O documento define termos e conceitos relacionados a sistemas lineares, incluindo: 1) equações lineares e não lineares; 2) solução de equações e sistemas lineares; 3) sistemas normais, possíveis, determinados e indeterminados. Ele também descreve métodos para resolver e classificar sistemas lineares, como a regra de Cramer e o escalonamento da matriz.

1. SISTEMAS LINEARES – FAÇA A DIFERENÇA.
Tópicos de ajuda – RESUMO TEÓRICO
Definições:
A.1- Equação linear é toda equação da forma: a1x1 + a2x2 + a3x3 +...+anxn = b1 onde a1, a2, a3, ... an , são números
reais, denominados coeficientes da equação; x1, x2, x3,...x n , são as variáveis e b1 é o termo independente .(Se b1 = 0,
então a equação denominada homogênea). Ex: a)5x-2y=6; b)x+y=z-2; c)3x+y-z=0(Homog.).
Ex de equações NÃO Linear: a) x²+ y = 9; b)2xs+ y x -8=0; c)2x - √ y = 4
A.2- A Solução de uma equação linear a1x1 + a2x2 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b1 é uma seqüência de n números
reais ordenados indicados por (α1,α2, ...αn ) camada n-upla (lê-se êneupla), que verifica a igualdade.
A.3- Solução de um sistema linear de m equações e n incógnitas: é toda n-upla (α1,α2, ...αn) que substituindo
as incógnitas (x1,x2,x3,...,xn) transforma as m equações em m sentenças verdadeiras.
A.4- Sistema Normal: É um sistema que possui n equações e n incógnitas no qual o determinante do sistema é
diferente de zero (D 0).
A.5- REGRA DE CRAMER - Se o sistema é normal, cada incógnita é obtida pela divisão do determinante da
incógnita D(x), D(t), D(z), ... , D(n) pelo determinante do sistema (D).
D(x), D(y), D(z), ... , D(n) chamados determinantes das incógnitas (ou variáveis) são obtidos de D,
substituindo a coluna correspondente à incógnita, pela coluna dos termos independentes.
x = D (x) / D; y = D (y) / D ; z = D (z) / D ; ... n = D (n) / D.
A.6- Sistema possível e determinado (SPD) – Trata-se de um sistema com n equações lineares com n
incógnitas, cujo determinante do sistema D é diferente de zero (D 0).Admite uma única solução, isto é, o sistema é
possível e determinado.
A.7- Sistema possível e indeterminado (SPI) ou Sistema Impossível (SI) – Trata-se de um sistema de n
equações lineares com n incógnitas, cujo determinante dos coeficientes D é igual a zero (D = 0), admite uma
infinidade de soluções ( é possível e indeterminado ), ou não admite solução ( sistema Impossível).
A.8- Sistema Homogêneo (S.H.) - Trata-se de um sistema linear em que todos os termos independentes das
equações são zeros.
Notas: Um S.H. nunca será impossível (S.I) , pois:
i) Um S.H será SPD se D 0 -Admite apenas solução trivial (nula)
ii) Um S.H será SPI se D = 0 – Admite outras soluções, além da trivial (nula.)
iii) Todo S.H é sempre possível ou compatível, admitindo sempre a solução trivial (solução
nula).
A.9- Discussão (Ou Classificação) de um sistema linear de n equações a n incógnitas: Discutir um sistema
quer dizer verificar se o sistema é possível, impossível ou indeterminado.
Utilizando a regra de Cramer, temos: x1 = D1 / D, x2 = d2 / D, x3 = D3 / D, ... x n = D n / D.
DETERMINADO Solução única
D 0.
SISTEMA POSSÍVEL
INDETERMINADO Infinitas soluções
D = 0 e D1=D2=...=D n = 0
IMPOSSÍVEL não admite solução D = 0 e pelo menos um Di
é diferente de zero
a1/a2 = b1/b2 = k1/ k2 ➱ SPI
Nota: Classificação de um sistema linear 2x2:
a1x+b1y= k1 ➱ a1/a2 = b1/b2 k1/k2 ➱ SI
a2x+b2y= k2
a1 /a2 b1/b2 ➱ SPD
A.10- Discussão sistema linear homogêneo: Veja A.8.
