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TURMA DO M˘RIO 
Álgebra 
Porcentagem 
Taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b ≠0 é a razão 
x 
tal que: x 
=a, e se indica: x = x% 
. 
100 
100 b 
100 
A palavra porcentagem deriva de por (dividido) e centagem (100). Quando se fala x % de 
um número, significa multiplicar este número por x 
100 
. 
Exemplo: 15 % de 200 = 15 . 200 30 
100 
= . 
Potenciação 
Definições 
0 
∀ ∈ ⇒ = 
∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ = 
Propriedades 
1. am. an = am+n 
2. 
a R a 1 
a R e n N a n a n1 
− . a 
m 
a a m n 
,a 
a 
n 
= − ≠0 
3. (am )n =am . n 
4. (a . b)n =an . b 
n 
5. (a : b)n = an : bn , b ≠0 
6. a – n = n 
1 , a ≠ 
0 
a 
Nota: Em geral ( ) am n ≠amn 
Em geral ( )a+b n ≠ an +bn 
Radiciação 
Propriedades 
1. n a . b = n a . n b 
2. n a : b = n a : n b , b ≠ 0 
3. ( n a )m = n a 
m 4. m n a = n . m a 
m 
5. 
n am = a n 
6. n . p am . p = n am 
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Produtos notáveis 
(a + b)  (a – b) = a2 - b2 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 
(a + b + c)2 = a2+ b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) 
Fatoração 
ab + ac = a  (b + c) 
ab +ac + db + dc = a (b + c) + d (b + c) = (b +c)  (a + d) 
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 
ax2 + bx + c = a.(x – 1)  (x – 2), onde 1 e 2 são as raízes de ax2 + bx + c = 0. 
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3 
a3 + b3 = (a + b)  (a2 – ab + b2) 
a3 – b3 = (a – b)  (a2 + ab + b2) 
a2 + b2 +c2 + 2 (ab +ac + bc) = (a + b + c)2 
Números naturais 
Números primos: Um número natural e maior que 1 é primo se ele tiver apenas dois 
divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo. 
Números primos entre si: Dois números naturais são primos entre si se o único divisor 
natural comum entre eles for 1. 
Quantidade de divisores naturais de um número natural 
Se n = ap.bq.cr.ds..., então n tem (p+1)  (q+1)  (r+1)... divisores positivos, sendo n um 
número natural e a, b, c, d, ... fatores primos do número n. 
Seqüências 
Definições 
Seqüência real é toda função f : I R, onde I = N* ou I = {1, 2, 3, ... ..., n} 
Se I = N*, a seqüência é chamada infinita. 
Se I = {1, 2, 3, ... ..., n} , a seqüência é chamada finita. 
2
Progressão Aritmética (PA) 
Definição 
Progressão aritmética (PA) é toda seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo 
encontramos os demais somando ao anterior um valor fixo r chamado de razão da PA. 
Conseqüência da definição: r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... ... = a n+1 – a n = r 
Classificação das PA´s 
Uma PA de números reais pode ser: 
I.crescente: (razão positiva): r 0 a n+1  a n 
II.decrescente (razão negativa): r  0 a n+1  a n 
III. constante (razão nula): r = 0 a n+1 = a n 
Fórmula do termo geral de uma PA 
an = a1 + (n – 1)  r, n N* 
Termos eqüidistantes em PA 
Na PA genérica: PA(a1, a2, a3,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), tem-se: 

 	 	 com p, k IN* 
 p k p k 
Soma dos n primeiros termos de uma PA 
Seja a PA(a1, a2, a3,... ..., an,......) , a soma de seus n primeiros termos é dada por: 
3 
Seja a PA(a1, a2, a3, ... ... an). Então: 
Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p 
(ap), poderemos utilizar a regra: 
an = ap + (n – p)  r, n,p N* 
a 
a a 
2 p 
S 
(a 	 a )  
n 
 1 n 
2 n
Progressão Geométrica (PG) 
Definição 
Progressão geométrica (PG) é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é 
igual ao produto do termo anterior por uma constante q, que é chamada razão da P.G. 
Conseqüência da definição: 
Se an  0, então q = 
a 
a 
n 1 
n 
	 ; ou seja, encontramos a razão da PG dividindo um termo 
qualquer pelo seu antecessor. 
Classificação das PG´s: 
Uma PG pode ser: 
I.Crescente: quando an+1an 
Exemplo: PG(1, 2, 4, 8, 16, ...), q = 2 
II.Decrescente: quando an+1an 
Exemplo: PG(81, 27, 9, 3, 1, ...), q = 1/3 
III. Constante: quando an+1=an 
Exemplo: PG(2, 2, 2, 2, 2, ...), q = 1 
IV.Alternante: quando a1  0 e q  0 
Exemplo: PG(2, – 4, 8, – 16, 32, ...), a1 = 2 e q = –2 
V. Não decrescente: quando a1  0 e q = 0 
Exemplo: PG(– 2, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = – 2 e q = 0 
VI.Não crescente: quando a1 0 e q = 0 
Exemplo: PG(5, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = 5 e q = 0 
Fórmula do termo geral da PG 
Termos eqüidistantes em PG 
Na PG genérica: PG(a1, a2, a3,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), então: 
Produto dos n primeiros termos de uma PG (Pn) 
4 
Seja a PG genérica: PG(a1, a2, a3, a4, ......). Assim: 
Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p 
(ap), poderemos utilizar a regra: 
an = a1  qn – 1, n N* 
an = ap  qn – p, n,p N* 
(ap)2 = (ap – k)  (ap + k), p,k N* 
Seja a PG(a1, a2, a3, ..., an, ..., .... ) indicaremos por Pn o produto de seus n primeiros 
termos. Assim: Pn = a1 
n q 
n( n 
 
