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Manual de Matemática
236
IV
P
P
P
P
Por que apr
or que apr
or que apr
or que apr
or que aprender P
ender P
ender P
ender P
ender Pr
r
r
r
rogr
ogr
ogr
ogr
ogre
e
e
e
essõe
ssõe
ssõe
ssõe
ssões?
s?
s?
s?
s?
Onde usar os conheciment
Onde usar os conheciment
Onde usar os conheciment
Onde usar os conheciment
Onde usar os conhecimentos sobr
os sobr
os sobr
os sobr
os sobre
e
e
e
e
P
P
P
P
Pr
r
r
r
rogr
ogr
ogr
ogr
ogre
e
e
e
essõe
ssõe
ssõe
ssõe
ssões?
s?
s?
s?
s?
O estudo das Progressões é uma ferramenta que
nos ajuda a entender fenômenos e fatos do
cotidiano, desde situações simples, como tomar um
remédio, até situações mais complexas, como a
proliferação de bactérias.
..................................................
..................................................
– SEQÜÊNCIA OU SUCESSÃO
A necessidade de tomar um medicamento de 8 em
8 horas nada mais é do que uma Progressão
Aritmética.
As bactérias podem causar doenças, como também
podem ser úteis, ajudando as plantas a crescerem.
Seja qual for o caso, para um biólogo é muito
importante saber como cresce uma população de
bactérias, as quais bipartem-se a cada dia,
formando assim uma Progressão Geométrica.
Manual de Matemática
237
Capítulo 1
INTRODUÇÃO À SEQÜÊNCIA OU SUCESSÃO
Seqüência ou sucessão é um dos termos mais antigos da Matemática e
nos dá a idéia de termos sucessivos: um primeiro termo seguido de um
segundo, de um terceiro e assim sucessivamente, podendo ser finitas ou
infinitas.
Seqüências
Considere os conjuntos:
A = Conjunto dos dias da semana.
B = Conjunto dos números naturais pares maiores que 2 e menores que 20.
Esses conjuntos podem ser representados de forma ordenada.
A = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sex-
ta-feira, sábado}
B = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
A esse conjunto ordenado denominamos de seqüência ou sucessão.
Obs.:
Na seqüência, a ordem de cada elemento indica a posição que ele ocupa.
Classificação
As seqüências podem ser:
• Finitas: quando conhecemos o último termo.
Exemplo:
Conjunto das letras do nosso alfabeto
C = {a, b, c, d,......,z}
• Infinitas: quando não conhecemos o último termo.
Exemplo:
– Conjunto dos Números Naturais
– Conjunto dos Números Ímpares.
Manual de Matemática
238
Representação de uma Seqüência
A representação matemática de uma seqüência é:
(a1
, a2
, a3
, ... an – 1
, an
...)
a1
= primeiro termo
a2
= segundo termo
a3
= terceiro termo
⯗
an
= enésimo termo
Assim, na seqüência (2,7,10,11, ...), temos:
a1
= 2 a2
= 7 a3
= 10 a4
= 11
Obs.:
A formação dos elementos de uma seqüência pode ser determinada pela lei de formação.
Ela determina o termo geral da seqüência.
Exemplos:
a) A seqüência dos números ímpares pode ser determinada pela fórmula
an
= 2n – 1, em que n ‚⺞
Assim:
a1
= 2 · 1 – 1 ’ a1
= 1
a2
= 2 · 2 – 1 ’ a2
= 3
a3
= 2 · 3 – 1 ’ a3
= 5
a4
= 2 · 4 – 1 ’ a4
= 7
A seqüência pode ser representada por (1, 3, 5, 7, ...)
b) Escreva a seqüência de quatro termos definida por:
1
n n 1
a 3
a 4 a −
=


= − ⋅

, para n h 2
Solução:
A seqüência será (a1
, a2
, a3
, a4
).
Manual de Matemática
239
a1
= 3
a2
= – 4 · a2 – 1
’ a2
= – 4 · a1
’ a2
= – 4 · 3 ’ a2
= – 12
a3
= – 4 · a3 – 1
’ a3
= – 4 · a2
’ a3
= – 4 · (– 12) ’ a3
= 48
a4
= – 4 · a4 – 1
’ a4
= – 4 · a3
’ a4
= – 4 · 48 ’ a4
= – 192
Assim, a seqüência será (3, –12, 48, –192).
c) Qual é o 5º termo da seqüência dada por an
= –1 + 3n–1
com n ∈ ⺞*
Solução:
Para obtermos o 5º termo da seqüência, basta substituir n por 5.
Assim:
an
= –1 + 3n–1
a5
= –1 + 35–1
a5
= –1 + 34
a5
= –1 + 81
a5
= 80
Somatório
Sendo uma seqüência (a1
, a2
, a3
, ..., an
), definimos somatório como a
soma de seus termos e indicamos por: Sn
= a1
+ a2
+ a3
+ ... + an
ou
K
n
n 1
(a )
=
∑ (lê-se somatório de an
, com n variando de 1 até k).
Exemplos:
a)
4
n 1
2n
=
∑
S = 2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 + 2 · 4
S = 2 + 4 +6 + 8
S = 20
b)
5
2
n 1
(3n 1)
=
−
∑
S = 3 · (1)2
– 1 + 3 · 22
– 1 + 3 · 32
– 1 + 3 · 42
– 1 + 3 · 52
– 1
S = 2 + 11 + 26 + 47 + 74
S = 160
Manual de Matemática
240
Capítulo 2
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
No capítulo 1, definimos seqüência.
As seqüências são, freqüentemente, resultado da observação de um fato
ou fenômeno.
Observe no exemplo abaixo as temperaturas máximas de uma cidade do
Mato Grosso, nos seguintes dias:
Temos uma seqüência de dias e uma seqüência de temperaturas.
Observe que há um acréscimo diário das temperaturas. Assim, podemos
estabelecer a seguinte seqüência: 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35. Essa seqüência
é chamada progressão aritmética (P.A.), pois, a partir do segundo termo, foi
somada sempre uma mesma constante.
Progressão aritmética é uma seqüência de números reais em que, a partir
do segundo termo, é igual ao anterior mais uma constante. Definimos essa
constante como razão (r).
Exemplos de P.A.:
a) (4, 6, 8, 10, ...), cuja razão é r = 2
b) (–5, –6, –7, –8, ...), cuja razão é r = – 1
c) (9, 9, 9, 9, 9, ...), cuja razão é r = 0
d) sendo a1
= 2 e r = – 3, então:
a2
= a1
+ r ’ 2 + (– 3) = – 1
a3
= a2
+ r ’ – 1 + (– 3) = – 4
a4
= a3
+ r ’ – 4 + (– 3) = – 7
a5
= a4
+ r ’ – 7 + (– 3) = – 10
Então, a P.A. será (2, –1, –4, –7, –10)
Manual de Matemática
241
Resumindo
Um termo qualquer é igual ao seu anterior mais a razão a
a
a
a
an
n
n
n
n
= a
= a
= a
= a
= an – 1
n – 1
n – 1
n – 1
n – 1
+ r
+ r
+ r
+ r
+ r.
..
.
.
A razão é determinada pela diferença entre um termo qualquer (a partir do
segundo) e o seu anterior.
Exemplos:
1) Na P.A. (2, 5, 8, 11, ...), determine a razão.
r = 5 – 2 = 3 ou r = 8 – 5 = 3
2) Na P.A. (–1, –5, –9, ...), determine a razão.
r = – 5 – (– 1) = – 4 ou r = – 9 – ( –5) = – 4
3) Na P.A. 4 4 4 4
, , , , ...
5 5 5 5
 
 
 
