O documento resume as definições e propriedades de Progressões Aritméticas (P.A.) e Progressões Geométricas (P.G.). A P.A. é uma sequência onde cada termo é a soma do anterior e uma constante chamada razão. A P.G. é uma sequência onde cada termo é o produto do anterior por uma constante chamada razão. O documento explica como classificar, encontrar o termo geral e a soma dos termos dessas progressões.

1. MATEMÁTICA
P.A. E P.G.
1. SEQÜÊNCIA 2.2 Classificação
Dada a progressão aritmética (PA)
1.1 Definição
(a1, a2 ,L, an ,L) de razão r, essa seqüência pode ser
Define-se como seqüência a toda função f de
classificada em:
N em R que associa a um número n ∈ D(f ) um núme-
*
Crescente, quando sua razão r for positiva,
ro f (n) ∈ CD(f ) na forma f (n) = an . Em símbolos, temos: ou seja, r > 0 .
f : N* → R Decrescente, quando sua razão r for negati-
n → an va, ou seja, r < 0 .
Constante, quando sua razão r for nula, ou
a. Lei de formação seja, r = 0 .
É toda sentença matemática que expressa o va-
2.3 Termo Geral
lor de an em relação a n.
Na progressão aritmética (a1, a2 ,L, an ,L) po-
1.3 Representação usual
demos perceber que, ao escrevermos os termos da
Seqüência finita: (a1, a2 ,L, an ) .
seqüência, a razão é somada (n − 1) vezes até a che-
Seqüência infinita: (a1, a2 ,L, an ,L)
gada em an, usando tal fato podemos estabelecer que:
Exemplos: an = a1 + (n − 1).R , em que R representa a razão
E.1) Expresse os 4 primeiros termos da se- da Progressão Aritmética.
qüência an = n2 − 3n . 2.4 Propriedades
Resolução: Cada termo, a partir do segundo, representa
n = 1 ⇒ a1 = 12 − 3 ⋅ 1 = −2 a média aritmética entre o seu termo ante-
cessor e o seu termo sucessor, ou seja,
n = 2 ⇒ a2 = 22 − 3 ⋅ 2 = −2
an−1 + an+1
an = , ∀n ∈ N − {0,1 .
}
n = 3 ⇒ a3 = 32 − 3 ⋅ 3 = 0 2
n = 4 ⇒ a4 = 42 − 3 ⋅ 4 = 4 Em uma progressão aritmética, se desta-
Seqüência (− 2,−2,0,4,L) carmos os termos ak , am , an e ap , tais que
E.2) Expresse os 5 primeiros termos da se- k + m = n + p , então os elementos gozam da
a1 = 2 propriedade abaixo:
qüência (an ) = 
an+1 = an ⋅ 2, ∀n ∈ N * ak + am = an + ap (se k + m = n + p ) .
Resolução 2.5 Representações especiais
n = 1 ⇒ a2 = a1 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4 Progressão aritmética de 3 termos.
n = 2 ⇒ a3 = a 2 ⋅ 2 = 4 ⋅ 2 = 8 (x − R, x, x + R ) , PA de razão R.
n = 3 ⇒ a 4 = a3 ⋅ 2 = 8 ⋅ 2 = 16 Progressão aritmética de 4 termos.
n = 4 ⇒ a5 = a 4 ⋅ 2 = 16 ⋅ 2 = 32 (x − 3R, x − R, x + R, x + 3R ) , PA de razão 2R.
Seqüência: ( 2, 4,8,16,32,L) Progressão aritmética de 6 termos.
(x − 5R, x − 3r, x − R, x + R, x + 3R, x + 5R ) , PA de ra-
2. PROGRESSÃO ARITMÉTICA zão 2R.
2.6 Soma dos n primeiros termos da PA
2.1 Definição
Como foi visto nas propriedades, a soma dos
Define-se como progressão aritmética a toda
pares de termos a1 e an , a2 e an−1, a3 e an− 2 ,L é constan-
seqüência (an ) , tal que:
te. Logo, podemos estabelecer a relação abaixo.
a1 = a
(an ) = an = an−1 + R , ∀n ∈ N − {0,1}
 { Sn = a 1 + a 2 + a3 + … + a n-2+ an-1+ a n
 Razão:
+
 R = an − an −1
Sn = an + a n-1+ an-2+ … + a 3 + a 2 + a1
Podemos perceber, na forma acima, que a pro-
nas colunas as somas são iguais
gressão aritmética (PA) representa o conjunto de se-
qüência em que um termo é a soma do termo anterior
2Sn = ( a1 + an ) + ( a1 + an ) + L + ( a1 + an ) + ( a1 + an )
por uma constante, denominada razão (a partir do se- 144444444 2444444444 4 3
São n parcelas e devemos destacar que a escolha da parcela
gundo termo). para representação poderia ser outra, pois sao todas iguais
%
Editora Exato 18