A.11- SISTEMA ESCALONADO: Denomina-se sistema escalonado o sistema que tem uma matriz completa da
forma:
a11 a12 a13 ... a1n b1
0 a22 a23 ... a2n b2
0 0 a33 ... a3n b3
. . . . .
. . . . .
0 0 0 amn bm
1

2. Observe que os coeficientes a i j com i > j são nulos.
A.12- RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
(MÉTODO DO ESCALONAMENTO)
Para determinar o conjunto verdade de um sistema de equações lineares, podemos utilizar as seguintes
transformações elementares:
Trocar de posição duas equações quaisquer do sistema.
Multiplicar ou dividir uma equação do sistema por um número diferente de zero.
Efetuar uma combinação linear entre as equações para obter uma outra equivalente.
Com a matriz completa, podemos escalonar um sistema linear por meio das transformações elementares.
OBS: Existem apenas dois tipos de sistema linear escalonado:
I. Número de equações igual ao número de incógnita – o sistema é possível e determinado (SPD).
II. Número de equações é menor que o número de incógnita – o sistema é indeterminado (S.I).
Nota: Chama-se “grau de indeterminação de um sistema escalonado do segundo tipo” o número de variáveis
livres do sistema. Isto é, o número de variáveis que não aparecem no início de nenhuma equação do sistema.
A.13- Sistemas lineares equivalentes ( A ~ A´) : São sistemas que possuem o mesmo conjunto solução.
A.14- Três termos em PA: ( a – r, a, a + r ).
A-15 Lembrete: Tendo-se a equação ax = b, , com a , b , ℝ ; temos que ela será:
a) Determinada: se a 0. Indeterminada: se a = b = 0. Impossível: se a = 0 e b 0
A.16- Característica de uma matriz: Seja A uma matriz qualquer e A’ uma matriz escalonada, linha-
equivalente a A. Chamamos de característica da matriz A, e indicamos por ρ(A), ao número de linhas não nulas de
A’.
A.17-Teorema de Rouché-Capelli - Considerando um sistema S(com n equações) e sendo A e B as matrizes
incompleta e completa do sistema temos: i) se ρ(A) = ρ(B)= n SPD ; ii) se ρ(A) =ρ (B) < n SPI.
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
Com certeza você já ouviu falar nisso. Pois é. Habitue-se a rever, periodicamente, os estudos feitos. Reler e refazer
cuidadosamente lições já estudadas é um exercício de revisão. Agindo assim, você está colhendo frutos que não
estavam anda maduros na primeira leitura.
01(Ccvest) Calcule o valor de a sabendo que o terno (3,2,1) é solução da equação:
2x + 3y + az = 2. TA A.2 Resp: -10.
02(Ccvest) Se o terno (0,2,1) é solução do sistema abaixo, calcule o valor de ( a + b +c )
ax + by + z = 7
x+ ay + cz = 11 TA A.3 Resp: 10
x + y + cz = 5
03(Ccvest) Resolver os sistemas usando a Regra de Cramer e Regra do Escalonamento:
x + 2y + z = 7
2x + y – z = 1
a)
x + 3y – 2z = 1
b) x + 3y = 7 c) x + 4y – z = 1
2x + y = 4 4x + 5y + 2z = 12
x – 2y + 3z = 8
TA A.11,A.12 Resp b) {(1,2)} c) {(1/10;1;33/10)}
Resp: a) S = { ( 11/12; 23/12; 31/12 )}
04(Ccvest) Se o sistema abaixo é impossível, o valor de m é:
x + 2y + 3z = 7
2x + 3y – mz = 4
3x + y + 4z = 2
2

3. T.A.-->A.7. Resp: m = -5
4
05(UFC) Se o sistema x + my = 3 tem infinitas soluções, então o valor de m – 8m² + 23 é igual a:
mx + 4y = 6
TA A.10 Resp: 7
06-(Ccvest) Determine o valor de β sabendo que a equação linear x + y + z = 0 admite como solução o terno
ordenado (α,β,γ) e que formam, nessa ordem, uma PA.
