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Observe a seguinte sequência
(4, 8, 16, 32,64)
Nesta sequência, observamos que:
8 = 4 . 2
16 = 8 . 2
32 = 16 . 2
64 = 32 . 2
Então tenho o numero fixo o 2, que
chamamos de razão.
Na sequencia, cada termo a partir
do segundo é igual multiplicado por
um número fixo.
Portanto chamamos de uma
progressão geométrica (P. G.)
toda sequencia numérica na qual
cada termo, a partir do segundo, é
igual ao anterior multiplicado por
uma constante.
A representação matemática de uma P. G.
é:
(a1, a2, a3, . . .,an - 1, an)
Logo:
an + 1 = an . q
CLASSIFICAÇÃO
• P. G. crescente, se cada termo é maior que o anterior.
Exemplo: (2, 6, 18, 54, . . .)
• P. G. decrescente, se cada termo é menor que o
anterior.
Exemplo: (256, 64, 16, . . .)
• P. G. alternante, se cada termo tem sinal contrario ao do
anterior.
Exemplo: (-4, 8, -16, 32, . . .)
• P. G. constante, se cada termo é igual ao anterior.
Exemplo: (5, 5, 5, 5, . . .)
Um problema
onde podemos
utilizar uma
progressão
geometrica
Ângela e suas amigas gostam de uma
fofoquinha. Assim que Ângela soube de um caso,
às 1h da tarde, ela o contou a três amigas. Cada
uma dessas amigas contou a fofoca a três outras
pessoas durante a segunda hora da tarde. E
assim a fofoca foi se espalhando até as 6h da
tarde.
a) Além de Ângela, quantas pessoas sabiam da
fofoca às 3 h da tarde?
b) E quantas sabiam da fofoca às 6 h da tarde?
c) Usando potências, represente o número de
pessoas que sabiam da fofoca às 2 h, 3 h, 4 h, 5 h
e 6 h da tarde.
• a1 = a1 . q0
• a2 = a1 . q1
a3 = a1 . q2
a5 = a1 . q4
• . . .
a10 = a1 . q9
• . . .
a50 = a1.q49
• . . .
a100 = a1.q99 portanto an = a1.qn - 1
an = a1.qn – 1
Onde
an = termo geral
a1 = primeiro termo
q = razão
n = números de termos
Problema
utilizando a
formula
de P.G.
Se você colocar
R$ 1000,00 no
banco e o rendimento
for de 10%
ao ano, quanto terá ao
final de 5 anos?
Tomemos, por exemplo, a P. G. (2, 6, 18, 54, 162). Vemos
que nela a1 = 2 e q = 3. Para calcular a soma de seus
termos, fazemos S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.
Multiplicando todos os termos dessa P. G. pela razão 3,
temos:
2 . 3 = 6
6 . 3 = 18
18 . 3 = 54
54 . 3 = 162
162 . 3 = 486
Se somarmos todos os produtos dessas multiplicações,
obteremos como resultado a soma da P. G. multiplicada
por 3. Veja: 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 3 .
S.
Observe:
3 .
S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486
S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162
Logo, 3 .
S – S = 486 – 2 = 484,
o que nos fornece S = 484 : 2 = 242.
Usando o mesmo raciocínio para deduzir uma formula
geral para a soma dos n termos de uma P. G. qualquer.
Em uma P. G. (a1, a2, a3, . . ., an , . . .), indicando por Sn a
soma dos n primeiros termos:
Sn = a1 + a2 + a3+ an - 1+ an ①
Multiplicando os membros de ① pela razão q, sendo q ≠
0, temos:
q .
Sn = a1 . q + a2 . q + a3 . q + ... + an – 1 . q + an . q
q .
Sn = a2 + a3 + a4 + ... + an + an . q ②
Fazendo ② - ①, vem:
q .
Sn – Sn = an . q - a1
Sn ( q – 1) = a1 ( qn - 1)
Ficando a soma Sn dos primeiros termos de uma P. G. de
razão q.
Sn = a1 ( qn - 1)
q – 1
Mais um exercício.
Calcule a soma dos 50 primeiros termos da
sequencia (3, 6, 12, ...).
Próxima atividade
Sala de informática
Acesse o site
http://m3.ime.unicamp.br/app/webroot/media/software/1236
/
Neste site será feita uma simulação da compra de uma
moto, para saber onde podemos usar Progressão
Geométrica.
Referencias
SMOLE, K. S.;DINIZ, M. I. Matemática: ensino médio 1. 8 ed. São Paulo:
Saraiva, 2013.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Matemática Multimídia. Como
comprar uma moto. Disponível em:
http://m3.ime.unicamp.br/app/webroot/media/software/1236/ acessado em
03/2015.

