1. O documento apresenta os conceitos fundamentais da Teoria Elementar dos Números, incluindo divisibilidade, algoritmo da divisão, máximo divisor comum e números primos.
2. A seção sobre divisibilidade discute propriedades como o algoritmo da divisão de Euclides e o teorema fundamental da aritmética.
3. O documento fornece definições, teoremas e exemplos para introduzir esses conceitos-chave da teoria elementar dos números.
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
O documento explica o conceito de potenciação, também chamado de exponenciação, que é uma operação matemática que indica a multiplicação de um número por ele mesmo um número x de vezes. Também apresenta as principais propriedades e regras da potenciação, como a elevação de números a expoentes positivos e negativos, a multiplicação e divisão de potências, e a relação entre potenciação e funções exponenciais e logarítmicas.
O documento explica o que é fatorial de um número, definido como a multiplicação desse número por todos os inteiros positivos menores que ele. Mostra exemplos como 5! = 120 e 4! = 24. Também apresenta aplicações dos fatoriais em permutações e anagramas.
Neste documento, são apresentados os seguintes tópicos sobre logaritmos:
1) A definição básica de logaritmo relaciona o expoente de uma potência com o logaritmo de sua base;
2) São mostradas propriedades fundamentais como a aditividade de logaritmos de produtos e a subtratividade de logaritmos de quocientes;
3) É explicado o cálculo de logaritmos utilizando tábuas ou propriedades algébricas.
O capítulo apresenta 12 questões de matemática resolvidas, incluindo cálculos com somas, fatoriais e equações. As questões subsequentes (13 a 21) também tratam de tópicos matemáticos como relações entre classes e solução de equações.
O documento fornece uma explicação detalhada sobre equações do primeiro grau, incluindo expressões algébricas, valor numérico, redução de termos semelhantes, equações, raiz de equações, princípios de equivalência e como calcular a raiz de uma equação do 1o grau.
A professora apresenta vários exemplos numéricos para ensinar as regras de resolução de expressões matemáticas. As regras incluem: 1) calcular o que está dentro dos parêntesis primeiro, 2) multiplicar e dividir da esquerda para a direita antes de somar e subtrair.
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de várias figuras planas como retângulos, quadrados, triângulos e círculos. Inclui também a definição de área como um número real positivo associado à superfície de uma região. Explica que a área de uma figura é dada pela multiplicação de medidas como base e altura ou pelo produto de medidas de lados.
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
O documento explica o conceito de potenciação, também chamado de exponenciação, que é uma operação matemática que indica a multiplicação de um número por ele mesmo um número x de vezes. Também apresenta as principais propriedades e regras da potenciação, como a elevação de números a expoentes positivos e negativos, a multiplicação e divisão de potências, e a relação entre potenciação e funções exponenciais e logarítmicas.
O documento explica o que é fatorial de um número, definido como a multiplicação desse número por todos os inteiros positivos menores que ele. Mostra exemplos como 5! = 120 e 4! = 24. Também apresenta aplicações dos fatoriais em permutações e anagramas.
Neste documento, são apresentados os seguintes tópicos sobre logaritmos:
1) A definição básica de logaritmo relaciona o expoente de uma potência com o logaritmo de sua base;
2) São mostradas propriedades fundamentais como a aditividade de logaritmos de produtos e a subtratividade de logaritmos de quocientes;
3) É explicado o cálculo de logaritmos utilizando tábuas ou propriedades algébricas.
O capítulo apresenta 12 questões de matemática resolvidas, incluindo cálculos com somas, fatoriais e equações. As questões subsequentes (13 a 21) também tratam de tópicos matemáticos como relações entre classes e solução de equações.
O documento fornece uma explicação detalhada sobre equações do primeiro grau, incluindo expressões algébricas, valor numérico, redução de termos semelhantes, equações, raiz de equações, princípios de equivalência e como calcular a raiz de uma equação do 1o grau.
A professora apresenta vários exemplos numéricos para ensinar as regras de resolução de expressões matemáticas. As regras incluem: 1) calcular o que está dentro dos parêntesis primeiro, 2) multiplicar e dividir da esquerda para a direita antes de somar e subtrair.
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de várias figuras planas como retângulos, quadrados, triângulos e círculos. Inclui também a definição de área como um número real positivo associado à superfície de uma região. Explica que a área de uma figura é dada pela multiplicação de medidas como base e altura ou pelo produto de medidas de lados.
Este documento explica o conceito de potências, como representar multiplicações repetidas de um mesmo fator usando a notação de potência com base e expoente. Ele apresenta casos especiais como potências com expoente 1, 0 ou base 10, e regras para cálculos envolvendo potências como multiplicação, divisão, potência de potência, potência de produto, expoente negativo, base negativa ou fracionária. Por fim, fornece exemplos práticos para exercitar essas regras.
O documento apresenta os seguintes conceitos fundamentais da Teoria dos Conjuntos:
1) Define o que é um conjunto e apresenta exemplos de representação de conjuntos utilizando chaves;
2) Apresenta os conceitos primitivos da teoria dos conjuntos como elemento, pertinência, inclusão e cardinalidade;
3) Discorre sobre tipos de conjuntos como finitos, infinitos, unitários e vazios.
O documento descreve as propriedades da função exponencial f(x) = ax, onde a pertence aos números reais positivos exceto 1. Explica que quando a > 1 a função é estritamente crescente e quando 0 < a < 1 a função é estritamente decrescente. Além disso, apresenta vários exercícios resolvidos sobre a função exponencial.
Este documento fornece uma introdução sobre raiz quadrada, explicando que se refere ao lado de um quadrado com determinada área. Ele apresenta exemplos de como calcular a raiz quadrada de números e define que apenas números perfeitos quadrados possuem raiz quadrada. Por fim, sugere construir uma tabela com raízes quadradas.
O documento apresenta fórmulas e propriedades sobre potenciações e radiciação, incluindo regras para multiplicação, divisão, adição e subtração de raízes. É feita uma explicação detalhada sobre como racionalizar expressões contendo raízes.
Este documento discute equações polinomiais e algébricas. Ele define equações polinomiais como equações na forma P(x)=0, onde P(x) é um polinômio. O documento também discute o grau de uma equação polinomial, raízes, o Teorema Fundamental da Álgebra, a decomposição de polinômios em fatores de primeiro grau, e a multiplicidade de raízes.
O documento descreve os principais conjuntos numéricos e suas relações: (1) Os naturais N contém os números inteiros positivos. (2) Os inteiros Z incluem N e os inteiros negativos. (3) Os racionais Q são todas as frações de inteiros. (4) Os irracionais i não podem ser expressos como frações. (5) Os reais R são a união de Q e i.
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoAngela Costa
Sistemas de equações do 1o grau são ferramentas comuns em matemática e outras áreas. Embora geralmente resolvidos com facilidade, é importante prestar atenção na construção e solução corretas do problema. O documento descreve três métodos para resolver sistemas de equações do 1o grau: método da adição, método da substituição e método da igualdade.
O documento descreve diferentes conjuntos numéricos, incluindo: (1) Naturais, representados por N, que incluem números não-negativos; (2) Inteiros, representados por Z, que incluem naturais e seus opostos; e (3) Racionais, representados por Q, que incluem frações de inteiros.
O documento discute representações de frações e resolução de problemas envolvendo frações. Carla e João acertaram a representação de 1/2 como 0,5. Eliana deu 4/5 de sua coleção de 30 bonecas para Daniele. As figuras 2 e 3 têm a mesma fração pintada, que é 3/4.
Material elaborado para a disciplina de Matemática Básica dos cursos de administração e ciências contábeis da Faculdade Salesiana de Vitória / ES - 2013_01
1) Uma função quadrática é definida como f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
2) O sinal de a determina a concavidade da parábola, enquanto os zeros da função determinam os pontos onde a parábola intercepta o eixo x.
