1) O documento apresenta conceitos básicos de teoria de conjuntos e operações entre conjuntos como união, interseção, diferença e complemento. 2) São definidos os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais e suas propriedades. 3) São apresentados os conceitos de subconjuntos, partes de um conjunto e intervalos na reta real.

1. Conjuntos e Intervalos
Teoria de Conjuntos
A teoria de Conjuntos associa-se a idéia de uma coleção de objetos que
possuem ao menos uma característica ou propriedade em comum. É
possível caracterizar um conjunto de três maneiras:
 Enumeração: V= {a,e,i,o,u}
 Propriedade: V= {x/x é uma vogal}
 Diagrama de Venn:
Símbolos Matemáticos
: pertence : existe
: não pertence : não existe
: está contido : para todo
: não está contido : conjunto vazio
: contém N: conjunto dos números naturais
: não contém Z: conjunto dos números inteiros
/ : tal que Q: conjunto dos números racionais
Q'= I: conjunto dos números
: implica que
irracionais
: se, e somente se R: conjunto dos números reais
Obs.: Os símbolos , , e são usados apenas em comparações
de conjuntos para conjuntos.
Subconjuntos
Dados dois conjuntos quaisquer A e B, dizemos que A é um subconjunto de
B se, e somente se, todo x pertencente ao conjunto A também pertencer ao
conjunto B.
Indicamos por A c B e lê-se A é subconjunto de B, ou A está contido em B.
Também podemos dizer que A é uma parte de B.
AcB {x/x ∈ A x ∈ B} ou B A (B contém A)
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2. Partes de um Conjunto
São todos os subconjuntos que se pode formar a partir de um conjunto.
P(A) -> Partes de A
A= {1,2,5}
P(A)= { , {1},{2},{5},{1,2},{1,5},{2,5},{1,2,5}}
 O conjunto vazio e o próprio conjunto são subconjuntos do conjunto A.
 A relação dos subconjuntos com a parte é de pertinência, por exemplo,
{1} ∈ P(A).
 Determina-se o número de subconjuntos da parte com a Fórmula:
Na qual n é o número de elementos do conjunto.
Operações
União: Sejam dois conjuntos A e B. União é a soma dos elementos de A
com os elementos de B.
A U B -> A união B
A U B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}
A= {1,2,3} B= {2,3,5}
A U B = {1,2,3,5}
Interseção: Sejam dois conjuntos A e B. Interseção é composta pelos
elementos que pertence a esses dois conjuntos.
A ∩ B -> A interseção B
A ∩ B = {x/x ∈ A e B}
A= {1,2,3} B= {2,3,5}
A ∩ B = {2,3}
Diferença: Sejam dois conjuntos A e B, diferença é quando os elementos
pertencem apenas a um dos conjuntos.
A – B -> diferença entre A e B.
A – B = {x/x ∈ A e x ∉ B}
A = {1,2,3} B = {1,2,5}
A – B = {1}
Complemento: Sejam dois conjuntos A e B. A diferença entre esses
conjuntos (A – B), quando B é um subconjunto de A (B c A), é o conjunto
complementar de B em relação a A.
B’ -> complemento de B
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3. B’ = {x/x ∉ B}
A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,}
B = {1,3,5,7}
B’ ou CAB= {0,2,4,6,8}
Intervalos
O conjunto dos números reais (R) possui subconjuntos, denominados
intervalos, os quais são classificados em:
 Intervalos abertos: quando os números indicados não pertencem ao
intervalo. Representamos na reta real com bolinhas abertas (sem cor).
{x ∈ R/ -2 < x < 3}, ]-2;3[ ou (-2;3)
 Intervalos fechados: quando os números indicados pertencem ao
intervalo. Representamos na reta real com bolinhas fechadas (com cor).
{x ∈ R/ -3 ≤ x ≤ 2}, [-3;2]
 Intervalos tendendo ao infinito: quando os intervalos são infinitos em
uma direção da reta numérica. Os intervalos tendendo ao infinito possuem a
mesma representação dos intervalos abertos.
