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Geometria plana.
  Resumo teórico e exercícios.

  3º Colegial / Curso Extensivo.




                    Autor - Lucas Octavio de Souza
                                   (Jeca)
Relação das aulas.
                                                                                               Página
Aula   01   -   Conceitos iniciais................................................................ 02
Aula   02   -   Pontos notáveis de um triângulo......................................... 17
Aula   03   -   Congruência de triângulos.................................................. 27
Aula   04   -   Quadriláteros notáveis........................................................ 36
Aula   05   -   Polígonos convexos............................................................ 45
Aula   06   -   Ângulos na circunferência................................................... 58
Aula   07   -   Segmentos proporcionais................................................... 70
Aula   08   -   Semelhança de triângulos................................................... 80
Aula   09   -   Relações métricas no triângulo retângulo........................... 94
Aula   10   -   Relações métricas num triângulo qualquer....................... 107
Aula   11   -   Circunferência e círculo.....................................................121
Aula   12   -   Inscrição e circunscrição de polígonos regulares............. 131
Aula   13   -   Áreas das figuras planas................................................... 141




                                                      Autor - Lucas Octavio de Souza
                                                                     (Jeca)


                                            Jeca 01
Geometria plana
                                                                                          Aula 01
               Estudos sobre Geometria realizados
                         pelo prof. Jeca                                   Conceitos iniciais de Geometria Plana.
                    (Lucas Octavio de Souza)
                         (São João da Boa Vista - SP)




I) Reta, semirreta e segmento de reta.
                                                                    Definições.
           A                     B                                  a) Segmentos congruentes.
                                              reta AB                  Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida.
           A                     B
                                              semirreta AB
                                                                    b) Ponto médio de um segmento.
           A                     B                                     Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao
                                     semirreta BA
                                                                    segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.
           A                     B
                                     segmento AB
                                                                    c) Mediatriz de um segmento.
                                                                       É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio

II) Ângulo.              A
                                                                    Definições.
                                                                    a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de
  O            a                                                    mesma origem.

                                                                    b) Ângulos congruentes.
                             B                                           Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma
 OA - lado
 OB - lado                                                          medida.
 O - vértice
 ângulo AOB ou ângulo                    a                          c) Bissetriz de um ângulo.
                                                                       É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divide
                                                                    esse ângulo em dois ângulos congruentes.

IIa) Unidades de medida de ângulo.

   a) Grau.                                                                  b) Radiano.
      A medida de uma volta completa é 360º.                                   A medida de uma volta completa é 2p radianos.
                                     º - grau
          1º = 60'                   ' - minuto                                  Um radiano é a medida do ângulo central de uma
          1' = 60"                   " - segundo                             circunferência cuja medida do arco correspondente é
                                                                             igual à medida do raio da circunferência.
IIb) Classificação dos ângulos.
                                                                    Definições.
         a = 0º - ângulo nulo.                                      a) Ângulos complementares.
   0º < a < 90º - ângulo agudo.                                        É o par de ângulos cuja soma das medidas é 90º.
        a = 90º - ângulo reto.
 90º < a < 180º - ângulo obtuso.                                    b) Ângulos suplementares.
       a = 180º - ângulo raso.                                         É o par de ângulos cuja soma das medidas é 180º.


IIc) Ângulos formados por duas retas paralelas
cortadas por uma reta transversal.                                            a) Ângulos correspondentes (mesma posição).
                                                                t               exemplo - b e f.
                                                                              Propriedade - são congruentes.
                                                    a
      r                                                     d
                                                                              b) Ângulos colaterais (mesmo lado).
                                                b       c                       exemplo de colaterais internos - h e c.
                                                                                exemplo de colaterais externos - d e g.
  r // s                                                                      Propriedade - são suplementares (soma = 180º)
                          e                                                c) Ângulos alternos (lados alternados).
      s                              h
                     f                                                       exemplo de alternos internos - b e h.
                                 g                                           exemplo de alternos externos - a e g.
                                                                           Propriedade - são congruentes.
                                                                     Jeca 02
III) Triângulos.                                                                              Classificação dos triângulos.
                                                                    Ângulo externo.

                         vértice
                                                                                              a) quanto aos lados:
                                                                    O ângulo externo             - triângulo equilátero.
                                                                 de qualquer polígono            - triângulo isósceles.
                                                                  convexo é o ângulo             - triângulo escaleno.
                              lado         i - ângulo interno
                                           e - ângulo externo      formado entre um
    e                                                                   lado e o              b) quanto aos ângulos:
                i                            Num mesmo             prolongamento do
                                           vértice, tem-se                                       - triângulo retângulo.
                                                                       outro lado.               - triângulo obtusângulo.
                                              i + e = 180º                                       - triângulo acutângulo.

Propriedades dos triângulos.                                                            2) Em todo triângulo, a medida de
                              1) Em todo triângulo, a soma das                          um ângulo externo é igual à soma
                              medidas dos 3 ângulos internos           b                das medidas dos 2 ângulos
            b                 é 180º.                                                   internos não adjacentes.

                                                                       a                              e=a+b
                                       a + b + g = 180º                            e
        a
                          g

                              3) Em todo triângulo, a soma das                           4) Em todo triângulo isósceles,
                    e3        medidas dos 3 ângulos externos                             os ângulos da base são congru-
                              é 360º.                                                    entes.
                                                                                             Observação - A base de um
                                                                                         triângulo isósceles é o seu lado
  e1                                  e1 + e2 + e3 = 360º                                diferente.
                              e2                                           a   a


Exercícios.
01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas.
a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42"                c) 90º - 61º 14' 44"                      e) 4 x (68º 23' 54")




b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39"                 d) 136º 14' - 89º 26' 12"                f) 3 x (71º 23' 52")




                                                             Jeca 03
g) 125º 39' 46"                                       h) 118º 14' 52"
        4                                                     3




i)   125º 12' 52"                                     j)   90º
          5                                                13




02) Determine o ângulo que é o dobro do seu comple-   03) Determine o ângulo que excede o seu suplemento
mento.                                                em 54º




 04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu     05) Dois ângulos são suplementares. O menor é o
 suplemento e o triplo do seu complemento é igual a    complemento da quarta parte do maior. Determine as
 54º.                                                  medidas desses ângulos.




 06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Deter-    07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento
 mine esses ângulos sabendo que o suplemento do       da sua quinta parte é igual ao triplo do seu comple-
 maior é igual ao complemento do menor.               mento.




                                                 Jeca 04
08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x.
a)                                                                               b)
                                                                                                             11
         r                                                                                                      6   º
                                      x

                                                                                                                                                 r // s

         s                      41º                                                                             x




c)                                                                               d) (Tente fazer de outra maneira)
                        x                                 r                                          x                                          r



                                          53º                       r // s                                                      53º                      r // s


                                          39º             s                                                                     39º              s



e)                                                                               f)
             r                                                                                   r
                                                    55º                                                                 35º
                                                                                                                                      62º
                                          x                                             r // s

                                          40º
                                                                                           s                                                         x
             s                                                      38º                                                       47º




g)                                                                               h)
                   r                                28º

                                              54º                                                                                                            x
        r // s
                                              88º
                                                                                                                                            º
                        s                           x                                                21º                              126




i)                                                                               j)      AB = AC
                                                                                                                                                         B
                            x
                                                                                                                                            73º

                                                                                                 A       x

                    2   º                                     14
                 11                                                3º
                                                                                                                                                         C


k) AC = BC                      C                                                l)

                                                                                                     x
                            46º
                                                                                                                              158º
                                                                                                                                                38º




             x                                                                                                            67º

                  A                             B
                                                                             Jeca 05
09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepos-             10) Na figura abaixo, estão representados um triângulo
tos. Qual é o valor de x + y, em graus ?                        equilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidas
                                                                dos ângulos assinalados, determine a soma x + y.


                              x


                                                                                                       x           y



                                                y




11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t.                 12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das
                                                                medidas dos ângulos x, y, z, t e u.

