SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 22
Baixar para ler offline
TURMA DO M˘RIO 
Álgebra 
Porcentagem 
Taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b ≠0 é a razão 
x 
tal que: x 
=a, e se indica: x = x% 
. 
100 
100 b 
100 
A palavra porcentagem deriva de por (dividido) e centagem (100). Quando se fala x % de 
um número, significa multiplicar este número por x 
100 
. 
Exemplo: 15 % de 200 = 15 . 200 30 
100 
= . 
Potenciação 
Definições 
0 
∀ ∈ ⇒ = 
∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ = 
Propriedades 
1. am. an = am+n 
2. 
a R a 1 
a R e n N a n a n1 
− . a 
m 
a a m n 
,a 
a 
n 
= − ≠0 
3. (am )n =am . n 
4. (a . b)n =an . b 
n 
5. (a : b)n = an : bn , b ≠0 
6. a – n = n 
1 , a ≠ 
0 
a 
Nota: Em geral ( ) am n ≠amn 
Em geral ( )a+b n ≠ an +bn 
Radiciação 
Propriedades 
1. n a . b = n a . n b 
2. n a : b = n a : n b , b ≠ 0 
3. ( n a )m = n a 
m 4. m n a = n . m a 
m 
5. 
n am = a n 
6. n . p am . p = n am 
www.turmadomario.com.br -1
Produtos notáveis 
(a + b)  (a – b) = a2 - b2 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 
(a + b + c)2 = a2+ b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) 
Fatoração 
ab + ac = a  (b + c) 
ab +ac + db + dc = a (b + c) + d (b + c) = (b +c)  (a + d) 
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 
ax2 + bx + c = a.(x – 1)  (x – 2), onde 1 e 2 são as raízes de ax2 + bx + c = 0. 
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3 
a3 + b3 = (a + b)  (a2 – ab + b2) 
a3 – b3 = (a – b)  (a2 + ab + b2) 
a2 + b2 +c2 + 2 (ab +ac + bc) = (a + b + c)2 
Números naturais 
Números primos: Um número natural e maior que 1 é primo se ele tiver apenas dois 
divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo. 
Números primos entre si: Dois números naturais são primos entre si se o único divisor 
natural comum entre eles for 1. 
Quantidade de divisores naturais de um número natural 
Se n = ap.bq.cr.ds..., então n tem (p+1)  (q+1)  (r+1)... divisores positivos, sendo n um 
número natural e a, b, c, d, ... fatores primos do número n. 
Seqüências 
Definições 
Seqüência real é toda função f : I R, onde I = N* ou I = {1, 2, 3, ... ..., n} 
Se I = N*, a seqüência é chamada infinita. 
Se I = {1, 2, 3, ... ..., n} , a seqüência é chamada finita. 
2
Progressão Aritmética (PA) 
Definição 
Progressão aritmética (PA) é toda seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo 
encontramos os demais somando ao anterior um valor fixo r chamado de razão da PA. 
Conseqüência da definição: r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... ... = a n+1 – a n = r 
Classificação das PA´s 
Uma PA de números reais pode ser: 
I.crescente: (razão positiva): r 0 a n+1  a n 
II.decrescente (razão negativa): r  0 a n+1  a n 
III. constante (razão nula): r = 0 a n+1 = a n 
Fórmula do termo geral de uma PA 
an = a1 + (n – 1)  r, n N* 
Termos eqüidistantes em PA 
Na PA genérica: PA(a1, a2, a3,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), tem-se: 

 	 	 com p, k IN* 
 p k p k 
Soma dos n primeiros termos de uma PA 
Seja a PA(a1, a2, a3,... ..., an,......) , a soma de seus n primeiros termos é dada por: 
3 
Seja a PA(a1, a2, a3, ... ... an). Então: 
Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p 
(ap), poderemos utilizar a regra: 
an = ap + (n – p)  r, n,p N* 
a 
a a 
2 p 
S 
(a 	 a )  
n 
 1 n 
2 n
Progressão Geométrica (PG) 
Definição 
Progressão geométrica (PG) é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é 
igual ao produto do termo anterior por uma constante q, que é chamada razão da P.G. 
Conseqüência da definição: 
Se an  0, então q = 
a 
a 
n 1 
n 
	 ; ou seja, encontramos a razão da PG dividindo um termo 
qualquer pelo seu antecessor. 
Classificação das PG´s: 
Uma PG pode ser: 
I.Crescente: quando an+1an 
Exemplo: PG(1, 2, 4, 8, 16, ...), q = 2 
II.Decrescente: quando an+1an 
Exemplo: PG(81, 27, 9, 3, 1, ...), q = 1/3 
III. Constante: quando an+1=an 
Exemplo: PG(2, 2, 2, 2, 2, ...), q = 1 
IV.Alternante: quando a1  0 e q  0 
Exemplo: PG(2, – 4, 8, – 16, 32, ...), a1 = 2 e q = –2 
V. Não decrescente: quando a1  0 e q = 0 
Exemplo: PG(– 2, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = – 2 e q = 0 
VI.Não crescente: quando a1 0 e q = 0 
Exemplo: PG(5, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = 5 e q = 0 
Fórmula do termo geral da PG 
Termos eqüidistantes em PG 
Na PG genérica: PG(a1, a2, a3,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), então: 
Produto dos n primeiros termos de uma PG (Pn) 
4 
Seja a PG genérica: PG(a1, a2, a3, a4, ......). Assim: 
Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p 
(ap), poderemos utilizar a regra: 
an = a1  qn – 1, n N* 
an = ap  qn – p, n,p N* 
(ap)2 = (ap – k)  (ap + k), p,k N* 
Seja a PG(a1, a2, a3, ..., an, ..., .... ) indicaremos por Pn o produto de seus n primeiros 
termos. Assim: Pn = a1 
n q 
n( n 
 
1) 
2 
ou Pn = (a1  an) 
n 
2
Soma dos n primeiros termos de uma PG (Sn) 
Seja (a1, a2, a3, ..., an, ...) uma PG de razão q e indiquemos por Sn a soma de seus n 
primeiros termos. Assim: 
Se a PG não for constante, ou seja q  1 teremos: 
Sn = 
 n 
 

 
a (q 1) 
q 1 
1 
Sn= n a1 
Soma dos termos de uma PG infinita (S) 
Seja a P.G. = (a1, a2, a3, . . . , an, . . . ) de razão q e a soma de seus infinitos termos 
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . (série) 
Quando lim S =S 
n 
n 
 
existe e é finito, dizemos que a série converge para S. 
Quando esse limite não existe ou não é finito dizemos que a série diverge (não se pode 
determinar tal soma). Se – 1  q  1, pode-se demonstrar que: lim S =S 
n 
n 
 
= 
a 
1 
1 
 
q 
Função Exponencial 
f(x) = ax ; a  0 e a 1 Imf = IR* 
	 
Df = IR 
y y 
a  1 
função crescente 
Propriedades de potência 
1. am . an = am + n 
2. am : an = am – n , a  0 
3. (am)n = am .n 
4. n am = am n, n IN / n 1 
5. a– n = 
1 
an 
, a  0 
5 
0 
1 
x 
0  a  1 
função decrescente 
0 x 
Se a PG for constante, ou seja q = 1 teremos:
Equação exponencial 
af(x)= ag(x)
f(x) = g(x) 
Inequação exponencial 
af(x) ag(x)
f(x)  g(x), se a 1 
af(x) ag(x)
f(x)  g(x), se 0  a  1 
Logaritmo 
Definição 
logba = x
a = bx com a  0, 0  b  1 
Propriedade de logaritmo 
1. logc (a.b) = logca + logcb; a  0, b  0, 0  c  1 
2. logc 
a 
b 

