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Números complexos: aula
Números complexos na forma trigonométrica

O número complexo z = a + bi pode ser representa do pelo par
ordenado (a, b ) e plotado como um ponto num plano.

Esse ponto pode ser representado em coordenadas polares (r , θ )
com r ≥ 0. Podemos concluir que a = r cosθ e b = r senθ .
Números complexos na forma trigonométrica

z = a + bi = r cos θ + (r senθ )i          Observação:
                                           o ângulo θ é o argumento de z. Note
z = r (cos θ + i sen θ )                   que o argumento não é único.
                                           Quaisquer dois argumentos de z
                                     b
em que r =| z |= a 2 + b 2 e tgθ =     .   diferem entre si por um múltiplo
                                     a     inteiro de 2π.
Números complexos na forma trigonométrica
                                 Multiplicação

Sejam z1 = r1(cos θ1 + i senθ1 ) e z2 = r2 (cos θ 2 + i sen θ 2 ).


Então z1z2 = r1r2 (cos θ1 + i senθ1 )(cos θ 2 + i sen θ 2 ). Portanto :


z1z2 = r1r2 (cos θ1 cos θ 2 + i senθ 2 cos θ1 + i senθ1 cos θ 2 + i 2 senθ1 sen θ 2 )
z1z2 = r1r2 (cos θ1 cos θ 2 − sen θ1 senθ 2 + i senθ 2 cos θ1 + i senθ1 cos θ 2 )
z1z2 = r1r2 [(cos θ1 cos θ 2 − sen θ1 senθ 2 ) + i (senθ1 cos θ 2 + cos θ1 senθ 2 )]

Usando as fórmulas de adição para seno e cosseno, temos :

z1z2 = r1r2 [(cos(θ1 + θ 2 ) + i sen(θ1 + θ 2 )]
Números complexos na forma trigonométrica
                                 Multiplicação

                                                   Observação:
z1z2 = r1r2 [(cos(θ1 + θ 2 ) + i sen(θ1 + θ 2 )]
                                                   para multiplicar dois números
                                                   complexos multiplicamos os seus
                                                   módulos e somamos os seus
                                                   argumentos.
Números complexos na forma trigonométrica
                                 Multiplicação

Usando repetidas vezes a fórmula de multiplica ção para um mesmo
número complexo z, obtemos :

z = r (cos θ + i sen θ )
z 2 = r 2 (cos 2θ + i sen 2θ )
z 3 = z 2 z = r 3 (cos 3θ + i sen 3θ )

Para n inteiro positivo, obtemos o seguinte resultado conhecido como
Teorema de De Moivre :

                            z n = r n (cos nθ + i sen nθ )

Para elevar à n - ésima potência um número complexo elevamos à
n - ésima potência o seu módulo e multiplicamos o seu argumento por n.
Números complexos na forma trigonométrica
                       Exercícios resolvidos

1 – Ache o produto dos números complexos 1 + i e 3 − i .

Resolução:

              π       π                π          π 
1 + i = 2  cos + i sen  e 3 − i = 2cos −  + i sen − 
              4       4                6          6 

                           π π         π π 
(1 + i )( 3 − i ) = 2 2 cos −  + i sen − 
                           4 6         4 6 

                             π         π 
(1 + i )( 3 − i ) = 2 2  cos    + i sen 
                             12        12 
Números complexos na forma trigonométrica
                      Exercícios resolvidos
                                   π             π             π       π
2 – Ache z1z2 sendo z1 = 2 cos         + i sen     e z2 = 3 cos + i sen  .
                                   4             4             2       2
Resolução:

            π π         π π 
z1z2 = 6 cos +  + i sen + 
            4 2         4 2 

             3π         3π 
z1z2 = 6 cos    + i sen    
              4          4 
Números complexos na forma trigonométrica
                                 Radiciação

O Teorema de De Moivre também pode ser usado para encontrar as
n - ésimas raízes de números complexos. Uma n - ésima raiz de um
número complexo z é um número complexo w tal que w n = z.


Escrevendo esses dois números na forma trigonomét rica como
w = s(cos φ + i sen φ ) e z = r (cos θ + i sen θ ), temos
s n [cos(nφ ) + i sen(nφ )] = r (cos θ + i senθ ). Portanto :


s = r ⇔ s = r , cos(nφ ) = cos θ e sen(nφ ) = sen θ .
                 1
 n                n
Números complexos na forma trigonométrica
                                   Radiciação

Temos que cos(nφ ) = cos θ e sen(nφ ) = senθ .

