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Revisão de Polinômios
 Definição;
             
Uma função polinomial ou simplesmente
polinômio, é toda função definida pela relação
P(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.
Onde:
an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 são números reais
chamados coeficientes.
n IN
x C (nos complexos) é a variável.
Função Polinomial
              
 Polinômio Identicamente nulo;
 Operações com polinômios;
Grau de um polinômio

                         máximo que ele
 Grau de um polinômio é o expoente
  possui. Se o coeficiente an 0, então o expoente máximo n
  é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n.
  Exemplos:
 P(x)=5 ou P(x)=5.x0 é um polinômio constante, ou
  seja, gr(P)=0.
 P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1.
 P(x)=4x5+7x4 é um polinômio do 5º grau, ou
  seja, gr(P)=5.
 Obs.: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.
Valor numérico de um polinômio

                           P(x) para x=a, é o número
 O valor numérico de um polinômio
    que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as
    operações indicadas pela relação que define o polinômio.
    Exemplo:
   Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é:
   P(x)= x3+2x2+x-4
   P(2)= 23+2.22+2-4
   P(2)= 14
                       Raiz de um Polinômio
   Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de
    P(x).
   Por exemplo, no polinômio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1
    é raiz ou zero desse polinômio.
Igualdade de polinômios
                              
 Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos
  (e indicamos A(x) B(x)) quando assumem valores numéricos
  iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A
  condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é
  que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.
 Exemplo:
 Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1
  a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1).
 Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos
  semelhantes do segundo membro temos:
 x2-2x+1 ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c
 1x2-2x+1 (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c)

  Agora igualamos os coeficientes correspondentes:
a    b   1
  a    b   c     2
  a    c   1

Substituindo a 1ª equação na 2ª:
1+c = -2 => c=-3.
Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos:
a-3=1 => a=4.
Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos:
4+b=1 => b=-3.
Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.

Obs.: um polinômio é dito identicamente nulo se
tem todos os seus coeficientes nulos.
Divisão de Polinômios
                           
 Método da Chave;
 Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.
 Efetuar a divisão de P por D é determinar dois
   polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições
   abaixo:
1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x)
2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0
P ( x ) D( x )

Nessa divisão:
                        R( x) Q( x)
 P(x) é o dividendo.
 D(x) é o divisor.
 Q(x) é o quociente.
 R(x) é o resto da divisão.
 Obs.: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é
exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor
de P(x).


  Se D(x) é divisor de P(x)         R(x)=0
Dispositivo de Briot-
          Ruffini
             
Serve para efetuar a divisão de um
 polinômio P(x) por um binômio da forma
 (ax+b).
Exemplo: Determinar o quociente e o
 resto da divisão do polinômio P(x)=3x3-
 5x2+x-2 por (x-2).
 Resolução:

   
RAIZ DO DIVISOR   ES DE P(x) 
                       COEFICIENT
                                  
   2              3    5           1      2
                           3.(2) 5       1.(2) 1     3.(2) 2

                  1 
                  3        3
                                                     4
                                                     
                   COEFICIENTES DO QUOCIENTEQ(x)     RESTO



  Observe que o grau de Q(x) é uma unidade
  inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1.
  Resposta: Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4.
Teorema do resto
             
 O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo
  binômio ax+b é igual a P(-b/a).

            Teorema de D’ Alembert
 Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se
  P(-b/a)=0
Equações polinomiais
       ou algébricas
             

Teorema Fundamental da
     Álgebra (TFA)
             
Toda equação algébrica p(x) =
 0 de grau n (n≥1) possui pelo
 menos uma raiz complexa (real
 ou não).
Decomposição em fatores
   de primeiro grau.
          

Vamos analisar dois casos:
1º caso: O polinômio é do 2º grau.
De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax2+bx+c
que admite as raízes r1 e r2 pode ser decomposto em fatores
do 1º grau, da seguinte forma:


 ax2+bx+c = a(x-r1)(x-r2)
 Exemplos:
 Fatorar o polinômio P(x)=x2-4.
 Resolução: Fazendo x2-4=0, obtemos as raízes r1=2 e r2=-2.
 Logo: x2-4 = (x-2)(x+2).

