SlideShare uma empresa Scribd logo
GEOMETRIA ANALÍTICA




       Alfredo Coelho




        Itabuna BA 2011
INTRODUÇÃO:
A Geometria Analítica é uma vertente da Matemática que, no
uso de processos próprios, procura estabelecer relações
entre a Geometria e a Álgebra. Pela Geometria Analítica
podemos estudar as propriedades de elementos como uma
reta, uma circunferência, uma elipse ou outra figura
geométrica qualquer, criando expressões e fórmulas que os
posicione no plano ou mesmo no espaço, através de
métodos algébricos e outros recursos da matemática.
Foi com René Descartes (1596 - 1650), filósofo e
matemático, francês que, por volta do século XVII,
começaram os primeiros estudos dessa área da Matemática,
quando ele inventou as coordenadas cartesianas
determinadas por infinitas retas perpendiculares entre si. Essas infinitas retas geram uma malha
sobre um plano chamado de PLANO CARTESIANO que tem por base os eixos coordenados x0y,
onde: “x0” (x zero), eixo das ABSCISSAS, posiciona-se na horizontal e “0y” (zero y), eixo das
ORDENADAS, se posiciona na vertical do Plano Cartesiano, dividindo-o em quatro partes iguais
denominadas de QUADRANTES.

COORDENADAS CARTESIANAS:
Tomando-se uma reta perpendicular ao eixo 0X,
consequentemente paralela ao eixo 0Y, passando pela
abscissa determinada por xP, e outra reta perpendicular a 0Y,
consequentemente paralela ao eixo 0X, passando pelo ponto
de ordenada yP, a intersecção entre essa duas retas,
perpendiculares entre si, determina o ponto P(xP,yP), de
abscissa xP e ordenada yP.

Genericamente um ponto no plano é representado por suas
coordenadas: abscissa x e ordenada y, ou seja, P(x, y).

Dependendo do quadrante em que se encontram as coordenadas x e y podem ser positivas ou
negativas, conforme a figura exibida na introdução:

        I Quadrante          ; II Quadrante         ; III Quadrante        , IV Quadrante
OBSERVAÇÃO:
Se um ponto está localizado sobre um eixo, este ponto não pertence a nenhum quadrante. Se estiver:
   • Sobre o eixo dos               , o ponto pertence ao semieixo positivos dos “x” se localizado à direita
       do eixo dos “y” e ao semieixo negativo dos “x” se estiver localizado à esquerda do eixo dos “y”.
   • Sobre o eixo dos                , o ponto pertence ao semieixo positivos dos “y” se localizado acima
       do eixo dos “x” e ao semieixo negativo dos “y” se estiver localizado abaixo do eixo dos “x”.

MEDIDA ALGÉBRICA DA ABSCISSA OU ORDENADA:

A medida de um segmento é a distância entre as duas extremidades do segmento. Se sobre
gráfico da figura anterior tomarmos como sendo a medida do segmento                 temos         de
onde             ou seja         . Neste caso dizemos que é a medida algébrica da abscissa do
ponto P, positiva se P estiver à direita do eixo dos “y” e negativa se P estiver à esquerda. No caso
das ordenadas o raciocínio é o análogo, é a medida algébrica da ordenada do ponto P, positiva
se P estiver acima do eixo dos “x” e negativa se P estiver abaixo.
                                                                                                          2
MEDIDA ALGÉBRICA DE UM SEGMENTO:

Dado o segmento de extremos                   e         , temos os
segmentos algébricos         sobre o eixo das abscissas e o outro
segmento        no eixo das ordenadas, tais que:                  e
                .Como se trata de segmentos algébricos podem
ser positivos ou negativos, dependendo do valor numérico de
cada coordenada.
As medidas algébricas de qualquer segmento são tomadas sobre
o eixo relativo se for abscissa: eixo dos “x” se ordenadas eixo dos
“y”.

DISTÂNCIAENTRE DOIS PONTOS NO PLANO
Tomando-se dois pontos sobre o plano cartesiano, como
mostra a figura, considerando-se a abscissa     e a ordenada
    forma-se um triângulo retângulo de catetos a e b e
hipotenusa h, onde a é igual à medida algébrica         ,bé
igual à medida algébrica              e h é igual a        ),
distância do ponto A ao ponto B.
Pelo teorema de Pitágoras: h² = a²+ b².
Substituindo estes valores pelos valores anteriormente
encontrados temos:                                          ,
extraindo a raiz quadrada em ambos os membros vem:




Que é a expressão que calcula a distância entre dois pontos no plano.
RAZÃO DE SECÇÃO DE UM PONTO NUM SEGMENTO:
Tomados três pontos alinhados e não coincidentes A, C e B, nesta
ordem: definimos razão de secção do ponto C no segmento AB
como sendo a razão entre o primeiro segmento formado,        eo
segundo segmento . Sendo a razão de secção do ponto C,
podemos concluir que:




COORDENADAS DO PONTO DIVISOR:

Calculando a abscissa do ponto:
Sendo               pela propriedade fundamental das proporções temos:

Concluindo temos:                 , de modo análogo encontramos                que são as coordenadas
do ponto divisor do segmento AB, se        .


PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO:

O ponto médio M(xM,yM) é o ponto que divide o segmento AB em dois segmentos iguais, tais que
como AM é igual MB concluímos       .
                                                                                                   3
Deste modo podemos fazer:                                            e                                          que
são as coordenadas do ponto M.