3) O vértice da parábola tem coordenadas (-b/2a, f(-b/2a)) e indica o ponto de mínimo ou máximo
O documento descreve a evolução dos conjuntos numéricos, começando pelos números naturais e chegando aos números reais. Explica como cada novo conjunto foi necessário para resolver problemas matemáticos e como eles se relacionam entre si, com cada um englobando o anterior e acrescentando novos tipos de números.
Binômio de newton e triângulo de pascalespacoaberto
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre números binomiais, binomiais complementares e consecutivos, o triângulo de Pascal e suas propriedades, e a fórmula do binômio de Newton.
O documento discute funções quadráticas. Explica que uma função quadrática relaciona uma variável independente x com uma variável dependente y através de uma equação do tipo y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes. Também mostra como interpretar os gráficos de funções quadráticas e identificar suas propriedades como vértice, raízes e concavidade.
Este documento discute potências. Explica que uma potência é um produto de fatores iguais, com a base multiplicada pelo expoente. Detalha as propriedades das potências, incluindo a soma e subtração de expoentes, potências de potências, e como lidar com expoentes zero, um ou negativos. Finalmente, discute expressões com potências e a notação científica.
Este documento explica o que são inequações e como resolvê-las. Uma inequação expressa desigualdades ao invés de igualdades e usa símbolos como >, <, ≥ e ≤. Para resolver uma inequação, aplicamos os mesmos passos de uma equação e o conjunto solução contém todos os valores da variável que satisfazem a desigualdade.
O documento explica o conceito de logaritmo, definindo-o como o expoente de uma potência. Apresenta as propriedades e regras básicas dos logaritmos, incluindo mudança de base e logaritmos decimais e neperianos. Recomenda exercícios relacionados ao tópico para fixação dos conceitos apresentados.
1) O documento discute o conceito e propriedades do máximo divisor comum (mdc) de dois inteiros;
2) Apresenta o algoritmo de Euclides para calcular o mdc através de divisões sucessivas;
3) Mostra que o mdc pode ser caracterizado como a menor combinação linear positiva dos inteiros com coeficientes inteiros.
1) O documento discute divisibilidade em números inteiros e o algoritmo da divisão euclidiana.
2) É definida divisibilidade e apresentadas propriedades como se a divide b e b divide c, então a divide c.
3) É provado o Teorema do Algoritmo da Divisão em Z e mostrado como obter quociente e resto usando uma calculadora.
Este documento explica o conceito de potências, como representar multiplicações repetidas de um mesmo fator usando a notação de potência com base e expoente. Ele apresenta casos especiais como potências com expoente 1, 0 ou base 10, e regras para cálculos envolvendo potências como multiplicação, divisão, potência de potência, potência de produto, expoente negativo, base negativa ou fracionária. Por fim, fornece exemplos práticos para exercitar essas regras.
O documento apresenta os seguintes conceitos fundamentais da Teoria dos Conjuntos:
1) Define o que é um conjunto e apresenta exemplos de representação de conjuntos utilizando chaves;
2) Apresenta os conceitos primitivos da teoria dos conjuntos como elemento, pertinência, inclusão e cardinalidade;
3) Discorre sobre tipos de conjuntos como finitos, infinitos, unitários e vazios.
O documento descreve as propriedades da função exponencial f(x) = ax, onde a pertence aos números reais positivos exceto 1. Explica que quando a > 1 a função é estritamente crescente e quando 0 < a < 1 a função é estritamente decrescente. Além disso, apresenta vários exercícios resolvidos sobre a função exponencial.
Este documento fornece uma introdução sobre raiz quadrada, explicando que se refere ao lado de um quadrado com determinada área. Ele apresenta exemplos de como calcular a raiz quadrada de números e define que apenas números perfeitos quadrados possuem raiz quadrada. Por fim, sugere construir uma tabela com raízes quadradas.
O documento apresenta fórmulas e propriedades sobre potenciações e radiciação, incluindo regras para multiplicação, divisão, adição e subtração de raízes. É feita uma explicação detalhada sobre como racionalizar expressões contendo raízes.
Este documento discute equações polinomiais e algébricas. Ele define equações polinomiais como equações na forma P(x)=0, onde P(x) é um polinômio. O documento também discute o grau de uma equação polinomial, raízes, o Teorema Fundamental da Álgebra, a decomposição de polinômios em fatores de primeiro grau, e a multiplicidade de raízes.
O documento descreve os principais conjuntos numéricos e suas relações: (1) Os naturais N contém os números inteiros positivos. (2) Os inteiros Z incluem N e os inteiros negativos. (3) Os racionais Q são todas as frações de inteiros. (4) Os irracionais i não podem ser expressos como frações. (5) Os reais R são a união de Q e i.
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoAngela Costa
Sistemas de equações do 1o grau são ferramentas comuns em matemática e outras áreas. Embora geralmente resolvidos com facilidade, é importante prestar atenção na construção e solução corretas do problema. O documento descreve três métodos para resolver sistemas de equações do 1o grau: método da adição, método da substituição e método da igualdade.
O documento descreve diferentes conjuntos numéricos, incluindo: (1) Naturais, representados por N, que incluem números não-negativos; (2) Inteiros, representados por Z, que incluem naturais e seus opostos; e (3) Racionais, representados por Q, que incluem frações de inteiros.
O documento discute representações de frações e resolução de problemas envolvendo frações. Carla e João acertaram a representação de 1/2 como 0,5. Eliana deu 4/5 de sua coleção de 30 bonecas para Daniele. As figuras 2 e 3 têm a mesma fração pintada, que é 3/4.
Material elaborado para a disciplina de Matemática Básica dos cursos de administração e ciências contábeis da Faculdade Salesiana de Vitória / ES - 2013_01
1) Uma função quadrática é definida como f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
2) O sinal de a determina a concavidade da parábola, enquanto os zeros da função determinam os pontos onde a parábola intercepta o eixo x.
3) O vértice da parábola tem coordenadas (-b/2a, f(-b/2a)) e indica o ponto de mínimo ou máximo
O documento descreve a evolução dos conjuntos numéricos, começando pelos números naturais e chegando aos números reais. Explica como cada novo conjunto foi necessário para resolver problemas matemáticos e como eles se relacionam entre si, com cada um englobando o anterior e acrescentando novos tipos de números.
Binômio de newton e triângulo de pascalespacoaberto
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre números binomiais, binomiais complementares e consecutivos, o triângulo de Pascal e suas propriedades, e a fórmula do binômio de Newton.
O documento discute funções quadráticas. Explica que uma função quadrática relaciona uma variável independente x com uma variável dependente y através de uma equação do tipo y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes. Também mostra como interpretar os gráficos de funções quadráticas e identificar suas propriedades como vértice, raízes e concavidade.
Este documento discute potências. Explica que uma potência é um produto de fatores iguais, com a base multiplicada pelo expoente. Detalha as propriedades das potências, incluindo a soma e subtração de expoentes, potências de potências, e como lidar com expoentes zero, um ou negativos. Finalmente, discute expressões com potências e a notação científica.
Este documento explica o que são inequações e como resolvê-las. Uma inequação expressa desigualdades ao invés de igualdades e usa símbolos como >, <, ≥ e ≤. Para resolver uma inequação, aplicamos os mesmos passos de uma equação e o conjunto solução contém todos os valores da variável que satisfazem a desigualdade.
O documento explica o conceito de logaritmo, definindo-o como o expoente de uma potência. Apresenta as propriedades e regras básicas dos logaritmos, incluindo mudança de base e logaritmos decimais e neperianos. Recomenda exercícios relacionados ao tópico para fixação dos conceitos apresentados.
1) O documento discute o conceito e propriedades do máximo divisor comum (mdc) de dois inteiros;
2) Apresenta o algoritmo de Euclides para calcular o mdc através de divisões sucessivas;
3) Mostra que o mdc pode ser caracterizado como a menor combinação linear positiva dos inteiros com coeficientes inteiros.