1) 
2 
ou Pn = (a1  an) 
n 
2
Soma dos n primeiros termos de uma PG (Sn) 
Seja (a1, a2, a3, ..., an, ...) uma PG de razão q e indiquemos por Sn a soma de seus n 
primeiros termos. Assim: 
Se a PG não for constante, ou seja q  1 teremos: 
Sn = 
 n 
 

 
a (q 1) 
q 1 
1 
Sn= n a1 
Soma dos termos de uma PG infinita (S) 
Seja a P.G. = (a1, a2, a3, . . . , an, . . . ) de razão q e a soma de seus infinitos termos 
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . (série) 
Quando lim S =S 
n 
n 
 
existe e é finito, dizemos que a série converge para S. 
Quando esse limite não existe ou não é finito dizemos que a série diverge (não se pode 
determinar tal soma). Se – 1  q  1, pode-se demonstrar que: lim S =S 
n 
n 
 
= 
a 
1 
1 
 
q 
Função Exponencial 
f(x) = ax ; a  0 e a 1 Imf = IR* 
	 
Df = IR 
y y 
a  1 
função crescente 
Propriedades de potência 
1. am . an = am + n 
2. am : an = am – n , a  0 
3. (am)n = am .n 
4. n am = am n, n IN / n 1 
5. a– n = 
1 
an 
, a  0 
5 
0 
1 
x 
0  a  1 
função decrescente 
0 x 
Se a PG for constante, ou seja q = 1 teremos:
Equação exponencial 
af(x)= ag(x)
f(x) = g(x) 
Inequação exponencial 
af(x) ag(x)
f(x)  g(x), se a 1 
af(x) ag(x)
f(x)  g(x), se 0  a  1 
Logaritmo 
Definição 
logba = x
a = bx com a  0, 0  b  1 
Propriedade de logaritmo 
1. logc (a.b) = logca + logcb; a  0, b  0, 0  c  1 
2. logc 
a 
b 

 
  
 
  
= logca – logcb; a  0, b  0, 0  c  1 
3. logc am = m . logca; a  0, 0  c 1 e m IR 
4. log a cm = 
1 
m 
. logca; a  0, 0  c 1 e m IR* 
Função Logarítmica 
f 
f(x) m= logax , a0 e a1 I= IR 
* 
Df = IR	 
6 
0 1 x 0 1 x 
a  1 
função crescente 
0  a  1 
função decrescente 
y y
Geometria Plana 
Relações métricas no triângulo retângulo 
b c 
h 
m n 
a 
Relações métricas no círculo 
PA  PB = PC  PD PA  PB = PC  PD (PT)2 = PA  PB 
Lei dos 
Lei dos cossenos 
7 
A 
B 
C 
D 
P 
T 
B 
A 
P 
A 
B 
C 
P D 
h2=m n b c=a  h 
b2=a m a2=b2 + c2 (Pitágoras). 
c2=a  n 
a 
sen 
b 
sen 
c 
sen 
2R 
   
   
a2 = b2 + c2 – 2  b  c cos  
b2 = a2 + c2 – 2  a  c cos  
c2 = a2 + b2 – 2  a  b cos
Teorema de Tales 
a1 // a2 // a3 // ..... 
Teorema da bissetriz interna 
b c 
Teorema da bissetriz externa 
A 
b c 
C S 
Semelhança de triângulos 
H y 
a 
x 
    k Área ABC 
b 
y 
c 
z 
H 
h 
k2  
 
