Este documento apresenta os conceitos fundamentais dos números reais, incluindo: 1) Define os conjuntos N, Z, Q e R e suas relações de inclusão; 2) Apresenta os axiomas da adição, multiplicação e distributividade que definem a estrutura algébrica de R; 3) Demonstra propriedades algébricas dos números reais usando raciocínios lógicos a partir dos axiomas.

1. Os N´umeros Reais I
NA 1
Notas de Aula 1 – Os N´umeros Reais I
Introdu¸c˜ao
Nesta aula, as propriedades fundamentais associadas `as opera¸c˜oes de
adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao dos n´umeros reais s˜ao apresentadas por meio de axi-
omas (1
). Assume-se que o aluno tenha experiˆencia com o conjunto N dos
n´umeros naturais, o conjunto Z dos n´umeros inteiros e o conjunto Q dos
n´umeros racionais, que s˜ao todos subconjuntos de R. Em s´ımbolos:
N := {1, 2, 3, . . .},
Z := {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . .},
Q := r : r =
p
q
, p, q ∈ Z, q = 0 .
A nota¸c˜ao := ´e lida ”igual a” ou ”por defini¸c˜ao”. Como se sabe
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Denota-se por ∅ o conjunto vazio, isto ´e, o conjunto que n˜ao possui nenhum
elemento. Para todo conjunto A, vale que ∅ ⊂ A.
Propriedades alg´ebricas de R
Uma opera¸c˜ao bin´aria em R ´e uma fun¸c˜ao que associa a cada par (a, b)
de elementos de R um elemento de R. No conjunto R dos n´umeros reais est˜ao
definidas duas opera¸c˜oes bin´arias: a adi¸c˜ao ´e uma opera¸c˜ao que associa a
cada par (a, b) o n´umero real a + b, chamado soma de a e b; por sua vez,
a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao associa a cada par (a, b) o produto a · b. Em
s´ımbolos matem´aticos, escreve-se:
Opera¸c˜ao de adi¸c˜ao: + : R × R → R tal que (a, b) → a + b;
Opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao: · : R × R :→ R tal que (a, b) → a · b.
Estas opera¸c˜oes satisfazem as seguintes propriedades, que s˜ao aqui estabele-
cidas como axiomas:
(A) Axiomas da Adi¸c˜ao
1
Axiomas s˜ao afirma¸c˜oes aceitas como verdadeiras, sem necessidade de demonstra¸c˜ao.
1 CEDERJ

2. Elementos
de
An´alise
Real
Os N´umeros Reais I
(A1) Comutatividade: Para todos a, b ∈ R, a + b = b + a;
(A2) Associatividade: Para todos a, b, c ∈ R, (a + b) + c = a + (b + c);
(A3) Existˆencia do elemento neutro: Existe um elemento em R, deno-
tado 0, tal que 0 + a = a para todo a ∈ R;
(A4) Existˆencia do elemento sim´etrico: Para cada a ∈ R, existe um
elemento em R, denotado −a, tal que a + (−a) = 0.
(M) Axiomas da Multiplica¸c˜ao
(M1) Comutatividade: Para todos a, b ∈ R, a · b = b · a;
(M2) Associatividade: Para todos a, b, c ∈ R, (a · b) · c = a · (b · c);
(M3) Existˆencia do elemento neutro: Existe um elemento em R, deno-
tado por 1, tal que 1 = 0 e tal que para todo a ∈ R vale 1 · a = a;
(M4) Existˆencia do elemento inverso: Para todo a ∈ R, a = 0, existe um
elemento em R, denotado por 1/a (ou a−1
) tal que a · (1/a) = 1.
(D) Axioma da distributividade da multiplica¸c˜ao em rela¸c˜ao `a
adi¸c˜ao Para todos a, b, c ∈ R a · (b + c) = a · b + a · c .
Um conjunto X dotado de opera¸c˜oes + e · satisfazendo (A), (M) e
(D) constitui uma estrutura alg´ebrica chamada corpo. Em particular, R ´e
um corpo.
♦ Prel´udio 1.1 Enunciados (ou seja, afirma¸c˜oes) da forma
se P[x] ent˜ao Q[x] (em s´ımbolos: P[x] ⇒ Q[x] )
e da forma
para todo x, se P[x] ent˜ao Q[x] (em s´ımbolos: ∀x, P[x] ⇒ Q[x] ),
(1.1)
onde P[x] e Q[x] s˜ao enunciados que se referem a x, s˜ao chamados enunciados
condicionais ou implica¸c˜oes.
A maioria das afirma¸c˜oes em Matem´atica tem a forma de uma implica¸c˜ao.
As afirma¸c˜oes verdadeiras s˜ao chamadas Proposi¸c˜oes, Teoremas, Lemas ou Co-
rol´arios, dependendo da situa¸c˜ao em que surgem ou da sua utiliza¸c˜ao. Isto ser´a
explicado no decorrer do texto.
Em implica¸c˜oes como as de (1.1), o enunciado P[x] ´e chamado hip´otese
e Q[x] ´e chamado tese ou conclus˜ao.
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3. Os N´umeros Reais I
NA 1
Por exemplo: os enunciados se x ∈ R e x + x = x ent˜ao x = 0 e
para todo x ∈ R, se x + x = x ent˜ao x = 0 s˜ao duas implica¸c˜oes que tˆem
o mesmo sentido: em ambos, a hip´otese ´e x ∈ R e x + x = x e a tese ´e
x = 0 .
Exemplo 1.1 Exemplos de enunciados condicionais:
1. Se x ∈ R e x + x = x ent˜ao x = 0.
2. Se x ∈ N e x > 100 ent˜ao x > 1000.
3. Para todos x, y, z ∈ R, se x · y = z ent˜ao x = z · (1/y).
No enunciado 1 do Exemplo 1.1, a hip´otese ´e x ∈ R e x + x = x e a
tese ´e x = 0 .
