1) O documento discute vários números curiosos como 180, 220, 365.2422 e fornece detalhes sobre números amigáveis, calendários e períodos decimais. 2) É explicado que 220 e 284 formam o primeiro par de números amigáveis e detalhes sobre como eles foram descobertos por matemáticos árabes e europeus. 3) O período decimal de 1/19 é igual a 052 631 578 947 368 421 e tem a propriedade única de somar 81 em ambas as diagonais, formando um quadrado per

1. DICAS DE MATEMÁTICA
PROFESSOR JÚNIOR
ALGUNS NÚMEROS CURIOSOS
O número 180
O número de graus em meio círculo e o número de graus Fahrenheit entre o ponto de fusão da água,
32, e o seu ponto de ebulição, 212.
A soma dos ângulos de um triângulo.
1803 é a soma de cubos consecutivos: 1803 = 63 + 73 + 83 + ... + 683 + 693
O número 220
Números amigáveis
220 e 284 formam o primeiro e menor par amigável. Cada um é a soma dos divisores próprios do outro:
220 = 22 x 5 x 11, sendo os seus divisores próprios 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110: total, 284.
284 = 22 x 71, sendo os seus divisores próprios, 1, 2, 4, 71 e 142, totalizando 220.
De acordo com Iâmblico, Pitágoras conhecia este par. No entanto, Pitágoras não teria possivelmente
sido o único sábio da antigüidade que conhecia os números amigáveis. Os comentadores da Bíblia apontam a
oferta de Jacob de 220 cabras a Esaú na sua reunião, uma oferenda amigável?
O brilhante matemático muçulmano, astrônomo e físico Thabit ibn Qurra descreveu no seu Livro
sobre a Determinação de Números Amigáveis a regra de Euclides para os números perfeitos, métodos de
construção de números abundantes e deficientes e a primeira regra para a construção de números amigáveis,
da qual deduziu o par de Pitágoras, ou, talvez mais provável, os divisores de 220 e 284 sugeriram o enunciado
da sua regra:
Encontre um número n maior que 1 e que torne estas três expressões números primos
simultaneamente:
a = 3 x 2n – 1 b = 3 x 2n – 1 – 1 c = 9 x 22n – 1 – 1
Então, o par 2n x a x b e 2n x c será amigável.
O menor de qualquer par de Thabit é um número tetraédrico. 220 é o 10º número tetraédrico. Lee e
Madachy sugerem que pode ser significante que o primeiro número perfeito, 6, iguale 1 x 2 x 3; o menor
perfeito múltiplo, 120, seja 4 x 5 x 6, e a soma de 220 e 284 seja 504 = 7 x 8 x 9. Eles cometam que é
conhecido que os Babilônios construíram tabelas de produtos de 3 números consecutivos que são apenas 6
vezes os números tetraédricos.
Existe uma semelhança óbvia com a regra de Euclides de números perfeitos pares. No entanto, a
regra de Thabit não fornece todos os amigáveis. Na realidade, é um de entre um número de padrões
semelhantes que geram pares amigáveis. É também muito difícil de utilizar devido a envolver a realização de
3 expressões de primos simultaneamente. O próprio Thabit ibn Qurra não encontrou nenhum novo par. De
fato, a sua regra funcionava para n = 2, 4 e 7, mas para mais nenhum valore menore que 20 000.
O segundo par, 17 296 e 18 416, foi descoberto por outro árabe, Ibn al-Banna. É a regra de Thabit
para n = 4. Este par foi redescoberto em 1636 por Fermat, que redescobriu também a regra de Thabit, tal
como Descartes, que produziu um terceiro par, 9 363 584 e 9 437 056, dois anos depois. Esta é a fórmula de
Thabit para n = 7.
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2. Euler foi o primeiro matemático a explorar os números amigáveis com sucesso, encontrando muitos
exemplos, mais de 60. Os seus métodos são ainda hoje a base de exploração.
Bastante mais de mil pares de números amigáveis são agora conhecidos, incluindo todos os possíveis
em que o menor número é inferior a um milhão.
O maior, descoberto por te Riele, é o par: 34 x 5 x 11 x 528119 x 29 x 89(2 x 1291 x 528119 – 1) e 34 x
5 x 11 x 528119(23 x 33 x 52 x 1291 x 528119 – 1), cada com 152 algarismos.
Os métodos de te Riele permitem-lhe também gerar novos pares amigáveis de outros pares
amigáveis. Aplicado a uma amostra de pares amigáveis, ele obteve mais de um ν par filho ο por ν par pai ο, o
que sugere que talvez o número de pares amigáveis seja infinito.
O maior membro de um par amigável é claramente deficiente. Sabe-se também que nenhum dos
membros de um par de pares é divisível por 3.
Em todos os casos, os números dum par são ambos pares ou ambos ímpares, embora não se conheça
nenhuma razão para que um par par-ímpar não exista.
Todos os pares têm também um divisor comum. Não se sabe se existem pares de números amigáveis
co-primos. Se existirem, então, mesmo no caso mais favorável, no qual o seu produto é divisível por 15, esse
produto tem de exceder 1067. Se o fizerem, não serão, com certeza, construídos pelo padrão de Thabit, ou
qualquer outro semelhante.
Os números de todos os pares ímpar-ímpar conhecidos são também múltiplos de 3, pelo que
numerosos matemáticos supõem com naturalidade que esta é uma regra geral.