Área PQR 
 
8 
AB 
A'B' 
BC 
B'C' 
CD 
C'D' 
AC 
A' C' 
AD 
A'D' 
    
x y 
S 
A 
b 
x 
c 
y 
 
c 
y 
x 
B 
b 
x 
c 
y 
 
b 
c 
A 
B a C 
z 
P 
Q x R 
h
Arcos e ângulos 
 = a   a 
2 
  a+b 
2 
  a – b 
2 
  a 
2 
Razões trigonométricas 
Comprimento da circunferência 
Base média de triângulo 
9 
b 
sen 
b 
a 
  sen 
c 
a 
  
cos 
c 
a 
  cos 
b 
a 
  
tg 
b 
c 
  tg 
c 
b 
  
R 
C  2R 
 
MN 
 
// BC 
MN = 
BC 
2
Base média de trapézio 
Baricentro de triângulo 
Polígonos convexos 
Sendo n = número de lados; 
 
d = número de diagonais; 
Si= soma dos ângulos internos e 
Se= soma dos ângulos externos, 
temos: d= 
n(n – 3) 
2 
 
Si = (n – 2)  180ºe Se = 360º 
Áreas 
Retângulo Quadrado Paralelogramo 
Triângulo Trapézio 
10 
MN 
// AB 
MN = 
AB+CD 
2
Losango 1 Losango 2 
B A 
Fórmulas especiais para área do triângulo 
A 
3 
4 
  
2 
A 
b c 
2 
 
 
A  p(p – a) (p – b)(p – c) 
em que p 
a b c 
2 
 
	 	 
A 
1 
2 
 a bsen A = r p A 
a b c 
4R 
 
  
p 
a b c 
2 
 
	 	 
Círculo 
Setor circular 
A 
R2 
 
   
360º 
A 
R2 
 
  
2 
A 
R  
  
2 
 em radianos 
11 
C 
(AC) (BD) 
Los  
 
2 
R 
A   R2
Análise Combinatória / Probabilidades 
Número binomial: 
n 
p 
= 
n! 
p!(n – p)! 
=C = 
combinação de n objeto 
n, p 

 
  
 
  
s distintos 
agrupados de p em p 

 
  
 
  
Teorema binomial: (a + b)n= 
n 
0 

 
  
 
  
anb0 + 
n 
1 

 
  
 
  
an – 1b1+. . .+ 
n 
n 

 
  
 
  
a0bn = 
n 
i 
n 

 n–i i 
a b 
i o 
  
 
  
  
Arranjo: An, p = 
n! 
(n – p)! 
 n objetos distintos seqüenciados (enfileirados) de p em p 
Permutação de n objetos distintos: Pn = n! 
Probabilidade de ocorrer um evento = 
n.o de elementos do conjunto evento 
n.o de elementos do espaço amostral 
= 
n(A) 
n(E) 
=P(A) 
probabilidade de ocorrer 
o evento A 
e em se 

 
  
 
  
guida 
ocorrer o 
evento B 
= 

 
  
 
  
= 
probabilidade de 
ocorrer o evento A 
x 
prob 

 
  
 
  
abilidade de 
ocorrer o evento B 
sabendo que A ocorreu 

 
 
 
 
 
 
 Teorema da multiplicação 
Exemplo: 
Conjuntos, Funções e Inequações 
Relação 
Considerando dois conjuntos A e B, não-vazios, chamamos relação (binária) de A e B a 
qualquer subconjunto do produto cartesiano ( A x B = {(x; y) / x A  x B}). 
Definição 
Uma relação f de A em B é uma função de A em B, se, para todo x A, existe um único y 
 B tal que (x; y) f. (Indica-se: f : A B). 
12 
Permutação de elementos repetidos: Pn 
,,  = 
n! 
!!! 
,  objetos iguais entre si 
 objetos iguais entre si 
 objetos iguais entre si 
2 bolas azuis 
5 bolas verdes 
P 
tirar uma bola azul e em 
seguida uma bola azul 

 
  
 
  
