Pequeno teorema de fermat

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Pequeno teorema de fermat

  1. 1. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Pequeno Teorema de Fermat Pequeno Teorema de Fermat ˜ Seja p um primo e a ∈ Z. Entao ap ≡ a (mod p). ˜ Em particular, se p a, entao ap−1 ≡ 1 (mod p). M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  2. 2. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Pequeno Teorema de Fermat Demonstracao (efectuada por Euler em 1730) : ¸˜ ´ p = 2 a2 ≡ a (mod 2) ⇔ 2 | a(a − 1) e a(a − 1) e par. p > 2 Para a = 0 e a = 1 a afirmacao e verdadeira. ¸˜ ´ ´ ˜ suponhamos que, para Por hipotese de inducao, ¸ certo a ∈ N0 , ap ≡ a (mod p). ˜ Entao, p (a + 1)p ≡ap + (p )ap−1 + · · · + (p−1 )a + 1 (mod p) 1 ≡ap + 1 (mod p) ≡a + 1 (mod p) Logo ap ≡ a (mod p), para todo a ∈ N0 . ´ ˜ Como p − 1 e par, entao ap−1 = (−a)p−1 pelo que a afirmacao ¸˜ ´ ´ e valida para todo o a ∈ Z. M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  3. 3. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Pequeno Teorema de Fermat Exemplo ´ 250 + 350 e divis´vel por 13. ı 4 250 =24·12+2 = (212 ) · 22 logo 250 ≡22 (mod 13) 4 350 =34·12+2 = (312 ) · 32 50 3 logo 2 ≡3 (mod 13) 250 + 350 ≡22 + 32 (mod 13) ≡0 (mod 13) M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  4. 4. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Pequeno Teorema de Fermat Exerc´cios ı 1 2 3 ˜ Calcule o resto da divisao de 3372 por 37. Mostre que 7 n2 + 1 qualquer que seja n ∈ Z. Calcule 31100 mod 19, 210000 mod 29. 4 5 ´ Mostre que 1184 − 584 e divis´vel por 7. ı Mostre que, para qualquer n ∈ N, 1 2 6 ˜ se n ≡ 2 (mod 4), entao 5 | 9n + 8n ; n13 − n ≡ 0 (mod 2730). ´ Mostre que para qualquer primo p > 3, abp − bap e divis´vel por 6p, para quaisquer inteiros a e b. ı M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  5. 5. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Pequeno Teorema de Fermat ´ ´ Sera o rec´proco do Teorema de Fermat valido? ı i.e., se an−1 ≡ 1 (mod n) para todo o inteiro a tal que ˜ ´ m.d.c.(a, n) = 1, entao n e primo? ˜ ´ Nao, por exemplo, 561 e tal que: 561 = 3 · 11 · 17 a560 ≡ 1 (mod 561), para qualquer a ∈ Z tal que m.d.c.(a, 561) = 1. M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  6. 6. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Pequeno Teorema de Fermat Definicao ¸˜ Seja a ∈ Z. Um inteiro composto n tal que an−1 ≡ 1 (mod n) diz-se um pseudoprimo de base a. ´ Se n e pseudoprimo de base a para todo o inteiro a tal que ˜ m.d.c.(a, n) = 1, entao n diz-se um pseudoprimo, ou um numero de Carmichael. ´ Exemplos ˜ Sao pseudoprimos os numeros: 561, 1105, 1729, 2465, 2821, ´ 6601, . . . ˜ Sao pseudoprimos de base 2 os numeros: 341, 561, 645, ´ 1105, 1387, 1729, 1905, . . . M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  7. 7. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Pequeno Teorema de Fermat ´ ˜ ˜ Se n e um primo que nao divide a(a2 − 1), entao pseudoprimo de base a. a2n −1 a2 −1 ´ e um Logo existe uma infinidade de pseudoprimos de base a para qualquer a. Teorema (Alford, Granville, Pomerance-1994) ´ Ha uma infinidade de numeros pseudoprimos. ´ Demonstracao: ¸˜ ´ ˜ ´ ´ Se n e um pseudoprimo entao 2n − 1 tambem e. M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  8. 8. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Pequeno Teorema de Fermat Proposicao ¸˜ Suponhamos que ar ≡ 1 (mod p) com p primo. Se ˜ m.d.c.(r , p − 1) = d, entao ad ≡ 1 (mod p). Exemplo ´ Ha uma infinidade de primos do tipo 8k + 1. ˜ Se os primos do tipo 8k + 1 fossem em numero finito, entao ´ ´ poder-se -ia admitir que existe tal que {p1 , . . . , p } e o conjunto de todos os primos da forma 8k + 1. ˜ Seja N = (2p1 · · · p )4 + 1. Entao, 1 2 3 N > pi para 1 ≤ i ≤ ; ´ N e do tipo 8k + 1; ´ N e primo. M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  9. 9. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Pequeno Teorema de Fermat Exerc´cios ı 1 Mostre que: ´ 91 e um pseudoprimo de base 3; ´ 45 e um pseudoprimo de base 17; ´ 45 e um pseudoprimo de base 19. 2 3 4 ´ Mostre que se n e um pseudoprimo de base a e de base ˜ ´ b, entao n e um pseudoprimo de base ab. ˜ Seja p > 2 um primo. On numeros da forma 2p − 1 sao ´ ´ designados numeros de Mersenne. Mostre que se q e um ´ p − 1, entao q = 2kp + 1 para algum ˜ primo que divide 2 k ∈ Z. n Os numeros da forma Fn = 22 + 1, com n ≥ 0, designam´ ˜ -se numeros de Fermat. Mostre que os inteiros n que sao ´ numeros de Mersenne ou numeros de Fermat verificam ´ ´ 2n−1 ≡ 1 (mod n). M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  10. 10. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Teorema de Euler Definicao ¸˜ ´ O numero de elementos invert´veis modulo n num sistema ı ´ completo de res´duos denota-se por φ(n). A funcao ı ¸˜ φ: N → N n → φ(n) chama-se funcao φ de Euler. ¸˜ Exemplos φ(2) = 1, φ(3) = 2, φ(4) = 2, φ(5) = 4, φ(6) = 2. ´ φ(p) = p − 1 se p e primo. Exerc´cio ı ´ ˜ Mostre que se p e primo, entao φ(pr ) = pr −1 (p − 1), para r ≥ 1. M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  11. 11. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Teorema de Euler Teorema ˜ ˜ Se m e n sao inteiros tais que m.d.c.(m, n) = 1, entao φ(mn) = φ(m)φ(n), ´ i.e., φ e multiplicativa. Exemplo φ(6600) = φ(11 · 52 · 3 · 23 ) = 10 · (5 · 4) · 2 · (22 · 1) = 1600 M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  12. 12. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Teorema de Euler Exerc´cios ı 1 2 3 Prove que existe uma infinidade de numeros primos ´ usando a funcao φ. ¸˜ Escreva uma funcao no Mathematica que calcule φ(n), ¸˜ para n ∈ N. Teste a funcao definida no exerc´cio anterior calculando ¸˜ ı φ(120) e φ(225). 4 Determine os valores de n para os quais φ(n) = 6. 5 Determine os valores de n para os quais φ(n) = n − 2. M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  13. 13. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Teorema de Euler Teorema de Euler ˜ ˜ Se a e m sao inteiros tais que m.d.c.(a, m) = 1, entao aφ(m) ≡ 1 (mod m). Demonstracao: ¸˜ ˜ ´ Se r1 , . . . , rφ(m) sao os elementos invert´veis modulo m num ı ˜ sistema completo de res´duos, entao ı ar1 , . . . , arφ(m) ˜ ´ sao invert´veis e incongruentes dois a dois modulo m. ı ar1 · · · arφ(m) = aφ(m) (r1 · · · rφ(m) ) ≡ r1 · · · rφ(m) (mod m). ˜ Como m.d.c.(ri , m) = 1, entao aφ(m) ≡ 1 (mod m). M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  14. 14. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Teorema de Euler Exemplo Calcular os ultimos dois d´gitos de 19931993 . ı ´ φ(100) = 40 m.d.c.(1993, 100) = 1 → 199340 ≡ 1 (mod 100) Dado que 1993 mod 40 = 33, 19931993 ≡ 199333 (mod 100) ≡ 9333 (mod 100) ≡ −733 (mod 100) ≡ −(74 )8 7 (mod 100) ≡ −7 (mod 100) ( porque 74 ≡ 1 (mod 100)) ≡ 93 (mod 100) M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  15. 15. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Teorema de Euler Exemplo ´ Calcular inverso de a modulo m. ˜ ˜ ´ ´ Se m.d.c.(a, m) = 1, entao a nao e invert´vel modulo m. ı ˜ Senao, aφ(m) ≡ 1 (mod m), ou seja, a · aφ(m)−1 ≡ 1 (mod m). M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  16. 16. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Teorema de Euler Exerc´cios ı 1 2 3 ´ Calcule o inverso de 2 e de 3 modulo 35. 720 por 225. ˜ Calcule o resto da divisao de 2 Calcule: 3340 mod 341; 9 78 mod 100; 210000 mod 121. 4 5 Mostre que n12 ≡ 1 (mod 72) para qualquer inteiro n tal que m.d.c.(n, 72) = 1. ´ ˜ Verifique que se p e primo, entao 1p−1 + 2p−1 + · · · + (p − 1)p−1 ≡ −1 mod p). 6 Escreva um a funcao que permita verificar para que ¸˜ ˆ ˜ ´ ´ inteiros a congruencia da questao anterior e valida. M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  17. 17. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Teorema de Lagrange Teorema de Lagrange ´ ´ Se K e um corpo e f (x) e uma funcao polinomial de grau n em ¸˜ ˜ ´ K[x], entao a equacao f (x) = 0 tem no maximo n solucoes. ¸˜ ¸˜ ´ Corolario ´ ´ Se p e um primo e f (x) e uma funcao polinomial de grau n de ¸˜ ˜ coeficientes inteiros em que nem todos sao divis´veis por p, ı ˜ ˆ ´ entao a congruencia f (x) ≡ 0 (mod p) tem no maximo n solu´ coes modulo p. ¸˜ ´ Corolario ´ ˜ ˆ Se p e um primo e d | p − 1, entao a congruencia x d − 1 ≡ 0 (mod p) ´ tem exactamente d solucoes modulo p. ¸˜ M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  18. 18. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Teorema de Wilson Teorema de Wilson ´ ˜ Se p e primo, entao (p − 1)! ≡ −1 (mod p). Demonstracao: ¸˜ S = {0, 1, 2, . . . , p − 1} ´ e um sistema completo de res´duos. ı ˜ ´ ´ 1 e p − 1 sao inversos modulo p de si proprios; ˜ os restantes elementos nao nulos podem agrupar-se em ´ pares de elementos distintos do tipo (a, a ) em que a e ´ inverso modulo p de a . Logo, 1 · 2 · · · · · (p − 1) ≡ 1 · (p − 1) (mod p) ≡ (p − 1) (mod p) M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  19. 19. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Teorema de Wilson ´ ´ ´ O rec´proco do Teorema de Wilson tambem e valido: ı ˜ ´ Se (p − 1)! ≡ −1 (mod p), entao p e primo. Proposicao ¸˜ ´ ˜ Se n e um composto e n > 1, entao (n − 1)! ≡ 2 mod n 0 mod n M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM se n = 4 . se n = 4 Teoria de Numeros Computacional LCC ´
  20. 20. ´ Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular Teorema de Wilson Exerc´cios ı 1 ˜ Calcule o resto da divisao de 87! por 89; 18! por 437; 13! 7! por 7. 2 ´ ˜ Mostre que se p e um primo ´mpar, entao ı 2(p − 3)! ≡ −1 (mod p). M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC ´

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