TA A.2, A.14 Resp: β= 2
07(Ccvest) Os valores de x, y e z, solução do sistema abaixo, formam nesta ordem,uma PA de razão 1. Qual o valor
de a ?
x + 2y + 3z = 14
4x + 5y + 6z = 32 Ta A.3, A.14 Resp: a = 50.
7x + 8y + 9z = a
08(Ccvest) Qual das alternativas abaixo apresenta uma solução do sistema x+y+2z=9
a) (8,1,0) b) (10,-1,0) c) (1,2,3) d) (9,0,0) e) (1,1,1) x+2y+z=8
TA A.3 Resp: c. 2x+y+z=7
09(Ccvest) Sabendo que os sistemas abaixo são impossíveis, nas incógnitas x e y, determinar o valor de a.
3x + 2y = 1
a) ay = 5 TA A.4 Resp: a = 0.
b) 3x + y = 3 TA A.4 Resp: ∀ a, a 0
0x + 0y = a
10(Ccvest) Classifique os seguintes sistemas:
a) x + y = 6 b) x + 2y = 4 c) x + y = 10
x–y=8 2x – y = 3 2x + 2y = 20
d) 4x – 6y = 2 e) 2x + 3y = 6 f) x + y = 10
6x – 9y = 3 2x + 3y = 12 2x + 2y = 30
TA A.9
Resp: a) SPD b) SPD c) SPI d) SPI e) I f) I
11(Ccvest) Discuta os sistemas:
Resp: TA A.9
a) x + ky = 1 b) mx + y = 2
x + 2y = 3 x–y=1
12(UM-SP) Os valores de a para que o sistema abaixo admita soluções diferentes da trivial são:
x+y=z=0 TA A.10 Resp: a = -1.
x – ay + z = 0
ax – y – z = 0
3

4. 13(Ccvest) Resolva o sistema linear:
x + 2y + z = 2 Nos seguintes casos: a) m= 0 e n = 0 b) m =-2 e n = 0
x – y + mz = n c) m = -2 e n = 5.
-x + 3y + 2z = 1
TA.--> A11 e 12. Resp: a) {(3/2;3/2;-5/2)} b) { } c) {(α+4,-1-α;α)}
‘
14 ( UFC) A solução do sistema sendo ad – bc = 1 é:
ax + by = m
cx + dy = n
Resp:x = dm – bn e y = na - cm
15(UFC) Se (xo, yo, zo) é solução do sistema:
então xo² + yo² - 2zo² é igual a: xy + z² = -1
T.A Quadre a 2ª equação x+y=2
Resp: 6
16(UECE) Resolvendo o sistema 1/x – 1/y = 1/15 com x 0 e y 0 o quociente de y
por x é: 3/x + 3/y = 1
TA:Faça 1/x=a e 1/y=b Resp : 3/2
17(Ccvest) O sistema ( λ+1)x + y = 0 , admite solução (x, y) com y = 0. O valor
de λ é:
yλ
x + yλ = 2
Resp: -1
18(Ccvest) O sistema 2x + 3y = 1
4x + ay = 5 19(UNIFOR) Se o par (x,y) é solução
a) admite (0,0) como solução do sistema y – x = 2 , então a soma
b) é impossível para a = 6 (x + y) 2x = y – 4 é:
c) é impossível , ∀ a  ℝ;
d) tem solução única ∀ a , ℝ; TA A.3 Resp: -2
TA A.3 Resp: b
20(UFC) Sejam x, y, z e w números reais e positivos que satisfazem o sistema:
yzw =1
x
xzw =2
y
xwy =3 , podemos afirmar que (x.y.x.w) é igual a:
z
xyz =6
w T.A Multiplicar as eq. entre si. Resp: 6
21(Ccvest) Os valores de x, y e z no sistema 2x + 3y = -1
2y + 3z = -2 22(UNIFOR) Se os números reais positivos a e b
x+y=0 sendo b < a satisfazem o sistema x² + y² = 65/4
pertence ao intervalo: , então pode-se afirmar que: xy = 2
TA A.5 Resp: [-1,1].
a) a – b = 7 b) a.b = 2 c) a + b = 65/2 d) a.b
= 6 e) a – b = 7/2.
