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Função real: : Uma função f sobre um conjunto X com imagem no conjunto Y, associa a cada x um único elemento y, para todos os elementos de X. O que caracteriza o nome da função é o contradomínio Y da mesma. Se Y é um conjunto de:

números reais, temos uma função real. vetores, temos uma função vetorial. matrizes, temos uma função matricial. números complexos, a função é complexa. Conjunto dos reais

Seqüência real: Uma seqüência real (ou sucessão) é uma função f:NR que associa a cada número natural n um número real f(n). O valor numérico f(n) é o termo de ordem n da seqüência. Do modo como definimos a seqüência, o domínio de f é um conjunto infinito, mas o contradomínio poderá ser finito ou infinito. O domínio de uma seqüência é indicado por Dom(f)=N e a imagem de uma seqüência por Im(f)={a 1 ,a 2 ,a 3 , ...}.

FUNÇÃO: Muitas vezes, a seqüência (função) é confundida com a Imagem da função (conjunto de números), no entanto, esta confusão até mesmo colabora para o entendimento do significado de uma seqüência no âmbito do Ensino Médio. Um fato importante é que a função determina a regra que os elementos do conjunto imagem devem seguir.

FUNÇÃO IDENTIDADE: Função identidade: Seja f:NR definida por f(n)=n. Esta função pode ser representada graficamente de várias formas, sendo que duas delas estão mostradas abaixo, com o diagrama de Venn-Euler (esquerda) e o gráfico cartesiano (direito). Neste caso, Dom(f)=N e Im(f)={1,2,3,...}

Seqüência de números pares: Seja f:NR definida por f(n)=2n. Neste caso Im(f)={2,4,6,...}. Duas representações gráficas para esta seqüência, são:

Números impares: Sequência de números ímpares: A função f:NR definida por f(n)=2n-1, está representada abaixo e a sua imagem é Im(f)={1,3,5,...}.

Sequência dos recíprocos : : A sequência dos recíprocos (ou inversos) dos números naturais f:NR é definida por f(n)=1/n. Neste caso Im(f)={1,1/2,1/3,1/4,...,1/n,...}.

Sequência constante: Uma sequência constante é uma função f:NR definida, por exemplo, por f(n)=3 e pode ser representada graficamente por:

Seqüência nula: A seqüência nula f:NR é definida por f(n)=0. A imagem é o conjunto Im(f)={0}. f pode ser vista graficamente como:

Sequência alternada: Uma seqüência alternada f:NR pode ser definida por f(n)=(-1) n n. Esta seqüência de números fica alternando o sinal de cada termo, sendo um negativo e o seguinte positivo, e assim por diante. A imagem é o conjunto:, Im -1+2,-3,+4,-5,+6,...}

Seqüência aritmética: A seqüência aritmética f:NR é definida por: f(n)=a 1 +(n-1)r e pode ser vista com os gráficos abaixo:

Seqüência geométrica: Uma seqüência geométrica é uma função f:NR definida por: f(n)=a 1 q n-1 que pode ser esboçada graficamente por:

Seqüência recursiva:: Uma seqüência é recursiva se, o termo de ordem n é obtido em função dos termos das posições anteriores. Exemplo: A importante seqüência de Fibonacci, definida por f:NR tal que f(1)=1 e f(2)=1 com f(n+2)=f(n)+f(n+1)

As seqüência de Fibonacci Aparecem de uma forma natural em estudos de Biologia, Arquitetura, Artes e Padrões de beleza. O livro "A divina proporção", Huntley, Editora Universidade de Brasília, trata do assunto. Observação: O gráfico de uma seqüência não é formado por uma coleção contínua de pontos mas por uma coleção discreta. Eventualmente usamos retas ou curvas entre dois pontos dados para melhor visualizar o gráfico, mas não podemos considerar tais linhas como representativas do gráfico da seqüência.