= 
2 
7 
1 
6 
 
chance de retirar uma 
bola azul sabendo que 
já saiu uma azul
Exemplo Contra-exemplo 
A B A B 
Tipos de função 
Função crescente e decrescente 
 Uma função f é crescente em A  Df
(x1  x2 f(x1)  f(x2),  x1, x2 A). 
 Uma função f é decrescente em A  Df
(x1  x2 f(x1)  f(x2),  x1, x2 A). 
Função injetora, sobrejetora e bijetora 
 Uma f : A B é injetora se todos os elementos distintos em A têm imagens distintas em 
B ( x1, x2 A, x1  x2 f(x1)  f(x2)). 
 Uma f : A B é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens de elementos de A 
(Im(f) = CD(f) ou  y B,  x A / f(x) = y) 
 Uma função de f : A B é bijetora se é injetora e sobrejetora. 
Exemplos: 
A B 
A B 
Função par e ímpar 
A B 
 Uma função f : A B é par
x A, f(x) = f( – x). 
 Uma função f : A B é ímpar
xA, f(x) = – f( – x). 
Função periódica 
A B 
 Uma função f : A B é periódica de período p
x A, f(x + p) = f(x), p  0. 
Função composta 
 Dadas duas funções f e g, podemos obter uma outra função fog, tal que 
fog(x) = f(g(x)), chamada função composta de f com g. 
13 
1 
2 
3 
4 
5 
f 
f é sobrejetora 
e não é injetora 
3 
4 
6 
1 
2 
3 
f 
f é bijetora 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
f 
f não é injetora 
e nem sobrejetora 
1 
3 
5 
4 
3 
2 
1 
f 
f é injetora 
e não é sobrejetora 
1 
2 
5 
1 
2 
3 
3 
4 
6 
4 
5 
6 
f g 
f é função g não é função 
 Domínio de f = D(f) = A = {1, 2, 5} 
 Conjunto Imagem de f = Im(f) = {3, 4} 
 Contradomínio = CD(f) = B = {3, 4, 6} 
 4 é imagem de 5, isto é, 4 = f(5) 
 4 é imagem de 2, isto é, 4 = f(2)