                                         30º                                                               y
                                                                                           x

                   x

                                                        t                                                              z
                       y
                                                    z
                                                                                       u

                                                                                                               t




13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de 14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas em
m.                                                      graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da
                                                        figura, respectivamente. A soma a + b + g + l + q é
                                                        igual a:
                        x                                                                      F
                                                                a)    120º
                                         4m                     b)    150º
                                                                c)    180º
                                           3m
                                                                d)    210º
                                                                                       C
                                                                e)    240º
                   m                                                               D
                                                                                                   E


                                                                  A                                        B




15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos 16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retângu-
uma dobra PT de modo que o vértice C coincida com lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e
o vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B AD, respectivamente.
coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triân-       D                  E                   A
gulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º; cal-
cule as medidas dos ângulos internos do triângulo
ABC.            A

                                                                                                           x
                       R                                                                                                   F
                                     T
              Q

                                                                             25º

            B                                               C          C                                                   B
                              P
                                                        Jeca 06
Respostas desta aula.

01)
a) 176º 19' 21"       b) 124º 05' 04"
c) 28º 45' 16"        d) 46º 47' 48"
e) 273º 35' 36"       f) 214º 11' 36"
g) 31º 24' 56"        h) 39º 24' 57"
i) 25º 02' 34"         j) 06º 55' 23"

02) 60º

03) 117º

04) 72º

05) 60º e 120º

06) 17º e 107º

07) 225º / 7

08)
a) 41º     b) 64º    c) 14º    d) 14º     e) 47º
f) 36º     g) 62º    h) 33º     i ) 75º   j) 34º
k) 113º    l) 53º

09) 270º

10) 240º

11) 210º

12) 180º

13) 2m

14) c

15) 70º, 80º e 30º

16) 25º




        Importante para mim.
           Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
        mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br
        Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
                                                                             Obrigado.

                                                                             Jeca
               Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
                                                   Jeca 07
Geometria plana
                                                                            Conceitos iniciais de Geometria Plana.
                    Estudos sobre Geometria realizados
                              pelo prof. Jeca                                Exercícios complementares da aula 01.
                         (Lucas Octavio de Souza)
                             (São João da Boa Vista - SP)


01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.
a)                                                                          b)
                                                              r                       r                                        57º
                             43º
                                                         r //s                   r // s
                                                                                                        x
                                          x                       s                   s




c)                                                                          d)
                                                          r                                                                                r
                              45º                                                                           45º

                              x                          r // s                                             x                             r // s

                                  62º                         s                                                      62º                       s



                                                                                     (Resolver de forma diferente da letra c))
e)                                                                          f)
          r
                                                                                               x
                                          147º
      r // s
                            82º                                                                                  126º
                                                                                                                                            r
         s                                                                                                                                         r // s
                                      x                                               80º                                                   s

g)                                                                          h)                                       (Resolver de forma diferente da letra g))
              r                                                                           r
                     140º                                                                          140º
                             65º                                                                            65º
        r // s                                                                        r // s
                                  x                                                                                  x

              s                                                                           s
                                              150º                                                                             150º
 i)                                                                         j)
                                                                                                                                    r
                                      42º        r                                              48º

                                                                                                                 º
                                                                                                            40
                                              r // s                                                                               r // s
                    2º                                                                                      x
                  -1
          5x                                     s
                                                                                          43º                                         s


k)                                                                          l)                                                 s
                                                                                               r // s
                                                                  55º
                                                                                 r                                                          85º



                                                                                                   135º                    x
                                                     x


                                                                        Jeca 08
m)                                      r // s                                  n)                                                           r // s
                         r
                                        t // u                                                                   x                           t // u
                                                                                                                             r

                                   s
          43º
                                         t
                                                                                                  58º                                    s

                     x
                                                                                                                                 u
                                                 u                                                           t


o)                                                                              p)


                                                                                                                     52º
           62º




         79º                                                                                  x
                                                 x                                                                           67º



q)                                                                              r)


                         52º
                                                                                                  21x




                                                         x
                                                                                       18x                               15x
         81º

s)                                               (Triângulo isósceles)          t)                                           (Triângulo isósceles)
                         A
                                                       AB = AC                                                                     AB = AC
                                                                                                                 A

                         38º                                                                                     x


                                                                                     138º

                                                                                       B                                                     C
                 x
           B                            C

u)                                     AB = AC                                  v)
                A
                     152º

                                                                                              y   y




                                                                                      62º              98º               x
                                   x
     B                         C
x)                                                           AB = BC = CD       z)          AB = BD = DE
                                                                                                                                 D

                                        D
                                             98º
                         B                                                                         E

                                                                                                      x
                                                     x                                                               y
                                                                                                                             y
     A
                                                 C                               A                                   B               C

                                                                            Jeca 09
02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.
 a)                                                                       b)
                      37                                                                    73º
                           º



                 116º
                                                  x                                                                           24º
                                                                                                       148º
                                                                                 x
               31º

c)                                                                        d)


                      x
                           34




                                                                                              x
                               º




                                                                                                       triz     128º
                                                                                                  se
                                                                                            bis
          1º
      10                                                                                                                       36º
                                                        38º

e)                             D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes. f)         A                        AD e BD são bissetrizes.



                      40º
                                   º




                                                                                              D
                                   72




                                                                                                   x
                                   D              x                                                                    42º        C




                                                                          B
g)                                                                        h)

           68º
          r                               x                                             60º

      r // s

                          5y                                                                                             2x
        s                      3y
                                                                                        º
                                                                               x + 30

 i)                                                                       j)


                     9x                                                        43º
                                                                                                                              x


                                        12x                                                                              60º
                                                                                62º
        6x


 k)                                               ABCD é um quadrado.     l)
       A                                      B
                                                                                        30º




                                   x


                                                                                                       x                              11
                                                                                                                                        8º
      D                                       C
                                                                    Jeca 10
m)                                                                          AC = CD       n)       AB = BC = CD = DE                     e    AD = AE

             A
                                                                                                                                                              D

                         38                                                                                                  B
                 x            º
                                                                                               A         x


                                                                                                                                                  C
                                                                                                                                                                  E
             B                            C                              D

o)           AB = BC = CD = DE = EF                              e   AE = AF              p)           AB = AC , BD = BE e CE = CF.

                                                                                                                                                                      B
                                                                               F                                                                  D
                                                                        D

                                          B
                                                                                                                                                              x       E
A                x                                                                             A         44º


                                                             C
                                                                               E                                                              F
                                                                                                                                                                      C
q)                                                  ABC é um triângulo equilátero         r)                                                 BCD é um triângulo equilátero
                                      A               e DEFG é um quadrado.                                                                    e ABDE é um quadrado.
                                                                                               A                             B



                 G                              F
                                                                                                                                                          C
                     x

                                                                                                             x
                                                                                               E                             D
     B               D                        E          C

s)                                                       CDE é um triângulo equilátero t)          BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são
                                                           e ABCD é um quadrado.                                                        quadrados.
A                                                                                                     A                            C
                                                     B
         x                        E

                                                                                                                                     B

                                                                                                   x
                                                                                          G                                                                               D



D                                                    C                                                               F                            E
u)                                                           ACE e BDF são triângulos     v)                                                          AB = AC e DE = DF.
     A                                B               C            equiláteros.
                                                                                                               A
                                                                                                                                 D

                                                                                                                         x   70º
                         x



                                                                                                   65º
     F                                E                  D                                 B             E                   C                        F

x)                                                                                        z)                                                                 AB = AC
                                              AB = AD = BD = DC e AC = BC.
                                                                                                                                                      AD é bissetriz de BÂC
         A                                                                                                                                            AE é bissetriz de BÂD.
                                                                                                                                 A


                                              D
                                                                        C
                                               x

                                                                                                                 x                                        38º
         B                                                                                 B                         E           D                                    C

                                                                                      Jeca 11
03) Na figura abaixo, determine x, y e z.                    04) Na figura abaixo, determinar x, y e z.


