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Triângulo Mineiro – UFTM


      Cônicas
Prof.: Daniel Oliveira Veronese
O que é uma
           Superfície Cônica?

  Uma superfície cônica de revolução é a superfície
gerada pela rotação completa de uma reta (geratriz) em
torno de outra reta (eixo), formando com esta sempre o
mesmo ângulo, até completar uma revolução (volta
completa). Ao ponto comum à geratriz e ao eixo
chama-se vértice.
Parábola
O que é uma Cônica?


 É chamada de Cônica toda curva
que se obtém como interseção de
um plano com uma superfície cônica.
Obs.: Quando o plano que intersecta a
superfície cônica passa pelo vértice, a
seção obtida é uma cônica degenerada.
Caso contrário, obtemos cônicas não
degeneradas.
Cônicas Não Degeneradas
  ELIPSE: neste caso, o plano secante não passa pelo
vértice e intersecta todas as posições da geratriz e o eixo.
Além disso, é oblíquo em relação ao eixo.
Se, em particular, o plano é perpendicular ao eixo, a
elipse obtida é uma circunferência.
Hipérbole: neste caso, o plano secante não passa
pelo vértice e é paralelo ao eixo;
Parábola: neste caso, o plano secante não passa pelo
vértice e é paralelo apenas a uma posição da geratriz.
Cônicas Degeneradas
Ponto(Elipse degenerada)
Duas retas concorrentes(hipérbole degenerada): neste
caso, o plano secante é paralelo ao eixo e passa pelo
vértice.
Reta(parábola degenerada): neste caso, o plano secante é
paralelo apenas a uma posição da geratriz e passa pelo
vértice.
Enfatizaremos o estudo das cônicas não
degeneradas, ou seja, elipse, hipérbole e
parábola.
Parábola

Consideremos em um plano uma reta d e um
ponto F não pertencente a d.

Definimos parábola como sendo o lugar
geométrico dos pontos que são equidistantes
de F e d.
Figura 7.1
Figura 7.2
Observando a figura 7.2 vemos que uma
condição necessária e suficiente para que o
ponto P pertença à parabola é:

            d(P,F)=d(P,P').
Elementos da Parábola

Foco: ponto F

Diretriz: reta d

Eixo: reta que passa pelo foco sendo
perpendicular à diretriz.

Vértice: é o ponto V de interseção da parábola
com seu eixo.
Equação da Parábola de Vértice na
      Origem do Sistema
 1º Caso: O eixo da parábola é o eixo dos y




                 Figura 7.3
Da definição de parábola obtemos:




ou seja:
Sendo assim, obtemos:



ou, simplesmente:


que é equação reduzida da parábola neste caso.
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             dasf
Concavidade voltada para baixo
2º Caso: O eixo da parábola é o
          eixo dos x
Nesse caso, de modo análogo o que foi feito no
primeiro caso, concluímos que:
Concavidade voltada para a direita
Concavidade voltada para a
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Observação


O número p(que é diferente de zero) é
chamado parâmetro da parábola.
Translação de Eixos

Consideremos no plano xOy um ponto O'(h,k),
arbitrário. Vamos introduzir um novo sistema
x'O'y' tal que os eixos O'x' e O'y' tenham a
mesma unidade de medida, a mesma direção e
o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Nestas
condições, um sistema pode ser obtido do
outro, por meio de uma translação de eixos.
Parábola
Pela figura anterior vemos que:




ou:


que são as fórmulas de translação e que
permitem transformar coordenadas de um
sistema para outro.
Equação da Parábola de Vértice
    Fora da Origem do Sistema
1º caso: o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y
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e daí:



que é a forma padrão da equação de uma
parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao
dos y.
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 Neste caso, de modo análogo ao caso anterior,
 obtemos:
Equação da Parábola na Forma
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
    1º caso: eixo da parábola paralelo ao eixo dos
                          y