, determine a razão.
4 4
r 0
5 5
= − = ou
4 4
r 0
5 5
= − =
Classificação
Se a P.A. tem r  0, dizemos que a P.A. é crescente.
Se a P.A. tem r  0, dizemos que a P.A. é decrescente.
Se a P.A. tem r = 0, dizemos que a P.A. é constante ou estacionária.
Fórmula do Termo Geral
Seja a P.A. (a1
, a2
, a3
,..., an
,...) em que a1
é o primeiro termo e r a razão.
Sabemos que:
a2
= a1
+ r
a3
= a2
+ r = (a1
+ r) + r = a1
+ 2r
a4
= a3
+ r = (a1
+ 2r) + r = a1
+ 3r
a5
= a4
+ r = (a1
+ 3r) + r = a1
+ 4r
⯗
an
= an – 1
+ r = a1
+ (n – 2) · r + r = a1
+ (n – 1) · r
Portanto, o termo geral de uma P.A. é dado pela fórmula:
an
= a1
+ (n – 1) · r
Manual de Matemática
242
Numa P.A.:
an
é um termo qualquer da P.A. (n indica a posição desse termo). Assim:
a1
é o primeiro termo
a2
é o segundo termo
⯗
a20
é o vigéssimo termo
⯗
an
é o enésimo termo.
Em toda P.A., qualquer termo é a média aritmética entre o seu anteceden-
te e o seu conseqüente.
− +
+
= n 1 n 1
n
a a
a
2
Exemplos:
1) Dada a P.A. (2, 6, 10, 14, 18, ...), usando o segundo termo (antecedente)
com o quarto termo (conseqüente) e dividindo o resultado por 2, temos:
2 4
3
a a
a
2
+
=
6 14
10
2
+
=
10=10
2) Determine o valor de x, sabendo que x – 2, x + 1, 5x formam, nessa
ordem, uma P.A.
Solução:
1 3
2
a a
a
2
+
=
x 2 5x
x 1
2
− +
+ =
2x + 2 = x – 2 + 5x
– 4x = – 4
x = 1
Manual de Matemática
243
3) Numa P.A., o primeiro e o último termo são, respectivamente, 12 e 448,
e a razão é igual a 2. Quantos termos tem essa P.A.?
Solução:
an
= 448
a1
= 12
r = 2
n = ?
448 = 12 + (n – 1) · 2
448 = 12 + 2n – 2
448 = 10 + 2n
– 2n = 10 – 448
– 2n = – 438
2n = 438
n = 219
4) Numa P.A., sabe-se que a4
= – 3 e a11
= – 38.
Determine a razão e a1
.
Solução:
a4
= – 3 ’ a1
+ 3r = – 3
a11
= – 38 ’ a1
+ 10r = – 38
Resolvendo o sistema:
+ = − −


+ = −

1
1
a 3r 3 ( 1)
a 10r 38
− 1
a − =
1
3r 3
a



+ = −

 10r 38
7r = – 35
r = – 5
Substituindo r = – 5 na equação:
a1
+ 3r = – 3
a1
+ 3 · (– 5) = – 3
a1
– 15 = – 3
a1
= 12
Manual de Matemática
244
5) Insira ou interpole 4 meios aritméticos entre – 8 e 17.
Solução:
a1
= – 8
an
= 17
n = 4 + 2 = 6
r = ?
– 8, ____, ____, ____, ____, 17
d d
a1
an
6 termos
an
= a1
+ (n – 1) · r
17 = – 8 + (6 – 1) · r
17 = – 8 + 5r
– 5r = – 8 – 17
– 5r = – 25
5r = 25
r = 5
Logo: (– 8, – 3, 2, 7, 12, 17)
Obs.:
No exemplo anterior aplicamos a interpolação aritmética, que nos permite calcular os
meios aritméticos dados dois extremos a1
e an
.
6) Três números estão em P.A., de modo que a soma entre eles é 6 e o
produto –24.
Calcule os três números.
Solução:
Para resolvermos este problema, é conveniente escrever a P.A. em função
do termo do meio, que indicaremos por x.
Na P.A. de três termos, indicamos por x – r , x, x + r.
x r x x r 6
(x r) x (x r) 24
− + + + =


− ⋅ ⋅ + = −

x r
− x x r
+ + + 6
=
3x = 6
x = 2
Manual de Matemática
245
(2 – r) · 2 · (2 + r) = –24
2 · (22
– r2
) = –24
2 · (4 – r2
) = –24
8 – 2r2
= –24
– 2r2
= – 32
2r2
= 32
r2
= 16
r = ± 4
Sendo: r = – 4 r = 4
1º termo = 2 – (– 4) = 6 1º termo = 2 – 4 = – 2
2º termo = 2 2º termo = 2
3º termo = 2 + (– 4) = – 2 3º termo = 2 + 4 = 6
Os números são –2, 2, 6.
Obs.:
1) Se o exercício tem 4 termos, indicaremos por (x – 3r, x – r, x + r, x + 3r)
2) Se tiver 5 termos, indicaremos por (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
Soma dos Termos de uma P
. A. Finita
A soma dos n termos de uma P.A. é dada por:
⋅
1 n
n
(a +a ) n
S =
2
Em uma P.A., a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à
soma dos extremos.
Exemplos:
1)Na P.A.(2, a2
, 8, 11, 14, a6
, a7
, 23), calcule:
a) a2
+ a7
a2
e a7
são termos eqüidistantes dos extremos,
então: a2
+ a7
= 2 + 23
a2
+ a7
= 25
b) a6
+ 8 = 2 + 23
a6
= 25 – 8
a6
= 17
Manual de Matemática
246
2) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.A. (–1, 0, 1, 2, ...).
Solução:
a1
= – 1 Calculemos inicialmente a10
:
r = 1 a10
= – 1 + (10 – 1) · 1
n = 10 a10
= 8
S10
=
( 1 8) 10
2
− + ⋅
S10
= 35
3) Calcule a soma dos números pares positivos até 201.
Solução:
Os números pares positivos até 201 formam a P.A. (2, 4, 6,......, 200)
Determinamos quantos números pares existem entre 2 e 200.
an
= a1
+ (n – 1) · r S100
= (2 200) 100
2
+ ⋅
200 = 2 + (n – 1) · 2
200 = 2 + 2n – 2 S100
= 10 · 100
2n = 200
n = 100
4) Determine uma P.A. de 20 termos que tenha soma 650 e o primeiro
termo seja 4.
Solução:
a1
= 4
n = 20
S20
= 650
Sn
=
1 n
(a a ) n
2
+ ⋅
650 = n
(4 a ) 20
+ ⋅
10
2
650 = 40 + 10an
10an
= 610
an
= 61
an
= a1
+ (n – 1) · r
61 = 4+ (20 – 1) · r
Manual de Matemática
247
61 = 4 + 19r
19r = 57
r = 3
Logo P.A. é (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52,
55, 58, 61)
5) Resolva a equação:
2 + 5 + 8 + ........+ x = 155, sabendo que os termos do 1º membro
estão em P.A.
Solução:
Seja a seqüência (2, 5, 8, ..., x), temos:
a1
= 2 r = 5 – 2 = 3 n = ? an
= x
an
= a1
+ (n – 1) · r
x = 2 + (n – 1) · 3
x = 2 + 3n – 3
x = 3n – 1
3n – 1 = x ⇒ 3n = x + 1
Sn
= 155
n =
x 1
3
+
Sn
= 1 n
(a a ) n
2
+ ⋅
155 =
x 1
(2 x)
3
2
+
 
+ ⋅ 
 
310 =
2
2x 2 x x
3
+ + +
x2
+ 3x + 2 = 930
x2
+ 3x – 928 = 0
∆ = 9 + 3712
 = 3721
x’ = 29
 =
3 61
2
− ±
x’’ = – 32
Como a P.A. é crescente, x = 29
→
→
→
→
Manual de Matemática
248
Capítulo 3
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Observe a seqüência:
(2, 4, 8, 16, ...)
Note que, dividindo um termo dessa seqüência pelo anterior, obtemos
sempre 2:
2
1
a 4
2
a 2
= = 3
2
a 8
2
a 4
= = 4
3
a 16
2
a 8
= =
A essa constante chamamos de razão, indicada pela letra q.
Progressão Geométrica é uma seqüência de números reais em que cada
termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constan-
te (chamada razão).
Exemplos:
1) Sendo a1
= – 2 e razão q = 3, então:
a2
= a1
· q = – 2 · 3 = – 6
a3
= a2
· q = – 6 · 3 = – 18
a4
= a3
· q = – 18 · 3 = – 54
a5
= a4
· q = – 54 · 3 = – 162
P.G. (– 6, – 18, – 54, – 162, ...)
2) Sendo a1
= 8 e q =
1
2
, então:
a2
= a1
· q = 8 ·
1
2
= 4
a3
= a2
· q = 4 ·
1
2
= 2
a4
= a3
· q = 2 ·
1
2
= 1
a5
= a4
· q = 1 ·
1
2
=
1
2
P.G.
1
4, 2,1, , ...
2
 
 
 
Manual de Matemática
249
Resumindo
an
= an – 1
· q
Um termo qualquer de uma progressão geométrica é igual ao anterior
multiplicado pela razão.
Podemos aplicar as progressões geométricas em várias situações, como,
por exemplo, no crescimento da população. Veja:
A população de uma cidade cresce a uma taxa de 8% ao ano. Se atual-
mente há dez mil habitantes, qual a população prevista daqui a 5 anos?
O fator de aumento gerado pela taxa anual é 100% + 8% = 108% = 1,08.
A população de um certo ano é igual à do ano anterior multiplicado por 1,08.
A razão da P.G. é o fator de aumento. O termo geral da P.G. é dado por
P = 10.000 . 1,08n-1
. Podemos escrever, então a P.G.
10.000, 10.800, 11.664, 12.597, 13.604.
Daqui a 5 anos a população será de 13.604.
Fórmula do Termo Geral
Podemos encontrar uma expressão que nos permita encontrar qualquer
termo da P.G.
Seja a P.G.(a1
, a2
, a3
, ..., an
, ...). Sabe-se que a1
é o primeiro termo e q a
razão. Então:
a2
= a1
· q
a3
= a2
· q ou a3
= a1
· q2
a4
= a3
· q ou a4
= a1
· q3
a5
= a4
· q ou a5
= a1
· q4
⯗ ⯗
Podemos então escrever an
= a1
· qn – 1
, que representa a fórmula do
termo geral da P.G.
Na qual:
a1
é o primeiro termo;
q é a razão;
an
um termo qualquer da P.G.;
n o número de termos da P.G.
Manual de Matemática
250
Exemplos:
1) Qual é o quinto termo da P.G.
1 1
, , ...
8 4
 
