1) O documento discute séries de Taylor, incluindo como encontrá-las por substituição e multiplicação. 2) A identidade de Euler é apresentada, relacionando os números complexos e, e i com funções trigonométricas. 3) Exemplos e exercícios são fornecidos para encontrar séries de Taylor de várias funções.

1. EXEMPLOS E EXERCÍCIOS – SÉRIE DE TAYLOR
Encontrando uma série de Taylor por substituição.
Exemplo 1: Encontre a série de Taylor para 𝑐𝑜𝑠2𝑥 em 𝑥 = 0
Encontrando uma série de Taylor por multiplicação.
Exemplo 2: Encontre a série de Taylor para 𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥
IDENTIDADE DE EULER
Um número complexo é um número na forma 𝑎 + 𝑏𝑖, onde 𝑎 𝑒 𝑏 são números reais e
𝑖 = −1 . Se substituirmos 𝑥 = 𝑖𝜃 (𝜃 𝑟𝑒𝑎𝑙) na série de Taylor para 𝑒!
e utilizarmos
as relações dos números complexos:
𝑖!
= 1, 𝑖!
= 𝑖, 𝑖!
= −1, 𝑖!
= −𝑖, 𝑖!
= 1, …
temos:
𝑒!"
= 1 +
𝑖𝜃
1!
+
𝑖!
𝜃!
2!
+
𝑖!
𝜃!
3!
+
𝑖!
𝜃!
4!
+
𝑖!
𝜃!
5!
+
𝑖!
𝜃!
6!
+ ⋯
= 1 −
𝜃!
2!
+
𝜃!
4!
−
𝜃!
6!
+ ⋯ + 𝑖 𝜃 −
𝜃!
3!
+
𝜃!
5!
− ⋯
𝑒!"
= 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃
Logo, enunciamos a definição:
Para qualquer número real 𝜃, 𝒆𝒊𝜽
= 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽
Aqui temos a identidade de Euler

2. Como 𝜃 pode ser qualquer número real, atribuímos 𝜃 = 𝜋, assim
𝑒!"
= 𝑐𝑜𝑠𝜋 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜋
como 𝑐𝑜𝑠𝜋 = −1 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝜋 = 0, por definimos temos:
𝑒!"
= −1
logo 𝑒!"
+ 1 = 0
A beleza da equação é que ela relaciona cinco números fundamentais da matemática:
𝑒, 𝜋, 𝑖, 0 𝑒 1 ; e as operações base da matemática: adição, multiplicação e
exponenciação.
EXERCÍCIOS
1) Use substituição para encontrar a série de Taylor em x = 0 das funções a
seguir.
a) 𝑒!!!
b) 𝑒!
!
!
c) 5𝑠𝑒𝑛(−x)
d) 𝑠𝑒𝑛
!"
!
e) cos 𝑥 + 1
f) cos
!
!
!
!
2) Encontre as séries de Taylor em x = 0 para as funções das funções a seguir:
a) 𝑥
b) 𝑒!
c) 𝑥!
𝑠𝑒𝑛𝑥
d)
!!
!
− 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
e) 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥 +
!!
!!
f) 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥
g) 𝑥!
cos (𝑥!
)
h) 𝑐𝑜𝑠!
𝑥
(𝑠𝑢𝑔𝑒𝑠𝑡ã𝑜: 𝑐𝑜𝑠!
𝑥 = (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)/2)