O documento apresenta um resumo sobre conceitos básicos de matemática, incluindo: 1) Conjuntos numéricos como naturais, inteiros, racionais e reais. 2) Operações com frações como soma, subtração, multiplicação e divisão. 3) Proporção, porcentagem e regra de três.

1. Pré Vestibulinho - Matemática
Matheus dos Santos Modesti∗
Outubro de 2014
1 Conjuntos
1.1 Naturais
Representado pelo símbolo N, são basicamente os números que usamos para contar
objetos. {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
1.2 Inteiros
Representado pelo símbolo Z, são os números naturais mais seus simétricos, isto é,
os números naturais e seus respectivos números negativos. {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
1.3 Racionais
Representado pelo símbolo Q, são todos os números que podem ser representados
da forma a
b
, com a, b ∈ Z. Eles têm casas decimais finitas, ou infinitas com padrão de
repetição (dízimas periódicas). {1
2
; 0, 25; 0, 33333 . . .}
1.4 Irracionais
Representado pelo símbolo I ou Qc
, são os números que tem infintas casas decimais,
e, nenhum padrão de repetição.{π, φ}
1.5 Reais
A soma dos conjuntos dos Racionais e Irracionais. Representado pela letra R.
2 Frações
Uma fração, nada mais é do que uma divisão de dois números, que, pela conveniência
de se evitar trabalhar com números com vírgula, deixamos na sua forma original e operamos
com ela.
∗
matheusmodesti@gmail.com
1

2. 2.1 Soma
Exemplo 1: João comprou um bolo. Marcos comeu 1
3
e Gilberto comeu 1
4
do bolo.
Qual fração do bolo os dois comeram no total?
Resolução: Para somar-mos as duas frações, devemos ter o mesmo denominador,
e só assim podemos realizar a soma. Para tal, devemos multiplicar os dois denominadores,
assim obtendo um multiplo comum dos dois números, e em seguida, reescrevendo as frações
como equivalentes, para assim realizar a soma:
1
3
+
1
4
=
4
12
+
3
12
=
7
12
2.2 Subtração
Exemplo 2: Usando o exemplo acima, qual foi a fração do bolo que sobrou para
João?
Resolução: Lembrando que Marcos e Gilberto comeram 7
12
do bolo, devemos
subtrair isso de 1, lembrando que para subtrair, também devemos ter o mesmo denominador
nas frações que estamos operando:
1 −
7
12
=
12
12
−
7
12
=
5
12
2.3 Multiplicação
A multiplicação de frações é muito simples. Devemos multiplicar numerador com
numerador e denominador com denominador
Exemplo 3: Resolva: 5
9
· 3
4
Resolução:
5
9
·
3
4
=
15
36
2.4 Divisão
A divisão também é simples. Basta inverter a segunda fração e multiplicar pela
primeira:
Exemplo 4: Resolva 5
9
: 3
4
Resolução:
5
9
:
3
4
=
5
9
·
4
3
=
20
27
2

3. 3 Proporção e porcentagem
3.1 Proporção ou razão
Uma proporção (ou razão) é um quociente (divisão) entre grandezas:
Exemplo 5: Numa prova com 50 questões Luiz Felipe acertou 40. Qual a razão
entre número de erros e o número de acertos ?
Resolução:
10
40
=
1
4
3.2 Porcentagem
Toda fração de denominador 100 representa uma porcentagem. Com ela, podemos
fazer operações, como soma e subtração. Alguns exemplos de nosso dia a dia são: "O
crescimento no número de matriculas no ensino fundamental foi de 24%"ou "A taxa de
desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano"e ainda "Desconto de 25% nas compras à
vista".
Exemplo 6: Comprando uma calça que custa R$90,00 à vista, temos um desconto
de 20%. Qual é o preço da calça pagando à vista?
Resolução:
20
100
· 90 = R$72, 00
4 Regra de Três Simples
A regra de três simples consiste em um cálculo onde se relacionam quatro valores,
e um deles é desconhecido. A regra de três apresentará relações de grandezas e proporcio-
nalidade.
Podemos resolver o exemplo acima também por uma simples regra de três. Segue:
Porcentagem Valor
100% 90
80% x
Podemos realizar uma "Multiplicação em x":
80 · 90 = 100x ⇒ 720 = 100x ⇒ 72 = x
5 Transformações de medidas
5.1 Transformações de volumes
Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos
lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente
3

4. inferior. Exemplo: 2, 45m3
= 2.450dm3
.
5.2 Transformações de Comprimento e Peso
Na transformação de unidades de comprimento ou peso, no sistema métrico decimal,
devemos lembrar que cada unidade de comprimento ou peso é 100 vezes maior que a
unidade imediatamente inferior. Exemplo: 100cm = 1m.
6 Geometria
6.1 Quadrado/Retângulo
A área dessas figuras é dada pela multiplicação da base pela altura no retângulo, e
a multiplicação de dois lados no quadrado.
Aretângulo = b · h
Aquadrado = l · l ⇒ l2
Seus perímetros são obtidos somando-se o comprimento dos lados
6.2 Triângulo
Lembrando que um triângulo é exatamente metade de um retângulo, a área de um
triângulo é calculada multiplicando-se a área da base pela altura, dividindo por 2:
Atriângulo =
b · h
2
Seu perímetro é obtido somando-se todos os lados
6.3 Circunferência
A área da circunferência é dada por:
Acircunferência = πr2
O perímetro da circunferência é dado por
2p = 2πr
4