 
 
?
Solução:
a1
= 1
8
q =
1
4
1
8
= 1
4
· 8 = 2
n = 5
a5
= ?
an
= a1
· qn – 1
a5
= 1
8
· 25 – 1
a5
= 1
8
· 24
a5
= 1
8
· 16
a5
= 2
2) Qual o número de termos da P.G., onde a1
= 6, an
= 96 e q = 2?
Solução:
a1
= 6
an
= 96
q = 2
an
= a1
· q n – 1
96 = 6 · 2 n – 1
2 n – 1
=
96
6
2 n – 1
= 16
2 n – 1
= 24
n – 1 = 4
n = 5
Manual de Matemática
251
3) Sabendo que numa P.G., a5
= 32 e a8
= 256, calcule a1
e q.
Solução:
Temos que:
a5
= a1
· q4
’ a1
· q4
= 32
a8
= a1
· q7
’ a1
· q7
= 256
Resolvendo o sistema:
1
a 7
1
q
a
⋅
4
q
⋅
=
256
32 Substituindo q = 2 em:
q3
= 8 a1
· q4
= 32, vem:
q = 3
8 a1
· 24
= 32
q = 2 a1
= 32
16
a1
= 2
4) Interpole ou insira oito meios geométricos entre 1
243
e 81.
Solução:
1
243
, ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , 81.
a1
= 1
243
an
= 81
n = 8 + 2 = 10
q = ?
an
= a1
· qn – 1
81 =
1
243
· q10 – 1
81 =
1
243
· q9
q9
= 19.683
q = 3 Portanto:
1 1 1 1 1
, , , , ,1, 3, 9, 27, 81
243 81 27 9 3
 
 
 
Manual de Matemática
252
5) Numa P.G. de cinco termos, a soma dos dois primeiros é 15 e a soma
dos dois últimos é 120. Escreva a P.G.
Solução:
a1
+ a2
= 15 ’ a1
+ a1
· q = 15
a4
+ a5
= 120 ’ a1
· q3
+ a1
· q4
= 120
a1
· (1 + q) = 15 (I)
a1
· q3
(1 + q) = 120 (II)
Dividindo membro a membro a equação I por II:
1
a (1 q)
⋅ +
1
a 3
15
120
q (1 q)
=
⋅ +
3
1 1
q 8
=
q3
= 8
q = 2
Para q = 2, substituindo em I, vem:
a1
+ a1
· q = 15
a1
+ a1
· 2 = 15
3a2
= 15
a1
= 5
Portanto, a P.G. será (5, 10, 20, 40, 80).
Propriedade
Dados três termos positivos de uma P.G., dizemos que o termo central é a
média geométrica dos termos extremos.
Se (x, y, z) é P.G., então y x z.
= ⋅
Exemplo:
Determine x, tal que x, x + 9, x + 45 formem, nessa ordem, uma P.G.
Manual de Matemática
253
Solução:
Partindo de 2 3
1 2
a a
a a
= , temos:
a2
2
= a1
· a3
(x + 9)2
= x · (x + 45)
2
x + 18x + 81 = 2
x +45x
–27x = –81
27x = 81
x =
81
27
’ x = 3
Representações Especiais
Às vezes, para facilitar a resolução dos exercícios, é conveniente utilizar
as representações especiais.
Se a P.G. tem 3 termos:
x
, x, x q
q
 
⋅
 
 
Se a P.G. tem 4 termos:
3
3
x x
, , x q, x q
q q
 
⋅ ⋅
 
 
Se a P.G. tem 5 termos:
2
2
x x
, , x, x q, x q
q q
 
⋅ ⋅
 
 
Exemplo:
Determine três números em P.G. crescente, sabendo que sua soma é 13 e
seu produto é 27.
Solução:
A P.G. tem 3 termos, então podemos escrever:
x
x x q 13
q
x
x x q 27
q

+ + ⋅ =



 ⋅ ⋅ ⋅ =


x
q
x x q
⋅ ⋅ ⋅ 27
=
x3
= 27
x = 3
27
x = 3
Manual de Matemática
254
Substituindo x = 3 na equação:
x
q
+ x + x · q = 13
3
q
+ 3 + 3q = 13
2
3 3q 3q
q
+ + 13q
q
=
3q2
+ 3q – 13q + 3 = 0
3q2
– 10q + 3 = 0
∆ = ( –10)2
– 4 · 3 · 3
∆ = 64
q = 10 8
6
±
q = 10 8
6
+ = 3
q = 10 8
6
− = 1
3
Sendo a P.G. crescente, temos q = 3
Portanto: (1, 3, 9)
Soma dos Termos de uma P
.G. Finita
Considere a progressão geométrica (a1
, a2
, a3
, ..., an
) com razão q ≠ 1.
Podemos obter a fórmula dos termos de uma P.G. finita.
⋅ n
1
n
a (q -1)
S =
q -1
Obs.:
Se q = 1, a fórmula é dada por Sn
= n · a
Exemplos:
1) Calcule a soma dos 8 primeiros termos da P.G.
2 2
, , 2, ...
9 3
 
 
 
Manual de Matemática
255
Solução:
a1
= 2
9
q =
2
3
2
9
= 2
3
9
⋅
2
=3
Sn
=
8
2
(3 1)
9
3 1
⋅ −
−
Sn
=
2
(6561 1)
9
2
⋅ −
Sn
=
2
6560
9
2
⋅
Sn
=
13120 6560
18 9
=
2) Determine o número de termos de uma P.G. finita em que a1
= 2, q = 2
e Sn
= 4094.
Solução:
a1
= 2
q = 2
Sn
= 4.094
Sn
=
n
1
a (q 1)
q 1
⋅ −
−
4094 =
n
2 (2 1)
2 1
⋅ −
−
4094 = 2 · 2n
– 2
2 · 2n
= 4096
2n
=
4096
2
2n
= 2048
2n
= 211
n = 11
Manual de Matemática
256
3) Calcule a9
e a soma dos 9 primeiros termos da P.G. (20
, 21
, 22
, 23
, ...).
Solução:
a1
= 20
= 1
q =
2
1
= 2
n = 9
a9
= ?
an
= a1
· qn – 1
a9
= 1 · 29 – 1
S9
=
9
1 (2 1)
2 1
⋅ −
−
a9
= 28
a9
= 256 S9
= 511
Limite da Soma de uma P
.G. Infinita
Neste caso, como a P.G. é infinita e decrescente, calculamos o limite da
soma dos termos, isto é, o valor para o qual a soma tenderá.
Fórmula:
1
a
S=
1- q
Exemplos:
1) Calcule o limite da soma da P.G.
3
12, 6, 3, , ...
2
 
 
 
.
Solução:
a1
= 12
q =
6 1
12 2
=
S =
1
a
1 q
−
S =
12
1
1
2
−
S =
12
1
2
S = 24
Manual de Matemática
257
2) Resolva a equação
x x
x ... 12
3 9
+ + + =
Solução:
a1
= x
q =
x
x
3
x
=
1
3 x
⋅
1
3
=
S = 12
S = 1
a
1 q
−
12 =
x
1
1
3
−
12 =
x
2
3
x = 8
S = {8}
3) Determine o valor de
1 1
1 ...
10 100
+ + +
Solução:
a1
= 1 q =
1
10
S =
1
a
1 q
−
S =
1
1
1
10
−
S =
1
9
10
S =
10
9
Manual de Matemática
258
4) Calcule a fração geratriz das dízimas:
a) 0,5555...
Solução:
0,5555... = 5 5 5
10 100 1000
+ + ...
A dízima é uma soma de infinitos termos de uma P.G. decrescente, em que:
a1
=
5
10
e
q =
5
5
100
5
10
=
100
10
⋅
5
1
10
=
Substituindo na fórmula:
S =
1
a
1 q
−
S =
5
10
1
1
10
−
S =
5
5
10
9 10
10
=
10
⋅
5
9 9
=
b)1,3131....
Solução:
0,3131... = 31 31 31
100 10000 1000000
+ + ...
a1
=
31
100
q =
1
100
Manual de Matemática
259
S =
31
100
1
1
100
−
S =
31
31
100
99 100
100
=
100
⋅
31
99 99
=
S =
31
99
Nessa dízima devemos somar 1 e o algarismo que se repete:
31
99
.
31 99 31 130
1
99 99 99
+
+ = =
Produto dos Termos de uma P
.G. Limitada
Dada a P.G. (1, 4, 16, 64, 256, 1024), temos:
1024
1024
1024
a1
= 1, a6
= 1024 e a1
· a6
= 1024
a2
= 4, a5
= 256 e a2
· a5
= 1024
a3
= 16, a4
= 64 e a3
· a4
= 1024
Em toda P.G. limitada, o produto dos termos eqüidistantes do centro é
constante. Podemos escrever a fórmula:
⋅
2 n
n 1 n
P =(a a )