 
  
 
  
= logca – logcb; a  0, b  0, 0  c  1 
3. logc am = m . logca; a  0, 0  c 1 e m IR 
4. log a cm = 
1 
m 
. logca; a  0, 0  c 1 e m IR* 
Função Logarítmica 
f 
f(x) m= logax , a0 e a1 I= IR 
* 
Df = IR	 
6 
0 1 x 0 1 x 
a  1 
função crescente 
0  a  1 
função decrescente 
y y
Geometria Plana 
Relações métricas no triângulo retângulo 
b c 
h 
m n 
a 
Relações métricas no círculo 
PA  PB = PC  PD PA  PB = PC  PD (PT)2 = PA  PB 
Lei dos 
Lei dos cossenos 
7 
A 
B 
C 
D 
P 
T 
B 
A 
P 
A 
B 
C 
P D 
h2=m n b c=a  h 
b2=a m a2=b2 + c2 (Pitágoras). 
c2=a  n 
a 
sen 
b 
sen 
c 
sen 
2R 
   
   
a2 = b2 + c2 – 2  b  c cos  
b2 = a2 + c2 – 2  a  c cos  
c2 = a2 + b2 – 2  a  b cos
Teorema de Tales 
a1 // a2 // a3 // ..... 
Teorema da bissetriz interna 
b c 
Teorema da bissetriz externa 
A 
b c 
C S 
Semelhança de triângulos 
H y 
a 
x 
    k Área ABC 
b 
y 
c 
z 
H 
h 
k2  
 
Área PQR 
 
8 
AB 
A'B' 
BC 
B'C' 
CD 
C'D' 
AC 
A' C' 
AD 
A'D' 
    
x y 
S 
A 
b 
x 
c 
y 
 
c 
y 
x 
B 
b 
x 
c 
y 
 
b 
c 
A 
B a C 
z 
P 
Q x R 
h
Arcos e ângulos 
 = a   a 
2 
  a+b 
2 
  a – b 
2 
  a 
2 
Razões trigonométricas 
Comprimento da circunferência 
Base média de triângulo 
9 
b 
sen 
b 
a 
  sen 
c 
a 
  
cos 
c 
a 
  cos 
b 
a 
  
tg 
b 
c 
  tg 
c 
b 
  
R 
C  2R 
 
MN 
 
// BC 
MN = 
BC 
2
Base média de trapézio 
Baricentro de triângulo 
Polígonos convexos 
Sendo n = número de lados; 
 
d = número de diagonais; 
Si= soma dos ângulos internos e 
Se= soma dos ângulos externos, 
temos: d= 
n(n – 3) 
2 
 
Si = (n – 2)  180ºe Se = 360º 
Áreas 
Retângulo Quadrado Paralelogramo 
Triângulo Trapézio 
10 
MN 
// AB 
MN = 
AB+CD 
2
Losango 1 Losango 2 
B A 
Fórmulas especiais para área do triângulo 
A 
3 
4 
  
2 
A 
b c 
2 
 
 
A  p(p – a) (p – b)(p – c) 
em que p 
a b c 
2 
 
	 	 
A 
1 
2 
 a bsen A = r p A 
a b c 
4R 
 
  
p 
a b c 
2 
 
	 	 
Círculo 
Setor circular 
A 
R2 
 
   
360º 
A 
R2 
 
  
2 
A 
R  
  
2 
 em radianos 
11 
C 
(AC) (BD) 
Los  
 
2 
R 
A   R2
Análise Combinatória / Probabilidades 
Número binomial: 
n 
p 
= 
n! 
p!(n – p)! 
=C = 
combinação de n objeto 
n, p 

 
  
 
  
s distintos 
agrupados de p em p 

 
  
 
  
Teorema binomial: (a + b)n= 
n 
0 

 
  
 
  
anb0 + 
n 
1 

 
  
 
  
an – 1b1+. . .+ 
n 
n 

 
  
 
  
a0bn = 
n 
i 
n 

 n–i i 
a b 
i o 
  
 
  
  
Arranjo: An, p = 
n! 
(n – p)! 
 n objetos distintos seqüenciados (enfileirados) de p em p 
Permutação de n objetos distintos: Pn = n! 
Probabilidade de ocorrer um evento = 
n.o de elementos do conjunto evento 
n.o de elementos do espaço amostral 
= 
n(A) 
n(E) 
=P(A) 
probabilidade de ocorrer 
o evento A 
e em se 

 
  
 
  
guida 
ocorrer o 
evento B 
= 

 
  
 
  
= 
probabilidade de 
ocorrer o evento A 
x 
prob 

 
  
 
  
abilidade de 
ocorrer o evento B 
sabendo que A ocorreu 

 
 
 
 
 
 
 Teorema da multiplicação 
Exemplo: 
Conjuntos, Funções e Inequações 
Relação 
Considerando dois conjuntos A e B, não-vazios, chamamos relação (binária) de A e B a 
qualquer subconjunto do produto cartesiano ( A x B = {(x; y) / x A  x B}). 
Definição 
Uma relação f de A em B é uma função de A em B, se, para todo x A, existe um único y 
 B tal que (x; y) f. (Indica-se: f : A B). 
12 
Permutação de elementos repetidos: Pn 
,,  = 
n! 
!!! 
,  objetos iguais entre si 
 objetos iguais entre si 
 objetos iguais entre si 
2 bolas azuis 
5 bolas verdes 
P 
tirar uma bola azul e em 
seguida uma bola azul 

 
  
 
  
= 
2 
7 
1 
6 
 
chance de retirar uma 
bola azul sabendo que 
já saiu uma azul
Exemplo Contra-exemplo 
A B A B 
Tipos de função 
Função crescente e decrescente 
 Uma função f é crescente em A  Df
(x1  x2 f(x1)  f(x2),  x1, x2 A). 
 Uma função f é decrescente em A  Df
(x1  x2 f(x1)  f(x2),  x1, x2 A). 
Função injetora, sobrejetora e bijetora 
 Uma f : A B é injetora se todos os elementos distintos em A têm imagens distintas em 
B ( x1, x2 A, x1  x2 f(x1)  f(x2)). 
 Uma f : A B é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens de elementos de A 
(Im(f) = CD(f) ou  y B,  x A / f(x) = y) 
 Uma função de f : A B é bijetora se é injetora e sobrejetora. 
Exemplos: 
A B 
A B 
Função par e ímpar 
A B 
 Uma função f : A B é par
x A, f(x) = f( – x). 
 Uma função f : A B é ímpar
xA, f(x) = – f( – x). 
Função periódica 
A B 
 Uma função f : A B é periódica de período p
x A, f(x + p) = f(x), p  0. 
Função composta 
 Dadas duas funções f e g, podemos obter uma outra função fog, tal que 
fog(x) = f(g(x)), chamada função composta de f com g. 
13 
1 
2 
3 
4 
5 
f 
f é sobrejetora 
e não é injetora 
3 
4 
6 
1 
2 
3 
f 
f é bijetora 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
f 
f não é injetora 
e nem sobrejetora 
1 
3 
5 
4 
3 
2 
1 
f 
f é injetora 
e não é sobrejetora 
1 
2 
5 
1 
2 
3 
3 
4 
6 
4 
5 
6 
f g 
f é função g não é função 
 Domínio de f = D(f) = A = {1, 2, 5} 
 Conjunto Imagem de f = Im(f) = {3, 4} 
 Contradomínio = CD(f) = B = {3, 4, 6} 
 4 é imagem de 5, isto é, 4 = f(5) 
 4 é imagem de 2, isto é, 4 = f(2)