23(UFC) Seja (x,y,z) a solução do sistema a seguir, TA Subtraia as equações dobrando a 2ª
y x (-1). Resp: e.
x
calcule o valor da potência z
24(UNIFOR) Se f(x) = 6x-1 o sistema y = f-1 (x)
1 + 1 = 3
6y – x = 1
x y 2
a) Possui uma única solução
1 + 1 = 4 TA Veja Ex. 16 Resp: 9
b) Possui exatamente três soluções.
x z 3
c) É indeterminado
4
1 + 1 - 1 = 7
d) É impossível
x y z 6
TA A.3 Resp: c

5. 26(Ccvest) Discuta os sistemas;
25(Ccvest) Discuta os sistemas abaixo: a) x + y + z = 0 b) ax + y + 2z = b
a) ax + 3ay = 0 b) x – y = 2 x – y + mz = 2 2ax – y + 2z = 1
2x + ay = 4 2x + ay = b mx + 2y + z = -1 2x + y + 2z = 3
TA A.9
TA A.9 Resp: a) m 0 e m 1 SPD;
Resp: a) a 0 e a 6 SPD; m = 1 SPI; m = 0 SI
a = 0 SPI a = 6 SI b) a 2 SPD ;
b) a -2 SPD; a = 2 e b = 3 SPI
a = -2 e a = 4 SPI; a = - 2 e b 4 SI. a = 2 e b 3 SI
28(Ccvest) Discuta os sistemas segundo a:
27(Ccvest) Resolva os sistemas:
a) x + 4y – 5z = 0 b) x + ay = 0
a) 2x + 3y – z = 0 b) x + 2y –z = 0
2x – y + 3z = 0 2x + 6y = 0
x – 4y + z = 0 2x – y + 3z = 0
3x + ay + 2z = 0
3x + y -2z = 0 4x + 3y + z = 0
TA 10
TA A.8
a) a 3/13 SD ; a = 3/13 SI
Resp: a) {(0,0,0)} b) (- α,α,α);α, ℝ b) a 3 SPD ; A = 3 SI
29) (Ccvest) Determine as características das 30(Ccvest) Classifique e resolva os sistemas abaixo,
matrizes: utilizando o teorema de Rouché-Capelli.
2 5 1 3 4 a) x + y -2z = 4 b) - x + 3y –z = 2
a) A = 4 8 B = 2 5 -1 -x+4y– 3z = 1 3x – y +2z =1
2 4 -10 2x+2y+z = 2 2x+2y+z = 3
1 1 1 1
c) C = 2 2 2 2 TA A.16; A.17
3 3 3 3 TA A16 Resp: a)ρ(A)=ρ(A’) = 3= n SPD
{(9/5, -1/5, -6/5)}
Resp: a) ρ(A) = ρ(B) =2; c)ρ(C)=1. b) ρ (B) = ρ(B’) = 2 < 3 SPI
31( Ccvest) Discutir o sistema nas incógnitas x e y segundo os valores do parâmetro real m .
mx + 3y = 1
3x + my = 1 TA A.9 - Resp: M ± 3 SPD; m = 3 SPI; m = -3 SI.
32( Ccvest) Discutir o sistema abaixo nas variáveis x , y e z em função do parâmetro real a.
x + 2y –z = 1
2x – y + 3z = 2
ax – 3y + 4z = 0. TA A.9 – Resp: a 1 SPD ; a = 1 SI
33- (Ccvest) Discutir o sistema abaixo nas incógnitas x e y em função dos parâmetros a e b.
x + 2y = 3
ax + 4y = b . TA A.9-Resp: a 2 ➱SPD; a = 2 e b 6 ➱SI ; a = 2 e b = 6 ➱SPI .
34(Ccvest) Discutir o sistema em função do parâmetro real m:
x + 2y – z = 1
2x + y + mz = 1 TA A9;A12 – Resp: m = -2 ➱SI; m -2 ➱ SPI.
35(Ccvest) Discutir o sistema abaixo nas variáveis x e y em função do parâmetro real m.
x + 2y = 5
3x + 5y = 13
2x + 3y = m. TA A.9;A12 – Resp: m 8 ➱ SI; m = 8 ➱ SPD.