EXERCÍCIOS:
   1. Um ponto no plano cartesiano fica determinado por suas ________________ a ____________( ) e
       a _______________( ).
   2. Use uma folha de papel milimetrado, quadriculado ou mesmo marque as quadrículas na folha de
       seu caderno e, em seguida, determine os eixos coordenados 0x e 0y e marque sobre ele os pontos
       (use cada quadricula 0,5 cm, como sendo uma unidade):
                                 c.                       e.                       g.
       b.
       a.
                                 d.                       f.                       h.
   3. Identifique o quadrante de cada um dos pontos da questão anterior.
   4. Determine o ponto P(x, y) sabendo que:                              e identifique o quadrando a que ele
      pertence.
   5. Calcule as medidas algébricas dos segmentos determinados pelos pontos: (observação: não precisa
      expressar a unidade de grandeza, pois é um número algébrico)
      a.         e                         c.      e                     e.          e
      b.            e                      d.        e                   f.           e
   6. Calcule a distância entre os pontos:
      a.            e                                    c.        e
      b.         e                                       d.          e
   7. Determine o valor de para que a distância entre os pontos               seja igual a     .
   8.  Determine o valor de para que a distância entre os pontos             e         seja igual a      .
   9.  Calcule o valor , tal que a distância entre os pontos             e        seja igual a       .
   10. Calcule a distância entre os pontos          e         .
   11. Dados os pontos           ,          e          calcule a razão de secção do ponto em relação ao
       segmento       .
   12. Calcule a razão de secção dos pontos ,         , e em relação ao segmento          na figura dada ao
       lado, considerando u igual a uma
       unidade de comprimento:

   13. Calcule a razão de secção dos pontos ,     , , e em relação ao segmento        na figura dada
       ao lado, tal v seja igual a uma unidade
       de comprimento.
   14. Dados os pontos          ,       e      calcule as coordenadas do ponto C sabendo que a razão

         de secção do ponto C em relação ao segmento AB é igual a          .
   15. Dados os pontos                     e      calcule as coordenadas do ponto médio M.
   16. Dados os pontos                 e       calcule o valor de e de , sabendo que o ponto médio do
       segmento AB é               .
   NOTA: Com relação à razão de secção de um ponto, pelos exercícios 12 e 13 verificamos que se o ponto estiver à
   esquerda do ponto médio do segmento a razão de secção é fracionária, se estiver à direita do ponto médio é inteira;
   se estiver entre os extremos do segmento a razão de secção é positiva e crescente para a direita. Se o ponto estiver
   antes do extremo esquerdo à razão de secção é negativa e crescente para a esquerda, se estiver após o extremo
   direito a razão de secção é negativa e crescente para a direita.
                                                                                                                      4
ESTUDO DA RETA
ALINHAMENTO ENTRE TRÊS PONTOS:
Três pontos estão alinhados se forem colineares, caso contrário eles
determinam um triângulo. Considerando os pontos A, B e C da figura,
alinhados e os dois pontos D e E formando dois triângulos retângulos
semelhantes,            e, pela teoria da semelhança entre triângulos
retângulos, temos:


                                                            de onde:
                                                                vem
                                                  que é a mesma expressão encontrada no cálculo do

determinante:                  . Logo, para determinar se três pontos estão ou não alinhados podemos


usar a proporção:                    ou o determinante


EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA GERAL:
Dois pontos A e B qualquer, determinam uma única reta, mas se um
terceiro ponto P(x, y) pertence a esta reta, então A, B e P são colineares,
deste modo a equação pode ser determinada com o uso de:


                       ou o do determinante

De onde temos:
                                              Ou seja:
Fazendo                  ,              e
Temos



Que é a equação geral da reta que passa pelos pontos A e B.

COEFICIENTE ANGULAR DA RETA:
O coeficiente angular de uma reta é o parâmetro “m” que mede a
inclinação de uma reta em relação ao eixo das abscissas. Pela figura
vemos que a inclinação da reta fica evidenciada pela inclinação
determinada pelo ângulo θ e, da trigonometria vimos que a tangente do
ângulo é quem mede o valor desta inclinação como tangente de um
ângulo no triângulo retângulo é dada pala relação:

                         Temos, no nosso triângulo,

Como             implica             , sendo                 e                podemos concluir que o
coeficiente angular:
                                                         .


                                                                                                     5
EQUAÇÃO DE RETA CONHECENDO-SE UM PONTO E SEU COEFICIENTE ANGULAR:
Seja o ponto              e o coeficiente angular      para um ponto genérico          , da proporção
                 , vem:                                , como            chegamos a:




EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA REDUZIDA:
Verificando o valor   na equação da reta em sua forma geral temos:
                                         . Como            fazendo          vem:



O m é o coeficiente angular e q o coeficiente linear. Já foi visto que o coeficiente angular mede a
inclinação da reta em relação ao eixo das abscissas e o coeficiente linear determina o ponto    em
que a reta intercepta o eixo das ordenadas.
EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA SEGMENTÁRIA:
Se considerarmos uma reta que intercepta os eixo coordenados              no
pontos       e      a equação da reta é dada pelo determinante:




Dividindo ambos os membros por        , encontramos:




Que é a equação de uma reta na forma segmentária.
EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA PARAMÉTRICA:

Uma equação pode ser apresentada segundo um parâmetro qualquer , de forma que:                 onde
é o parâmetro dado.
Encontrando o valor de t em uma das equações e substituindo na outra, encontramos a equação da
reta na forma geral.

EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA NORMAL:
A reta        que
passa por P(x, y)
é    perpendicular
ao segmento de
reta OP. Pela
trigonometria
temos
e             Como é perpendicular a       seu coeficiente angular é igual a cotangente de . Aplicando
a equação que passa por um ponto                                       de onde vem:
                                                              pondo      em evidência vem
                               como                      , temos:
                                               Equação na forma normal da reta.
                                                                                                      6
EXERCÍCIOS:
   1. Verifique se os pontos estão alinhados, isto é, são colineares:
       a.   2, 1), (−2, −7) e (5, 7)                          c. (−3, 2), (0, 5) e (3, 8)
       b. (2, 7), (6, 5) e (4, 3)                             d. (3, 5), (−2, 4) e (1, 1)
   2. Determine o valor de k para que os pontos dados estejam alinhados:
       a. (2, 8), ( , −1) e (1, 5)                            c. ( , 1), (−1, −3) e (5, )
       b. (−3, 4), (0, ) e (2, 9)                             d. ( , 0), (3, ) e (−1, −6)
   3. Dados os pontos, determine a equação, na forma geral, da reta que os contém:
       a. (2, 1) e (−2, −7)                                   c. (3, 2) e (−1, 5)
       b. (2, 5) e (3, 1)                                     d. (−3, 2) e (2, −5)
   4. Dadas as retas, determine o coeficiente angular e o coeficiente linear de cada uma delas:
       a. 3 + − 1 = 0                                         c. 5 − 5 − 15 = 0
       b. 2 − 3 + 7 = 0                                       d. 3 − 5 = 0
   5. Determine a equação reduzida da reta que passa pelo ponto dado conhecendo-se o coeficiente
       angular:
       a. (3, 5)      = −2                                    c. (−3, 1)      =
         b.   (2, −1)       =−                           d. (−4, −5)       =2
   6. Dada a reta na forma geral determine sua equação na forma reduzida:
      a. 2 + − 4 = 0                    c. 5 − 2 + 13 = 0
      b. 3 − 4 + 9 = 0                  d. 2 + 3 − 7 = 0
   7. Encontre a equação, na forma segmentária, da reta que passa pelos pontos:
      a. (0, 5) e (2, 0)                c. (0, −2) e (5, 0)
      b. (0, 7) e (3, 0)
                                        d. (0, ) e (5, 0)
   8. Converta a reta da forma segmentária para a forma geral:

         a. + = 1                        c.        +       =1
         b.     + =1                     d.        + =1
   9. Encontre a forma geral das retas, dadas as suas formas paramétricas:
                   =2                                       =
         a. :                                      :
                  = +1                        c.           =
                  =3 −2
         b. :                                              = +1
                  =2 +1                       d. :
                                                           =3 −2
   10. Encontre a equação da reta na forma normal, dados        e :
                         =5                                    =6
                  :                                    :
                        = 30°
         a.
                                                           =
                                         c.
                         = 10
                  :                                            =6
                        =                              :
         b.
                                                           =
                                         d.

   11.   Passe as equações anteriores para a forma geral:
   12.   Determine a intersecção entre as retas : 2 + − 4 = 0 e : 3 − 4 + 9 = 0
   13.   Determine os pontos em que a reta : 2 − 3 + 7 = 0 intercepta os eixos coordenados
   14.   Determine a intersecção entre as retas : 3 − − 2 = 0 e : 5 − 2 − 3 = 0
                                                                                                   7
RESPOSTAS DA LISTA ANTERIOR:
    1. Coordenadas, abscissa ( ) e ordenada ( )
    2.




    3.    – Semieixo positivo das abscissas                      – Semieixo negativo das abscissas
          – IV quadrante                                         – III quadrante
          – Semieixo positivo das ordenadas                      – I quadrante
          – II quadrante                                         – Semieixo negativo das ordenadas
    4.          IV quadrante
    5.
            a.                                     c.                                e.

            b.                                     d.                                f.
    6.
            a.                               b.                    c.                         d.
    7.
    8.
    9.
    10.
    11.                  e
    12.          ,           ,       ,             e

    13.              ,           ,       ,         ,        e
    14.                                      15.                             16.

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS:
Dadas duas retas                      e                      elas só podem ocupara três posições
relativas entre si: CONCORRENTES, PARALELAS ou COINCIDENTES.
                                                     Quando concorrentes têm um ponto comum às
                                                     duas retas.
                                                            Se são paralelas, não tem nenhum ponto comum
                                                            às duas retas.
                                                             Se são coincidentes todos os pontos pertencem às
duas retas, trata-se de uma mesma reta, que se orientadas, têm sentidos opostos.

                                                                                                            8

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Impressões e ideias
Impressões e ideiasImpressões e ideias
Impressões e ideias
Luis De Sousa Rodrigues
 
Teoria racionalista de Descartes
Teoria racionalista de DescartesTeoria racionalista de Descartes
Teoria racionalista de Descartes
Elisabete Silva
 
David hume e o Empirismo
David hume e o EmpirismoDavid hume e o Empirismo
David hume e o Empirismo
Joana Filipa Rodrigues
 
Cap iv repreensões geral
Cap iv repreensões geralCap iv repreensões geral
Cap iv repreensões geral
Helena Coutinho
 
F.pessoa heterónimo teste aval. sumativa
F.pessoa heterónimo   teste aval. sumativaF.pessoa heterónimo   teste aval. sumativa
F.pessoa heterónimo teste aval. sumativa
Paulinho Gonçalves
 
Sermão de santo antónio aos peixes
Sermão de santo antónio aos peixesSermão de santo antónio aos peixes
Sermão de santo antónio aos peixes
AnaGomes40
 
Sermão de Santo António aos Peixes
Sermão de Santo António aos PeixesSermão de Santo António aos Peixes
Sermão de Santo António aos Peixes
Daniel Sousa
 
Sermão aos peixes resumo-esquema por capítulos
Sermão aos peixes   resumo-esquema por capítulosSermão aos peixes   resumo-esquema por capítulos
Sermão aos peixes resumo-esquema por capítulos
ClaudiaSacres
 
Formas de inferência válidas
Formas de inferência válidasFormas de inferência válidas
Formas de inferência válidas
Helena Serrão
 
