Progressões Aritmética e Geométrica PA e PG

PROGRESSÕES
ARITMÉTICAS E
GEOMÉTRICAS
Prof. Carlos Henrique

Quem levou vantagem?
◦ Denise e Pedro são colegas. No ano passado,
cada um recebia 200,00 reais de mesada.
Este ano, eles fizeram aos pais propostas
diferentes. A mesada começaria pequena e
aumentava mês a mês.

◦ Denise queria receber 10,00 reais em janeiro
e, a cada um dos meses seguintes, 30,00
reais a mais que no mês anterior.
◦ Já a proposta de Pedro era receber só 1 real
em janeiro e, em cada um dos meses
seguintes, o dobro do mês anterior.

◦ Os pais acharam as propostas interessantes e
toparam. No acumulado do ano, Denise e
Pedro levaram vantagem?
◦ A resposta a essa pergunta você vai
encontrar no estudo das progressões.

Sucessão ou sequência
◦ O quadro a seguir mostra, ordenadamente, a lista dos
seis primeiros classificados no campeonato brasileiro
de futebol, edição 2007.
Classificação Time
1 Primeiro lugar São Paulo (SP)
2 Segundo lugar Cruzeiro(CZ)
3 Terceiro lugar Grêmio (GE)
4 Quarto lugar Palmeiras (PA)
5 Quinto lugar Fluminense (FL)
6 Sexto lugar Santos (SN)
(SP, CZ, GE, PA, FL, SN)
(CZ, FL, GE, PA, SN, SP)

◦ Veja os elementos da sucessão ou sequência.
(SP, CZ, GE, PA, FL, SN)
 Cada time é um termo da sequência;
 O critério ordem de classificação identifica qual é o
primeiro termo, o segundo, o terceiro, ..., o sexto;
 Na representação de uma sucessão, os termos
aparecem entre parênteses, ordenados e separados
por vírgulas.

◦ Veja agora, o quadro a seguir. Ele mostra o número de
alunos do 1º. Ano que perderam média em
Matemática, em cada um dos três trimestres de 2019.
1 2 3
Trimestre 1.ª 2.ª 3.ª
No. de alunos 18 15 11
Os números da última linha formam a sequência ou
sucessão (18, 15, 11)
 O critério ordem cronológica identifica qual é o
primeiro, o segundo e o terceiro termo;

Definição
◦ Sucessão ou sequência é toda lista de termos
em que se distinguem, a partir de um
determinado critério bem definido, o
primeiro, o segundo, o terceiro, etc.
Numa sequência, duas coisas são importantes:
 Os termos que a compõem;
 A ordem em que eles aparecem, a partir de um
critério pré-estabelecido;

Sequências numéricas
◦ Vamos dar ênfase às sequências numéricas. São
aquelas cujos termos são números reais.
Uma sequência pode ser finita ou infinita.
 A sequência (18, 15, 11) é uma sequência numérica
finita. Ela tem último termo (o terceiro).
 A sequência (0, 2, 4, 6, 8, ...) dos números naturais
pares é uma sequência infinita. Não existe o maior
número natural par.

Sequências numéricas - representação
◦ De modo geral os termos consecutivos de uma
sequência numérica são indicados por uma letra
minúscula, acompanhada de um índice.
 a1 → primeiro termo
 a2 → segundo termo
 a3 → terceiro termo
 a4 → quarto termo
........................................
 an → enésimo termo ou termo geral
O índice indica a
posição do elemento na
sequência.

Sequências numéricas - representação
◦ De modo geral os termos consecutivos de uma
sequência numérica são indicados por uma letra
minúscula, acompanhada de um índice.
 (a1, a2, a3, a4, ..., an) representa uma sequência finita
 (a1, a2, a3, a4, ...an, ...) representa uma sequência
infinita

Exemplo
◦ Na sequência infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) dos
números naturais ímpares, temos:
a1 = 1
a3 = 5
a6 = 11

SEQUÊNCIA DEFINIDA
PELO SEU TERMO GERAL

Definição
◦ Uma sequência numérica é uma função de variável
natural n, não-nula, com imagem no conjunto dos
números reais. O domínio da variável n é
 O conjunto N*, se a sucessão é infinita;
 O conjunto {1, 2, 3, 4, 5, ..., n}, se a sucessão é finita,
com n termos.
Assim, f(1) = a1, f(2) = a2, f(3) = a3, ..., f(n) = an.