5

6. 36(UDF) Determine os valores de m e n, de tal forma que o sistema abaixo seja indeterminado
x + 2y + 2z = m
3x + 6y – 4z = 4
2x + ny – 6z = 1. TA A.9 – Resp: m = 3 e n = 4.
37(Fuvest-SP) O sistema linear abaixo é indeterminado para que valores de m ?
x+y=0
x+z=0
y + mz = 0. TA A9,A12 – Resp: m = 0
38(FMTM-MG) Três pacientes usam, em conjunto, 1 830 mg por mês de certo medicamento em cápsulas. O paciente
A usa cápsula de 5 mg, o paciente B, de 10 mg, e o C de 12 mg. O paciente A toma metade do número de cápsula de
B e os três juntos tomam 180 cápsulas por mês. O número de cápsula que toma por mês o paciente C é:
TA Montar o sistema Resp: 90
39(UFRN) Três amigos denominados X, Y e Z utilizam um computador todas as noites. Em relação ao tempo em que
cada um usa o computador por noite, sabe-se:
O tempo de X mais o tempo de Z excede o de Y em 2 horas
O Tempo de X mais o quádruplo do tempo de Z é igual a 3 mais o dobro do tempo de Y.
O tempo de X mais 9 vezes o tempo de Z excede em 10 o tempo de Y.
A soma do numero de horas de utilização do computador, pelos três amigos, em cada noite, é
TA Montar o sistema Resp: 5 h.
40(Ccvest) Uma pessoa possui galinhas e coelhos, ao todo 20 cabeças e 58 pés. Calcular o número de animais de
cada espécie.
TA Montar o sistema Resp: 11 gal. e 9 coeh.
41(Ccvest) Em um depósito há viaturas de 4 e de 6 rodas num total de 39 viaturas e 190 rodas. Calcule quantas
viaturas há de cada espécie.
TA Montar o sistema. Resp: 22 e 17.
42(Ccvest) Num caderno estão desenhados triângulos e quadrados, num total de 35 figuras e 125 lados. Calcule o
número de quadrados.
TA Montar o sist. Resp: 20
43(Ccvest) Num caderno estão desenhados triângulos, quadrados e pentágonos. Ao todo são 18 figuras e 74 lados.
Calcule o número de quadrados, sabendo que o número deles é o dobro do número de triângulos.
TA Montar o sist. Resp: 8
44(Ccvest) Um aluno ganha 5 pontos por cada exercício que acerta e perde 3 pontos por exercício erra. Ao fim de 20
exercícios, tem 36 pontos. Quantos exercícios acertou?
TA Mont. o sist. (Se perde ou paga, devemos subtrair) Resp: 12.
45( Ccvest) Um atirador ganha 4 pontos por tiro que acerta no alvo e paga a metade , como multa, cada vez que erra.
Após 32 tiros, tinha 86 pontos. Calcule quantos tiros acertou.
TA Mont. o sist. Resp: 25
46(Ccvest) Um aluno ganha 6 pontos por cada exercício que acerta e paga 4 por exercício que erra. Ao fim de 30
exercícios tinha 60 pontos. Calcule quantos exercícios ele acertou.
TA Mont. o sist. Resp: 18
47(Ccvest) Achar a fração que , somando-se 4 a cada um de seus termos , ela torna-se igual a 2/3, e subtraindo-se 1
de cada um de seus termos , torna-se igual a ½.
TA Mont. o sist. Resp: 6/11.
48(Ccvest) Se juntarmos 8 ao numerador de uma fração, ela ficará igual a 2; mas se subtrairmos 5 do denominador, a
fração ficará igual a 3. Calcule a fração.
TA Mont. o sist. Resp; 6/7.
49(Ccvest) O denominador de uma fração excede ao numerador de 5 unidades. Se ao denominador se adiciona 7, o
valor da fração ficará sendo igual a 1/2; determinar a fração.
TA Mont. o sist. Resp: 12/17.
50(Ccvest) Se dividirmos as idades de A e B aumentadas de um ano, encontraremos uma fração igual a ½ e, se
dividirmos diminuídas de um ano, encontraremos uma fração igual a 1/3. Calcule a idade de A e B.
6

7. TA Mont. o sist. Resp: 3 e 7 anos.
51(Ccvest) Achar um número de dois algarismos, sabendo que a soma desses algarismos é 6 e que subtraindo36
unidades do número, ele fica escrito na ordem inversa.