5. 7 Equações de Primeiro grau
Uma equação é definida como "uma sentença matemática que expressa uma igual-
dade", onde, neste caso, o objetivo é encontrar o valor de uma incógnita para satisfazer à
relação. São exemplos de equação:
a) 2x + 3 = 7
b) 5y + 2 = 3y + 1
c) 15a − 17 = −2
Para resolver uma equação, devemos utilizar a ideia de uma balança, já que estamos
trabalhando com uma igualdade. Vejamos o exemplo "a"
a) 2x + 3 = 7
Para resolver, devemos incialmente organizar a equação, deixando os termos com
letra de um lado, e os número do outro. Para tal, neste exemplo, podemos somar "−3"em
ambos os lados, lembrando da ideia da balança:
2x + 3 − 3 = 7 − 3 ⇒ 2x = 4
Agora, dividimos ambos os lados por 2:
2x
2
=
4
2
⇒ x = 2
Assim, achamos o valor de nossa incógnita "x"que satisfaz a relação.
7.1 Sistema de equações
Um sistema de equações relaciona duas (ou mais) equações com duas (ou mais
variáveis). Um clássico exemplo para isso é o problema:
Exemplo 7:Uma fazenda possui galinhas e coelhos. Sabendo que são 17 animais e
a soma de suas pernas é igual a 38. Quantas galinhas e quantos coelhos têm o sítio?
Resolução: Vamos chamar de x o número de galinhas e de y o número de coelhos.
Sabemos que o número total de animais é 17, ou seja, x + y = 17. Sabemos também que
o total de pernas é 38. Como a galinha tem 2 pernas e o coelho 4, podemos dizer que
2x + 4y = 38. Assim, temos nosso sistema:



x + y = 17
2x + 4y = 38
Podemos agora, resolver esse sistema por dois métodos:
5

6. Método 1 - Substituição
Isolamos x no primeiro caso, somando y em ambos os lados, e obtemos x = 17 − y.
Agora, substituimos esse valor de x na segunda equação:
2 · (17 − y) + 4y = 38 ⇒ 34 − 2y + 4y = 38 ⇒ 2y = 4 ⇒ y = 2
Agora, substituimos o valor de y em uma das equações. Como nos é conveniente,
podemos susbstituir em x + y = 17:
x + 2 = 17 ⇒ x = 15
Assim, temos 15 galinhas e 2 coelhos
Método 2 - Adição
Nesse método, trabalhamos com as equações afim de eliminar uma variável. Assim,
multiplicaremos a primeira equação por −2, afim de eliminar o x



x + y = 17 · (−2)
2x + 4y = 38
⇒



−2x − 2y = −34
2x + 4y = 38
Somando as equações, teremos:
2y = 4 ⇒ y = 2
Substituindo em uma das equações:
x + 2 = 17 ⇒ x = 15
Assim, chegamos ao mesmo resultado: 15 galinhas e 2 coelhos.
8 Equações de 2o
grau
Assim como a equação de 1o
grau, aqui temos o objetivo de encontrar o valor de
uma incógnita que satisfaça a igualdade. Essas equações são do tipo ax2
+ bx + c = 0. São
exemplos de equações de segundo grau:
a)x2
− 5x + 6 = 0
b)x2
− x − 20 = 0
c)x2
− 3x − 4 = 0
Para resolver essas equações, utilizamos a Fórmula de Bháskara:
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
6

7. Exemplo 8: Encontre o valor de x na equação x2
− 5x + 6 = 0
Resolução: Da equação, tiramos os valores dos coeficientes: a = 1, b = −5 e c = 6.
Substituindo na fórmula:
x =
−(−5) ± (−5)2 − 4 · 1 · 6
2 · 1
Fazendo as operações, temos:
x =
5 ±
√
25 − 24
2
⇒ x =
5 ± 1
2
Teremos então duas repostas possíveis:
x1 =
6
2
= 3 e x2 =
4
2
= 2
Ainda temos equações de segundo grau incompletas, sendo elas do tipo ax2
+bx = 0
ou ax2
+ c = 0. Elas podem ser resolvidas pela formula de Bháskara, considerando o termo
faltante como 0.
9 Teorema de Pitágoras e Razões Trigonométricas
Dado o triângulo retângulo abaixo:
Neste triângulo, o lado maior c é chamado de hipotenusa, e os lados menores, a e b
são chamados de catetos.
O teorema de pitágoras afirma que "o quadrado da medida da hipotenusa é igual à
soma do quadrado da medidados catetos". Em outras palavras, PARA ESTE TRIÂNGULO:
c2
= a2
+ b2
Se olharmos em relação ao ângulo estabelecido no vértice A, o seno é a razão entre
o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa
7