1) O documento discute divisibilidade em números inteiros e o algoritmo da divisão euclidiana.
2) É definida divisibilidade e apresentadas propriedades como se a divide b e b divide c, então a divide c.
3) É provado o Teorema do Algoritmo da Divisão em Z e mostrado como obter quociente e resto usando uma calculadora.
O documento discute algoritmos e propriedades relacionados ao máximo divisor comum (mdc) e mínimo múltiplo comum (mmc) de números inteiros. Ele apresenta: (1) definições e propriedades básicas de mdc e mmc, (2) o algoritmo de Euclides para calcular o mdc, (3) propriedades importantes do mdc como o lema de Gauss, e (4) como generalizar os conceitos de mdc e mmc para vários números inteiros.
1. O documento contém 15 problemas de matemática envolvendo conjuntos numéricos, divisibilidade, porcentagem, restos de divisão e geratrizes de dízimas.
2. As respostas incluem determinar valores para que dois conjuntos sejam iguais, obter conjuntos de valores inteiros satisfazendo certas condições, e calcular quantidades relacionadas a porcentagens e restos de divisão.
3. Muitos problemas envolvem aplicar propriedades dos números inteiros como divisibilidade, decompor em fatores primos, e usar propriedades
O documento apresenta 5 questões sobre princípios da boa ordenação, divisão nos inteiros, máximo divisor comum e equações diofantinas lineares. A primeira questão usa o princípio da boa ordenação para provar que um conjunto não vazio e limitado superiormente tem um maior elemento e que a soma dos primeiros n números naturais é igual a n(n+1)/2. A segunda questão prova resultados sobre divisão nos inteiros. A terceira questão prova uma propriedade sobre o máximo divisor comum. A quarta questão prova propriedades adicionais sobre o má
1. O documento lista exercícios de álgebra sobre propriedades básicas de módulos, potenciação e radiciação.
2. São fornecidas as soluções para os exercícios 71 e 77, que devem ser resolvidos de forma diferente do livro didático.
3. A solução para o exercício 71 mostra que para qualquer dois números positivos a e b, raiz quadrada de a mais b é sempre menor que a raiz quadrada de a mais a raiz quadrada de b.
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011thieresaulas
O documento discute a resolução da prova de matemática para o concurso de soldados fuzileiros navais de 2011. Ele apresenta as questões da prova e as respectivas resoluções, explicando os passos matemáticos envolvidos em cada questão.
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAthieresaulas
Prova de Matemática do Colégio Militar do Rio de Janeiro 2011, comentada.
Para DOWNLOAD acesse em
http://www.calculobasico.com.br/colegio-militar-do-rio-de-janeiro-prova-comentada/
Preparação exame nacional matemática 9.º ano - 1Maths Tutoring
1. O documento apresenta um teste de avaliação com 11 questões sobre números reais, intervalos, inequações e funções. 2. A primeira questão pede para mostrar propriedades de números da forma 3x + 2y. A terceira questão pede para caracterizar intervalos e relacioná-los. A décima primeira questão pede para indicar o número de soluções de uma equação em função de um parâmetro.
O documento apresenta os principais tópicos da teoria dos números: divisibilidade, congruências lineares e o teorema chinês do resto. Aborda conceitos como primos, algoritmo de Euclides, fatoração única e infinitude dos primos. Explica como as congruências lineares podem ser usadas para resolver equações diofantinas.
O documento descreve um procedimento para gerar triângulos pitagóricos a partir de números naturais pares ou quadrados perfeitos. Ele explica como construir sequências de números quadrados perfeitos e suas diferenças para derivar equações cujas soluções inteiras fornecem os lados de triângulos pitagóricos. Exemplos ilustram como aplicar o método para números específicos.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais sobre números reais como relações de ordem, intervalos, aproximações, arredondamentos e enquadramentos.
2) São descritas propriedades de relações de ordem entre números reais e operações com desigualdades.
3) São explicados métodos para aproximar valores numéricos através de enquadramentos e obter aproximações com erros controlados.
1) O documento apresenta 12 exercícios sobre conjuntos, números racionais e relações entre conjuntos. 2) Os conjuntos vazios são B e D. As igualdades verdadeiras são a), b) e c). 3) As proposições verdadeiras sobre subconjuntos são a), c), d) e e).
1) O documento descreve as propriedades e fórmulas de Progressões Aritméticas (P.A.) e Progressões Geométricas (P.G.).
2) Uma P.A. é uma sequência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado a uma constante. Uma P.G. é uma sequência onde cada termo é igual ao anterior multiplicado por uma constante.
3) São fornecidas fórmulas para calcular o termo geral, a razão e a soma dos termos de P.A.s e P.G.
1) O documento discute equações diofantinas lineares, que são equações polinomiais com coeficientes inteiros cujas soluções buscadas são também inteiras.
2) Dois exemplos ilustram problemas modelados por equações diofantinas lineares em duas incógnitas, relacionados a vale-transporte e selos de correio.
3) Métodos para resolver essas equações são apresentados, incluindo o uso do máximo divisor comum e soluções paramétricas.
O documento discute progressões aritméticas, definindo-as como sequências em que a diferença entre os termos é constante. Fornece exemplos de progressões de primeira, segunda e terceira ordem e explica como calcular o termo geral e termos específicos de uma sequência usando sistemas de equações.
O documento apresenta questões sobre números primos, perfeitos e congruências numéricas. A questão 1 discute propriedades de números primos e o Lema de Euclides. A questão 2 trata do Teorema de Euclides sobre números perfeitos. A questão 3 prova que o quinto número de Fermat não é primo usando congruências.
Formula luderiana racional para extracao de raiz quadrada (completo)ludenir
Fórmula para calcular, algebricamente (sem trigonometria), a raiz quadrada de um número complexo. Descoberta por Ludenir Santos, Rio Grande, RS (Brazil).
O documento apresenta fotos nanométricas do corpo humano capturadas por um microscópio superpotente, mostrando detalhes de 1 a 5 nanômetros de células vermelhas do sangue, vasos sanguíneos, neurônios, língua, dentes, pulmão, intestino, óvulo, espermatozoides e embrião humano, ilustrando a maravilha da criação divina.
O documento fornece conselhos sobre aprendizados da vida ao longo do tempo em várias áreas como relacionamentos, amizades, erros, perdão e aproveitamento do presente. Ele enfatiza que com o passar do tempo as pessoas compreendem que ficar com alguém só pelo futuro trará arrependimento, casar só por obrigação levará ao fracasso e que apenas quem ama com defeitos proporciona felicidade.
Em 1963, um habitante de Derinkuyu descobriu acidentalmente a extensa cidade subterrânea escondida por detrás de uma parede de sua casa. Arqueólogos mapearam 20 níveis subterrâneos abaixo da cidade, que poderia abrigar até 10.000 pessoas durante invasões. A cidade subterrânea continha estruturas como estábulos, igrejas, cozinhas e poços, e beneficiava-se de um rio e sistema de ventilação subterrâneos.
O documento lista itens para uma caixa de primeiros socorros e explica o significado de cada um para lembrar as pessoas de serem flexíveis, curarem ferimentos, registrarem coisas boas, corrigirem erros, valorizarem os outros e descansarem.
O documento discute a importância dos animais e a necessidade de protegê-los. Vários autores notáveis como Darwin, Bardot, Hugo, Zola, Schopenhauer e Tolstoi são citados defendendo que os animais sentem emoções como nós, que devemos respeitá-los e evitar a crueldade contra eles.
O documento alerta sobre os perigos do excesso de álcool, sugerindo que beber demais pode fazer com que se perca a cabeça, veja coisas que não existem e tenha dificuldades em se concentrar. Recomenda-se beber moderadamente e estar cercado de amigos.
