V=A+3
Alternativa E

63. 3
4
6
8
9
Um paralelepípedo possui dimensões 3 cm, 8 cm e 9 cm. A medida da aresta de
um cubo que possui volume igual ao do paralelepípedo é, em centímetros:
UC-RS 2015

64. Vamos determinar o volume do paralelepípedo :
𝑉 = 𝑎𝑏𝑐 = 3 ∙ 8 ∙ 9 = 216
Se o Volume do cubo é a³, então
𝑎3
= 216
𝑎 = 6
Alternativa C

65. 3,2 ∙ 104
5,2 ∙ 103
6,4 ∙ 104
9,6 ∙ 104
10,5 ∙ 104
Qual é a capacidade, em litros, de uma cisterna que tem a forma da figura
seguinte?
UPE/SSA 2018
10m
4m
8m

66. A sua base é um Triângulo retângulo onde foram dados um cateto medindo
8m e hipotenusa de 10m, logo, o outro cateto mede 6m a partir do
triângulo pitagórico.
Alternativa D
10m
4m
8m
𝐴𝑏 =
𝑏ℎ
2
=
8 ∙ 6
2
= 24𝑚²
𝑉 = 𝐴𝑏ℎ = 24 ∙ 4 = 96𝑚³
Sabendo que 1m³=1000L, então:
𝑉 = 96𝑚3 = 96 ∙ 1000𝐿 = 96000𝐿 = 9,6 ∙ 104𝐿

67. 8
9
9
3
8
24
72
Um cubo de aresta a tem volume 24. Assinale o valor do volume de um cubo de aresta
𝑎
3
:
PUC-RJ

68. Vamos considerar o volume do cubo de aresta “a” como 24, logo,
𝑎3
= 24
Alternativa A
Vou dividir a medida da aresta por 3 e
obtenho a resposta:
𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 =
𝑎
3
3
=
𝑎³
27
=
24
27
=
8
9

69. 36
48
32
52
Em um prisma triangular reto, a base XYZ é um triângulo retângulo cuja medida dos catetos
são respectivamente 3 m e 4 m. Se a medida do volume desse prisma é 18 m3, então, a
medida, em metros quadrados, da superfície total desse prisma é:
Uece 2019

70. Começaremos a determinar todas as arestas da base. Como se trata
em um triângulo retângulo de catetos 3m e 4m, então, no triângulo
pitagórico, a hipotenusa mede 5m.
Alternativa B
Vamos determinar a área da base
𝐴𝑏 =
3 ∙ 4
2
= 6𝑚²
𝑠𝑒 𝑉 = 𝐴𝑏ℎ = 18𝑚3, então
6ℎ = 18
ℎ = 3
Vamos determinar a área lateral, que é a soma dos retângulos:
𝐴𝐿 = 3 ∙ 3 + 4 ∙ 3 + 5 ∙ 3
𝐴𝐿 = 9 + 12 + 15 = 36𝑚²
Por fim, a área total que é a soma de todas as faces:
𝐴𝑇 = 2𝐴𝑏 + 𝐴𝐿 = 2 ∙ 6 + 36 = 48𝑚²
3m
4m
5m
3m

71. 1
6
1
6
1
6
Um prisma reto de base hexagonal regular tem a mesma altura de um prisma cuja base é um triângulo
equilátero. Considere h a medida da aresta da base do prisma hexagonal e t a medida da aresta da base do
prisma triangular. Se ambos os prismas têm o mesmo volume, então a razão
ℎ
𝑡
vale
UFRGS 2019
6

72. Se ambos possuem o mesmo volume e altura e a fórmula é área da
base vezes altura, então:
Alternativa A
𝑉𝑃𝑇𝑟𝑖 = 𝑉𝑃ℎ𝑒𝑥
𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎 = 𝐴ℎ𝑒𝑥𝑎
𝐴𝑡𝑟𝑖 = 𝐴ℎ𝑒𝑥
𝑡² 3
4
= 6
ℎ² 3
4
𝑡2 = 6ℎ²
ℎ²
𝑡²
=
1
6
ℎ
𝑡
=
1
6
a
t
a
h

