O documento apresenta conceitos fundamentais de álgebra e geometria, incluindo porcentagem, potenciação, progressões aritméticas e geométricas, funções exponenciais e logarítmicas, geometria plana e fórmulas de área.

1. TURMA DO M˘RIO
Álgebra
Porcentagem
Taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b ≠0 é a razão
x
tal que: x
=a, e se indica: x = x%
.
100
100 b
100
A palavra porcentagem deriva de por (dividido) e centagem (100). Quando se fala x % de
um número, significa multiplicar este número por x
100
.
Exemplo: 15 % de 200 = 15 . 200 30
100
= .
Potenciação
Definições
0
∀ ∈ ⇒ =
∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ =
Propriedades
1. am. an = am+n
2.
a R a 1
a R e n N a n a n1
− . a
m
a a m n
,a
a
n
= − ≠0
3. (am )n =am . n
4. (a . b)n =an . b
n
5. (a : b)n = an : bn , b ≠0
6. a – n = n
1 , a ≠
0
a
Nota: Em geral ( ) am n ≠amn
Em geral ( )a+b n ≠ an +bn
Radiciação
Propriedades
1. n a . b = n a . n b
2. n a : b = n a : n b , b ≠ 0
3. ( n a )m = n a
m 4. m n a = n . m a
m
5.
n am = a n
6. n . p am . p = n am
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2. Produtos notáveis
(a + b) (a – b) = a2 - b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b + c)2 = a2+ b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc)
Fatoração
ab + ac = a (b + c)
ab +ac + db + dc = a (b + c) + d (b + c) = (b +c) (a + d)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
ax2 + bx + c = a.(x – 1) (x – 2), onde 1 e 2 são as raízes de ax2 + bx + c = 0.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
a2 + b2 +c2 + 2 (ab +ac + bc) = (a + b + c)2
Números naturais
Números primos: Um número natural e maior que 1 é primo se ele tiver apenas dois
divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo.
Números primos entre si: Dois números naturais são primos entre si se o único divisor
natural comum entre eles for 1.
Quantidade de divisores naturais de um número natural
Se n = ap.bq.cr.ds..., então n tem (p+1) (q+1) (r+1)... divisores positivos, sendo n um
número natural e a, b, c, d, ... fatores primos do número n.
Seqüências
Definições
Seqüência real é toda função f : I R, onde I = N* ou I = {1, 2, 3, ... ..., n}
Se I = N*, a seqüência é chamada infinita.
Se I = {1, 2, 3, ... ..., n} , a seqüência é chamada finita.
2

3. Progressão Aritmética (PA)
Definição
Progressão aritmética (PA) é toda seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo
encontramos os demais somando ao anterior um valor fixo r chamado de razão da PA.
Conseqüência da definição: r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... ... = a n+1 – a n = r
Classificação das PA´s
Uma PA de números reais pode ser:
I.crescente: (razão positiva): r 0 a n+1 a n
II.decrescente (razão negativa): r 0 a n+1 a n
III. constante (razão nula): r = 0 a n+1 = a n
Fórmula do termo geral de uma PA
an = a1 + (n – 1) r, n N*
Termos eqüidistantes em PA
Na PA genérica: PA(a1, a2, a3,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), tem-se:
com p, k IN*
p k p k
Soma dos n primeiros termos de uma PA
Seja a PA(a1, a2, a3,... ..., an,......) , a soma de seus n primeiros termos é dada por:
3
Seja a PA(a1, a2, a3, ... ... an). Então:
Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p
(ap), poderemos utilizar a regra:
an = ap + (n – p) r, n,p N*
a
a a
2 p
S
(a a )
n
1 n
2 n