Capítulo II Sermão de Santo António aos Peixes Padre António Vieira
Capítulo II Sermão de Santo António aos Peixes Padre António VieiraCapítulo II Sermão de Santo António aos Peixes Padre António Vieira
Capítulo II Sermão de Santo António aos Peixes Padre António Vieira
Alexandra Madail
 
Principais Temáticas de Alberto Caeiro
Principais Temáticas de Alberto CaeiroPrincipais Temáticas de Alberto Caeiro
Principais Temáticas de Alberto Caeiro
Dina Baptista
 
Tipos de argumentos indutivos
Tipos de argumentos indutivosTipos de argumentos indutivos
Tipos de argumentos indutivos
Luis De Sousa Rodrigues
 
Conhecimento Científico - Popper
Conhecimento Científico - PopperConhecimento Científico - Popper
Conhecimento Científico - Popper
Jorge Barbosa
 
A representação na amada na lírica de Camões
A representação na amada na lírica de CamõesA representação na amada na lírica de Camões
A representação na amada na lírica de Camões
Cristina Martins
 
Crítica ao argumento ontológico
Crítica ao argumento ontológicoCrítica ao argumento ontológico
Crítica ao argumento ontológico
Universidade Católica Portuguesa
 
Esquema rimatico e versos
Esquema rimatico e versosEsquema rimatico e versos
Esquema rimatico e versos
domplex123
 
Modalidade do verbo
Modalidade do verboModalidade do verbo
Modalidade do verbo
Ana Martins
 
Filosofia 10º Ano - O Problema do Livre-Arbítrio
Filosofia 10º Ano - O Problema do Livre-Arbítrio Filosofia 10º Ano - O Problema do Livre-Arbítrio
Filosofia 10º Ano - O Problema do Livre-Arbítrio
InesTeixeiraDuarte
 
Teste poesia trovadoresca 10 ano
Teste poesia trovadoresca 10 anoTeste poesia trovadoresca 10 ano
Teste poesia trovadoresca 10 ano
Ronaldo Figo
 
Processos fonologicos
Processos fonologicosProcessos fonologicos
Processos fonologicos
ameliapadrao
 

Mais procurados (20)

Impressões e ideias
Impressões e ideiasImpressões e ideias
Impressões e ideias
 
Teoria racionalista de Descartes
Teoria racionalista de DescartesTeoria racionalista de Descartes
Teoria racionalista de Descartes
 
David hume e o Empirismo
David hume e o EmpirismoDavid hume e o Empirismo
David hume e o Empirismo
 
Cap iv repreensões geral
Cap iv repreensões geralCap iv repreensões geral
Cap iv repreensões geral
 
F.pessoa heterónimo teste aval. sumativa
F.pessoa heterónimo   teste aval. sumativaF.pessoa heterónimo   teste aval. sumativa
F.pessoa heterónimo teste aval. sumativa
 
Sermão de santo antónio aos peixes
Sermão de santo antónio aos peixesSermão de santo antónio aos peixes
Sermão de santo antónio aos peixes
 
Sermão de Santo António aos Peixes
Sermão de Santo António aos PeixesSermão de Santo António aos Peixes
Sermão de Santo António aos Peixes
 
Sermão aos peixes resumo-esquema por capítulos
Sermão aos peixes   resumo-esquema por capítulosSermão aos peixes   resumo-esquema por capítulos
Sermão aos peixes resumo-esquema por capítulos
 
Formas de inferência válidas
Formas de inferência válidasFormas de inferência válidas
Formas de inferência válidas
 
Capítulo II Sermão de Santo António aos Peixes Padre António Vieira
Capítulo II Sermão de Santo António aos Peixes Padre António VieiraCapítulo II Sermão de Santo António aos Peixes Padre António Vieira
Capítulo II Sermão de Santo António aos Peixes Padre António Vieira
 
Principais Temáticas de Alberto Caeiro
Principais Temáticas de Alberto CaeiroPrincipais Temáticas de Alberto Caeiro
Principais Temáticas de Alberto Caeiro
 
Tipos de argumentos indutivos
Tipos de argumentos indutivosTipos de argumentos indutivos
Tipos de argumentos indutivos
 
Conhecimento Científico - Popper
Conhecimento Científico - PopperConhecimento Científico - Popper
Conhecimento Científico - Popper
 
A representação na amada na lírica de Camões
A representação na amada na lírica de CamõesA representação na amada na lírica de Camões
A representação na amada na lírica de Camões
 
Crítica ao argumento ontológico
Crítica ao argumento ontológicoCrítica ao argumento ontológico
Crítica ao argumento ontológico
 
Esquema rimatico e versos
Esquema rimatico e versosEsquema rimatico e versos
Esquema rimatico e versos
 
Modalidade do verbo
Modalidade do verboModalidade do verbo
Modalidade do verbo
 
Filosofia 10º Ano - O Problema do Livre-Arbítrio
Filosofia 10º Ano - O Problema do Livre-Arbítrio Filosofia 10º Ano - O Problema do Livre-Arbítrio
Filosofia 10º Ano - O Problema do Livre-Arbítrio
 
Teste poesia trovadoresca 10 ano
Teste poesia trovadoresca 10 anoTeste poesia trovadoresca 10 ano
Teste poesia trovadoresca 10 ano
 
Processos fonologicos
Processos fonologicosProcessos fonologicos
Processos fonologicos
 

Semelhante a Geoanalitica atualização1

Apostilageometriaanalticaplana 2ed-130825062334-phpapp01
Apostilageometriaanalticaplana 2ed-130825062334-phpapp01Apostilageometriaanalticaplana 2ed-130825062334-phpapp01
Apostilageometriaanalticaplana 2ed-130825062334-phpapp01
Carlos Andrade
 
Apostila geometria analítica plana 2º ed.
Apostila geometria analítica plana   2º ed.Apostila geometria analítica plana   2º ed.
Apostila geometria analítica plana 2º ed.
day ....
 