74. 14 31
12 31
15 31
13 31
11 31
FGV-SP 2020
Uma pirâmide regular tem base quadrada de lado 6, e 4 faces triangulares congruentes com o triângulo
abaixo:
O Volume da Pirâmide é:

75. Alternativa B
7
7
6
𝑎𝑝 = 2 10
Agora, vamos determinar os apótemas para
encontrar a altura. O Apótema da pirâmide é a
altura do triângulo isósceles e, se forma um
triângulo retângulo, aplicamos o teorema de
Pitágoras:
72
= 𝑎𝑝
2
+ 3²
49 = 𝑎𝑝
2 + 9
𝑎𝑝
2 = 40
𝑎𝑝 = 40 = 2 10
𝑎𝑏
h
Vamos determinar a área da base:
𝐴𝑏 = 62 = 36
O apótema da base é a metade do lado do
quadrado da base:
𝑎𝑏 =
𝑙
2
=
6
2
= 3
Usamos a relação pitagórica
para achar a altura:
𝑎𝑝
2 = 𝑎𝑏
2
+ ℎ²
40 = 9 + ℎ²
ℎ2
= 31
ℎ = 31
Por fim, determinamos o volume da pirâmide:
𝑉 =
𝐴𝑏ℎ
3
=
36 31
3
= 12 31

76. ENEM 2012
João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a
seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide.
O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao
ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. O desenho que Bruno deve fazer é
A
B
C
D
E
M

77. Alternativa C
A B
C
D
E
É importante rotacionar a pirâmide olhando para o vértice e notamos
que o ponto E é o centro do quadrado. Como o exercício disse, ele
começa em A, vai para E, depois para o M (ponto médio de 𝐵𝐶) e,
finalmente, para o C. Então ele percorre o caminho mostrado ao lado.
M

78. UTFPR 2017
Uma barraca de camping foi projetada com a forma de uma pirâmide de altura 3
metros, cuja base é um hexágono regular de lados medindo 2 metros. Assim, a área da
base e o volume desta barraca medem, respectivamente:
6 3𝑚2
𝑒 6 3𝑚³
3 3𝑚2 𝑒 3 3𝑚³
5 3𝑚2 𝑒 2 3𝑚³
2 3𝑚2 𝑒 5 3𝑚³
4 3𝑚2 𝑒 8 3𝑚³

79. Alternativa A
2m
3m
A sua base é um hexágono regular e sua área é:
𝐴𝑏 = 6 ∙ 𝐴Δ 𝑒𝑞 = 6
𝑙2 3
4
= 6
22 3
4
= 6 3𝑚²
Se o sólido é uma pirâmide, então:
𝑉 =
𝐴𝑏ℎ
3
=
6 3 ∙ 3
3
= 6 3𝑚³

80. UFPR 2016
Temos, abaixo, a planificação de uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais
são triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa pirâmide?
16
3
3𝑐𝑚3
16 3𝑐𝑚3
32𝑐𝑚3
32
3
3𝑐𝑚3
64
3
3𝑐𝑚3

81. Alternativa D
4cm
𝑎𝑝
𝑎𝑏
𝑎𝑝
𝑎𝑏
Primeiramente, conseguimos determinar a área da base:
𝐴𝑏 = 𝑙2
= 42
= 16𝑐𝑚²
Porém, não fornecido o apótema direto. Se convertermos a
sua forma planificada para um sólido geométrico,
percebemos que a altura do triângulo equilátero é o
apótema da pirâmide e a metade do lado do quadrado é o
apótema da base, então:
𝑎𝑏 =
𝑙
2
=
4
2
= 2𝑐𝑚 𝑎𝑝 =
𝑙 3
2
=
4 3
2
= 2 3𝑐𝑚
Vamos estabelecer uma relação
pitagórica:
𝑎𝑝
2
= 𝑎𝑏
2
+ ℎ²
(2 3)2= 22 + ℎ²
12 = 4 + ℎ²
ℎ2
= 8
ℎ = 2 2𝑐𝑚
Então, o volume da
pirâmide é:
𝑉 =
𝐴𝑏ℎ
3
=
16 ∙ 2 2
3
∴ 𝑉 =
32 2
3
𝑐𝑚³
Planificação sólido