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  • 1. TURMA DO M˘RIO Álgebra Porcentagem Taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b ≠0 é a razão x tal que: x =a, e se indica: x = x% . 100 100 b 100 A palavra porcentagem deriva de por (dividido) e centagem (100). Quando se fala x % de um número, significa multiplicar este número por x 100 . Exemplo: 15 % de 200 = 15 . 200 30 100 = . Potenciação Definições 0 ∀ ∈ ⇒ = ∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ = Propriedades 1. am. an = am+n 2. a R a 1 a R e n N a n a n1 − . a m a a m n ,a a n = − ≠0 3. (am )n =am . n 4. (a . b)n =an . b n 5. (a : b)n = an : bn , b ≠0 6. a – n = n 1 , a ≠ 0 a Nota: Em geral ( ) am n ≠amn Em geral ( )a+b n ≠ an +bn Radiciação Propriedades 1. n a . b = n a . n b 2. n a : b = n a : n b , b ≠ 0 3. ( n a )m = n a m 4. m n a = n . m a m 5. n am = a n 6. n . p am . p = n am www.turmadomario.com.br -1
  • 2. Produtos notáveis (a + b) (a – b) = a2 - b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (a + b + c)2 = a2+ b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) Fatoração ab + ac = a (b + c) ab +ac + db + dc = a (b + c) + d (b + c) = (b +c) (a + d) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 ax2 + bx + c = a.(x – 1) (x – 2), onde 1 e 2 são as raízes de ax2 + bx + c = 0. a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3 a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) a2 + b2 +c2 + 2 (ab +ac + bc) = (a + b + c)2 Números naturais Números primos: Um número natural e maior que 1 é primo se ele tiver apenas dois divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo. Números primos entre si: Dois números naturais são primos entre si se o único divisor natural comum entre eles for 1. Quantidade de divisores naturais de um número natural Se n = ap.bq.cr.ds..., então n tem (p+1) (q+1) (r+1)... divisores positivos, sendo n um número natural e a, b, c, d, ... fatores primos do número n. Seqüências Definições Seqüência real é toda função f : I R, onde I = N* ou I = {1, 2, 3, ... ..., n} Se I = N*, a seqüência é chamada infinita. Se I = {1, 2, 3, ... ..., n} , a seqüência é chamada finita. 2
  • 3. Progressão Aritmética (PA) Definição Progressão aritmética (PA) é toda seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo encontramos os demais somando ao anterior um valor fixo r chamado de razão da PA. Conseqüência da definição: r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... ... = a n+1 – a n = r Classificação das PA´s Uma PA de números reais pode ser: I.crescente: (razão positiva): r 0 a n+1 a n II.decrescente (razão negativa): r 0 a n+1 a n III. constante (razão nula): r = 0 a n+1 = a n Fórmula do termo geral de uma PA an = a1 + (n – 1) r, n N* Termos eqüidistantes em PA Na PA genérica: PA(a1, a2, a3,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), tem-se: com p, k IN* p k p k Soma dos n primeiros termos de uma PA Seja a PA(a1, a2, a3,... ..., an,......) , a soma de seus n primeiros termos é dada por: 3 Seja a PA(a1, a2, a3, ... ... an). Então: Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p (ap), poderemos utilizar a regra: an = ap + (n – p) r, n,p N* a a a 2 p S (a a ) n 1 n 2 n
  • 4. Progressão Geométrica (PG) Definição Progressão geométrica (PG) é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q, que é chamada razão da P.G. Conseqüência da definição: Se an 0, então q = a a n 1 n ; ou seja, encontramos a razão da PG dividindo um termo qualquer pelo seu antecessor. Classificação das PG´s: Uma PG pode ser: I.Crescente: quando an+1an Exemplo: PG(1, 2, 4, 8, 16, ...), q = 2 II.Decrescente: quando an+1an Exemplo: PG(81, 27, 9, 3, 1, ...), q = 1/3 III. Constante: quando an+1=an Exemplo: PG(2, 2, 2, 2, 2, ...), q = 1 IV.Alternante: quando a1 0 e q 0 Exemplo: PG(2, – 4, 8, – 16, 32, ...), a1 = 2 e q = –2 V. Não decrescente: quando a1 0 e q = 0 Exemplo: PG(– 2, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = – 2 e q = 0 VI.Não crescente: quando a1 0 e q = 0 Exemplo: PG(5, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = 5 e q = 0 Fórmula do termo geral da PG Termos eqüidistantes em PG Na PG genérica: PG(a1, a2, a3,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), então: Produto dos n primeiros termos de uma PG (Pn) 4 Seja a PG genérica: PG(a1, a2, a3, a4, ......). Assim: Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p (ap), poderemos utilizar a regra: an = a1 qn – 1, n N* an = ap qn – p, n,p N* (ap)2 = (ap – k) (ap + k), p,k N* Seja a PG(a1, a2, a3, ..., an, ..., .... ) indicaremos por Pn o produto de seus n primeiros termos. Assim: Pn = a1 n q n( n 1) 2 ou Pn = (a1 an) n 2
