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EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 
OU 
POLINOMIAIS 
Polinômios
Definição 
 Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma P(x) = 0, em 
que P(x) é um polinômio: 
P(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 = 0 
 Em que: 
 an é diferente de 0; 
 an, an-1, ..., a1 e a0 são números complexos chamados coeficientes; 
 n pertence ao conjunto dos números naturais.
Grau e raiz da equação 
 O grau do polinômio p(x) é igual ao valor do maior expoente da incógnita cujo 
coeficiente não seja zero. 
 Exemplos: 
 3x – 2 = 0 é uma equação algébrica de 1º grau; 
 5x3 – 3x +1 = 0 é uma equação algébrica de 3º grau. 
 Chamamos de raiz ou zero de uma equação polinomial P(x) = 0 todo número 
complexo α, tal que P(α) = 0. 
α é raiz de P(x) = 0 P(α) = 0 
 Conjunto Solução de uma equação polinomial é o conjunto formado por todas as 
raízes da equação.
Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) 
 Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo 
menos uma raiz complexa. 
 Exemplo 1: Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a 
raiz da equação 2x4 + kx3 – 5x2 + x – 15 = 0.
Teorema da decomposição 
 TFA: Um polinômio P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 possui pelo 
menos uma raiz complexa α1, tal que P(α1) = 0. 
 Teorema de D'Alembert: P(α1) = 0, então P(x) é divisível por (x – α1), 
resultando em um quociente Q1(x), que é um polinômio de grau (n – 1), o 
que nos leva a: 
P(x) = (x – α1) . Q1(x)
Teorema da decomposição II 
 A partir dessa equação, é preciso destacar duas possibilidades: 
 Se α = 1 e Q1(x) é um polinômio de grau (n – 1), então Q1(x) possui grau 0. Como o 
coeficiente dominante de P(x) é an, Q1(x) é um polinômio constante do 
tipo Q1(x) = an. Portanto, temos: 
P(x) = (x – α1) . Q1(x) P(x) = an . (x – α1) 
 Se α ≥ 2, então o polinômio Q1 possui grau n – 1 ≥ 1 e vale o TFA. Podemos afirmar 
que o polinômio Q1 possui pelo menos uma raiz n2, o que nos leva a afirmar que Q1 
pode ser escrito como: 
Q1(x) = (x – α2) . Q2(x) 
 Mas como P(x) = (x – α1) . Q1(x), podemos reescrevê-lo como: 
P(x) = (x – α1) . (x – α2) . Q2(x)
Teorema da decomposição III 
 Repetindo sucessivamente esse processo, teremos: 
P(x) = an . (x – α1) . (x – α2) … (x – αn) 
 Todo polinômio ou equação polinomial p(x) = 0 de grau n ≥ 1 possui 
exatamente n raízes complexas. 
 Exemplo 2: Dada a equação 2x3 – 3x2 – 11x + 6 = 0: 
a) verificar que 3 é uma de suas raízes; 
b) obter as suas demais raízes; 
c) escrever esta equação na forma fatorada. 
 Exemplo 3: Seja p(x) um polinômio de grau 5, tal que suas raízes sejam – 1, 2, 3, – 
2 e 4. Escreva esse polinômio decomposto em fatores de 1° grau, considerando 
o coeficiente dominante igual a 1. Ele deve ser escrito na forma estendida.
Multiplicidade das raízes 
 Em uma equação algébrica de grau n, podemos ter, entre as suas n raízes, 
m raízes iguais entre si. Quando m raízes são iguais a um mesmo número 
α, dizemos que α é raiz de multiplicidade m da equação, e, na forma 
fatorada, o fator (x – α) aparece exatamente m vezes. 
 Obs: Quando α é uma raiz de multiplicidade m de uma equação P(x) = 0, 
P(x) é divisível por (x – α)m. 
 Exemplo 4: Verifique qual a multiplicidade da raiz 2 na equação 
x4 – 4x3 + 16x – 16 = 0.