Lista de exercícios geometria analítica (ponto)
Lista de exercícios   geometria analítica (ponto)Lista de exercícios   geometria analítica (ponto)
Lista de exercícios geometria analítica (ponto)
Renato Barbosa
 
Semelhança e Distancia
Semelhança e DistanciaSemelhança e Distancia
Semelhança e Distancia
Kelly Lima
 
Slide de matemática Geometria analítica
Slide de matemática Geometria analítica Slide de matemática Geometria analítica
Slide de matemática Geometria analítica
DAIANEMARQUESDASILVA1
 
Geometria Analítica I (AP 01)
Geometria Analítica I (AP 01)Geometria Analítica I (AP 01)
Geometria Analítica I (AP 01)
Secretaria de Estado de Educação do Pará
 
Geometria analítica
Geometria analíticaGeometria analítica
Geometria analítica
Kaline Andreza
 
Geometria analítica
Geometria analíticaGeometria analítica
Geometria analítica
Kaline Andreza
 
Geometria Analítica no Plano: Teoria e Exemplos de Aplicação.
Geometria Analítica no Plano: Teoria e Exemplos de Aplicação.Geometria Analítica no Plano: Teoria e Exemplos de Aplicação.
Geometria Analítica no Plano: Teoria e Exemplos de Aplicação.
numerosnamente
 
Geometria analítica
Geometria analíticaGeometria analítica
Geometria analítica
RobertomonteiroBarata
 
Ef constucoes geometricas
Ef constucoes geometricasEf constucoes geometricas
Ef constucoes geometricas
Uclatandariel Uclatandariel
 
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptxangulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
alessandraoliveira324
 
Trabalho2
Trabalho2Trabalho2
Ceesvo (ensino fundamental) apostila 5
Ceesvo (ensino fundamental)   apostila 5Ceesvo (ensino fundamental)   apostila 5
Ceesvo (ensino fundamental) apostila 5
Nome Sobrenome
 
Apostila resumao geometria
Apostila resumao geometriaApostila resumao geometria
Geometria analitica aula01-plano-cartesiano-e-distancia-entre-dois-pontos
Geometria analitica aula01-plano-cartesiano-e-distancia-entre-dois-pontosGeometria analitica aula01-plano-cartesiano-e-distancia-entre-dois-pontos
Geometria analitica aula01-plano-cartesiano-e-distancia-entre-dois-pontos
Patrício Souza
 
Transformacoes geometricas.
Transformacoes geometricas.Transformacoes geometricas.
Transformacoes geometricas.
joao feniasse
 
Geometria Analítica - Distância entre dois pontos
Geometria Analítica - Distância entre dois pontosGeometria Analítica - Distância entre dois pontos
Geometria Analítica - Distância entre dois pontos
Mario Jorge
 
Lei dos-senos-e-lei-dos-cossenos-aula-07
Lei dos-senos-e-lei-dos-cossenos-aula-07Lei dos-senos-e-lei-dos-cossenos-aula-07
Lei dos-senos-e-lei-dos-cossenos-aula-07
André Luís Nogueira
 
Trabalho Individual.
Trabalho Individual.Trabalho Individual.
Trabalho Individual.
Eliana de Lourdes Vargas Godinho
 

Semelhante a Geoanalitica atualização1 (20)

Apostilageometriaanalticaplana 2ed-130825062334-phpapp01
Apostilageometriaanalticaplana 2ed-130825062334-phpapp01Apostilageometriaanalticaplana 2ed-130825062334-phpapp01
Apostilageometriaanalticaplana 2ed-130825062334-phpapp01
 
Apostila geometria analítica plana 2º ed.
Apostila geometria analítica plana   2º ed.Apostila geometria analítica plana   2º ed.
Apostila geometria analítica plana 2º ed.
 
Lista de exercícios geometria analítica (ponto)
Lista de exercícios   geometria analítica (ponto)Lista de exercícios   geometria analítica (ponto)
Lista de exercícios geometria analítica (ponto)
 
Semelhança e Distancia
Semelhança e DistanciaSemelhança e Distancia
Semelhança e Distancia
 
Slide de matemática Geometria analítica
Slide de matemática Geometria analítica Slide de matemática Geometria analítica
Slide de matemática Geometria analítica
 
Geometria Analítica I (AP 01)
Geometria Analítica I (AP 01)Geometria Analítica I (AP 01)
Geometria Analítica I (AP 01)
 
Geometria analítica
Geometria analíticaGeometria analítica
Geometria analítica
 
Geometria analítica
Geometria analíticaGeometria analítica
Geometria analítica
 
Geometria Analítica no Plano: Teoria e Exemplos de Aplicação.
Geometria Analítica no Plano: Teoria e Exemplos de Aplicação.Geometria Analítica no Plano: Teoria e Exemplos de Aplicação.
Geometria Analítica no Plano: Teoria e Exemplos de Aplicação.
 