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Resolver problemas concretas da vida real, aplicando propriedades das operaçõ...
Resolver problemas concretas da vida real, aplicando propriedades das operaçõ...Resolver problemas concretas da vida real, aplicando propriedades das operaçõ...
Resolver problemas concretas da vida real, aplicando propriedades das operaçõ...Paulo Mutolo
 
TODAS AS FORMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMATICA
TODAS AS FORMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMATICATODAS AS FORMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMATICA
TODAS AS FORMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMATICARobson S
 
Introdução ao Matlab
Introdução ao MatlabIntrodução ao Matlab
Introdução ao Matlabedusfernandes
 
Livro Análise Combinatoria e Probabilidade .pdf
Livro Análise Combinatoria e Probabilidade .pdfLivro Análise Combinatoria e Probabilidade .pdf
Livro Análise Combinatoria e Probabilidade .pdfElisângela Rodrigues
 
Areas volumes
Areas volumesAreas volumes
Areas volumesProfessor
 
Soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono
Soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígonoSoma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono
Soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígonoaldaalves
 
290711169 livro-de-matematica-alvaro-andrini-6-ano-pdf
290711169 livro-de-matematica-alvaro-andrini-6-ano-pdf290711169 livro-de-matematica-alvaro-andrini-6-ano-pdf
290711169 livro-de-matematica-alvaro-andrini-6-ano-pdfDaniel De Oliveira Silva
 
Edo
EdoEdo
Edowvnf
 
Mecânica vetorial para engenheiros (estática) 7ª edição beer
Mecânica vetorial para engenheiros (estática) 7ª edição beerMecânica vetorial para engenheiros (estática) 7ª edição beer
Mecânica vetorial para engenheiros (estática) 7ª edição beerAnderson Carvalho
 
Apresentação de equação de 2º grau
Apresentação de equação de 2º  grauApresentação de equação de 2º  grau
Apresentação de equação de 2º grauantonio carlos doimo
 
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterleRespostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterlesamuelsaocristovao
 
Resumo EquaçõEs 8º Ano
Resumo EquaçõEs 8º AnoResumo EquaçõEs 8º Ano
Resumo EquaçõEs 8º Anonescalda
 
Integral Indefinida E Definida
Integral Indefinida E DefinidaIntegral Indefinida E Definida
Integral Indefinida E Definidaeducacao f
 
Polinómios e monómios
Polinómios e monómiosPolinómios e monómios
Polinómios e monómiosaldaalves
 
Princípios de Comunicação - UFPI
Princípios de Comunicação - UFPI Princípios de Comunicação - UFPI
Princípios de Comunicação - UFPI Bruno Mesquita
 

Mais procurados (20)

Resolver problemas concretas da vida real, aplicando propriedades das operaçõ...
Resolver problemas concretas da vida real, aplicando propriedades das operaçõ...Resolver problemas concretas da vida real, aplicando propriedades das operaçõ...
Resolver problemas concretas da vida real, aplicando propriedades das operaçõ...
 
Logaritmos
LogaritmosLogaritmos
Logaritmos
 
TODAS AS FORMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMATICA
TODAS AS FORMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMATICATODAS AS FORMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMATICA
TODAS AS FORMULAS E RESUMO COMPLETO DE MATEMATICA
 
Introdução ao Matlab
Introdução ao MatlabIntrodução ao Matlab
Introdução ao Matlab
 
Livro Análise Combinatoria e Probabilidade .pdf
Livro Análise Combinatoria e Probabilidade .pdfLivro Análise Combinatoria e Probabilidade .pdf
Livro Análise Combinatoria e Probabilidade .pdf
 
Areas volumes
Areas volumesAreas volumes
Areas volumes
 
Soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono
Soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígonoSoma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono
Soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono
 
290711169 livro-de-matematica-alvaro-andrini-6-ano-pdf
290711169 livro-de-matematica-alvaro-andrini-6-ano-pdf290711169 livro-de-matematica-alvaro-andrini-6-ano-pdf
290711169 livro-de-matematica-alvaro-andrini-6-ano-pdf
 
Edo
EdoEdo
Edo
 
Mecânica vetorial para engenheiros (estática) 7ª edição beer
Mecânica vetorial para engenheiros (estática) 7ª edição beerMecânica vetorial para engenheiros (estática) 7ª edição beer
Mecânica vetorial para engenheiros (estática) 7ª edição beer
 
Prismas
PrismasPrismas
Prismas
 
Apresentação de equação de 2º grau
Apresentação de equação de 2º  grauApresentação de equação de 2º  grau
Apresentação de equação de 2º grau
 
Probabilidade
ProbabilidadeProbabilidade
Probabilidade
 
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterleRespostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle
Respostas do-livro-geometria-analitica-alfredo-steinbruch-e-paulo-winterle
 
Resumo EquaçõEs 8º Ano
Resumo EquaçõEs 8º AnoResumo EquaçõEs 8º Ano
Resumo EquaçõEs 8º Ano
 
Fórmulas de Hidrostática
Fórmulas de HidrostáticaFórmulas de Hidrostática
Fórmulas de Hidrostática
 
Integral Indefinida E Definida
Integral Indefinida E DefinidaIntegral Indefinida E Definida
Integral Indefinida E Definida
 
O adjetivo
O adjetivoO adjetivo
O adjetivo
 
Polinómios e monómios
Polinómios e monómiosPolinómios e monómios
Polinómios e monómios
 
Princípios de Comunicação - UFPI
Princípios de Comunicação - UFPI Princípios de Comunicação - UFPI
Princípios de Comunicação - UFPI
 

Destaque

Fórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticasFórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticasFernando Viana
 
Resumo teorico matematica afa
Resumo teorico matematica afaResumo teorico matematica afa
Resumo teorico matematica afaAcir Robson
 
132 formulas de fisica rc
132 formulas de fisica rc132 formulas de fisica rc
132 formulas de fisica rcRobson7575
 
Todas as fórmulas e resumo completo de matemática
Todas as fórmulas e resumo completo de matemáticaTodas as fórmulas e resumo completo de matemática
Todas as fórmulas e resumo completo de matemáticaRobson S
 
Formulas matematicas prandiano 001
Formulas matematicas prandiano  001Formulas matematicas prandiano  001
Formulas matematicas prandiano 001con_seguir
 
11º Ano Fórmulas Matemáticas
11º Ano Fórmulas Matemáticas11º Ano Fórmulas Matemáticas
11º Ano Fórmulas MatemáticasAna Teresa
 
Distância entre dois pontos
Distância entre dois pontosDistância entre dois pontos
Distância entre dois pontosSilvestre Torre
 
10º Ano Fórmulas Matemáticas
10º Ano Fórmulas Matemáticas10º Ano Fórmulas Matemáticas
10º Ano Fórmulas MatemáticasAna Teresa
 
Fórmulas y tablas de matemáticas
Fórmulas y tablas de matemáticasFórmulas y tablas de matemáticas
Fórmulas y tablas de matemáticasavimael10
 
Curso de Inglês p/ Concurso INMETRO
Curso de Inglês p/ Concurso INMETROCurso de Inglês p/ Concurso INMETRO
Curso de Inglês p/ Concurso INMETROEstratégia Concursos
 
