Este documento apresenta 8 exercícios sobre poliedros, resolvidos passo a passo. Os exercícios envolvem cálculos do número de vértices, arestas e faces de diferentes poliedros convexos, usando as fórmulas topológicas que relacionam esses elementos.

1. EXERCÍCIOS
DE
POLIEDROS
DO
1)
(PUC
RS)
Um
poliedro
convexo
tem
cinco
faces
triangulares
e
três
pentagonais.
O
número
de
arestas
e
o
número
de
vértices
deste
poliedro
são,
respectivamente,
a) 30
e
40
b) 30
e
24
c) 30
e
8
d) 15
e
25
e) 15
e
9
Resolução:
No
poliedro
temos
que:
5
,
ou
seja
o
número
total
de
faces(F)
=
8
3
Então
devemos
lembrar
que
,
se
determinamos
o
número
de
arestas
e
o
número
de
faces,
então:
2)
(UFRGS)
Um
poliedro
convexo
de
onze
faces
tem
seis
faces
triangulares
e
cinco
faces
quadrangulares.
O
número
de
arestas
e
vértices
do
poliedro
é,
respectivamente
a) 34,
10
b) 19,
10
c) 34,
20
d) 12,
10
e) 19,
12
Resolução:
F
=
11
6
,
se
2.A
=
n.F
∴
2.A
=
6.3
+
5.4
5
2.A
=
38
⇒
A
=
19
V+F
=
A
+
2
V
+
11
=
19
+
2
V
=
10
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2. 3)
(MACK
–
SP)
Um
poliedro
convexo
tem
3
faces
triangulares,
4
faces
quadrangulares
e
5
pentagonais.
O
número
de
vértices
desse
poliedro
é:
a) 25
b) 12
c) 15
d) 9
e) 13
Resolução:
F
=
3
+
4
+
5
⇒
F
=
12
2.A
=
n.F
⇒
2.A
=
3.3
+
4.4
+
5.5
⇒
2.A
=
50
⇒
A
=
25
V+F
=
A
+
2
⇒
V
+
12
=
25
+
2
⇒
V
=
15
4)
(ITA
–
SP)
Considere
um
prisma
regular
em
que
a
soma
dos
ângulos
internos
de
todas
as
faces
é
7200°.
O
número
de
vértices
deste
prisma
é
igual
a
a) 11
b) 32
c) 10
d) 20
e) 22
Resolução:
Em
um
prisma
regular,
temos
que
suas
faces
laterais
são
quadriláteros,
e
que
as
bases
superior
e
inferior
são
polígonos
com
uma
quantidade
n
de
lados.
Se
sabemos
que
a
soma
dos
ângulos
internos
de
um
polígono
é
dada
por
Si
=
180°.(n-­‐2),
então:
,
se
o
polígono
da
base
tem
11
lados
tem
11
vértices,
logo
11
vértices
na
base
inferior
e
mais
11
vértices
na
base
superior
resultam
em
22
vértices
5)
(PUC-­‐PR)
Se
a
soma
dos
ângulos
das
faces
de
um
poliedro
regular
é
1440°,
então
o
numero
de
arestas
desse
poliedro
é:
a) 12
b) 8
c) 6
d) 20
e) 4
Resolução:
,
o
poliedro
regular
ou
de
Platão
que
possui
6
vértices,
é
o
octaedro.
Dessa
forma
V+F
=
A+2
⇒
6
+
8
=
A
+
2
⇒
A
=
12
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3. 6)
(ITA
–
SP)
Um
poliedro
convexo
tem
13
faces.
De
um
dos
seus
vértices
partem
6
arestas;
de
6
outros
vértices
partem,
de
cada
um,
4
arestas,
e
finalmente,
de
cada
um
dos
vértices
restantes
partem
3
arestas.
O
número
de
arestas
desse
poliedro
é:
a) 13
b) 17
c) 21
d) 24
e) 27
Resolução:
F
=
13
V
=
1
+
6
+
x
⇒
V
=
7
+
x
Vamos
lembrar
que
2.A
=
p.V,
nesse
caso:
,
se
x
=
6
,
então
7)
(CEFET
–
PR)
O
número
de
vértices
de
um
poliedro
convexo
de
10
faces
quadrangulares
é:
a) 32
b) 12
c) 20
d) 15
e) 18
F
=
10
Resolução:
e
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4. 8)
(UFPE)
Em
relação
aos
poliedros
regulares,
podemos
afirmar
que:
01)
São
sempre
poliedros
estrelados.
02)
Possuem
n.(n-­‐3)/2
diagonais,
sendo
n
o
numero
de
arestas
do
poliedro.
04)
Possuem
F
+
V
–
2
arestas,
sendo
(F)
o
número
de
faces,
e
(V)
o
número
de
vértices.
08)
Tem
por
faces:
triângulos
eqüiláteros,
quadrados,
pentágonos
e
hexágonos
regulares.
16)
São
superfícies
limitadas
pelo
mesmo
tipo
de
polígono
regular.
Resolução:
São
poliedro
regulares
os
chamados
poliedros
de
Platão,
que
são
TETRAEDRO,
HEXAEDRO,
OCTAEDRO,
DODECAEDRO,
E
ICOSAEDRO.
01)FALSA,
pois
esses
poliedros
não
são
estrelados;
02)FALSA,
pois
a
formula
apresentada
refere-­‐se
ao
número
de
diagonais
de
um
polígono;
03)Verdadeiro,
pois
se
V+
F
=
A
+
2
⇒
A
=
V
+
F
–
2
04)FALSO,
eles
têm
por
faces:
triângulos
eqüiláteros,
quadrados,
pentágonos
regulares
05)Verdadeiro,
suas
superfícies
são
limitadas
por
polígonos
regulares.
9)
(PUC
RS)
Um
poliedro
convexo
possui
duas
faces
pentagonais
e
cinco
quadrangulares.
O
número
de
vértices
desse
poliedro
é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 9
e) 10
Resolução:
2
,
ou
seja
o
número
total
de
faces(F)
=
7
5
,
e
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5. 10)
(CEFET
–
PR)
Um
poliedro
convexo
possui
duas
faces
triangulares,
duas
quadrangulares
e
quatro
pentagonais.
Logo
a
soma
dos
ângulos
internos
de
todas
as
faces
será:
a) 3240°
b) 3640°
c) 3840°
d) 4000°
e) 4060°
Resolução:
2
faces
triangulares,
2
faces
quadrangulares
e
4
faces
pentagonais
⇒
F
=
8
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