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Coordenadas cartesianas. Funções. Exercícios.
Lista 6a - com respostas no livro/folha de exercícios e atendimento.
Atenção. As respostas devem ser completas, contendo todo o desenvolvimento lógico devido.
Somente conclusões nais não serão aceitas.
1. Marcar os pontos dados no plano cartesiano:
O = (0, 0), A = (−3, 4), B = (1, 4), C = (−3, −2).
Solução.
Figura 1: Exercício 1.
2. Desenhar as regiões no plano cartesiano denidas pelas fórmulas:
a) P = (x, y): y = 1; b) P = (x, y): x ≥ −2; c) P = (x, y): |x|  1, y  0.
Solução.
Figura 2: Exercício 2a).
2
Figura 3: Exercício 2b).
Figura 4: Exercício 2c).
3. Marcar os pontos A e B no plano cartesiano e encontrar a distância entre eles:
a) A = (0, 0), B = (0, 1);
b) A = (1, 2), B = (0, 1);
c) A = (−1, 2), B = (−3, −2);
d) A = (3, −1), B = (−2, 3).
Encontrar o ponto médio do segmento AB.
Solução de 3c):
Usando a fórmula-padrão da distância entre dois pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB): d(A, B) =
√
(xA − xB)2 + (yA − yB)2, obtemos d(A, B) =
√
(−1 − (−3))2 + (2 − (−2))2 =
√
20.
Usando a fórmula-padrão do ponto médio C do segmento AB, onde A = (xA, yA) e B = (xB, yB):
C = (xA+xB
2
, yA+yB
2
), obtemos C = (−1+(−3
2
), 2+(−2)
2
) = (−2, 0).
3
4. Encontrar o domínio da função:
a) f(x) = 1
x2−x
;
b) f(x) =
√
9 − x2 .
Solução.
a) Como o domínio não é indicado por explícito, então, pelo convênio, o domínio é o maior
conjunto de números reais para os quais a fórmula da denição tem sentido. Notamos, que a única
restrição é que o denominador deve ser diferente de 0, de onde vem x(x − 1) ̸= 0, isto é, x ̸= 0,
x ̸= 1. Sem outras restrições, concluímos que o domínio é X = (−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞).
b) Como o domínio não é indicado por explícito, então, pelo convênio, o domínio é o maior
conjunto de números reais para os quais a fórmula da denição tem sentido. Notamos, que a
denição da raiz leva a restrição 9 − x2
≥ 0, ou x2
≤ 9, cuja solução −3 ≤ x ≤ 3. Sem outras
restrições, concluímos que o domínio é X = [−3, 3].
5. Encontrar os valores da função f(x) nos pontos indicados:
f(x) =
√
x2 − 9; a) f(0), b) f(−3), c) f(x + 3), d) f(x
2
), e) f( 1
x2 ).
Solução.
a) a função não é denida no ponto 0,
b) f(−3) =
√
(−3)2 − 9 =
√
9 − 9 = 0,
c) f(x + 3) =
√
(x + 3)2 − 9 =
√
x2 + 6x,
d) f(x
2
) =
√(x
2
)2
− 9 =
√
x2
4
− 9 = 1
2
√
x2 − 36,
e) f( 1
x2 ) =
√( 1
x2
)2
− 9 =
√
1
x4 − 9 = 1
x2
√
1 − 9x4.
6. Demana, p.80-81:
N 1, 2, 5, 6, 10, 14, 17, 19
Soluções complementares para exercícios de Demana.
Encontrar a imagem da função e comparar a resposta com a de Demana p.283:
a) N17: f(x) = 10 − x2
. Primeiro, notamos que o domínio da função y = f(x) = 10 − x2
são
todos os reais (X = R). Segundo, como x2
≥ 0, ∀x e x2
 0, ∀x ̸= 0, então y = 10 − x2
≤ 10, ∀x
e 10 − x2
 10, ∀x ̸= 0 (lembramos que o símbolo ∀ signica para qualquer, qualquer). Logo,
a imagem Y é contida em (−∞, 10]. Vamos ver que qualquer número do último intervalo entra em
Y . Pela denição, temos que tomar ∀y ∈ (−∞, 10] e mostrar que ele pertence ao conjunto imagem.
Então, de acordo com a denição, se y ≤ 10, deve existir pelo menos um número x do domínio tal
que y = 10 − x2
, ou, em outras palavras, a equação y = 10 − x2
deve ter pelo menos uma solução
real para incógnita x. Isso realmente se observa, porque a solução dessa equação se encontra na
forma x = ±
√
10 − y para qualquer y ≤ 10.
b) N19: f(x) = x2
1−x2 . Primeiro, notamos que o domínio da função y = f(x) = x2
1−x2 consiste de
todos x que não anulam o denominador, isto é, x ̸= ±1. Agora, para descobrir a imagem, temos
que ver para os quais valores de y a equação y = x2
1−x2 em relação a incógnita x tem pelo menos uma
solução. Para resolver, reescrevemos ela na forma (1 − x2
)y = x2
e depois x2
(1 + y) = y. Supondo,
no momento que y ̸= −1, temos ainda x2
= y
1+y
. A última equação tem soluções quando a parte
direita não é negativa: y
1+y
≥ 0, o que ocorre quando y ≥ 0 e 1+y  0, ou quando y ≤ 0 e 1+y  0.
Das primeiras duas restrições temos y ≥ 0 e das segundas duas  y  −1. Restou ainda vericar se
y = −1 faz parte da imagem: neste caso temos x2
1−x2 = −1 ou x2
= x2
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armação falsa. Assim a imagem é Y = (−∞, −1) ∪ [0, +∞).

