Resolução dos exercícios da Lista 1 da disciplina de Funções de uma variável, do prof. Cláudio Meneses, da Universidade Federal do ABC.
Dúvidas/Comentários/Comunicação de Erros: rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
Matemática Discreta - Parte III definicoes indutivasUlrich Schiel
O documento discute métodos de prova de teoremas em matemática, incluindo prova direta, por contraposição, contradição e indução finita. Fornece exemplos de cada método ao provar teoremas como "se A está contido em B, então a interseção de A e B é igual a A".
Raciocínio Lógico: Exercício de um concurso público resolvido de forma clara e detalhada, aplicando os conceitos de tabela verdade: conjunção, disjunção, negação, implicação e bi-implicação.
O documento descreve o núcleo e a imagem de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de vetores que mapeiam para o vetor nulo, enquanto a imagem é o conjunto de vetores alvo. O documento fornece exemplos de cálculo do núcleo e da imagem para transformações lineares entre espaços vetoriais.
O documento apresenta os conceitos de produto escalar entre vetores no espaço R3. São definidos o produto escalar, suas propriedades e expressão cartesiana. Também são apresentadas as interpretações geométricas do módulo do produto escalar como a projeção de um vetor na direção de outro e a determinação do ângulo entre dois vetores a partir do produto escalar. Exemplos ilustram o cálculo do produto escalar e a determinação de ângulos e projeções entre vetores.
Dois exercícios de demonstração usando o Princípio da Indução Finita.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
O documento descreve equações do segundo grau, definindo-as como ax2 + bx + c = 0 com a diferente de zero. Explica como resolver equações completas e incompletas, introduzindo a fórmula de Bháskara. A fórmula é usada para resolver três exemplos de equações. Propriedades como número de raízes reais são descritas. Relações entre coeficientes e raízes são provadas.
Resumo a lógica matemática para concursosLuiz Ladeira
Este é resumo que fiz para o concurso de lógica matemática da CEMIG segue a matéria pedida com alguns resumos que os ajudaram um melhor entendimento, lembrando este é o resumo de minha autoria baseado no livro de
Matemática Discreta - Parte IV teoria dos-conjuntosUlrich Schiel
Este documento apresenta os principais conceitos da teoria dos conjuntos, incluindo:
1) Definição de conjunto e notação;
2) Descrição de conjuntos através de listagem, indução ou propriedades características;
3) Conjunto vazio e paradoxo de Russel;
4) Relações entre conjuntos como inclusão, igualdade, interseção e união.
Matemática Discreta - Parte III definicoes indutivasUlrich Schiel
O documento discute métodos de prova de teoremas em matemática, incluindo prova direta, por contraposição, contradição e indução finita. Fornece exemplos de cada método ao provar teoremas como "se A está contido em B, então a interseção de A e B é igual a A".
Raciocínio Lógico: Exercício de um concurso público resolvido de forma clara e detalhada, aplicando os conceitos de tabela verdade: conjunção, disjunção, negação, implicação e bi-implicação.
O documento descreve o núcleo e a imagem de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de vetores que mapeiam para o vetor nulo, enquanto a imagem é o conjunto de vetores alvo. O documento fornece exemplos de cálculo do núcleo e da imagem para transformações lineares entre espaços vetoriais.
O documento apresenta os conceitos de produto escalar entre vetores no espaço R3. São definidos o produto escalar, suas propriedades e expressão cartesiana. Também são apresentadas as interpretações geométricas do módulo do produto escalar como a projeção de um vetor na direção de outro e a determinação do ângulo entre dois vetores a partir do produto escalar. Exemplos ilustram o cálculo do produto escalar e a determinação de ângulos e projeções entre vetores.
Dois exercícios de demonstração usando o Princípio da Indução Finita.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
O documento descreve equações do segundo grau, definindo-as como ax2 + bx + c = 0 com a diferente de zero. Explica como resolver equações completas e incompletas, introduzindo a fórmula de Bháskara. A fórmula é usada para resolver três exemplos de equações. Propriedades como número de raízes reais são descritas. Relações entre coeficientes e raízes são provadas.
Resumo a lógica matemática para concursosLuiz Ladeira
Este é resumo que fiz para o concurso de lógica matemática da CEMIG segue a matéria pedida com alguns resumos que os ajudaram um melhor entendimento, lembrando este é o resumo de minha autoria baseado no livro de
Matemática Discreta - Parte IV teoria dos-conjuntosUlrich Schiel
Este documento apresenta os principais conceitos da teoria dos conjuntos, incluindo:
1) Definição de conjunto e notação;
2) Descrição de conjuntos através de listagem, indução ou propriedades características;
3) Conjunto vazio e paradoxo de Russel;
4) Relações entre conjuntos como inclusão, igualdade, interseção e união.
O documento explica o que é uma equação do 1o grau, com definição e exemplos. Apresenta os princípios da igualdade aditivo e multiplicativo para resolver equações. Mostra que para encontrar o valor da incógnita é preciso isolá-la, passando termos para o outro lado da igualdade com operações inversas. Demonstra exemplos resolvidos passo a passo.