No enunciado 2, a hip´otese ´e x ∈ N e x > 100 e a tese ´e x > 1000 .
No enunciado 3, a hip´otese ´e x, y, z ∈ R e x · y = z e a tese ´e x =
z · (1/y) .
O primeiro enunciado ´e verdadeiro e o segundo e o terceiro s˜ao falsos.
Aten¸c˜ao: Uma implica¸c˜ao ´e um enunciado falso exatamente quando a hip´otese
´e verdadeira e a conclus˜ao ´e falsa.
Por outro lado, afirmar que uma implica¸c˜ao como as de (1.1) ´e verdadeira,
n˜ao significa simplesmente afirmar que a hip´otese, P[x], ´e verdadeira isolada-
mente, e nem que a conclus˜ao Q[x] ´e, somente ela, verdadeira. O que se garante
´e que Q[x] ´e verdadeira sob a condi¸c˜ao de P[x] ser verdadeira (por isso ”enun-
ciado condicional”).
Mais adiante vocˆe vai aprender a justificar a verdade e a falsidade de enun-
ciados condicionais. (2
)
Todas as propriedades dos n´umeros reais envolvendo a adi¸c˜ao e a mul-
tiplica¸c˜ao podem ser deduzidas por meio de racioc´ınios l´ogicos a partir dos
axiomas (A), (M) e (D). No que se segue, afirma¸c˜oes verdadeiras s˜ao enunci-
adas e s˜ao apresentadas as t´ecnicas para realizar os racioc´ınios para prov´a-las.
A primeira t´ecnica mostra como se raciocina para provar que uma pro-
posi¸c˜ao na forma condicional ´e verdadeira. Antes de mais nada, certifique-se
de entender o significado de cada enunciado abaixo, pois eles s˜ao conhecidos
2
Da mesma forma, quando se diz “se eu tiver dinheiro ent˜ao eu lhe empresto”, n˜ao se
est´a afirmando que se tem dinheiro e nem que se emprestar´a dinheiro. A afirma¸c˜ao s´o ser´a
falsa se a pessoa que a diz tiver dinheiro e n˜ao emprest´a-lo ao interlocutor.
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4. Elementos
de
An´alise
Real
Os N´umeros Reais I
de outras disciplinas.
A ideia principal para provar que um enunciado desta teoria na forma
condicional ´e verdadeira ´e: usam-se a hip´otese e axiomas e/ou resultados
anteriores (caso existam) para se obter a conclus˜ao. Jamais se pode usar a
conclus˜ao na prova!
Proposi¸c˜ao 1.1 (a) (Cancelamento da adi¸c˜ao) Para todos a, b, c ∈ R, se
a + c = b + c ent˜ao a = b;
(b) Para todo a ∈ R, se a + a = a ent˜ao a = 0.
(c) Para todo a ∈ R, a · 0 = 0.
Prova: (a) Por hip´otese: a, b, c ∈ R, a + c = b + c.
Por (A4), existe o n´umero real −c. Adicionar −c a ambos os lados da igual-
dade a + c = b + c n˜ao a altera e obt´em-se:
(a + c) + (−c) = (b + c) + (−c).
Por (A2) ent˜ao
a + (c + (−c)) = b + (c + (−c)).
Por (A4),
a + 0 = b + 0.
Finalmente, por (A3), tem-se a tese a = b.
(b) Por hip´otese, a + a = a. Pode-se proceder exatamente como na prova de
(a) acima at´e obter-se a tese a = 0. Fa¸ca isto como exerc´ıcio!
Uma outra maneira de provar a afirma¸c˜ao acima, que deve ser com-
preendida e aprendida, consiste em aplicar o resultado anterior: para isto,
´e preciso apresentar as condi¸c˜oes da hip´otese do item (a), para o enunciado
(b). Para tal fim, reescreve-se a hip´otese a + a = a de forma a se ter um
n´umero para cancelar, como na hip´otese de (a). De fato, pode-se reescrever
a + a = a como a + a = 0 + a (note que nada foi alterado). Da´ı e da lei de
cancelamento (a), pode-se afirmar ent˜ao que a = 0.
(c) Por hip´otese, a ∈ R. Pelo item (b) acima, para concluir que a · 0 = 0
basta mostrar que a · 0 + a · 0 = a · 0. Para mostrar que uma igualdade
´e verdadeira, basta desenvolver um dos seus membros at´e obter-se o outro
(jamais se desenvolvem os dois lados ao mesmo tempo!). Assim,
a · 0 + a · 0
D
= a · (0 + 0)
(A3)
= a · 0 .
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5. Os N´umeros Reais I
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Obteve-se um enunciado que tem a forma da hip´otese do item (b) para o
n´umero real a · 0. Como (b) j´a foi provado ser verdadeiro, fica garantido
ent˜ao que vale a · 0 = 0.
A prova da pr´oxima Proposi¸c˜ao ´e deixada como exerc´ıcio. Fa¸ca-a depois
de ter entendido e refeito por si mesmo as provas acima.
Proposi¸c˜ao 1.2 (Cancelamento da multiplica¸c˜ao) Para todos a, b, c ∈ R, se
ac = bc e c = 0 ent˜ao a = b.
Prova: Ao fazer a prova, atente para a utiliza¸c˜ao correta do Axioma (M4).
Recorde que o Axioma (A3) garante a existˆencia do n´umero real 0, que
tem a propriedade de que
a + 0 = a , para todo a ∈ R . (1.2)
Na pr´oxima Proposi¸c˜ao, prova-se que 0 ´e o ´unico n´umero real com esta pro-
priedade.
Para provar a unicidade de um objeto matem´atico (termo), sup˜oe-se
que existe um outro objeto com a mesma propriedade e raciocina-se para
concluir que os objetos s˜ao iguais.