Seqüência finitas e infinitas Quanto ao número de elementos da imagem , uma seqüência poderá ser finita ou infinita. Seqüência Finita: Uma seqüência é finita se, o seu conjunto imagem é um conjunto finito. Exemplos: As seqüência f:NR definidas por f(n)=0, g(n)=(-1) n e h(n)=cos(n/3) são finitas e as suas imagens são, respectivamente: Im(f)={0}, Im(g)={-1,1}, Im(h)={1/2,-1/2,-1,1}

Seqüência Infinita: Uma seqüência é infinita se, o seu conjunto imagem é um conjunto infinito. Exemplos: As seqüência f:NR definidas por f(n)=2n, g(n)=(-1) n n, h(n)=sin.(n) e k(n)=cos(3n) são infinitas, pois suas imagens possuem infinitos termos. Exemplo: Seja a seqüência infinita f:NR, cujo conjunto imagem é dado por Im(f)={5,10,15,20,...}. Observamos que

Seqüência aritméticas e Uma seqüência muito útil é a seqüência aritmética, que possui domínio infinito. Esta seqüência é conhecida no âmbito do Ensino Médio, como uma Progressão Aritmética infinita, Progressão Aritmética finita não é uma seqüência, uma vez que o domínio da função que define a progressão, é um conjunto finito {1,2,3,...,m} contido no conjunto N dos números naturais .

Progressão Aritmética finita: Surge aqui o conceito de Progressão Aritmética finita, que é uma coleção finita de números reais com as mesmas características que uma seqüência aritmética. As Progressões Aritméticas são denotadas por PA e são caracterizadas pelo fato que, cada termo a partir do segundo, é obtido pela soma do anterior com um número fixo r, denominado razão da PA.

C = { a1, a2, a3, ..., an, ..., am-1, am } n indica uma posição na seqüência. n é o índice para a ordem do termo geral a n no conjunto C. a n é o n-ésimo termo da PA, que se lê a índice n. a 1 é o primeiro termo da PA, que se lê a índice 1. a 2 é o segundo termo da PA, que se lê a índice 2. a m é o último elemento da PA. r é a razão da PA e é possível observar que a 2 =a 1 +r, a 3 =a 2 +r, ..., a n =a n-1 +r, ..., a m =a m-1 +r A razão de uma Progressão Aritmética, pode ser obtida, subtraindo o termo anterior (antecedente) do termo posterior (conseqüente), ou seja: a 2 -a 1 = a 3 -a 2 = a 4 -a 3 = ... a n -a n-1 = r

Exemplos de Progressões Aritméticas (finitas) A PA definida pelo conjunto C={2,5,8,11,14} possui razão r=3, pois: 2+3=5, 5+3=8, 8+3=11, 11+3=14 A PA definida pelo conjunto M={1,2,3,4,5} possui razão r=1, pois: 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, 4+1=5 A PA definida por M(3)={3,6,9,12,15,18} possui razão r=3, pois: 6-3 = 9-6 = 12-9 = 15-12 = 3 A PA definida por M(4)= {0,4,8,12,16 } possui razão r=4, pois: 4-0 = 8-4 = 12-8 = 16-12 = 4

Média aritmética: Dados n números reais x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , definimos a média aritmética entre estes números, denotada pela letra x com um traço sobre a mesma, como a divisão entre a soma desses números e o número de elementos:

PA: Na Progressão Aritmética, cada termo é a média aritmética entre o antecedente e o conseqüente do termo tomado, daí a razão de tal denominação para este tipo de seqüência.

Fórmula do termo Geral de uma PA Consideremos a PA com razão r, definida por P = { a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n-1 , a n } Observamos que: a 1 = a 1 = a 1 + 0r a 2 = a 1 + r = a 1 + 1r a 3 = a 2 + r = a 1 + 2r a 4 = a 3 + r = a 1 + 3r ... ... ... ... a n = a n-1 +r = a 1 +(n-1)r e obtemos a fórmula do termo geral da PA: a n = a 1 + (n-1) r