O documento explica o que são curvas de nível e como elas representam gráficamente funções de duas variáveis. As curvas de nível são conjuntos de pontos no plano xOy com a mesma imagem z. O documento fornece exemplos de curvas de nível para funções como z=x2+y2 e discute como elas podem representar quantidades físicas como temperatura, pressão e potencial.
1) O documento resume uma aula sobre indução matemática, incluindo exemplos de provas por indução e exercícios.
2) Foi corrigida uma prova e apresentadas as ideias principais da indução matemática.
3) Foram mostradas provas por indução de que 1+3+5+...+(2n - 1) = n2, n2 ≥ 3n para n ≥ 4 e 1+2+22+...+2n = 2n+1 – 1 para qualquer n ≥ 1.
O documento apresenta 11 problemas de geometria vetorial envolvendo cálculos com vetores, produto vetorial e misto. Os problemas incluem determinar coordenadas de vetores, valores que satisfaçam certas condições geométricas, áreas e volumes de figuras geométricas definidas por vetores.
Cap4 - Parte 6 - Distribuições Discretas Exercicios ResolvidosRegis Andrade
O documento discute vários conceitos fundamentais de probabilidade e estatística, incluindo: (1) variáveis aleatórias discretas e contínuas, (2) distribuições de probabilidade discretas como binomial e hipergeométrica, e (3) distribuição de Poisson para eventos raros. Exemplos ilustram como calcular probabilidades usando essas distribuições.
Este documento resume uma aula sobre indução matemática. Ele contém três exemplos de demonstrações por indução, explicando o princípio da indução matemática e como aplicá-lo para provar propriedades sobre números inteiros positivos.
1. O documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, incluindo três subclasses: equações lineares, separáveis e exatas.
2. Há vários métodos para resolver equações diferenciais de primeira ordem, como o uso de fator integrante e a transformação de equações não exatas em exatas.
3. A escolha adequada de um fator integrante pode facilitar a solução de uma equação diferencial de primeira ordem.
Função de duas variáveis, domínios e imagemIsadora Toledo
O documento define funções de duas variáveis reais e fornece exemplos para ilustrar conceitos como domínio, imagem e curvas de nível. O primeiro exemplo calcula o valor de uma função para um ponto específico e determina seu domínio e imagem. O segundo exemplo representa graficamente uma função através de curvas de nível e traça três curvas de nível específicas.
Este documento discute o tópico da derivação em matemática. Explica o conceito de derivada como sendo a inclinação de uma curva e apresenta exemplos de como calcular derivadas de funções como polinomiais, irracionais, funções do produto e quociente. Também apresenta aplicações da derivação em economia, como o cálculo de custos marginais e médios de uma empresa.
O documento apresenta notas de aula sobre funções de várias variáveis ministradas pelo Professor Wilson Canesin. São abordados conceitos como funções de duas variáveis, seus domínios e gráficos, além de limites e continuidade de funções de duas variáveis. Exemplos ilustram cada um desses tópicos.
1) O conceito de função é um dos mais importantes em matemática, representando uma associação entre elementos de dois conjuntos onde cada elemento do primeiro conjunto está associado a exatamente um elemento do segundo conjunto. 2) Exemplos de funções incluem preços de produtos em uma loja e preços de contas de luz. 3) Para uma relação ser uma função, cada elemento do conjunto de partida deve estar associado a somente um elemento do conjunto de chegada.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de números complexos, incluindo suas representações algébrica e geométrica, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, e propriedades como conjugado e módulo.
1) O documento explica o conceito de módulo ou valor absoluto de um número real.
2) Inclui exemplos de equações e inequações modulares e como resolvê-las.
3) Discute a relação entre módulo e raiz quadrada, e como determinar o domínio de funções usando inequações modulares.
1) O documento apresenta um resumo da teoria de álgebra, incluindo operações binárias, grupos, anéis, corpos e polinômios. 2) É fornecido um conjunto de exercícios classificados por nível de dificuldade para ajudar na fixação do conteúdo. 3) O texto foi elaborado para a disciplina de Introdução à Álgebra ministrada na UAB/UFPB.
O documento apresenta as regras básicas de derivação de funções, incluindo derivadas de constantes, funções potência, funções multiplicadas por uma constante, soma, produto e quociente de funções. As regras são ilustradas com exemplos numéricos de cada uma.
EQUAÇÃO EXPONENCIAL - Conceito e resoluçãobetontem
Este documento fornece uma explicação sobre equações exponenciais, definindo-as como aquelas que apresentam a incógnita no expoente de pelo menos uma potência. Ele apresenta exemplos de equações exponenciais e as etapas para resolvê-las, como igualar expoentes quando as bases são iguais e usar a fórmula de Bhaskara. O documento também fornece referências bibliográficas sobre o assunto.
Este documento fornece exercícios sobre limites, funções, gráficos de funções, maximização de lucro, custo marginal e receita marginal. Inclui 15 exercícios sobre aplicações de funções marginais em economia e administração.