                                                                                             4x
                                x                                                x                    2y
                    37º                  y                                                   z
                                z




05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t.                06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo
                                                             CBE, determinar x + y.

                                                                       E                                         D

                       t    z
                 40º                2x
                                y                                                                 y
                       4x
                                                                                         x                  4x

                                                                   A                              B                      C




07) Na figura abaixo, determinar o valor de x.               08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x,
                                                             sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz
                                                             de AOD e OB é bissetriz de AOC.
                                                                                 D


                                                                   C
                                                                                                                     E

                                               x   57º
                                                               B


                                                                             x                        28º
                                                               A                                                     F
                                                                                             O




09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e 10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os
z.                                                   mesmos formam uma progressão aritmética de razão
                                                     10º.
                                    z + 26º

                           2x                  y
                                                                                              y
                                    2z - 84º
                                                                                     z                x




                                                         Jeca 12
11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x. 12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma
                                                       x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo
                                                       inscrito no quadrado ABCD.
    x                                                                                                     A                E                   B
                                                                                                                       y           z
                                t                t // s
                                                                  s                                           x
                                                                                                          F
                                                      120º                                                    v


                         140º                                                                                                              t
                                                                                                                                       u
                                                                                                          D                                    C

13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determi-                         14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bis-
ne o valor de x.                                                          setriz do ângulo BAD. Determine o valor de x.
        A                                                                                                                      A
                         x



                                            2x
B                    C          D                    E

                                                                                                  x
                                                                                              B                    C                           D



15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x 16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y
em função de y.                                      em função de x.

                                    5y                                                                             D
                                                                                                                           y




            y                   x                            2y
                                                                                    x
                                                                            A                         B                                        C




17) Na figura abaixo mostre que vale a relação :                          18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles
 a + b = c + d.                                                       r   mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo
                                    a                                     formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos
                                            c                             internos.

                                b                            r // s


                                        d                             s




19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos 20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de
externos de um triângulo é 360º.              z.
                                    e2                                        r
                                                                                         x

                                                                                          y               r // s
                e1
                                                                                                  z           s
                                                             e3



                                                                      Jeca 13
21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por 22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das
duas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos medidas dos ângulos x, y, z, t e u.
x e y podemos afirmar que :
a) x = y                                                                                 y
                                   r
b) x = -y
c) x + y = 90º             s     A            B                                                     z
d) x - y = 90º                            x                                  x
e) x + y = 180º
                                                y
                                                                                                                    t
                                            D                   C
                                                                                               u




23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo 24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valor
de z e t o sêxtuplo de z.                                  em graus de x + y ?

                  z                                                                           40º               y



                                                                                                    x


                            x

      y                                                     t
                      80º




25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, 26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCD
demonstre que vale a relação z - y = x - t.             é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do
                A                                       ângulo CBF é :                       D
                                                        a) 38º                     A
                                                        b) 27º
                                                        c) 18º
                                                        d) 19º
                                                        e) 71º
                  y         z
          x                                             t
  B                   D                                         C                                           C

                                                                                          E                     F
                                                                                                        B




27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a 28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que
soma das medidas dos ângulos x, y e z.             os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o
                                                   triângulo BCE é equilátero.
              A                         B
                                                                          A
                                    x
                                            y       C                         x
                                                                                      E
                                z
 E                                  D



                                                                                  B       C             D




                                                                    Jeca 14
29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 30) Na figura abaixo, determine a soma das medidas
dos ângulos x, y, z, t, u e v.                     dos ângulos x, y, z e t.

                      x                                                 r                                  x
                                                              v


                 y                                                                           y
                                                          u
                                                                        r // s

                                                                                                 z


                                                                        s                                      t
                                          t

                          z


31) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o
dos ângulos x, y, z e t.                           vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura.
                                                   Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x,
                                          y
                                                   conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado.
                                                                                                      A’


                                                                                                           140º
                                          z                                      A       E                         B

        x                                                 t
                                                                                                                   D’




                                                                                                 x
                                                                                 D                    F            C

33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC 34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’
interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é  medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma
                             A
                                                dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB
igual a  x-y.                                   em relação a AD, determine a medida do ângulo ADB.
          2                                                                                       A


                                              N

                              M

                                      x               y                              B                                 C
            P                                                                                    D
                              B                                   C



                                                                                                     B’

35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE
congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE,
sabendo-se que BAD = 48º.

                          A




                                              E



    B                             D               C

                                                              Jeca 15
Respostas desta aula.

01)                                                            21) c
a) 43º  b) 123º         c) 107º      d) 107º      e) 49º
f) 46º  g) 55º          h) 55º       i) 30º       j) 49º       22) 540º
k) 55º  l) 130º         m) 43º       n) 122º      o) 39º
p) 119º q) 133º         r) 10º/3     s) 71º       t) 96º       23) 50º
u) 104º v) 46º          x) 123º       z) 108º
                                                               24) 130º
02)
a) 48º       b) 51º    c) 29º      d) 112º      e) 18º         25) demonstração
f) 111º      g) 42º    h) 70º      i) 40º/3     j) 45º
k) 90º       l) 43º    m) 14º      n) 180º/7    o) 20º         26) d
p) 68º       q) 30º     r) 15º     s) 75º       t) 60º
u) 120º       v) 60º   x) 150º      z) 116º                    27) 360º

03) 143º, 37º e 143º                                           28) 45º

04) 36º, 18º e 144º                                            29) 360º

05) 20º, 60º, 80º e 60º                                        30) 180º

06) 100º                                                       31) 540º

07) 33º                                                        32) 65º

08) 19º                                                        33) demonstração

09) 22º, 44º e 110º                                            34) 130º

10) 50º, 60º e 70º                                             35) 24º

11) 70º

12) 270º

13) 10º

14) 36º

15) x = 8y

16) y = 3x

17) demonstração

18) 40º

19) demonstração

20) x = y - z



       Importante para mim.
          Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
       mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br
       Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
                                                                            Obrigado.

                                                                                  Jeca
                Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
                                                         Jeca 16
Geometria plana
                                                                                                   Aula 02
              Estudos sobre Geometria realizados
                        pelo prof. Jeca                                                 Pontos notáveis de um triângulo.
                   (Lucas Octavio de Souza)
                       (São João da Boa Vista - SP)




              Segmentos notáveis do triângulo.                                    Mediana - É o segmento que une o vértice ao ponto
                                                                                  médio do lado oposto.
                            mediana
 altura                                                                           Mediatriz - É a reta perpendicular ao lado do triângulo
                                                        mediatriz
                                                                                  pelo seu ponto médio.

                                                                                  Bissetriz - É a semi-reta de origem no vértice que
                                                                                  divide o ângulo em dois ângulos congruentes.

                                        M                                         Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte
   bissetriz                                                                      do lado oposto.
                                                        ponto médio


                        Todo triângulo tem:                                                        Pontos notáveis do triângulo
                          3 medianas                                                                   B - baricentro
                          3 mediatrizes                                                                I - incentro
                          3 bissetrizes
                                                                                                       C - circuncentro
                          3 alturas
                                                                                                       O - ortocentro
Baricentro (G).                                                                   Incentro (I).
  É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo.                                É o ponto de encontro das 3 bissetrizes do triângulo.
Propriedade.                                         Propriedade.
    O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos.   O incentro é o centro da circunferência inscrita (inter-
O segmento que contém o vértice é o dobro do segmen- na) no triângulo.
to que contém o ponto médio do lado oposto.              O incentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3
(razão 2 : 1)                                        lados do triângulo.
   Observação - As três medianas dividem o triângulo
original em seis triângulos de mesma área.                                                     g
               A                                                                           g
                                                    S    Área de cada triângulo

                                                              AG = 2.GM
                       2x




                                                              BG = 2.GN
                   S            S                             CG = 2.GP                                        I
          P                                     N
                                G                                                                      b
               S                                S                                                                  r                  a
                                                                                                           b
                                                                                                                                      a
                                    x