Proposi¸c˜ao 1.3 O elemento neutro da adi¸c˜ao em R ´e ´unico.
Prova: Suponha que existe θ ∈ R tal que
a + θ = a , para todo a ∈ R . (1.3)
Como 0 ´e um n´umero real ent˜ao (1.3) vale, em particular, para a = 0, ou
seja,
0 + θ = 0 . (1.4)
Da mesma forma, como θ ∈ R ent˜ao (1.2) vale em particular para a = θ,
fornecendo
θ + 0 = θ . (1.5)
Como por (A1), 0 + θ = θ + 0, ent˜ao por (1.4) e (1.5), 0 = θ. A unicidade
do elemento neutro da adi¸c˜ao est´a provada.
Dado a ∈ R, o Axioma (A4) garante a existˆencia de −a, o elemento
sim´etrico de a . A pr´oxima Proposi¸c˜ao estabelece que cada n´umero real possui
um ´unico elemento sim´etrico.
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6. Elementos
de
An´alise
Real
Os N´umeros Reais I
Proposi¸c˜ao 1.4 Se a ∈ R ent˜ao o elemento sim´etrico de a ´e ´unico.
Prova: Por hip´otese, a ∈ R. Por (A4), existe −a ∈ R tal que a + (−a) = 0.
Suponha que exista a′
∈ R com a mesma propriedade de −a, isto ´e, tal que
a+a′
= 0 . Logo a+(−a) = a+a′
. Pela Proposi¸c˜ao 1.1(a), pode-se cancelar
a, logo segue que −a = a′
. Portanto, o elemento sim´etrico de a ´e ´unico.
A Proposi¸c˜ao 1.4 estabelece que −a ´e o ´unico n´umero real que somado
com o n´umero real a produz 0. Dela decorre que, se c ∈ R e a + c = 0 ent˜ao
c = −a; ou seja, para garantir que c ∈ R ´e o sim´etrico de a ∈ R basta ( ou
seja, ´e suficiente ), mostrar que a + c = 0. Esta ideia ´e usada no pr´oximo
Exemplo, que deve ser estudado cuidadosamente.
Exemplo 1.2 Mostrar que ´e verdadeira a afirma¸c˜ao: se a, b ∈ R ent˜ao
(−a) · b = −(a · b), ou seja, (−a) · b ´e o sim´etrico de a · b.
Prova: Por hip´otese, a, b ∈ R. Pela Proposi¸c˜ao 1.4 basta provar que
a · b + (−a) · b = 0. Como j´a foi comentado, para provar que uma igual-
dade ´e verdadeira, deve-se desenvolver um dos seus membros at´e obter-se o
outro. Assim,
a · b + (−a) · b = (a + (−a)) · b = 0 · b = 0 .
Nesta sequˆencia, foram utilizadas (D), (A4) e a Proposi¸c˜ao 1.1 (c), nesta
ordem. Pela Proposi¸c˜ao 1.4, conclui-se que (−a) · b = −(a · b).
Note que na prova de uma implica¸c˜ao, a tese ´e a conclus˜ao, a qual
se deseja estabelecer a partir das hip´oteses e/ou de resultados j´a provados
anteriormente. Ao contr´ario das hip´oteses, a conclus˜ao n˜ao pode ser usada
no racioc´ınio e n˜ao pode ser considerada como fato verdadeiro a priori.
Portanto, n˜ao faz sentido afirmar numa demonstra¸c˜ao que a conclus˜ao ´e, de
antem˜ao, verdadeira.
A mesma ideia do Exemplo anterior ´e usada na demonstra¸c˜ao da Pro-
posi¸c˜ao a seguir:
Proposi¸c˜ao 1.5 (a) Para todos a, b ∈ R, a · (−b) = −(ab) ;
(b) Para todo a ∈ R, a = −(−a) ;
(c) Para todos a, b ∈ R, (−a)(−b) = ab;
(d) (−1) · (−1) = 1 .
Prova: (a) Este item fica como exerc´ıcio.
CEDERJ 6

7. Os N´umeros Reais I
NA 1
(b) Por hip´otese, a ∈ R. Como a + (−a) = 0 ´e verdade por (A4), ent˜ao
a = −(−a) , pela Proposi¸c˜ao 1.4.
(c) Pode-se raciocinar como no Exemplo 1.2. Ou ent˜ao usar os itens anteri-
ores: (−a)(−b)
(a)
= −((−a) · b)
(Ex.1.2)
= −(−(a · b))
(b)
= a · b .
(d) ´E um caso particular de (c) para a = b = 1.
Ap´os ter estudado cuidadosamente as provas das Proposi¸c˜oes anterio-
res, use racioc´ınios an´alogos para provar que:
Proposi¸c˜ao 1.6 (a) O elemento neutro da multiplica¸c˜ao ´e ´unico, isto ´e, 1
´e o ´unico n´umero real com a propriedade
1 · a = a, para todo a ∈ R .
(b) Se a ∈ R e a = 0 ent˜ao o inverso multiplicativo de a ´e ´unico.
Prova: Exerc´ıcio. Para (a), lembre que 1 = 0 por (M3). Em (a) e (b), vocˆe
dever´a usar a Proposi¸c˜ao 1.2.
Pela Proposi¸c˜ao 1.6 (b), para garantir que um n´umero real b ´e o inverso
multiplicativo de um n´umero real a = 0, ou seja, que b = 1/a, ´e suficiente
mostrar que a · b = 1. Esta ideia ser´a utilizada na prova do item (b )
da pr´oxima Proposi¸c˜ao. Antes disto, no entanto, estude cuidadosamente o
pr´oximo Prel´udio, onde ´e apresentado uma outra t´ecnica de prova.