1) O documento discute resolução de equações do 1o grau, incluindo os passos para resolver equações sem parênteses, com parênteses, e com denominadores.
2) As etapas para resolver uma equação incluem simplificar termos, isolar a incógnita, e determinar a solução.
3) Equações equivalentes têm o mesmo conjunto de soluções.
Este capítulo aborda o mercado de produto e apresenta os objetivos de aprendizagem relacionados com a função consumo keynesiana, os modelos keynesianos, os conceitos de equilíbrio ex-ante e ex-post, multiplicadores e variáveis endógenas e exógenas. O capítulo também fornece explicações adicionais sobre a dedução de equações e cálculo de multiplicadores nos diferentes modelos.
1) A soma dos n primeiros números pares é n(n-1) e a soma dos n primeiros ímpares é n2.
2) A soma dos quadrados dos primeiros n números é n(2n+1)(n+1)/6.
3) A soma dos cubos dos primeiros n números é 1/2n(n+1)2 e a soma de potências crescentes dos primeiros n números tem uma fórmula recursiva.
O documento define e explica vários termos relacionados a funções de variável única, incluindo domínio, contra-domínio, imagem, gráfico, funções definidas por partes, valor absoluto, par, ímpar, crescente, decrescente, linear, polinomial, racional, algébrica, exponencial, logarítmica, transcendental, limites, continuidade e mais.
O documento explica o que é uma equação do 1o grau, com definição e exemplos. Apresenta os princípios da igualdade aditivo e multiplicativo para resolver equações. Mostra que para encontrar o valor da incógnita é preciso isolá-la, passando termos para o outro lado da igualdade com operações inversas. Demonstra exemplos resolvidos passo a passo.
O documento explica o que são curvas de nível e como elas representam gráficamente funções de duas variáveis. As curvas de nível são conjuntos de pontos no plano xOy com a mesma imagem z. O documento fornece exemplos de curvas de nível para funções como z=x2+y2 e discute como elas podem representar quantidades físicas como temperatura, pressão e potencial.
1) O documento resume uma aula sobre indução matemática, incluindo exemplos de provas por indução e exercícios.
2) Foi corrigida uma prova e apresentadas as ideias principais da indução matemática.
3) Foram mostradas provas por indução de que 1+3+5+...+(2n - 1) = n2, n2 ≥ 3n para n ≥ 4 e 1+2+22+...+2n = 2n+1 – 1 para qualquer n ≥ 1.
O documento apresenta 11 problemas de geometria vetorial envolvendo cálculos com vetores, produto vetorial e misto. Os problemas incluem determinar coordenadas de vetores, valores que satisfaçam certas condições geométricas, áreas e volumes de figuras geométricas definidas por vetores.
Cap4 - Parte 6 - Distribuições Discretas Exercicios ResolvidosRegis Andrade
O documento discute vários conceitos fundamentais de probabilidade e estatística, incluindo: (1) variáveis aleatórias discretas e contínuas, (2) distribuições de probabilidade discretas como binomial e hipergeométrica, e (3) distribuição de Poisson para eventos raros. Exemplos ilustram como calcular probabilidades usando essas distribuições.
Este documento resume uma aula sobre indução matemática. Ele contém três exemplos de demonstrações por indução, explicando o princípio da indução matemática e como aplicá-lo para provar propriedades sobre números inteiros positivos.
1. O documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, incluindo três subclasses: equações lineares, separáveis e exatas.
2. Há vários métodos para resolver equações diferenciais de primeira ordem, como o uso de fator integrante e a transformação de equações não exatas em exatas.
3. A escolha adequada de um fator integrante pode facilitar a solução de uma equação diferencial de primeira ordem.
Função de duas variáveis, domínios e imagemIsadora Toledo
O documento define funções de duas variáveis reais e fornece exemplos para ilustrar conceitos como domínio, imagem e curvas de nível. O primeiro exemplo calcula o valor de uma função para um ponto específico e determina seu domínio e imagem. O segundo exemplo representa graficamente uma função através de curvas de nível e traça três curvas de nível específicas.
Este documento discute o tópico da derivação em matemática. Explica o conceito de derivada como sendo a inclinação de uma curva e apresenta exemplos de como calcular derivadas de funções como polinomiais, irracionais, funções do produto e quociente. Também apresenta aplicações da derivação em economia, como o cálculo de custos marginais e médios de uma empresa.
O documento apresenta notas de aula sobre funções de várias variáveis ministradas pelo Professor Wilson Canesin. São abordados conceitos como funções de duas variáveis, seus domínios e gráficos, além de limites e continuidade de funções de duas variáveis. Exemplos ilustram cada um desses tópicos.
1) O conceito de função é um dos mais importantes em matemática, representando uma associação entre elementos de dois conjuntos onde cada elemento do primeiro conjunto está associado a exatamente um elemento do segundo conjunto. 2) Exemplos de funções incluem preços de produtos em uma loja e preços de contas de luz. 3) Para uma relação ser uma função, cada elemento do conjunto de partida deve estar associado a somente um elemento do conjunto de chegada.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de números complexos, incluindo suas representações algébrica e geométrica, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, e propriedades como conjugado e módulo.
