1. Números complexos: aula

2. Números complexos na forma trigonométrica
O número complexo z = a + bi pode ser representa do pelo par
ordenado (a, b ) e plotado como um ponto num plano.
Esse ponto pode ser representado em coordenadas polares (r , θ )
com r ≥ 0. Podemos concluir que a = r cosθ e b = r senθ .

3. Números complexos na forma trigonométrica
z = a + bi = r cos θ + (r senθ )i Observação:
o ângulo θ é o argumento de z. Note
z = r (cos θ + i sen θ ) que o argumento não é único.
Quaisquer dois argumentos de z
b
em que r =| z |= a 2 + b 2 e tgθ = . diferem entre si por um múltiplo
a inteiro de 2π.

4. Números complexos na forma trigonométrica
Multiplicação
Sejam z1 = r1(cos θ1 + i senθ1 ) e z2 = r2 (cos θ 2 + i sen θ 2 ).
Então z1z2 = r1r2 (cos θ1 + i senθ1 )(cos θ 2 + i sen θ 2 ). Portanto :
z1z2 = r1r2 (cos θ1 cos θ 2 + i senθ 2 cos θ1 + i senθ1 cos θ 2 + i 2 senθ1 sen θ 2 )
z1z2 = r1r2 (cos θ1 cos θ 2 − sen θ1 senθ 2 + i senθ 2 cos θ1 + i senθ1 cos θ 2 )
z1z2 = r1r2 [(cos θ1 cos θ 2 − sen θ1 senθ 2 ) + i (senθ1 cos θ 2 + cos θ1 senθ 2 )]
Usando as fórmulas de adição para seno e cosseno, temos :
z1z2 = r1r2 [(cos(θ1 + θ 2 ) + i sen(θ1 + θ 2 )]

5. Números complexos na forma trigonométrica
Multiplicação
Observação:
z1z2 = r1r2 [(cos(θ1 + θ 2 ) + i sen(θ1 + θ 2 )]
para multiplicar dois números
complexos multiplicamos os seus
módulos e somamos os seus
argumentos.

6. Números complexos na forma trigonométrica
Multiplicação
Usando repetidas vezes a fórmula de multiplica ção para um mesmo
número complexo z, obtemos :
z = r (cos θ + i sen θ )
z 2 = r 2 (cos 2θ + i sen 2θ )
z 3 = z 2 z = r 3 (cos 3θ + i sen 3θ )
Para n inteiro positivo, obtemos o seguinte resultado conhecido como
Teorema de De Moivre :
z n = r n (cos nθ + i sen nθ )
Para elevar à n - ésima potência um número complexo elevamos à
n - ésima potência o seu módulo e multiplicamos o seu argumento por n.

7. Números complexos na forma trigonométrica
Exercícios resolvidos
1 – Ache o produto dos números complexos 1 + i e 3 − i .
Resolução:
 π π   π  π 
1 + i = 2  cos + i sen  e 3 − i = 2cos −  + i sen − 
 4 4   6  6 
 π π   π π 
(1 + i )( 3 − i ) = 2 2 cos −  + i sen − 
 4 6  4 6 
 π π 
(1 + i )( 3 − i ) = 2 2  cos + i sen 
 12 12 

8. Números complexos na forma trigonométrica
Exercícios resolvidos
 π π  π π
2 – Ache z1z2 sendo z1 = 2 cos + i sen  e z2 = 3 cos + i sen  .
 4 4  2 2
Resolução:
 π π   π π 
z1z2 = 6 cos +  + i sen + 
 4 2  4 2 
 3π 3π 
z1z2 = 6 cos + i sen 
 4 4 

9. Números complexos na forma trigonométrica
Radiciação
O Teorema de De Moivre também pode ser usado para encontrar as
n - ésimas raízes de números complexos. Uma n - ésima raiz de um
número complexo z é um número complexo w tal que w n = z.
Escrevendo esses dois números na forma trigonomét rica como
w = s(cos φ + i sen φ ) e z = r (cos θ + i sen θ ), temos
s n [cos(nφ ) + i sen(nφ )] = r (cos θ + i senθ ). Portanto :
s = r ⇔ s = r , cos(nφ ) = cos θ e sen(nφ ) = sen θ .
1
n n

10. Números complexos na forma trigonométrica
Radiciação
Temos que cos(nφ ) = cos θ e sen(nφ ) = senθ .
Como o período das funções seno e cosseno é 2π ⇒ nφ = θ + 2kπ ⇔
θ + 2kπ 1   θ + 2kπ   θ + 2kπ 
⇔φ = , portanto w = r n
cos  + i sen .
n   n   n 
Note que w assume um valor diferente para cada k = 0, 1,..., n − 1.
Concluímos que :
Seja z = r (cos θ + i sen θ ) e n um inteiro positivo, então z tem as n
1   θ + 2kπ   θ + 2kπ 
raízes distintas w k = r n
cos  + i sen  em que
  n   n 
k = 0, 1, 2,..., n − 1.

11. Números complexos na forma trigonométrica
Exercícios resolvidos
1 – Determine as raízes cúbicas de − i .
Resolução:
0 −1
z = −i ⇒| z |= 0 2 + ( −1)2 = 1 = 1 e cos θ = = 0, sen θ = = −1
1 1
3π
Como 0 ≤ θ < 2π ⇒ θ = . Portanto :
2
3π 3π
z = cos + i sen
2 2

12. Números complexos na forma trigonométrica
Exercícios resolvidos
Como n = 3 ⇒ k = 0, 1 ou 2. Portanto :
 3π   3π 
 2  + i sen 2  = cos π + i sen π
k = 0 ⇒ w 0 = cos
 3   3 
  2 2
   
 3π + 2π   3π 
k = 1 ⇒ w 1 = cos 2  + i sen 2 + 2π  = cos 7π + i sen 7π = − 3 + i  − 1 
     
 3   3  6 6 2  2
   
 3π + 4π   3π 
k = 2 ⇒ w 2 = cos 2  + i sen 2 + 4π  = cos 11π + i sen 11π = 3 + i  − 1 
     
 3   3  6 6 2  2
   

13. Números complexos na forma trigonométrica
Exercícios propostos
10
1 i 
1 - Ache  +  .
2 2
2 - Determine zw sendo z = 3 + i e w = 1 + i 3.
3 - Determine as raízes quartas de − i .
4 - Determine as raízes quadradas de 1 − i .
5 - (Vunesp) Se a, b, c são números inteiros positivos tais que
c = (a + bi )2 − 14i , o valor de c é :
a) 48 b) 36 c) 24 d) 14 e) 7