Pn




 = ⋅ n
1 n
(a a )
Manual de Matemática
260
Exemplo:
Calcule o produto dos seis primeiros termos da P.G. (–1, 3, –9, ...)
Solução:
a1
= – 1
q = – 3
an
= a1
· qn – 1
a6
= – 1 · (– 3)6 – 1
a6
= 243
Pn
 = n
1 n
(a a )
⋅
Pn
 = 6
( 1 243)
− ⋅
Pn
 = 5 6
( 3 )
−
Pn
 = – 315
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Na sucessão (1, 3, 7, 10, 12, 18, 25), determine os elementos a2
, a5
, a7
.
2) Na sucessão (–3, –1, 5, 8, 10), determine a2
– a4
+ a5
.
3) Escreva os cinco primeiros termos das seqüências:
a) an
= n – 3
b) an
= 2n – 2
4) Dada a sucessão de termo geral an
=
4n 1
n
−
,
a) calcule a soma dos quatro primeiros termos;
b) verifique se
71
18
é termo da sucessão, caso afirmativo, indique sua
posição.
5) Escreva as seqüências definidas por:
a) an
= n · (– 1)n
e n ‚µ
, n X 4
b) an
= 3n2
– 2n e n ‚µ
, n h 1
c) 1
n 1 n
a 2
a 3 a
+
=


= ⋅
 n ‚µ
d) 1
n
n n 1
a 2
a ( 1) a −
=



= − ⋅

 n  1
Manual de Matemática
261
6) Seja a seqüência (an
) definida por:
n
n 1
2
n
a 5n 1
a 2 ( 1)
+
= +



 = ⋅ −

para n natural par e
a) escreva a seqüência;
para n natural ímpar,
b) calcule
4
n
n 1
a
=
∑ .
7) Seja a seqüência an
=
2
n (n 1)
2n
−
, em que n é um natural qualquer,
a) escreva a seqüência; b) calcule
5
n
n 1
a 1
=
+
∑ .
8) Calcule:
a)
3
n 1
3n 2
=
+
∑ b)
4
n
n 0
10 ( 1)
=
−
∑ c)
5
n 1
2n
3
=
∑
9) (Cesgranrio-RJ) A soma
500
i 2 3 500
i 1
2 2 2 2 ... 2
=
= + + + +
∑ é igual a:
a) 2500
+ 1 d) 2 (2500
+ 1)
b) 2501
+ 1 e) 2 (2500
– 1)
c) 2501
– 1
10) (FATEC-SP) Se S =
4
2
n 1
11
n 1
3(n n 1)
n
=
=
+ +
∑
∑
, então:
a) S = 1 b) S = 2 c) S = 3 d) S = 4 e) S = 5
11) Das seqüências abaixo, identifique quais são P.A. e determine a razão.
a) (1, 3, 5, 7, 9,...) e) ( )
2, 2, 3 2, 5 2, ...
− − −
b) (8, 1, –3, –4,...) f)
4 1
, , 0, 4, 6, ...
3 2
 
− −
 
 
c) (3,1; 6,1; 9,1,...) g) (a, a – 3, a – 5, a – 7)
d) (0,1; 0,01; 0,001;...)
12) Sejam três termos consecutivos de uma P
. A. x – 2, x, 2x – 3. Calcule x.
Manual de Matemática
262
13) Sabendo que os números (x + 1)2
, 7x e 9x – 1, nesta ordem, são
termos de uma P.A. crescente, determine:
a) o valor de x;
b) o sexagésimo termo dessa P.A.
14) Determine o primeiro termo de uma P.A. de razão 3 e o vigésimo termo
é 30.
15) Determine a razão da P.A. sendo a1
= 1,8 e a22
= 27.
16) Um triângulo apresenta seus lados em P.A.
Calcule os lados sabendo que seu perímetro é 12 cm.
17) Determine uma P.A. de quatro termos sabendo que sua soma vale –2 e
o produto 40.
18) A soma de a2
+ a4
= 15 e a5
+ a6
= 25.
Calcule o 1º termo e a razão.
19) As idades de três irmãs estão em P.A.
Sabendo que a soma das idades é 42 e a diferença da idade da mais velha
e da mais nova é 12, calcule as idades.
20) Qual o centésimo número natural par?
21) Interpolar:
a) seis meios aritméticos entre 12 e 47.
b) doze meios aritméticos entre 45 e –20.
22) Determine o número de múltiplos de:
a) 7 que existem entre 20 e 200.
b) 3 compreendidos entre 20 e 400.
23) Determine a soma dos números pares positivos menores que 102.
24) Colocando-se 120 estudantes em filas, com 1 estudante na primeira
fila, 2 na segunda fila, 3 na terceira fila e assim sucessivamente, formando-se
um triângulo. Determine o número de filas.
Manual de Matemática
263
25) (FGV-SP) Um automóvel percorre no primeiro dia de viagem uma distância
x; no segundo dia percorre o dobro da que percorreu no primeiro dia; no terceiro
dia o triplo do 1º dia, e assim sucessivamente. Ao final de 20 dias, percorreu
uma distância de 6.300 km. A distância percorrida no primeiro dia foi de:
a) 15 km c) 20 km e) 35 km
b) 30 km d) 25 km
26) Calcule a soma dos múltiplos de 6 que estão entre 1 e 100.
27) (FATEC-SP) Em uma P.A. a soma do 3º com o 7º termo vale 30 e a
soma dos 12 primeiros termos vale 216. A razão dessa P.A. é:
a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,5
28) Calcule a soma dos números múltiplos positivos de 4 formados por
2 algarismos.
29) Quais das sucessões são P.G.?
a)
1 1 1 1
, , , , ...
2 6 12 36
 
 
 
d) (77
, 714
, 721
, ...)
b) (–3, 6, –12, 24, ...) e) (a3
b, ab2
, a2
b3
, ...)
c) ( )
3, 6, 2 3, ...
−
30) Obtenha a razão das seguintes P.G.s.:
a) ( )
2 2, 4 6, 24 2, ... c) (3, –6, 12, ...)
b) (–1, 1, –1, 1, ...)
31) Determine o quinto termo da P.G. (5, 10, 20, ...).
32) Determine o número de termos da P.G. (–1, –2, –4, ..., –512).
33) Determine quatro números em P.G., sendo a soma dos extremos 140 e
a soma dos meios 60.
Manual de Matemática
264
34) Qual o valor de x, se a seqüência (x – 1, 2x – 1, 4x + 1) é uma P.G.?
35) Numa P.G., a1
= –12 e q = 1, calcule a soma dos 20 primeiros
termos.
36) Quantos termos devemos ter na P.G. (2, –6, 18, –54, ...) a fim de
obtermos uma soma 9.842?
37) Calcule, em cada caso, o limite da soma dos termos das progressões
geométricas:
a) (0,5; 0,05; 0,005; ...) b)
1 1 1
1 ...
2 4 8
− + − + c)
1
y,1, , ...
y
 
 
 
38) Determine x nas equações:
a)
x x x
... 4
3 9 27
+ + + = c) x
x x
2 4
+ + + ... = 12
b) x +
2x 4x
3 9
+ + ... =
9
8
39) Ache a fração geratriz das seguintes dízimas:
a) 0,777... c) 1,666... e) 1,35555...
b) 0,464646... d) 0,453453...
40) Calcule o produto dos termos:
a) dez primeiros termos da P.G.
1 1
, ,1, ...
9 3
 
 
 
.
b) nove primeiros termos da P.G.
1 1 1
, , , ...
8 4 2
 
 
 
.
c) treze primeiros termos da P.G. (3–1
, 3–2
, 3–3
, ...).
41) (FGV–SP) Em um triângulo, a medida da base, a medida da altura e a
medida da área formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 8. Então, a medida
da base mede:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
Manual de Matemática
265
Respostas
1) a2
= 3 a5
= 12 a7
= 25
2) 1 3) a) (–2, –1, 0, 1, 2) b)
1
,1, 2, 4, 8
2
 
 
 
4) a)
167
12
b) 18º termo
5) a) (–1, 2, –3, 4) c) (2, 6, 18, 72, ...)
b) (1, 8, 21, ...) d) (2, –2, –2, 2, ...)
6) a) (–2, 11, 2, 21) b) 33
7) a)
3 15
0, , 4, ,12
2 2
 