1) O documento explica o conceito de módulo ou valor absoluto de um número real.
2) Inclui exemplos de equações e inequações modulares e como resolvê-las.
3) Discute a relação entre módulo e raiz quadrada, e como determinar o domínio de funções usando inequações modulares.
1) O documento apresenta um resumo da teoria de álgebra, incluindo operações binárias, grupos, anéis, corpos e polinômios. 2) É fornecido um conjunto de exercícios classificados por nível de dificuldade para ajudar na fixação do conteúdo. 3) O texto foi elaborado para a disciplina de Introdução à Álgebra ministrada na UAB/UFPB.
O documento apresenta as regras básicas de derivação de funções, incluindo derivadas de constantes, funções potência, funções multiplicadas por uma constante, soma, produto e quociente de funções. As regras são ilustradas com exemplos numéricos de cada uma.
EQUAÇÃO EXPONENCIAL - Conceito e resoluçãobetontem
Este documento fornece uma explicação sobre equações exponenciais, definindo-as como aquelas que apresentam a incógnita no expoente de pelo menos uma potência. Ele apresenta exemplos de equações exponenciais e as etapas para resolvê-las, como igualar expoentes quando as bases são iguais e usar a fórmula de Bhaskara. O documento também fornece referências bibliográficas sobre o assunto.
Este documento fornece exercícios sobre limites, funções, gráficos de funções, maximização de lucro, custo marginal e receita marginal. Inclui 15 exercícios sobre aplicações de funções marginais em economia e administração.
1) O documento discute resolução de equações do 1o grau, incluindo os passos para resolver equações sem parênteses, com parênteses, e com denominadores.
2) As etapas para resolver uma equação incluem simplificar termos, isolar a incógnita, e determinar a solução.
3) Equações equivalentes têm o mesmo conjunto de soluções.
Este capítulo aborda o mercado de produto e apresenta os objetivos de aprendizagem relacionados com a função consumo keynesiana, os modelos keynesianos, os conceitos de equilíbrio ex-ante e ex-post, multiplicadores e variáveis endógenas e exógenas. O capítulo também fornece explicações adicionais sobre a dedução de equações e cálculo de multiplicadores nos diferentes modelos.
1) A soma dos n primeiros números pares é n(n-1) e a soma dos n primeiros ímpares é n2.
2) A soma dos quadrados dos primeiros n números é n(2n+1)(n+1)/6.
3) A soma dos cubos dos primeiros n números é 1/2n(n+1)2 e a soma de potências crescentes dos primeiros n números tem uma fórmula recursiva.
O documento define e explica vários termos relacionados a funções de variável única, incluindo domínio, contra-domínio, imagem, gráfico, funções definidas por partes, valor absoluto, par, ímpar, crescente, decrescente, linear, polinomial, racional, algébrica, exponencial, logarítmica, transcendental, limites, continuidade e mais.
O documento discute diferentes técnicas de demonstração em lógica, incluindo: (1) validade absoluta de argumentos formais vs validade em um contexto específico; (2) técnicas formais vs menos formais; (3) conjecturas, teoremas e contraexemplos.
O documento apresenta informações sobre:
1) Conjuntos numéricos como naturais, inteiros, racionais e irracionais.
2) Conceitos de múltiplos, divisores, MDC e MMC.
3) Exemplos resolvidos de cálculo de MDC e MMC.
O documento apresenta uma introdução aos grupos, definindo-os formalmente e discutindo suas propriedades fundamentais, como a existência de elemento neutro e inverso. Exemplos de grupos abelianos finitos e infinitos são dados, como (Zn, +) e (Z, +).
Números enteros y jerarquía de operacionespaquicarrion7
Los números enteros incluyen los números naturales y sus opuestos. Para sumar y restar enteros, se aplican las reglas de los signos: si tienen el mismo signo se suman, y si son distintos se restan y el resultado toma el signo del número de mayor valor absoluto. Al multiplicar enteros, primero se multiplican los signos y luego los valores absolutos, siguiendo también las reglas de signos. El orden de las operaciones es: 1) paréntesis, 2) potencias y raíces, 3) multiplicación y división, 4) suma y resta.
Este documento apresenta um resumo sobre funções matemáticas. Discute conceitos como domínio, contradomínio, função injetiva, sobrejetiva e bijetiva. Apresenta exemplos de composição e inversa de funções. Explica gráficos de funções e ordena classes de funções de acordo com sua ordem de grandeza.
O documento apresenta os principais conceitos da disciplina de Matemática Discreta, incluindo sua definição, ramos e tipos de conjuntos estudados. A matemática discreta analisa estruturas abstratas discretas e enumeráveis aplicando conceitos como teoria dos conjuntos, relações, funções e álgebra de Boole.