Exemplo
◦ Na secessão infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) dos
números naturais ímpares, temos:
n = 1 → f(1) = 1 ⇒ a1 = 1
n = 2 → f(2) = 3 ⇒ a2 = 3
n = 3 → f(3) = 5 ⇒ a3 = 5
n = 4 → f(4) = 7 ⇒ a4 = 7
n = 5 → f(5) = 9 ⇒ a5 = 9
..................................................
(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...)

Termo geral
◦ Certas sequências numéricas são definidas pelo seu
termo geral an. No caso, o enésimo termo é expressão
em função da variável natural n ≠ 0.

Exemplo
◦ O termo geral de uma sequência é an = n2 + 2n. Obter
os termos a2 e a7. Mostrar que 48 é um de seus termos
e identificar a posição.
Em an = n2 + 2n, vamos fazer n = 2 e n = 7.
n = 2 ⇒ a2 = 22 + 2.2 ⇒ a2 = 4 + 4 = 8
n = 7 ⇒ a2 = 72 + 2.7 ⇒ a2 = 49 + 14 = 63
Fazendo an = 48, n2 + 2n = 48
⇒ n2 + 2n – 48 = 0 ⇒ n’ = –8 (F) ⇒ n” = 6
⇒ 48 é o sexto termo. ⇒ a6 = 48.

SEQUÊNCIA DEFINIDA
POR UMA LEI DE
RECORRÊNCIA

Lei de recorrência
◦ Sequências numéricas costumam ser definidas, às
vezes, por uma lei de recorrência. No caso, são dados.
 Um dos termos (em geral, o primeiro);
 Uma lei que permita obter cada um dos demais termos,
recorrendo-se a termos anteriormente calculados.

Exemplos
◦ Obter os cinco primeiros termos da sucessão numérica
infinita, definida pela lei de recorrência.
a1 = 3
an+1 = 2an + 1, para n ≥ 1
(3, 7, 15, 31, 63)
n = 1 ⇒ a2 = 2.a1 + 1 ⇒ a2 = 2.3 + 1 ⇒ a2 = 7
n = 2 ⇒ a3 = 2.a2 + 1 ⇒ a3 = 2.7 + 1 ⇒ a3 = 15
n = 3 ⇒ a4 = 2.a3 + 1 ⇒ a4 = 2.15 + 1 ⇒ a4 = 31
n = 4 ⇒ a5 = 2.a4 + 1 ⇒ a5 = 2.31 + 1 ⇒ a5 = 63

Exemplos
◦ Descubra uma lógica de formação em cada sequência,
e ache seus dois próximos termos.
a) (2, 7, 12, 17, ...)
b) (1, 8, 27, 64, ...)
c) (1, 2, –1, 6, 1, 18, –1, 54, ...)
d) (3, 6, 12, 24, ...)
e) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)
f) (0, 3, 8, 15, 24, ...)
22 e 27.
125 e 216.
1 e 162.
48 e 96.
21 e 34.
35 e 48.

Exemplos
◦ Descubra uma lógica de formação em cada sequência,
e ache seus dois próximos termos.
g) 1
4
2
9
3
16
4
25
, , , , ...
h) 1
3
4
7
11
18
29
47
, , , , ...
5
36
6
49
,
76
123
199
322
,

Progressão aritmética
◦ Rodrigo resolveu colecionar moedas. Começou apenas
com 15. Mas ele está animado. A cada dia pretende
acrescentar mais 4 moedas à sua coleção.
15 19 23 27 31 35 ...
+4 +4 +4 +4 +4 +4
(15, 19, 23, 27, 31, 35, ...)
A constante 4 é a
razão da
seqüência.