♦ Prel´udio 1.2 Um tipo de racioc´ınio dedutivo que ´e `as vezes utilizado para
se provar que uma implica¸c˜ao
se P[x] ent˜ao Q[x]
´e verdadeira ´e o chamado racioc´ınio indireto ou racioc´ınio por absurdo. Procede-
se da seguinte forma:
admite-se, como sempre, que a hip´otese P[x] ´e verdadeira e sup˜oe-se (por
absurdo), que a conclus˜ao Q[x] ´e falsa.
Da´ı, busca-se chegar a uma afirma¸c˜ao que contrarie a hip´otese, P[x], ou contrarie
algum fato j´a provado. Como a contradi¸c˜ao (ou absurdo) decorreu da suposi¸c˜ao
de que a tese, Q[x], era falsa, conclui-se que Q[x] ´e verdadeira. Assim, o que
se desejava provar ´e fato. Este tipo de racioc´ınio ´e muito adequado para a
demonstra¸c˜ao de certos tipos de enunciados, que vocˆe aprender´a a reconhecer
com a pr´atica, mas n˜ao deve ser, em princ´ıpio, a primeira t´ecnica a ser empregada.
O racioc´ınio por absurdo ser´a utilizado na prova da Proposi¸c˜ao 1.7 (a),
abaixo. Estude-a cuidadosamente.
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8. Elementos
de
An´alise
Real
Os N´umeros Reais I
Proposi¸c˜ao 1.7 Sejam a, b, c elementos de R.
(a) Se a ∈ R e a = 0 ent˜ao 1/a = 0;
(b) Se a ∈ R e a = 0 ent˜ao a = 1/(1/a);
(b) Se a, b ∈ R, a · b = 0 e a = 0 ent˜ao b = 0;
(c) Se a · b = 0 ent˜ao a = 0 ou b = 0;.
Prova: (a) Por hip´otese, a = 0. Logo, por (M4), existe o n´umero real 1/a.
Suponha por absurdo que 1/a = 0. Ent˜ao a · (1/a) = a · 0 = 0. Mas por
(M4), a · (1/a) = 1. Mas destas duas afirma¸c˜oes decorre que 0 = 1, o que
contradiz (M3). Portanto, supor que 1/a = 0 leva a uma contradi¸c˜ao e este
fato permite concluir que 1/a = 0.
(b) Por hip´otese, a = 0. Por (a), 1/a = 0. Ent˜ao, como (1/a) · a = 1 ent˜ao,
pelo item (b) da Proposi¸c˜ao 1.6, resulta que 1/(1/a) = a .
(b) Por hip´otese a · b = 0 e a = 0. Logo existe o n´umero real 1/a, que pode
multiplicar ambos os lados da primeira igualdade para fornecer (1/a)(a·b) =
(1/a)·0. Da´ı por (M2) segue que ((1/a)·a)·b = 0 . Ent˜ao, por (M4), 1·b = 0,
e da´ı por (M3), b = 0.
(c) Por hip´otese a · b = 0. Tem-se que a = 0 ou a = 0. Se a = 0, nada h´a a
provar. Se a = 0 ent˜ao pelo item (b) acima tem-se b = 0. Conclui-se ent˜ao
que, se vale a · b = 0 ent˜ao necessariamente a = 0 ou b = 0.
A subtra¸c˜ao ´e a opera¸c˜ao que associa a cada par (a, b) de n´umeros reais
a diferen¸ca a−b. A divis˜ao entre dois n´umeros reais ´e a opera¸c˜ao que associa
a cada par (a, b) de n´umeros reais no qual b = 0, o n´umero real a/b = a·(1/b),
que ´e chamado quociente de a por b .
De agora em diante tamb´em ser´a usada a nota¸c˜ao ab para o produto
a · b. A opera¸c˜ao de potencia¸c˜ao de n´umeros reais ´e definida da forma usual,
a saber:
a0
:= 1; a1
:= a; ; e an+1
:= an
a para todo n ∈ N.
Os elementos de R que podem ser escritos na forma a/b com a, b ∈ Z
e b = 0 s˜ao chamados de n´umeros racionais. Os n´umeros reais que n˜ao s˜ao
racionais s˜ao chamados irracionais. Estes n´umeros reais surgem em diversas
situa¸c˜oes na Matem´atica, sendo solu¸c˜oes para equa¸c˜oes que n˜ao tˆem resposta
CEDERJ 8

9. Os N´umeros Reais I
NA 1
em Q. Por exemplo, pode-se mostrar que a equa¸c˜ao (3
)
x2
= 2. (∗)
n˜ao tem solu¸c˜ao em Q, isto ´e, n˜ao existe um n´umero racional x que seja
solu¸c˜ao de (∗).
De fato, suponha por absurdo que existe tal x em Q. Ent˜ao existem
p, q ∈ Z tais que q = 0, com p e q sem divisores comuns (se n˜ao, bastaria
reduzir a fra¸c˜ao) e x = p/q. Mas como x2
= 2 ent˜ao tem-se p2
= 2q2
. Assim,
p2
´e necessariamente par, e portanto p ´e par, digamos p = 2m, m ∈ Z.
Consequentemente,
4m2
= 2q2
, ou seja q2
= 2m2
,
de onde segue que q2
´e par, e da´ı que q ´e par. Portanto, p e q s˜ao pares
o que ´e uma contradi¸c˜ao pois, por escolha, eles s˜ao primos entre si (n˜ao
possuem divisores comuns). Esta contradi¸c˜ao decorre da suposi¸c˜ao inicial da
existˆencia de um n´umero racional x satisfazendo x2
= 2. Conclui-se que a
equa¸c˜ao (∗) n˜ao possui solu¸c˜ao no corpo Q dos racionais.
Nas Notas de Aula 02 ser´a provado que o n´umero real positivo x que
satisfaz (∗) existe. Ele ser´a denotado
√
2 e chamado raiz quadrada (positiva)
de 2. Provou-se que
√
2 n˜ao pertence ao conjunto dos n´umeros racionais. A
demonstra¸c˜ao de que a equa¸c˜ao (∗) tem solu¸c˜ao em R depende do Axioma
do Supremo, propriedade do conjunto dos n´umeros reais que ser´a introduzida
nas Notas de Aula 02. Pelo que foi visto acima, ter-se-´a necessariamente que
√
2 ´e um n´umero irracional.