PA: Com o material apresentado, podemos obter qualquer termo de uma Progressão Aritmética (PA), sem precisar escrevê-la completamente. Exemplo: Seja a PA com razão r=5, dada pelo conjunto C={3,8,...,a 30 ,...,a 100 }. O trigésimo e o centésimo termos desta PA podem ser obtidos, substituindo os dados da PA na fórmula do termo geral a n =a 1 +(n-1)r. Assim: a 30 =3+(30-1)3=90 e a 100 =3+(100-1)3=300

Qual é o termo de ordem n=4 desta PA? Exemplo: Para inserir todos os múltiplos de 5, que estão entre 21 e 623, montaremos uma tabela. 21 2530...615620623 a 1 a 2 ...a n-1 a n Aqui, o primeiro múltiplo de 5 é a 1 =25, o último múltiplo de 5 é a n =620 e a razão é r=5. Substituindo os dados na fórmula a n =a 1 +(n-1)r, obteremos 620 = 25 + (n-1)5 de onde segue que n=120, assim o número de múltiplos de 5 entre 21 e 623, é igual a 120

Progressões Aritméticas monótonas Quanto à monotonia, uma PA pode ser: crescente se para todo n > 1: r>0 e a n <a n+1 . constante se para todo n > 1: r=0 e a n+1 =a n . decrescente se para todo n > 1: r<0 e a n+1 <a n .

Extremos e Meios em uma PA Em uma Progressão Aritmética (finita) dada pelo conjunto: C = { a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ,...,a m-1 , a m } os termos a 1 e a m são denominados extremos enquanto os demais: a 2 , a 3 , ..., a m-2 , a m-1 são os meios aritméticos. a 1 a 2 , a 3 , ..., a m-2 , a m-1 a m meios aritméticos

Exemplo: Na PA definida por C={1,3,5,7,9,11}, os números 1 e 11 são os extremos e os números 3, 5, 7 e 9 são os meios aritméticos.

Termos eqüidistantes dos extremos: : Em uma PA com m termos, dois termos são eqüidistantes dos extremos se a soma de seus índices é igual a m+1 e sob estas condições, são eqüidistantes dos extremos os pares de termos a 1 e a m , a 2 e a m-1 , a 3 e a m-2 , ...

M É PAR: Se a PA possui um número de termos m que é par, temos m/2 pares de termos eqüidistantes dos extremos.

Exemplo: A PA definida por C={4,8,12,16,20,24}, possui um número par de termos e os extremos são a 1 =4 e a 6 =24, assim: a 2 + a 5 = 8 + 20 = 28 = a 1 + a 6 a 3 + a 4 = 12 + 16 = 28 = a 1 + a 6 a 4 + a 3 = 16 + 12 = 28 = a 1 + a 6 a 5 + a 2 = 20 + 8 = 28 = a 1 + a 6

M É IMPAR: Se o número m de termos é impar, temos (m-1)/2 pares de termos eqüidistantes e ainda teremos um termo isolado (de ordem (m+1)/2) que é eqüidistante dos extremos

Exemplo: Na PA de C={1,3,5,7,9} os números 1 e 9 são os extremos da PA e os números 3, 5 e 7 são os meios da PA. O par de termos eqüidistante dos extremos é formado por 3 e 7, e além disso o número 5 que ficou isolado também é eqüidistante dos extremos.

Exemplo: A PA definida por C={4,8,12,16,20}, possui um número ímpar de termos e os extremos são a 1 =4 e a 5 =20, logo a 2 + a 4 = 8 + 16 = 24 = a 1 + a 5 a 3 + a 3 = 12 + 12 = 24 = a 1 + a 5 a 4 + a 2 = 16 + 8 = 24 = a 1 + a 5

Interpolação aritmética Interpolar k meios aritméticos entre os números a e b, significa obter uma PA com k+2 termos cujos extremos são a e b, sendo que a é o primeiro termo e b é o (último) termo de ordem k+2. Para realizar a interpolação, basta determinar a razão da PA. Exemplo: Para interpolar 6 meios aritméticos entre a=-9 e b=19, é o mesmo que obter uma PA tal que a 1 =-9, a m =19 e m=8. Como r=(a m -a 1 )/(m-1), então r=(19-(-9))/7=4 e assim a PA ficará na forma do conjunto: C = { -9, -5, -1, 3, 7, 11, 15, 19 }

