Este documento resume conceitos básicos sobre equações do 1o grau, incluindo: (1) expressões algébricas e literais, (2) conjunto universo e conjunto solução de uma equação, e (3) verificação se um número é raiz de uma equação. O documento também discute equações equivalentes e os princípios de equivalência.

1. Equações do 1º grau
(Parte 2)
Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf
Sumário Página
Expressões algébricas ou literais ................................................................................................ 1
Conjunto universo e conjunto solução de uma equação ............................................................ 3
Como verificar se o número dado é raiz de uma equação .......................................................... 5
Equações equivalentes................................................................................................................ 6
Como reconhecer se duas ou mais equações são equivalentes ........................................... 6
Os princípios de equivalência .................................................................................................... 6
Como escrever uma equação equivalente a uma equação dada .......................................... 6
Princípios da igualdade ....................................................................................................... 6
Princípio aditivo da igualdade ......................................................................................... 6
Princípio multiplicativo da igualdade.............................................................................. 7
Referências bibliográficas .......................................................................................................... 8

2. 1
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Expressões algébricas ou literais
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São
também denominadas expressões literais.
Em muitos problemas podemos usar letras para generalizar uma situação.
Veja como podemos expressar o perímetro de alguns polígonos cujos lados têm
a mesma medida, representada pela letra x.
• Triângulo eqüilátero: x + x + x = 3 x
• Quadrado: x + x + x + x = 4 x
• Pentágono regular: x + x + x + x + x = 5 x
Agora, para escrever a expressão do perímetro do retângulo abaixo:
Temos:
m+n+m+n=
m+m+n+n=
2m + 2n

3. 2
No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas
representam expressões algébricas ou numéricas.
As letras nas expressões são chamadas incógnitas ou variáveis o que significa
que o valor de cada letra pode ser substituído por um valor numérico.
Exemplos:
a) Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço
de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do
caderno e y o preço de cada caneta.
b) Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante
com o preço de um salgado, usando expressões do tipo 1x+1y onde x representa
o preço do salgado e y o preço do refrigerante. Usamos a subtração para saber o
valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o
valor do troco, então temos uma expressão algébrica do tipo V− (1x+1y) = T.
c) Consideremos P = 2A+10 e tomemos A=5. Assim:
P = 2⋅5 + 10
P = 10 + 10
P = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor
numérico da expressão indicada por P.
d) As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas
matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras
figuras planas.
Expressão algébrica Objeto matemático Figura
A=b·h Área do retângulo
A=b·h/2 Área do triângulo
P=4a Perímetro do quadrado

4. 3
Conjunto universo e conjunto solução de uma equação
Consideremos as seguintes situações:
1ª) Dentre os elementos do conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, qual deles podemos
colocar no lugar da letra x para tornar verdadeira a equação x + 2 = 6 ?
Fazendo a substituição, vemos que o elemento é o número 4, pois:
x+2=6
4+2=6
6=6
Assim:
• O conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, formado por todos os elementos que a
incógnita x pode assumir, é denominado conjunto universo da equação.
• O conjunto {4}, formado pelo elemento de A que torna verdadeira a equação,
chama-se conjunto solução da equação.
• O número 4 é a solução ou raiz da equação.
Equação dada: x + 2 = 6
Conjunto universo: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Síntese:
Conjunto solução: S = {4}
Solução ou raiz da equação: o número 4
2ª) Qual é o número natural que podemos colocar no lugar da letra x para tornar
verdadeira a equação 3 x = 15 ?
Fazendo a substituição, vemos que o número natural é 5, pois:
3x = 15
3 ⋅ 5 = 15
15 = 15
Os demais números naturais não tornam verdadeira a equação.
Assim:

5. 4
• O conjunto dos números naturais, que representa os valores que a incógnita
x pode assumir, é denominado conjunto universo da equação.
• O conjunto {5}, formado pelo elemento de que torna verdadeira a equação,
chama-se conjunto solução da equação.
• O número 5 é a solução ou raiz da equação.
Equação dada: 3 x = 15
Conjunto universo: U =
Síntese:
Conjunto solução: S = {5}
Solução ou raiz da equação: o número 5
3ª) Qual é o número inteiro que podemos colocar no lugar da letra y para tornar
verdadeira a equação 2 y + 1 = −5 ?
Fazendo a substituição, vemos que o número natural é –3, pois:
2 y + 1 = −5
2 ⋅ (−3) + 1 = −5
− 5 = −5
Equação dada: 2 y + 1 = −5
Conjunto universo: U =
Síntese:
Conjunto solução: S = {–3}
Solução ou raiz da equação: o número –3
Pelas situações dadas, você verifica que, dada uma equação, devemos
estabelecer inicialmente um conjunto numérico formado por todos os valores
pelos quais a incógnita pode ser substituída. Esse conjunto é chamado conjunto
universo da equação.
Assim:
• Se U = , a incógnita pode assumir o valor de qualquer número natural.
• Se U = , a incógnita pode assumir o valor de qualquer número inteiro.
• Se U = , a incógnita pode assumir o valor de qualquer número racional.