Definição
◦ Progressão aritmética (PA) é toda sucessão numérica
em que cada termo (a partir do segundo) é a soma do
antecessor com uma constante r, chamada razão da
P.A.
 Para n > 1, uma P.A. obedece à lei de recorrência
an = an - 1 + r ⇒ an – an - 1 = r
 Portanto, a razão r é a diferença entre um termo
qualquer e o anterior.
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ...

Exemplos
◦ (2, 5, 8, 11, 14) É uma P.A. finita. Ela é crescente,
porque cada termo é maior que o anterior. Sua razão
é:
r = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3
Em geral, se r > 0 a P.A. é crescente.

Exemplos
◦ (6; 5,5; 5; 4,5; 4; 3,5; ...) É uma P.A. infinita. Ela é
decrescente, porque cada termo é menor que o
anterior. Sua razão é:
r = 5,5 – 6 = –0,5
= 5 – 5,5 = 4,5 – 5 = 4 – 4,5
Em geral, se r < 0 a P.A. é decrescente.

Exemplos
◦ (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ...) É uma P.A. constante, porque
tem todos os termos iguais. Sua razão é:
r = 3 – 3 = 0
Em geral, se r = 0 a P.A. é constante.

Exemplos
◦ Se (2, m + 1, 3m – 4) é uma P.A., obter o valor de m e
a razão da P.A.
Na sucessão, a1 = 2, a2 = m + 1 e a3 = 3m – 4
Se ela é uma P.A., deve ser: a2 – a1 = a3 – a2
⇒ m + 1 – 2 = 3m – 4 – (m + 1)
⇒ m – 1 = 3m – 4 – m – 1 ⇒ m – 1 = 2m – 5
⇒ m – 1 = 2m – 5 ⇒ – m = – 4 ⇒ m = 4
Para m = 4, a P.A. é (2, 5, 8), de razão 3.

Observação
◦ Da definição de P.A. decorre que, de três termos
consecutivos o termo do meio é a media aritmética
dos outros dois.
Considerando os termos consecutivos a1, a2 e a3,
a2 – a1 = a3 – a2 ⇒ 2a2 = a1 + a3
a2 =
a1 + a3
2

TERMO GERAL
DE UMA P.A.
Prof. Jorge

Termo geral da P.A.
◦ Numa progressão aritmética o primeiro termo e a
razão são fundamentais. Conhecendo-os fica fácil
escrever toda a progressão.
◦ Vamos analisar um processo geral para se obter um
termo qualquer de uma progressão aritmética, a partir
do primeiro termo e da razão.

Termo geral da P.A.
◦ Observe a seqüência de termos abaixo.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 ...
+r +r +r +r +r +r
Note que “saltar” de um termo para o seguinte signifi-ca
somar a razão.
 De a1 até a2 temos 1 salto ⇒ a2 = a1 + r
 De a1 até a3 temos 2 saltos ⇒ a3 = a1 + 2r
 De a1 até a4 temos 3 saltos ⇒ a4 = a1 + 3r
E assim por diante.

Termo geral da P.A.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 ...
+r +r +r +r +r +r
De maneira geral, de a1 até um termo genérico an, são
(n – 1) saltos.
an = a1 + (n – 1)r
an é o enésimo termo
n é a posição do termo

Observação
◦ O raciocínio utilizado funciona, mesmo que não se
tome como ponto de partida o primeiro termo. Veja o
esquema a seguir.
–r –r –r –r –r –r
a8 a9 a10 a11 a12 a13 ...
+r +r +r +r +r +r
 Saltar para o termo seguinte é somar a razão; saltar
para o termo anterior é subtrair a razão.