O documento explica como as medidas dos trens, carruagens e estradas antigas da Europa foram influenciadas pelo tamanho do traseiro de cavalos romanos. Essas medidas antigas ainda afetam o tamanho de foguetes espaciais modernos devido às limitações dos trilhos ferroviários usados para transportá-los.
Um homem que trabalhava como porteiro de um prostíbulo foi demitido por não saber ler nem escrever. Com o dinheiro da indenização, comprou ferramentas e passou a consertar móveis para os vizinhos. Percebendo a demanda, começou a vender ferramentas que comprava em outra cidade, transformando-se no dono da primeira loja de ferragens da região e, posteriormente, em um próspero fabricante, doando uma escola à comunidade.
O documento critica a programação televisiva brasileira, especialmente o Big Brother Brasil, por promover a banalização, a falta de educação e a disseminação da burrice. Defende uma campanha de conscientização contra anunciantes que financiam programas fúteis e de baixo nível.
O documento não continha informações claras ou coerentes para resumir em 3 frases ou menos. Parece ter sido escrito de forma aleatória sem um propósito claro.
1) Uma escola em Nova York ensina crianças especiais.
2) Um pai questiona onde está a perfeição de Deus em seu filho Pedro, que tem limitações.
3) Durante um jogo de beisebol, colegas ajudam Pedro a rebater e correr as bases, demonstrando aceitação e inclusão.
Nosso desejo por felicidade é complexo e muitas vezes irrealista. A felicidade verdadeira vem de ter saúde, dinheiro suficiente, amor próprio e relacionamentos significativos, não de buscar perfeição ou status. Devemos fazer o possível e aceitar o que não controlamos, vivendo de forma realista e simples.
O autor decidiu mudar pequenos detalhes em sua vida a partir do próximo amanhecer para ser mais feliz cada dia. Ele não vai mais olhar para o passado com remorso, vai continuar amando as pessoas mesmo que não o amem como quer, e vai lutar por seus sonhos sem culpar os outros por sua felicidade.
O documento discute a urgência de viver plenamente cada dia, já que a vida é curta e incerta. Ele argumenta que as pessoas esperam demais para fazer o que precisam, como perdoar, expressar gratidão e carinho aos outros. A vida só nos dá um dia de cada vez, sem garantia do futuro, então devemos aproveitar cada momento para realizar nossas tarefas e demonstrar nosso amor.
1. TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS
Jaime Edmundo Apaza Rodriguez
Departamento de Matemática, FEIS - UNESP
15385-000, Ilha Solteira - SP
E-mail: jaime@mat.feis.unesp.br
1 Introdução
O objetivo central da Teoria dos Números é o estudo das propriedades dos números inteiros
positivos. Nestas breves notas apresentamos alguns dos resultados fundamentais desta teoria.
A Teoria dos Números se divide em três ramos principais: Teoria Elementar, Teoria Analítica
e Teoria Algébrica. Os resultados que serão apresentados servem, tanto para o estudo dos outros
ramos (Analítica e Algébrica), como também para outros ramos da Matemática.
Os conceitos serão introduzidos por meio de um número significativo de exemplos, buscando
motivar ao interessado antes de ter contato com demostrações formais. Isto sempre é possível
pelo grande número de problemas interessantes que aparecem nesta teoria e que não requerem
de sofisticadas ferramentas matemáticas para sua compreensão.
2 Divisibilidade
Nesta seção apresentamos resultados básicos tais como o Algoritmo da Divisão (de Euclides), o
Teorema Fundamental da Aritmética e uma das demonstrações da existência de infinitos números
primos.
2.1 Indução
Iniciamos a seção enunciando o Princípio de Indução Finita (PIF) e o Princípio da Boa Ordenação
(PBO).
Teorema 2.1 (PBO) Todo subconjunto, não vazio, de números inteiros positivos tem elemento
minimal.
Teorema 2.2 (PFI) Seja S subconjunto dos números inteiros positivos tal que:
(1) 1 ∈ S
(2) k + 1 ∈ S, sempre que k ∈ S.
Então S contém todos os números inteiros positivos.
Uma outra forma de apresentar o PFI é o seguinte.
Teorema 2.3 (PFI) Seja S subconjunto dos números inteiros positivos tal que:
(1) 1 ∈ S
(2) k + 1 ∈ S, sempre que 1, 2, · · · ∈ S.
Então S contém todos os números inteiros positivos.
Observação 2.1 Os três resultados apresentados acima são equivalentes (veja-se o texto de J.
P. de O. Santos, Introdução à Teoria dos Números).
2. Exemplo 2.1 Mostrar que
an − 1
1 + a + a2 + · · · + an−1 = ,
a−1
para a ̸= 1 e todo n inteiro positivo (Sugestão: Aplicar indução sobre n).
2.2 Divisibilidade
Definicão 2.1 Se a e b são números inteiros, dizemos que a divide b se existir um número inteiro
c tal que b = ac. Denotamos por a|b o fato de a divide b.
Observação 2.2 (a) A definição acima equivale a dizer que b é múltiplo de a.
(b) Se a não divide b, escrevemos a b.
Proposição 2.1 Se a, b e c são números inteiros tais que a|b e b|c, então a|c.
Proposição 2.2 Se a, b, c, m en são números inteiros tais que c|a e c|b, então c|(ma + nb).
Prova: Dado que c|a e c|b então a = k1 c e b = k2 c. Multiplicando estas expressões
respectivamente por m e n obtemos ma = mk1 c e nb = nk2 c. Logo somando membro a
membro temos ma + nb = (mk1 + nk2 )c, o que garante que c|(ma + nb).
Exemplo 2.2 Dado que 5|15 e 5|25, então 5|(4 × 15 − 7 × 25).
Teorema 2.4 Valem as seguintes propriedades:
(1) a|a e a|0, para todo número inteiro a ̸= 0.
(2) Se d|n, então ad|an, para todo número inteiro a.
(3) Se ad|an e a ̸= 0, então d|n.
(4) 1|a, para todo número inteiro a.
Antes de apresentar o Algoritmo da Divisão, enunciamos o chamado "Teorema de Eudoxius":
Sejam a, b números inteiros com b ̸= 0. Então a é múltiplo de b ou se encontra entre dois múltiplos
consecutivos de b, ou seja, existe um número inteiro q tal que:
Para b > 0 temos qb ≤ a < (q + 1)b,
Para b < 0 temos qb ≤ b < (q − 1)b.
Exemplo 2.3 Pelo Teorema de Eudoxius temos:
(1) Para a = 11 e b = 4, devemos tomar q = 2. Assim 2 × 4 ≤ 11 < 3 × 4.
(2) Para a = −11 e b = 4, devemos tomar q = −3. Assim (−3) × 4 ≤ −11 < (−2) × 4.
(3) Para a = 11 e b = −4, devemos tomar q = −2. Assim (−2) × (−4) ≤ 11 < (−3) × (−4).
(4) Para a = −11 e b = −4, devemos tomar q = 3. Assim 3 × (−4) ≤ −11 < 2 × (−4).
Teorema 2.5 (Algoritmo da Divisão) Dados dois números inteiros a e b, com b > 0, existe um
único par de inteiros q e r (chamados quociente e resto, respectivamente), tais que
a = qb + r, com 0≤r<b
3. Prova:
Existência: Pelo Teorema de Eudoxius, dado b > 0, existe o inteiro q satisfazendo a condição
qb ≤ a < (q + 1)b,
o que implica 0 ≤ a − qb e a − qb < b. Assim, se definimos r = a − qb, garantimos a existência
de q e r.
Unicidade: Vamos supor a existência de outro par q1 , r1 verificando
a = q 1 b + r1 , com 0 ≤ r1 < b.
Segue que qb + r) − (qb1 + r1 ) = 0, o que implica b(q − q1 ) = r1 − r, ou seja, b|(r1 − r). Mas
como r1 < b e r < b, temos que |r1 − r| < b. Se b|(r1 − r), então devemos ter r1 − r = 0, ou
seja r1 = r. Logo q1 b = qb, de onde q1 = q, pois b ̸= 0.