Matematica discreta uma introducao edward r scheinermanArtur Câncio
Este documento descreve um projeto de pesquisa que visa entender melhor como as pessoas interagem com sistemas de recomendação online. O estudo irá coletar dados sobre como usuários navegam em sites de compras e streaming, e como eles respondem a diferentes tipos de recomendações. Os resultados podem ajudar a aprimorar sistemas de recomendação para fornecer experiências mais personalizadas e satisfatórias.
O documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos de Matemática Discreta abordando técnicas de prova e definições indutivas. Os principais tópicos incluem provas por contraposição, contradição e indução para validar conjecturas sobre números primos, funções e sequências.
O documento apresenta uma bateria de exercícios de matemática do 1o trimestre do 7o ano sobre números inteiros. Os exercícios abordam conceitos como conjuntos de números inteiros, temperaturas, andares de prédios e posições em retas numéricas usando números inteiros positivos e negativos.
Tipos de questão de rlm artigo 01 - com gabaritoArthur Lima
O documento apresenta 20 tipos de questões de raciocínio lógico e matemático cobrados em provas de concurso público, com um exemplo para cada tipo. Os principais tipos incluem: lógica proposicional, sequências numéricas, figuras geométricas, proporcionalidade, operações com conjuntos e porcentagem. O autor fornece os exemplos para que o leitor possa praticar sozinho e oferece enviar as resoluções caso o leitor deixe seu email.
1) O documento descreve um CD contendo 302 questões de matemática sobre álgebra, porcentagem, trigonometria e estatística.
2) As questões são divididas em 6 unidades sobre esses conteúdos.
3) O CD é destinado a professores para elaboração de revisões e avaliações.
Perguntas para o ensino fundamental maiorFábio Brito
Este documento contém 896 questões de Matemática dos 5o ao 8o ano para preparar avaliações, simulados ou questões extras. Fornece também os contatos dos professores que elaboraram as questões.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais dos números reais, incluindo:
1) Define os conjuntos N, Z, Q e R e suas relações de inclusão;
2) Apresenta os axiomas da adição, multiplicação e distributividade que definem a estrutura algébrica de R;
3) Demonstra propriedades algébricas dos números reais usando raciocínios lógicos a partir dos axiomas.
1) O documento discute indução matemática, incluindo indução fraca e forte;
2) Exemplos são dados para ilustrar como provar que uma cerca com estacas tem seções usando indução fraca e forte;
3) Um segundo exemplo mostra como provar que um número é primo ou produto de primos usando indução forte.
1) Prova que o produto de um número par por um número ímpar é par.
2) Prova que a soma de dois números racionais é também um número racional.
3) Usa o princípio da indução finita para provar que 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1).
1) O documento discute os números naturais e o Princípio da Indução, apresentando os axiomas de Peano e explicando como o Princípio da Indução pode ser usado como método de demonstração.
2) Adição e multiplicação de números naturais são exemplos de funções definidas recursivamente usando o Princípio da Indução.
3) O Princípio da Indução estabelece que se uma propriedade P é verdadeira para 1 e se P(n) implica P(n+1), então P é verdadeira para todos os números natur
1. O documento descreve o princípio da indução finita e suas aplicações em demonstrações matemáticas.
2. A indução finita permite provar teoremas sobre números inteiros, quando eles enunciam propriedades que se aplicam a todos os inteiros a partir de um certo número.
3. Dois exemplos de teoremas demonstrados por indução finita são apresentados: a soma dos n primeiros números ímpares positivos é igual a n2, e o inteiro 9n-1 é divisível por 8 para todo inteiro n maior ou igual a zero
1) O documento apresenta os números naturais e os axiomas de Peano que os definem formalmente, incluindo o axioma da indução;
2) É explicado como a adição e multiplicação são definidas recursivamente usando o axioma da indução;
3) A ordenação dos números naturais é definida e suas propriedades como transitividade e monotonicidade são apresentadas.
1) O documento explica por que "menos com menos dá mais" através da demonstração matemática da propriedade (-1)×(-1)=1 usando os axiomas dos números reais.
2) Primeiro demonstra-se que qualquer número real multiplicado por zero resulta em zero, e que a multiplicação de um número por -1 resulta em seu oposto.
3) Em seguida, mostra-se que ao multiplicar -1 por si mesmo usando as propriedades anteriores, obtém-se 1, justificando a propriedade.
O documento descreve os conceitos básicos para definir rigorosamente os números inteiros positivos através de postulados. Os postulados incluem que cada número tem um sucessor e que qualquer subconjunto que contenha 1 e é fechado sob sucessão contém todos os números inteiros.
Slides da disciplina de Análise de Algoritmos, ministrada pelo Prof. Marcelo H. Carvalho no curso de Pós-Graduação em Ciência da Computação, FACOM - UFMS.
Resolução de questões de Estatística do concurso da ANATEL para Especialista em Regulação de Serviços Públicos de Telecomunicações – ESPECIALIDADE: MÉTODOS QUANTITATIVOS.
O documento apresenta conceitos básicos sobre números primos, incluindo suas propriedades e testes de primalidade. Também discute a densidade dos números primos entre os inteiros e conjecturas famosas sobre eles.