Português 2008
Português   2008Português   2008
Português 2008J M
 
Desvendando vunesp
Desvendando vunespDesvendando vunesp
Desvendando vunespandre_mm
 

Destaque (20)

Fórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticasFórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticas
 
Formulas2
Formulas2Formulas2
Formulas2
 
Resumo teorico matematica afa
Resumo teorico matematica afaResumo teorico matematica afa
Resumo teorico matematica afa
 
132 formulas de fisica rc
132 formulas de fisica rc132 formulas de fisica rc
132 formulas de fisica rc
 
Todas as fórmulas e resumo completo de matemática
Todas as fórmulas e resumo completo de matemáticaTodas as fórmulas e resumo completo de matemática
Todas as fórmulas e resumo completo de matemática
 
Formulas matematicas prandiano 001
Formulas matematicas prandiano  001Formulas matematicas prandiano  001
Formulas matematicas prandiano 001
 
Fi1
Fi1Fi1
Fi1
 
Matemática - logaritmos
Matemática - logaritmosMatemática - logaritmos
Matemática - logaritmos
 
A1 me
A1 meA1 me
A1 me
 
11º Ano Fórmulas Matemáticas
11º Ano Fórmulas Matemáticas11º Ano Fórmulas Matemáticas
11º Ano Fórmulas Matemáticas
 
Distância entre dois pontos
Distância entre dois pontosDistância entre dois pontos
Distância entre dois pontos
 
10º Ano Fórmulas Matemáticas
10º Ano Fórmulas Matemáticas10º Ano Fórmulas Matemáticas
10º Ano Fórmulas Matemáticas
 
Dica vunesp 2014
Dica vunesp 2014Dica vunesp 2014
Dica vunesp 2014
 
Fórmulas y tablas de matemáticas
Fórmulas y tablas de matemáticasFórmulas y tablas de matemáticas
Fórmulas y tablas de matemáticas
 
Conjuntos
Conjuntos Conjuntos
Conjuntos
 
01 - Conjuntos
01 - Conjuntos01 - Conjuntos
01 - Conjuntos
 
Projeto D..[3]
Projeto D..[3]Projeto D..[3]
Projeto D..[3]
 
Curso de Inglês p/ Concurso INMETRO
Curso de Inglês p/ Concurso INMETROCurso de Inglês p/ Concurso INMETRO
Curso de Inglês p/ Concurso INMETRO
 
Português 2008
Português   2008Português   2008
Português 2008
 
Desvendando vunesp
Desvendando vunespDesvendando vunesp
Desvendando vunesp
 

Semelhante a todas-as-formulas-de-matematica

Semelhante a todas-as-formulas-de-matematica (20)

Polinomios
PolinomiosPolinomios
Polinomios
 
Polinomios
PolinomiosPolinomios
Polinomios
 
Ita2008 3dia
Ita2008 3diaIta2008 3dia
Ita2008 3dia
 
Conjuntos numericos
Conjuntos numericosConjuntos numericos
Conjuntos numericos
 
Conjuntosnumericos
Conjuntosnumericos Conjuntosnumericos
Conjuntosnumericos
 
Ita02m
Ita02mIta02m
Ita02m
 
Bloco 04 - Sequência ou Sucessão de .pdf
Bloco 04 - Sequência ou Sucessão de .pdfBloco 04 - Sequência ou Sucessão de .pdf
Bloco 04 - Sequência ou Sucessão de .pdf
 
Mat exercicios resolvidos 007
Mat exercicios resolvidos  007Mat exercicios resolvidos  007
Mat exercicios resolvidos 007
 
Mat sequencias e progressoes 005
Mat sequencias e progressoes  005Mat sequencias e progressoes  005
Mat sequencias e progressoes 005
 
Aulaomit
AulaomitAulaomit
Aulaomit
 
Base trigonometria 001
Base trigonometria  001Base trigonometria  001
Base trigonometria 001
 
P.a. e p.g.
P.a. e p.g.P.a. e p.g.
P.a. e p.g.
 
Gabarito pa
Gabarito paGabarito pa
Gabarito pa
 
Polinomios
PolinomiosPolinomios
Polinomios
 
Matemática apostila 1 suely
Matemática   apostila 1 suelyMatemática   apostila 1 suely
Matemática apostila 1 suely
 
17052014
1705201417052014
17052014
 
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas
Funções, Equações e Inequações TrigonométricasFunções, Equações e Inequações Trigonométricas
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas
 
Integral
IntegralIntegral
Integral
 
Progressões
ProgressõesProgressões
Progressões
 
POLINÔMIOS E OPERAÇÕES 1.pdf
POLINÔMIOS E OPERAÇÕES 1.pdfPOLINÔMIOS E OPERAÇÕES 1.pdf
POLINÔMIOS E OPERAÇÕES 1.pdf
 

Último

"Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã"
"Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã""Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã"
"Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã"Ilda Bicacro
 
Recurso da Casa das Ciências: Bateria/Acumulador
Recurso da Casa das Ciências: Bateria/AcumuladorRecurso da Casa das Ciências: Bateria/Acumulador
Recurso da Casa das Ciências: Bateria/AcumuladorCasa Ciências
 
Os Padres de Assaré - CE. Prof. Francisco Leite
Os Padres de Assaré - CE. Prof. Francisco LeiteOs Padres de Assaré - CE. Prof. Francisco Leite
Os Padres de Assaré - CE. Prof. Francisco Leiteprofesfrancleite
 
prova do exame nacional Port. 2008 - 2ª fase - Criterios.pdf
prova do exame nacional Port. 2008 - 2ª fase - Criterios.pdfprova do exame nacional Port. 2008 - 2ª fase - Criterios.pdf
prova do exame nacional Port. 2008 - 2ª fase - Criterios.pdfssuser06ee57
 
Atividade do poema sobre mãe de mário quintana.pdf
Atividade do poema sobre mãe de mário quintana.pdfAtividade do poema sobre mãe de mário quintana.pdf
Atividade do poema sobre mãe de mário quintana.pdfmaria794949
 
AULA Saúde e tradição-3º Bimestre tscqv.pptx
AULA Saúde e tradição-3º Bimestre tscqv.pptxAULA Saúde e tradição-3º Bimestre tscqv.pptx
AULA Saúde e tradição-3º Bimestre tscqv.pptxGraycyelleCavalcanti
 
AS COLUNAS B E J E SUAS POSICOES CONFORME O RITO.pdf
AS COLUNAS B E J E SUAS POSICOES CONFORME O RITO.pdfAS COLUNAS B E J E SUAS POSICOES CONFORME O RITO.pdf
AS COLUNAS B E J E SUAS POSICOES CONFORME O RITO.pdfssuserbb4ac2
 
Memórias_póstumas_de_Brás_Cubas_ Machado_de_Assis
Memórias_póstumas_de_Brás_Cubas_ Machado_de_AssisMemórias_póstumas_de_Brás_Cubas_ Machado_de_Assis
Memórias_póstumas_de_Brás_Cubas_ Machado_de_Assisbrunocali007
 
O carteiro chegou - Janet & Allan Ahlberg
O carteiro chegou - Janet & Allan AhlbergO carteiro chegou - Janet & Allan Ahlberg
O carteiro chegou - Janet & Allan AhlbergBrenda Fritz
 