Geometria analítica
Geometria analíticaGeometria analítica
Geometria analítica
 
Ef constucoes geometricas
Ef constucoes geometricasEf constucoes geometricas
Ef constucoes geometricas
 
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptxangulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
 
Trabalho2
Trabalho2Trabalho2
Trabalho2
 
Ceesvo (ensino fundamental) apostila 5
Ceesvo (ensino fundamental)   apostila 5Ceesvo (ensino fundamental)   apostila 5
Ceesvo (ensino fundamental) apostila 5
 
Apostila resumao geometria
Apostila resumao geometriaApostila resumao geometria
Apostila resumao geometria
 
Geometria analitica aula01-plano-cartesiano-e-distancia-entre-dois-pontos
Geometria analitica aula01-plano-cartesiano-e-distancia-entre-dois-pontosGeometria analitica aula01-plano-cartesiano-e-distancia-entre-dois-pontos
Geometria analitica aula01-plano-cartesiano-e-distancia-entre-dois-pontos
 
Transformacoes geometricas.
Transformacoes geometricas.Transformacoes geometricas.
Transformacoes geometricas.
 
Geometria Analítica - Distância entre dois pontos
Geometria Analítica - Distância entre dois pontosGeometria Analítica - Distância entre dois pontos
Geometria Analítica - Distância entre dois pontos
 
Lei dos-senos-e-lei-dos-cossenos-aula-07
Lei dos-senos-e-lei-dos-cossenos-aula-07Lei dos-senos-e-lei-dos-cossenos-aula-07
Lei dos-senos-e-lei-dos-cossenos-aula-07
 
Trabalho Individual.
Trabalho Individual.Trabalho Individual.
Trabalho Individual.
 

Mais de Secretaria da Educação Bahia

Geometria descritivai 2012.2
Geometria descritivai 2012.2Geometria descritivai 2012.2
Geometria descritivai 2012.2
Secretaria da Educação Bahia
 
Proj.ressignificação final
Proj.ressignificação finalProj.ressignificação final
Proj.ressignificação final
Secretaria da Educação Bahia
 
Desenho Geométrico e Técnico
Desenho Geométrico e TécnicoDesenho Geométrico e Técnico
Desenho Geométrico e Técnico
Secretaria da Educação Bahia
 
Projeto Ressignificarr2
Projeto Ressignificarr2Projeto Ressignificarr2
Projeto Ressignificarr2
Secretaria da Educação Bahia
 
Trigonometria 2
Trigonometria  2Trigonometria  2
Trigonometria 1
Trigonometria 1Trigonometria 1
Geradores E Receptores
Geradores E ReceptoresGeradores E Receptores
Geradores E Receptores
Secretaria da Educação Bahia
 
Trigonometra
TrigonometraTrigonometra
Eletrostática
EletrostáticaEletrostática

Mais de Secretaria da Educação Bahia (9)

Geometria descritivai 2012.2
Geometria descritivai 2012.2Geometria descritivai 2012.2
Geometria descritivai 2012.2
 
Proj.ressignificação final
Proj.ressignificação finalProj.ressignificação final
Proj.ressignificação final
 
Desenho Geométrico e Técnico
Desenho Geométrico e TécnicoDesenho Geométrico e Técnico
Desenho Geométrico e Técnico
 
Projeto Ressignificarr2
Projeto Ressignificarr2Projeto Ressignificarr2
Projeto Ressignificarr2
 
Trigonometria 2
Trigonometria  2Trigonometria  2
Trigonometria 2
 
Trigonometria 1
Trigonometria 1Trigonometria 1
Trigonometria 1
 
Geradores E Receptores
Geradores E ReceptoresGeradores E Receptores
Geradores E Receptores
 
