O documento explica o que é uma progressão geométrica, definindo-a como uma sequência numérica onde cada termo subsequente é igual ao anterior multiplicado por uma constante. Ele fornece exemplos de progressões geométricas crescentes, decrescentes e alternadas, e discute como utilizar a fórmula an=a1*qn-1 para calcular a soma dos termos de uma progressão geométrica.

2. Observe a seguinte sequência
(4, 8, 16, 32,64)
Nesta sequência, observamos que:
8 = 4 . 2
16 = 8 . 2
32 = 16 . 2
64 = 32 . 2
Então tenho o numero fixo o 2, que
chamamos de razão.

3. Na sequencia, cada termo a partir
do segundo é igual multiplicado por
um número fixo.
Portanto chamamos de uma
progressão geométrica (P. G.)
toda sequencia numérica na qual
cada termo, a partir do segundo, é
igual ao anterior multiplicado por
uma constante.

4. A representação matemática de uma P. G.
é:
(a1, a2, a3, . . .,an - 1, an)
Logo:
an + 1 = an . q

5. CLASSIFICAÇÃO
• P. G. crescente, se cada termo é maior que o anterior.
Exemplo: (2, 6, 18, 54, . . .)
• P. G. decrescente, se cada termo é menor que o
anterior.
Exemplo: (256, 64, 16, . . .)
• P. G. alternante, se cada termo tem sinal contrario ao do
anterior.
Exemplo: (-4, 8, -16, 32, . . .)
• P. G. constante, se cada termo é igual ao anterior.
Exemplo: (5, 5, 5, 5, . . .)

6. Um problema
onde podemos
utilizar uma
progressão
geometrica

7. Ângela e suas amigas gostam de uma
fofoquinha. Assim que Ângela soube de um caso,
às 1h da tarde, ela o contou a três amigas. Cada
uma dessas amigas contou a fofoca a três outras
pessoas durante a segunda hora da tarde. E
assim a fofoca foi se espalhando até as 6h da
tarde.
a) Além de Ângela, quantas pessoas sabiam da
fofoca às 3 h da tarde?
b) E quantas sabiam da fofoca às 6 h da tarde?
c) Usando potências, represente o número de
pessoas que sabiam da fofoca às 2 h, 3 h, 4 h, 5 h
e 6 h da tarde.

8. • a1 = a1 . q0
• a2 = a1 . q1
a3 = a1 . q2
a5 = a1 . q4
• . . .
a10 = a1 . q9
• . . .
a50 = a1.q49
• . . .
a100 = a1.q99 portanto an = a1.qn - 1

9. an = a1.qn – 1
Onde
an = termo geral
a1 = primeiro termo
q = razão
n = números de termos

10. Problema
utilizando a
formula
de P.G.

11. Se você colocar
R$ 1000,00 no
banco e o rendimento
for de 10%
ao ano, quanto terá ao
final de 5 anos?

12. Tomemos, por exemplo, a P. G. (2, 6, 18, 54, 162). Vemos
que nela a1 = 2 e q = 3. Para calcular a soma de seus
termos, fazemos S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.
Multiplicando todos os termos dessa P. G. pela razão 3,
temos:
2 . 3 = 6
6 . 3 = 18
18 . 3 = 54
54 . 3 = 162
162 . 3 = 486

13. Se somarmos todos os produtos dessas multiplicações,
obteremos como resultado a soma da P. G. multiplicada
por 3. Veja: 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 3 .
S.
Observe:
3 .
S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486
S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162
Logo, 3 .
S – S = 486 – 2 = 484,
o que nos fornece S = 484 : 2 = 242.

14. Usando o mesmo raciocínio para deduzir uma formula
geral para a soma dos n termos de uma P. G. qualquer.
Em uma P. G. (a1, a2, a3, . . ., an , . . .), indicando por Sn a
soma dos n primeiros termos:
Sn = a1 + a2 + a3+ an - 1+ an ①
Multiplicando os membros de ① pela razão q, sendo q ≠
0, temos:
q .
Sn = a1 . q + a2 . q + a3 . q + ... + an – 1 . q + an . q
q .
Sn = a2 + a3 + a4 + ... + an + an . q ②
Fazendo ② - ①, vem:

15. q .
Sn – Sn = an . q - a1
Sn ( q – 1) = a1 ( qn - 1)
Ficando a soma Sn dos primeiros termos de uma P. G. de
razão q.
Sn = a1 ( qn - 1)
q – 1

16. Mais um exercício.
Calcule a soma dos 50 primeiros termos da
sequencia (3, 6, 12, ...).
Próxima atividade
Sala de informática

17. Acesse o site
http://m3.ime.unicamp.br/app/webroot/media/software/1236
/
Neste site será feita uma simulação da compra de uma
moto, para saber onde podemos usar Progressão
Geométrica.

18. Referencias
SMOLE, K. S.;DINIZ, M. I. Matemática: ensino médio 1. 8 ed. São Paulo:
Saraiva, 2013.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Matemática Multimídia. Como
comprar uma moto. Disponível em:
http://m3.ime.unicamp.br/app/webroot/media/software/1236/ acessado em
03/2015.