Observação 2.3 Embora a hipotese do Algoritmo da Divisão exija b > 0, isto não é necessário
pois usando o Teorema de Eudoxius é possível encontrar q e r para b < 0. Assim, o Algoritmo
da Divisão pode ser enunciado na seguinte forma: Dados a, b números inteiros, com b ̸= 0, existe
um único par de inteiros q e r, tais que a = qb + r, com 0 ≤ r < |b|.
2.3 O Máximo Divisor Comum
Definicão 2.2 O máximo divisor comum de dois inteiros a e b, com a ou b não nulo, é o maior
inteiro que divide a e b. Denotamos o máximo divisor comum de a e b por (a, b).
Teorema 2.6 (Propriedades do máximo divisor comum)
(1) Seja d = (a, b). Então existem inteiros n0 e m0 tais que d = n0 a + m0 b.
(2) Seja d = (a, b). Então d é o divisor positivo de a e b que é divisível por todo divisor comum.
(3) Para todo inteiro positivo m, temos que (ma, mb) = m(a, b).
a b 1
(4) Se c > 0 e a e b são divisíveis por c, então ( , ) = (a, b).
c c c
Definicão 2.3 Os números inteiros a e b são primos relativos quando (a, b) = 1.
Teorema 2.7 (Outras propriedades do máximo divisor comum)
a b
(1) Seja d = (a, b). Então ( , ) = 1.
d d
(2) Sejam a, b e n números inteiros. Então (a, b) = (a, b + an).
(3) Se a|bc e (a, b) = 1, então a|c.
(4) Se a e b são inteiros e a = qb + r, onde q e r são inteiros, então (a, b) = (b, r).
Exemplo 2.4 Usando as propriedades acima mencionadas temos
(1) (12, 36) = 12, logo 12 = 1 × 12 + 0 × 36. Também temos 12 = (−2) × 12 + 1 × 36.
(2) Dado que (12, 36) = 12, e sendo 3 um outro divisor comum de 12 e 36, segue que 3|12.
(3) (3 × 5, 3 × 7) = 3(5, 7) = 3, pois (5, 7) = 1.
12 36 1 1
(4) ( , ) = (12, 36) = × 12 = 4.
3 3 3 3
4. 48 36
(5) Dado que (48, 36) = 12, segue ( , ) = (4, 3) = 1.
12 12
(6) (3, 15) = (3, 15 + 3 × 4) = (3, 15 + 3 × 7) = (3, 15 + 3 × (−2)) = · · · .
(7) 4|(27 × 20), logo 4|20 ja que (4, 27) = 1.
(8) Vamos calcular o máximo divisor comum de 1126 e 522. Usamos o Algoritmo da Divisão
para dividir 1126 por 522. Logo dividimos 522 pelo resto 82 e assim sucessivamente até
obter resto 0.
1126 = 2 × 522 + 82
522 = 6 × 82 + 30
82 = 2 × 30 + 22
30 = 1 × 22 + 8
22 = 2 × 8 + 6
8 = 1×6+2
6 = 3×2+0
Da última equação temos que (6, 2) = 2. Pelo teorema 2.7 (4), da equação 8 = 1 × 6 + 2,
podemos concluir que (8, 6) = (6, 2). Da equação 22 = 2 × 8 + 6 segue que (22, 8) = (8, 6).
Sucessivas aplicações dessa propriedade permitem obter a sequência de igualdades (6, 2) =
(8, 6) = (22, 8) = (30, 22) = (82, 30) = (522, 82) = (1126, 522). Desta forma obtemos que
(1126, 522) = 2.
2.4 O Algoritmo de Euclides
Teorema 2.8 Sejam r0 = a e r1 = b números inteiros não-negativos, com b ̸= 0. Se o Algoritmo
da Divisão for aplicado sucessivamente para se obter
rj = qj+1 rj+1 + rj+2 , 0 ≤ rj+2 < rj+1 ,
para j = 0, 1, 2, · · · n − 1 e rn+1 = 0, então (a, b) = rn , o último resto não-nulo.
Prova: Aplicamos inicialmente o Algoritmo da Divisão para dividir a por b obtendo assim
r0 = q1 r1 + r2 . A seguir dividimos r1 por r2 obtendo r1 = q2 r2 + r3 e assim sucessivamente até
obter o resto rn+1 = 0. A cada passo o resto é sempre menor que o anterior e dado que estamos
lidando com números inteiros positivos, é claro que após um número finito de vezes do Algoritmo
da Divisão, obteremos resto 0. Temos assim a seguinte sequência de equações:
r0 = q 1 r1 + r2 , 0 < r2 < r1
r1 = q 2 r2 + r3 , 0 < r3 < r2
r2 = q 3 r3 + r4 , 0 < r4 < r3
.
.
.
rn−2 = qn−1 rn−1 + rn , 0 < rn < rn−1
rn−1 = qn rn + 0.
Pelo teorema 2.7 (4) temos que (rn , rn−1 ) = rn . Como no exemplo 2.4 (8), aplicando repetidas
vezes essa propriedade temos a sequência:
rn = (rn−1 , rn ) = (rn−2 , rn−1 ) = · · · = (r1 , r2 ) = (r0 , r1 ) = (a, b),
e portanto (a, b) = rn .
5. 2.5 Números Primos
Definicão 2.4 Um número inteiro n > 1 é dito primo se possui dois divisores positivos: n e 1.
Se n não é primo é chamado composto.
Teorema 2.9 Seja p número primo tal que p|ab. Então p|a ou p|b.
Exemplo 2.5 Temos que 3|96 = 16 × 6, logo 3|6, mas 3 16.
Teorema 2.10 (Teorema Fundamental da Aritmética) Todo número inteiro, maior do que 1,
pode ser representando de maneira única (exceto a ordem dos fatores) como produto de fatores
primos ou potências desses fatores primos.
Prova: Se n for primo não há nada a mostrar. Então suponha n composto e seja p1 o menor
dos divisores positivos de n. Afirmamos que p1 é primo, pois caso contrário existirá um número
p, 1 < p < p1 com p|n, contradizendo a escolha de p1 . Assim n = p1 n1 , para algum inteiro n1 .
Se n1 for primo, a prova esta terminada. Caso contrário, tomamos p2 como o menor fator
positivo de n1 . Pelo mesmo argumento anterior, p2 é primo e assim temos n = p1 p2 n2 .
Repetindo este procedimento, obtemos uma sequência decrescente de números inteiros posi-
tivos n1 , n2 , · · · nr , todos eles maiores que 1 e portanto o processo deve parar em algum momento.
Como os números primos p1 , p2 , · · · , pk não são necessariamente distintos, temos que
n = pm1 pm2 · · · pmk ,
1 2 k
onde os números mi são naturais.
Para mostrar a unicidade desta representação usamos indução sobre n. Para n = 2 a afir-
mação é verdadeira. Assumimos então que se verifica para todos os números inteiros maiores do
que 1 e menores do que n. Agora vamos mostrar que vale também para n. Se n for primo não
há nada a mostrar. Então suponha n composto e que admite duas fatorações:
n = p1 p2 · · · ps = q 1 q 2 · · · q r .
Vamos mostrar que s = r e que cada pi é igual a algum qj . Como p1 divide o produto
q1 q2 · · · qr , então ele divide pelo menos um dos fatores qj . Sem perda de generalidade podemos
supor que p1 |q1 . Como ambos são primos, temos que p1 = q1 . Logo n/p1 = p2 · · · ps = q2 · · · qr .
Sendo que 1 < n/p1 < n, a hipótese de indução garante que as duas fatorações são idénticas,
salvo a ordem dos fatores, isto é, s = r. Assim p1 p2 · · · ps = q1 q2 · · · qr .