                            S                   S
                                                                                               r - raio da circunferência inscrita.
    B                                   M                                 C
Circuncentro (C).                                                                 Ortocentro (O).
  É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo.                             É o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo.
                                                                                                                               A
Propriedade.                                                                      Propriedade.
   O circuncentro é o centro da circunferência circuns-                             Não tem.
crita (externa) ao triângulo.
   O circuncentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3                             A                                        hA
vértices do triângulo.                                                                                                                hB

                                                        mediatriz                  hA                                        O
                                                                                                                                            hC       C
                                                                                                                              B
                                                                                                                                      A
                                                                                                   B
                                                                                               h




                                                                    ponto médio           B
                                                        C                                                              C
                                                                                                               hC                      hA
                                            R                                                                                              hB

                                                                                   O                                                   O        hC
 R - raio da circunferência
                                                                                                   ortocentro                B                       C
         circunscrita.
                                                                          Jeca 17
Observações.                        3) Num triângulo isósceles, os quatro          4) No triângulo retângulo, o ortocen-
                                    ponto notáveis (BICO: baricentro, in-          tro é o vértice do ângulo reto e o cir-
1) O baricentro e o incentro sempre centro, circuncentro e ortocentro) es-         cuncentro é o ponto médio da hipo-
estão localizados no interior do tão alinhados.                                    tenusa.
                                                                mediana
triângulo.                                                      mediatriz             ortocentro
                                                                  bissetriz                                         circuncentro
2) O circuncentro e o ortocentro                                  altura
podem estar localizados no exterior            mediatriz
do triângulo.
                                                             C
                                           mediana            G                                 R           C       R
                                         bissetriz            I
                                                                                                    hipotenusa
                                                             O

                                                                  altura


           Triângulo eqüilátero.
                (importante)

       Em todo triângulo eqüilátero, os                              r
                                                                                        R
    quatro pontos notáveis (baricentro,                                                                             R = 2r
    incentro, circuncentro e ortocentro)                     l       r         l                    h                 e
    estão localizados num único ponto.           BICO                                                               h = 3r
                                                                     r                  r
    l - lado do triângulo eqüilátero.
    r - raio da circunferência inscrita.
    R - raio da circunferência circunscrita.
                                                                    l
    h - altura do triângulo.

01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar :
a) a altura do triângulo.                                                                                                 R
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
                                                                                                l               l                  h
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
                                                                                                        O
d) o que o ponto O é do triângulo.                                                                                        r

                                                                                                            l




02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está 03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está
inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOC
mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, deter-            mede 126º , encontre a medida do ângulo BAC.
mine a medida do ângulo AOC.
                            A                                                               A




                                O                                                               O




              B                                        C                   B                                                  C


                                                        Jeca 18
04) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as
três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do
triângulo.


                                     A




                                                    I




                                                                                                             C
                             B



05) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :
a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
c) o lado do triângulo.                                                                                   R
                                                                                    l               l             h

                                                                                                          r

                                                                                            l




06) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos      07) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC.
médios dos lados do triângulo ABC. Se AB = 2x,              Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os
AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n,               ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58º
determine o perímetro do triângulo BDG, em função de        e 70º.
x, y, z, w, k e n.                       A
                                                                                                A


                                                                                        E
                                 F              E

                                                                                                F
                                         D


                    B                G                  C
                                                                         B                               C
                                                                                                D




                                                    Jeca 19
08) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo   09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o
equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em     mapa da localização faz menção a três grandes árvores
função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e        do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de
AE.                                                   um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o
               C                                      segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é
                                                      possível localizar o tesouro no local ?


                                                        Sibipiruna
                                                            Peroba
                E


                                                       Jatobá
 A             D                B




                                                     2
10) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . 11) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos
Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do
afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F).   ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine:
                                                       a) a área do triângulo ABC;
                A
                                                       b) a área do triângulo AFG;
                                                       c) a área do quadrilátero BCAG.
                    F
                                                                         A

                        G

         B          D                C                               F                                E
                            E
                                                                                        G
( ) G é o baricentro do triângulo ABC.
                                     2
( ) A área do triângulo AEC é 40 cm .                           B                                           C
                                     2                                                           D
( ) A área do triângulo BFG é 40 cm .




12) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas    13) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na
casas, sendo que as casa não são colineares e estão   praça central, uma estátua em homenagem a Tiraden-
localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um   tes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa
poço de modo que ele fique à mesma distância das      estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá
três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com      ficar a uma mesma distância das três ruas que
seus conhecimentos de geometria, que sugestão         determinam a praça.
poderia das a eles ? Justifique o seu raciocínio.

                                                                                             1
                                                                                       Rua
                                                                                                       a3
                                                                                                     Ru




                                                                             Ru
                                                                                  a2




                                               Jeca 20
Respostas desta aula.
01)                                                         04)
a) (5 3 / 2) cm
b) (5 3 / 6) cm
c) (5 3 / 3) cm                                                             A

d) Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro.

02) 118º

03) 72º
                                                                                            G      C
                                                                                    I
04) Desenho ao lado.
                                                                                O

05)
a) 1 cm                                                              B
                                                                                                                 C

b) 2 cm
c) 2 3 cm

06) 2k + w + z

07) 128º

08) 2k / 3 , k / 3 e 2k / 3
                                                       09)        Sibipiruna
09) Desenho ao lado.                                                     Peroba

10) F , V e F                                                                           O

11)
          2                                                   Jatobá
a) 42 cm
        2
b) 7 cm
          2
c) 28 cm                                                                                               tesouro

12) O poço deve localizar-se no circuncentro do
triângulo cujos vértices são as três casas.

13) A estátua deve ser colocada no incentro do
triângulo formado pelas três ruas.




        Importante para mim.
           Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
        mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br
        Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
                                                                             Obrigado.

                                                                                            Jeca
              Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
                                                  Jeca 21
Geometria plana
                                                              Pontos notáveis de um triângulo.
           Estudos sobre Geometria realizados
                     pelo prof. Jeca                         Exercícios complementares da aula 02.
                (Lucas Octavio de Souza)
                    (São João da Boa Vista - SP)


01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar :
a) a altura do triângulo;                                                                                   R
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;                                         k            k        h
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo;
                                                                                                    O
d) o que o ponto O é do triângulo.                                                                          r

                                                                                                    k




02) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita de um triângulo
eqüilátero mede 5 cm, determinar :                                                                          R
a) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
b) a altura do triângulo;                                                                  l            l        h
                                                                                                    O
c) o lado do triângulo;                                                                                     r
d) o perímetro do triângulo;
e) o que o ponto O é do triângulo.                                                                  l




03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três         04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e
ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, divi-          centro O consideram-se, como na figura, os triângulos
dem o ângulo ACB em três ângulos congruentes.                equiláteros T1, inscrito, e T2, circunscrito. Determine
Assinale a alternativa correta.                              a razão entre a altura de T2 e a altura de T1.
                     A

                                    D

                                                                                               T2
                           P                       E
                 S

                R               Q                                                     T1

  C                                                    B
                 G                      F                                                  O

                                                                                       R
a)   P é incentro de algum triângulo construído na figura.
b)   Q é incentro de algum triângulo construído na figura.
c)   R é incentro de algum triângulo construído na figura.
d)   S é incentro de algum triângulo construído na figura.
e)   Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.

                                                       Jeca 22
05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios 06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfe-
dos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo a
do triângulo ABC e que BG = 2.GN.                      BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do
              A
                                                       triângulo ADE.
                                                                                          A



          M                   N
                          G
                                                                                              I
                                                                                  D                   E

 B                        P                   C
                                                                              B                           C




07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o 08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, os
ponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD
das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM. mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC.
                  A                                                 C
                      D
          E

                                                                                                  B
                                                            A                     D


  B                       M               C



RESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em
uma semi-circunferência.