Equipe – 3ºB 
 Fernanda Freitas 
 Janaína Karen 
 Kíssia França 
 Matheus Almeida 
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Equações Polinomiais

  • 1. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS OU POLINOMIAIS Polinômios
  • 2. Definição  Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma P(x) = 0, em que P(x) é um polinômio: P(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 = 0  Em que:  an é diferente de 0;  an, an-1, ..., a1 e a0 são números complexos chamados coeficientes;  n pertence ao conjunto dos números naturais.
  • 3. Grau e raiz da equação  O grau do polinômio p(x) é igual ao valor do maior expoente da incógnita cujo coeficiente não seja zero.  Exemplos:  3x – 2 = 0 é uma equação algébrica de 1º grau;  5x3 – 3x +1 = 0 é uma equação algébrica de 3º grau.  Chamamos de raiz ou zero de uma equação polinomial P(x) = 0 todo número complexo α, tal que P(α) = 0. α é raiz de P(x) = 0 P(α) = 0  Conjunto Solução de uma equação polinomial é o conjunto formado por todas as raízes da equação.
  • 4. Teorema Fundamental da Álgebra (TFA)  Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa.  Exemplo 1: Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a raiz da equação 2x4 + kx3 – 5x2 + x – 15 = 0.
  • 5. Teorema da decomposição  TFA: Um polinômio P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 possui pelo menos uma raiz complexa α1, tal que P(α1) = 0.  Teorema de D'Alembert: P(α1) = 0, então P(x) é divisível por (x – α1), resultando em um quociente Q1(x), que é um polinômio de grau (n – 1), o que nos leva a: P(x) = (x – α1) . Q1(x)
  • 6. Teorema da decomposição II  A partir dessa equação, é preciso destacar duas possibilidades:  Se α = 1 e Q1(x) é um polinômio de grau (n – 1), então Q1(x) possui grau 0. Como o coeficiente dominante de P(x) é an, Q1(x) é um polinômio constante do tipo Q1(x) = an. Portanto, temos: P(x) = (x – α1) . Q1(x) P(x) = an . (x – α1)  Se α ≥ 2, então o polinômio Q1 possui grau n – 1 ≥ 1 e vale o TFA. Podemos afirmar que o polinômio Q1 possui pelo menos uma raiz n2, o que nos leva a afirmar que Q1 pode ser escrito como: Q1(x) = (x – α2) . Q2(x)  Mas como P(x) = (x – α1) . Q1(x), podemos reescrevê-lo como: P(x) = (x – α1) . (x – α2) . Q2(x)
  • 7. Teorema da decomposição III  Repetindo sucessivamente esse processo, teremos: P(x) = an . (x – α1) . (x – α2) … (x – αn)  Todo polinômio ou equação polinomial p(x) = 0 de grau n ≥ 1 possui exatamente n raízes complexas.  Exemplo 2: Dada a equação 2x3 – 3x2 – 11x + 6 = 0: a) verificar que 3 é uma de suas raízes; b) obter as suas demais raízes; c) escrever esta equação na forma fatorada.  Exemplo 3: Seja p(x) um polinômio de grau 5, tal que suas raízes sejam – 1, 2, 3, – 2 e 4. Escreva esse polinômio decomposto em fatores de 1° grau, considerando o coeficiente dominante igual a 1. Ele deve ser escrito na forma estendida.
  • 8. Multiplicidade das raízes  Em uma equação algébrica de grau n, podemos ter, entre as suas n raízes, m raízes iguais entre si. Quando m raízes são iguais a um mesmo número α, dizemos que α é raiz de multiplicidade m da equação, e, na forma fatorada, o fator (x – α) aparece exatamente m vezes.  Obs: Quando α é uma raiz de multiplicidade m de uma equação P(x) = 0, P(x) é divisível por (x – α)m.  Exemplo 4: Verifique qual a multiplicidade da raiz 2 na equação x4 – 4x3 + 16x – 16 = 0.
  • 9. Equipe – 3ºB  Fernanda Freitas  Janaína Karen  Kíssia França  Matheus Almeida  Yasmin Lopes