O documento descreve o teorema de Pitágoras e suas aplicações, incluindo: a história do teorema com Pitágoras e os egípcios; classificações e relações métricas de triângulos retângulos; e a generalização do teorema para outras figuras geométricas. Exemplos e exercícios ilustram o uso do teorema.

1. Informática Educativa II :: Objeto de Aprendizagem
Título do projeto: TEOREMA DE PITÁGORAS
Nome do aluno: WALLACE DE OLIVEIRA MARQUES
Objetivo do objeto de aprendizagem: Aplicação de teorema de Pitágoras através de jogos
Link do objeto de aprendizagem:
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O filósofo e matemático grego Pitágoras, por volta do século VI a.C., fundou uma
escola mística secreta, chamada Escola Pitagórica. Nela, a ciência era considerada um
bem comum e todos pesquisavam e discutiam coletivamente. Por isso, as contribuições
científicas conquistada não possuíam autoria individual.
Para a formação de seu famoso teorema, é possível que Pitágoras e seus discípulos
tenham se baseado nos conhecimentos geométricos dos egípcios e em mosaicos que
apareciam com frequência em paredes das construções do Egito antigo.
Figura 1
De acordo com os dados históricos, a Geometria dos antigos egípcios estava baseada na
pirâmide de base quadrada.
Como os egípcios faziam para obter ângulos retos?
Usando uma corda com 12 nós, os egípcios construíam um triângulo retângulo
particular para obter “cantos”em ângulos retos.
Esse triângulo particular tem lados medindo 3 unidades, 4 unidades e 5 unidades de
comprimento. Nesse triângulo, o ângulo formado pelos dois lados menores é um ângulo
reto.
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2. Figura 2
Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números
irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir
foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com
catetos medindo 1. Veja:
x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2
√2 = 1,414213562373....
Classificação de um triângulo quanto à medida de seus lados.
Triângulo equilátero: possui os três lados com medidas iguais.
Triângulo isósceles: possui dois lados com medidas iguais.
Triângulo escaleno: possui os três lados com medidas diferentes.
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3. Classificação de um triângulo quanto à medida de seus ângulos
Triângulo acutângulo: possui todos os ângulos com medidas menores que 90º.
Triângulo retângulo: possui um ângulo com medida igual a 90º.
Triângulo obtusângulo: possui um ângulo obtuso, maior que 90º.
acutângulo retângulo obtusângulo
O jogo de classificação dos triângulos
Tente formar o triângulo que é pedido, movendo os pontos A, B e C sobre a malha (clique e arraste o
mouse). Note resposta, clique no botão “Verificar minha resposta!”. Caso você não obtenha sucesso em 4
tentativas, que os vértices do triângulo só podem ser posicionados em pontos com coordenadas inteiras. Para
verificar a sua o programa lhe mostrará uma resposta (mas subtrairá pontos do seu placar).
Placar: 0
Desafio 1 de 11: formar um triângulo isósceles!
Relação métricas no triângulo retângulo.
3

4. Elementos do triângulo retângulo
Dado o triângulo retângulo ABC, reto em A, com hipotenusa igual a e os catetos iguais
b e c:
Se nesse mesmo triângulo retângulo traçarmos uma reta (h) que parte do vértice A e que
seja perpendicular ao lado a no ponto H, essa reta será a altura do meu triângulo
retângulo e irá dividir o lado a em dois lados m e n.
Formamos mais dois triângulos retângulos: ABH e AHC.
Relações métricas do triângulo retângulo:
Observando o triângulo retângulo acima, podemos retirar algumas relações feitas com
os seus elementos.
1º) Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao
produto de medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a
hipotenusa.
=m.ae =n.a
2º) O produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela
medida da altura relativa à hipotenusa.
b.c=a.h
3º) O quadrado da medida da altura relativa a hipotenusa é igual ao produto das medidas
4

5. dos segmentos que essa altura determina sobre a hipotenusa ( que são as projeções dos
dois catetos sobre hipotenusa).
=m.n
4º) a quarta relação é baseada na 1º e na 2º, pois se somarmos as duas chegaremos em
uma outra relação.
+ = m . a + n . a → colocando a em evidência.
+ = a (m + n) → observando no triângulo retângulo percebemos que a medida de a
= m + n.
+ =a.a
+ = → conhecida como Teorema de Pitágoras.
5º) é uma relação dos ângulos internos do triângulo retângulo. A soma dos ângulos
internos de qualquer triângulo retângulo é igual a 180º, no caso do triângulo retângulo
que um dos ângulos sempre terá medida igual a 90º os outros dois serão
complementares, ou seja, a sua soma será 90º. Matematicamente dizemos que:
med ( ) + med ( ) = 90º.
A GENERALIZAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS
Com certeza você já ouviu falar sobre o Teorema de
Pitágoras e da relação entre as áreas dos quadrados
construídos com as medidas dos catetos e da hipotenusa de
um triângulo retângulo.
Será que tal relação entre as áreas seria válida para outras
figuras geométricas semelhantes, quando justapostas a um
triângulo retângulo?
Ou seja, é válida a relação
área A = área B + área C, sendo T um triângulo
retângulo?
Como, por exemplo, nos desenhos:
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6. Quer saber como é tudo
isso? Quer conhecer
algumas situações em
que aparece essa
relação?
Para tanto serão utilizados 4 jogos geométricos planos do tipo tangram, chamados de
Tangrans Pitagóricos e 2 Artefatos Articulados modeladores dessa relação.
Exercícios de fixação
1) Temos uma Torre de 40m de altura, na qual está apoiada uma escada separada
da torre por um lago de 30m de comprimento. Pergunta-se: qual o comprimento
da escada?
2) Pedro e João estavam se divertindo em gangorra. A altura máxima que cada
um chega é de 60 cm. Se a distância entre eles é 1,8 m, na qual o comprimento
da gangorra, em metro?
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7. 3) Uma bolinha foi solta de uma altura de 60 cm do chão, percorrendo o caminho
Indicado na figura. Qual a distância percorrida por ela em metros?
4) Um motorista bateu seu carro em um poste de madeira, e o poste quebrou
formando um triângulo com a parte que ficou presa ao chão e a que foi
quebrada. Qual era a altura desse poste antes da batida?
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8. 64+36
5) Encontre o valor de
a) x=5 b) x=6 c) x=
BIBLIOGRAFIA:
WWW.mundoeducação.com.br/matematica/cassificacao-triangulos.htm
WWW.uff.br/cdme/jct/jct-html/jct-br.html.
WWW.mundoeducacao.com.br/matematica/relacoes-no-triangulo-retangulo.html
WWW.uff.br/cdme/tangrans-pitagorica/index.html
A conquista da matemática 9º ano José Ruy Giovanni Jr./ Benedicto Castrucci
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