82. Acafe-SC 2016
Uma peça de madeira tem a forma de uma pirâmide hexagonal regular com 21 cm de altura.
Essa peça é seccionada por um plano paralelo à base, de forma que o volume da pirâmide
obtida seja
8
27
do volume da pirâmide original. A distância (em cm) da base da pirâmide até essa
secção é um número:
Fracionário
primo
Múltiplo de 3
Quadrado perfeito

83. Alternativa B
𝑉< =
8
27
𝑉0
É importante lembrar que, após a seção, o volume da
pirâmide maior com a menor formam uma proporção.
Porém, quero determinar a altura do tronco.
Para isso, devemos lembrar que a razão entre
volumes é o cubo da razão entre distâncias. Em outras
palavras:
𝑑1
𝑑2
= 𝑘 e
𝑉1
𝑉2
= 𝑘3, ∴
𝑉1
𝑉2
=
𝑑1
𝑑2
3
Considerando 𝑉0 como o volume da pirâmide inicial,
maior e antes do “corte”,
8
27
𝑉0 o volume da pirâmide
menor e as distâncias como alturas, então:
8
27
𝑉0
𝑉0
=
ℎ
21
3
→
8
27
=
ℎ
21
3
→
2
3
=
ℎ
21
ℎ = 14𝑐𝑚
Para determinar o volume do tronco, basta operar
uma diferença entre as alturas:
𝐻 = 21 − 14 = 7𝑐𝑚 (é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜)
H
h
21 cm

85. 16𝑚
80𝑐𝑚
8𝑚
40𝑑𝑚
4𝜋𝑚
IFSC 2016
Uma metalúrgica fabrica tanques em formato de cilindros retos para armazenar combustíveis.
Um desses reservatórios tem área lateral de 5𝜋 metros quadrados, e o seu volume possui a capacidade de
10𝜋 metros cúbicos. Nessas condições, é CORRETO afirmar que a medida do raio da base desse reservatório é

86. Alternativa D
Ele forneceu a área lateral e
o volume, então vamos
entrar neste processo:
𝐴𝐿 = 5𝜋𝑚²
2𝜋𝑟ℎ = 5𝜋
𝑉 = 10𝜋𝑚³
𝜋𝑟2
ℎ = 10𝜋(∙ 2)
2𝜋𝑟ℎ𝑟 = 20𝜋
5𝜋𝑟 = 20𝜋
∴ 𝑟 = 4𝑚 = 40𝑑𝑚

87. Eear-sp 2016
Um cilindro de 18 cm de altura e raio da base igual a 5 cm contém água até a metade de sua
altura. Por algum motivo, houve necessidade de despejar essa água em outro cilindro com 40 cm
de altura, cujo raio da base mede 4 cm.
Considerando 𝜋 = 3, o valor que mais se aproxima da altura atingida pela água no segundo
cilindro é:
14cm
16cm
20cm
24cm
18cm
40cm

88. Alternativa A
18cm
40cm
9cm
Quando a altura da água é a metade da
altura do cilindro, então ela mede 9cm
5cm
4cm
Com todas as informações do primeiro cilindro, vamos calcular o
volume de água:
𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ = 3 ∙ 52
∙ 9 = 675
A altura da água do segundo cilindro será maior, pois, conservando o
seu volume, o raio é menor, logo, igualando o resultado obtido com o
volume da água do segundo sólido, obteremos a resposta
𝑉 = 𝜋𝑟²ℎá𝑔𝑢𝑎
675 = 3 ∙ 42ℎ
ℎ =
225
16
≅ 14

89. 57
60
63
66
69
Ufrgs 2018
Um tanque no formato de um cilindro circular reto, cujo raio da base mede 2 m, tem o nível da água aumentado em 25 cm
após uma forte chuva. Essa quantidade de água corresponde a 5% do volume total de água que cabe no tanque.
Assinale a alternativa que melhor aproxima o volume total de água que cabe no tanque, em m3.

