Estudos da reta

Estudos da reta

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  MATEMÁTICA ESTUDO DA RETA 1. COEFICIENTE ANGULAR 3. FORMA DE EQUAÇÃO DA RETA Considere uma reta t no plano xOy. 3.1. Equação reduzida da reta y Toda reta ( t : ax + by + c = 0 ) não vertical pode t ser escrita como abaixo: ângulo de inclinação ax c a t:y = − − , em que − representa o coefi- b b b α c O ciente angular da reta t e − representa o coeficiente b linear da reta. 3.2. Equação segmentária da reta Toda reta não horizontal e não vertical pode ser escrita como abaixo. Define-se como coeficiente angular da reta x y + = 1, em que p e q são os pontos intercep- t ( mt ) ovalor obtido calculando a tangente do ângulo p q π tos. (P representa o ponto de encontro da reta com o de inclinação, ou seja, mt = tg α, com α ≠ . eixo x e q representa o ponto de encontro da reta 2 1.1.Determinação do coeficiente angu- com o eixo y). lar 3.3. Equação paramétrica da reta 1ºCaso: com 2 pontos distintos A reta representa um conjunto de pares orde- nados (x,y) do plano cartesiano. Podemos representá- x = f ( t ) la em relação a um parâmetro t, ou seja ,   . B y = f ( t )  y t B Exemplo: ∆y= yB yA E.1) Escreva a equação 2x + 3y − 5 = 0 na forma y A α reduzida e segmentária. A ∆x= xB xA Resolução: Equação reduzida α 2x 5 2 xA xB 2x + 3y − 5 = 0 ⇒ 3y = −2x + 5 ⇒ y = − + m=− 3 3 3 (coeficiente angular) Equação segmentária Dados os pontos A ( x A , x A ) e B ( xB , xB ) no plano 2x 3y 2x + 3y = 5 (: 5 ) ⇒ + = 1⇒ ∆y yB − y A 5 5 acima: mT = tg α = = . ∆x xB − x A x y + =1 2ºcaso: equação da reta 5 5 Dada a reta (t) de equação ax + by + c = 0 com 2 3 ponto de encontro com o eixo y. a b ≠ 0 : mt = − . ponto de encontro com o eixo x. b 3ºcaso: com o ângulo de inclinação. 4. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA RETA Dada uma reta (t) que possui ângulo de incli- nação α: mt = tgα . 4.1. Por dois pontos distintos Dados os pontos A ( x A, y A ) e B ( xB , yB ) . 2. EQUAÇÃO GERAL DA RETA Toda reta do plano cartesiano pode ser repre- sentada por uma equação de forma ax + by + c = 0, com a, b e c reais, a e b não nulos simultaneamente. Editora Exato 11
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  EXERCÍCIOS RESOLVIDOS B(x B , y B ) 1 (UFES) O valor de k para que a equação P(x, y) kx-y-3k+6=0 represente a reta que passa pelo ponto genérico ponto (5,0) é: A(xA , yA ) do plano Resolução: Passa pelo ponto (5,0), substituindo o ponto (5,0) na equação, temos: Como A, B e P são colineares temos: k .5 − 0 − 3k + 6 = 0 5k − 3k + 6 = 0 x A yA 1 2k + 6 = 0 x B yB 1 = 0 . 2k − 6 x y 1 6 k =− 2 4.2. Por um ponto e o coeficiente an- k =3 gular Dado o ponto B ( x0 , y0 ) e o coeficiente angular 2 (UCS-RS) A figura contém a representação grá- da reta (t) igual a mt. fica da reta: y ∆y y − y0 mt = tgα = ⇒ mt = ⇒ 4 ∆x x − x0 y - y0 = m (x - x 0 ) 2 equação fundamental da reta 0 3 x t Resolução: B(x 0 , y 0 ) O gráfico passa pelos pontos: (0,2) e (3,4), então a equação da reta é dada por: 0 2 1 α P(x ,y ) 3 4 1=0 x y 1 ponto genérico do plano 0 + 3y + 2x − 4x + 0 − 6 = 0 −2x + 3y − 6 = 0 5. CASOS PARTICULARES ou 2x − 3y + 6 = 0 5.1. Reta paralela aos eixos Dada a reta ax + by + c = 0 . Se a =0, então a reta é paralela ao eixo x. EXERCÍCIOS Se b=0, então a reta é paralela ao eixo y. 5.2. Bissetrizes dos quadrantes 1 (FASP) A equação da reta suporte do segmento Bissetriz dos quadrantes ímpares x − y = 0 . AB, dados A(7, 11) e B(15, -1), é: a) 2y-3y -24=0 Bissetriz dos quadrantes pares x + y = 0 . b) 3y-2x+17=0 6. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS c) 3y-2x+7=0 d) 2y+3x -43=0 Considere duas retas r e s não verticais, com e) Nenhuma. coeficientes angulares, respectivamente, iguais a mr e ms . 2 (OSEC-SP) A equação da reta que passa pelo As retas r e s são paralelas quando mr = ms . 1 As retas são concorrentes quando mr ≠ ms . ponto A ( −3, 4) , e cujo coeficiente angular é , é: 2 As retas são perpendiculares quando a) x+2y+11=0 mr .ms = −1 . b) x-y+11=0 c) 2x-y+10=0 d) x-2y+11=0 Editora Exato 12
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  e) nenhuma 8 (FATEC) Na figura abaixo, a reta r tem equação x+3y–6=0, e a reta s passa pela origem e tem coe- 2 3 (PUC-SP) A equação da reta com coeficiente ficiente angular . 3 4 angular igual a − ,e que passa pelo ponto 5 y s P(2,-5), é: a) 4x+5y+12=0 b) 4x+5y+14=0 B c) 4x+5y+17=0 d) 4x+5y+16=0 e) 4x+5y+15=0 A 0 r x 4 (PUC-RS) Se as retas 3x-y-7=0,2x+y+c=0 e 2x- A área do triângulo OAB, em unidade de área, é y-5=0 são congruentes, então c é igual a: igual a: a) –3 a) 1 b) –1 b) 2 c) 5 c) 3 d) 7 d) 4 e) 9 e) 5 5 (PUC-PR) As retas de equações 3x-4y+1=0 e GABARITO 4x+3y-5=0 são: a) perpendiculares. 1 D b) paralelas. c) concorrentes. 2 D d) coincidentes. 3 C e) Nenhuma. 4 A 5 A 6 (PUC-SP) As retas 2x+3y=1 e 6x-ky=1são per- pendiculares. Então k vale: 6 D a) 1 7 B b) 2 c) 3 8 D d) 4 e) 6 7 (UFGM) Sejam r e s duas retas perpendiculares que se interceptam em P(1,2). Se Q(-1,6) perten- ce a uma dessas retas, então a equação da outra reta é: a) x+2y-5=0 b) x-2y+3=0 c) 2x-y=0 d) 2x+y-4=0 e) 2x+2y+7=0 Editora Exato 13