Teorema 2.11 Se n = pm1 pm2 · · · pmk , o conjunto dos divisores positivos de n é o conjunto de
1 2 k
todos os números da forma
pc1 pc2 · · · pck ,
1 2 k com 0 ≤ ci ≤ mi , i = 1, 2, · · · k.
Observação 2.4 Os produtos obtidos no resultado acima são finitos pois o número de fatores
primos de qualquer inteiro é sempre finito.
Teorema 2.12 Se dois números inteiros a e b possuem as fatorações
a = pm1 pm2 · · · pmr ,
1 2 r e b = pn1 pn2 · · · pns ,
1 2 s
então (a, b) = pj1 pj2 · · · pt t , onde ji = min{mi , ni }.
1 2
j
Prova: Para um produto de fatores primos comuns seja um divisor comum nenhum expoente
ji de pi poderá superar nem mi nem ni . Dado que estamos interessados no maior dos divisores
positivos, basta tomar ji como sendo o menor desses dois.
6. Teorema 2.13 (Euclides) A sequência de números primos é infinita
Prova: Vamos supor que a sequência de números primos é finita e sejam estes p1 , p2 , · · · , pn .
Agora considere o número p = p1 p2 · · · pn + 1. Então é claro que p não é divisível por nenhum
dos pi que p é maior do que qualquer pi . Isto significa que ou p é primo ou p possui algum fator
primo. Dado que esta última possibilidade não acontece então p é um primo diferente de todos
os pi . Assim a lista de números primos não poderia ser finita.
Observação 2.5 Para n ∈ N defina-se o fatorial de n por n! = 1 · 2 · 3 · (n − 1)n. Verifica-se
que n! é divisível por todos os números comprendidos entre 2 e n. Também definimos 0! = 1.
Teorema 2.14 Para qualquer número inteiro positivo n, existem n inteiros consecutivos com-
postos. Isto significa que existem "saltos" arbitrariamente grandes na sequência dos números
primos.
Prova: Como (n + 1)! é divisível por todos os n números entre 2 e n + 1, temos que a
sequência
(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4, · · · , (n + 1)! + n, (n + 1)! + (n + 1),
esta formada por n números consecutivos compostos (isto é um deserto de primos).
Observação 2.6 Sejam n e k números inteiros não-negativos, com k ≤ n. Os chamados
números combinatórios, definidos por
( )
n n!
= ,
k k!(n − k)!
são números inteiros. Isto pode ser mostrado por indução ou usando a propriedade:
( ) ( ) ( )
n+1 n n
= + ,
k k k−1
a qual mostramos a seguir:
( ) ( )
n n n! n!
+ = +
k k−1 k!(n − k)! (k − 1)!(n − k + 1)!
n!(n + 1 − k) n!k
= +
k!(n + 1 − k)! k!(n + 1 − k)!
( )
(n + 1)! n+1
= = .
k!(n + 1 − k)! k
Teorema 2.15 O produto de qualquer sequência de n números inteiros consecutivos é divisível
por n!.
Prova: Consideremos n e k números inteiros positivos com k ≤ n. Sabemos (Análise
Combinatória) que o número de combinações de n, tomadas de k em k, é um número inteiro dado
por ( )
n n! n(n − 1) · · · (n − k + 1)
= = .
k k!(n − k)! k!
Dado que o numerador é o produto de k inteiros consecutivos, o resultado vale para uma
sequência de k inteiros positivos. No caso de zero ser um elemento na sequência, o resultado
é evidente pois o zero é divisível por qualquer número. Se a sequência contiver só números
negativos, a fração do lado direito acima mudará de sinal unicamente.
7. Observação 2.7 Se n não for primo, então n possui, necessariamente, um fator primo menor
√
ou igual a n. De fato, sendo n composto, então n = n1 n2 , onde 1 < n1 , n2 < n. Sem
√
perda de generalidade, podemos supor n1 ≤ n2 . Logo n1 ≤ n pois, caso contrário, teríamos
√ √
n = n1 n2 > n n = n, o qual é um absurdo. Logo n1 possui algum fator primo p, tal que
√
p ≤ n. Temos que p, sendo fator primo de n1 , é também fator primo de n, o que conclui a
prova.
A observação acima tem uma importante aplicação prática, pois fornece uma forma de testar
se um número n é primo. Para isso basta testar a divisibilidade apenas pelos números primos
√
p tais que p ≤ n. Assim por exemplo, se quisermos obter a lista de todos os primos menores
que 60 devemos excluir, dentre os números de 2 a 60, aqueles que são múltiplos de 2, 3, 5 e 7,
pois estes números são os primos menores ou iguais do que 60. Este processo é chamado Crivo
de Eratóstenes:
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
Logo, os primos entre 2 e 60 são todos aqueles que não foram eliminados pelo processo descrito
acima, isto é,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59.
2.6 Mínimo Múltiplo Comum
Definicão 2.5 O Mínimo Múltiplo Comum de dois inteiros a e b é o menor inteiro positivo que
é divisível por a e b. Denotamos por [a, b].
Teorema 2.16 Se a = pa1 pa2 · · · pan e b = pb1 pb2 · · · pbn onde p1 , p2 , · · · , pn são primos, então
1 2 n 1 2 n
max{a1 ,b1 } max{a2 ,b2 }
[a, b] = p1 p2 · · · pmax{an ,bn } .
n
Prova: Para que pi esteja no múltiplo comum de a e b, deverá ser um fator de ambos os
números e para ser o menor dos múltiplos comuns deverá aparecer com o maior expoente entre
ai e bi . Assim pi estará no mínimo múltiplo comum se aparecer com o maior expoente entre ai
e bi .
Teorema 2.17 Se x e y são números reais, então max{x, y} + min{x, y} = x + y.
Prova: Se x = y então max{x, y} = min{x, y} = x = y, e o resultado verifica-se claramente.
Sem perda de generalidade, podemos supor x < y. Então max{x, y} = y e min{x, y} = x, de
onde segue o resultado.
Teorema 2.18 Para a e b números inteiros positivos temos [a, b] · (a, b) = a · b.
Prova: Suponha que a = pa1 pa2 · · · pan e b = pb1 pb2 · · · pbn . Então temos que
1 2 n 1 2 n
∏ max{a ,b }
n ∏ min{a ,b }
n
i i i i
[a, b] = pi e (a, b) = pi .
i=1 i=1
8. Logo
∏ max{a ,b }+min{a ,b } ∏ a +b
n n ∏ a ∏ b
n n
[a, b] · (a, b) = pi i i i i
= pi i i
= pi ·
i
pi i = a · b.
i=1 i=1 i=1 i=1
n
Definicão 2.6 Um número da forma Fn = 22 + 1 é dito Número de Fermat.
3
Exemplo 2.6 O número F3 = 22 + 1 = 28 + 1 é um número de Fermat.
Teorema 2.19 Quaisquer dois números de Fermat distintos Fn e Fm são primos entre si.
Prova: Verifica-se que F0 F1 · · · Fn−1 = Fn − 2. Provamos este fato por indução sobre n. Para
n = 1 temos que F0 = F1 − 2, ou seja, 3 = 22 + 1. Vamos supor a validade da relação para n e
mostraremos que também vale para n + 1. Assim temos
F0 F1 · · · Fn = (F0 F1 · · · Fn−1 )Fn = (Fn − 2)Fn
n n n n
= (22 + 1 − 2)(22 + 1) = (22 − 1)(22 + 1)
n+1 n+1
= 22 − 1 = 22 + 1 − 2 = Fn − 2.
Supondo n < m, pela relação acima, se tem que F0 F1 F2 · · · Fn · · · Fm−1 = Fm − 2, o que
implica que Fm − F0 · · · Fn · · · Fm−1 = 2. Logo, se um número d divide Fn e Fm , então d divide
2. Como Fn é ímpar, d não pode ser 2 e portanto (Fn , Fm ) = 1.
Deste resultado podemos concluir que existem infinitos números primos, pois sendo infinita
a sequência dos Números de Fermat e não possuindo fatores primos em comum, isto não poderia
ocorrer caso este conjunto fosse finito.