O documento apresenta conceitos básicos sobre números primos, incluindo suas propriedades e testes de primalidade. Também discute a densidade dos números primos entre os inteiros e conjecturas famosas sobre eles.
1) O documento apresenta um livro do professor de matemática para pré-vestibular, contendo informações sobre lógica, conjuntos numéricos e relações. 2) Inclui explicações sobre noções de lógica como proposições, negação, conectivos lógicos e tabelas-verdade. 3) Também aborda quantificadores, demonstração indireta, contraexemplos e o princípio da indução finita.
1) O documento apresenta um livro do professor de matemática para pré-vestibular, contendo informações sobre lógica, conjuntos numéricos e relações.
2) Inclui seções sobre noções de lógica como proposições, negação, conectivos lógicos e quantificadores; e sobre teoria dos conjuntos e princípio da indução finita.
3) Fornece exemplos detalhados para explicar esses conceitos matemáticos fundamentais.
1) O documento apresenta um livro do professor de matemática para pré-vestibular, contendo informações sobre lógica, conjuntos numéricos e relações.
2) Inclui seções sobre noções de lógica como proposições, negação, conectivos lógicos e quantificadores, além de teoria dos conjuntos e princípios como o da indução finita.
3) O material didático foi produzido pela IESDE Brasil S.A. para uso em aulas particulares online e contém contribuições de vários aut
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de lógica, teoria dos conjuntos e relações numéricas para o ensino pré-vestibular. 2) Inclui definições de proposições, negação, conectivos lógicos, quantificadores e métodos de demonstração. 3) Também aborda os axiomas de Peano e o princípio da indução finita para demonstrar propriedades dos números naturais.
1) O documento discute os números naturais, incluindo sua definição, contagem e propriedades como adição, multiplicação e ordem.
2) É apresentada a lista de axiomas de Peano para definir os números naturais de forma recursiva usando o conceito de sucessor de um número.
3) As noções de cardinalidade e infinitude de conjuntos são explicadas, com a distinção entre conjuntos finitos e infinitos.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios lógicos com respostas.
2) Os alunos devem mostrar justificativas completas para afirmações sobre números naturais e inteiros.
3) As questões incluem mostrar que a soma de números ímpares é par e que um produto é par se um fator for par.
O documento fornece uma definição de progressão geométrica (PG) e explica que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão fixa. Apresenta a fórmula para calcular qualquer termo de uma PG e exemplos de PG crescente, decrescente e estacionária. Fornece também a fórmula para calcular a soma dos termos de uma PG e resolve exercícios aplicando estas fórmulas.
O documento apresenta conceitos básicos da teoria da probabilidade, incluindo:
1) Define probabilidade como uma medida quantitativa das chances de um evento ocorrer;
2) Explica experimentos aleatórios, espaço amostral e eventos;
3) Apresenta os axiomas e propriedades da probabilidade de acordo com a definição de Kolmogorov.
O documento descreve o cálculo do preço faturado com a operação de recompra de energia elétrica não utilizada pelo comprador. O preço faturado é menor que o preço contratado se o preço de recompra for maior que o preço contratado, e maior que o preço contratado se o preço de recompra for menor que o preço contratado.
O documento explica como calcular o imposto de renda no Brasil usando duas métodos: 1) aplicando uma alíquota fixa dependendo da faixa de renda ou 2) decompondo a renda em parcelas e aplicando alíquotas progressivas para cada parcela. Exemplos mostram que os métodos produzem os mesmos resultados, com possíveis diferenças de 1 centavo devido a arredondamentos.
O documento apresenta a demonstração algébrica e geométrica da equação de Bhaskara, que é usada para resolver equações do segundo grau. A demonstração algébrica utiliza o método de completar quadrados para chegar à forma x = -b ± √(b2 - 4ac)/2a. A demonstração geométrica representa os termos da equação do segundo grau como áreas para chegar à mesma forma da equação de Bhaskara.
O documento apresenta a demonstração matemática da igualdade 0,999... = 1 através da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. A demonstração começa reescrevendo 0,999... como uma soma infinita de termos decrescentes em potências de 0,1. Em seguida, deduz a fórmula geral para a soma de uma progressão geométrica finita e infinita. Aplicando a fórmula para a progressão dada, conclui que a soma é igual a 1, demonstrando a igualdade proposta.
1) A sequência de Fibonacci é uma sequência numérica na qual cada termo subsequente é a soma dos dois anteriores, começando por 1, 1.
2) São mostradas propriedades matemáticas desta sequência, como fórmulas para a soma dos termos de índice ímpar e par e uma fórmula geral conhecida como fórmula de Binet.
3) As propriedades são demonstradas usando o princípio da indução matemática.
O documento calcula os conjuntos pré-imagem de 0, 1 e 2 para a função f(x) = x - (x + 2)2 - 1. A função pode ser reescrita como duas funções, dependendo se x2 + 4x + 3 é positivo ou negativo. Calcula-se que o conjunto pré-imagem de 0 é vazio, pois as soluções para as equações não satisfazem a desigualdade x2 + 4x + 3 < 0.