Trigonometra
TrigonometraTrigonometra
Trigonometra
 
Eletrostática
EletrostáticaEletrostática
Eletrostática
 

Geoanalitica atualização1

  • 1. GEOMETRIA ANALÍTICA Alfredo Coelho Itabuna BA 2011
  • 2. INTRODUÇÃO: A Geometria Analítica é uma vertente da Matemática que, no uso de processos próprios, procura estabelecer relações entre a Geometria e a Álgebra. Pela Geometria Analítica podemos estudar as propriedades de elementos como uma reta, uma circunferência, uma elipse ou outra figura geométrica qualquer, criando expressões e fórmulas que os posicione no plano ou mesmo no espaço, através de métodos algébricos e outros recursos da matemática. Foi com René Descartes (1596 - 1650), filósofo e matemático, francês que, por volta do século XVII, começaram os primeiros estudos dessa área da Matemática, quando ele inventou as coordenadas cartesianas determinadas por infinitas retas perpendiculares entre si. Essas infinitas retas geram uma malha sobre um plano chamado de PLANO CARTESIANO que tem por base os eixos coordenados x0y, onde: “x0” (x zero), eixo das ABSCISSAS, posiciona-se na horizontal e “0y” (zero y), eixo das ORDENADAS, se posiciona na vertical do Plano Cartesiano, dividindo-o em quatro partes iguais denominadas de QUADRANTES. COORDENADAS CARTESIANAS: Tomando-se uma reta perpendicular ao eixo 0X, consequentemente paralela ao eixo 0Y, passando pela abscissa determinada por xP, e outra reta perpendicular a 0Y, consequentemente paralela ao eixo 0X, passando pelo ponto de ordenada yP, a intersecção entre essa duas retas, perpendiculares entre si, determina o ponto P(xP,yP), de abscissa xP e ordenada yP. Genericamente um ponto no plano é representado por suas coordenadas: abscissa x e ordenada y, ou seja, P(x, y). Dependendo do quadrante em que se encontram as coordenadas x e y podem ser positivas ou negativas, conforme a figura exibida na introdução: I Quadrante ; II Quadrante ; III Quadrante , IV Quadrante OBSERVAÇÃO: Se um ponto está localizado sobre um eixo, este ponto não pertence a nenhum quadrante. Se estiver: • Sobre o eixo dos , o ponto pertence ao semieixo positivos dos “x” se localizado à direita do eixo dos “y” e ao semieixo negativo dos “x” se estiver localizado à esquerda do eixo dos “y”. • Sobre o eixo dos , o ponto pertence ao semieixo positivos dos “y” se localizado acima do eixo dos “x” e ao semieixo negativo dos “y” se estiver localizado abaixo do eixo dos “x”. MEDIDA ALGÉBRICA DA ABSCISSA OU ORDENADA: A medida de um segmento é a distância entre as duas extremidades do segmento. Se sobre gráfico da figura anterior tomarmos como sendo a medida do segmento temos de onde ou seja . Neste caso dizemos que é a medida algébrica da abscissa do ponto P, positiva se P estiver à direita do eixo dos “y” e negativa se P estiver à esquerda. No caso das ordenadas o raciocínio é o análogo, é a medida algébrica da ordenada do ponto P, positiva se P estiver acima do eixo dos “x” e negativa se P estiver abaixo. 2
  • 3. MEDIDA ALGÉBRICA DE UM SEGMENTO: Dado o segmento de extremos e , temos os segmentos algébricos sobre o eixo das abscissas e o outro segmento no eixo das ordenadas, tais que: e .Como se trata de segmentos algébricos podem ser positivos ou negativos, dependendo do valor numérico de cada coordenada. As medidas algébricas de qualquer segmento são tomadas sobre o eixo relativo se for abscissa: eixo dos “x” se ordenadas eixo dos “y”. DISTÂNCIAENTRE DOIS PONTOS NO PLANO Tomando-se dois pontos sobre o plano cartesiano, como mostra a figura, considerando-se a abscissa e a ordenada forma-se um triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa h, onde a é igual à medida algébrica ,bé igual à medida algébrica e h é igual a ), distância do ponto A ao ponto B. Pelo teorema de Pitágoras: h² = a²+ b². Substituindo estes valores pelos valores anteriormente encontrados temos: , extraindo a raiz quadrada em ambos os membros vem: Que é a expressão que calcula a distância entre dois pontos no plano. RAZÃO DE SECÇÃO DE UM PONTO NUM SEGMENTO: Tomados três pontos alinhados e não coincidentes A, C e B, nesta ordem: definimos razão de secção do ponto C no segmento AB como sendo a razão entre o primeiro segmento formado, eo segundo segmento . Sendo a razão de secção do ponto C, podemos concluir que: COORDENADAS DO PONTO DIVISOR: Calculando a abscissa do ponto: Sendo pela propriedade fundamental das proporções temos: Concluindo temos: , de modo análogo encontramos que são as coordenadas do ponto divisor do segmento AB, se . PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO: O ponto médio M(xM,yM) é o ponto que divide o segmento AB em dois segmentos iguais, tais que como AM é igual MB concluímos . 3
  • 4. Deste modo podemos fazer: e que são as coordenadas do ponto M. EXERCÍCIOS: 1. Um ponto no plano cartesiano fica determinado por suas ________________ a ____________( ) e a _______________( ). 2. Use uma folha de papel milimetrado, quadriculado ou mesmo marque as quadrículas na folha de seu caderno e, em seguida, determine os eixos coordenados 0x e 0y e marque sobre ele os pontos (use cada quadricula 0,5 cm, como sendo uma unidade): c. e. g. b. a. d. f. h. 3. Identifique o quadrante de cada um dos pontos da questão anterior. 4. Determine o ponto P(x, y) sabendo que: e identifique o quadrando a que ele pertence. 5. Calcule as medidas algébricas dos segmentos determinados pelos pontos: (observação: não precisa expressar a unidade de grandeza, pois é um número algébrico) a. e c. e e. e b. e d. e f. e 6. Calcule a distância entre os pontos: a. e c. e b. e d. e 7. Determine o valor de para que a distância entre os pontos seja igual a . 8. Determine o valor de para que a distância entre os pontos e seja igual a . 9. Calcule o valor , tal que a distância entre os pontos e seja igual a . 10. Calcule a distância entre os pontos e . 11. Dados os pontos , e calcule a razão de secção do ponto em relação ao segmento . 12. Calcule a razão de secção dos pontos , , e em relação ao segmento na figura dada ao lado, considerando u igual a uma unidade de comprimento: 13. Calcule a razão de secção dos pontos , , , e em relação ao segmento na figura dada ao lado, tal v seja igual a uma unidade de comprimento. 14. Dados os pontos , e calcule as coordenadas do ponto C sabendo que a razão de secção do ponto C em relação ao segmento AB é igual a . 15. Dados os pontos e calcule as coordenadas do ponto médio M. 16. Dados os pontos e calcule o valor de e de , sabendo que o ponto médio do segmento AB é . NOTA: Com relação à razão de secção de um ponto, pelos exercícios 12 e 13 verificamos que se o ponto estiver à esquerda do ponto médio do segmento a razão de secção é fracionária, se estiver à direita do ponto médio é inteira; se estiver entre os extremos do segmento a razão de secção é positiva e crescente para a direita. Se o ponto estiver antes do extremo esquerdo à razão de secção é negativa e crescente para a esquerda, se estiver após o extremo direito a razão de secção é negativa e crescente para a direita. 4