90. Alternativa C
O sólido formado no exercício é um
cilindro com h=25cm=0,25m e r=2m
Se ele corresponde a 5% do volume total, então:
5%𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ
5
100
𝑉 = 𝜋 ∙ 4 ∙ 0,25
1
20
𝑉 = 𝜋
𝑣 = 20𝜋 = 20 ∙ 3,14 = 62,8𝑚 ≅ 63𝑚

91. PUC-RS 2018
Um recipiente cilíndrico tem 3 cm de raio e 24 cm de altura. Estando inicialmente cheio d’água,
o recipiente é inclinado até que o plano de sua base faça 45º com o plano horizontal. Nessa
posição, o volume de água que permanecerá no recipiente será igual a _________ do volume
inicial.
Um oitavo
Um sexto
Sete oitavos
Cinco sextos

92. Alternativa C
Se o volume inicial é o volume do primeiro
cilindro, então:
𝑉0 = 𝜋𝑟2
ℎ = 𝜋 ∙ 32
∙ 24 = 216𝜋𝑐𝑚³
Quando inclino o cilindro em 45º e traçar a região
superior do líquido que é paralela ao plano, posso obter
um ângulo correspondente e, se o cilindro é reto, formo
um triângulo retângulo isósceles.
3cm
24cm
6cm
6cm
18cm
Se eu lançar uma paralela às bases, consigo determinar
o outro volume de água, somando o volume do cilindro
de altura 18cm e a metade do cilindro de altura 6cm:
𝑉 = 𝜋 ∙ 32 ∙ 18 +
𝜋∙32∙6
2
= 189𝜋𝑐𝑚³
O exercício pediu a razão entre os volumes, então:
𝑉
𝑉0
=
189𝜋
216𝜋
=
7
8
Então o volume final é sete oitavos do inicial.

93. UFRN 2018
Um reservatório cilíndrico, com 4m de raio de base e 10m de altura, foi planejado
para conservar grãos de soja em uma fazenda. Por problemas técnicos, o fazendeiro
resolveu construir quatro reservatórios cilíndricos, com igual altura, para conservar a
mesma quantidade de grãos de soja. A medida do raio dos novos reservatórios será
2,5m
1,5m
1m
2m

94. Alternativa D
Vamos começar a calcular o volume do
cilindro maior:
𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ = 𝜋 ∙ 16 ∙ 10 = 160𝜋𝑚³
Agora, precisa dividir esse volume em 4 cilindros
congruentes de mesma altura h=10m. Então:
𝑉 = 4𝑉
𝑛𝑜𝑣𝑜
160𝜋 = 4𝜋𝑟² ∙ 10
𝑟2
= 4
𝑟 = 2𝑚

96. 144𝜋
72𝜋
36𝜋
16𝜋
Uece
A superfície lateral de um cone circular reto, quando planificada, torna-se um setor circular de 12
cm de raio com um ângulo central de 120 graus. A medida, em centímetros quadrados, da área
da base deste cone é

97. Alternativa D
O comprimento do arco é o comprimento da
circunferência da base. Por isso, faço esta regra de
três para determinar o raio da base.
360º → 2𝜋 ∙ 12
120º → 2𝜋𝑟
𝑟 = 4𝑐𝑚
Por fim, determinamos a área da base:
𝐴𝑏 = 16𝜋𝑐𝑚²
12cm
r
2𝜋𝑟

98. 2cm
6cm
4cm
8cm
10cm
FAMEMA 2019
A área lateral de um cilindro circular reto é 72π cm2 e seu volume é 6 vezes o volume de um cone circular reto que tem 18 cm
de altura. Sabendo que a medida do raio da base do cilindro é o dobro da medida do raio da base do cone, então a medida
do raio da base do cone é

99. Alternativa C
Vamos retirar informações:
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 6𝑉
𝑐𝑜𝑛𝑒
Consideremos R o volume do cilindro e r do cone e
𝑅 = 2𝑟
Vamos para a sentença dos volumes, substituir pelas
suas fórmulas e determinar a altura do cilindro:
𝜋 2𝑟 2
ℎ = 6 ∙
𝜋𝑟² ∙ 18
3
4𝜋𝑟2ℎ = 36𝜋𝑟²
ℎ = 9
Se 𝐴𝐿 = 72𝜋𝑐𝑚², então:
2𝜋𝑅 ∙ 9 = 72𝜋
𝑅 = 4𝑐𝑚

