Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

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  Nome: Colégio: Data: 1. TRIÂNGULO RETÂNGULO 3. EXEMPLOS RESOLVIDOS TRIÂNGULO RETÂNGULO é aquele que possui um 01. Determine as medidas a, h, m e n no triângulo ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo a seguir é retângulo ABC a seguir: retângulo em A, veja: A A 4 3 h C m n B b c a h Resolução: Aplicamos o TEOREMA DE PITÁGORAS (RELAÇÃO m n 01) para calcular a hipotenusa a. C B a2 = b2 + c 2 a a2 = 32 + 42 Onde: a2 = 9 + 16 a é a hipotenusa (maior lado); a2 = 25 b e c são os catetos (formam o ângulo reto); h é a altura relativa à hipotenusa; a = 25 m é a projeção ortogonal do cateto b sobre a a=5 hipotenusa; n é a projeção ortogonal do cateto c sobre a Aplicando a RELAÇÃO 03, calculamos as projeções hipotenusa. ortogonais m e n. b2 = a.m c 2 = a. n 2. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO 2 3 = 5.m 42 = 5. n RETÂNGULO 5.m = 9 5.n = 16 No TRIÂNGULO RETÂNGULO ABC são válidas as e 9 16 seguintes RELAÇÕES MÉTRICAS (entre as medidas m= n= 5 5 mencionadas acima): m = 1,8 n = 3,2 RELAÇÃO 01: TEOREMA DE PITÁGORAS – O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados Outra maneira de calcular as projeções m e n é dos catetos. utilizando a RELAÇÃO 05, veja: a = m+n a = m+n a2 = b2 + c 2 5 = m + 3,2 5 = 1,8 + n RELAÇÃO 02: O produto entre a hipotenusa e a m = 5 − 3,2 ou n = 5 − 1,8 altura relativa à hipotenusa é igual ao produto entre os m = 1,8 n = 3,2 catetos. a.h = b.c Para calcular a altura h, aplicamos a RELAÇÃO 02. a.h = b.c RELAÇÃO 03: O quadrado de um cateto é igual ao 5.h = 3.4 produto entre a hipotenusa e a projeção ortogonal do 5.h = 12 cateto sobre a hipotenusa. 12 h= b2 = a. m c 2 = a.n 5 h = 2,4 RELAÇÃO 04: O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto entre as projeções Outra maneira de calcular a altura h é utilizando a ortogonais dos catetos. RELAÇÃO 04. h2 = m. n h2 = m.n RELAÇÃO 05: A hipotenusa é igual à soma das h2 = 1,8.3,2 projeções ortogonais dos catetos. h2 = 5,76 a = m+n h = 5,76 h = 2,4 Portanto a = 5 ; m = 1,8 ; n = 3,2 e h = 2, 4 . Matemática • www.georgechrist.mat.br • Página 1
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  02. No triânguloretângulo ABC a seguir, calcule a 02. (UFRN) Uma escada de 13,0 m de comprimento mediada da projeção ortogonal do cateto AC sobre a encontra-se com a extremidade superior apoiada na hipotenusa. parede vertical de um edifício e a parte inferior apoiada A no piso horizontal desse mesmo edifício, a uma distância de 5,0 m da parede. Se o topo da escada deslizar 1,0 m 12 para baixo, o valor que mais se aproxima de quanto a parte inferior escorregará é: B C a) 1,0 m b) 1,5 m c) 2,0 m d) 2,6 m H 5 03. (PUC-SP) Uma estação de tratamento de água (ETA) Resolução: localiza-se a 600 m de uma estrada reta. Uma estação de Para calcular a medida da projeção ortogonal HC do rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1000 m da ETA. Pretende-se construir um restaurante, na estrada, cateto AC sobre a hipotenusa, aplicamos a RELAÇÃO que fique à mesma distância das duas estações. A 04. distância do restaurante a cada uma das estações deverá h2 = m.n ser de: 122 = 5.HC a) 575 m b) 600 m c) 625 m d) 700 m e) 750 m 144 04. (FATEC) Se os catetos de um triângulo retângulo T 5.HC = 144 ⇒ HC = ⇒ HC = 28,8 5 medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm, então a altura de T relativa à hipotenusa é: A projeção ortogonal do cateto AC mede 28,8. 12 5 12 25 60 a) m b) m c) m d) m e) m 5 13 13 13 13 03. No triângulo retângulo ABC a seguir, AM é a mediana relativa à hipotenusa, e AH é a altura. Calcule a 05. (UFRS) O lampião, representado na figura, está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao medida do segmento HM . A 1 6 teto. Sabendo que essas cordas medem e metros, 2 5 8 6 a distância do lampião ao teto é: a) 1,69 m b) 1,3 m B C c) 0,6 m H M Resolução: 1 d) m Aplicando o TEOREMA DE PITÁGORAS (RELAÇÃO 2 01), obtemos a medida da hipotenusa BC . 6 e) m a2 = b2 + c 2 13 2 BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC = 36 + 64 ⇒ BC = 100 06. (U.E. LONDRINA) Em um triângulo retângulo ABC, BC2 = 100 BC = 10 BC2 = 62 + 82 as medidas das projeções dos catetos AB e BC sobre a Aplicando a RELAÇÃO 03, calculamos a projeção hipotenusa são, respectivamente, m e n. Se a razão entre 36 1 b 2 = a .m ⇒ 6 = 10.BH ⇒ BH = 10 2 AB e BC, nessa ordem, é , então m:n é igual a: BH . 2 AB 2 = BC.BH 10.BH = 36 BH = 3,6 5 2 1 5 1 Como AM é mediana, BM é metade da hipotenusa a) b) c) d) e) 2 2 2 4 4 BC , isto é, BM = 5 . Da figura temos: 07. (U.F. UBERLÂNDIA) Num triângulo ABC, o ângulo BM = BH + HM HM = 5 − 3,6 ⇒ 5 = 3,6 + HM HM = 1, 4 A é reto. A altura hA divide a hipotenusa a em dois segmentos m e n (m>n). Sabendo que o cateto b é o 4. EXERCÍCIOS (DESTRUIÇÃO TOTAL) dobro do cateto c, podemos afirmar que m : 01. (FUVEST-SP) No jogo de bocha, disputado num n terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de a) 4 b) 3 c) 2 d) 7 e) 5 raio 8 o mais próximo possível de outra menor, de raio 4. 2 Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura a seguir. A distância entre os pontos A e B, em que GABARITO as bolas tocam o chão, é: 01 02 03 04 05 06 07 a) 8 C C C E E E A b) 6 2 c) 8 2 d) 4 3 e) 6 3 A B Matemática • www.georgechrist.mat.br • Página 2