Hans Kelsen - Teoria Pura do Direito - Obra completa.pdf
Hans Kelsen - Teoria Pura do Direito - Obra completa.pdfHans Kelsen - Teoria Pura do Direito - Obra completa.pdf
Hans Kelsen - Teoria Pura do Direito - Obra completa.pdfLeandroTelesRocha2
 
PPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 final
PPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 finalPPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 final
PPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 finalcarlaOliveira438
 
Produção de poemas - Reciclar é preciso
Produção  de  poemas  -  Reciclar é precisoProdução  de  poemas  -  Reciclar é preciso
Produção de poemas - Reciclar é precisoMary Alvarenga
 
Fotossíntese para o Ensino médio primeiros anos
Fotossíntese para o Ensino médio primeiros anosFotossíntese para o Ensino médio primeiros anos
Fotossíntese para o Ensino médio primeiros anosbiancaborges0906
 
As Mil Palavras Mais Usadas No Inglês (Robert de Aquino) (Z-Library).pdf
As Mil Palavras Mais Usadas No Inglês (Robert de Aquino) (Z-Library).pdfAs Mil Palavras Mais Usadas No Inglês (Robert de Aquino) (Z-Library).pdf
As Mil Palavras Mais Usadas No Inglês (Robert de Aquino) (Z-Library).pdfcarloseduardogonalve36
 
Slides Lição 8, Central Gospel, Os 144 Mil Que Não Se Curvarão Ao Anticristo....
Slides Lição 8, Central Gospel, Os 144 Mil Que Não Se Curvarão Ao Anticristo....Slides Lição 8, Central Gospel, Os 144 Mil Que Não Se Curvarão Ao Anticristo....
Slides Lição 8, Central Gospel, Os 144 Mil Que Não Se Curvarão Ao Anticristo....LuizHenriquedeAlmeid6
 
APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.
APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.
APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.HandersonFabio
 
Os Tempos Verbais em Inglês-tempos -dos-
Os Tempos Verbais em Inglês-tempos -dos-Os Tempos Verbais em Inglês-tempos -dos-
Os Tempos Verbais em Inglês-tempos -dos-carloseduardogonalve36
 
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamente
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamenteDescrever e planear atividades imersivas estruturadamente
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamenteLeonel Morgado
 
Manual dos Principio básicos do Relacionamento e sexologia humana .pdf
Manual dos Principio básicos do Relacionamento e sexologia humana .pdfManual dos Principio básicos do Relacionamento e sexologia humana .pdf
Manual dos Principio básicos do Relacionamento e sexologia humana .pdfPastor Robson Colaço
 
Campanha 18 de. Maio laranja dds.pptx
Campanha 18 de.    Maio laranja dds.pptxCampanha 18 de.    Maio laranja dds.pptx
Campanha 18 de. Maio laranja dds.pptxlucioalmeida2702
 

Último (20)

"Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã"
"Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã""Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã"
"Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã"
 
Recurso da Casa das Ciências: Bateria/Acumulador
Recurso da Casa das Ciências: Bateria/AcumuladorRecurso da Casa das Ciências: Bateria/Acumulador
Recurso da Casa das Ciências: Bateria/Acumulador
 
Os Padres de Assaré - CE. Prof. Francisco Leite
Os Padres de Assaré - CE. Prof. Francisco LeiteOs Padres de Assaré - CE. Prof. Francisco Leite
Os Padres de Assaré - CE. Prof. Francisco Leite
 
prova do exame nacional Port. 2008 - 2ª fase - Criterios.pdf
prova do exame nacional Port. 2008 - 2ª fase - Criterios.pdfprova do exame nacional Port. 2008 - 2ª fase - Criterios.pdf
prova do exame nacional Port. 2008 - 2ª fase - Criterios.pdf
 
Atividade do poema sobre mãe de mário quintana.pdf
Atividade do poema sobre mãe de mário quintana.pdfAtividade do poema sobre mãe de mário quintana.pdf
Atividade do poema sobre mãe de mário quintana.pdf
 
AULA Saúde e tradição-3º Bimestre tscqv.pptx
AULA Saúde e tradição-3º Bimestre tscqv.pptxAULA Saúde e tradição-3º Bimestre tscqv.pptx
AULA Saúde e tradição-3º Bimestre tscqv.pptx
 
AS COLUNAS B E J E SUAS POSICOES CONFORME O RITO.pdf
AS COLUNAS B E J E SUAS POSICOES CONFORME O RITO.pdfAS COLUNAS B E J E SUAS POSICOES CONFORME O RITO.pdf
AS COLUNAS B E J E SUAS POSICOES CONFORME O RITO.pdf
 
Memórias_póstumas_de_Brás_Cubas_ Machado_de_Assis
Memórias_póstumas_de_Brás_Cubas_ Machado_de_AssisMemórias_póstumas_de_Brás_Cubas_ Machado_de_Assis
Memórias_póstumas_de_Brás_Cubas_ Machado_de_Assis
 
O carteiro chegou - Janet & Allan Ahlberg
O carteiro chegou - Janet & Allan AhlbergO carteiro chegou - Janet & Allan Ahlberg
O carteiro chegou - Janet & Allan Ahlberg
 
Hans Kelsen - Teoria Pura do Direito - Obra completa.pdf
Hans Kelsen - Teoria Pura do Direito - Obra completa.pdfHans Kelsen - Teoria Pura do Direito - Obra completa.pdf
Hans Kelsen - Teoria Pura do Direito - Obra completa.pdf
 
PPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 final
PPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 finalPPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 final
PPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 final
 
Produção de poemas - Reciclar é preciso
Produção  de  poemas  -  Reciclar é precisoProdução  de  poemas  -  Reciclar é preciso
Produção de poemas - Reciclar é preciso
 
Fotossíntese para o Ensino médio primeiros anos
Fotossíntese para o Ensino médio primeiros anosFotossíntese para o Ensino médio primeiros anos
Fotossíntese para o Ensino médio primeiros anos
 
As Mil Palavras Mais Usadas No Inglês (Robert de Aquino) (Z-Library).pdf
As Mil Palavras Mais Usadas No Inglês (Robert de Aquino) (Z-Library).pdfAs Mil Palavras Mais Usadas No Inglês (Robert de Aquino) (Z-Library).pdf
As Mil Palavras Mais Usadas No Inglês (Robert de Aquino) (Z-Library).pdf
 
Slides Lição 8, Central Gospel, Os 144 Mil Que Não Se Curvarão Ao Anticristo....
Slides Lição 8, Central Gospel, Os 144 Mil Que Não Se Curvarão Ao Anticristo....Slides Lição 8, Central Gospel, Os 144 Mil Que Não Se Curvarão Ao Anticristo....
Slides Lição 8, Central Gospel, Os 144 Mil Que Não Se Curvarão Ao Anticristo....
 
APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.
APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.
APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.
 
