O documento discute progressões aritméticas e geométricas, definindo-as como sequências numéricas onde os termos seguem uma regra de formação precisa. Uma progressão aritmética tem cada termo subsequente igual ao anterior somado a uma razão fixa, enquanto uma progressão geométrica tem cada termo como o anterior multiplicado por uma razão fixa. O texto fornece fórmulas para calcular termos gerais e soma de termos dessas progressões.

1. Progressão Aritmética e Progressão Geométrica

2. Os meses do ano: (janeiro, fevereiro, ..., dezembro) As notas musicais: (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si) Os números naturais: (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...) As letras do alfabeto: (a,b,c,d,e,...,m,n,...,x,y,z) Os dias da semana: (domingo, segunda, ..., sábado) As quatro estações do ano: (primavera, verão, outono, inverno) Essas seqüências apresentadas acima estão na forma explicita . Pois segundo o atual grau de conhecimento da sociedade, podemos interpretar facilmente qual será o próximo termo a partir de qualquer termo da seqüência, se ela finita ou infinita. A natureza das sequências, nos demonstra a nescessidade de uma ordenação entre cada termo, ou seja, uma lei de formação que determine o antecessor e o sucessor de qualquer termo participante da sequência. Progressão Sequência

3. Progressão Aritmética É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com um número fixo, chamado RAZÃO da progressão. Exemplos: (2, 5, 8, 11, 14, …)  razão: ( 12, 7, 2, -3, -8, -13)  razão: 3 -5

4. Progressão Geométrica Progressão Geométrica ( P.G) é uma sequência de números não nulos em que cada termo posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado RAZÃO da progressão. Exemplo: P.G. ( 2, 4, 8, 16, 32, 64) a 1 =2 q = 2 ( razão ) a n = 64 n = 6

5. Classificação: Quanto ao número de termos: finitas infinitas Quanto a sucessão numérica: crescente decrescente constante q = 1 alternadas

6. Exemplos de cálculos: 1 – Escreva uma P.G. de cinco termos em que a 1 = 2 e q = 3. P.G. ( 2, 6, 18, 54, 162)

7. 2 – Se a sequência ( x, 3x + 2, 10x + 12) é uma P.G , pede-se: a) Calcule o valor de x. b) Escreva essa progressão: a 2 = a 3 3x + 2 = 10x + 12 a 1 a 2 x 3x + 2 b 2 = a. c

8. Exercícios: 1 – Determine a razão de cada uma das seguintes P.G: ( 3, 12, 48, …) b) ( 10, 5, …) c) ( 5, -15, …) d) ( 10, 50, …) e) ( 5, 5 ) 2 f) (  5, 5, …) g) ( 2, 2 5 , …) h) ( 10 -1 , 10, …) i) ( ab, ab 3 , …) q = 4 q = ½ q = -3 q = 5 q = ½ q =  5 q = 2 4 q = 10 2 q = b 2

9. 2 – A sequência 1, 3a – 4, 9a 2 – 8 é uma progressão geométrica. Calcule a. 3 – Determine o valor de x, de modo que os números x + 1, x + 4, x + 10 formem, nessa ordem, uma P.G. 4 – Dados os números 1, 3 e 4, nesta ordem, determine o número que se deve somar a cada um deles para que se tenha uma progressão geométrica.

10. Elementos Fórmula do Termo Geral da P.G. a n = a 1 . q n-1 P n - produto dos termos S n - soma dos termos n - número de termos q - razão a n - termo genérico, termo geral (ou n-ésimo termo) a 1 - 1 o termo

11. Fórmula do Termo Geral da P.G. a n = a 1 . q n-1 Exemplos: 1 – Determine o décimo termo da P.G. (2, 6,…) 2 – Numa P.G. de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. Calcule o primeiro termo desa P.G. 3 – Numa P. G. de 6 termos o primeiro termo é 2 e o último termo é 486. Calcule a razão dessa P.G. 4 – Numa PG. de razão 4, o primeiro termo é 8 e o último é 2 31 . Quantos termos tem essa P.G.?

12. Interpolação Interpolar três meios geométricos entre 3 e 48. ( 3, ___, ___, ___, 48) n =5 a 1 = 3 a n = 48

13. Soma dos termos de uma PG finita e infinita S n = a 1 . (q n -1) q - 1 S n = a 1 1 - q Exemplos: Dada a progressão geométrica ( 1, 3, 9 27,…), calcule: A soma dos 6 primeiros termos b) O valor de n para que a soma dos n primeiros termos seja 29.524.