6. 5
Você verifica, também, que o conjunto solução (S) de uma equação é formado
por todos os valores do conjunto universo dado que tornam verdadeira a equação
e, por esse motivo, também pode ser chamado conjunto verdade (V) da
equação.
O conjunto solução pode ter um ou mais elementos, podendo ser também um
conjunto vazio.
Como verificar se o número dado é raiz de uma equação
Cada um dos valores que, colocados no lugar da incógnita, transforma a equação
em uma sentença verdadeira é chamado de raiz da equação. Para verificarmos
se um dado número é ou não raiz de uma equação, basta substituirmos a
incógnita por esse número e observarmos se a sentença obtida é ou não
verdadeira.
Exemplos:
a) Verificar se o número 3 é raiz da equação 5 x − 3 = 2 x + 6 .
5x − 3 = 2 x + 6
5⋅3− 3 = 2⋅3+ 6
15 − 3 = 6 + 6
12 = 12 (V)
Logo, o número 3 é raiz da equação 5 x − 3 = 2 x + 6 .
b) Verificar se o número –2 é raiz da equação y 2 − 5 y = 3 y + 5 .
y2 − 5 y = 3y + 5
(−2) 2 − 5 ⋅ (−2) = 3 ⋅ (−2) + 5
4 + 10 = −6 + 5
14 ≠ −1 (F)
Logo, o número –2 não é raiz da equação y 2 − 5 y = 3 y + 5 .

7. 6
Equações equivalentes
Como reconhecer se duas ou mais equações são equivalentes
É através do conjunto solução que identificamos as equações equivalentes.
Em um mesmo conjunto universo, duas ou mais equações que apresentam o
mesmo conjunto solução (não vazio) são denominadas equações equivalentes.
Exemplo:
Consideremos as equações, sendo U = :
x + 3 = 10, onde S = {7}
Todas as equações apresentam a mesma
x = 10 − 3, onde S = {7}
solução ou raiz, que é o número 7
x = 7, onde S = {7}
As equações x + 3 = 10 , x = 10 = 3 e x = 7 apresentam a mesma raiz ou solução.
Por esse motivo, são chamadas equações equivalentes.
A forma mais simples de representar essas equações é x = 7 .
Os princípios de equivalência
Como escrever uma equação equivalente a uma equação dada
É através do conjunto solução que identificamos as equações equivalentes.
Como de uma equação chegamos a uma equação equivalente a ela? Para isso
precisamos utilizar os princípios da igualdade, esses princípios são utilizados
tanto para encontrar equações equivalentes como para qualquer tipo de
igualdade matemática.
Princípios da igualdade
►Princípio aditivo da igualdade
Esse princípio diz que em uma igualdade matemática se adicionarmos um
mesmo valor aos dois membros de uma equação, obteremos uma equação
equivalente à equação dada. Veja o exemplo:

8. 7
► Dada a equação 3 x − 1 = 8 , se somarmos 5 aos dois membros da sua
igualdade, teremos:
3x − 1 = 8
3x − 1 + 5 = 8 + 5
3 x + 4 = 13 (chegamos à outra equação que é equivalente à equação 3 x − 1 = 8)
Conforme o princípio aditivo da igualdade, as duas equações são equivalentes.
Se acharmos as raízes das duas equações, perceberemos que são iguais, então
afirmaremos o que esse princípio diz - que as duas são equivalentes. Veja o
cálculo das suas raízes:
3x − 1 = 8 3 x + 4 = 13
3x − 1 + 1 = 8 + 1 3 x + 4 − 4 = 13 − 4
3x = 9 3x = 9
1 1 1 1
3x ⋅ = 9 ⋅ 3x ⋅ = 9 ⋅
3 3 3 3
x=3 x=3
S = {3} S = {3}
As raízes são iguais, portanto confirmamos o princípio aditivo da igualdade.
►Princípio multiplicativo da igualdade
Esse princípio diz que ao multiplicarmos ou dividirmos os dois membros da
igualdade pelo mesmo número, desde que esse seja diferente de zero, obteremos
outra equação que será equivalente à equação dada. Veja o exemplo:
► Dada a equação x − 1 = 2 , uma das formas de achar uma equação equivalente
a ela é utilizando o princípio multiplicativo da igualdade. Se multiplicarmos os
dois membros dessa igualdade por 4, teremos:
x −1 = 2
4 ⋅ ( x − 1) = 4 ⋅ 2
4 x − 4 = 8 (chegamos à outra equação que é equivalente à equação x − 1 = 2)

9. 8
Já sabemos que suas equações são equivalentes se suas raízes são iguais. Então,
vamos calcular as raízes do exemplo acima, para verificarmos se realmente são
equivalentes.
x −1= 2 4x − 4 = 8
x −1+1= 2 +1 4x − 4 + 4 = 8 + 4
x=3 4 x = 12
1 1
S = {3} 4x ⋅ = 12 ⋅
4 4
x=3
S = {3}
As raízes são iguais, portanto confirmamos o princípio multiplicativo da
igualdade.
Referências bibliográficas
[1] A conquista da matemática (5ª a 8ª Série). Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora
FTD.
[2] Matemática (Projeto Araribá) (5ª a 8ª Série). Editora Moderna.
[3] Tudo é matemática (5ª a 8ª Série). Luiz Roberto Dante. Editora Ática.
[4] Matemática hoje é feita assim (5ª a 8ª Série). Antonio José Lopes Bigode. Editora FTD.
[5] Matemática no plural (5ª a 8ª Série). Marcos Miani. Editora IBEP.
[6] http://www.brasilescola.com