TA Mont. o sist. Resp: 51.
52(Ccvest) Um número é composto de dois algarismos cuja diferença é 15. Invertendo-se a ordem desses algarismos,
formam-se um segundo número que vale 23/32 do primeiro. Calcule esse número.
Ta Mont. o sist. Resp:96
53(Ccvest) A diferença entre dois números é 6 289; a divisão do maior pelo menor dá 23 de quociente e 41 de resto.
Determinar o maior número. x – y = 6 289
TA: Faça: x e y os números, com x > y. Temos o sistema x = 23y + 41. Resp: 6 573.
54(Ccvest) Determinar dois números que possuem soma 59, por quociente 8 e o resto é o maior possível.
TA O maior resto possível em uma divisão é o divisor menos uma unidade. Resp: 53 e 6.
55(Ccvest) A diferença entre dois números é 4. Sabendo-se que cinco vezes o maior mais três vezes o menor é igual a
84, calcule o número maior. x–y=4
TA Faça: x = nº. maior e y = nº. menor. Temos o sistema: 5x + 3y = 84. Resp: 12.
56(Ccvest) Achar o número que dá o mesmo resultado somando-se a ele 5 unidades ou multiplicando-o por 5.
TA Mont. sist. Resp: 5/4.
57(Ccvest) Um número é composto de três algarismos cuja soma ´dos valores absolutos é 6. O valor absoluto do
algarismo das unidades é a soma dos valores absolutos do algarismo das dezenas e o das centenas. O valor absoluto
do algarismo das centenas é igual ao dobro do das dezenas. Escreva esse número.
TA Mont. Sist. Resp: 213.
58(Ccvest) Um copo cheio de água pura pesa 325g. Se jogarmos fora metade da água, o peso do conjunto se reduz a
180g. Calcule o peso do copo vazio. x + y = 325
TA Seja: x = peso do copo vazio e y = peso da água. Temos o sistema: x + y /2 = 180. Resp: 35g.
59(Ccvest) Um vaso cheio de água pura pesa 14 kg; tirando-lhe os 3 / 4 da água , não pesa mais que 5 kg. Calcule o
peso da água e do vaso.
TA Mont. Sist. Resp: 12 kg e 2 kg.
60(Ccvest) Dois números são tais que, se tirarmos uma unidade do primeiro e adicionarmos ao segundo, este ficará
sendo o dobro do primeiro; e, se tirarmos uma unidade do segundo e adicionarmos ao primeiro, eles ficam iguais.
Qual é o segundo número?
TA Mont. Sist. Resp: 7.
61(Ccvest) Dividir 32 em duas partes de modo que seja igual a 6 a soma dos quocientes que resultam, dividindo a
primeira parte por 6 e a segunda parte por 5. x + y = 32
TA Sendo x = 1ª parte e y = 2ª parte, temos o sistema: x/6 + y/5 = 6 . Resp: 12 e 20.
62(Ccvest) Dois jogadores entram em um jogo, o primeiro com R$ 2 900,00 e o segundo com R$ 3 100,00. Depois de
uma partida ganha pelo segundo, este tem o quádruplo do primeiro. Calcule o valor da partida.
TA Mont. Sist. Resp: R$ 1 700,00.
63(Ccvest) Camila e Carine possuem cada uma, certo número de maças. Porém, se a 1ª der 5 maças a 2ª, elas ficam
com igual número de maças; se pelo contrário, a 2ª der 5 maças a 1ª, esta fica com o quíntuplo de maças da 2ª.
Quantas maças possuem cada uma? x–5=y+5
TA x = Nº de maças da 1ª e y = Nº de maças da 2ª. Temos o sistema: 5(y – 5) = x + 5. Resp: 1ª=20 e 2ª=10.
64)Ccvest) Dois irmãos têm juntos 21 anos; se a idade do mais moço fosse triplicada, ela excederia de 3 anos a idade
do mais velho. Calcular a idade dos dois irmãos. x + y = 21
TA x = id. do mais velho e y = id do mais novo. Temos o sistema: 3y = x + 3. Resp: 15 e 6.
7