Como o período das funções seno e cosseno é 2π ⇒ nφ = θ + 2kπ ⇔
        θ + 2kπ                       1        θ + 2kπ          θ + 2kπ   
⇔φ =               , portanto w = r    n
                                           cos          + i sen           .
             n                                    n                n      
Note que w assume um valor diferente para cada k = 0, 1,..., n − 1.
Concluímos que :

Seja z = r (cos θ + i sen θ ) e n um inteiro positivo, então z tem as n
                           1        θ + 2kπ            θ + 2kπ   
raízes distintas w k = r    n
                                cos            + i sen            em que
                                       n                  n      
k = 0, 1, 2,..., n − 1.
Números complexos na forma trigonométrica
                          Exercícios resolvidos

1 – Determine as raízes cúbicas de − i .

Resolução:

                                                0              −1
z = −i ⇒| z |= 0 2 + ( −1)2 = 1 = 1 e cos θ =     = 0, sen θ =    = −1
                                                1              1

                            3π
Como 0 ≤ θ < 2π ⇒ θ =          . Portanto :
                             2

          3π         3π
z = cos      + i sen
           2          2
Números complexos na forma trigonométrica
                          Exercícios resolvidos

Como n = 3 ⇒ k = 0, 1 ou 2. Portanto :


                  3π         3π 
                  2  + i sen 2  = cos π + i sen π
k = 0 ⇒ w 0 = cos
                  3         3 
                                        2         2
                                

                  3π + 2π            3π       
k = 1 ⇒ w 1 = cos 2          + i sen 2 + 2π    = cos 7π + i sen 7π = − 3 + i  − 1 
                                                                                  
                     3                  3             6          6     2        2
                                              

                  3π + 4π            3π       
k = 2 ⇒ w 2 = cos 2          + i sen 2 + 4π    = cos 11π + i sen 11π = 3 + i  − 1 
                                                                                  
                     3                  3             6           6    2      2
                                              
Números complexos na forma trigonométrica
                         Exercícios propostos
                    10
         1 i 
1 - Ache  +  .
         2 2
2 - Determine zw sendo z = 3 + i e w = 1 + i 3.

3 - Determine as raízes quartas de − i .

4 - Determine as raízes quadradas de 1 − i .

5 - (Vunesp) Se a, b, c são números inteiros positivos tais que
c = (a + bi )2 − 14i , o valor de c é :

