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Figura 1 Figura 2
1. Polígono inscrito e polígono circunscrito em uma circunferência
Quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência (figura 1),
dizemos que:
• o polígono está inscrito na circunferência;
• a circunferência está circunscrita ao polígono.
Quando os lados do polígono são tangentes a uma circunferência (figura 2),
dizemos que:
• o polígono está circunscrito à circunferência;
• a circunferência está inscrita no polígono.
2. Polígonos regulares
Um polígono é chamado de equiângulo quando possui todos os ângulos internos
congruentes, e equilátero quando possui todos os lados congruentes.
Exemplos:
a) O retângulo tem todos os ângulos internos congruentes.
Logo, o retângulo é equiângulo.
b) O losango tem todos os lados congruentes.
Logo, o losango é equilátero.
c) O quadrado tem todos os lados e todos
os ângulos internos congruentes.
Logo, o quadrado é equilátero e equiângulo.
Todo polígono equilátero e equiângulo é chamado de polígono regular.
Um polígono é regular quando todos os seus lados e todos os seus
ângulos são congruentes
Exemplos:
Propriedade dos polígonos regulares
• Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então
as cordas consecutivas formam um polígono regular inscrito na circunferência.
• Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então
as tangentes aos pontos consecutivos de divisão formam um polígono regular
circunscrito à circunferência.
Na circunferência ao lado, traçamos dois diâmetros perpendiculares entre si. A
circunferência ficou dividida em quatro arcos congruentes.
As cordas consecutivas
formam um quadrado
inscrito na circunferência.
As tangentes pelos pontos de
divisão formam um quadrado
circunscrito à circunferência.
Desse modo, podemos dizer que, se um polígono é regular, então existe um
circunferência que passa por todos os seus vértices e uma outra que
tangencia todos os seus lados.
•   Todo polígono regular é inscritível numa circunferência.
• Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência.
Polígonos regulares inscritos Polígonos regulares circunscritos
Se um polígono é regular, consideramos:
• Centro do polígono é o centro da circunferência
circunscrita a ele (ponto O).
• Raio do polígono é o raio da circunferência
circunscrita a ele .
• Apótema do polígono é o segmento que une o
centro do polígono ao ponto médio de um de seus
lados .
• Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do
polígono e cujo lados são semi-retas que contêm dois
raios consecutivos (CÔD).
A medida do ângulo central é dada por:
(n = número de lados) 
e
Elementos de um polígono regular
3. Relações métricas nos polígonos regulares
Estudaremos a seguir como calcular a medida do lado e a medida do
apótema de um polígono regular inscrito em uma circunferência em
função da medida do raio.
Quadrado inscrito
Considere uma circunferência de centro O e raio de
medida r.
Para construir um quadrado ABCD inserido nessa
circunferência, traçamos dois diâmetros perpendiculares
entre si ( e ), determinando o vértices do quadrado.
Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse
quadrado em função de r. 
Cálculo da medida do lado Cálculo da medida do apótema (a4)
No AOB, pelo teorema de Pitágoras,
temos:
(AB)2
= (AO)2
+ (OB)2
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No OMB, pelo teorema de Pitágoras,
temos:
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+ (BM)2
= (OB)2
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

Hexágono regular inscrito
Considere uma circunferência de centro O e raio de medida r.
Para construir um hexágono regular ABCDEF inscrito nessa
circunferência, dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e, a
seguir, unimos consecutivamente os pontos de divisão.
Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse hexágono em
função de r.
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Cada um dos arcos indicados nessa circunferência mede
Sendo assim temos:

M(AÔB) = 60º, m( ˆABO) =
m (AB) 120º
60º
2 2
==
e m (BÂO) =
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60º
2 2
==
O ∆AOB, sendo eqüiângulo, é também eqüilátero, ou seja:
AB = AO = OB
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Cálculo da medida do apótema (a6
)
No ∆OMB, pelo teorema de Pitágoras, temos:
(OM)
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2
2
2 2
6
2
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2 2
6
4
r
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2
2 2
6
4
r
a r=−
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2
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r
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6
3
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r
a = (r > 0)
6
3
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r
a =
Triângulo equilátero inscrito
Considere uma circunferência de centro O e raio medida r.
Para construir um triângulo equilátero ABC inscrito nessa circunferência,
dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e, a seguir, unimos
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Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse triângulo em função de r.
Cálculo da medida do lado ( 3 )
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Observe que:
•o ∆ADC é retângulo
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No ∆ADC, pelo teorema de Pitágoras, temos:
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Polígonos regulares