Soma dos n primeiros termos de uma PA (finita) a fórmula para o cálculo da soma dos n primeiros termos da PA. S n = (a 1 + a n )n/2

Seqüência geométricas e PG: Outra sequência muito importante é a sequência geométrica, que possui domínio infinito. Esta sequência é conhecida no âmbito do Ensino Médio, como uma Progressão Geométrica infinita, mas o objeto matemático denominado Progressão Geométrica finita não é uma sequência, uma vez que o domínio da função é um conjunto finito {1,2,3,...,m} que é um subconjunto próprio de N.

Progressão Geométrica finita: Uma Progressão Geométrica finita, é uma coleção finita de números reais que possui as mesmas características que uma seqüência geométrica, no entanto, possui um número finito de elementos. As Progressões Geométricas são denotadas por PG e são caracterizadas pelo fato que a divisão do termo seguinte pelo termo anterior é um quociente q fixado.

Média geométrica: Na Progressão Geométrica, cada termo é a média geométrica entre o antecedente e o conseqüente do termo tomado, daí a razão de tal denominação para este tipo de seqüência .

Fórmula do termo geral da PG. Observamos que: a 1 = a 1 = a 1 q 0 a 2 = a 1 q = a 1 q 1 a 3 = a 2 q = a 1 q 2 a 4 = a 3 q = a 1 q 3 ... ... ... a n = a n-1 q = a 1 q n-1 E temos a fórmula para o termo geral da PG, dada por: a n = a 1 q n-1

Exemplos com progressões geométricas finitas. Seja a PG finita, definida por G={2,4,8,16,32}. Obtemos a razão q=2 da PG com a divisão do conseqüente pelo antecedente, pois: 32÷16 = 16÷8 = 8÷4 = 4÷2 = 2

Interpolação Geométrica. Interpolar k meios geométricos entre dois números dados a e b, significa obter uma PG com k+2 termos, cujos extremos são a e b, sendo que a é o primeiro termo da PG e b é o último termo da PG, que possui ordem k+2. Para realizar a interpolação geométrica, basta determinar a razão da PG. Exemplo: Para interpolar três meios geométricos entre 3 e 48, basta tomar a 1 =3, a n =48, k=3 e n=5 para obter a razão da PG. Como a n =a 1 q n-1 , então 48=3q 4 e segue que q 4 =16, garantindo que a razão é q=2. Temos então a PG: R = { 3, 6, 12, 24, 48 }

Fórmula da soma dos termos de uma PG finita. S n = a 1 (1-q n )/(1-q)

Exercícios resolvidos. Seja a seqüência f com Im(f)={3,6,9,12,15,18,...}. Determinar os elementos indicados. a. f(1), b. f(3), c. f(4)-f(1), d. f(4)+f(2) Para a seqüência f:NR definida por f(n)=2n+1, determinar: Os 4 primeiros termos da seqüência. A imagem de f. O n-ésimo termo da seqüência.

PG. As Progressões Geométricas são formadas por uma seqüência numérica, onde estes números são definidos (exceto o primeiro) utilizando a constante q, chamada de razão. O próximo número da P.G. é o número atual multiplicado por q. Exemplo: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ...), onde a razão é 2

VEJA A razão pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações). Para descobrir qual a razão de uma PG, basta escolher qualquer número da seqüência, e dividir pelo número anterior. Fórmula do termo geral A seguinte fórmula pode ser utilizada para encontrar qualquer valor de uma seqüência em progressão geométrica: an = a1 . q(n - 1)

CALCULO onde a é um termo, então a1 refere-se ao primeiro termo. No lugar de n colocamos o número do termo que queremos encontrar. Exemplo: q = 2 a1 = 5 para descobrir, por exemplo, o termo a12, faremos: a12 = 5 . 2 (12 - 1) a12 = 5 . 211 a12 = 5 . 2048 = 10240