4. Progressão Geométrica (PG)
Definição
Progressão geométrica (PG) é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é
igual ao produto do termo anterior por uma constante q, que é chamada razão da P.G.
Conseqüência da definição:
Se an 0, então q =
a
a
n 1
n
; ou seja, encontramos a razão da PG dividindo um termo
qualquer pelo seu antecessor.
Classificação das PG´s:
Uma PG pode ser:
I.Crescente: quando an+1an
Exemplo: PG(1, 2, 4, 8, 16, ...), q = 2
II.Decrescente: quando an+1an
Exemplo: PG(81, 27, 9, 3, 1, ...), q = 1/3
III. Constante: quando an+1=an
Exemplo: PG(2, 2, 2, 2, 2, ...), q = 1
IV.Alternante: quando a1 0 e q 0
Exemplo: PG(2, – 4, 8, – 16, 32, ...), a1 = 2 e q = –2
V. Não decrescente: quando a1 0 e q = 0
Exemplo: PG(– 2, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = – 2 e q = 0
VI.Não crescente: quando a1 0 e q = 0
Exemplo: PG(5, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = 5 e q = 0
Fórmula do termo geral da PG
Termos eqüidistantes em PG
Na PG genérica: PG(a1, a2, a3,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), então:
Produto dos n primeiros termos de uma PG (Pn)
4
Seja a PG genérica: PG(a1, a2, a3, a4, ......). Assim:
Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p
(ap), poderemos utilizar a regra:
an = a1 qn – 1, n N*
an = ap qn – p, n,p N*
(ap)2 = (ap – k) (ap + k), p,k N*
Seja a PG(a1, a2, a3, ..., an, ..., .... ) indicaremos por Pn o produto de seus n primeiros
termos. Assim: Pn = a1
n q
n( n
1)
2
ou Pn = (a1 an)
n
2

5. Soma dos n primeiros termos de uma PG (Sn)
Seja (a1, a2, a3, ..., an, ...) uma PG de razão q e indiquemos por Sn a soma de seus n
primeiros termos. Assim:
Se a PG não for constante, ou seja q 1 teremos:
Sn =
n
a (q 1)
q 1
1
Sn= n a1
Soma dos termos de uma PG infinita (S)
Seja a P.G. = (a1, a2, a3, . . . , an, . . . ) de razão q e a soma de seus infinitos termos
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . (série)
Quando lim S =S
n
n
existe e é finito, dizemos que a série converge para S.
Quando esse limite não existe ou não é finito dizemos que a série diverge (não se pode
determinar tal soma). Se – 1 q 1, pode-se demonstrar que: lim S =S
n
n
=
a
1
1
q
Função Exponencial
f(x) = ax ; a 0 e a 1 Imf = IR*
Df = IR
y y
a 1
função crescente
Propriedades de potência
1. am . an = am + n
2. am : an = am – n , a 0
3. (am)n = am .n
4. n am = am n, n IN / n 1
5. a– n =
1
an
, a 0
5
0
1
x
0 a 1
função decrescente
0 x
Se a PG for constante, ou seja q = 1 teremos:

6. Equação exponencial
af(x)= ag(x)

7. f(x) = g(x)
Inequação exponencial
af(x) ag(x)

8. f(x) g(x), se a 1
af(x) ag(x)

9. f(x) g(x), se 0 a 1
Logaritmo
Definição
logba = x

10. a = bx com a 0, 0 b 1
Propriedade de logaritmo
1. logc (a.b) = logca + logcb; a 0, b 0, 0 c 1
2. logc
a
b
= logca – logcb; a 0, b 0, 0 c 1
3. logc am = m . logca; a 0, 0 c 1 e m IR
4. log a cm =
1
m
. logca; a 0, 0 c 1 e m IR*
Função Logarítmica
f
f(x) m= logax , a0 e a1 I= IR
*
Df = IR
6
0 1 x 0 1 x
a 1
função crescente
0 a 1
função decrescente
y y

11. Geometria Plana
Relações métricas no triângulo retângulo
b c
h
m n
a
Relações métricas no círculo
PA PB = PC PD PA PB = PC PD (PT)2 = PA PB
Lei dos
Lei dos cossenos
7
A
B
C
D
P
T
B
A
P
A
B
C
P D
h2=m n b c=a h
b2=a m a2=b2 + c2 (Pitágoras).
c2=a n
a
sen
b
sen
c
sen
2R
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos
b2 = a2 + c2 – 2 a c cos
c2 = a2 + b2 – 2 a b cos

12. Teorema de Tales
a1 // a2 // a3 // .....
Teorema da bissetriz interna
b c
Teorema da bissetriz externa
A
b c
C S
Semelhança de triângulos
H y
a
x
k Área ABC
b
y
c
z
H
h
k2
Área PQR
8
AB
A'B'
BC
B'C'
CD
C'D'
AC
A' C'
AD
A'D'
x y
S
A
b
x
c
y
c
y
x
B
b
x
c
y
b
c
A
B a C
z
P
Q x R
h

13. Arcos e ângulos
= a a
2
a+b
2
a – b
2
a
2
Razões trigonométricas
Comprimento da circunferência
Base média de triângulo
9
b
sen
b
a
sen
c
a
cos
c
a
cos
b
a
tg
b
c
tg
c
b
R
C 2R
MN
// BC
MN =
BC
2