Os Tempos Verbais em Inglês-tempos -dos-
Os Tempos Verbais em Inglês-tempos -dos-Os Tempos Verbais em Inglês-tempos -dos-
Os Tempos Verbais em Inglês-tempos -dos-
 
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamente
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamenteDescrever e planear atividades imersivas estruturadamente
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamente
 
Manual dos Principio básicos do Relacionamento e sexologia humana .pdf
Manual dos Principio básicos do Relacionamento e sexologia humana .pdfManual dos Principio básicos do Relacionamento e sexologia humana .pdf
Manual dos Principio básicos do Relacionamento e sexologia humana .pdf
 
Campanha 18 de. Maio laranja dds.pptx
Campanha 18 de.    Maio laranja dds.pptxCampanha 18 de.    Maio laranja dds.pptx
Campanha 18 de. Maio laranja dds.pptx
 

todas-as-formulas-de-matematica

  • 1. TURMA DO M˘RIO Álgebra Porcentagem Taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b ≠0 é a razão x tal que: x =a, e se indica: x = x% . 100 100 b 100 A palavra porcentagem deriva de por (dividido) e centagem (100). Quando se fala x % de um número, significa multiplicar este número por x 100 . Exemplo: 15 % de 200 = 15 . 200 30 100 = . Potenciação Definições 0 ∀ ∈ ⇒ = ∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ = Propriedades 1. am. an = am+n 2. a R a 1 a R e n N a n a n1 − . a m a a m n ,a a n = − ≠0 3. (am )n =am . n 4. (a . b)n =an . b n 5. (a : b)n = an : bn , b ≠0 6. a – n = n 1 , a ≠ 0 a Nota: Em geral ( ) am n ≠amn Em geral ( )a+b n ≠ an +bn Radiciação Propriedades 1. n a . b = n a . n b 2. n a : b = n a : n b , b ≠ 0 3. ( n a )m = n a m 4. m n a = n . m a m 5. n am = a n 6. n . p am . p = n am www.turmadomario.com.br -1
  • 2. Produtos notáveis (a + b) (a – b) = a2 - b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (a + b + c)2 = a2+ b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) Fatoração ab + ac = a (b + c) ab +ac + db + dc = a (b + c) + d (b + c) = (b +c) (a + d) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 ax2 + bx + c = a.(x – 1) (x – 2), onde 1 e 2 são as raízes de ax2 + bx + c = 0. a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3 a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) a2 + b2 +c2 + 2 (ab +ac + bc) = (a + b + c)2 Números naturais Números primos: Um número natural e maior que 1 é primo se ele tiver apenas dois divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo. Números primos entre si: Dois números naturais são primos entre si se o único divisor natural comum entre eles for 1. Quantidade de divisores naturais de um número natural Se n = ap.bq.cr.ds..., então n tem (p+1) (q+1) (r+1)... divisores positivos, sendo n um número natural e a, b, c, d, ... fatores primos do número n. Seqüências Definições Seqüência real é toda função f : I R, onde I = N* ou I = {1, 2, 3, ... ..., n} Se I = N*, a seqüência é chamada infinita. Se I = {1, 2, 3, ... ..., n} , a seqüência é chamada finita. 2
  • 3. Progressão Aritmética (PA) Definição Progressão aritmética (PA) é toda seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo encontramos os demais somando ao anterior um valor fixo r chamado de razão da PA. Conseqüência da definição: r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... ... = a n+1 – a n = r Classificação das PA´s Uma PA de números reais pode ser: I.crescente: (razão positiva): r 0 a n+1 a n II.decrescente (razão negativa): r 0 a n+1 a n III. constante (razão nula): r = 0 a n+1 = a n Fórmula do termo geral de uma PA an = a1 + (n – 1) r, n N* Termos eqüidistantes em PA Na PA genérica: PA(a1, a2, a3,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), tem-se: com p, k IN* p k p k Soma dos n primeiros termos de uma PA Seja a PA(a1, a2, a3,... ..., an,......) , a soma de seus n primeiros termos é dada por: 3 Seja a PA(a1, a2, a3, ... ... an). Então: Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p (ap), poderemos utilizar a regra: an = ap + (n – p) r, n,p N* a a a 2 p S (a a ) n 1 n 2 n
  • 4. Progressão Geométrica (PG) Definição Progressão geométrica (PG) é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q, que é chamada razão da P.G. Conseqüência da definição: Se an 0, então q = a a n 1 n ; ou seja, encontramos a razão da PG dividindo um termo qualquer pelo seu antecessor. Classificação das PG´s: Uma PG pode ser: I.Crescente: quando an+1an Exemplo: PG(1, 2, 4, 8, 16, ...), q = 2 II.Decrescente: quando an+1an Exemplo: PG(81, 27, 9, 3, 1, ...), q = 1/3 III. Constante: quando an+1=an Exemplo: PG(2, 2, 2, 2, 2, ...), q = 1 IV.Alternante: quando a1 0 e q 0 Exemplo: PG(2, – 4, 8, – 16, 32, ...), a1 = 2 e q = –2 V. Não decrescente: quando a1 0 e q = 0 Exemplo: PG(– 2, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = – 2 e q = 0 VI.Não crescente: quando a1 0 e q = 0 Exemplo: PG(5, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = 5 e q = 0 Fórmula do termo geral da PG Termos eqüidistantes em PG Na PG genérica: PG(a1, a2, a3,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), então: Produto dos n primeiros termos de uma PG (Pn) 4 Seja a PG genérica: PG(a1, a2, a3, a4, ......). Assim: Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p (ap), poderemos utilizar a regra: an = a1 qn – 1, n N* an = ap qn – p, n,p N* (ap)2 = (ap – k) (ap + k), p,k N* Seja a PG(a1, a2, a3, ..., an, ..., .... ) indicaremos por Pn o produto de seus n primeiros termos. Assim: Pn = a1 n q n( n 1) 2 ou Pn = (a1 an) n 2
  • 5. Soma dos n primeiros termos de uma PG (Sn) Seja (a1, a2, a3, ..., an, ...) uma PG de razão q e indiquemos por Sn a soma de seus n primeiros termos. Assim: Se a PG não for constante, ou seja q 1 teremos: Sn = n a (q 1) q 1 1 Sn= n a1 Soma dos termos de uma PG infinita (S) Seja a P.G. = (a1, a2, a3, . . . , an, . . . ) de razão q e a soma de seus infinitos termos Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . (série) Quando lim S =S n n existe e é finito, dizemos que a série converge para S. Quando esse limite não existe ou não é finito dizemos que a série diverge (não se pode determinar tal soma). Se – 1 q 1, pode-se demonstrar que: lim S =S n n = a 1 1 q Função Exponencial f(x) = ax ; a 0 e a 1 Imf = IR* Df = IR y y a 1 função crescente Propriedades de potência 1. am . an = am + n 2. am : an = am – n , a 0 3. (am)n = am .n 4. n am = am n, n IN / n 1 5. a– n = 1 an , a 0 5 0 1 x 0 a 1 função decrescente 0 x Se a PG for constante, ou seja q = 1 teremos:
  • 7. f(x) = g(x) Inequação exponencial af(x) ag(x)
  • 8. f(x) g(x), se a 1 af(x) ag(x)
  • 9. f(x) g(x), se 0 a 1 Logaritmo Definição logba = x
  • 10. a = bx com a 0, 0 b 1 Propriedade de logaritmo 1. logc (a.b) = logca + logcb; a 0, b 0, 0 c 1 2. logc a b = logca – logcb; a 0, b 0, 0 c 1 3. logc am = m . logca; a 0, 0 c 1 e m IR 4. log a cm = 1 m . logca; a 0, 0 c 1 e m IR* Função Logarítmica f f(x) m= logax , a0 e a1 I= IR * Df = IR 6 0 1 x 0 1 x a 1 função crescente 0 a 1 função decrescente y y
  • 11. Geometria Plana Relações métricas no triângulo retângulo b c h m n a Relações métricas no círculo PA PB = PC PD PA PB = PC PD (PT)2 = PA PB Lei dos Lei dos cossenos 7 A B C D P T B A P A B C P D h2=m n b c=a h b2=a m a2=b2 + c2 (Pitágoras). c2=a n a sen b sen c sen 2R a2 = b2 + c2 – 2 b c cos b2 = a2 + c2 – 2 a c cos c2 = a2 + b2 – 2 a b cos
  • 12. Teorema de Tales a1 // a2 // a3 // ..... Teorema da bissetriz interna b c Teorema da bissetriz externa A b c C S Semelhança de triângulos H y a x k Área ABC b y c z H h k2 Área PQR 8 AB A'B' BC B'C' CD C'D' AC A' C' AD A'D' x y S A b x c y c y x B b x c y b c A B a C z P Q x R h
  • 13. Arcos e ângulos = a a 2 a+b 2 a – b 2 a 2 Razões trigonométricas Comprimento da circunferência Base média de triângulo 9 b sen b a sen c a cos c a cos b a tg b c tg c b R C 2R MN // BC MN = BC 2
  • 14. Base média de trapézio Baricentro de triângulo Polígonos convexos Sendo n = número de lados; d = número de diagonais; Si= soma dos ângulos internos e Se= soma dos ângulos externos, temos: d= n(n – 3) 2 Si = (n – 2) 180ºe Se = 360º Áreas Retângulo Quadrado Paralelogramo Triângulo Trapézio 10 MN // AB MN = AB+CD 2
  • 15. Losango 1 Losango 2 B A Fórmulas especiais para área do triângulo A 3 4 2 A b c 2 A p(p – a) (p – b)(p – c) em que p a b c 2 A 1 2 a bsen A = r p A a b c 4R p a b c 2 Círculo Setor circular A R2 360º A R2 2 A R 2 em radianos 11 C (AC) (BD) Los 2 R A R2
  • 16. Análise Combinatória / Probabilidades Número binomial: n p = n! p!(n – p)! =C = combinação de n objeto n, p s distintos agrupados de p em p Teorema binomial: (a + b)n= n 0 anb0 + n 1 an – 1b1+. . .+ n n a0bn = n i n n–i i a b i o Arranjo: An, p = n! (n – p)! n objetos distintos seqüenciados (enfileirados) de p em p Permutação de n objetos distintos: Pn = n! Probabilidade de ocorrer um evento = n.o de elementos do conjunto evento n.o de elementos do espaço amostral = n(A) n(E) =P(A) probabilidade de ocorrer o evento A e em se guida ocorrer o evento B = = probabilidade de ocorrer o evento A x prob abilidade de ocorrer o evento B sabendo que A ocorreu Teorema da multiplicação Exemplo: Conjuntos, Funções e Inequações Relação Considerando dois conjuntos A e B, não-vazios, chamamos relação (binária) de A e B a qualquer subconjunto do produto cartesiano ( A x B = {(x; y) / x A x B}). Definição Uma relação f de A em B é uma função de A em B, se, para todo x A, existe um único y B tal que (x; y) f. (Indica-se: f : A B). 12 Permutação de elementos repetidos: Pn ,, = n! !!! , objetos iguais entre si objetos iguais entre si objetos iguais entre si 2 bolas azuis 5 bolas verdes P tirar uma bola azul e em seguida uma bola azul = 2 7 1 6 chance de retirar uma bola azul sabendo que já saiu uma azul
  • 17. Exemplo Contra-exemplo A B A B Tipos de função Função crescente e decrescente Uma função f é crescente em A Df
  • 18. (x1 x2 f(x1) f(x2), x1, x2 A). Uma função f é decrescente em A Df
  • 19. (x1 x2 f(x1) f(x2), x1, x2 A). Função injetora, sobrejetora e bijetora Uma f : A B é injetora se todos os elementos distintos em A têm imagens distintas em B ( x1, x2 A, x1 x2 f(x1) f(x2)). Uma f : A B é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens de elementos de A (Im(f) = CD(f) ou y B, x A / f(x) = y) Uma função de f : A B é bijetora se é injetora e sobrejetora. Exemplos: A B A B Função par e ímpar A B Uma função f : A B é par
  • 20. x A, f(x) = f( – x). Uma função f : A B é ímpar
  • 21. xA, f(x) = – f( – x). Função periódica A B Uma função f : A B é periódica de período p
  • 22. x A, f(x + p) = f(x), p 0. Função composta Dadas duas funções f e g, podemos obter uma outra função fog, tal que fog(x) = f(g(x)), chamada função composta de f com g. 13 1 2 3 4 5 f f é sobrejetora e não é injetora 3 4 6 1 2 3 f f é bijetora 1 2 3 4 5 6 f f não é injetora e nem sobrejetora 1 3 5 4 3 2 1 f f é injetora e não é sobrejetora 1 2 5 1 2 3 3 4 6 4 5 6 f g f é função g não é função Domínio de f = D(f) = A = {1, 2, 5} Conjunto Imagem de f = Im(f) = {3, 4} Contradomínio = CD(f) = B = {3, 4, 6} 4 é imagem de 5, isto é, 4 = f(5) 4 é imagem de 2, isto é, 4 = f(2)
  • 23. Função inversa Denomina-se inversa da função bijetora y = f(x), f : A B a função f– 1: B A, tal que f–1 (y) = x. Observação: Para se obter a inversa de uma função f (bijetora) definida por uma sentença matemática y = f(x) a. troca-se x por y e y por x; b. coloca-se o novo y em função do novo x. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Propriedades dos determinantes a. det(At) = det(A). b. Se uma linha (ou coluna) é formada só de zeros, o determinante é igual a zero. c. Quando trocamos de lugar duas linhas (ou colunas) paralelas, o determinante fica multiplicado por –1. d. Se duas linhas (ou colunas) paralelas são iguais (ou proporcionais), o determinante é igual a zero. e. Se os elementos de uma linha (ou coluna) apresentam um fator comum k, este pode ser colocado em “evidência”. f. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então det(k.A) = kn.det(A) g. Teorema de Binet: det(A.B) = det(A).det(B) Atenção: em geral, det(A+B) det(A) + det(B) h. Teorema de Jacobi (importante para obtenção de zeros). O determinante de uma matriz não se altera quando somamos a uma linha (ou coluna) outra linha (ou coluna) paralela multiplicada por uma constante. i. Matriz Triangular: A 1 0 0 0 –3 4 0 0 2 3 –5 0 5 6 7 8 #### det(A) 1 4(–5) 8 ! Multiplicação de matrizes a b x y = c d z w ax+bz ay+bw cx+dz cy+dw a. Todo sistema de equações lineares apresenta apenas uma solução, ou seja, é um sistema possível e determinado (s. p. d.), quando D 0, onde D é o determinante da matriz dos coeficientes de tal sistema. b. Para os casos onde D = 0, para analisar o sistema, ou seja, dizer se o mesmo é impossível (s. i.) ou indeterminado (s. p. i.), deve-se escalonar tal sistema, eliminando ordenadamente as incógnitas das equações. A equação, na incógnita x, ax = b tem apenas uma solução para a 0; tem infinitas soluções para a = 0 e b = 0 e não temsolução para a = 0 e b 0. 14