8. cateto oposto
hipotenusa
=
b
c
O cosseno é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa:
cateto adjacente
hipotenusa
=
a
c
A tangente é a razão entre cateto oposto e cateto adjacente:
cateto oposto
cateto adjacente
=
b
a
10 Ângulos
Os ângulos de uma figura podem ser classificados da seguinte maneira:
Ângulo agudo é o ângulo cujo valor é menor que 90o
. Os ângulos de 30o
, 45o
e 60o
são ângulos agudos.
Ângulo reto é aquele cujo valor é igual a 90o
.
Ângulo obtuso é todo ângulo que é maior que 90o
. Os ângulos de 120o
, 135o
e 150o
são ângulos obtusos.
Ângulo raso é aquele cujo valor é igual a 180o
.
11 Questões dos anos anteriores:
(2012) - 1) A sentença x + y = 20 é uma equação com duas incógnitas e pode ser
interpretada como a soma de dois números valendo 20. Qual das sentenças abaixo NÃO
pode ser representada por uma equação de duas incógnitas?
A)A diferença entre x e y é 50.
B)O número x é maior que o número y.
C)O número x é a metade do número y.
D)O antecessor do dobro de x é igual a y somado a 50.
E) A metade da soma de x com y é 20.
(2012) - 2) Num triângulo retângulo as medidas dos lados estão expressas em
centímetros. A medida da hipotenusa vale x, um cateto mede 6 e outro cateto tem medida
x − 2. É CORRETO afirmar a respeito deste triângulo:
A)Um cateto mede 4 cm.
B)Os lados tem medidas iguais a 6 cm, 10 cm e 12 cm.
C)A área é igual a 34 cm2
.
8

9. D)A medida da hipotenusa vale 8 cm.
E) O perímetro mede 24 cm.
(2012) - 3) Numa instituição de ensino lecionam 80 professores. Destes, os homens
professores representam 60% e 25% das mulheres são professoras solteiras. Sobre esta
situação é INCORRETO afirmar:
A)Há mais professores homens que professoras casadas.
B)As professoras casadas são 24 no total.
C)As professoras solteiras representam a minoria dos professores.
D)As professoras solteiras são 20 no total.
E) A diferença entre a quantia de professores homens e professoras casadas é de 24.
(2012) - 4)Um triângulo é um polígono formado por três segmentos de reta. Ele
possui três ângulos internos cuja soma sempre é 180o
. Levando-se em consideração os
ângulos internos, qual a alternativa que inviabiliza a construção de um triângulo?
A)O triângulo possuir dois ângulos agudos e um ângulo obtuso.
B)O triângulo possuir dois ângulos agudos e um ângulo reto.
C)O triângulo possuir três ângulos agudos.
D)O triângulo possuir três ângulos de mesma medida.
E)O triangulo possuir dois ângulos obtusos e um ângulo agudo.
(2013) - 5) Marcos sacou do caixa eletrônico R$350,00 em notas de R$ 5,00 e de
R$ 10,00. Sabendo que no total foram sacadas 45 notas, então a quantidade de notas de
R$ 10,00 do saque foram:
A)30
B)20
C)35
D)15
E)25
9

10. (2013) - 6): Um fio foi esticado do topo do Prédio I (ponto A) até a base de outro
prédio (Prédio II – ponto B), conforme indica a figura.
O valor mais próximo da medida do comprimento do fio é:
A)50 m
B)46 m
C)47 m
D)45 m
E)55 m
(2013 - 7): O gráfico abaixo mostra o faturamento mensal das empresas A e B no
primeiro semestre de 2012.
Com base nesse gráfico, podemos afirmar que:
A)no mês de abril, a diferença de faturamentos foi maior que nos demais meses.
B)no semestre, o faturamento total de B foi maior que o de A.
C)a empresa A foi a que sofreu a maior queda de faturamento entre dois meses consecutivos.
D)Houve um mês em que o faturamento da empresa A foi o dobro do faturamento da
empresa B.
E) a diferença entre os faturamentos totais do semestre excedeu os 60 milhões de reais.
(2014) - 8) Um agricultor deseja plantar feijão em um terreno que tem a forma
retangular. A frente desse terreno mede 50m e a lateral 3
5
da medida da frente do terreno.
10

11. Qual o perímetro do terreno?
A)236 m
B)175 m
C)160 m
D)260 m
E)274 m
(2014) - 9) Qual é o valor da expressão W =
√
27 − 3
√
3?
A)3
B)2
C)0
D)−3
E)−2
(2014) - 10) Duas pessoas têm juntas 80 anos. Subtraindo 8 anos da idade da
mais velha e acrescentando 18 anos na idade da mais jovem, as idades ficam iguais. Qual é
a idade de cada pessoa?
A)60 e 20 anos
B)55 e 25 anos
C)50 e 30 anos
D)53 e 27 anos
E)Nenhuma das alternativas anteiores
GABARITO
Segue o gabarito com a questão e sua respectiva resposta correta:
1 - B
2 - E
3 - D
4 - E
5 - E
6 - D
7 - B
8 - C
9 - C
10 - D
11