09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º. 10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do la-
Determine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determine
ponto O é o ortocentro do triângulo ABC.            a medida do ângulo BFC.
          A
                                                                A


                                                                    40º
          O
                                                                              D

                                                                E         F
  B                                   C



                                                                B                     C



11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência 12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40º
inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a me- e B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas
dida do ângulo ADC.                                  alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ?
                                                     a) 30º
     A                                               b) 45º
                                                     c) 60º
                                                     d) 90º
                                                     e) 120º
              D

      B                           C




                                                    Jeca 23
13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a 14) No triângulo ABC da figura abaixo, as medianas
afirmativa falsa.                A                   AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que
                                                     BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB.
                                                   E                   A

                                  D
                                       F
                                                                                        E
                              B                              C

a)   F é o ortocentro do DABC.
b)   A é o ortocentro do DFBC.
                                                                 B                  D               C
c)   Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem.
d)   BF = 2.FE.
e)   O DABC é acutângulo.

15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo 16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no
ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do
70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores triângulo.
                                                                                         A
circulares S1, S2 e S3, em função de S.
                                              B




                                                                                                    0º

                                                                                                            110º
                                                                                                    12
                                       S3          S1                                                     D
                                                                                                         130º

                                            S2                                          B                                  C
                      A                                      C




17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no 18) Na figura, a circunferência de centro O está
triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncen- inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e
tro do triângulo.                                  ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circun-
                               A
                                                   ferência.                                         B




                                                                                                                   O
                                            13




                                                                                                A
                                  0º


                                              0º
                                  12




                                        D
                                       110º

                     B                                       C
                                                                                                                       C




19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os              20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P for
triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a                o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC
mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida                é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo
do segmento AD.                                                  ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a
                                                                 razão entre x e y.
                      A                                                                                            A
                                                                                A




                          D

            B                                           C                                                          P
                                                                                P


                                                                                                B                          C
                                                                 B                          C
                                                            Jeca 24
21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé- 22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º e
dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine a
a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm. razão AC / BC.
                                                                                                   A
     A           M           D


             P


                                                                              B                D        C


     B                       C




23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos   24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência
médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm   inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendo
e AR = 10 cm, determinar :                            m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos a,
a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o          b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o
triângulo ABC.                                        ângulo ACB.
b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R.
                                                           A
c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR.
                                                                   q
                 A


                                                                       O
                                                                       g
         M                   N
                                                               b                   a
                     R                                  B                                  C



 B                       P               C




25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encon-     26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de um
tram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os       segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto
pontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o      médio do segmento de reta AB e é perpendicular a
triângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o   esse segmento. Assinale a alternativa incorreta.
que é a reta FD.
                                     A                a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância
                                                      de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto
                                                      B.
                                                      b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um
                             F           E            triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângu-
                                                      lo.
                                 D
                                                      c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à
                                                      reta r não equidista dos extremos do segmento AB.
                                                      d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem
                 B                           C
                                 G                    se interceptar em três pontos distintos.
                                                      e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta
                                                      AB em a.




                                                 Jeca 25
Respostas desta aula.

01)                                                     17) 55º, 65º e 60º
a) k 3 / 2
b) k 3 / 6                                              18) 5 cm
c) k 3 / 3
d) BICO                                                 19) 6 cm

02)                                                     20) 23 / 26
a) (5 / 2) cm
b) (15 / 2) cm                                          21) 4 cm
c) 5 3 cm
d) 15 3 cm                                              22) 1 / 2
e) BICO
                                                        23)
03) d                                                   a) medianas
                                                        b) baricentro
04) 2                                                   c) 14 cm, 12 cm e 5 cm

05)                                                     24) 15º, 45º, 120º, 30º e bissetriz
               A           S é ponto médio de BG
                           R é ponto médio de CG        25) circuncentro e mediatriz
                           MNRS é um paralelogramo
                           Portando, SG = GN = BS       26) d
      M                  N Razão 2 : 1
                   G

           S              R
B                  P               C


06) 19 cm

07) 10 cm

08) 130º

09) 110º

10) 105º

11) 135º

12) d

13) d

14) 2 5

15) 23 S / 72

16) 80º, 40º e 60º



          Importante para mim.
             Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
          mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br
          Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
                                                                               Obrigado.

                                                                               Jeca
               Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
                                                 Jeca 26
Geometria plana
                                                                                  Aula 03
         Estudos sobre Geometria realizados
                   pelo prof. Jeca                                        Congruência de triângulos.
              (Lucas Octavio de Souza)
                (São João da Boa Vista - SP)




                                    A    D                              Dois triângulos são congruentes se têm os lados
                                                                     dois a dois ordenadamente congruentes e os ângu-
                                                                     los dois a dois ordenadamente congruentes.
                                                                                                          A  D
                                                                                                          B  E
                                                                           DABC     DDEF                  C  F
                                                                                                          AB   DE
 B                         C                    E                     F                                   AC   DF
                                                                                                          BC   EF

      Casos de congruência.                            Caso especial (CE).                    Observação.
1) L.A.L.                                           Dois triângulos retângulos são     A posição de cada elemento do
2) A.L.A.                                      congruentes se têm as hipotenusas triângulo (lado ou ângulo) no dese-
3)L.L.L.                                       congruentes e um cateto de um nho é muito importante na caracteri-
4) L.A.AO                                      triângulo é congruente a um cateto zação do caso de congruência.
5) Caso especial (CE)                          do outro triângulo
                                                                                   L.A.L. - dois lados e o ângulo entre
Onde:                                                                              eles.
L - lado.                                                                          A.L.A. - dois ângulos e o lado entre
A - ângulo junto ao lado.                                                          eles.
AO - ângulo oposto ao lado.

01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD
são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes.                              A




                                                                                          B                          D




                                                                                                 C


02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângu-
lo ABC. Prove que os ângulos ABD e CBD são congruentes.                                          A




                                                                                          B                          D




                                                                                                 C


03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmen-
tos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes.                                  A




                                                                                          B                          D




                                                                                                 C

                                                           Jeca 27
04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD é
perpendicular à corda AB, então E é ponto médio de AB.




           C                           A

                       E


                           D
          B




05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e
mediatriz.
          A




 B        H            C

06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio,
provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento.

                   P




      A                        B
                   M
                               mediatriz




07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine os
pontos A pertencente a r e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do
segmento AB.

                                   r




               M           P
  O



                               s


                                                  Jeca 28
08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE são       09) (UFMG) Observe a figura:
congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é
                                                                                   r
isósceles de base BC, prove que os segmentos AB e
DC são congruentes.                                                A
                A                                D
                                                                       P

                                                                               B

                                E                              q
                                                           O

                                                                           R
                                                                                       s
                    B                    C
                                                                       C
                                                        Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpen-
                                                     diculares, respectivamente, às retas r e s. Além
                                                     disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ângulo POR
                                                     é q. Determine, em função de q, a medida do ângulo
                                                     interno AOC do quadrilátero AOCB.