Exemplos
–r –r –r –r –r –r
a8 a9 a10 a11 a12 a13 ...
+r +r +r +r +r +r
 De a1 para a15 são 15 – 1 = 14 saltos
a15 = a1 + 14r ou a1 = a15 – 14r
a12 = a8 + 4r ou a8 = a12 – 4r

Exemplos
–r –r –r –r –r –r
a8 a9 a10 a11 a12 a13 ...
+r +r +r +r +r +r
a13 = a10 + 3r ou a10 = a13 – 3r
a37 = a23 + 14r ou a23 = a37 – 14r

Exemplos
◦ Na P.A. (–2, 1, 4, ...) calcular o décimo quinto termo e
o termo geral an.
Na sucessão, a1 = –2 e r = 4 – 1 = 3
a15 = a1 + 14r = –2 + 14.3 = –2 + 42 ⇒ a15 = 40
an = a1 + (n – 1)r = –2 + (n – 1) . 3
⇒ an = –2 + 3n – 3 ⇒ an = –5 + 3n

Exemplos
◦ A sucessão infinita de termo geral an = 7 – 5n é uma
P.A. Achar o terceiro e o décimo termos e, a partir
deles, a razão da P.A.
Em an = 7 – 5n, vamos fazer n = 3 e n = 10.
a3 = 7 – 5.3 = 7 – 15 ⇒ a3 = –8
a10 = 7 – 5.10 = 7 – 50 ⇒ a10 = –43
a10 = a3 + 7.r ⇒ –43 = –8 + 7r ⇒ –7r = –8 + 43
⇒ –7r = + 35 ⇒ r = –5

Exemplos
◦ Quanto são os números naturais múltiplos de 3, e que
têm dois algarismos?
O menor múltiplo de 3 com 2 algarismos é 12 e o maior é 99.
Temos uma P.A. finita (12, 15, 18, ..., 96, 99)
Na sucessão, a1 = 12, r = 3 e an = 99.
an = a1 + (n – 1)r ⇒ 99 = 12 + (n – 1) . 3
⇒ 99 = 12 + 3n – 3 ⇒ 99 = 9 + 3n
⇒ 90 = 3n ⇒ n = 30

Soma dos termos na P.A.
◦ O alemão Carl Friedrich Gauss deu grandes
contribuições ao desenvolvimento das idéias
matemáticas.
◦ Desde pequeno, ele mostrava sua genialidade. Um
fato curioso ocorreu quando ele tinha em torno de dez
anos de idade.
◦ Certo dia, numa aula de matemática, o professor pediu
que seus alunos obtivessem a soma dos números
inteiros de 1 a 100. Entre os alunos, estava Gauss.

◦ S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100?
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100
101
101
101
101
S = 101 . 50 = 5 050
 Observe que as parcelas da soma de Gauss formam uma
P.A. (Nela a1 = 1, a100 = 100 e r = 1).

◦ Você verá que a propriedade que Gauss descobriu é
válido para qualquer P.A. Numa P.A. finita com n
termos,
a1 + an = a2 + an–1 = a3 + an–2 = a4 + an–3 = ...
(a1 a2 a3 a4 ... an-3 an-2 an-1 an)
Sn = (a1 + an). n
2
n termos
Sn =
a1 + an
2
.n

Exemplos
◦ Obter a soma dos 30 primeiros números ímpares, sem
adicioná-los um a um.
Devemos obter a soma dos 30 primeiros termos da P.A.
(1, 3, 5, 7, 9, ...)
a30 = a1 + 29r ⇒ a30 = 1 + 29.2 ⇒ a30 = 59
S30 =
a1 + a30
2
.n =
1 + 59
2
. 30 ⇒ S30 = 900

Exemplos
◦ Calcular a soma 2 + 5 + 8 + ... + 62, sabendo-se que
as parcelas formam uma P.A.
Primeiro vamos encontrar o número de termos da P.A.
an = a1 + (n – 1).r ⇒ 62 = 2 + (n – 1).3
S21 =
a1 + a21
2
.n =
2 + 62
2
. 21 ⇒ S21 = 672
⇒ 62 = 2 + 3n – 3 ⇒ 63 = 3n ⇒ n = 21