{x ∈ R/ x > -3}, ]-3;+∞[ ou (-3;+∞)
{x ∈ R/ x ≤ 2}, ]-∞;2] ou (-∞;2]
Exemplo: Calcule a interseção de [2;4] com ]1;3[
Portanto, [2;4] ∩ ]1;3[ = [2;3[
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4. Exercícios
01. Sendo x e y números naturais quaisquer, assinale V ou F conforme as
afirmações sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente:
a) ( ) x + y é um número natural.
b) ( ) x . y é um número natural.
c) ( ) √x é um número natural.
d) ( ) x – y é um número natural.
e) ( ) x : y é um número natural.
f) ( ) 2 . x é um número natural.
g) ( ) x/2 é um número natural.
02. O que é um número natural primo? Escreva os 20 menores números
naturais que são primos.
03. Escreva os 10 menores múltiplos naturais dos números: 12 e 30. E em
seguida encontre todos os divisores naturais desses mesmos números.
04. Sendo x um número natural, qual a condição para que:
a) √x seja um número natural?
b) x/2 seja um número natural?
c) x/5 seja um número natural?
05. Sendo x e y números inteiros quaisquer, assinale V ou F conforme as
afirmações sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente:
a) ( ) x + y é um número inteiro.
b) ( ) x . y é um número inteiro.
c) ( ) √x é um número inteiro.
d) ( ) x – y é um número inteiro.
e) ( ) x : y é um número inteiro.
f) ( ) 2 . x é um número inteiro.
g) ( ) x/2 é um número inteiro.
06. Responda as seguintes questões:
a) Todo número natural possui sucessor?
b) Todo número inteiro possui sucessor?
c) Todo número natural possui antecessor natural?
d) Todo número inteiro possui antecessor inteiro?
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5. 07. Sendo x e y números racionais quaisquer, assinale V ou F conforme as
afirmações sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente:
a) ( ) x + y é um número racional.
b) ( ) x . y é um número racional.
c) ( ) √x é um número racional.
d) ( ) x – y é um número racional.
e) ( ) x : y é um número racional.
f) ( ) 2 . x é um número racional.
g) ( ) x/2 é um número racional.
08. Determine as frações que geram as dízimas abaixo:
a) 6,22222...
b) 0,33333...
c) 6,010101...
d) 7,2414141...
e) 1,712712712...
09. Assinale V ou F, conforme as afirmações a seguir sejam verdadeiras ou
falsas, respectivamente:
a) ( ) A soma de dois números irracionais é um número racional.
b) ( ) O produto de dois números irracionais pode dar um número racional.
c) ( ) O produto de dois números reais é um número real.
d) ( ) A soma de dois números reais é um número real.
10. (FATEC-SP) Se A= 0,666..., B= 1,333... e C= 0,141414..., então AB-¹ +
C é igual a:
a) -74/99 b) 127/198 c) 80/99 d) 187/30 d) 67/30
11. (FATEC-SP) Sejam a e b números irracionais quaisquer.
Das afirmações:
I) ab é um número irracional;
II) a + b é um número irracional;
III) a – b pode ser um número racional;
Pode-se concluir que:
a) as três são falsas.
b) as três são verdadeiras.
c) somente I e II são verdadeiras.
d) somente I é verdadeira.
e) somente I e II são falsas.
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6. 12. (FUVEST-SP) Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por:
a) 1/125 b) 1/8 c) 8 d) 12,5 e) 80
13. Represente, discriminando entre chaves, os elementos dos conjuntos:
a) A= {x ∈ N/ 5 ≤ x ≤ 11}
b) B= {x ∈ Q/ x² - 16= 0}
c) C= {x ∈ I/ x² - 25= 0}
d) D= {x/x é um número natural primo menor que vinte}
e) E= {x/x é um número natural quadrado perfeito menor que 100}
f) F= {x/x = 2n, sendo n ∈ N}
g) G= {x/x = 2n + 1, sendo x ∈ N}
14. Classifique como V ou F as afirmações:
a) ( ) {0} c { } d) ( ) Q c R
b) ( ) {3} c {1;2;3} e) ( ) I c R
c) ( ) Z c R f) ( ) { } c { }
15. Obtenha todos os subconjuntos dos conjuntos:
a) A= {1}
b) B= {0;3}
c) C= {1;2;4}
16. Complete, sendo A um conjunto e n(A) a quantidade de elementos de A:
a) Se n(A)= 0, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.
b) Se n(A)= 1, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.
c) Se n(A)= 2, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.
d) Se n(A)= 3, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.
e) Se n(A)= 4, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.