    2º caso: eixo da parábola paralelo ao eixo dos
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Parábola

  • 1. Universidade Federal do Triângulo Mineiro – UFTM Cônicas Prof.: Daniel Oliveira Veronese
  • 2. O que é uma Superfície Cônica? Uma superfície cônica de revolução é a superfície gerada pela rotação completa de uma reta (geratriz) em torno de outra reta (eixo), formando com esta sempre o mesmo ângulo, até completar uma revolução (volta completa). Ao ponto comum à geratriz e ao eixo chama-se vértice.
  • 4. O que é uma Cônica? É chamada de Cônica toda curva que se obtém como interseção de um plano com uma superfície cônica.
  • 5. Obs.: Quando o plano que intersecta a superfície cônica passa pelo vértice, a seção obtida é uma cônica degenerada. Caso contrário, obtemos cônicas não degeneradas.
  • 6. Cônicas Não Degeneradas ELIPSE: neste caso, o plano secante não passa pelo vértice e intersecta todas as posições da geratriz e o eixo. Além disso, é oblíquo em relação ao eixo.
  • 7. Se, em particular, o plano é perpendicular ao eixo, a elipse obtida é uma circunferência.
  • 8. Hipérbole: neste caso, o plano secante não passa pelo vértice e é paralelo ao eixo;
  • 9. Parábola: neste caso, o plano secante não passa pelo vértice e é paralelo apenas a uma posição da geratriz.
  • 11. Duas retas concorrentes(hipérbole degenerada): neste caso, o plano secante é paralelo ao eixo e passa pelo vértice.
  • 12. Reta(parábola degenerada): neste caso, o plano secante é paralelo apenas a uma posição da geratriz e passa pelo vértice.
  • 13. Enfatizaremos o estudo das cônicas não degeneradas, ou seja, elipse, hipérbole e parábola.
  • 14. Parábola Consideremos em um plano uma reta d e um ponto F não pertencente a d. Definimos parábola como sendo o lugar geométrico dos pontos que são equidistantes de F e d.
  • 17. Observando a figura 7.2 vemos que uma condição necessária e suficiente para que o ponto P pertença à parabola é: d(P,F)=d(P,P').
  • 18. Elementos da Parábola Foco: ponto F Diretriz: reta d Eixo: reta que passa pelo foco sendo perpendicular à diretriz. Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com seu eixo.
  • 19. Equação da Parábola de Vértice na Origem do Sistema 1º Caso: O eixo da parábola é o eixo dos y Figura 7.3
  • 20. Da definição de parábola obtemos: ou seja:
  • 21. Sendo assim, obtemos: ou, simplesmente: que é equação reduzida da parábola neste caso.
  • 24. 2º Caso: O eixo da parábola é o eixo dos x
  • 25. Nesse caso, de modo análogo o que foi feito no primeiro caso, concluímos que:
  • 28. Observação O número p(que é diferente de zero) é chamado parâmetro da parábola.
  • 29. Translação de Eixos Consideremos no plano xOy um ponto O'(h,k), arbitrário. Vamos introduzir um novo sistema x'O'y' tal que os eixos O'x' e O'y' tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Nestas condições, um sistema pode ser obtido do outro, por meio de uma translação de eixos.
  • 31. Pela figura anterior vemos que: ou: que são as fórmulas de translação e que permitem transformar coordenadas de um sistema para outro.
  • 32. Equação da Parábola de Vértice Fora da Origem do Sistema 1º caso: o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y
  • 33. Do que já vimos, sabemos que: mas: e daí: que é a forma padrão da equação de uma parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao dos y.
  • 34. 2º caso: o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x Neste caso, de modo análogo ao caso anterior, obtemos:
  • 35. Equação da Parábola na Forma Explícita  1º caso: eixo da parábola paralelo ao eixo dos y  2º caso: eixo da parábola paralelo ao eixo dos x
  • 36. Exemplos Serão feitos no caderno!!!!!!