  • 5. ESTUDO DA RETA ALINHAMENTO ENTRE TRÊS PONTOS: Três pontos estão alinhados se forem colineares, caso contrário eles determinam um triângulo. Considerando os pontos A, B e C da figura, alinhados e os dois pontos D e E formando dois triângulos retângulos semelhantes, e, pela teoria da semelhança entre triângulos retângulos, temos: de onde: vem que é a mesma expressão encontrada no cálculo do determinante: . Logo, para determinar se três pontos estão ou não alinhados podemos usar a proporção: ou o determinante EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA GERAL: Dois pontos A e B qualquer, determinam uma única reta, mas se um terceiro ponto P(x, y) pertence a esta reta, então A, B e P são colineares, deste modo a equação pode ser determinada com o uso de: ou o do determinante De onde temos: Ou seja: Fazendo , e Temos Que é a equação geral da reta que passa pelos pontos A e B. COEFICIENTE ANGULAR DA RETA: O coeficiente angular de uma reta é o parâmetro “m” que mede a inclinação de uma reta em relação ao eixo das abscissas. Pela figura vemos que a inclinação da reta fica evidenciada pela inclinação determinada pelo ângulo θ e, da trigonometria vimos que a tangente do ângulo é quem mede o valor desta inclinação como tangente de um ângulo no triângulo retângulo é dada pala relação: Temos, no nosso triângulo, Como implica , sendo e podemos concluir que o coeficiente angular: . 5
  • 6. EQUAÇÃO DE RETA CONHECENDO-SE UM PONTO E SEU COEFICIENTE ANGULAR: Seja o ponto e o coeficiente angular para um ponto genérico , da proporção , vem: , como chegamos a: EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA REDUZIDA: Verificando o valor na equação da reta em sua forma geral temos: . Como fazendo vem: O m é o coeficiente angular e q o coeficiente linear. Já foi visto que o coeficiente angular mede a inclinação da reta em relação ao eixo das abscissas e o coeficiente linear determina o ponto em que a reta intercepta o eixo das ordenadas. EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA SEGMENTÁRIA: Se considerarmos uma reta que intercepta os eixo coordenados no pontos e a equação da reta é dada pelo determinante: Dividindo ambos os membros por , encontramos: Que é a equação de uma reta na forma segmentária. EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA PARAMÉTRICA: Uma equação pode ser apresentada segundo um parâmetro qualquer , de forma que: onde é o parâmetro dado. Encontrando o valor de t em uma das equações e substituindo na outra, encontramos a equação da reta na forma geral. EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA NORMAL: A reta que passa por P(x, y) é perpendicular ao segmento de reta OP. Pela trigonometria temos e Como é perpendicular a seu coeficiente angular é igual a cotangente de . Aplicando a equação que passa por um ponto de onde vem: pondo em evidência vem como , temos: Equação na forma normal da reta. 6
  • 7. EXERCÍCIOS: 1. Verifique se os pontos estão alinhados, isto é, são colineares: a. 2, 1), (−2, −7) e (5, 7) c. (−3, 2), (0, 5) e (3, 8) b. (2, 7), (6, 5) e (4, 3) d. (3, 5), (−2, 4) e (1, 1) 2. Determine o valor de k para que os pontos dados estejam alinhados: a. (2, 8), ( , −1) e (1, 5) c. ( , 1), (−1, −3) e (5, ) b. (−3, 4), (0, ) e (2, 9) d. ( , 0), (3, ) e (−1, −6) 3. Dados os pontos, determine a equação, na forma geral, da reta que os contém: a. (2, 1) e (−2, −7) c. (3, 2) e (−1, 5) b. (2, 5) e (3, 1) d. (−3, 2) e (2, −5) 4. Dadas as retas, determine o coeficiente angular e o coeficiente linear de cada uma delas: a. 3 + − 1 = 0 c. 5 − 5 − 15 = 0 b. 2 − 3 + 7 = 0 d. 3 − 5 = 0 5. Determine a equação reduzida da reta que passa pelo ponto dado conhecendo-se o coeficiente angular: a. (3, 5) = −2 c. (−3, 1) = b. (2, −1) =− d. (−4, −5) =2 6. Dada a reta na forma geral determine sua equação na forma reduzida: a. 2 + − 4 = 0 c. 5 − 2 + 13 = 0 b. 3 − 4 + 9 = 0 d. 2 + 3 − 7 = 0 7. Encontre a equação, na forma segmentária, da reta que passa pelos pontos: a. (0, 5) e (2, 0) c. (0, −2) e (5, 0) b. (0, 7) e (3, 0) d. (0, ) e (5, 0) 8. Converta a reta da forma segmentária para a forma geral: a. + = 1 c. + =1 b. + =1 d. + =1 9. Encontre a forma geral das retas, dadas as suas formas paramétricas: =2 = a. : : = +1 c. = =3 −2 b. : = +1 =2 +1 d. : =3 −2 10. Encontre a equação da reta na forma normal, dados e : =5 =6 : : = 30° a. = c. = 10 : =6 = : b. = d. 11. Passe as equações anteriores para a forma geral: 12. Determine a intersecção entre as retas : 2 + − 4 = 0 e : 3 − 4 + 9 = 0 13. Determine os pontos em que a reta : 2 − 3 + 7 = 0 intercepta os eixos coordenados 14. Determine a intersecção entre as retas : 3 − − 2 = 0 e : 5 − 2 − 3 = 0 7
  • 8. RESPOSTAS DA LISTA ANTERIOR: 1. Coordenadas, abscissa ( ) e ordenada ( ) 2. 3. – Semieixo positivo das abscissas – Semieixo negativo das abscissas – IV quadrante – III quadrante – Semieixo positivo das ordenadas – I quadrante – II quadrante – Semieixo negativo das ordenadas 4. IV quadrante 5. a. c. e. b. d. f. 6. a. b. c. d. 7. 8. 9. 10. 11. e 12. , , , e 13. , , , , e 14. 15. 16. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS: Dadas duas retas e elas só podem ocupara três posições relativas entre si: CONCORRENTES, PARALELAS ou COINCIDENTES. Quando concorrentes têm um ponto comum às duas retas. Se são paralelas, não tem nenhum ponto comum às duas retas. Se são coincidentes todos os pontos pertencem às duas retas, trata-se de uma mesma reta, que se orientadas, têm sentidos opostos. 8