O documento discute diferentes tipos de poliedros, incluindo: 1) Poliedros são sólidos limitados por quatro ou mais polígonos planos pertencentes a planos diferentes. 2) Poliedros convexos e não convexos são definidos pela relação entre as faces. 3) A relação de Euler relaciona o número de vértices, arestas e faces de um poliedro.

1. PROFESSOR:
CARLOS JOSÉ GOMES
LOURENÇO
Poliedros

2. I - Chamamos de poliedro o
sólido limitado por quatro ou mais
polígonos planos, pertencentes a
planos diferentes e que têm dois a
dois somente uma aresta em
comum. Veja alguns exemplos:
Definição:

4. II - POLIEDROS NÃO CONVEXOS
OU CÔNCAVOS.
Unindo dois pontos distintos, pertencentes a duas
faces distintas por um segmento de reta, se
existirem pontos deste segmento, não
pertencente a nenhuma das faces, então o
poliedro é côncavo.
Exemplo:

5. III - POLIEDROS CONVEXOS
Condição de convexidade:
O plano de cada polígono deixa os demais
num mesmo semi- espaço.

6. IV - RELAÇÃO DE EULER
V – A + F = 2 OU V + F = A + 2
Onde:
V- NÚMERO DE VÉRTICES
A- NÚMERO DE ARESTAS
F – NÚMERO DE FACES

7. OBSERVAÇÃO:
Todo poliedro convexo obedece a
relação de Euler , mas existem poliedros
côncavos que também obedecem a
relação de Euler.
Ex:
V=12, F= 8 e A =18
Então:
V+F=12+8=20 e
A+ 2= 18+2=20
Assim , este poliedro é Euleriano.

8. V- Soma dos ângulos internos
de todas as faces de um
poliedro convexo.
S = ( V – 2). 360º

9. VI - POLIEDROS PLATÔNICOS OU DE
PLATÃO
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente
se:
a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de
arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.

10. Exemplos:
Poliedro de Platão Não é poliedro de
Platão, pois as faces
não tem o mesmo
número de arestas

11. VII - Propriedade dos
poliedros convexos
.
2
n F
A =. 2.n F A= ⇒
Onde :
n - Representa o número de arestas do polígono da face.
F - Representa o número de faces.
A - Representa o número de arestas.

12. Exemplos:
a) Quantos vértices possui um dodecaedro?
Sabemos que o dodecaedro possui 12
faces, então:
. 5.12
30
2 2
:
2 30 2 12
20
n F
A A A
Assim pela relação de Euler temos
V F A V
V
= ⇒ = ⇒ =
+ = + ⇒ = + −
=

13. São respectivamente o número de faces
triangulares e faces quadrangulares.
Assim:
b)Um poliedro convexo tem seis faces triangulares e cinco
faces quadrangulares.Calcule o número de vértices e a
soma dos ângulos de todas as faces deste poliedro.
t qF e F
3. 4. 3.6 4.5
19
2 2
t qF F
A A A
+ +
= ⇒ = ⇒ =
:
2 19 2 11
10
Assim pela relação de Euler temos
V F A V
V
+ = + ⇒ = + −
=

14. Sabemos que:
S = ( V – 2). 360º, então:
S=(10 – 2).360º
S=2880º

15. VIII - POLIEDROS REGULARES
São poliedros de Platão em que
todas as faces são polígonos
regulares