10) Na figura, ABCD é um paralelogramo e os          11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH está inscrito
segmentos AE e CF são congruentes. Prove que os      no quadrado ABCD. Prove que os triângulos AEH,
segmentos DE e FB são congruentes e paralelos        BFE, CGF e GDH são congruentes entre si.
entre si.
                                                                               A       E           B
                        A   E                B


                                                                                                   F

                                                                               H
            D                        C
                                F


                                                                               D           G       C




12) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os 13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e
segmentos AE e CF são perpendiculares ao BD são as diagonais, então o ponto de intersecção das
segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF diagonais é o ponto médio da diagonal AC.
são congruentes entre si.
                                                                               A                       B
                    A                        B
                                     F                                                 E



                            E                                          D                       C
                    D                        C




                                                 Jeca 29
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  • 1. Geometria plana. Resumo teórico e exercícios. 3º Colegial / Curso Extensivo. Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca)
  • 2. Relação das aulas. Página Aula 01 - Conceitos iniciais................................................................ 02 Aula 02 - Pontos notáveis de um triângulo......................................... 17 Aula 03 - Congruência de triângulos.................................................. 27 Aula 04 - Quadriláteros notáveis........................................................ 36 Aula 05 - Polígonos convexos............................................................ 45 Aula 06 - Ângulos na circunferência................................................... 58 Aula 07 - Segmentos proporcionais................................................... 70 Aula 08 - Semelhança de triângulos................................................... 80 Aula 09 - Relações métricas no triângulo retângulo........................... 94 Aula 10 - Relações métricas num triângulo qualquer....................... 107 Aula 11 - Circunferência e círculo.....................................................121 Aula 12 - Inscrição e circunscrição de polígonos regulares............. 131 Aula 13 - Áreas das figuras planas................................................... 141 Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca) Jeca 01
  • 3. Geometria plana Aula 01 Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca Conceitos iniciais de Geometria Plana. (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) I) Reta, semirreta e segmento de reta. Definições. A B a) Segmentos congruentes. reta AB Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida. A B semirreta AB b) Ponto médio de um segmento. A B Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao semirreta BA segmento e divide AB em dois segmentos congruentes. A B segmento AB c) Mediatriz de um segmento. É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio II) Ângulo. A Definições. a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de O a mesma origem. b) Ângulos congruentes. B Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma OA - lado OB - lado medida. O - vértice ângulo AOB ou ângulo a c) Bissetriz de um ângulo. É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes. IIa) Unidades de medida de ângulo. a) Grau. b) Radiano. A medida de uma volta completa é 360º. A medida de uma volta completa é 2p radianos. º - grau 1º = 60' ' - minuto Um radiano é a medida do ângulo central de uma 1' = 60" " - segundo circunferência cuja medida do arco correspondente é igual à medida do raio da circunferência. IIb) Classificação dos ângulos. Definições. a = 0º - ângulo nulo. a) Ângulos complementares. 0º < a < 90º - ângulo agudo. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 90º. a = 90º - ângulo reto. 90º < a < 180º - ângulo obtuso. b) Ângulos suplementares. a = 180º - ângulo raso. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 180º. IIc) Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal. a) Ângulos correspondentes (mesma posição). t exemplo - b e f. Propriedade - são congruentes. a r d b) Ângulos colaterais (mesmo lado). b c exemplo de colaterais internos - h e c. exemplo de colaterais externos - d e g. r // s Propriedade - são suplementares (soma = 180º) e c) Ângulos alternos (lados alternados). s h f exemplo de alternos internos - b e h. g exemplo de alternos externos - a e g. Propriedade - são congruentes. Jeca 02
  • 4. III) Triângulos. Classificação dos triângulos. Ângulo externo. vértice a) quanto aos lados: O ângulo externo - triângulo equilátero. de qualquer polígono - triângulo isósceles. convexo é o ângulo - triângulo escaleno. lado i - ângulo interno e - ângulo externo formado entre um e lado e o b) quanto aos ângulos: i Num mesmo prolongamento do vértice, tem-se - triângulo retângulo. outro lado. - triângulo obtusângulo. i + e = 180º - triângulo acutângulo. Propriedades dos triângulos. 2) Em todo triângulo, a medida de 1) Em todo triângulo, a soma das um ângulo externo é igual à soma medidas dos 3 ângulos internos b das medidas dos 2 ângulos b é 180º. internos não adjacentes. a e=a+b a + b + g = 180º e a g 3) Em todo triângulo, a soma das 4) Em todo triângulo isósceles, e3 medidas dos 3 ângulos externos os ângulos da base são congru- é 360º. entes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o seu lado e1 e1 + e2 + e3 = 360º diferente. e2 a a Exercícios. 01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas. a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42" c) 90º - 61º 14' 44" e) 4 x (68º 23' 54") b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39" d) 136º 14' - 89º 26' 12" f) 3 x (71º 23' 52") Jeca 03
  • 5. g) 125º 39' 46" h) 118º 14' 52" 4 3 i) 125º 12' 52" j) 90º 5 13 02) Determine o ângulo que é o dobro do seu comple- 03) Determine o ângulo que excede o seu suplemento mento. em 54º 04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu 05) Dois ângulos são suplementares. O menor é o suplemento e o triplo do seu complemento é igual a complemento da quarta parte do maior. Determine as 54º. medidas desses ângulos. 06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Deter- 07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento mine esses ângulos sabendo que o suplemento do da sua quinta parte é igual ao triplo do seu comple- maior é igual ao complemento do menor. mento. Jeca 04
  • 6. 08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x. a) b) 11 r 6 º x r // s s 41º x c) d) (Tente fazer de outra maneira) x r x r 53º r // s 53º r // s 39º s 39º s e) f) r r 55º 35º 62º x r // s 40º s x s 38º 47º g) h) r 28º 54º x r // s 88º º s x 21º 126 i) j) AB = AC B x 73º A x 2 º 14 11 3º C k) AC = BC C l) x 46º 158º 38º x 67º A B Jeca 05
  • 7. 09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepos- 10) Na figura abaixo, estão representados um triângulo tos. Qual é o valor de x + y, em graus ? equilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidas dos ângulos assinalados, determine a soma x + y. x x y y 11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t. 12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das medidas dos ângulos x, y, z, t e u. 30º y x x t z y z u t 13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de 14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas em m. graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da figura, respectivamente. A soma a + b + g + l + q é igual a: x F a) 120º 4m b) 150º c) 180º 3m d) 210º C e) 240º m D E A B 15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos 16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retângu- uma dobra PT de modo que o vértice C coincida com lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e o vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B AD, respectivamente. coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triân- D E A gulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º; cal- cule as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC. A x R F T Q 25º B C C B P Jeca 06
  • 8. Respostas desta aula. 01) a) 176º 19' 21" b) 124º 05' 04" c) 28º 45' 16" d) 46º 47' 48" e) 273º 35' 36" f) 214º 11' 36" g) 31º 24' 56" h) 39º 24' 57" i) 25º 02' 34" j) 06º 55' 23" 02) 60º 03) 117º 04) 72º 05) 60º e 120º 06) 17º e 107º 07) 225º / 7 08) a) 41º b) 64º c) 14º d) 14º e) 47º f) 36º g) 62º h) 33º i ) 75º j) 34º k) 113º l) 53º 09) 270º 10) 240º 11) 210º 12) 180º 13) 2m 14) c 15) 70º, 80º e 30º 16) 25º Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 07
  • 9. Geometria plana Conceitos iniciais de Geometria Plana. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca Exercícios complementares da aula 01. (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) 01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x. a) b) r r 57º 43º r //s r // s x x s s c) d) r r 45º 45º x r // s x r // s 62º s 62º s (Resolver de forma diferente da letra c)) e) f) r x 147º r // s 82º 126º r s r // s x 80º s g) h) (Resolver de forma diferente da letra g)) r r 140º 140º 65º 65º r // s r // s x x s s 150º 150º i) j) r 42º r 48º º 40 r // s r // s 2º x -1 5x s 43º s k) l) s r // s 55º r 85º 135º x x Jeca 08
  • 10. m) r // s n) r // s r t // u x t // u r s 43º t 58º s x u u t o) p) 52º 62º 79º x x 67º q) r) 52º 21x x 18x 15x 81º s) (Triângulo isósceles) t) (Triângulo isósceles) A AB = AC AB = AC A 38º x 138º B C x B C u) AB = AC v) A 152º y y 62º 98º x x B C x) AB = BC = CD z) AB = BD = DE D D 98º B E x x y y A C A B C Jeca 09