100. 25% menor
33% menor
44% menor
56% menor
67% menor
Unit-SE
Um feixe cônico de radiação, emitido por uma fonte a 1cm de distância da pele de um paciente, atinge uma área circular
plana de πcm2, como na figura. Se o ângulo θ de abertura do feixe for reduzido em 1/3, a área atingida ficará cerca de
1cm
𝜋𝑐𝑚²

101. Alternativa E
Se a área do círculo é 𝜋𝑟² e mede 𝜋𝑐𝑚², então o seu raio mede 1 cm
Se os catetos desse triângulo possuem medidas iguais, então o
ângulo θ formado é 45º. Se ele foi reduzido em 1/3, então restou
2/3 do ângulo, logo:
𝑡𝑔
2
3
𝜃 = 𝑡𝑔
2∙45
3
= 𝑡𝑔30º =
𝑟
1
𝑟 =
3
3
Então a Área do círculo é:
𝐴 = 𝜋
3
3
2
=
𝜋
3
𝑐𝑚²
1cm
𝜋𝑐𝑚²
r=1cm
𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝜋 𝑎𝑡é
𝜋
3
𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑖
2
3
≅ 0,67 = 67% , então a área ficou
67% menor

102. 25% menor
33% menor
44% menor
56% menor
UNIMONTES 2018
Um cone circular reto, de 10cm de altura e 6cm de raio da base, foi seccionado por um plano paralelo à base, a uma distância
de 8cm da base.
A área da secção é

103. Alternativa B
Com a seção formada, obtemos o cone menor e o maior. Se essa
figura azul é paralela à base, esses sólidos são semelhantes
A partir dessa propriedade obtemos o raio:
2
𝑟
=
10
6
𝑟 = 1,2𝑐𝑚
Então a Área do círculo é:
𝐴 = 𝜋 ∙ 1,22 = 1,44𝜋cm²
2cm
8cm
10cm
6cm
r

104. 2
3
4
3
3
4
4
3
4
5
3
4
6
3
4
UNIFENAS 2017
A área lateral de um cilindro circular reto é 72π cm2 e seu volume é 6 vezes o volume de um cone circular reto que tem 18 cm
de altura. Sabendo que a medida do raio da base do cilindro é o dobro da medida do raio da base do cone, então a medida
do raio da base do cone é

105. Alternativa B
Primeiramente, vamos calcular o volume do cone:
𝑉 =
𝜋𝑟2ℎ
3
=
𝜋 ∙ 3² ∙ 8
3
= 24𝜋𝑐𝑚³
Se os dois líquidos possuem a mesma quantidade, cada um ocupará
metade do total que é 12𝜋𝑐𝑚3
.
O primeiro líquido ocupará a parte maior profunda do copo. Para
evitar a resolução da equação de duas variáveis, vou determinar
r em função de H.
𝑣 = 12𝜋 =
𝜋𝑟2𝐻
3
36 = 𝑟2𝐻
36
𝐻
= 𝑟²
𝑟 =
6
𝐻
H
8cm
3cm
r
Se esses cones são semelhantes, então aplico
proporcionalidade:
𝐻
𝑟
=
8
3
𝐻
6
𝐻
=
8
3
𝐻 𝐻
6
=
8
3
𝐻 𝐻 = 16
𝐻3
= 256
𝐻 =
3
256 =
3
28 = 4
3
4𝑐𝑚

107. EEAR 2020
Em um recipiente cúbico vazio, foram colocadas 1000esferas idênticas, sem que elas
ultrapassassem as bordas desse recipiente. Em seguida, verificou-se que o volume do cubo não
ocupado pelas esferas era de 4 dm3. Se internamente as arestas do recipiente medem 20 cm, o
volume de cada esfera é _______cm3.
4
3
2
1

108. Alternativa A
Para começar, devemos converter cm para dm:
20cm=2dm
Depois, calcularemos o volume do cubo
𝑉 = 𝑙3
= 23
= 8𝑑𝑚³
Se 4dm³ é o volume não ocupado pelas esferas,
então resta 4dm³ para o volume ocupado pelas
1000 esferas. Para determinar o volume de cada
esfera, basta dividir por 1000:
𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =
4𝑑𝑚³
1000
=
4000𝑐𝑚³
1000
= 4𝑐𝑚³