Exemplos
◦ Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira
fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante.
Sempre ele planta uma roseira a mais na fila seguinte.
Ele plantou um total de 150 roseiras. Determinar o
total de filas e o número de roseiras na última fila.
A quantidade de roseiras em cada fila formam a P.A. (3, 4, 5,
..., x).
an = a1 + (n – 1).r ⇒ x = 3 + (n – 1).1
⇒ x = 3 + n – 1 ⇒ x = n + 2

Exemplos
◦ Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira
fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante.
Sempre ele planta uma roseira a mais na fila seguinte.
Ele plantou um total de 150 roseiras. Determinar o
total de filas e o número de roseiras na última fila.
A quantidade de roseiras em cada fila formam a P.A. (3, 4, 5,
..., x).
Sn =
a1 + an
2
.n ⇒
3 + x
2
. n = 150
⇒
3 + n + 2
2
. n = 150 ⇒ n = 15 e x = 17

Progressão aritmética
◦ Um laboratorista pesquisou uma cultura de bactérias,
em uma lâmina. Ele percebeu que, a princípio, havia
apenas 5 bactérias. A cada hora, no entanto, a
quantidade delas dobrava.
05 10 20 40 80 160 ...
.2 .2 .2 .2 .2 .2
(5, 10, 20, 40, 80, 160, ...)
A constante 2 é a
razão da
seqüência.

Definição
◦ Progressão geométrica (PG) é toda sucessão numérica
de termos não-nulos em que cada termo (a partir do
segundo) é produto do seu antecessor com uma
constante q, chamada razão da P.G.
 Para n > 1, uma P.G. obedece à lei de recorrência
an = an - 1 . q ⇒ an/an - 1 = q
 Portanto, a razão q é o quociente entre um termo
qualquer e o anterior.
q = a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ...

Exemplos
◦ (2, 6, 18, 54, 162) É uma P.G. infinita e crescente,
porque cada termo é maior que o anterior. Sua razão
é:
q = 6/2 = 18/6 = 54/18 = 162/54 = 3
 Em geral, se a1 > 0 e q > 0 a P.G. é crescente.
 Em geral, se a1 < 0 e 0 < q < 1 a P.G. é crescente.

Exemplos
◦ (40, 20; 10, 5, ...) É uma P.G. infinita e decrescente,
porque cada termo é menor que o anterior. Sua razão
é:
q = 20/40 = 0,5
= 10/20 = 5/10
 Em geral, se a1 > 0 e 0 < q < 1 a P.G. é decrescente.
 Em geral, se a1 < 0 e q > 0 a P.G. é decrescente.

Exemplos
◦ (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ...) É uma P.G. infinita e constante,
porque tem todos os termos iguais. Sua razão é:
q = 3/3 = 1
Em geral, se q = 1 a P.G. é constante.

Exemplos
◦ (3, –6, 12, –24, 48) É uma P.G. finita e oscilante,
porque ela alterna termos positivos e negativos. Sua
razão é:
q = –6/3 =
Em geral, se q < 0 a P.G. é oscilante.
12/–6 = –24/12 = 48/–24 = –2

Exemplos
◦ Se (x, x + 3, 2x + 14) é uma P.G., obter o valor de x.
Na sucessão, a1 = x, a2 = x + 3 e a3 = 2x + 14
Se ela é uma P.G., deve ser: a2/a1 = a3/a2
x + 3
x
=
2x + 14
x + 3
⇒ (x + 3)2 = x(2x + 14)
⇒ x2 + 6x + 9 = 2x2 + 14x ⇒ x2 + 8x – 9 = 0
⇒ x’ = –9 ou x” = 1
(1, 4, 16)
q = 4
(–9, –6, –4)
q = 2/3

Observação
◦ Da definição de P.G. decorre que, de três termos
consecutivos o termo do meio é a media geométrica
dos outros dois.
Considerando os termos consecutivos a1, a2 e a3,
⇒ (a2)2 = a1 . a3
a2
a1
=
a3
a2

Termo geral da P.G.
◦ Numa progressão geométrica o primeiro termo e a
razão são fundamentais. Conhecendo-os fica fácil
escrever toda a progressão.
◦ Vamos analisar um processo geral para se obter um
termo qualquer de uma progressão geométrica, a
partir do primeiro termo e da razão.