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REVISTA DE BIOLOGIA E CIÊNCIAS DA TERRA ISSN 1519-5228 - Artigo_Bioterra_V24_...
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Coordenadas funções exercícios

  • 1. 1 Coordenadas cartesianas. Funções. Exercícios. Lista 6a - com respostas no livro/folha de exercícios e atendimento. Atenção. As respostas devem ser completas, contendo todo o desenvolvimento lógico devido. Somente conclusões nais não serão aceitas. 1. Marcar os pontos dados no plano cartesiano: O = (0, 0), A = (−3, 4), B = (1, 4), C = (−3, −2). Solução. Figura 1: Exercício 1. 2. Desenhar as regiões no plano cartesiano denidas pelas fórmulas: a) P = (x, y): y = 1; b) P = (x, y): x ≥ −2; c) P = (x, y): |x| 1, y 0. Solução. Figura 2: Exercício 2a).
  • 2. 2 Figura 3: Exercício 2b). Figura 4: Exercício 2c). 3. Marcar os pontos A e B no plano cartesiano e encontrar a distância entre eles: a) A = (0, 0), B = (0, 1); b) A = (1, 2), B = (0, 1); c) A = (−1, 2), B = (−3, −2); d) A = (3, −1), B = (−2, 3). Encontrar o ponto médio do segmento AB. Solução de 3c): Usando a fórmula-padrão da distância entre dois pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB): d(A, B) = √ (xA − xB)2 + (yA − yB)2, obtemos d(A, B) = √ (−1 − (−3))2 + (2 − (−2))2 = √ 20. Usando a fórmula-padrão do ponto médio C do segmento AB, onde A = (xA, yA) e B = (xB, yB): C = (xA+xB 2 , yA+yB 2 ), obtemos C = (−1+(−3 2 ), 2+(−2) 2 ) = (−2, 0).
  • 3. 3 4. Encontrar o domínio da função: a) f(x) = 1 x2−x ; b) f(x) = √ 9 − x2 . Solução. a) Como o domínio não é indicado por explícito, então, pelo convênio, o domínio é o maior conjunto de números reais para os quais a fórmula da denição tem sentido. Notamos, que a única restrição é que o denominador deve ser diferente de 0, de onde vem x(x − 1) ̸= 0, isto é, x ̸= 0, x ̸= 1. Sem outras restrições, concluímos que o domínio é X = (−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞). b) Como o domínio não é indicado por explícito, então, pelo convênio, o domínio é o maior conjunto de números reais para os quais a fórmula da denição tem sentido. Notamos, que a denição da raiz leva a restrição 9 − x2 ≥ 0, ou x2 ≤ 9, cuja solução −3 ≤ x ≤ 3. Sem outras restrições, concluímos que o domínio é X = [−3, 3]. 5. Encontrar os valores da função f(x) nos pontos indicados: f(x) = √ x2 − 9; a) f(0), b) f(−3), c) f(x + 3), d) f(x 2 ), e) f( 1 x2 ). Solução. a) a função não é denida no ponto 0, b) f(−3) = √ (−3)2 − 9 = √ 9 − 9 = 0, c) f(x + 3) = √ (x + 3)2 − 9 = √ x2 + 6x, d) f(x 2 ) = √(x 2 )2 − 9 = √ x2 4 − 9 = 1 2 √ x2 − 36, e) f( 1 x2 ) = √( 1 x2 )2 − 9 = √ 1 x4 − 9 = 1 x2 √ 1 − 9x4. 6. Demana, p.80-81: N 1, 2, 5, 6, 10, 14, 17, 19 Soluções complementares para exercícios de Demana. Encontrar a imagem da função e comparar a resposta com a de Demana p.283: a) N17: f(x) = 10 − x2 . Primeiro, notamos que o domínio da função y = f(x) = 10 − x2 são todos os reais (X = R). Segundo, como x2 ≥ 0, ∀x e x2 0, ∀x ̸= 0, então y = 10 − x2 ≤ 10, ∀x e 10 − x2 10, ∀x ̸= 0 (lembramos que o símbolo ∀ signica para qualquer, qualquer). Logo, a imagem Y é contida em (−∞, 10]. Vamos ver que qualquer número do último intervalo entra em Y . Pela denição, temos que tomar ∀y ∈ (−∞, 10] e mostrar que ele pertence ao conjunto imagem. Então, de acordo com a denição, se y ≤ 10, deve existir pelo menos um número x do domínio tal que y = 10 − x2 , ou, em outras palavras, a equação y = 10 − x2 deve ter pelo menos uma solução real para incógnita x. Isso realmente se observa, porque a solução dessa equação se encontra na forma x = ± √ 10 − y para qualquer y ≤ 10. b) N19: f(x) = x2 1−x2 . Primeiro, notamos que o domínio da função y = f(x) = x2 1−x2 consiste de todos x que não anulam o denominador, isto é, x ̸= ±1. Agora, para descobrir a imagem, temos que ver para os quais valores de y a equação y = x2 1−x2 em relação a incógnita x tem pelo menos uma solução. Para resolver, reescrevemos ela na forma (1 − x2 )y = x2 e depois x2 (1 + y) = y. Supondo, no momento que y ̸= −1, temos ainda x2 = y 1+y . A última equação tem soluções quando a parte direita não é negativa: y 1+y ≥ 0, o que ocorre quando y ≥ 0 e 1+y 0, ou quando y ≤ 0 e 1+y 0. Das primeiras duas restrições temos y ≥ 0 e das segundas duas y −1. Restou ainda vericar se y = −1 faz parte da imagem: neste caso temos x2 1−x2 = −1 ou x2 = x2 − 1 ou 0 = −1 o que é uma armação falsa. Assim a imagem é Y = (−∞, −1) ∪ [0, +∞).