Este documento discute equações polinomiais e algébricas. Ele define equações polinomiais como equações na forma P(x)=0, onde P(x) é um polinômio. O documento também discute o grau de uma equação polinomial, raízes, o Teorema Fundamental da Álgebra, a decomposição de polinômios em fatores de primeiro grau, e a multiplicidade de raízes.

1. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
OU
POLINOMIAIS
Polinômios

2. Definição
 Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma P(x) = 0, em
que P(x) é um polinômio:
P(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 = 0
 Em que:
 an é diferente de 0;
 an, an-1, ..., a1 e a0 são números complexos chamados coeficientes;
 n pertence ao conjunto dos números naturais.

3. Grau e raiz da equação
 O grau do polinômio p(x) é igual ao valor do maior expoente da incógnita cujo
coeficiente não seja zero.
 Exemplos:
 3x – 2 = 0 é uma equação algébrica de 1º grau;
 5x3 – 3x +1 = 0 é uma equação algébrica de 3º grau.
 Chamamos de raiz ou zero de uma equação polinomial P(x) = 0 todo número
complexo α, tal que P(α) = 0.
α é raiz de P(x) = 0 P(α) = 0
 Conjunto Solução de uma equação polinomial é o conjunto formado por todas as
raízes da equação.

4. Teorema Fundamental da Álgebra (TFA)
 Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo
menos uma raiz complexa.
 Exemplo 1: Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a
raiz da equação 2x4 + kx3 – 5x2 + x – 15 = 0.

5. Teorema da decomposição
 TFA: Um polinômio P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 possui pelo
menos uma raiz complexa α1, tal que P(α1) = 0.
 Teorema de D'Alembert: P(α1) = 0, então P(x) é divisível por (x – α1),
resultando em um quociente Q1(x), que é um polinômio de grau (n – 1), o
que nos leva a:
P(x) = (x – α1) . Q1(x)

6. Teorema da decomposição II
 A partir dessa equação, é preciso destacar duas possibilidades:
 Se α = 1 e Q1(x) é um polinômio de grau (n – 1), então Q1(x) possui grau 0. Como o
coeficiente dominante de P(x) é an, Q1(x) é um polinômio constante do
tipo Q1(x) = an. Portanto, temos:
P(x) = (x – α1) . Q1(x) P(x) = an . (x – α1)
 Se α ≥ 2, então o polinômio Q1 possui grau n – 1 ≥ 1 e vale o TFA. Podemos afirmar
que o polinômio Q1 possui pelo menos uma raiz n2, o que nos leva a afirmar que Q1
pode ser escrito como:
Q1(x) = (x – α2) . Q2(x)
 Mas como P(x) = (x – α1) . Q1(x), podemos reescrevê-lo como:
P(x) = (x – α1) . (x – α2) . Q2(x)

7. Teorema da decomposição III
 Repetindo sucessivamente esse processo, teremos:
P(x) = an . (x – α1) . (x – α2) … (x – αn)
 Todo polinômio ou equação polinomial p(x) = 0 de grau n ≥ 1 possui
exatamente n raízes complexas.
 Exemplo 2: Dada a equação 2x3 – 3x2 – 11x + 6 = 0:
a) verificar que 3 é uma de suas raízes;
b) obter as suas demais raízes;
c) escrever esta equação na forma fatorada.
 Exemplo 3: Seja p(x) um polinômio de grau 5, tal que suas raízes sejam – 1, 2, 3, –
2 e 4. Escreva esse polinômio decomposto em fatores de 1° grau, considerando
o coeficiente dominante igual a 1. Ele deve ser escrito na forma estendida.

8. Multiplicidade das raízes
 Em uma equação algébrica de grau n, podemos ter, entre as suas n raízes,
m raízes iguais entre si. Quando m raízes são iguais a um mesmo número
α, dizemos que α é raiz de multiplicidade m da equação, e, na forma
fatorada, o fator (x – α) aparece exatamente m vezes.
 Obs: Quando α é uma raiz de multiplicidade m de uma equação P(x) = 0,
P(x) é divisível por (x – α)m.
 Exemplo 4: Verifique qual a multiplicidade da raiz 2 na equação
x4 – 4x3 + 16x – 16 = 0.

9. Equipe – 3ºB
 Fernanda Freitas
 Janaína Karen
 Kíssia França
 Matheus Almeida
 Yasmin Lopes