14. Base média de trapézio
Baricentro de triângulo
Polígonos convexos
Sendo n = número de lados;
d = número de diagonais;
Si= soma dos ângulos internos e
Se= soma dos ângulos externos,
temos: d=
n(n – 3)
2
Si = (n – 2) 180ºe Se = 360º
Áreas
Retângulo Quadrado Paralelogramo
Triângulo Trapézio
10
MN
// AB
MN =
AB+CD
2

15. Losango 1 Losango 2
B A
Fórmulas especiais para área do triângulo
A
3
4
2
A
b c
2
A p(p – a) (p – b)(p – c)
em que p
a b c
2
A
1
2
a bsen A = r p A
a b c
4R
p
a b c
2
Círculo
Setor circular
A
R2
360º
A
R2
2
A
R
2
em radianos
11
C
(AC) (BD)
Los
2
R
A R2

16. Análise Combinatória / Probabilidades
Número binomial:
n
p
=
n!
p!(n – p)!
=C =
combinação de n objeto
n, p
s distintos
agrupados de p em p
Teorema binomial: (a + b)n=
n
0
anb0 +
n
1
an – 1b1+. . .+
n
n
a0bn =
n
i
n
n–i i
a b
i o
Arranjo: An, p =
n!
(n – p)!
n objetos distintos seqüenciados (enfileirados) de p em p
Permutação de n objetos distintos: Pn = n!
Probabilidade de ocorrer um evento =
n.o de elementos do conjunto evento
n.o de elementos do espaço amostral
=
n(A)
n(E)
=P(A)
probabilidade de ocorrer
o evento A
e em se
guida
ocorrer o
evento B
=
=
probabilidade de
ocorrer o evento A
x
prob
abilidade de
ocorrer o evento B
sabendo que A ocorreu
Teorema da multiplicação
Exemplo:
Conjuntos, Funções e Inequações
Relação
Considerando dois conjuntos A e B, não-vazios, chamamos relação (binária) de A e B a
qualquer subconjunto do produto cartesiano ( A x B = {(x; y) / x A x B}).
Definição
Uma relação f de A em B é uma função de A em B, se, para todo x A, existe um único y
B tal que (x; y) f. (Indica-se: f : A B).
12
Permutação de elementos repetidos: Pn
,, =
n!
!!!
, objetos iguais entre si
objetos iguais entre si
objetos iguais entre si
2 bolas azuis
5 bolas verdes
P
tirar uma bola azul e em
seguida uma bola azul
=
2
7
1
6
chance de retirar uma
bola azul sabendo que
já saiu uma azul

17. Exemplo Contra-exemplo
A B A B
Tipos de função
Função crescente e decrescente
Uma função f é crescente em A Df

18. (x1 x2 f(x1) f(x2), x1, x2 A).
Uma função f é decrescente em A Df

19. (x1 x2 f(x1) f(x2), x1, x2 A).
Função injetora, sobrejetora e bijetora
Uma f : A B é injetora se todos os elementos distintos em A têm imagens distintas em
B ( x1, x2 A, x1 x2 f(x1) f(x2)).
Uma f : A B é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens de elementos de A
(Im(f) = CD(f) ou y B, x A / f(x) = y)
Uma função de f : A B é bijetora se é injetora e sobrejetora.
Exemplos:
A B
A B
Função par e ímpar
A B
Uma função f : A B é par

20. x A, f(x) = f( – x).
Uma função f : A B é ímpar

21. xA, f(x) = – f( – x).
Função periódica
A B
Uma função f : A B é periódica de período p

22. x A, f(x + p) = f(x), p 0.
Função composta
Dadas duas funções f e g, podemos obter uma outra função fog, tal que
fog(x) = f(g(x)), chamada função composta de f com g.
13
1
2
3
4
5
f
f é sobrejetora
e não é injetora
3
4
6
1
2
3
f
f é bijetora
1
2
3
4
5
6
f
f não é injetora
e nem sobrejetora
1
3
5
4
3
2
1
f
f é injetora
e não é sobrejetora
1
2
5
1
2
3
3
4
6
4
5
6
f g
f é função g não é função
Domínio de f = D(f) = A = {1, 2, 5}
Conjunto Imagem de f = Im(f) = {3, 4}
Contradomínio = CD(f) = B = {3, 4, 6}
4 é imagem de 5, isto é, 4 = f(5)
4 é imagem de 2, isto é, 4 = f(2)