Termo geral da P.G.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 ...
.q .q .q .q .q .q
Agora “saltar” de um termo para o seguinte significa
multiplicar pela razão.
 De a1 até a2 temos 1 salto ⇒ a2 = a1.q
 De a1 até a3 temos 2 saltos ⇒ a3 = a1.q2
 De a1 até a4 temos 3 saltos ⇒ a4 = a1.q3
E assim por diante.

Termo geral da P.G.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 ...
.q .q .q .q .q .q
De maneira geral, de a1 até um termo genérico an, são (n
– 1) saltos.
an = a1.qn–1
an é o enésimo termo
n é a posição do termo

Observação
◦ O raciocínio utilizado funciona, mesmo que não se
tome como ponto de partida o primeiro termo. Veja o
esquema a seguir.
:q :q :q :q :q :q
a8 a9 a10 a11 a12 a13 ...
.q .q .q .q .q .q
 Saltar para o termo seguinte é multiplicar pela razão;
 saltar para o termo anterior é dividir pela razão.

Exemplos
:q :q :q :q :q :q
a8 a9 a10 a11 a12 a13 ...
.q .q .q .q .q .q
a18 = a1.q17 ou a1 = a18:q17
a11 = a5.q6 ou a5 = a11:q6

Exemplos
:q :q :q :q :q :q
a8 a9 a10 a11 a12 a13 ...
.q .q .q .q .q .q
a16 = a13.q3 ou a13 = a16:q3
a37 = a11.q26 ou a11 = a37:q26

Exemplos
◦ Na P.G. (3, 6, 12, ...) achar o oitavo termo e o termo
geral an.
Na sucessão, a1 = 3 e q = 6/3 = 2
a8 = a1
.q7 = 3.27 = 3 . 128 ⇒ a8 = 384
an = a1.qn–1
⇒ an = 3.2n–1

Exemplos
◦ Obter a razão q e o termo a12 da P.G. crescente na
qual a6 = 12 e a10 = 48.
De a6 até a10 são 10 – 6 = 4 saltos.
⇒ a10 = a6.q4
⇒ 48 = 12.q4 ⇒ q4 = 4 ⇒ q = ± √2
para q = –√2, a P.G. seria oscilante, logo q = √2
⇒ a12 = a10.q2 = 48.(√2 )2 ⇒ a12 = 96

Exemplos
◦ Em janeiro um clube tinha 20 sócios. A partir de
fevereiro, cada sócio do clube inscreve, mensalmente,
3 novos sócios. Em que mês do ano haverá, 81 920
sócios?
Veja o que ocorre, por exemplo, até março.
320
240
80
3. Março
80
60
20
2. Fevereiro
20
–
20
1. Janeiro
Total
novos
antigos
mês
a1
a2
a3

Exemplos
◦ Em janeiro um clube tinha 20 sócios. A partir de
fevereiro, cada sócio do clube inscreve, mensalmente,
3 novos sócios. Em que mês do ano haverá, 81 920
sócios?
Os totais de sócios mês a mês formam a P.G.
(20, 80, 240, ...), de razão q = 4.
an = a1.qn–1 ⇒ 81 920 = 20.4n–1
⇒ 4n–1 = 4 096 ⇒ 4n–1 = 46 ⇒ n – 1 = 6 ⇒ n = 7
O clube terá 81 920 sócios em julho (mês 7).