  • 5. Soma dos n primeiros termos de uma PG (Sn) Seja (a1, a2, a3, ..., an, ...) uma PG de razão q e indiquemos por Sn a soma de seus n primeiros termos. Assim: Se a PG não for constante, ou seja q 1 teremos: Sn = n a (q 1) q 1 1 Sn= n a1 Soma dos termos de uma PG infinita (S) Seja a P.G. = (a1, a2, a3, . . . , an, . . . ) de razão q e a soma de seus infinitos termos Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . (série) Quando lim S =S n n existe e é finito, dizemos que a série converge para S. Quando esse limite não existe ou não é finito dizemos que a série diverge (não se pode determinar tal soma). Se – 1 q 1, pode-se demonstrar que: lim S =S n n = a 1 1 q Função Exponencial f(x) = ax ; a 0 e a 1 Imf = IR* Df = IR y y a 1 função crescente Propriedades de potência 1. am . an = am + n 2. am : an = am – n , a 0 3. (am)n = am .n 4. n am = am n, n IN / n 1 5. a– n = 1 an , a 0 5 0 1 x 0 a 1 função decrescente 0 x Se a PG for constante, ou seja q = 1 teremos:
  • 7. f(x) = g(x) Inequação exponencial af(x) ag(x)
  • 8. f(x) g(x), se a 1 af(x) ag(x)
  • 9. f(x) g(x), se 0 a 1 Logaritmo Definição logba = x
  • 10. a = bx com a 0, 0 b 1 Propriedade de logaritmo 1. logc (a.b) = logca + logcb; a 0, b 0, 0 c 1 2. logc a b = logca – logcb; a 0, b 0, 0 c 1 3. logc am = m . logca; a 0, 0 c 1 e m IR 4. log a cm = 1 m . logca; a 0, 0 c 1 e m IR* Função Logarítmica f f(x) m= logax , a0 e a1 I= IR * Df = IR 6 0 1 x 0 1 x a 1 função crescente 0 a 1 função decrescente y y
  • 11. Geometria Plana Relações métricas no triângulo retângulo b c h m n a Relações métricas no círculo PA PB = PC PD PA PB = PC PD (PT)2 = PA PB Lei dos Lei dos cossenos 7 A B C D P T B A P A B C P D h2=m n b c=a h b2=a m a2=b2 + c2 (Pitágoras). c2=a n a sen b sen c sen 2R a2 = b2 + c2 – 2 b c cos b2 = a2 + c2 – 2 a c cos c2 = a2 + b2 – 2 a b cos
  • 12. Teorema de Tales a1 // a2 // a3 // ..... Teorema da bissetriz interna b c Teorema da bissetriz externa A b c C S Semelhança de triângulos H y a x k Área ABC b y c z H h k2 Área PQR 8 AB A'B' BC B'C' CD C'D' AC A' C' AD A'D' x y S A b x c y c y x B b x c y b c A B a C z P Q x R h
  • 13. Arcos e ângulos = a a 2 a+b 2 a – b 2 a 2 Razões trigonométricas Comprimento da circunferência Base média de triângulo 9 b sen b a sen c a cos c a cos b a tg b c tg c b R C 2R MN // BC MN = BC 2
  • 14. Base média de trapézio Baricentro de triângulo Polígonos convexos Sendo n = número de lados; d = número de diagonais; Si= soma dos ângulos internos e Se= soma dos ângulos externos, temos: d= n(n – 3) 2 Si = (n – 2) 180ºe Se = 360º Áreas Retângulo Quadrado Paralelogramo Triângulo Trapézio 10 MN // AB MN = AB+CD 2
  • 15. Losango 1 Losango 2 B A Fórmulas especiais para área do triângulo A 3 4 2 A b c 2 A p(p – a) (p – b)(p – c) em que p a b c 2 A 1 2 a bsen A = r p A a b c 4R p a b c 2 Círculo Setor circular A R2 360º A R2 2 A R 2 em radianos 11 C (AC) (BD) Los 2 R A R2
  • 16. Análise Combinatória / Probabilidades Número binomial: n p = n! p!(n – p)! =C = combinação de n objeto n, p s distintos agrupados de p em p Teorema binomial: (a + b)n= n 0 anb0 + n 1 an – 1b1+. . .+ n n a0bn = n i n n–i i a b i o Arranjo: An, p = n! (n – p)! n objetos distintos seqüenciados (enfileirados) de p em p Permutação de n objetos distintos: Pn = n! Probabilidade de ocorrer um evento = n.o de elementos do conjunto evento n.o de elementos do espaço amostral = n(A) n(E) =P(A) probabilidade de ocorrer o evento A e em se guida ocorrer o evento B = = probabilidade de ocorrer o evento A x prob abilidade de ocorrer o evento B sabendo que A ocorreu Teorema da multiplicação Exemplo: Conjuntos, Funções e Inequações Relação Considerando dois conjuntos A e B, não-vazios, chamamos relação (binária) de A e B a qualquer subconjunto do produto cartesiano ( A x B = {(x; y) / x A x B}). Definição Uma relação f de A em B é uma função de A em B, se, para todo x A, existe um único y B tal que (x; y) f. (Indica-se: f : A B). 12 Permutação de elementos repetidos: Pn ,, = n! !!! , objetos iguais entre si objetos iguais entre si objetos iguais entre si 2 bolas azuis 5 bolas verdes P tirar uma bola azul e em seguida uma bola azul = 2 7 1 6 chance de retirar uma bola azul sabendo que já saiu uma azul