A prova analisa quatro casos possíveis para os sinais de x e y e demonstra que em todos eles a desigualdade |x + y| ≤ |x| + |y| é válida. Uma segunda forma de prova nota que |x| ≥ x, |y| ≥ y e |x + y| é igual ao maior entre x + y e -(x + y), o que implica que |x| + |y| ≥ |x + y|. Portanto, a desigualdade é verdadeira para qualquer valor de x e y.
Isaac Newton desenvolveu o cálculo, a lei da gravitação universal e estudou a natureza da luz. Gottfried Leibniz também desenvolveu o cálculo independentemente e teve uma disputa com Newton sobre prioridade. Ambos foram importantes matemáticos e físicos do século XVII.
O documento discute as fontes não renováveis de energia, com foco nos petróleos ultra-pesados. Apresenta as seguintes informações essenciais:
1) Petróleos ultra-pesados têm densidade menor que 10°API e são encontrados em depósitos no Canadá, Venezuela, Rússia e outros países.
2) Na Venezuela, a faixa do Orinoco contém os 2o maiores depósitos de petróleo ultra-pesado do mundo, com estimativas de reservas entre 60-500 bilhões de barris.
3) A
Dedução das equações de tensão média e tensão eficaz para os principais tipos de formas de onda utilizadas em circuitos elétricos.
Sugestões, dúvidas e relatos de erros: rtpsilva@aluno.ufabc.edu.br
- Uma usina tem água de resfriamento saindo a 35°C e entrando em uma torre de resfriamento a 100 kg/s. A água é resfriada a 22°C e o ar entra a 100 kPa e 20°C e sai saturado a 30°C.
- Fazendo balanços de massa e energia, calcula-se a vazão de ar para a torre como 82,03 m3/s e a vazão de água de reposição como 1,802 kg/s.
O documento apresenta a demonstração do binômio de Newton por indução finita, mostrando que a fórmula (x + y)n = ∑ni=0(nCi)xiy(n-i) é válida para qualquer número natural n ≥ 1. A demonstração parte do caso base n = 1 e assume a propriedade válida para k, demonstrando ser válida também para k + 1.
1) O documento apresenta os principais parâmetros estatísticos para descrever dados isolados e agrupados, incluindo média, mediana, moda, amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
2) Para dados agrupados, descreve como calcular a média, mediana, percentis, moda, variância e desvio padrão considerando as frequências e classes.
3) Apresenta como medir a covariância, coeficiente de correlação de Pearson e regressão linear para caracterizar a relação entre duas variáveis.
O documento apresenta um resumo sobre álgebra linear, abordando transformações lineares, matrizes de transformações lineares e determinantes. Em específico, define transformações lineares e suas propriedades, fala sobre injetividade, sobrejetividade e bijetividade de transformações. Também discute matrizes de transformações lineares em relação a bases, matrizes de transformações compostas e determinantes.
1. Os alunos construíram um sensor de campo magnético usando uma bobina enrolada em um tubo de PVC para medir o campo magnético de um ímã.
2. Eles passaram o ímã rapidamente através da bobina para induzir uma tensão elétrica de acordo com a lei de Faraday.
3. Usando medições do osciloscópio, eles calcularam a área sob a curva da tensão induzida para determinar o valor do campo magnético, que teve um erro de 4% em comparação com
1. Rodrigo Thiago Passos Silva
Universidade Federal do ABC – Santo André
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
RESOLUÇÃO DA LISTA 1 DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Prof. Cláudio N. Meneses
1 Prove que é par o produto de um número par qualquer por um número ímpar
qualquer.
Tomando x um número par e y um número inteiro ímpar, temos que:
onde
Admitindo Certamente par ou ímpar.
Portanto xy = 2k, um número par.
□
2 Prove que a soma de dois números pares quaisquer é par.
Tomando dois números pares quaisquer x = 2k1 e y = 2k2, onde
x + y = 2k1 + 2k2 = 2(k1 + k2)
Assumindo k1 + k2 = k, temos:
x + y = 2k, portanto um número par.
□
3 Prove que a soma de três números inteiros consecutivos quaisquer é um múltiplo de
três.
Tomando três números consecutivos quaisquer x = k, y = k + 1 e z = k + 2, com .
x + y + z = k + k + 1 + k + 2 = 3k + 3 = 3(k+1)
Considerando k + 1 = r, um número, certamente, inteiro, temos que:
x + y + z =3r, um número múltiplo de três.
□
4 Sabendo que a soma e o produto de dois números inteiros são também números
inteiros, prove que a soma de dois números racionais é também um número racional.
Hipótese: A soma e o produto de dois números inteiros são também inteiros.
Considerando x e y números racionais e dados por e , com
.
+
Pela hipótese apresentada, são números inteiros, portanto x + y, por
ser um quociente de dois inteiros, é um número racional.
□
2. Rodrigo Thiago Passos Silva
Universidade Federal do ABC – Santo André
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
5 Prove que entre dois números racionais diferentes sempre existe outro racional.
Considerando x e y números racionais e dados por e , com
e z, um racional entre eles.
z está, certamente, entre x e y quando: Queremos provar que z é um número
racional.