Exemplos
◦ Numa P.G. oscilante, a4 + a6 = 40 e a2 + a4 = 10.
Calcular o primeiro termo e a razão.
Vamos escrever cada termo em função do primeiro termo a1 e
da razão q.
a4 + a6 = a1.q3 + a1.q5 = 40 ⇒ a1.q3(1 + q2) = 40
a2 + a4 = a1.q + a1.q3 = 10 ⇒ a1.q(1 + q2) = 10
a1.q(1 + q2) = 10
a1.q3(1 + q2) = 40
⇒ q2 = 4 ⇒ q = ±2
P.G. oscilante q = –2, então a1 = –1.

Soma finita dos termos de uma P.G.
◦ Podemos obter, também, a soma dos n termos de uma
P.G. finita, de forma bem simples. Não precisamos
para isso, conhecer os valores de todos os seus
termos a serem somados.

Soma finita na P.G. constante (q = 1)
◦ Os termos de uma P.G. constante (q = 1) são todos
iguais. Por isso, é extremamente simples calcular a
soma dos n primeiros termos.
Prof. Jorge
 Na P.G. infinita e constante (3, 3, 3, 3, ...), a soma dos
8 primeiros termos é
S8 = 8.3 = 24
 A soma dos 20 primeiros termos é
S20 = 20.3 = 60

Soma finita na P.G. não-constante (q ≠
1)
◦ Vamos obter, de um jeito diferente, a soma das
potências de 2, com expoentes naturais de um até
dez: 21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210.
A expressão (21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210) representa a soma
dos dez termos de uma P.G., onde a1 = 2 e q = 2.
S = 21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210 (A)
2.S = 2.21 + 2.22 + 2.23 + ... + 2.29 + 2.210
(B)
2.S = 22 + 23 + 24 + ... + 210 + 211

1)
◦ Vamos obter, de um jeito diferente, a soma das
potências de 2, com expoentes naturais de um até
dez: 21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210.
Vamos subtrair, membro a membro (B) – (A).
2.S – S = 211 – 21 ⇒ S = 211 – 21
⇒ S = 2048 – 2 = 2046

1)
◦ De maneira Geral. A soma dos n primeiros termos de
uma P. G., não-constante (q ≠ 1) é dado por
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–1 + an
q.Sn = a1.q + a2.q+ a3.q+ ... + an–1.q + an.q
(1)
q.Sn = a2 + a3 + a4 + ... + an + an + 1 (2)
q.Sn – Sn = an+1 – a1 ⇒ Sn.(q – 1) = a1.qn – a1
Sn =
q – 1
a1.(qn – 1)
(q ≠ 1)

Exemplos
◦ Calcular a soma dos oito primeiros termos da P.G. (2,
6, 18, ...), sem adicioná-los um a um.
Na P.G., temos a1 = 2 e q = 3. queremos S8.
S8 =
q – 1
a1.(q8 – 1)
=
3 – 1
2.(38 – 1)
= 38 – 1 = 6 560

Exemplos
◦ Em janeiro, uma empresa fabricou 20 000 unidades de
um certo produto. Nos meses seguintes, a produção
cresceu 10% ao mês. Qual será a produção acumulada
de janeiro a abril?
A produção a cada mês é multiplicada por 1,1 (110%), logo
forma uma P.G. de razão q = 1,1 e a1 = 20 000.
S4 =
q – 1
a1.(q4 – 1)
=
1,1 – 1
20 000.(1,14 – 1)
=
0,1
20 000.(1,4641 – 1)
= 92 820

SOMAS CONVERGENTES
NUMA P.G. INFINITA

Somas convergentes na P.G. infinita
◦ Bruna pegou uma fita de papel, cujo comprimento era
16 m, e resolveu fazer uma brincadeira.
Primeiro cortou-a ao meio, dividindo-a em dois pedaços de 8
m cada um e colocou-os lado a lado.
8 m 8 m
Depois cortou um dos pedaços ao meio novamente, obtendo 3
partes: 8m, 4 m e 4 m. Colocou-os lado a lado.
8 m 4 m 4 m

◦ Bruna pegou uma fita de papel, cujo comprimento era
16 m, e resolveu fazer uma brincadeira.
Em seguida, cortou um dos pedaços menores ao meio, mais
uma vez. Ficou, assim com 4 partes: uma de 8 m, uma de 4
m e duas de 2 m cada uma. Outra vez, elas foram postas lado
a lado.
8 m 4 m 2 m 2 m
Bruna achou a brincadeira interessante e continuou com ela por
muito tempo. Sempre um dos pedaços menores era dividido ao
meio.