 
 
b) 30
8) a) 24 b) 0 c) 10
9) e 10) b 11) a (R = 2), c (R = 3), e (R = 2 2
− ).
12) x = 5 13) a) x= 3 b) 311
14) a1
= – 27 15) r = 1, 2 16) 2, 4 e 6
17) (–5, –2, 1, 4) ou (4, 1, –2, –5)
18) a1
= 7
2
, r = 2 19) 8, 14 e 20 anos. 20) 198
21) a) (12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47)
b) (45, 40, 35, ..., –20)
22) a) 26 b) 127 23) Sn
= 2.550 24) 15 filas
25) b 26) 816 27) d 28) 1.188 29) b, c, d
Manual de Matemática
266
30) a) 2 3 b) –1 c) –2
31) 80 32) 10 33) (5, 15, 45, 135)
34) 2 35) –240 36) 9
37) a)
5
9
b)
2
3
c)
2
y
y 1
−
38) a) {8} b) 3
8
 
 
 
c) {6}
39) a)
7
9
b)
46
99
c)
5
3
d)
453
999
e)
61
45
40) a) 325
b) 512 c) 3–91
41) e

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  • 1. Manual de Matemática 236 IV P P P P Por que apr or que apr or que apr or que apr or que aprender P ender P ender P ender P ender Pr r r r rogr ogr ogr ogr ogre e e e essõe ssõe ssõe ssõe ssões? s? s? s? s? Onde usar os conheciment Onde usar os conheciment Onde usar os conheciment Onde usar os conheciment Onde usar os conhecimentos sobr os sobr os sobr os sobr os sobre e e e e P P P P Pr r r r rogr ogr ogr ogr ogre e e e essõe ssõe ssõe ssõe ssões? s? s? s? s? O estudo das Progressões é uma ferramenta que nos ajuda a entender fenômenos e fatos do cotidiano, desde situações simples, como tomar um remédio, até situações mais complexas, como a proliferação de bactérias. .................................................. .................................................. – SEQÜÊNCIA OU SUCESSÃO A necessidade de tomar um medicamento de 8 em 8 horas nada mais é do que uma Progressão Aritmética. As bactérias podem causar doenças, como também podem ser úteis, ajudando as plantas a crescerem. Seja qual for o caso, para um biólogo é muito importante saber como cresce uma população de bactérias, as quais bipartem-se a cada dia, formando assim uma Progressão Geométrica.
  • 2. Manual de Matemática 237 Capítulo 1 INTRODUÇÃO À SEQÜÊNCIA OU SUCESSÃO Seqüência ou sucessão é um dos termos mais antigos da Matemática e nos dá a idéia de termos sucessivos: um primeiro termo seguido de um segundo, de um terceiro e assim sucessivamente, podendo ser finitas ou infinitas. Seqüências Considere os conjuntos: A = Conjunto dos dias da semana. B = Conjunto dos números naturais pares maiores que 2 e menores que 20. Esses conjuntos podem ser representados de forma ordenada. A = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sex- ta-feira, sábado} B = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} A esse conjunto ordenado denominamos de seqüência ou sucessão. Obs.: Na seqüência, a ordem de cada elemento indica a posição que ele ocupa. Classificação As seqüências podem ser: • Finitas: quando conhecemos o último termo. Exemplo: Conjunto das letras do nosso alfabeto C = {a, b, c, d,......,z} • Infinitas: quando não conhecemos o último termo. Exemplo: – Conjunto dos Números Naturais – Conjunto dos Números Ímpares.
  • 3. Manual de Matemática 238 Representação de uma Seqüência A representação matemática de uma seqüência é: (a1 , a2 , a3 , ... an – 1 , an ...) a1 = primeiro termo a2 = segundo termo a3 = terceiro termo ⯗ an = enésimo termo Assim, na seqüência (2,7,10,11, ...), temos: a1 = 2 a2 = 7 a3 = 10 a4 = 11 Obs.: A formação dos elementos de uma seqüência pode ser determinada pela lei de formação. Ela determina o termo geral da seqüência. Exemplos: a) A seqüência dos números ímpares pode ser determinada pela fórmula an = 2n – 1, em que n ‚⺞ Assim: a1 = 2 · 1 – 1 ’ a1 = 1 a2 = 2 · 2 – 1 ’ a2 = 3 a3 = 2 · 3 – 1 ’ a3 = 5 a4 = 2 · 4 – 1 ’ a4 = 7 A seqüência pode ser representada por (1, 3, 5, 7, ...) b) Escreva a seqüência de quatro termos definida por: 1 n n 1 a 3 a 4 a − =   = − ⋅  , para n h 2 Solução: A seqüência será (a1 , a2 , a3 , a4 ).
  • 4. Manual de Matemática 239 a1 = 3 a2 = – 4 · a2 – 1 ’ a2 = – 4 · a1 ’ a2 = – 4 · 3 ’ a2 = – 12 a3 = – 4 · a3 – 1 ’ a3 = – 4 · a2 ’ a3 = – 4 · (– 12) ’ a3 = 48 a4 = – 4 · a4 – 1 ’ a4 = – 4 · a3 ’ a4 = – 4 · 48 ’ a4 = – 192 Assim, a seqüência será (3, –12, 48, –192). c) Qual é o 5º termo da seqüência dada por an = –1 + 3n–1 com n ∈ ⺞* Solução: Para obtermos o 5º termo da seqüência, basta substituir n por 5. Assim: an = –1 + 3n–1 a5 = –1 + 35–1 a5 = –1 + 34 a5 = –1 + 81 a5 = 80 Somatório Sendo uma seqüência (a1 , a2 , a3 , ..., an ), definimos somatório como a soma de seus termos e indicamos por: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an ou K n n 1 (a ) = ∑ (lê-se somatório de an , com n variando de 1 até k). Exemplos: a) 4 n 1 2n = ∑ S = 2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 + 2 · 4 S = 2 + 4 +6 + 8 S = 20 b) 5 2 n 1 (3n 1) = − ∑ S = 3 · (1)2 – 1 + 3 · 22 – 1 + 3 · 32 – 1 + 3 · 42 – 1 + 3 · 52 – 1 S = 2 + 11 + 26 + 47 + 74 S = 160
  • 5. Manual de Matemática 240 Capítulo 2 PROGRESSÃO ARITMÉTICA No capítulo 1, definimos seqüência. As seqüências são, freqüentemente, resultado da observação de um fato ou fenômeno. Observe no exemplo abaixo as temperaturas máximas de uma cidade do Mato Grosso, nos seguintes dias: Temos uma seqüência de dias e uma seqüência de temperaturas. Observe que há um acréscimo diário das temperaturas. Assim, podemos estabelecer a seguinte seqüência: 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35. Essa seqüência é chamada progressão aritmética (P.A.), pois, a partir do segundo termo, foi somada sempre uma mesma constante. Progressão aritmética é uma seqüência de números reais em que, a partir do segundo termo, é igual ao anterior mais uma constante. Definimos essa constante como razão (r). Exemplos de P.A.: a) (4, 6, 8, 10, ...), cuja razão é r = 2 b) (–5, –6, –7, –8, ...), cuja razão é r = – 1 c) (9, 9, 9, 9, 9, ...), cuja razão é r = 0 d) sendo a1 = 2 e r = – 3, então: a2 = a1 + r ’ 2 + (– 3) = – 1 a3 = a2 + r ’ – 1 + (– 3) = – 4 a4 = a3 + r ’ – 4 + (– 3) = – 7 a5 = a4 + r ’ – 7 + (– 3) = – 10 Então, a P.A. será (2, –1, –4, –7, –10)