Em 1968, Martin Gardner reparou que a soma de todos, os pares pares era divisível por 9, supondo
naturalmente que esta também era uma regra geral. Não é, mas exemplos contrários são muito raros. Elvin
Lee deu o exemplo 666 030 256, 696 630 544, descoberto originalmente por Poulet.
A maioria dos números amigáveis têm muitos divisores diferentes. Será possível a uma potência de
um primo, pn, ser um dos números de um par amigável? Se o for, então pn é maior que 101500 e n é maior que
1400.
Uma generalização de pares amigáveis são os termos amigáveis, nos quais os divisores próprios de
qualquer número somam a soma dos outros dois. Beiler dá o seguinte exemplo: 25 x 3 x 13 x 293 x 337; 25 x 3
x 5 x 13 x 16561; 25 x 3 x 13 x 99371.
O número 365,2422
O calendário
O números aproximado de dias num ano, igual a 365 dias, 5 horas, 48 minutos e 46,08 segundos.
Este é o tempo que a Terra demora para fazer uma rotação em torno do Sol. Todas as civilizações o
têm relacionado com o período das fases da Lua. Por exemplo, o tempo entre duas luas novas, que é
aproximadamente 29,530 588 dias, ou 29 dias, 12 horas, 44 minutos e 2,8 segundos.
Infelizmente, a relação não é muito simples. É uma coincidência que o tamanho do ano em dias seja
tão próximo do número 360, que é tão próximo de 12 vezes o período da Lua.
Tais coincidências são úteis, mas não o suficiente, tendo sido dedicada uma enorme ingenuidade à
explicação das diferenças.
No calendário juliano, os anos normais têm 365 dias, mas todos os anos cujo número seja divisível
por 4 tem um dia extra, o 29 de fevereiro, perfazendo um total de 366 dias. O ano juliano tem por isso, em
média, 365,25 dias, estando um dia errado aproximadamente em cada 128 anos.
O calendário gregoriano, que é utilizado hoje em quase todo o mundo, tem um pequeno, mas
significante, avanço em relação ao juliano. Todos os anos divisíveis por 100 são anos normais, e não anos
bissextos, com a exceção de anos divissíveis por 400, que se mantêm anos bissextos. O calendário gregoriano
tem um dia a mais em cada 3333 anos, não necessitando por isso de ajuste até muitos anos depois da nossa
morte.
No entanto, na União Soviética é usado um calendário ainda mais exato, introduzido em outubro de
1923. Todos os anos são normais, exceto os que, divididos por 9, tenham resto 2 ou 6. Este calendário contém
um dia a mais após 45 000 anos.
Os calendários juliano e gregoriano são baseados no comprimento do ano e, como conseqüência, no
Sol. Dado qualquer dia do ano, é possível dizer com alguma exactidão a posição do Sol no céu, mas não a
posição da Lua.
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3. O calendário muçulmano, em contraste, dá preferência à Lua. Tem 12 meses de 30 e 29 dias
alternadamente. Em anos bissextos, o último mês tem um dia extra. O ano normal tem apenas 354 dias e um
ano bissexto tem 355, pelo que o início do ano muçulmano se move regularmente através do ano gregoriano e
inversamente.
O ano judeu é uma combinação dos anos solar e lunar. O ano-base é um ano lunar de 12 meses que
têm alternadamente 30 e 29 dias, mas, quando o erro atinge um mês inteiro, um 13º mês é inserido nesse ano.
Este fato faz dele, de longe, o mais complicado de todos os calendários.
As complicações que surgem quando o ano solar e o mês lunar são considerados juntamente estão
bem ilustradas pela maneira como a data da Páscoa, que depende da posição da Lua, vagueia pelo ano cristão.
O grande Karl Friedrich Gauss demonstrou a sua capacidade de manejar números construindo fórmulas
simples para calcular a data da Páscoa cristã e também, o que é ainda mais difícil, a data da Páscoa hebraica.
Observe:
Os números abaixo são iguais à soma dos cubos dos seus algarismos.
153 = 13 + 53 + 33
370 = 33 + 73 + 03
371 = 33 + 73 + 13
407 = 43 + 03 + 73
Os números:
548 834 = 56 + 46 + 86 + 86 + 36 + 46
17 741 725 = 17 + 77 + 47 + 17 + 77 + 27 + 57.
175 = 11 + 72 + 53
O número 052 631 578 947 368 421
O período decimal de 1/19.
Pode também ser construído por potências de 2 justapostas da direita para esquerda:
1
2
4
8
16
32
64
128
256
.....
...... 947 368 421
Sempre que o período decimal tiver comprimento máximo, tal como neste caso, os períodos das
frações 1/p, 2/p ... até (p – 1)/p podem ser apresentados por forma a perfazer um quadrado com somas iguais
de linhas e colunas.
1/19 tem ainda a propriedade curiosa de somar a mesma constante, 81, ao longo de ambas as
diagonais, sendo por isso um quadrado mágico de verdade.
O numero 10100
O googol
Como Edward Kasner e James Newman o descreveram, em Mathematics and the Imagination54:
Um googol é o número que uma das crianças do infantário escreveu no quadro:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
A definição de googol é: 1 seguido de cem zeros. Foi decidido, após cuidadosa investigação
matemática, no infantário, que o número de gotas de chuva que cai em Nova Iorque em 24 horas, ou mesmo
num ano, ou num século, é muito menor que um googol.
A criança, de 9 anos, sobrinho do Dr. Kasner, sugeriu o nome googol para este número e googolplex
para um número ainda maior, foi acordado ser 1 seguido de um googol de zeros, ou 10googol.
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