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Progressão geometrica

  • 1.
  • 2. Observe a seguinte sequência (4, 8, 16, 32,64) Nesta sequência, observamos que: 8 = 4 . 2 16 = 8 . 2 32 = 16 . 2 64 = 32 . 2 Então tenho o numero fixo o 2, que chamamos de razão.
  • 3. Na sequencia, cada termo a partir do segundo é igual multiplicado por um número fixo. Portanto chamamos de uma progressão geométrica (P. G.) toda sequencia numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante.
  • 4. A representação matemática de uma P. G. é: (a1, a2, a3, . . .,an - 1, an) Logo: an + 1 = an . q
  • 5. CLASSIFICAÇÃO • P. G. crescente, se cada termo é maior que o anterior. Exemplo: (2, 6, 18, 54, . . .) • P. G. decrescente, se cada termo é menor que o anterior. Exemplo: (256, 64, 16, . . .) • P. G. alternante, se cada termo tem sinal contrario ao do anterior. Exemplo: (-4, 8, -16, 32, . . .) • P. G. constante, se cada termo é igual ao anterior. Exemplo: (5, 5, 5, 5, . . .)
  • 6. Um problema onde podemos utilizar uma progressão geometrica
  • 7. Ângela e suas amigas gostam de uma fofoquinha. Assim que Ângela soube de um caso, às 1h da tarde, ela o contou a três amigas. Cada uma dessas amigas contou a fofoca a três outras pessoas durante a segunda hora da tarde. E assim a fofoca foi se espalhando até as 6h da tarde. a) Além de Ângela, quantas pessoas sabiam da fofoca às 3 h da tarde? b) E quantas sabiam da fofoca às 6 h da tarde? c) Usando potências, represente o número de pessoas que sabiam da fofoca às 2 h, 3 h, 4 h, 5 h e 6 h da tarde.
  • 8. • a1 = a1 . q0 • a2 = a1 . q1 a3 = a1 . q2 a5 = a1 . q4 • . . . a10 = a1 . q9 • . . . a50 = a1.q49 • . . . a100 = a1.q99 portanto an = a1.qn - 1
  • 9. an = a1.qn – 1 Onde an = termo geral a1 = primeiro termo q = razão n = números de termos
  • 11. Se você colocar R$ 1000,00 no banco e o rendimento for de 10% ao ano, quanto terá ao final de 5 anos?
  • 12. Tomemos, por exemplo, a P. G. (2, 6, 18, 54, 162). Vemos que nela a1 = 2 e q = 3. Para calcular a soma de seus termos, fazemos S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242. Multiplicando todos os termos dessa P. G. pela razão 3, temos: 2 . 3 = 6 6 . 3 = 18 18 . 3 = 54 54 . 3 = 162 162 . 3 = 486
  • 13. Se somarmos todos os produtos dessas multiplicações, obteremos como resultado a soma da P. G. multiplicada por 3. Veja: 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 3 . S. Observe: 3 . S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486 S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 Logo, 3 . S – S = 486 – 2 = 484, o que nos fornece S = 484 : 2 = 242.
  • 14. Usando o mesmo raciocínio para deduzir uma formula geral para a soma dos n termos de uma P. G. qualquer. Em uma P. G. (a1, a2, a3, . . ., an , . . .), indicando por Sn a soma dos n primeiros termos: Sn = a1 + a2 + a3+ an - 1+ an ① Multiplicando os membros de ① pela razão q, sendo q ≠ 0, temos: q . Sn = a1 . q + a2 . q + a3 . q + ... + an – 1 . q + an . q q . Sn = a2 + a3 + a4 + ... + an + an . q ② Fazendo ② - ①, vem:
  • 15. q . Sn – Sn = an . q - a1 Sn ( q – 1) = a1 ( qn - 1) Ficando a soma Sn dos primeiros termos de uma P. G. de razão q. Sn = a1 ( qn - 1) q – 1
  • 16. Mais um exercício. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da sequencia (3, 6, 12, ...). Próxima atividade Sala de informática
  • 17. Acesse o site http://m3.ime.unicamp.br/app/webroot/media/software/1236 / Neste site será feita uma simulação da compra de uma moto, para saber onde podemos usar Progressão Geométrica.
  • 18. Referencias SMOLE, K. S.;DINIZ, M. I. Matemática: ensino médio 1. 8 ed. São Paulo: Saraiva, 2013. UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Matemática Multimídia. Como comprar uma moto. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/app/webroot/media/software/1236/ acessado em 03/2015.