109. 38𝜋𝑐𝑚³
36𝜋𝑐𝑚³
34𝜋𝑐𝑚³
32𝜋𝑐𝑚³
30𝜋𝑐𝑚³
EsPCEx 2018
O volume de uma esfera inscrita em um cubo com volume 216 cm3 é igual a

110. Alternativa B
Vamos, primeiramente, determinar a aresta do cubo:
𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 𝑎³
216 = 𝑎³
𝑎 = 6𝑐𝑚
Percebemos que o raio da esfera inscrita é a
metade da aresta do cubo, então r=3cm.
Por fim, determinamos o volume da esfera
𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =
4
3
𝜋𝑟³
𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =
4𝜋 ∙ 3³
3
= 4𝜋 ∙ 32 = 36𝜋
r

111. 15.000𝑘𝑚
20.000𝑘𝑚
25.000𝑘𝑚
30.000𝑘𝑚
35.000𝑘𝑚
Suponha, para simplificar, que a Terra é perfeitamente esférica e que a linha do Equador mede 40.000 km.
O trajeto que sai do Polo Norte, segue até a linha do Equador pelo meridiano de Greenwich, depois se desloca ao longo
da linha do Equador até o meridiano 45°L e então retorna ao Polo Norte por esse meridiano tem comprimento total de:
FUVEST 2021

112. Alternativa C
o ângulo formado do polo norte até a linha do equador
é de 90º que é um quarto de 40.000km que é o
comprimento da circunferência máxima, logo, o
primeiro percurso vertical mede 10.000km
Depois, deslocou 45º ao leste, formando um
arco que equivale a um oitavo de 40.000km,
então o deslocamento horizontal é de 5.000km
45º
90º
O último percurso horizontal possui a mesma
distância o inicial que é 10.000km, portanto, o
percurso total é:
2 ∙ 10.000 + 5.000 = 25.000𝑘𝑚

113. 2R
R
R/3
2R/3
Um recipiente cilíndrico de altura h tem água em seu interior. Ao mergulhar uma esfera de chumbo de raio R
neste recipiente, a água cobre a esfera e nenhuma quantidade de água se perde, como ilustrado na figura a
seguir.
Sabendo que o raio da base do cilindro é o dobro do raio da esfera, a diferença entre a altura da água antes e
depois do mergulho da esfera é igual a
UNICAMP 2022

114. Alternativa C
É importante perceber que a altura da água aumenta, pois as
moléculas de água não vão ocupar o mesmo espaço da esfera. Esse
fenômeno se denomina impenetrabilidade.
Por isso, o volume do cilindro maior subtraído pelo
volume da esfera se resulta no espaço ocupado do cilindro
inicial.
𝑉𝐶 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 𝑉𝐶 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝜋 ∙ 2𝑅 2𝐻 −
4
3
𝜋𝑅3 = 𝜋 2𝑅 2ℎ
4𝜋𝑅2𝐻 −
4
3
𝜋𝑅3 = 4𝜋𝑅2ℎ
𝐻 −
𝑅
3
= ℎ → 𝐻 − ℎ =
𝑅
3
h
H
2R
2R
R

115. 1/9
3
4/3
1/3
4/9
UNIFAN 2020
Qual a razão entre as áreas das superfícies de duas esferas concêntricas, sabendo que o diâmetro da esfera interna equivale a
2/3 do diâmetro da esfera externa?

116. Alternativa E
As esferas são concêntricas quando apresentam o mesmo centro.
No exercício, o diâmetro da esfera interna é dois terços da externa
e se o diâmetro é o dobro do raio, então:
𝑑𝑖 =
2
3
𝑑𝑒 → 2𝑟𝑖 =
2
3
∙ 2𝑟𝑒 → 𝑟𝑖 =
2
3
𝑟𝑒
Finalmente, Vamos montar a razão entre a área
da esfera menor e a maior:
𝐴𝑖
𝐴𝑒
=
4𝜋𝑟𝑖
2
4𝜋𝑟𝑒
2 =
𝑟𝑖
𝑟𝑒
2
=
2
3
𝑟𝑒
𝑟𝑒
2
=
2
3
2
=
4
9