♦ Prel´udio 1.3 O Axioma (A4) permite afirmar que, se um n´umero real c ´e
igual ao elemento sim´etrico de a ∈ R, isto ´e, se c = −a, ent˜ao a + c = 0. Por
outro lado, a prova da Proposi¸c˜ao 1.4 estabelece que se c ∈ R e a + c = 0
ent˜ao c = −a. Ou sejam, valem as duas implica¸c˜oes abaixo, onde a hip´otese da
primeira ´e a conclus˜ao da segunda e vice-versa:
se c = −a ent˜ao a + c = 0
e se a + c = 0 ent˜ao c = −a .
3
Uma equa¸c˜ao ´e uma igualdade contendo uma ou mais inc´ognitas (ou vari´aveis)´.
Equa¸c˜oes n˜ao s˜ao falsas e nem verdadeiras, pois, tendo inc´ognitas, seu valor l´ogico n˜ao
pode ser estabelecido. Se as inc´ognitas s˜ao substitu´ıdas por valores do contexto, ent˜ao se
ter´a igualdades verdadeiras ou falsas, dependendo de as inc´ognitas satisfazerem ou n˜ao as
equa¸c˜oes. Uma solu¸c˜ao em R para uma equa¸c˜ao com uma inc´ognita ´e um n´umero real
que, ao substituir a inc´ognita na equa¸c˜ao, fornece uma igualdade verdadeira.
9 CEDERJ

10. Elementos
de
An´alise
Real
Os N´umeros Reais I
Em Matem´atica, o fato de valerem estas duas implica¸c˜oes ´e expresso de modo
resumido escrevendo-se
c = −a ⇔ a + c = 0 . (1.6)
(lˆe-se: “c ´e o sim´etrico de a se e somente se a + c = 0).
De modo geral, se P[x] e Q[x] s˜ao dois enunciados, o enunciado P[x] ⇔
Q[x] (lˆe-se P[x] se e somente se Q[x]) indica que os dois enunciado possuem
o mesmo valor l´ogico, ou seja: um ´e verdadeiro se, e somente se o outro tamb´em
´e, e um ´e falso exatamente quando o outro ´e. Diz-se tamb´em que os enunciados
s˜ao equivalentes. Para provar uma biimplica¸c˜ao ´e necess´ario provar as duas
implica¸c˜oes envolvidas.
A ordem em R
As propriedades da rela¸c˜ao da rela¸c˜ao de ordem < em R permitem
estabelecer a no¸c˜ao de desigualdade entre n´umeros reais e fazem de R um
corpo ordenado, no sentido que se vai explicar. Assim como no caso da
estrutura alg´ebrica dos n´umeros reais, ser˜ao introduzidas certas propriedades
b´asicas de < como axiomas (os Axiomas de Ordem), a partir das quais todas
as outras poder˜ao deduzidas.
Com este fim, assume-se a existˆencia de um subconjunto R+
de R,
cujos elementos s˜ao chamados n´umeros positivos e satisfazem as seguintes
propriedades:
(O) Axiomas de Ordem
(O1) Se a, b pertencem a R+
ent˜ao a + b pertence a R+
;
(O2) Se a, b ∈ R+
ent˜ao ab ∈ R+
;
(O3) Se a ∈ R ent˜ao uma e somente uma das afirma¸c˜oes ´e verdadeira:
a ∈ R+
ou a = 0 ou − a ∈ R+
.
A propriedade (O3) ´e chamada tricotomia, pois reparte R em trˆes sub-
conjuntos dois a dois disjuntos, ou seja, com a interse¸c˜ao igual a φ: o sub-
conjunto R+
dos n´umeros positivos, o subconjunto {0} e o subconjunto dos
n´umeros −a tais que a ∈ R+
, que ser´a denotado R−
e chamado conjunto
CEDERJ 10

11. Os N´umeros Reais I
NA 1
dos n´umeros reais negativos. Al´em disso, (O3) estabelece que R ´e a uni˜ao
destes trˆes subconjuntos: em s´ımbolos, R = R+
∪ {0} ∪ R−
.
A pr´oxima Defini¸c˜ao introduz nota¸c˜oes que permitir˜ao que os Axiomas
de Ordem sejam reescritos sob uma forma mais simples.
Defini¸c˜ao 1.1 Se a ∈ R+
diz-se que a ´e um n´umero real positivo (ou estri-
tamente positivo) e escreve-se a > 0;
Se a ∈ R+
ou a = 0, diz-se que a ´e um n´umero real n˜ao negativo e escreve-se
a ≥ 0;
Se −a ∈ R+
diz-se que a ´e um n´umero real negativo (ou estritamente nega-
tivo) e escreve-se a < 0;
Se −a ∈ R+
ou a = 0, diz-se que a ´e um n´umero real n˜ao positivo e escreve-se
a ≤ 0.
Pela Defini¸c˜ao acima, 0 (e somente ele) ´e ao mesmo tempo um n´umero
real n˜ao positivo e n˜ao negativo.
(O) Axiomas de Ordem (reescritos)
(O1) Para todos a, b ∈ R, se a > 0 e b > 0 ent˜ao a + b > 0;
(O2) Para todos a, b ∈ R, se a > 0 e b > 0 ent˜ao ab > 0 ;
(O3) Tricotomia: Se a ∈ R ent˜ao uma e somente uma das afirma¸c˜oes ´e
verdadeira:
a > 0 ou a = 0 ou − a > 0 .
A no¸c˜ao de desigualdade entre dois elementos de R ´e definida por meio da
positividade do seguinte modo:
Defini¸c˜ao 1.2 Sejam a, b ∈ R.