  • 6. Manual de Matemática 241 Resumindo Um termo qualquer é igual ao seu anterior mais a razão a a a a an n n n n = a = a = a = a = an – 1 n – 1 n – 1 n – 1 n – 1 + r + r + r + r + r. .. . . A razão é determinada pela diferença entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o seu anterior. Exemplos: 1) Na P.A. (2, 5, 8, 11, ...), determine a razão. r = 5 – 2 = 3 ou r = 8 – 5 = 3 2) Na P.A. (–1, –5, –9, ...), determine a razão. r = – 5 – (– 1) = – 4 ou r = – 9 – ( –5) = – 4 3) Na P.A. 4 4 4 4 , , , , ... 5 5 5 5       , determine a razão. 4 4 r 0 5 5 = − = ou 4 4 r 0 5 5 = − = Classificação Se a P.A. tem r 0, dizemos que a P.A. é crescente. Se a P.A. tem r 0, dizemos que a P.A. é decrescente. Se a P.A. tem r = 0, dizemos que a P.A. é constante ou estacionária. Fórmula do Termo Geral Seja a P.A. (a1 , a2 , a3 ,..., an ,...) em que a1 é o primeiro termo e r a razão. Sabemos que: a2 = a1 + r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r a5 = a4 + r = (a1 + 3r) + r = a1 + 4r ⯗ an = an – 1 + r = a1 + (n – 2) · r + r = a1 + (n – 1) · r Portanto, o termo geral de uma P.A. é dado pela fórmula: an = a1 + (n – 1) · r
  • 7. Manual de Matemática 242 Numa P.A.: an é um termo qualquer da P.A. (n indica a posição desse termo). Assim: a1 é o primeiro termo a2 é o segundo termo ⯗ a20 é o vigéssimo termo ⯗ an é o enésimo termo. Em toda P.A., qualquer termo é a média aritmética entre o seu anteceden- te e o seu conseqüente. − + + = n 1 n 1 n a a a 2 Exemplos: 1) Dada a P.A. (2, 6, 10, 14, 18, ...), usando o segundo termo (antecedente) com o quarto termo (conseqüente) e dividindo o resultado por 2, temos: 2 4 3 a a a 2 + = 6 14 10 2 + = 10=10 2) Determine o valor de x, sabendo que x – 2, x + 1, 5x formam, nessa ordem, uma P.A. Solução: 1 3 2 a a a 2 + = x 2 5x x 1 2 − + + = 2x + 2 = x – 2 + 5x – 4x = – 4 x = 1
  • 8. Manual de Matemática 243 3) Numa P.A., o primeiro e o último termo são, respectivamente, 12 e 448, e a razão é igual a 2. Quantos termos tem essa P.A.? Solução: an = 448 a1 = 12 r = 2 n = ? 448 = 12 + (n – 1) · 2 448 = 12 + 2n – 2 448 = 10 + 2n – 2n = 10 – 448 – 2n = – 438 2n = 438 n = 219 4) Numa P.A., sabe-se que a4 = – 3 e a11 = – 38. Determine a razão e a1 . Solução: a4 = – 3 ’ a1 + 3r = – 3 a11 = – 38 ’ a1 + 10r = – 38 Resolvendo o sistema: + = − −   + = −  1 1 a 3r 3 ( 1) a 10r 38 − 1 a − = 1 3r 3 a    + = −   10r 38 7r = – 35 r = – 5 Substituindo r = – 5 na equação: a1 + 3r = – 3 a1 + 3 · (– 5) = – 3 a1 – 15 = – 3 a1 = 12
  • 9. Manual de Matemática 244 5) Insira ou interpole 4 meios aritméticos entre – 8 e 17. Solução: a1 = – 8 an = 17 n = 4 + 2 = 6 r = ? – 8, ____, ____, ____, ____, 17 d d a1 an 6 termos an = a1 + (n – 1) · r 17 = – 8 + (6 – 1) · r 17 = – 8 + 5r – 5r = – 8 – 17 – 5r = – 25 5r = 25 r = 5 Logo: (– 8, – 3, 2, 7, 12, 17) Obs.: No exemplo anterior aplicamos a interpolação aritmética, que nos permite calcular os meios aritméticos dados dois extremos a1 e an . 6) Três números estão em P.A., de modo que a soma entre eles é 6 e o produto –24. Calcule os três números. Solução: Para resolvermos este problema, é conveniente escrever a P.A. em função do termo do meio, que indicaremos por x. Na P.A. de três termos, indicamos por x – r , x, x + r. x r x x r 6 (x r) x (x r) 24 − + + + =   − ⋅ ⋅ + = −  x r − x x r + + + 6 = 3x = 6 x = 2
  • 10. Manual de Matemática 245 (2 – r) · 2 · (2 + r) = –24 2 · (22 – r2 ) = –24 2 · (4 – r2 ) = –24 8 – 2r2 = –24 – 2r2 = – 32 2r2 = 32 r2 = 16 r = ± 4 Sendo: r = – 4 r = 4 1º termo = 2 – (– 4) = 6 1º termo = 2 – 4 = – 2 2º termo = 2 2º termo = 2 3º termo = 2 + (– 4) = – 2 3º termo = 2 + 4 = 6 Os números são –2, 2, 6. Obs.: 1) Se o exercício tem 4 termos, indicaremos por (x – 3r, x – r, x + r, x + 3r) 2) Se tiver 5 termos, indicaremos por (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r) Soma dos Termos de uma P . A. Finita A soma dos n termos de uma P.A. é dada por: ⋅ 1 n n (a +a ) n S = 2 Em uma P.A., a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Exemplos: 1)Na P.A.(2, a2 , 8, 11, 14, a6 , a7 , 23), calcule: a) a2 + a7 a2 e a7 são termos eqüidistantes dos extremos, então: a2 + a7 = 2 + 23 a2 + a7 = 25 b) a6 + 8 = 2 + 23 a6 = 25 – 8 a6 = 17
  • 11. Manual de Matemática 246 2) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.A. (–1, 0, 1, 2, ...). Solução: a1 = – 1 Calculemos inicialmente a10 : r = 1 a10 = – 1 + (10 – 1) · 1 n = 10 a10 = 8 S10 = ( 1 8) 10 2 − + ⋅ S10 = 35 3) Calcule a soma dos números pares positivos até 201. Solução: Os números pares positivos até 201 formam a P.A. (2, 4, 6,......, 200) Determinamos quantos números pares existem entre 2 e 200. an = a1 + (n – 1) · r S100 = (2 200) 100 2 + ⋅ 200 = 2 + (n – 1) · 2 200 = 2 + 2n – 2 S100 = 10 · 100 2n = 200 n = 100 4) Determine uma P.A. de 20 termos que tenha soma 650 e o primeiro termo seja 4. Solução: a1 = 4 n = 20 S20 = 650 Sn = 1 n (a a ) n 2 + ⋅ 650 = n (4 a ) 20 + ⋅ 10 2 650 = 40 + 10an 10an = 610 an = 61 an = a1 + (n – 1) · r 61 = 4+ (20 – 1) · r
  • 12. Manual de Matemática 247 61 = 4 + 19r 19r = 57 r = 3 Logo P.A. é (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61) 5) Resolva a equação: 2 + 5 + 8 + ........+ x = 155, sabendo que os termos do 1º membro estão em P.A. Solução: Seja a seqüência (2, 5, 8, ..., x), temos: a1 = 2 r = 5 – 2 = 3 n = ? an = x an = a1 + (n – 1) · r x = 2 + (n – 1) · 3 x = 2 + 3n – 3 x = 3n – 1 3n – 1 = x ⇒ 3n = x + 1 Sn = 155 n = x 1 3 + Sn = 1 n (a a ) n 2 + ⋅ 155 = x 1 (2 x) 3 2 +   + ⋅    310 = 2 2x 2 x x 3 + + + x2 + 3x + 2 = 930 x2 + 3x – 928 = 0 ∆ = 9 + 3712 = 3721 x’ = 29 = 3 61 2 − ± x’’ = – 32 Como a P.A. é crescente, x = 29 → → → →
  • 13. Manual de Matemática 248 Capítulo 3 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Observe a seqüência: (2, 4, 8, 16, ...) Note que, dividindo um termo dessa seqüência pelo anterior, obtemos sempre 2: 2 1 a 4 2 a 2 = = 3 2 a 8 2 a 4 = = 4 3 a 16 2 a 8 = = A essa constante chamamos de razão, indicada pela letra q. Progressão Geométrica é uma seqüência de números reais em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constan- te (chamada razão). Exemplos: 1) Sendo a1 = – 2 e razão q = 3, então: a2 = a1 · q = – 2 · 3 = – 6 a3 = a2 · q = – 6 · 3 = – 18 a4 = a3 · q = – 18 · 3 = – 54 a5 = a4 · q = – 54 · 3 = – 162 P.G. (– 6, – 18, – 54, – 162, ...) 2) Sendo a1 = 8 e q = 1 2 , então: a2 = a1 · q = 8 · 1 2 = 4 a3 = a2 · q = 4 · 1 2 = 2 a4 = a3 · q = 2 · 1 2 = 1 a5 = a4 · q = 1 · 1 2 = 1 2 P.G. 1 4, 2,1, , ... 2      