  • 11. 02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x. a) b) 37 73º º 116º x 24º 148º x 31º c) d) x 34 x º triz 128º se bis 1º 10 36º 38º e) D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes. f) A AD e BD são bissetrizes. 40º º D 72 x D x 42º C B g) h) 68º r x 60º r // s 5y 2x s 3y º x + 30 i) j) 9x 43º x 12x 60º 62º 6x k) ABCD é um quadrado. l) A B 30º x x 11 8º D C Jeca 10
  • 12. m) AC = CD n) AB = BC = CD = DE e AD = AE A D 38 B x º A x C E B C D o) AB = BC = CD = DE = EF e AE = AF p) AB = AC , BD = BE e CE = CF. B F D D B x E A x A 44º C E F C q) ABC é um triângulo equilátero r) BCD é um triângulo equilátero A e DEFG é um quadrado. e ABDE é um quadrado. A B G F C x x E D B D E C s) CDE é um triângulo equilátero t) BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são e ABCD é um quadrado. quadrados. A A C B x E B x G D D C F E u) ACE e BDF são triângulos v) AB = AC e DE = DF. A B C equiláteros. A D x 70º x 65º F E D B E C F x) z) AB = AC AB = AD = BD = DC e AC = BC. AD é bissetriz de BÂC A AE é bissetriz de BÂD. A D C x x 38º B B E D C Jeca 11
  • 13. 03) Na figura abaixo, determine x, y e z. 04) Na figura abaixo, determinar x, y e z. 4x x x 2y 37º y z z 05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t. 06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo CBE, determinar x + y. E D t z 40º 2x y y 4x x 4x A B C 07) Na figura abaixo, determinar o valor de x. 08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x, sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz de AOD e OB é bissetriz de AOC. D C E x 57º B x 28º A F O 09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e 10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os z. mesmos formam uma progressão aritmética de razão 10º. z + 26º 2x y y 2z - 84º z x Jeca 12
  • 14. 11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x. 12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo inscrito no quadrado ABCD. x A E B y z t t // s s x F 120º v 140º t u D C 13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determi- 14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bis- ne o valor de x. setriz do ângulo BAD. Determine o valor de x. A A x 2x B C D E x B C D 15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x 16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y em função de y. em função de x. 5y D y y x 2y x A B C 17) Na figura abaixo mostre que vale a relação : 18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles a + b = c + d. r mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo a formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos c internos. b r // s d s 19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos 20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de externos de um triângulo é 360º. z. e2 r x y r // s e1 z s e3 Jeca 13
  • 15. 21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por 22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das duas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos medidas dos ângulos x, y, z, t e u. x e y podemos afirmar que : a) x = y y r b) x = -y c) x + y = 90º s A B z d) x - y = 90º x x e) x + y = 180º y t D C u 23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo 24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valor de z e t o sêxtuplo de z. em graus de x + y ? z 40º y x x y t 80º 25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, 26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCD demonstre que vale a relação z - y = x - t. é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do A ângulo CBF é : D a) 38º A b) 27º c) 18º d) 19º e) 71º y z x t B D C C E F B 27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a 28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que soma das medidas dos ângulos x, y e z. os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o triângulo BCE é equilátero. A B A x y C x E z E D B C D Jeca 14
  • 16. 29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 30) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos x, y, z, t, u e v. dos ângulos x, y, z e t. x r x v y y u r // s z s t t z 31) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o dos ângulos x, y, z e t. vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura. Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x, y conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado. A’ 140º z A E B x t D’ x D F C 33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC 34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’ interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma A dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB igual a x-y. em relação a AD, determine a medida do ângulo ADB. 2 A N M x y B C P D B C B’ 35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE, sabendo-se que BAD = 48º. A E B D C Jeca 15
  • 17. Respostas desta aula. 01) 21) c a) 43º b) 123º c) 107º d) 107º e) 49º f) 46º g) 55º h) 55º i) 30º j) 49º 22) 540º k) 55º l) 130º m) 43º n) 122º o) 39º p) 119º q) 133º r) 10º/3 s) 71º t) 96º 23) 50º u) 104º v) 46º x) 123º z) 108º 24) 130º 02) a) 48º b) 51º c) 29º d) 112º e) 18º 25) demonstração f) 111º g) 42º h) 70º i) 40º/3 j) 45º k) 90º l) 43º m) 14º n) 180º/7 o) 20º 26) d p) 68º q) 30º r) 15º s) 75º t) 60º u) 120º v) 60º x) 150º z) 116º 27) 360º 03) 143º, 37º e 143º 28) 45º 04) 36º, 18º e 144º 29) 360º 05) 20º, 60º, 80º e 60º 30) 180º 06) 100º 31) 540º 07) 33º 32) 65º 08) 19º 33) demonstração 09) 22º, 44º e 110º 34) 130º 10) 50º, 60º e 70º 35) 24º 11) 70º 12) 270º 13) 10º 14) 36º 15) x = 8y 16) y = 3x 17) demonstração 18) 40º 19) demonstração 20) x = y - z Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 16
  • 18. Geometria plana Aula 02 Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca Pontos notáveis de um triângulo. (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Segmentos notáveis do triângulo. Mediana - É o segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto. mediana altura Mediatriz - É a reta perpendicular ao lado do triângulo mediatriz pelo seu ponto médio. Bissetriz - É a semi-reta de origem no vértice que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. M Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte bissetriz do lado oposto. ponto médio Todo triângulo tem: Pontos notáveis do triângulo 3 medianas B - baricentro 3 mediatrizes I - incentro 3 bissetrizes C - circuncentro 3 alturas O - ortocentro Baricentro (G). Incentro (I). É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo. É o ponto de encontro das 3 bissetrizes do triângulo. Propriedade. Propriedade. O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos. O incentro é o centro da circunferência inscrita (inter- O segmento que contém o vértice é o dobro do segmen- na) no triângulo. to que contém o ponto médio do lado oposto. O incentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 (razão 2 : 1) lados do triângulo. Observação - As três medianas dividem o triângulo original em seis triângulos de mesma área. g A g S Área de cada triângulo AG = 2.GM 2x BG = 2.GN S S CG = 2.GP I P N G b S S r a b a x S S r - raio da circunferência inscrita. B M C Circuncentro (C). Ortocentro (O). É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo. É o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo. A Propriedade. Propriedade. O circuncentro é o centro da circunferência circuns- Não tem. crita (externa) ao triângulo. O circuncentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 A hA vértices do triângulo. hB mediatriz hA O hC C B A B h ponto médio B C C hC hA R hB O O hC R - raio da circunferência ortocentro B C circunscrita. Jeca 17
  • 19. Observações. 3) Num triângulo isósceles, os quatro 4) No triângulo retângulo, o ortocen- ponto notáveis (BICO: baricentro, in- tro é o vértice do ângulo reto e o cir- 1) O baricentro e o incentro sempre centro, circuncentro e ortocentro) es- cuncentro é o ponto médio da hipo- estão localizados no interior do tão alinhados. tenusa. mediana triângulo. mediatriz ortocentro bissetriz circuncentro 2) O circuncentro e o ortocentro altura podem estar localizados no exterior mediatriz do triângulo. C mediana G R C R bissetriz I hipotenusa O altura Triângulo eqüilátero. (importante) Em todo triângulo eqüilátero, os r R quatro pontos notáveis (baricentro, R = 2r incentro, circuncentro e ortocentro) l r l h e estão localizados num único ponto. BICO h = 3r r r l - lado do triângulo eqüilátero. r - raio da circunferência inscrita. R - raio da circunferência circunscrita. l h - altura do triângulo. 01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar : a) a altura do triângulo. R b) o raio da circunferência inscrita no triângulo. l l h c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. O d) o que o ponto O é do triângulo. r l 02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está 03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOC mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, deter- mede 126º , encontre a medida do ângulo BAC. mine a medida do ângulo AOC. A A O O B C B C Jeca 18
  • 20. 04) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do triângulo. A I C B 05) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar : a) o raio da circunferência inscrita no triângulo. b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. c) o lado do triângulo. R l l h r l 06) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos 07) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC. médios dos lados do triângulo ABC. Se AB = 2x, Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n, ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58º determine o perímetro do triângulo BDG, em função de e 70º. x, y, z, w, k e n. A A E F E F D B G C B C D Jeca 19
  • 21. 08) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo 09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em mapa da localização faz menção a três grandes árvores função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de AE. um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o C segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é possível localizar o tesouro no local ? Sibipiruna Peroba E Jatobá A D B 2 10) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . 11) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine: a) a área do triângulo ABC; A b) a área do triângulo AFG; c) a área do quadrilátero BCAG. F A G B D C F E E G ( ) G é o baricentro do triângulo ABC. 2 ( ) A área do triângulo AEC é 40 cm . B C 2 D ( ) A área do triângulo BFG é 40 cm . 12) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas 13) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na casas, sendo que as casa não são colineares e estão praça central, uma estátua em homenagem a Tiraden- localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um tes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa poço de modo que ele fique à mesma distância das estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com ficar a uma mesma distância das três ruas que seus conhecimentos de geometria, que sugestão determinam a praça. poderia das a eles ? Justifique o seu raciocínio. 1 Rua a3 Ru Ru a2 Jeca 20
