O documento discute conceitos fundamentais sobre equações algébricas, incluindo: (1) a definição de equações algébricas e exemplos de grau 1 e 3; (2) o teorema da decomposição que permite fatorar polinômios em função de suas raízes; (3) a multiplicidade de raízes e como resolvê-las.

1. Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho
EQUAÇÕES
ALGÉBRICAS

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DEFINIÇÃO
Chamamos de equações algébricas de grau n N
na variável x C, toda equação que pode ser
reduzida à forma:
∈
Ax + B x + ... + Cx + D = 0
n n-1
Exemplos:
a) 3x – 1 = 0 é uma equação algébrica de 1º grau.
b) x – 3x + 4 = 0 é uma equação algébrica do 3º grau.
3
*OBS.: Toda equação polinomial de grau n, com
n natural, possui n raízes complexas.
∈

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TEOREMA DA
DECOMPOSIÇÃO
Todo polinômio
P(x) = Ax + B. x + ... + C. x + D
n n-1
P(x) = A . (x – x1).(x – x2).(x – x3)...(x – xn),
pode ser fatorado de maneira única como
sendo x1, x2, x3, ..., xn, as raízes de P(x) = 0.
Exemplo:
Fatorar o polinômio P(x) =2x – 14x + 20.
2

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MULTIPLICIDADE DE
UMA RAIZ
Chamamos de multiplicidade de uma raiz a
quantidade de vezes que um número é solução de
uma equação.
Exemplos:
a) 3 é raiz com multiplicidade dois da equação x – 6x + 9 = 0.
2
b) -2 é raiz com multiplicidade um da equação 4x + 8 = 0.
c) 0 é raiz com multiplicidade três da equação x - 7x = 0.
4
*Obs.: Podemos afirmar que as raízes dos itens
anteriores são dupla, simples e tripla, respectivamente.
3

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RESOLUÇÃO DE UMA
EQUAÇÃO ALGÉBRICA
I) Quando a soma dos coeficientes de uma
equação é zero, então 1 é raiz dessa equação.
II) Quando o termo independente de uma
equação é zero, então essa equação tem raiz nula
com multiplicidade igual ao seu menor expoente.
x – 2x + 5x - 4 = 03 2
x – 7x + 12x = 04 3 2

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IV) Caso uma equação com coeficientes inteiros
possua raiz inteira, então essa raiz é um dos
divisores da razão entre o termo independente e o
coeficiente de maior grau.
x – 6x – 11x + 10 = 03 2
III) Caso seja possível, podemos recorrer à
fatoração por agrupamento.
x – 4x + 3x - 12 = 03 2

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TEOREMA DAS RAÍZES
COMPLEXAS
Se um número complexo(não real) é raiz de uma
equação cujos coeficientes são reais, então seu
conjugado também é raiz dessa equação.
Exemplo:
Determine as raízes da equação 5x – 10x + 50x = 0.
3 2
*OBS: Esse teorema também é válido para raízes
irracionais.

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RELAÇÕES DE GIRARD
São relações estabelecidas entre as raízes de
uma equação algébrica e seus coeficientes.
EQUAÇÕES DE GRAU 2
0CBxAx2
=++
A
B
xx 21 −=+
A
C
x.x 21 =
EQUAÇÕES DE GRAU 3
0DCxBxAx 23
=+++
A
B
xxx 321 −=++
A
D
x.x.x 321 −=
A
C
xxxxxx 323121 =++

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EQUAÇÕES DE GRAU 4
0EDxCxBxAx 234
=++++
A
B
xxxx 4321 −=+++
A
E
x.x.x.x 4321 =
A
C
xxxxxxxxxxxx 434232413121 =+++++
A
D
xxxxxxxxx 432431421321 −=+++ xxx

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Considere a equação , com k real.
Se o número complexo 2 – i é uma das raízes dessa
equação, então o valor de k é:
A) irracional.
B) natural.
C) ímpar.
D) cubo perfeito.
E) racional não inteiro.
015kxxx 23
=++−

11. Prof.: Rodrigo Carvalho
Se a equação x − 3x − 4x + 12 = 0 tem duas raízes
simétricas, a outra raiz é um número:
3 2
a) negativo;
b) irracional;
c) maior que 12;
d) entre 2 e 4;
e) entre 0 e 1.

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A soma dos inversos das raízes da equação
2x − 5x −3x + 2 = 0 é igual a:
3 2
2
5
e)
2
3
d)
2
1
c)
2
3
b)
2
5
a) −−−

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