Teorema 2.20 Existem infinitos números primos da forma 6k + 5.
Prova: Pelo Algoritmo da Divisão, quando dividimos um número qualquer por 6, os possíveis
restos são 0, 1, 2, 3, 4 e 5, o que significa que um número inteiro pode ser escrito em uma das
seguintes formas: 6k, 6k + 1, 6k + 2, 6k + 3, 6k + 4, 6k + 5. Logo se p é primo ímpar, então p é da
forma 6k + 1 ou 6k + 5.
Para mostrar que existem infinitos primos da forma 6k + 5 vamos supor o contrário, ou seja,
que existe apenas um número finito deles. Sejam então p0 = 5, p1 , p2 , · · · , pr estes números.
Agora consideremos o número p = 6p1 p2 · · · pr + 5. Temos que este número não é divisível por
nenhum dos primos p0 , p1 , p2 , · · · , pr . Afirmamos que p possui um fator primo da forma 6k + 5
pois, caso contrário, todos seriam da forma 6k + 1, o que não é possível, dado que o produto de
dois números da forma 6k + 1 é sempre desta mesma forma. Isto mostra que, ou p é primo, ou p
possui um fator primo da forma 6k + 5, ficando mostrado assim a existência de infinitos primos
da forma 6k + 5.
Observação 2.8 O que foi mostrado acima é um caso especial do chamado Teorema dos Primos
em Progressão Aritmética (Dirichlet), o qual afirma que se a e b são números inteiros primos
entre si, então a progressão aritmética an + b, n = 1, 2, 3, · · · , contém um número infinito de
primos.
2.7 Critérios de Divisibilidade
Os critérios que serão apresentados são, basicamente, aplicações da proposição 2.2.
Divisibilidade por 3: Para descrever a ideia, consideremos um número n com 5 dígitos
abcde. Em base 10, ele pode ser escrito na forma
n = a × 104 + b × 103 + c × 102 + d × 101 + e × 100 .
9. A seguir, faremos as seguintes substituições:
10 = 9 + 1
100 = 99 + 1
1000 = 999 + 1
10000 = 9999 + 1.
Assim temos:
n = a(9999 + 1) + b(999 + 1) + c(99 + 1) + d(9 + 1) + e
= 9999a + 999b + 99c + 9d + (a + b + c + d + e)
= 9(1111a + 111b + 11c + d) + (a + b + c + d + e).
Portanto, se 3|n, então 3|(a + b + c + d + e), pois 3|9(1111a + 111b + 11c + d). Recíprocamente
se 3|(a + b + c + d + e), então 3|n, dado que 3|9(1111a + 111b + 11c + d). Desta forma mostramos
o seguinte critério de divisibilidade por 3: "Um número é divisível por 3 se, e somente se, a soma
de seus dígitos é divisível por 3".
Divisibilidade por 9: Para obter um critério de divisibilidade por 9 basta, no argumento
acima, substituir 3 por 9 e obter: "Um número é divisível por 9 se, e somente se, a soma de seus
dígitos é divisível por 9".
Por outro lado, como todo número inteiro pode ser escrito na forma 10k + u, onde u é o dígito
das unidades, e como 10 é divisível por 2, então 10k + u será divisível por 2 se, e somente se, u
for múltiplo de 2, ou seja, se, e somente se, ele for par.
Divisibilidade por 4: O critério de divisibilidade por 4 se obtém considerando o número
inteiro escrito na forma 100k + ab, onde ab é o número formado pelos dois últimos dígitos, isto
é, das dezenas e unidades e observando que 100 é múltiplo de 4.
Exemplo 2.7 Pelos critérios vistos acima temos que:
(1) O número 7341 é divisível por 3 pois 7 + 3 + 4 + 1 = 15 é divisível por 3.
(2) O número 8547 não é divisível por 9 pois 8 + 5 + 4 + 7 = 24 não é divisível por 9.
(3) O número 27548 é divisível por 4 pois 48 é múltiplo de 4. Por outro lado o número 75314
não é divisível por 4 pois 14 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 7: Para descrever o critério de divisibilidade por 7, consideremos um
exemplo. Seja n = 59325. Separamos o dígito 5 das unidades e, do número restante, 5932,
subtraímos o dobro deste dígito, ou seja 5932 − 10 = 5922. Repetimos este procedimento até
obter um número suficientemente pequeno de modo a poder reconhecer se é ou não divisível por
7. Assim, continuando com o número acima temos 592 − 4 = 588, logo 58 − 16 = 42 e observamos
que, como 42 é divisível por 7, então o número original 59325 é divisível por 7.
O critério: Seja u o dígito das unidades do número n. Então n pode ser escrito na forma
10k + u. No procedimento descrito acima obtivemos um número r tal que r = k − 2u, com
k = 5932 e u = 5. Assim será suficiente mostrar que os números 10k + u e k − 2u são tais que,
se um deles é múltiplo de 7, o outro também é. Isto é, devemos mostrar a seguinte equivalência:
10k + u é múltiplo de 7 ⇐⇒ k − 2u é múltiplo de 7.
De fato, se 10k +u é múltiplo de 7, então existe um inteiro m tal que 10k +u = 7m e portanto
k − 2u = k − 2(7m − 10k) = 21k − 14m = 7(3k − 2m), o que significa que k − 2u é múltiplo de 7.
Recíprocamente, se k − 2u é múltiplo de 7, então existe um inteiro n tal que k − 2u = tn e
portanto 10k + u = 10(tn + 2u) + u = 70n + 20u + u = 70n + 21u = 7(10n + 3u), o que implica
10k + u ser múltiplo de 7.
10. Exemplo 2.8 Pelo critério dado temos:
(1) No exemplo acima, do número 59325 foi obtido, após repetir o processo descrito três vezes,
k − 2u = 42 divisível por 7, logo 10k + u = 588 é divisível por 7. Sendo 588 divisível por 7,
então 5932 também será divisível por 7 e a divisibilidade deste por 7 implica a divisibilidade
por 7 do número 59325.
(2) Seja n = 735421. Seguindo o critério dado temos:
735421 − 2 × 1 = 73540
7354 − 2 × 0 = 7354
735 − 2 × 4 = 727
72 − 2 × 7 = 58.
Como 7 58, então 7 735421.
Divisibilidade por 11: Como nos casos anteriores, também usaremos um exemplo para
descrever o critério. Seja n = abcde um número com 5 dígitos. Podemos representá-lo na forma
n = a × 104 + b × 103 + c × 102 + d × 101 + e × 100 .
Fazendo as seguintes substituições
10 = 11 − 1
100 = 99 + 1
1000 = 1001 − 1
10000 = 9999 + 1,
obtemos
n = a(9999 + 1) + b(1001 − 1) + c(99 + 1) + d(11 − 1) + e
= 9999a + 101b + 99c + 11d + (a + c + e) − (b + d).
Como 9999a+101b+99c+11d é divisível por 11, então n será divisível por 11 se, e somente se,
[(a + c + e) − (b + d)] o for. Observamos que os dígitos a, c, e ocupam posições ímpares no número
n, enquanto b e d posições pares. Aqui foram usados dois fatos simples de serem verificados:
(a) Todo número da forma 99 · · · 9, onde o número de 9’s é par, é divisível por 11.
(b) Todo número da forma 100 · · · 01, onde o número de 0’s entre os dois 1’s é par, também
é divisível por 11. Para justificar esta afirmação observar que 9999 = 9900 + 99, 999999 =
999900 + 99, · · · e que 1001 = 990 + 11, 100001 = 99990 + 11, · · · .