(a) a > b (ou b < a ) significa a − b > 0 ;
(b) a ≥ b (ou b ≤ a ) significa a − b ≥ 0 .
A partir da Defini¸c˜ao 1.2, convenciona-se que a < b < c abrevia a <
b e b < c . De modo similar, a ≤ b ≤ c significa a ≤ b e b ≤ c ,
a ≤ b < c abrevia a ≤ b e b < c , e assim por diante.
Um corpo F dotado da rela¸c˜ao de ordem (parcial) < com as proprieda-
des acima ´e chamado de corpo ordenado. Portanto, R ´e um corpo ordenado.
11 CEDERJ

12. Elementos
de
An´alise
Real
Os N´umeros Reais I
Algumas propriedades da ordem em R
Proposi¸c˜ao 1.8 (a) Se a, b ∈ R, a > b e b > c ent˜ao a > c;
(b) Se a, b ∈ R ent˜ao uma e somente uma das rela¸c˜oes a > b, a = b ou
a < b ocorre;
(c) Se a, b ∈ R, a ≥ b e b ≥ a ent˜ao a = b .
Prova: (a) Por hip´otese a > b e b > c. Pela Defini¸c˜ao 1.2 tem-se que
a−b > 0 e b−c > 0. Da´ı e por (O1) tem-se (a−b)+(b−c) > 0. Mas usando
(A1),(A2), (A3) e (A4) tem-se que (a − b) + (b − c) = a − c. Logo, de novo
pela Defini¸c˜ao 1.2, tem-se que a > c.
(b) Por hip´otese, a, b ∈ R. Logo, a−b ∈ R e pela Propriedade de Tricotomia
(O3), exatamente uma das seguintes rela¸c˜oes ocorre:
a − b > 0 ou a − b = 0 ou − (a − b) = b − a > 0.
Da´ı e pelo item (a) da Defini¸c˜ao 1.2 tem-se que uma e somente uma das
rela¸c˜oes a > b ou a = b ou a < b ´e verdadeira.
(c) Por hip´otese, a ≥ b e b ≥ a. Como vale a ≥ b ent˜ao vale exatamente uma
das rela¸c˜oes a > b ou a = b; logo, n˜ao vale a < b. Como b ≥ a tamb´em ´e
verdade ent˜ao, da mesma forma, uma exatamente das duas rela¸c˜oes b < a ou
b = a, e portanto, n˜ao vale b > a. Considerando apenas as rela¸c˜oes poss´ıveis,
conclui-se que a = b.
Proposi¸c˜ao 1.9 (a) Se a ´e um elemento de R e a = 0 ent˜ao a2
> 0;
(b) 1 > 0.
Prova: (a) Sendo por hip´otese a = 0 ent˜ao, pela Tricotomia, a > 0 ou
−a > 0. Ser´a ent˜ao necess´ario obter a conclus˜ao desejada em cada um dos
dois casos. Ora, se a > 0 ent˜ao por (O2) tem-se a2
= aa > 0. E tamb´em, se
−a > 0 ent˜ao por (O2) tem-se (−a)(−a) > 0. Mas pela Proposi¸c˜ao 1.8 (c)
tem-se
(−a)(−a) = aa = a2
.
Portanto, a2
> 0 tamb´em neste caso. Logo vale a conclus˜ao em qualquer dos
casos poss´ıveis. Est´a ent˜ao demonstrado que se a = 0 conclui-se que a2
> 0.
(b) Como 1 = 12
´e verdade por (M3) ent˜ao do item (a) precedente resulta
que 1 > 0.
CEDERJ 12

13. Os N´umeros Reais I
NA 1
Proposi¸c˜ao 1.10 (a) Se a, b, c ∈ R e a > b ent˜ao a + c > b + c;
(b) Se a, b, c, d ∈ R, a > b e c > d ent˜ao a + c > b + d;
(c) Se a, b, c s˜ao n´umeros reais, a > b e c > 0 ent˜ao ac > bc;
(d) Se a, b, c ∈ R, a > b e c < 0 ent˜ao ac < bc;
(e) Se a ∈ R e a > 0 ent˜ao 1/a > 0;
(f) Se a ∈ R e a < 0 ent˜ao 1/a < 0;
Prova: (a) Por hip´otese a > b, ou seja, a − b > 0. Logo (a + c) − (b + c) =
a − b > 0. Portanto, a + c > b + c.
(b) Por hip´otese a > b e c > d. Logo
a − b > 0 e c − d > 0 . (∗)
Como (a+c)−(b+d) = (a−b)+(c−d) ent˜ao, por (O1) e por (∗) conclui-se
que (a + c) − (b + d) > 0. Logo, pela Defini¸c˜ao 1.2, a + c > b + d.
(c) Por hip´otese a > b e c > 0. Ent˜ao a − b > 0. Da´ı, de c > 0 e por (O2)
tem-se ac − bc = (a − b)c > 0. Assim, ac > bc, pela Defini¸c˜ao 1.2.
(d) Exerc´ıcio.
(e) Por hip´otese a > 0. Pela Tricotomia, a = 0, de onde segue pela Proposi¸c˜ao
1.7 (a), que 1/a = 0. Suponha, por absurdo, que 1/a < 0 (veja o Prel´udio
1.2). Usando o item (d) para b = 0 e c = 1/a, tem-se que a·(1/a) < 0·(1/a),
ou seja 1 < 0. Isto contradiz o item (c) da Proposi¸c˜ao 1.7. Portanto, tem-se
que 1/a > 0.
(f) Exerc´ıcio.
A afirma¸c˜ao demonstrada no pr´oximo Exemplo ser´a muito ´util no de-
correr do estudo de EAR.
Exemplo 1.3 Se a ∈ R e para todo n´umero real ǫ > 0 vale 0 ≤ a < ǫ, ent˜ao
a = 0.