  • 2. Figura 1 Figura 2 1. Polígono inscrito e polígono circunscrito em uma circunferência Quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência (figura 1), dizemos que: • o polígono está inscrito na circunferência; • a circunferência está circunscrita ao polígono. Quando os lados do polígono são tangentes a uma circunferência (figura 2), dizemos que: • o polígono está circunscrito à circunferência; • a circunferência está inscrita no polígono.
  • 3. 2. Polígonos regulares Um polígono é chamado de equiângulo quando possui todos os ângulos internos congruentes, e equilátero quando possui todos os lados congruentes. Exemplos: a) O retângulo tem todos os ângulos internos congruentes. Logo, o retângulo é equiângulo. b) O losango tem todos os lados congruentes. Logo, o losango é equilátero. c) O quadrado tem todos os lados e todos os ângulos internos congruentes. Logo, o quadrado é equilátero e equiângulo.
  • 4. Todo polígono equilátero e equiângulo é chamado de polígono regular. Um polígono é regular quando todos os seus lados e todos os seus ângulos são congruentes Exemplos: Propriedade dos polígonos regulares • Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então as cordas consecutivas formam um polígono regular inscrito na circunferência. • Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então as tangentes aos pontos consecutivos de divisão formam um polígono regular circunscrito à circunferência.
  • 5. Na circunferência ao lado, traçamos dois diâmetros perpendiculares entre si. A circunferência ficou dividida em quatro arcos congruentes. As cordas consecutivas formam um quadrado inscrito na circunferência. As tangentes pelos pontos de divisão formam um quadrado circunscrito à circunferência. Desse modo, podemos dizer que, se um polígono é regular, então existe um circunferência que passa por todos os seus vértices e uma outra que tangencia todos os seus lados.
  • 6. •   Todo polígono regular é inscritível numa circunferência. • Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência. Polígonos regulares inscritos Polígonos regulares circunscritos
  • 7. Se um polígono é regular, consideramos: • Centro do polígono é o centro da circunferência circunscrita a ele (ponto O). • Raio do polígono é o raio da circunferência circunscrita a ele . • Apótema do polígono é o segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de um de seus lados . • Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujo lados são semi-retas que contêm dois raios consecutivos (CÔD). A medida do ângulo central é dada por: (n = número de lados)  e Elementos de um polígono regular
  • 8. 3. Relações métricas nos polígonos regulares Estudaremos a seguir como calcular a medida do lado e a medida do apótema de um polígono regular inscrito em uma circunferência em função da medida do raio. Quadrado inscrito Considere uma circunferência de centro O e raio de medida r. Para construir um quadrado ABCD inserido nessa circunferência, traçamos dois diâmetros perpendiculares entre si ( e ), determinando o vértices do quadrado. Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse quadrado em função de r. 
  • 9. Cálculo da medida do lado Cálculo da medida do apótema (a4) No AOB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (AB)2 = (AO)2 + (OB)2 (r > 0) No OMB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (OM)2 + (BM)2 = (OB)2 (r > 0)  
  • 10. Hexágono regular inscrito Considere uma circunferência de centro O e raio de medida r. Para construir um hexágono regular ABCDEF inscrito nessa circunferência, dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e, a seguir, unimos consecutivamente os pontos de divisão. Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse hexágono em função de r. Cálculo da medida do lado ( ) Cada um dos arcos indicados nessa circunferência mede Sendo assim temos:  M(AÔB) = 60º, m( ˆABO) = m (AB) 120º 60º 2 2 == e m (BÂO) = »m (BD) 120º 60º 2 2 == O ∆AOB, sendo eqüiângulo, é também eqüilátero, ou seja: AB = AO = OB 6 = r Logo: 6 = r
  • 11. Cálculo da medida do apótema (a6 ) No ∆OMB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (OM) 2 + (MB) 2 = (OB) 2 2 2 2 6 2 r a r  + =  2 2 2 6 4 r a r+= 2 2 2 6 4 r a r=− 2 2 6 3 4 r a = 2 6 3 4 r a = (r > 0) 6 3 2 r a =
  • 12. Triângulo equilátero inscrito Considere uma circunferência de centro O e raio medida r. Para construir um triângulo equilátero ABC inscrito nessa circunferência, dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e, a seguir, unimos alternadamente os pontos de divisão. Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse triângulo em função de r. Cálculo da medida do lado ( 3 )  Observe que: •o ∆ADC é retângulo (inscrito na semicircunferência) •DC =6 = r No ∆ADC, pelo teorema de Pitágoras, temos: (AC) 2 + (DC) 2 = (AD) 2 2 2 3 6( ) ( ) (2 )r+=  2 2 2 3 2 2 3 4 3 r r r += =   3 3r=
  • 13. Cálculo da medida do apótema (a3) No OMB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (OC)2 = (OM)2 + (MB)2 (r > 0)