Exercicios e problemas
(1) Usando o Algoritmo da Divisão, determinar o Máximo Divisor Comum de:
(1) 542 e 234, 2) 9652 e 252, (3) 24573 e 1387, (4) 4276 e 1234, (5) 48762 e 176.
(2) Determinar o Mínimo Múltiplo Comum de:
(1) 44 e 32, (2) 234 e 12, (3) 35 e 24, (4) 142 e 172, (5) 17 e 141.
(3) Encontrar uma sequência de, pelo menos, 30 números inteiros consecutivos e compostos.
11. (4) Mostrar que o produto de três inteiros consecutivos é divisível por 6.
n(n + 1)(n + 2)
(Sugestão: Usar a igualdade 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1) = ).
3
(5) Determinar os valores do números inteiros x e y tais que:
(1) 93x + 81y = 3, (2) 43x + 128y = 1.
(6) Mostrar que se a e b são números inteiros positivos tais que (a, b) = [a, b], então a = b.
(7) Mostrar que n5 − n é divisível por 30, para todo número inteiro n.
(8) Mostrar que a equação x3 + 7x + 17 = 0 não possui solução inteira.
(9) Mostrar que para nenhum n ∈ N, o número 2n + 1 é um cubo.
(10) Mostrar que, além do número 2 = 13 + 1, nenhum número da forma n3 + 1 é primo.
(11) Mostrar que não existe n ∈ N tal que 7|(4n2 − 3).
(12) Sabendo que o resto da divisão de um número inteiro b por 7 é 5, calcular o resto da
divisão por 7 dos seguintes números:
(1) −b, (2) 2b, (3) 3b + 7, (4) 10b + 1, (5) b2 + b + 1.
1 1
(13) Sendo + um número inteiro, com a e b inteiros positivos, mostrar que a = b. Mostrar
a b
também que a = 1 ou a = 2.
(14) Mostrar que se (a, b) = 1, então (2a + b, a + 2b) = 1 ou 3.
(15) Mostrar:
(1) (a, bc) = 1 se, e somente se, (a, b) = (a, c) = 1.
(2) Se b|c então (a + c, b) = (a, b).
(3) Se (a, c) = 1 então (a, bc) = (a, b).
(4) (a, b, c) = ((a, b), c).
(16) Encontrar o menor inteiro positivo da forma 36x + 54y, onde x, y são inteiros.
(17) Sejam a eb números inteiros diferentes. Mostrar que existe um número infinito de
inteiros n tal que (a + n, b + n) = 1.
Solução: Suponha a < b. Se escolhemos um número k positivo e suficientemente grande, o
número n = (b−a)k +1−a será positivo. Dado que a+n = (b−a)k +1 e b+n = (b−a)(k +1)+1,
então a + n > 0 e b + n > 0. Agora, se d|(a + n) e d|(b + n), então d|(b − a). Logo, sendo que
d|(a + n) e d|(b − a), então d|1, de onde segue que (a + n, b + n) = 1. Como qualquer k, maior do
que o escolhido acima, fornece um número n com a propriedade deseja, temos que a sequência de
n’s é infinita..
(17) Para qualquer inteiro positivo k e n ≥ 2, mostrar que (n − 1)|(nk − 1).
Solução: Basta observar que nk − 1 = (n − 1)(nk−1 + nk−2 + · · · + n2 + n + 1).
(18) Para todo número inteiro n > 1, a soma 1 + 1
2 + 1
3 + · · · n nunca é um número inteiro.
1
Solução: Consideremos o conjunto S = {1, 2, 3, · · · , n} e seja 2k a maior potência de 2 em S.
Temos que 2k não divide nenhum elemento de S. De fato, se 2k fosse divisor de algum outro inteiro
em S (além dele mesmo), este inteiro será da forma b2k , onde b > 1. Logo o número 2k+1 estará
também em S, o que contradiz a escolha de k.
Agora, vamos supor que a soma dada seja um número inteiro t. O Mínimo Múltiplo Comum dos
12. elementos e S é da forma m2k , onde m é ímpar. Multiplicando a soma dada por m2k−1 temos
1 1 1
m2k−1 (1 + + + · · · ) = mt2k−1 .
2 3 n
Quando multiplicamos cada termo da soma por m2k−1 , um dos termos será m e todos os outros
2
serão inteiros, o que é uma contradição, pois m é ímpar. Portanto a soma fornecida não pode ser um
número inteiro.
n m
(19) Se m > n, então (a2 + 1)|(a2 − 1).
Solução: Observamos na sequência a seguir que cada termo divide o seguinte:
n
x + 1, x2 − 1, x4 − 1, x8 − 1, x16 − 1, · · · , x2 − 1, · · · .
n
Então basta tomar x = a2 e teremos o resultado procuraro.
(20) Se a, e b são ímpares, então a2 + b2 não pode ser um quadrado perfeito.
Solução: Dado que a e b são impares, existem inteiros t e s tais que a = 2t+! e b = 2 + 1. Logo:
a2 + b2 = (2t + 1)2 + (2s + 1)2 = 4(t2 + s2 + t + s) + 2 = 2(2k + 1),
onde k = t2 + s2 + t + s.
Portanto a2 + b2 é um número par, não divisível por 4, e não pode ser um quadrado perfeito pois
se 2|C 2 , então 2|c, o que implica 4|c2 .
Este resultado afirma que, em um triângulo retângulo com lados inteiros, os dois catetos não
podem ser ambos números ímpares.
(21) Se a e m são números inteiros, não nulos simultaneamente, então (a, a + m)|m, para
todo inteiro m.
Solução: Sabemos que (Teorema 2.7 (2)) que para a, b, m números inteiros, então (a, b) =
(a, b + am). Logo aplicamos este resultado, tomando b = a + m e m = −1.
(22) Mostrar que se m e n são números inteiros positivos, com m > 1, então n < mn .
Solução: Sabemos que
mn − 1
n = 1 + 1 + · · · + 1 ≤ 1 + m + m2 + · · · + mn−1 = .
m−1
n−vezes
mn − 1
Mas ≤ mn − 1 < mn . Logo n < mn .
m−1
(23) Mostrar que, para todo n inteiro, (n! + 1, (n + 1)! + 1) = 1.
Solução: Suponha que p é um número primo, divisor comum de n! + 1 e (n + 1)! + 1. Logo p
divide à diferença destes números, que é nn!. Isto implica que p|n!. Como p|(n! + 1) e p|n! então
p|1, ou seja, p = 1. Assim (n! + 1, (n + 1)! + 1) = 1.
(24) Mostrar que se a e b são números inteiros, com (a, b) = 1, então (a + b, a − b) = 1 ou 2.
Solução: Seja d = (a + b, a − b). Logo a + b = k1 d e a − b = k2 d. Portanto
(k1 + k2 )d = 2a e (k1 − k2 )d = 2b.
De um lado temos que (2a, 2b) = 2(a, b) = 2. De outro lado (2a, 2b) = ((k1 + k2 )d, (k1 − k2 )d) =
d(k1 + k2 , k1 − k2 ) = 2. Se supomos que (k1 + k2 , k1 − k2 ) = k, então temos kd = 2, o que implica
que d = 1 e k = 2, ou d = 2 e k = 1. Assim d = 1 ou d = 2.
13. (25) Mostrar que se an − 1 for primo, para n > 1 e a > 1, então a = 2 e n primo.
Solução: Dado que an − 1 = (a − 1)(an−1 + an−2 + · · · + a + 1), e o segundo fator é maior do
que 1 (pois a > 1), segue que a − 1 = 1 pois an − 1 é primo. Portanto a = 1.
Por outro lado, se n não for primo, então teríamos n = rs, com r > 1, s > 1. Assim
2rs − 1 = (2r − 1)(2r(s−1) + 2r(s−2) + · · · + 2r + 1),
o que contradiz o fato de 2rs − 1 ser primo. Portanto n tem que ser primo.