  • 14. Manual de Matemática 249 Resumindo an = an – 1 · q Um termo qualquer de uma progressão geométrica é igual ao anterior multiplicado pela razão. Podemos aplicar as progressões geométricas em várias situações, como, por exemplo, no crescimento da população. Veja: A população de uma cidade cresce a uma taxa de 8% ao ano. Se atual- mente há dez mil habitantes, qual a população prevista daqui a 5 anos? O fator de aumento gerado pela taxa anual é 100% + 8% = 108% = 1,08. A população de um certo ano é igual à do ano anterior multiplicado por 1,08. A razão da P.G. é o fator de aumento. O termo geral da P.G. é dado por P = 10.000 . 1,08n-1 . Podemos escrever, então a P.G. 10.000, 10.800, 11.664, 12.597, 13.604. Daqui a 5 anos a população será de 13.604. Fórmula do Termo Geral Podemos encontrar uma expressão que nos permita encontrar qualquer termo da P.G. Seja a P.G.(a1 , a2 , a3 , ..., an , ...). Sabe-se que a1 é o primeiro termo e q a razão. Então: a2 = a1 · q a3 = a2 · q ou a3 = a1 · q2 a4 = a3 · q ou a4 = a1 · q3 a5 = a4 · q ou a5 = a1 · q4 ⯗ ⯗ Podemos então escrever an = a1 · qn – 1 , que representa a fórmula do termo geral da P.G. Na qual: a1 é o primeiro termo; q é a razão; an um termo qualquer da P.G.; n o número de termos da P.G.
  • 15. Manual de Matemática 250 Exemplos: 1) Qual é o quinto termo da P.G. 1 1 , , ... 8 4       ? Solução: a1 = 1 8 q = 1 4 1 8 = 1 4 · 8 = 2 n = 5 a5 = ? an = a1 · qn – 1 a5 = 1 8 · 25 – 1 a5 = 1 8 · 24 a5 = 1 8 · 16 a5 = 2 2) Qual o número de termos da P.G., onde a1 = 6, an = 96 e q = 2? Solução: a1 = 6 an = 96 q = 2 an = a1 · q n – 1 96 = 6 · 2 n – 1 2 n – 1 = 96 6 2 n – 1 = 16 2 n – 1 = 24 n – 1 = 4 n = 5
  • 16. Manual de Matemática 251 3) Sabendo que numa P.G., a5 = 32 e a8 = 256, calcule a1 e q. Solução: Temos que: a5 = a1 · q4 ’ a1 · q4 = 32 a8 = a1 · q7 ’ a1 · q7 = 256 Resolvendo o sistema: 1 a 7 1 q a ⋅ 4 q ⋅ = 256 32 Substituindo q = 2 em: q3 = 8 a1 · q4 = 32, vem: q = 3 8 a1 · 24 = 32 q = 2 a1 = 32 16 a1 = 2 4) Interpole ou insira oito meios geométricos entre 1 243 e 81. Solução: 1 243 , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , 81. a1 = 1 243 an = 81 n = 8 + 2 = 10 q = ? an = a1 · qn – 1 81 = 1 243 · q10 – 1 81 = 1 243 · q9 q9 = 19.683 q = 3 Portanto: 1 1 1 1 1 , , , , ,1, 3, 9, 27, 81 243 81 27 9 3      
  • 17. Manual de Matemática 252 5) Numa P.G. de cinco termos, a soma dos dois primeiros é 15 e a soma dos dois últimos é 120. Escreva a P.G. Solução: a1 + a2 = 15 ’ a1 + a1 · q = 15 a4 + a5 = 120 ’ a1 · q3 + a1 · q4 = 120 a1 · (1 + q) = 15 (I) a1 · q3 (1 + q) = 120 (II) Dividindo membro a membro a equação I por II: 1 a (1 q) ⋅ + 1 a 3 15 120 q (1 q) = ⋅ + 3 1 1 q 8 = q3 = 8 q = 2 Para q = 2, substituindo em I, vem: a1 + a1 · q = 15 a1 + a1 · 2 = 15 3a2 = 15 a1 = 5 Portanto, a P.G. será (5, 10, 20, 40, 80). Propriedade Dados três termos positivos de uma P.G., dizemos que o termo central é a média geométrica dos termos extremos. Se (x, y, z) é P.G., então y x z. = ⋅ Exemplo: Determine x, tal que x, x + 9, x + 45 formem, nessa ordem, uma P.G.
  • 18. Manual de Matemática 253 Solução: Partindo de 2 3 1 2 a a a a = , temos: a2 2 = a1 · a3 (x + 9)2 = x · (x + 45) 2 x + 18x + 81 = 2 x +45x –27x = –81 27x = 81 x = 81 27 ’ x = 3 Representações Especiais Às vezes, para facilitar a resolução dos exercícios, é conveniente utilizar as representações especiais. Se a P.G. tem 3 termos: x , x, x q q   ⋅     Se a P.G. tem 4 termos: 3 3 x x , , x q, x q q q   ⋅ ⋅     Se a P.G. tem 5 termos: 2 2 x x , , x, x q, x q q q   ⋅ ⋅     Exemplo: Determine três números em P.G. crescente, sabendo que sua soma é 13 e seu produto é 27. Solução: A P.G. tem 3 termos, então podemos escrever: x x x q 13 q x x x q 27 q  + + ⋅ =     ⋅ ⋅ ⋅ =   x q x x q ⋅ ⋅ ⋅ 27 = x3 = 27 x = 3 27 x = 3
  • 19. Manual de Matemática 254 Substituindo x = 3 na equação: x q + x + x · q = 13 3 q + 3 + 3q = 13 2 3 3q 3q q + + 13q q = 3q2 + 3q – 13q + 3 = 0 3q2 – 10q + 3 = 0 ∆ = ( –10)2 – 4 · 3 · 3 ∆ = 64 q = 10 8 6 ± q = 10 8 6 + = 3 q = 10 8 6 − = 1 3 Sendo a P.G. crescente, temos q = 3 Portanto: (1, 3, 9) Soma dos Termos de uma P .G. Finita Considere a progressão geométrica (a1 , a2 , a3 , ..., an ) com razão q ≠ 1. Podemos obter a fórmula dos termos de uma P.G. finita. ⋅ n 1 n a (q -1) S = q -1 Obs.: Se q = 1, a fórmula é dada por Sn = n · a Exemplos: 1) Calcule a soma dos 8 primeiros termos da P.G. 2 2 , , 2, ... 9 3      
  • 20. Manual de Matemática 255 Solução: a1 = 2 9 q = 2 3 2 9 = 2 3 9 ⋅ 2 =3 Sn = 8 2 (3 1) 9 3 1 ⋅ − − Sn = 2 (6561 1) 9 2 ⋅ − Sn = 2 6560 9 2 ⋅ Sn = 13120 6560 18 9 = 2) Determine o número de termos de uma P.G. finita em que a1 = 2, q = 2 e Sn = 4094. Solução: a1 = 2 q = 2 Sn = 4.094 Sn = n 1 a (q 1) q 1 ⋅ − − 4094 = n 2 (2 1) 2 1 ⋅ − − 4094 = 2 · 2n – 2 2 · 2n = 4096 2n = 4096 2 2n = 2048 2n = 211 n = 11
  • 21. Manual de Matemática 256 3) Calcule a9 e a soma dos 9 primeiros termos da P.G. (20 , 21 , 22 , 23 , ...). Solução: a1 = 20 = 1 q = 2 1 = 2 n = 9 a9 = ? an = a1 · qn – 1 a9 = 1 · 29 – 1 S9 = 9 1 (2 1) 2 1 ⋅ − − a9 = 28 a9 = 256 S9 = 511 Limite da Soma de uma P .G. Infinita Neste caso, como a P.G. é infinita e decrescente, calculamos o limite da soma dos termos, isto é, o valor para o qual a soma tenderá. Fórmula: 1 a S= 1- q Exemplos: 1) Calcule o limite da soma da P.G. 3 12, 6, 3, , ... 2       . Solução: a1 = 12 q = 6 1 12 2 = S = 1 a 1 q − S = 12 1 1 2 − S = 12 1 2 S = 24
  • 22. Manual de Matemática 257 2) Resolva a equação x x x ... 12 3 9 + + + = Solução: a1 = x q = x x 3 x = 1 3 x ⋅ 1 3 = S = 12 S = 1 a 1 q − 12 = x 1 1 3 − 12 = x 2 3 x = 8 S = {8} 3) Determine o valor de 1 1 1 ... 10 100 + + + Solução: a1 = 1 q = 1 10 S = 1 a 1 q − S = 1 1 1 10 − S = 1 9 10 S = 10 9
  • 23. Manual de Matemática 258 4) Calcule a fração geratriz das dízimas: a) 0,5555... Solução: 0,5555... = 5 5 5 10 100 1000 + + ... A dízima é uma soma de infinitos termos de uma P.G. decrescente, em que: a1 = 5 10 e q = 5 5 100 5 10 = 100 10 ⋅ 5 1 10 = Substituindo na fórmula: S = 1 a 1 q − S = 5 10 1 1 10 − S = 5 5 10 9 10 10 = 10 ⋅ 5 9 9 = b)1,3131.... Solução: 0,3131... = 31 31 31 100 10000 1000000 + + ... a1 = 31 100 q = 1 100
  • 24. Manual de Matemática 259 S = 31 100 1 1 100 − S = 31 31 100 99 100 100 = 100 ⋅ 31 99 99 = S = 31 99 Nessa dízima devemos somar 1 e o algarismo que se repete: 31 99 . 31 99 31 130 1 99 99 99 + + = = Produto dos Termos de uma P .G. Limitada Dada a P.G. (1, 4, 16, 64, 256, 1024), temos: 1024 1024 1024 a1 = 1, a6 = 1024 e a1 · a6 = 1024 a2 = 4, a5 = 256 e a2 · a5 = 1024 a3 = 16, a4 = 64 e a3 · a4 = 1024 Em toda P.G. limitada, o produto dos termos eqüidistantes do centro é constante. Podemos escrever a fórmula: ⋅ 2 n n 1 n P =(a a )     Pn      = ⋅ n 1 n (a a )