Prova: A hip´otese ´e (aten¸c˜ao!!!): a ∈ R e vale 0 ≤ a < ǫ para todo n´umero
real ǫ > 0 . Suponha, por absurdo, que a = 0. Da´ı, a < 0 ou a > 0 (pela
tricotomia, s´o vale uma das situa¸c˜oes). Como por hip´otese a ≥ 0, n˜ao pode
ocorrer a < 0. Portanto, a > 0. Sendo a > 0 pode-se fazer ǫ = a na hip´otese
(isto ´e poss´ıvel, pois a hip´otese ´e verdadeira para todo ǫ > 0 real, logo em
particular para ǫ = a). Da´ı obt´em-se a < a. Mas isto ´e um absurdo pela
tricotomia! Logo, a = 0.
13 CEDERJ

14. Elementos
de
An´alise
Real
Os N´umeros Reais I
♦ Prel´udio 1.4 Um estudo sistem´atico do conjunto Z dos n´umeros inteiros j´a
foi realizado em disciplinas anteriores. L´a vocˆe aprendeu sobre os Princ´ıpios da
Boa Ordena¸c˜ao e da Indu¸c˜ao Matem´atica, sendo que um deles foi introduzido
como Axioma e o outro deduzido dele. Aqui ser´a feita apenas uma recorda¸c˜ao
deste ´ultimo, apresentado como um Teorema.
O Princ´ıpio da Indu¸c˜ao Matem´atica - PIM - ´e talvez a mais importante
propriedade dos n´umeros inteiros (logo, dos n´umeros naturais). Na sua vers˜ao
mais simples, o PIM fornece uma maneira de provar que uma afirma¸c˜ao do tipo
Para todo n´umero inteiro n ≥ a, vale P[n] (⋆)
´e verdadeira. Na afirma¸c˜ao (⋆), P[n] indica uma propriedade que se refere ao
n´umero inteiro n e a ´e um n´umero inteiro conhecido. Portanto, o PIM fornece
um m´etodo de prova.
Exemplo 1.4 • Para todo n ∈ N, n > 0. Aqui, a = 1 e P[n] ´e a proprie-
dade n > 0 .
• Para todo natural n ≥ 4, 2n
< n!. Aqui, a = 4 e P[n] ´e a propriedade
2n
< n! .
Note a estrutura de enunciado condicional na formula¸c˜ao precisa do Teo-
rema que ser´a abreviado pela sigla PIM nestas Li¸c˜oes.
Teorema 1.1 (Princ´ıpio da Indu¸c˜ao Matem´atica - PIM) Seja P[n] uma
propriedade referente ao n´umero inteiro n e seja a ∈ Z dado. Se P[n] satis-
faz
1. P[a] ´e enunciado verdadeiro e
2. para todo k ∈ Z, k ≥ a, se P[k] ´e verdadeira ent˜ao P[k+1] ´e verdadeira
ent˜ao P[n] ´e verdadeira para todos os n´umeros naturais n ≥ a.
Entenda que para usar o PIM na demonstra¸c˜ao de que uma propriedade
P[n] ´e verdadeira para todos os inteiros n ≥ a, onde a ´e um inteiro dado, ´e
necess´ario provar que P[n] satisfaz os itens (1) e (2) acima, ou seja, que P[n]
est´a nas condi¸c˜oes das hip´oteses do PIM. E mais: como o item (2) exige que ”se
P[n] ´e verdadeira para o inteiro k ≥ a ent˜ao P[n] ´e verdadeira para n = k+1”,
prov´a-lo significa provar uma implica¸c˜ao!
CEDERJ 14

15. Os N´umeros Reais I
NA 1
A seguir vocˆe encontra um passo-a-passo para usar o PIM na demonstra¸c˜ao
de que uma afirma¸c˜ao do tipo ”para todo n´umero inteiro n ≥ a, vale P[n] ”´e
verdadeira.
[10
] Identificar a propriedade P[n] e o n´umero inteiro (ou natural) a;
[20
] Mostrar que vale P[n] para n = a, isto ´e, que P[a] ´e uma afirma¸c˜ao
verdadeira;
[30
] Escrever a Hip´otese de Indu¸c˜ao - HI - corretamente: ”seja k ∈ Z, k ≥ a e
suponha-se que vale P[k]”;
[40
] Usando HI provar que P[k+1] ´e verdadeira.
Aten¸c˜ao: Em HI sup˜oe-se que P[k] ´e verdadeira para um determinado inteiro
k ≥ a e n˜ao para todo k. Na verdade, que ”vale P[n] para todo n ≥ a ” ´e a
conclus˜ao final, a tese. Portanto, esta n˜ao pode ser a HI!!
Exemplo 1.5 Provar que a soma dos n primeiros n´umeros naturais ´e igual a
1
2
n(n + 1), ou brevemente, que para todo n ∈ N vale
1 + 2 + · · · + n =
1
2
n(n + 1). (⋆)
Prova: Aqui P[n] ´e a igualdade (⋆) e a = 1 .
P[1] diz que 1 = 1
2
· 1 · 2, , o que ´e verdade.
HI: Suponha que k ∈ N e que valha P[k], ou seja, que 1+2+· · ·+k =
1
2
k(k+1).
Deseja-se provar que P[k + 1] ´e verdadeira. Ou seja, que vale 1 + 2 +
· · · + k + (k + 1) =
1
2
(k + 1)(k + 2). Para mostrar esta igualdade, procede-se
como a seguir:
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) = (1 + 2 + · · ·+ k) + (k + 1)
HI
=
1
2
k(k + 1) + (k + 1) =
=
k(k + 1) + 2(k + 1)
2
=
1
2
(k + 1)(k + 2). Assim vale que
1 + 2 + · · · + k + (k + 1) =
1
2
(k + 1)(k + 2), ou seja, P[k+1] ´e verdadeira.