TIPOS DE PG. As PG's podem ser divididas em quatro tipos, de acordo com o valor da razão: Oscilante (q < 0) Neste tipo de PG, a razão é negativa, o que fará com que a seqüência numérica seja composta de números negativos e positivos, se intercalando. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...), onde a razão é -2 Crescente (q > 0) Na PG crescente, a razão é sempre positiva, e por isto a seqüência será formada por números crescentes, como: (1, 3, 9, 27, 81, ...), onde a razão é 3

CONSTANTE Nesta PG, a seqüência numérica tem sempre os mesmos números, podendo ter a exceção do primeiro. Para isso, a razão deve ser sempre 0 ou 1: (4, 0, 0,0,0,0,0,0,0, ...) onde a razão é 0 (4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...) onde a razão é 1 Decrescente As progressões geométricas decrescentes tem a razão sempre positiva e diferente de zero, e os números da seqüência são sempre menores do que o número anterior: (64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, ..) razão = 1/2 (-1, -3, -9, -27, -81, ...) onde a razão é 3 (observe que na PG crescente temos um exemplo com a mesma razão, porém o número inicial aqui é negativo, alterando toda a seqüência)

PA. Denomina-se progressão aritmética (PA) a seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da progressão aritmética. A seqüência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética finita de razão 5 pois: a1 = 2 a2 = 2+5 = 7 a3 = 7 +5 = 12 a4 = 12 + 5= 17 As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r. Se r > 0, então a PA é crescente. Se r = 0, então a PA é constante. Se r < 0, a PA é decrescente

PRATICANDO Seja (a1, a2, a3, ... , ak, ... , a50) uma progressão aritmética. Se a2 = 14, a5 – a3 = 18 e ak = 239, então k é igual a: Resolução: Retirando os dados do problema temos: a2 = 14 a5 – a3 = 18 ak = 239 k = ? Para o calculo de k deveremos utilizar a equação ak = a1 + (k – 1) . r , mas para darmos continuidade devemos achar o valor de a1 e de r, então observe os cálculos abaixo: Utilizando o termo geral da P.A, an = a1 + (n-1) . r podemos dizer que: a2 = a1 + r 14 = a1 + r

ESSE TRABALHO É DE: ANTONIO CARLOS CARNEIRO BARROSO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 01/03/2009

EXEMPLO Utilizando novamente o termo geral da P.A, podemos dizer que: a5 = a1+ 4r e a3 = a1 + 2r Substituindo no dado do problema a5 – a3 = 18, temos: a1 + 4r - a1 - 2r = 18 -> unindo os termos semelhantes. a1 - a1 + 4r - 2r = 18 -> operando os termos semelhantes. 2r = 18 r = 18 : 2 r = 9

CALCULANDO A1 Agora devemos descobrir o valor de a1, para isso substituiremos o valor de r = 9 na equação 14 = a1 + r: a1 + 9 = 14 a1 = 14 – 9 a1 = 5 Agora que sabemos que a1 = 5 e r = 9 podemos calcular qual é o termo de k: ak = a1 + (k – 1) .r -> Substituído os dados na equação. 239 = 5 + (k – 1) . 9 239 = 5 + 9k – 9 -> unindo os termos semelhantes. 239 -5 + 9 = 9k 243 = 9k k = 243 : 9

PG. Uma P.G de razão 3 foi formada introduzindo–se três termos entre o 2º termo e 486. Qual o 1º termo da P.G? Resolução: q = 3 Como foram introduzidos três termos entre o 2º termo e 486 podemos então concluir que 486 é o sexto termo da minha P.G. a1 , a2, a3, a4, a5, 486 a3 , a4 e a5 são os três termos introduzidos. Então podemos dizer que a6 = 486, utilizando o termo geral de uma P.G an = a1 . qn - 1, temos: a6 = a1 . qn – 1 -> Substituindo os dados. 486 = a1 . 36 – 1 486 = a1 . 35 486 = a1 . 243 a1 = 486 : 243 a1 = 2

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