2. ( a1 + an ) .n = ( a2 + an −1 ) .n = ...  x x 
Sn =  , , xq, xq3  ,
q3 q 
PG de razão q2.
2 2  
3. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) Progressão geométrica de 6 termos.
 x x x 
Define-se como progressão geométrica (PG) a  , , , xq, xq3 , xq5  ,
 q5 q3 q 
PG de razão q2.
toda seqüência (an ) , tal que:  
a1 = a ∈ R 8. SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DA

( an ) = an = an−1 ⋅ q , ∀n ∈ N − {0,1}
{ PG
 Razão:
a
q = n , an−1≠0
 an−1
Indicaremos por Sn a soma dos n primeiros
Podemos perceber, na forma acima, que a pro- termos da progressão geométrica (a1, a2 ,L, an ) , de ra-
gressão geométrica (PG) representa o conjunto de se- zão q.
qüências em que um termo é o produto do termo Sn = a1 + a2 + a3 + L + an−1 + an (I) ( xq ) ⇒
anterior por uma constante, denominada razão (a par-
q ⋅ Sn = a2 + a3 + a4 + L + an + an⋅q (II)
tir do segundo termo).
Equação I – II, temos:
4. CLASSIFICAÇÃO
Dada a progressão geométrica (PG) Sn − qSn = a1 − an⋅q , escrevendo an em relação ao
(a1, a 2 , ..., an ) de razão q, essa seqüência pode ser termo a1 e a razão.
classificada em: Sn(1− q) = a1(1− qn )
Crescente, quando a1>0 e q>1 ou a1<0 e a1(1− qn )
Se q ≠ 1 então Sn =
, .
0<q<1. 1− q
Decrescente, quando a1>0 e 0<q<1 ou a1<0 Para q =1, encontramos Sn = n ⋅ a1 , pois a PG é
e q>1.
constante e todos os elementos são iguais a a1.
Constante, quando
a1 = 0 e q ∈ R ou a1 ≠ 0 e q = 1 9. LIMITE DA SOMA
Alternante, quando a1 ≠ 0 e q < 0 .
Se uma PG infinita satisfaz a condição q < 1,
5. TERMO GERAL então a soma de seus elementos tenderá para um va-
a1
Na progressão geométrica (a1, a 2 , ..., an ) pode- lor limite dado por: S = .
1− q
mos perceber que, ao escrevermos os termos da se-
qüência, a razão é multiplicada (n − 1) vezes até a 10. PRODUTO DOS N PRIMEIROS TER-
chegada em an, usando tal fato podemos estabelecer MOS DE UMA PG
que: O produto dos n primeiros termos da
a n = a1.q n −1 , em que q representa a razão da Pro-
PG (a1, a 2 , ..., an ) é dado por:
gressão Geométrica. n(n −1)
6. PROPRIEDADES (Pn )2 = (a1 ⋅ an )n ou Pn = a1 ⋅ q
n 2
Cada termo, a partir do segundo, representa EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
a média geométrica entre seu termo ante-
cessor e seu termo sucessor, ou seja, 1 Na progressão aritmética (1,4,7,10,...) escreva o
an = an−1 ⋅ an+1, ∀n ∈ N − {0,1 .
2
} 10º e o 20º termo.
Em uma progressão geométrica, se desta- Resolução:
carmos os termos ak , am , an e ap , tais que I) a10 = a1 + (10 − 1) ⋅ R
a10 = 1+ 9 ⋅ 3
k + m = n + p , então os elementos gozam da
a10 = 28
propriedade abaixo:
ak ⋅ am = an ⋅ ap (se k + m = n + p) .
a20 = a1 + (20 − 1) ⋅ R
7. REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS II) a20 = 1+ 19 ⋅ 3
a20 = 58
Progressão geométrica de 3 termos.
x 
 , x, xq  ,
q  PG de razão q.
 