a) 48       b) 36        c) 24      d) 14   e) 7

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  • 2. Números complexos na forma trigonométrica O número complexo z = a + bi pode ser representa do pelo par ordenado (a, b ) e plotado como um ponto num plano. Esse ponto pode ser representado em coordenadas polares (r , θ ) com r ≥ 0. Podemos concluir que a = r cosθ e b = r senθ .
  • 3. Números complexos na forma trigonométrica z = a + bi = r cos θ + (r senθ )i Observação: o ângulo θ é o argumento de z. Note z = r (cos θ + i sen θ ) que o argumento não é único. Quaisquer dois argumentos de z b em que r =| z |= a 2 + b 2 e tgθ = . diferem entre si por um múltiplo a inteiro de 2π.
  • 4. Números complexos na forma trigonométrica Multiplicação Sejam z1 = r1(cos θ1 + i senθ1 ) e z2 = r2 (cos θ 2 + i sen θ 2 ). Então z1z2 = r1r2 (cos θ1 + i senθ1 )(cos θ 2 + i sen θ 2 ). Portanto : z1z2 = r1r2 (cos θ1 cos θ 2 + i senθ 2 cos θ1 + i senθ1 cos θ 2 + i 2 senθ1 sen θ 2 ) z1z2 = r1r2 (cos θ1 cos θ 2 − sen θ1 senθ 2 + i senθ 2 cos θ1 + i senθ1 cos θ 2 ) z1z2 = r1r2 [(cos θ1 cos θ 2 − sen θ1 senθ 2 ) + i (senθ1 cos θ 2 + cos θ1 senθ 2 )] Usando as fórmulas de adição para seno e cosseno, temos : z1z2 = r1r2 [(cos(θ1 + θ 2 ) + i sen(θ1 + θ 2 )]
  • 5. Números complexos na forma trigonométrica Multiplicação Observação: z1z2 = r1r2 [(cos(θ1 + θ 2 ) + i sen(θ1 + θ 2 )] para multiplicar dois números complexos multiplicamos os seus módulos e somamos os seus argumentos.
  • 6. Números complexos na forma trigonométrica Multiplicação Usando repetidas vezes a fórmula de multiplica ção para um mesmo número complexo z, obtemos : z = r (cos θ + i sen θ ) z 2 = r 2 (cos 2θ + i sen 2θ ) z 3 = z 2 z = r 3 (cos 3θ + i sen 3θ ) Para n inteiro positivo, obtemos o seguinte resultado conhecido como Teorema de De Moivre : z n = r n (cos nθ + i sen nθ ) Para elevar à n - ésima potência um número complexo elevamos à n - ésima potência o seu módulo e multiplicamos o seu argumento por n.
  • 7. Números complexos na forma trigonométrica Exercícios resolvidos 1 – Ache o produto dos números complexos 1 + i e 3 − i . Resolução:  π π   π  π  1 + i = 2  cos + i sen  e 3 − i = 2cos −  + i sen −   4 4   6  6   π π   π π  (1 + i )( 3 − i ) = 2 2 cos −  + i sen −   4 6  4 6   π π  (1 + i )( 3 − i ) = 2 2  cos + i sen   12 12 
  • 8. Números complexos na forma trigonométrica Exercícios resolvidos  π π  π π 2 – Ache z1z2 sendo z1 = 2 cos + i sen  e z2 = 3 cos + i sen  .  4 4  2 2 Resolução:  π π   π π  z1z2 = 6 cos +  + i sen +   4 2  4 2   3π 3π  z1z2 = 6 cos + i sen   4 4 
  • 9. Números complexos na forma trigonométrica Radiciação O Teorema de De Moivre também pode ser usado para encontrar as n - ésimas raízes de números complexos. Uma n - ésima raiz de um número complexo z é um número complexo w tal que w n = z. Escrevendo esses dois números na forma trigonomét rica como w = s(cos φ + i sen φ ) e z = r (cos θ + i sen θ ), temos s n [cos(nφ ) + i sen(nφ )] = r (cos θ + i senθ ). Portanto : s = r ⇔ s = r , cos(nφ ) = cos θ e sen(nφ ) = sen θ . 1 n n
  • 10. Números complexos na forma trigonométrica Radiciação Temos que cos(nφ ) = cos θ e sen(nφ ) = senθ . Como o período das funções seno e cosseno é 2π ⇒ nφ = θ + 2kπ ⇔ θ + 2kπ 1   θ + 2kπ   θ + 2kπ  ⇔φ = , portanto w = r n cos  + i sen . n   n   n  Note que w assume um valor diferente para cada k = 0, 1,..., n − 1. Concluímos que : Seja z = r (cos θ + i sen θ ) e n um inteiro positivo, então z tem as n 1   θ + 2kπ   θ + 2kπ  raízes distintas w k = r n cos  + i sen  em que   n   n  k = 0, 1, 2,..., n − 1.
  • 11. Números complexos na forma trigonométrica Exercícios resolvidos 1 – Determine as raízes cúbicas de − i . Resolução: 0 −1 z = −i ⇒| z |= 0 2 + ( −1)2 = 1 = 1 e cos θ = = 0, sen θ = = −1 1 1 3π Como 0 ≤ θ < 2π ⇒ θ = . Portanto : 2 3π 3π z = cos + i sen 2 2
  • 12. Números complexos na forma trigonométrica Exercícios resolvidos Como n = 3 ⇒ k = 0, 1 ou 2. Portanto :  3π   3π   2  + i sen 2  = cos π + i sen π k = 0 ⇒ w 0 = cos  3   3    2 2      3π + 2π   3π  k = 1 ⇒ w 1 = cos 2  + i sen 2 + 2π  = cos 7π + i sen 7π = − 3 + i  − 1         3   3  6 6 2  2      3π + 4π   3π  k = 2 ⇒ w 2 = cos 2  + i sen 2 + 4π  = cos 11π + i sen 11π = 3 + i  − 1         3   3  6 6 2  2    
  • 13. Números complexos na forma trigonométrica Exercícios propostos 10 1 i  1 - Ache  +  . 2 2 2 - Determine zw sendo z = 3 + i e w = 1 + i 3. 3 - Determine as raízes quartas de − i . 4 - Determine as raízes quadradas de 1 − i . 5 - (Vunesp) Se a, b, c são números inteiros positivos tais que c = (a + bi )2 − 14i , o valor de c é : a) 48 b) 36 c) 24 d) 14 e) 7