  • 24. Trigonometria Relações Fundamentais Conseqüências x k 2 sen2x + cos2x = 1, x R cotgx 1 tgx tgx senx cosx x k 2 1 + tg2x = sec2x cotgx cosx senx (x k$ 1 + cotg2x = cossec2x secx 1 cosx x k 2 cos x 1 1+ tg x 2 2 cossecx 1 senx (x k) sen x tg x 1+ tg x 2 2 2 Fórmulas de adição cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b cos(a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a tg(a b) tg a tg b 1– tg a tg b tg(a b) tg a tg b 1+ tg a tg b – – Fórmulas de multiplicação 15 Arcos duplos sen 2a = 2 sen a cos a cos 2a= 2 2 cos a – sen a ou 2cos 2 a – 1 ou 1– 2sen2a % ''' ''' ( tg 2a= 2 tg a 1– tg2a Arcos Triplos sen 3a = 3 sen a – 4 sen3 a cos 3a = 4 cos3 a – 3 cos a tg 3a= 3 3 tga – tg a 1– 3tg 2 a
  • 25. Fórmulas de divisão sen x 2 = 1– cos x ) cos 2 x 2 = 1+cos x ) tg 2 x 2 = 1– cos x 1+cos x ) Fórmulas de transformação em produto cos p+cos q=2 cos p+q 2 cos p – q 2 cos p – cos q= –2 sen p+q 2 sen p – q 2 sen p+sen q=2 sen p+q 2 cos p – q 2 sen p – sen q= 2 sen p – q 2 cos p+q 2 tg p+tg q= sen(p+q) cos p cos q tg p – tg q= sen(p – q) cos pcos q Equações trigonométricas fundamentais sen = sen = + 2k ou = ( – ) + 2k cos = cos = )+ 2k tg = tg = + k Funções circulares inversas y = arc senx
  • 26. seny = x e – 2 * y * 2 y = arc cosx
  • 27. cosy = x e 0 * y * y = arc tgx
  • 28. tgy = x e – 2 y 2 16
  • 29. Geometria Espacial O volume de um prisma e o de umcilindro (retos ou oblíquos) é igual ao produto da área da base (B) pela altura (H). E o volume de uma pirâmide e o de umcone reto (ou oblíquo) é igual a 1/3 do produto da área da base pela altura. R Planificando a superfície lateral de um cilindro reto de raio R e altura H obtemos um retângulo de lados 2R e H. Então a área lateral (AL) do cilindro reto é: Planificando a superfície lateral de um cone reto de raio R e geratriz g obtemos um setor circular de raio g e arco 2R. Então a área lateral do cone reto é. O volume V e a área A de uma esfera de raio R são dados por: 17 B H H V = BH B H H g R V = 1 BH 3 — AL = Asetor AL = 2 2 R g AL =Rg Sendo a medida, em graus, do setor, temos: Asetor = 2 2 R g = 360º g2 R = 360º g R A = 4R2 e V= 4 3 R3
  • 30. Números Complexos Forma algébrica Nomenclatura z = a + bi (a, b IR) i = unidade imaginária a = Re (z) = parte real de z b= Im (z) = coeficiente da parte imaginária de z Exemplos de números complexos z = 3i = 0 + 3i = número imaginário puro. z = – 6 = – 6 + 0i = número real. z = a + bi (b 0) = número imaginário ou número complexo não real. Potências inteiras de i (ik, k ZZ ) i0= 1 e i4k = 1 i1= i e i4k+1 = i4k . i1 = i i2= – 1 e i4k+2 = i4k . i2 = – i i3= – i e i4k+3 = i4k . i3 = – i Conjugado de z = a + bi (a, b IR) z = a – bi Propriedades 1. z + w = z + w 2. z . w = z . w 3. z w = z w 4. zn =( z )n (n ZZ) 5. ( z )=z Produtos e divisões notáveis 1. (1 + i)2 = 2i 2. (1 – i)2 = – 2i 3. (1+ i)(1 – i) = 2 4. 1+i 1– i = i 5. 1– i 1+i = – i 18
  • 31. Igualdade na forma algébrica Representação no plano de Argand-Gauss Propriedades 1. | z |2 = z . z 2. |z . w | = | z | . | w | 3. z w = z w (w 0) 4. | z n| = | z | n, n ZZ 5. | z + w | * | z | + | w | 6. | z | = | z | Forma trigonométrica de z C* z = a + bi = | z | (cos + isen +) | z | = a2 b2 e cos = a z sen = b z + + % '' '' ( Igualdade na forma trigonométrica |z|( cos +i sen + +$ z = |w|( cos +i sen $ w 19 a + bi = c + di
  • 32. a = c e b = d (a, b, c, d IR) z = a + bi = (a, b) = P (a, b IR) P = afixo de z dop = |z| = a2 +b2 = módulo de z + + k . 2 = arg(z) = argumento de z (0 * + 2) + = argumento principal de z 0 z = w
  • 33. |z| = |w| e + = + k . 2 k ZZ
  • 34. Operações na forma trigonométrica Sejam z = |z| (cos + isen +) z1= |z1| (cos +1 isen +1) z2= |z2| (cos +2 isen +2 ) Multiplicação z1 . z2= |z1 | . |z2| . [cos (+1 ++2) + isen (+1 ++2)] Divisão z z 1 2 = |z |z | | 1 2 [cos (+1 – +2) + isen (+1 – +2)] Potenciação zn = |z|n . [cos (n +) + isen (n+)] Radiciação z =w = z cos n +k n +i sen n +k n n C + + k n 2 2 ! # , (k = 0, 1, 2, . . . , n – 1) Propriedades 1. w0 + w1 + w2 + . . . + wn – 1 = 0 2. A raiz enésima de z divide a circunferência em n partes iguais. 3. O raio dessa circunferência é n | z |. 4. O “ponto de partida” (wo) é o arco + n e o “pulo’ de uma raiz para outra é de 2 n . Equação binômia em C axn + b = 0 (a 0) axn = – b xn = –b a x = –b a n C = wk , (k = 0, 1, 2, . . . , n – 1) Geometria Analítica Distâncias De dois pontos A e B dAB (xB – x A ) (y – y ) 2 2 B A Do ponto P à reta (r) ax + by + c = 0 |ax P +by d P +c| 2 2 a +b 20
  • 35. Pontos especiais a. M divide AB na razão AM MB = r r = x –x x x = y –y y y M A B M M A – B – M Se M é ponto médio de AB, M = x A +xB yA +yB , 2 2 b. Ponto do eixo x: A = (a, 0) Ponto do eixo y: B = (0, b) Ponto da bissetriz dos quadrantes pares: C = (k, k) Ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares: D = (k, – k) x A x Baricentro do ABC: G = B x C A B C 3 y y y 3 , Área do ABC S = |D| 2 onde D = x y 1 x y 1 x y 1 A A B B C C Observação: Se A, B e C são colineares, D = 0. Equação de circunferência (x – xC)2 + (y – yC)2 = r2 Centro C e raio r, equação reduzida. Equação de reta Geral: ax + by + c = 0 (r) Conhecendo 2 pontos A e B de r: x y 1 x y 1 x y 1 A A B B = 0 Reduzida: y = mx + k 21 m... coeficiente angular de r k.... coeficiente linear de r m =tg (não existe, se m é vertical) Conhecendo 2 pontos A e B da reta,m y – y x – x B A B A
  • 37. mr=ms Exemplos: Paralela a y = 2x – 3 é y = 2x + k Paralela a 2x + 5y – 3 é 2x + 5y + k = 0 r , s
  • 38. mr. ms = – 1 Exemplos: Perpendicular a y = 2 3 x – 3 é y = – 3 2 x + k Perpendicular a 2x + 5y – 6 = 0 é 5x – 2y + k = 0 Observação: Se P pertence a ax + by + c = 0, então axP + byP + c = 0. 22