Sabemos que a soma e multiplicação de dois números inteiros resulta em, também,
números inteiros. Assim sendo, é trivial que z é um número racional, pois é o quociente
de dois números inteiros.
□
6 Prove que:
1.
Utilizando o Princípio da Indução Finita (PIF):
i) Testando a propriedade para n = 1:
A propriedade é válida para n = 1.
ii) Hipótese indutiva -
Tese -
Assumindo a hipótese como verdadeira temos:
Logo:
Portanto a P(k + 1) é verdadeira e a propriedade é válida para qualquer n ≥ 1.
□
2.
Utilizando o Princípio da Indução Finita (PIF):
i) Verificando a propriedade para n = 1:
Portanto P(1) é válida.
ii) Hipótese indutiva:
Tese:
3. Rodrigo Thiago Passos Silva
Universidade Federal do ABC – Santo André
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Assumindo a hipótese indutiva como verdadeira, temos que
Logo:
Comprovada a hipótese indutiva, comprova-se que a propriedade é válida para qualquer
número natural maior ou igual a 1.
□
3.
i) Verificando o somatório para n = 1:
Portanto, a propriedade é válida para n = 1.
ii) Hipótese indutiva -
Tese -
Considerando verdadeira a hipótese indutiva, temos que:
Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade, obtemos:
A igualdade não é válida, portanto a hipótese é falsa e a propriedade inválida para
qualquer n natural maior que 1.
□
4.
i) Verificando a propriedade para n = 1:
Portanto P(1) é verdadeira.
ii) Hipótese indutiva:
Tese:
4. Rodrigo Thiago Passos Silva
Universidade Federal do ABC – Santo André
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Admitindo a hipótese indutiva como verdade, temos que:
Desenvolvendo algebricamente o lado esquerdo da igualdade:
Comprovando-se a igualdade comprova-se conjuntamente a veracidade da hipótese
indutiva, e, portanto, a validade da propriedade para n ≥ 1.
□
5.
Desenvolvendo ambos os lados da igualdade
i) Verificando a igualdade para n = 1:
É trivial que a igualdade é válida, pois 1³ = 1.
ii) Hipótese indutiva -
Tese -
Admitindo como verdadeira a hipótese indutiva, temos que:
A primeira parcela do lado esquerdo da igualdade e o somatório do lado direito são
progressões aritméticas, portanto podem ser reescritas da seguinte forma:
Partindo, então, do lado esquerdo, temos:
Portanto, a hipótese indutiva é, de fato, verdadeira e a propriedade é válida para todo
número natural maior ou igual a 1.
□
5. Rodrigo Thiago Passos Silva
Universidade Federal do ABC – Santo André
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
7 Prove, usando o princípio da indução matemática, que todo inteiro maior do que 1 é
primo ou produto de primos.
i)Tomando n = 1, observa-se que a propriedade é válida, pois 1 é primo.
ii) Hipótese indutiva – P(k): k é um número primo ou produto de primos
Tese – P(k + 1): k + 1 é primo ou produto de primos
Há duas possibilidades para k + 1:
a) k + 1 é primo, logo P(k + 1) é válida.
b) k + 1 não é primo. Então k + 1 = ab, onde 1 < a < k + 1 e 1 < b < k + 1.
Pela hipótese indutiva P(2), P(3), ... ,P(n), para n ≤ k, são primos ou produto de primos,
logo a e b são também primos ou produto de primos e, finalmente, provamos que k + 1
= ab também é primo ou produto de primos.
□
8 Denote por an o número de subconjuntos de {1,2,3,..,n} (incluindo o conjunto vazio
e o próprio conjunto).
(a) Mostre que an = 2an-1 (não é necessário usar indução aqui).
Tomando o conjunto a An-1 = {1,2,..., n - 1} onde an-1 é o número de subconjuntos de An-
1.
Sendo . Todos os subconjuntos de An-1 são também subconjuntos de
An. Os demais subconjuntos são obtidos incluindo o elemento {n}. Logo an = 2an-1.
□
(b) Adivinhe a fórmula para o valor de an e use indução para provar que você está
certo.
O número de conjuntos de An é dado por 2n
.
i) Para o conjunto B = {u}, de um único elemento, temos os seguintes subconjuntos: { }
e {a}. Para n = 1, an = 2, o que é confirmado pela demonstração acima.
ii) Hipótese indutiva – P(n): Um conjunto de n elementos tem 2n
subconjuntos.
Tese – P(n + 1): Um conjunto de n + 1 elementos tem 2n+1
subconjuntos.
Tomando o conjunto An+1 tal que .
Pela hipótese indutiva temos que an = 2n
.
Reescrevendo, sem perda de sentido, o que foi comprovado em (a) temos an+1 = 2an.
Logo, an+1 = 2 × 2n
= 2n+1
, comprovando assim a tese e a propriedade P(n) para todo n ≥
1.
□