◦ Continuando infinitamente esse processo, observa-
mos:
O total de pedaços obtidos é infinito;
O tamanho de cada pedaço é cada vez menor (a
metade do anterior).
A soma, em metros, das infinitas partes é a soma dos
termos de uma P.G. infinita:
8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ...
a1 = 8 e a q = 0,5. Quanto mais parcelas são somadas, cada
vez mais a soma se aproxima de 16.

◦ Uma P.G. é convergente, se a soma dos seus infinitos
termos tender para um determinado número.
◦ Nesse caso, essa soma é simbolizada por lim Sn.
8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ...
 Lim Sn = 16
 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ... = 16
A soma dos termos de uma P.G. infinita é
convergente ⇔ 0 < | q | < 1.

Exemplos
◦ A soma 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... É convergente a
razão da P.G. q = 0,1 e 0 < q < 1.
A soma 2 – 1 + 0,5 – 0,25 + 0,125 + ... É convergente a
razão da P.G. q = – 0,5 e 0 < | q | < 1.
A soma 1 + 3 + 9 + 27 + ... Não é convergente a razão da
P.G. q = 3, q > 1.

◦ De maneira Geral. O limite da soma dos termos de
uma P. G. infinita é dado por
Sn =
q – 1
a1.(qn – 1)
qn → 0
n → ∞
....
...
0,55 = 0,03125
5
0,54 = 0,0625
4
0,53 = 0,125
3
0,52 = 0,25
2
0,51 = 0,5
1
qn
n
⇒
Sn =
q – 1
a1.(0 – 1)
⇒
Lim Sn =
1 – q
a1

Exemplos
◦ Na soma infinita 18 – 12 + 8 – 16/3 + ..., as parcelas
estão em P.G. Mostrar que essa soma é convergente e
calcular seu valor.
Na P.G. a razão q = –2/3. 0 < | q | < 1. A soma é
convergente
Lim Sn =
1 – q
a1
=
1 + 2/3
18
=
5/3
18
= 18 .
5
3
= 10,8

Exemplos
◦ Utilizando a fórmula do limite da soma, achar a fração
geratriz da dízima periódica 2,533333...
A dízima é igual à seguinte soma infinita:
2,5 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 + ...
P.G. infinita: a1 = 0,03 e q = 0,1.
Lim Sn =
1 – q
a1
=
1 – 0,1
0,03
=
0,9
0,03
= 1/30
2,53333... = 2,5 + 1/30 = 38/15

Exemplos
◦ Colocam-se caixas cúbicas encostadas na parede de
um depósito, uma ao lado da outra, conforme figura. A
largura da maior é de 90 cm. A partir dela, cada caixa
tem a largura reduzida em 15%, relativamente à
anterior.
Qual deve ser a largura mínima da parede do depósito,
para que eu possa colocar lado a lado, quantas caixas
eu quiser?

Exemplos
◦ Colocam-se caixas cúbicas encostadas na parede de
um depósito, uma ao lado da outra, conforme figura. A
largura da maior é de 90 cm. A partir dela, cada caixa
tem a largura reduzida em 15%, relativamente à
anterior.
Qual deve ser a largura mínima da parede do depósito,
para que eu possa colocar lado a lado, quantas caixas
eu quiser?
As larguras das caixas formam a P.G. (90, 68, 57,8, ...)
convergente de a1 = 90 e q = 0,85.
Lim Sn =
1 – q
a1
=
1 – 0,85
90
=
0,15
90
= 600 cm

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