Como as duas condi¸c˜oes da hip´otese do PIM foram provadas, o Teorema conclui-
se que P[n] ´e verdadeira para todo n ∈ N
Observa¸c˜ao 1.1 O resultado acima possui uma prova alternativa diferente da
apresentada, que costuma ser apresentada aos estudantes de Ensino M´edio (pes-
quise!). Este fato n˜ao ´e comum para a maior parte dos enunciados pass´ıveis de
serem provados por indu¸c˜ao.
15 CEDERJ

16. Elementos
de
An´alise
Real
Os N´umeros Reais I
Exemplo 1.6 Mostrar que: se n ∈ N e n ≥ 4 ent˜ao 2n
< n!.
Prova: Note que aqui a = 4 e P[n] ´e 2n
< n! .
Para n = 4, P[4] diz que 24
< 4!, ou seja, que 16 < 24. E isto ´e verdade.
A HI ´e: suponha que P[n] vale para um determinado natural n ∈ N com
n ≥ 4. Ou seja, suponha que 2n
< n! vale. Multiplicar ambos os membros
da desigualdade de HI por 2 n˜ao a altera (veja a Proposi¸c˜ao 1.10(c) ) e fornece
2n+1
= 2n
·2 < n!·2 . Como 2 < n+1, pois 4 ≤ n (verifique!) e n! > 0, resulta
n! · 2 < n!(n + 1) = (n + 1)! . Usando as duas desigualdades e transitividade,
vem que 2n+1
< (n + 1)!.
Como as duas condi¸c˜oes do Teorema 1.1 foram provadas, conclui-se pelo
PIM que 2n
< n! ´e verdade para todo natural n ≥ 4.
Proposi¸c˜ao 1.11 Para todo n ∈ N, n > 0.
Prova: Aqui P[n] ´e a propriedade n > 0 e a = 1.
1) P[1] vale, pois 1 > 0 pela Proposi¸c˜ao 1.9(b);
2) A HI ´e: seja k ∈ N (logo k ≥ 1) e suponha que P[k] ´e verdadeira para
este k, isto ´e, que k > 0. Como 1 > 0 e pela HI, k > 0, ent˜ao k + 1 > 0 por
(O1).
Assim, as duas condi¸c˜oes da hip´otese do PIM s˜ao satisfeitas. Resulta
dele ent˜ao que n > 0 para todo n ∈ N .
Proposi¸c˜ao 1.12 Se a e b s˜ao elementos de R tais que a < b ent˜ao a <
1
2
(a + b) < b. Em particular, se a = 0 tem-se que 0 < 1
2
b < b para qualquer
b ∈ R.
Prova: Sendo por hip´otese a < b ent˜ao, do item (a) da Proposi¸c˜ao 1.10 tem-
se que 2a = a+ a < a+ b e que a+ b < b+ b = 2b. Da´ı, 2a < a+ b < 2b. Pela
Proposi¸c˜ao 1.11, 2 > 0, e, da´ı, pela Proposi¸c˜ao 1.10 (e) tem-se que 1/2 > 0.
Aplicando a Proposi¸c˜ao 1.10 (c) em 2a < a + b < 2b com c = 1/2 resulta que
a =
1
2
(2a) <
1
2
(a + b) <
1
2
(2b) = b.
Proposi¸c˜ao 1.13 Se a ´e elemento de R tal que 0 ≤ a < ǫ para qualquer ǫ
positivo, ent˜ao a = 0.
CEDERJ 16

17. Os N´umeros Reais I
NA 1
Prova: Por hip´otese, a ∈ R e 0 ≤ a < ǫ, para todo n´umero real positivo
ǫ. Logo a ≥ 0. Raciocina-se por redu¸c˜ao ao absurdo. Suponha, ent˜ao, que
a > 0. Da´ı, pela Proposi¸c˜ao 1.12, 0 < a/2 < a. Por outro lado, como 2 > 0,
pela Proposi¸c˜ao 1.10 (e) tem-se que 1/2 > 0. A hip´otese vale em particular
para ǫ := a/2, pois ela vale para todo n´umero real > 0, e portanto, tem-se
que 0 < a < a/2. Mas pela Tricotomia, ´e um absurdo valer a < a/2 e
a/2 < a ao mesmo tempo, levando a uma contradi¸c˜ao. Logo, n˜ao se pode ter
a > 0 no caso acima, e necessariamente tem-se que a = 0.
Exerc´ıcios 1.1 1. Mostre que, se z, a ∈ R com a = 0 e z · a = a ent˜ao
z = 1.
2. Se a, b ∈ R e a + b = 0 ent˜ao b = −a. Mostre.
3. Mostre que (−1) · (−1) = 1.
4. Mostre que: se a, b, c ∈ R, a ≥ b e b ≥ c ent˜ao a ≥ c.
5. Sejam a, b, c elementos de R. Mostre que:
(a) Se a > b e c < 0 ent˜ao ac < bc;
(b) Se a < 0 ent˜ao 1/a < 0.
6. Sejam a, b ∈ R e suponha que a − ǫ < b para qualquer ǫ > 0. Mostre
que a ≤ b.
7. Sejam a, b ∈ R tais que ab > 0. Mostre que a e b s˜ao positivos ou a e
b s˜ao negativos.
8. Sejam a, b n´umeros reais. Se a > 0 e b > 0, mostre que a m´edia
aritm´etica (a + b)/2, e a m´edia geom´etrica
√
ab, satisfazem
√
ab ≤
1
2
(a + b),
e que a igualdade entre elas ocorre se e somente se a = b. Sugest˜ao:
(
√
a +
√
b)2
≥ 0.
9. ( Desigualdade de Bernoulli) Se x ´e um n´umero real tal que x ≤ −1,
mostre, usando indu¸c˜ao matem´atica, que (1 + x)n
≥ 1 + nx para todo
n ∈ N.
17 CEDERJ