Progressão geométrica de 4 termos.
Editora Exato 19

3. 2 Na PA (2,5, x ) , determine x. a n = a1 + (b − 1) .r
Resolução a 21 = 5 + ( 21− 1) .r r = 11− 8 = 3
Usando a propriedade da média, temos: a 21 = 5 + 20.3 = 65
2+ x
5= ⇒ 2 + x = 10 ⇒ x = 8 .
2
  EXERCÍCIOS
Na seqüência finita  1, 7 ,13,19, 25, 31, 37  po-
 { { { { { { {

a a a a a a a
1 2 3 4 5 6 7  1 (PUC-SP) O número de múltiplos de 7 entre
demos perceber que: a1 + a5 = a3 + a3 = a2 + a4 = 26. ob- 1.000 e 10.000 é:
serve que, para a soma de índices iguais, podemos a) 1280
afirmar que a soma dos elementos correspondentes b) 1284
são iguais. c) 1282
d) 1286
e) 1288
3 Na progressão geométrica (1,2,4,8,16,...) escreva
o 10º e o 20º termo.
Resolução: 2 (MACK-SP) Calcular a razão de uma P.A> de
I) a = a ⋅ q
10 1
10 −1
12 termos, cujos extremos são–28 e 60.
a10 = 1⋅ 210 −1 a) 5
b) 6
a10 = 29
c) 7
d) 8
a20 = a1 ⋅ q20 −1 e) 9
II) a20 = 1⋅ 219
a20 = 219 3 (MACK-SP) Numa progressão aritmética de 100
termos, a3 = 10 e a98 = 90 , a soma de todos os
4 Na PG (2,4,x), determine x. termos é:
Resolução: a) 10.000
Usando a propriedade da média, temos: b) 9.000
c) 4.500
42 = 2 ⋅ x ⇒ x = 8 .
d) 5.000
E.2) Na seqüência finita e) 7.500
 
 2, 6 ,18, 54,162, 486,1458  podemos perceber que:
 { { { { { { 13 2
 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 
4 (UFPR) A soma de todos os números inteiros de
a1⋅a5 = a3 ⋅ a3 = a2 ⋅ a4 = 324 .
Observe que, para a soma 1 a 100, divisíveis por 3, é igual a:
de índices iguais, podemos afirmar que o produto dos a) 1382
elementos correspondentes são iguais. b) 1200
c) 1583
d) 1683
5 Determinar o sétimo termo da seqüência definida e) 1700
2n + 7
por an =
7
Resolução: 5 (BANDEIRANTES-SP) O valor do 22.° termo
an =
2n + 7
- an termo geral. de uma P.G. que tem a1 = q = 2 é:
7 a) 512 2
Definir o 7º termo (a 7 = ?) b) 1024
a7 =
2.7 + 7 14 + 7 21
= = =3 c) 1024 2
7 7 7 d) 2048
e) 2048 2
6 (ITAJUBÁ) Dada a progressão (5, 8, 11, ...), de-
termine 0 21.° termo:
Resolução:
a21=?
Fórmula do termo geral:
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4. 6 (UGF-RJ) Em uma P.G., o primeiro termo é 4 e 12 (UFSC) Sabendo que a seqüência
o quinto termo é 324. A razão dessa P. G. é: (1− 3x, x − 2, 2x + 1) é uma P. A. e que a seqüência
a) 3 (4y, 2y − 1 y + 1) é uma P.G., determine a soma dos
,
b) 4 números associados à(s) proposição(ões) verda-
c) 5 deiras(s):
d) 2 01) A P.A. é crescente.
e) ½ 1
02) O valor de y é .
8
7 Qual o primeiro termo da P. G. crescente em que 04) A soma dos termos da P. A. e zero.
a3 = 24 e a7 = 384? 3
08) − é a razão da P. G.
2
a) 2
16) O valor de x é 2.
b) 4
c) 5
d) 6
GABARITO
e) 7
1 D
8 (FGV-SP) A média aritmética dos seis meios ge- 2 D
ométricos que podem ser inseridos entre 4 e 512
é: 3 D
a) 48 4 D
b) 84
c) 128 5 D
d) 64 6 A
e) 96
7 D
8 B
9 (UFRJ) Numa P. G., a1 = 3 e a3 = 12 , a soma dos
oito primeiros termos positivos é: 9 A
a) 765 10 A
b) 500
c) 702 11 B
d) 740 12 31
e) Nenhuma.
10 (CESCEA-SP) A soma dos termos de uma P. G.
infinita 3. Sabendo-se que o primeiro termo é i-
gual a 2, então o quarto termo dessa P.G. é:
2
a)
27
1
b)
4
2
c)
3
1
d)
27
3
e)
8
11 (FEI-SP) Dada a progressão geométrica (1, 3, 9,
27, ...), se sua soma é 3280, então ela apresenta:
a) 9 termos.
b) 8 termos.
c) 7 termos.
d) 6 termos.
e) 5 termos.
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