  • 25. Manual de Matemática 260 Exemplo: Calcule o produto dos seis primeiros termos da P.G. (–1, 3, –9, ...) Solução: a1 = – 1 q = – 3 an = a1 · qn – 1 a6 = – 1 · (– 3)6 – 1 a6 = 243 Pn  = n 1 n (a a ) ⋅ Pn  = 6 ( 1 243) − ⋅ Pn  = 5 6 ( 3 ) − Pn  = – 315 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Na sucessão (1, 3, 7, 10, 12, 18, 25), determine os elementos a2 , a5 , a7 . 2) Na sucessão (–3, –1, 5, 8, 10), determine a2 – a4 + a5 . 3) Escreva os cinco primeiros termos das seqüências: a) an = n – 3 b) an = 2n – 2 4) Dada a sucessão de termo geral an = 4n 1 n − , a) calcule a soma dos quatro primeiros termos; b) verifique se 71 18 é termo da sucessão, caso afirmativo, indique sua posição. 5) Escreva as seqüências definidas por: a) an = n · (– 1)n e n ‚µ , n X 4 b) an = 3n2 – 2n e n ‚µ , n h 1 c) 1 n 1 n a 2 a 3 a + =   = ⋅  n ‚µ d) 1 n n n 1 a 2 a ( 1) a − =    = − ⋅   n 1
  • 26. Manual de Matemática 261 6) Seja a seqüência (an ) definida por: n n 1 2 n a 5n 1 a 2 ( 1) + = +     = ⋅ −  para n natural par e a) escreva a seqüência; para n natural ímpar, b) calcule 4 n n 1 a = ∑ . 7) Seja a seqüência an = 2 n (n 1) 2n − , em que n é um natural qualquer, a) escreva a seqüência; b) calcule 5 n n 1 a 1 = + ∑ . 8) Calcule: a) 3 n 1 3n 2 = + ∑ b) 4 n n 0 10 ( 1) = − ∑ c) 5 n 1 2n 3 = ∑ 9) (Cesgranrio-RJ) A soma 500 i 2 3 500 i 1 2 2 2 2 ... 2 = = + + + + ∑ é igual a: a) 2500 + 1 d) 2 (2500 + 1) b) 2501 + 1 e) 2 (2500 – 1) c) 2501 – 1 10) (FATEC-SP) Se S = 4 2 n 1 11 n 1 3(n n 1) n = = + + ∑ ∑ , então: a) S = 1 b) S = 2 c) S = 3 d) S = 4 e) S = 5 11) Das seqüências abaixo, identifique quais são P.A. e determine a razão. a) (1, 3, 5, 7, 9,...) e) ( ) 2, 2, 3 2, 5 2, ... − − − b) (8, 1, –3, –4,...) f) 4 1 , , 0, 4, 6, ... 3 2   − −     c) (3,1; 6,1; 9,1,...) g) (a, a – 3, a – 5, a – 7) d) (0,1; 0,01; 0,001;...) 12) Sejam três termos consecutivos de uma P . A. x – 2, x, 2x – 3. Calcule x.
  • 27. Manual de Matemática 262 13) Sabendo que os números (x + 1)2 , 7x e 9x – 1, nesta ordem, são termos de uma P.A. crescente, determine: a) o valor de x; b) o sexagésimo termo dessa P.A. 14) Determine o primeiro termo de uma P.A. de razão 3 e o vigésimo termo é 30. 15) Determine a razão da P.A. sendo a1 = 1,8 e a22 = 27. 16) Um triângulo apresenta seus lados em P.A. Calcule os lados sabendo que seu perímetro é 12 cm. 17) Determine uma P.A. de quatro termos sabendo que sua soma vale –2 e o produto 40. 18) A soma de a2 + a4 = 15 e a5 + a6 = 25. Calcule o 1º termo e a razão. 19) As idades de três irmãs estão em P.A. Sabendo que a soma das idades é 42 e a diferença da idade da mais velha e da mais nova é 12, calcule as idades. 20) Qual o centésimo número natural par? 21) Interpolar: a) seis meios aritméticos entre 12 e 47. b) doze meios aritméticos entre 45 e –20. 22) Determine o número de múltiplos de: a) 7 que existem entre 20 e 200. b) 3 compreendidos entre 20 e 400. 23) Determine a soma dos números pares positivos menores que 102. 24) Colocando-se 120 estudantes em filas, com 1 estudante na primeira fila, 2 na segunda fila, 3 na terceira fila e assim sucessivamente, formando-se um triângulo. Determine o número de filas.
  • 28. Manual de Matemática 263 25) (FGV-SP) Um automóvel percorre no primeiro dia de viagem uma distância x; no segundo dia percorre o dobro da que percorreu no primeiro dia; no terceiro dia o triplo do 1º dia, e assim sucessivamente. Ao final de 20 dias, percorreu uma distância de 6.300 km. A distância percorrida no primeiro dia foi de: a) 15 km c) 20 km e) 35 km b) 30 km d) 25 km 26) Calcule a soma dos múltiplos de 6 que estão entre 1 e 100. 27) (FATEC-SP) Em uma P.A. a soma do 3º com o 7º termo vale 30 e a soma dos 12 primeiros termos vale 216. A razão dessa P.A. é: a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,5 28) Calcule a soma dos números múltiplos positivos de 4 formados por 2 algarismos. 29) Quais das sucessões são P.G.? a) 1 1 1 1 , , , , ... 2 6 12 36       d) (77 , 714 , 721 , ...) b) (–3, 6, –12, 24, ...) e) (a3 b, ab2 , a2 b3 , ...) c) ( ) 3, 6, 2 3, ... − 30) Obtenha a razão das seguintes P.G.s.: a) ( ) 2 2, 4 6, 24 2, ... c) (3, –6, 12, ...) b) (–1, 1, –1, 1, ...) 31) Determine o quinto termo da P.G. (5, 10, 20, ...). 32) Determine o número de termos da P.G. (–1, –2, –4, ..., –512). 33) Determine quatro números em P.G., sendo a soma dos extremos 140 e a soma dos meios 60.
  • 29. Manual de Matemática 264 34) Qual o valor de x, se a seqüência (x – 1, 2x – 1, 4x + 1) é uma P.G.? 35) Numa P.G., a1 = –12 e q = 1, calcule a soma dos 20 primeiros termos. 36) Quantos termos devemos ter na P.G. (2, –6, 18, –54, ...) a fim de obtermos uma soma 9.842? 37) Calcule, em cada caso, o limite da soma dos termos das progressões geométricas: a) (0,5; 0,05; 0,005; ...) b) 1 1 1 1 ... 2 4 8 − + − + c) 1 y,1, , ... y       38) Determine x nas equações: a) x x x ... 4 3 9 27 + + + = c) x x x 2 4 + + + ... = 12 b) x + 2x 4x 3 9 + + ... = 9 8 39) Ache a fração geratriz das seguintes dízimas: a) 0,777... c) 1,666... e) 1,35555... b) 0,464646... d) 0,453453... 40) Calcule o produto dos termos: a) dez primeiros termos da P.G. 1 1 , ,1, ... 9 3       . b) nove primeiros termos da P.G. 1 1 1 , , , ... 8 4 2       . c) treze primeiros termos da P.G. (3–1 , 3–2 , 3–3 , ...). 41) (FGV–SP) Em um triângulo, a medida da base, a medida da altura e a medida da área formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 8. Então, a medida da base mede: a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
  • 30. Manual de Matemática 265 Respostas 1) a2 = 3 a5 = 12 a7 = 25 2) 1 3) a) (–2, –1, 0, 1, 2) b) 1 ,1, 2, 4, 8 2       4) a) 167 12 b) 18º termo 5) a) (–1, 2, –3, 4) c) (2, 6, 18, 72, ...) b) (1, 8, 21, ...) d) (2, –2, –2, 2, ...) 6) a) (–2, 11, 2, 21) b) 33 7) a) 3 15 0, , 4, ,12 2 2       b) 30 8) a) 24 b) 0 c) 10 9) e 10) b 11) a (R = 2), c (R = 3), e (R = 2 2 − ). 12) x = 5 13) a) x= 3 b) 311 14) a1 = – 27 15) r = 1, 2 16) 2, 4 e 6 17) (–5, –2, 1, 4) ou (4, 1, –2, –5) 18) a1 = 7 2 , r = 2 19) 8, 14 e 20 anos. 20) 198 21) a) (12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47) b) (45, 40, 35, ..., –20) 22) a) 26 b) 127 23) Sn = 2.550 24) 15 filas 25) b 26) 816 27) d 28) 1.188 29) b, c, d
  • 31. Manual de Matemática 266 30) a) 2 3 b) –1 c) –2 31) 80 32) 10 33) (5, 15, 45, 135) 34) 2 35) –240 36) 9 37) a) 5 9 b) 2 3 c) 2 y y 1 − 38) a) {8} b) 3 8       c) {6} 39) a) 7 9 b) 46 99 c) 5 3 d) 453 999 e) 61 45 40) a) 325 b) 512 c) 3–91 41) e