  • 17. Exemplo Contra-exemplo A B A B Tipos de função Função crescente e decrescente Uma função f é crescente em A Df
  • 18. (x1 x2 f(x1) f(x2), x1, x2 A). Uma função f é decrescente em A Df
  • 19. (x1 x2 f(x1) f(x2), x1, x2 A). Função injetora, sobrejetora e bijetora Uma f : A B é injetora se todos os elementos distintos em A têm imagens distintas em B ( x1, x2 A, x1 x2 f(x1) f(x2)). Uma f : A B é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens de elementos de A (Im(f) = CD(f) ou y B, x A / f(x) = y) Uma função de f : A B é bijetora se é injetora e sobrejetora. Exemplos: A B A B Função par e ímpar A B Uma função f : A B é par
  • 20. x A, f(x) = f( – x). Uma função f : A B é ímpar
  • 21. xA, f(x) = – f( – x). Função periódica A B Uma função f : A B é periódica de período p
  • 22. x A, f(x + p) = f(x), p 0. Função composta Dadas duas funções f e g, podemos obter uma outra função fog, tal que fog(x) = f(g(x)), chamada função composta de f com g. 13 1 2 3 4 5 f f é sobrejetora e não é injetora 3 4 6 1 2 3 f f é bijetora 1 2 3 4 5 6 f f não é injetora e nem sobrejetora 1 3 5 4 3 2 1 f f é injetora e não é sobrejetora 1 2 5 1 2 3 3 4 6 4 5 6 f g f é função g não é função Domínio de f = D(f) = A = {1, 2, 5} Conjunto Imagem de f = Im(f) = {3, 4} Contradomínio = CD(f) = B = {3, 4, 6} 4 é imagem de 5, isto é, 4 = f(5) 4 é imagem de 2, isto é, 4 = f(2)
  • 23. Função inversa Denomina-se inversa da função bijetora y = f(x), f : A B a função f– 1: B A, tal que f–1 (y) = x. Observação: Para se obter a inversa de uma função f (bijetora) definida por uma sentença matemática y = f(x) a. troca-se x por y e y por x; b. coloca-se o novo y em função do novo x. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Propriedades dos determinantes a. det(At) = det(A). b. Se uma linha (ou coluna) é formada só de zeros, o determinante é igual a zero. c. Quando trocamos de lugar duas linhas (ou colunas) paralelas, o determinante fica multiplicado por –1. d. Se duas linhas (ou colunas) paralelas são iguais (ou proporcionais), o determinante é igual a zero. e. Se os elementos de uma linha (ou coluna) apresentam um fator comum k, este pode ser colocado em “evidência”. f. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então det(k.A) = kn.det(A) g. Teorema de Binet: det(A.B) = det(A).det(B) Atenção: em geral, det(A+B) det(A) + det(B) h. Teorema de Jacobi (importante para obtenção de zeros). O determinante de uma matriz não se altera quando somamos a uma linha (ou coluna) outra linha (ou coluna) paralela multiplicada por uma constante. i. Matriz Triangular: A 1 0 0 0 –3 4 0 0 2 3 –5 0 5 6 7 8 #### det(A) 1 4(–5) 8 ! Multiplicação de matrizes a b x y = c d z w ax+bz ay+bw cx+dz cy+dw a. Todo sistema de equações lineares apresenta apenas uma solução, ou seja, é um sistema possível e determinado (s. p. d.), quando D 0, onde D é o determinante da matriz dos coeficientes de tal sistema. b. Para os casos onde D = 0, para analisar o sistema, ou seja, dizer se o mesmo é impossível (s. i.) ou indeterminado (s. p. i.), deve-se escalonar tal sistema, eliminando ordenadamente as incógnitas das equações. A equação, na incógnita x, ax = b tem apenas uma solução para a 0; tem infinitas soluções para a = 0 e b = 0 e não temsolução para a = 0 e b 0. 14
  • 24. Trigonometria Relações Fundamentais Conseqüências x k 2 sen2x + cos2x = 1, x R cotgx 1 tgx tgx senx cosx x k 2 1 + tg2x = sec2x cotgx cosx senx (x k$ 1 + cotg2x = cossec2x secx 1 cosx x k 2 cos x 1 1+ tg x 2 2 cossecx 1 senx (x k) sen x tg x 1+ tg x 2 2 2 Fórmulas de adição cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b cos(a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a tg(a b) tg a tg b 1– tg a tg b tg(a b) tg a tg b 1+ tg a tg b – – Fórmulas de multiplicação 15 Arcos duplos sen 2a = 2 sen a cos a cos 2a= 2 2 cos a – sen a ou 2cos 2 a – 1 ou 1– 2sen2a % ''' ''' ( tg 2a= 2 tg a 1– tg2a Arcos Triplos sen 3a = 3 sen a – 4 sen3 a cos 3a = 4 cos3 a – 3 cos a tg 3a= 3 3 tga – tg a 1– 3tg 2 a
  • 25. Fórmulas de divisão sen x 2 = 1– cos x ) cos 2 x 2 = 1+cos x ) tg 2 x 2 = 1– cos x 1+cos x ) Fórmulas de transformação em produto cos p+cos q=2 cos p+q 2 cos p – q 2 cos p – cos q= –2 sen p+q 2 sen p – q 2 sen p+sen q=2 sen p+q 2 cos p – q 2 sen p – sen q= 2 sen p – q 2 cos p+q 2 tg p+tg q= sen(p+q) cos p cos q tg p – tg q= sen(p – q) cos pcos q Equações trigonométricas fundamentais sen = sen = + 2k ou = ( – ) + 2k cos = cos = )+ 2k tg = tg = + k Funções circulares inversas y = arc senx