  • 22. Respostas desta aula. 01) 04) a) (5 3 / 2) cm b) (5 3 / 6) cm c) (5 3 / 3) cm A d) Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro. 02) 118º 03) 72º G C I 04) Desenho ao lado. O 05) a) 1 cm B C b) 2 cm c) 2 3 cm 06) 2k + w + z 07) 128º 08) 2k / 3 , k / 3 e 2k / 3 09) Sibipiruna 09) Desenho ao lado. Peroba 10) F , V e F O 11) 2 Jatobá a) 42 cm 2 b) 7 cm 2 c) 28 cm tesouro 12) O poço deve localizar-se no circuncentro do triângulo cujos vértices são as três casas. 13) A estátua deve ser colocada no incentro do triângulo formado pelas três ruas. Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 21
  • 23. Geometria plana Pontos notáveis de um triângulo. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca Exercícios complementares da aula 02. (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) 01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar : a) a altura do triângulo; R b) o raio da circunferência inscrita no triângulo; k k h c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo; O d) o que o ponto O é do triângulo. r k 02) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita de um triângulo eqüilátero mede 5 cm, determinar : R a) o raio da circunferência inscrita no triângulo; b) a altura do triângulo; l l h O c) o lado do triângulo; r d) o perímetro do triângulo; e) o que o ponto O é do triângulo. l 03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três 04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, divi- centro O consideram-se, como na figura, os triângulos dem o ângulo ACB em três ângulos congruentes. equiláteros T1, inscrito, e T2, circunscrito. Determine Assinale a alternativa correta. a razão entre a altura de T2 e a altura de T1. A D T2 P E S R Q T1 C B G F O R a) P é incentro de algum triângulo construído na figura. b) Q é incentro de algum triângulo construído na figura. c) R é incentro de algum triângulo construído na figura. d) S é incentro de algum triângulo construído na figura. e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira. Jeca 22
  • 24. 05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios 06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfe- dos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo a do triângulo ABC e que BG = 2.GN. BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do A triângulo ADE. A M N G I D E B P C B C 07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o 08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, os ponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM. mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC. A C D E B A D B M C RESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semi-circunferência. 09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º. 10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do la- Determine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determine ponto O é o ortocentro do triângulo ABC. a medida do ângulo BFC. A A 40º O D E F B C B C 11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência 12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40º inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a me- e B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas dida do ângulo ADC. alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ? a) 30º A b) 45º c) 60º d) 90º e) 120º D B C Jeca 23
  • 25. 13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a 14) No triângulo ABC da figura abaixo, as medianas afirmativa falsa. A AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB. E A D F E B C a) F é o ortocentro do DABC. b) A é o ortocentro do DFBC. B D C c) Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem. d) BF = 2.FE. e) O DABC é acutângulo. 15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo 16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do 70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores triângulo. A circulares S1, S2 e S3, em função de S. B 0º 110º 12 S3 S1 D 130º S2 B C A C 17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no 18) Na figura, a circunferência de centro O está triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncen- inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e tro do triângulo. ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circun- A ferência. B O 13 A 0º 0º 12 D 110º B C C 19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os 20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P for triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo do segmento AD. ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a razão entre x e y. A A A D B C P P B C B C Jeca 24
  • 26. 21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé- 22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º e dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine a a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm. razão AC / BC. A A M D P B D C B C 23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos 24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendo e AR = 10 cm, determinar : m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos a, a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o triângulo ABC. ângulo ACB. b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R. A c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR. q A O g M N b a R B C B P C 25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encon- 26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de um tram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto pontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o médio do segmento de reta AB e é perpendicular a triângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o esse segmento. Assinale a alternativa incorreta. que é a reta FD. A a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto B. b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um F E triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângu- lo. D c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à reta r não equidista dos extremos do segmento AB. d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem B C G se interceptar em três pontos distintos. e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta AB em a. Jeca 25
  • 27. Respostas desta aula. 01) 17) 55º, 65º e 60º a) k 3 / 2 b) k 3 / 6 18) 5 cm c) k 3 / 3 d) BICO 19) 6 cm 02) 20) 23 / 26 a) (5 / 2) cm b) (15 / 2) cm 21) 4 cm c) 5 3 cm d) 15 3 cm 22) 1 / 2 e) BICO 23) 03) d a) medianas b) baricentro 04) 2 c) 14 cm, 12 cm e 5 cm 05) 24) 15º, 45º, 120º, 30º e bissetriz A S é ponto médio de BG R é ponto médio de CG 25) circuncentro e mediatriz MNRS é um paralelogramo Portando, SG = GN = BS 26) d M N Razão 2 : 1 G S R B P C 06) 19 cm 07) 10 cm 08) 130º 09) 110º 10) 105º 11) 135º 12) d 13) d 14) 2 5 15) 23 S / 72 16) 80º, 40º e 60º Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 26
  • 28. Geometria plana Aula 03 Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca Congruência de triângulos. (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) A D Dois triângulos são congruentes se têm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ângu- los dois a dois ordenadamente congruentes. A D B E DABC DDEF C F AB DE B C E F AC DF BC EF Casos de congruência. Caso especial (CE). Observação. 1) L.A.L. Dois triângulos retângulos são A posição de cada elemento do 2) A.L.A. congruentes se têm as hipotenusas triângulo (lado ou ângulo) no dese- 3)L.L.L. congruentes e um cateto de um nho é muito importante na caracteri- 4) L.A.AO triângulo é congruente a um cateto zação do caso de congruência. 5) Caso especial (CE) do outro triângulo L.A.L. - dois lados e o ângulo entre Onde: eles. L - lado. A.L.A. - dois ângulos e o lado entre A - ângulo junto ao lado. eles. AO - ângulo oposto ao lado. 01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes. A B D C 02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângu- lo ABC. Prove que os ângulos ABD e CBD são congruentes. A B D C 03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmen- tos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes. A B D C Jeca 27
  • 29. 04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD é perpendicular à corda AB, então E é ponto médio de AB. C A E D B 05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e mediatriz. A B H C 06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio, provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento. P A B M mediatriz 07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine os pontos A pertencente a r e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do segmento AB. r M P O s Jeca 28
  • 30. 08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE são 09) (UFMG) Observe a figura: congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é r isósceles de base BC, prove que os segmentos AB e DC são congruentes. A A D P B E q O R s B C C Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpen- diculares, respectivamente, às retas r e s. Além disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ângulo POR é q. Determine, em função de q, a medida do ângulo interno AOC do quadrilátero AOCB. 10) Na figura, ABCD é um paralelogramo e os 11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH está inscrito segmentos AE e CF são congruentes. Prove que os no quadrado ABCD. Prove que os triângulos AEH, segmentos DE e FB são congruentes e paralelos BFE, CGF e GDH são congruentes entre si. entre si. A E B A E B F H D C F D G C 12) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os 13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e segmentos AE e CF são perpendiculares ao BD são as diagonais, então o ponto de intersecção das segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF diagonais é o ponto médio da diagonal AC. são congruentes entre si. A B A B F E E D C D C Jeca 29