 Fatorar o polinômio P(x)=x2-7x+10.
 Resolução: Fazendo x2-7x+10=0, obtemos as raízes r1=5 e
 r2=2.
 Logo: x2-7x+10 = (x-5)(x-2).
Multiplicidade da raiz
           
Se duas, três ou mais raiz forem
 iguais, dizemos que são raízes
 duplas, triplas, etc.
Uma raiz r1 do polinômio P(x) é
 dita raiz dupla ou de
 multiplicidade 2 se P(x) é divisível
 por (x-r1)2.
Relações de Girard
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Fim da Revisão
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Revisão de polinômios

  • 1. Revisão de Polinômios  Definição;  Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0. Onde: an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 são números reais chamados coeficientes. n IN x C (nos complexos) é a variável.
  • 2. Função Polinomial   Polinômio Identicamente nulo;  Operações com polinômios;
  • 3. Grau de um polinômio  máximo que ele  Grau de um polinômio é o expoente possui. Se o coeficiente an 0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n. Exemplos:  P(x)=5 ou P(x)=5.x0 é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0.  P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1.  P(x)=4x5+7x4 é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5.  Obs.: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.
  • 4. Valor numérico de um polinômio  P(x) para x=a, é o número  O valor numérico de um polinômio que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo:  Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é:  P(x)= x3+2x2+x-4  P(2)= 23+2.22+2-4  P(2)= 14 Raiz de um Polinômio  Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x).  Por exemplo, no polinômio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.
  • 5. Igualdade de polinômios   Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x) B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.  Exemplo:  Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1 a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1).  Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos:  x2-2x+1 ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c  1x2-2x+1 (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c)  Agora igualamos os coeficientes correspondentes:
  • 6. a b 1 a b c 2 a c 1 Substituindo a 1ª equação na 2ª: 1+c = -2 => c=-3. Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos: a-3=1 => a=4. Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos: 4+b=1 => b=-3. Resposta: a=4, b=-3 e c=-3. Obs.: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos.
  • 7. Divisão de Polinômios   Método da Chave;  Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.  Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo: 1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x) 2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0
  • 8. P ( x ) D( x ) Nessa divisão: R( x) Q( x) P(x) é o dividendo. D(x) é o divisor. Q(x) é o quociente. R(x) é o resto da divisão. Obs.: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x). Se D(x) é divisor de P(x) R(x)=0
  • 9. Dispositivo de Briot- Ruffini  Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b). Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x)=3x3- 5x2+x-2 por (x-2). Resolução:
  • 10.    RAIZ DO DIVISOR ES DE P(x)  COEFICIENT  2 3 5 1 2 3.(2) 5 1.(2) 1 3.(2) 2 1  3  3   4  COEFICIENTES DO QUOCIENTEQ(x) RESTO Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1. Resposta: Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4.
  • 11. Teorema do resto   O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a P(-b/a). Teorema de D’ Alembert  Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0
  • 12. Equações polinomiais ou algébricas  
  • 13. Teorema Fundamental da Álgebra (TFA)  Toda equação algébrica p(x) = 0 de grau n (n≥1) possui pelo menos uma raiz complexa (real ou não).
  • 14. Decomposição em fatores de primeiro grau.  
  • 15. Vamos analisar dois casos: 1º caso: O polinômio é do 2º grau. De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax2+bx+c que admite as raízes r1 e r2 pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte forma: ax2+bx+c = a(x-r1)(x-r2) Exemplos: Fatorar o polinômio P(x)=x2-4. Resolução: Fazendo x2-4=0, obtemos as raízes r1=2 e r2=-2. Logo: x2-4 = (x-2)(x+2). Fatorar o polinômio P(x)=x2-7x+10. Resolução: Fazendo x2-7x+10=0, obtemos as raízes r1=5 e r2=2. Logo: x2-7x+10 = (x-5)(x-2).
  • 16. Multiplicidade da raiz  Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc. Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r1)2.