  • 26. seny = x e – 2 * y * 2 y = arc cosx
  • 27. cosy = x e 0 * y * y = arc tgx
  • 28. tgy = x e – 2 y 2 16
  • 29. Geometria Espacial O volume de um prisma e o de umcilindro (retos ou oblíquos) é igual ao produto da área da base (B) pela altura (H). E o volume de uma pirâmide e o de umcone reto (ou oblíquo) é igual a 1/3 do produto da área da base pela altura. R Planificando a superfície lateral de um cilindro reto de raio R e altura H obtemos um retângulo de lados 2R e H. Então a área lateral (AL) do cilindro reto é: Planificando a superfície lateral de um cone reto de raio R e geratriz g obtemos um setor circular de raio g e arco 2R. Então a área lateral do cone reto é. O volume V e a área A de uma esfera de raio R são dados por: 17 B H H V = BH B H H g R V = 1 BH 3 — AL = Asetor AL = 2 2 R g AL =Rg Sendo a medida, em graus, do setor, temos: Asetor = 2 2 R g = 360º g2 R = 360º g R A = 4R2 e V= 4 3 R3
  • 30. Números Complexos Forma algébrica Nomenclatura z = a + bi (a, b IR) i = unidade imaginária a = Re (z) = parte real de z b= Im (z) = coeficiente da parte imaginária de z Exemplos de números complexos z = 3i = 0 + 3i = número imaginário puro. z = – 6 = – 6 + 0i = número real. z = a + bi (b 0) = número imaginário ou número complexo não real. Potências inteiras de i (ik, k ZZ ) i0= 1 e i4k = 1 i1= i e i4k+1 = i4k . i1 = i i2= – 1 e i4k+2 = i4k . i2 = – i i3= – i e i4k+3 = i4k . i3 = – i Conjugado de z = a + bi (a, b IR) z = a – bi Propriedades 1. z + w = z + w 2. z . w = z . w 3. z w = z w 4. zn =( z )n (n ZZ) 5. ( z )=z Produtos e divisões notáveis 1. (1 + i)2 = 2i 2. (1 – i)2 = – 2i 3. (1+ i)(1 – i) = 2 4. 1+i 1– i = i 5. 1– i 1+i = – i 18
  • 31. Igualdade na forma algébrica Representação no plano de Argand-Gauss Propriedades 1. | z |2 = z . z 2. |z . w | = | z | . | w | 3. z w = z w (w 0) 4. | z n| = | z | n, n ZZ 5. | z + w | * | z | + | w | 6. | z | = | z | Forma trigonométrica de z C* z = a + bi = | z | (cos + isen +) | z | = a2 b2 e cos = a z sen = b z + + % '' '' ( Igualdade na forma trigonométrica |z|( cos +i sen + +$ z = |w|( cos +i sen $ w 19 a + bi = c + di
  • 32. a = c e b = d (a, b, c, d IR) z = a + bi = (a, b) = P (a, b IR) P = afixo de z dop = |z| = a2 +b2 = módulo de z + + k . 2 = arg(z) = argumento de z (0 * + 2) + = argumento principal de z 0 z = w
  • 33. |z| = |w| e + = + k . 2 k ZZ
  • 34. Operações na forma trigonométrica Sejam z = |z| (cos + isen +) z1= |z1| (cos +1 isen +1) z2= |z2| (cos +2 isen +2 ) Multiplicação z1 . z2= |z1 | . |z2| . [cos (+1 ++2) + isen (+1 ++2)] Divisão z z 1 2 = |z |z | | 1 2 [cos (+1 – +2) + isen (+1 – +2)] Potenciação zn = |z|n . [cos (n +) + isen (n+)] Radiciação z =w = z cos n +k n +i sen n +k n n C + + k n 2 2 ! # , (k = 0, 1, 2, . . . , n – 1) Propriedades 1. w0 + w1 + w2 + . . . + wn – 1 = 0 2. A raiz enésima de z divide a circunferência em n partes iguais. 3. O raio dessa circunferência é n | z |. 4. O “ponto de partida” (wo) é o arco + n e o “pulo’ de uma raiz para outra é de 2 n . Equação binômia em C axn + b = 0 (a 0) axn = – b xn = –b a x = –b a n C = wk , (k = 0, 1, 2, . . . , n – 1) Geometria Analítica Distâncias De dois pontos A e B dAB (xB – x A ) (y – y ) 2 2 B A Do ponto P à reta (r) ax + by + c = 0 |ax P +by d P +c| 2 2 a +b 20
  • 35. Pontos especiais a. M divide AB na razão AM MB = r r = x –x x x = y –y y y M A B M M A – B – M Se M é ponto médio de AB, M = x A +xB yA +yB , 2 2 b. Ponto do eixo x: A = (a, 0) Ponto do eixo y: B = (0, b) Ponto da bissetriz dos quadrantes pares: C = (k, k) Ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares: D = (k, – k) x A x Baricentro do ABC: G = B x C A B C 3 y y y 3 , Área do ABC S = |D| 2 onde D = x y 1 x y 1 x y 1 A A B B C C Observação: Se A, B e C são colineares, D = 0. Equação de circunferência (x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 Centro C e raio r, equação reduzida. Equação de reta Geral: ax + by + c = 0 (r) Conhecendo 2 pontos A e B de r: x y 1 x y 1 x y 1 A A B B = 0 Reduzida: y = mx + k 21 m... coeficiente angular de r k.... coeficiente linear de r m =tg (não existe, se m é vertical) Conhecendo 2 pontos A e B da reta,m y – y x – x B A B A
  • 37. mr=ms Exemplos: Paralela a y = 2x – 3 é y = 2x + k Paralela a 2x + 5y – 3 é 2x + 5y + k = 0 r , s
  • 38. mr. ms = – 1 Exemplos: Perpendicular a y = 2 3 x – 3 é y = – 3 2 x + k Perpendicular a 2x + 5y – 6 = 0 é 5x – 2y + k = 0 Observação: Se P pertence a ax + by + c = 0, então axP + byP + c = 0. 22