17. Sendo A e B dois conjuntos não vazios quaisquer, assinale V ou F
conforme as afirmações sejam verdadeiras ou falsas:
a) ( ) A U A= A d) ( ) A U { }= { }
b) ( ) A ∩ A= A e) ( ) A – B= B – A
c) ( ) A ∩ { }= A f) ( ) n(A U B)= n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
18. Considere os conjuntos:
A= {-2;-1;0;1;2;3;4;5}
B= {0;1;3}
C= {3;4;5;6;7}
Obtenha o que se pede:
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7. a) A U B e) (A U B) ∩ C
b) A ∩ B f) A ∩ B ∩ C
c) A – B g) C – A
d) B – A h) A ∩ C
19. Em relação aos conjuntos A, B e C, do exercício anterior, faça um
diagrama relacionando os elementos.
20. Assinale com V ou F, para as seguintes afirmações:
a) ( ) N U Z= Z e) ( ) (R – I) c Q
b) ( ) N ∩ Z= { } f) ( ) Q – I= N
c) ( ) (Z – N) c Z g) ( ) R= Q U I
d) ( ) (R – Q)= I h) ( ) Q ∩ I c R
21. Sendo A= {1;2;3;4} e B= {1;2;3;4;5;6;7}, obtenha:
a) B – A c) CBA
b) A – B d) CAB
22. No diagrama ao lado, estão representados três
conjuntos A, B e C. Em cada região do diagrama estão
indicados números de I a VII, que relacionam os conjuntos.
Escreva, para cada região, a relação entre os conjuntos que
a corresponde:
23. Sendo A= {x ∈ Z/ (3x + 9)(2x + 4)x(x – 1) = 0} e B= {x ∈ N/ x² - 7x =
- 12}, substitua os espaços corretamente pelos símbolos ∈, ∉ , c ou .
a) 0 ___ A d) 3 ___ B
b) 0 ___ B e) B ___ Z
c) 3 ___ A f) A ___ N
24. Dado o diagrama abaixo, assinale a região que representa:
a) (A ∩ B) – C
b) A U (B ∩ C)
c) A – (B U C)
d) A ∩ B ∩ C
25. Dados A= {0,1,2,3}, B= {1,2,3} e C= {2,3,4,5}. Determine:
a) A – B c) CA(B ∩ C)
b) (A – C) ∩ (B – C) d) ( - B) U (B – C)
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8. 26. Considerando o diagrama abaixo, determine:
a) n(A)
b) n(B)
c) n(C)
d) n(A ∩ B)
e) n(A ∩ C)
f) n(A – B)
g) n[(A U B) – C]
27. (FATEC-SP) Seja n um número natural. Se A= {x ∈ N/ x= 2n} e B= {x ∈
N/ x= 2n + 1}, então:
a) B – A= {1}
b) A U B= N
c) A U B= {0;10}
d) A ∩ B= A
e) A U B= {x ∈ N/ x é par}
28. (FCMSC-SP) Um conjunto A possui n elementos e um conjunto B possui
um elemento a mais do que A. Sendo x e y os números de subconjuntos de A
e B, respectivamente, tem-se que:
a) y é o dobro de x.
b) y é o triplo de x.
c) y= x/2 + 1.
d) y= x + 1.
e) y pode ser igual a x.
29. (PUC-RJ) Num universo de 800 pessoas, é sabido que 200 delas gostam
de samba, 300 de rock e 130 de samba e rock. Quantas não gostam nem de
samba e nem de rock?
a) 800 b) 730 c) 670 d) 560 e) 430
30. (UFV-MG) Sabe-se que os conjuntos A e B têm, respectivamente, 64 e 16
subconjuntos. Se A U B tem 7 elementos, então A ∩ B tem:
a) nenhum elemento.
b) três elementos.
c) dois elementos.
d) um elemento.
e) quatro elementos.
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9. 31. (FATEC-SP) Se A= {x ∈ R/ 0 < x < 2} e B= {x ∈ R/ -3 ≤ x ≤ 1}, então o
conjunto (A U B) – (A ∩ B) é:
a) [-3;0] U ]1;2[
b) [-3;0[ U [1;2[
c) ]-∞;-3[ U [2;+∞[
d) ]0;1]
e) [-3;2[
32. (FGV-SP) Um levantamento efetuado entre 600 filiados ao INSS mostrou
que muitos deles mantinham convênio com duas empresas particulares de
assistência médica, A e B, conforme o quadro:
O número de filiados simultanea-
mente às empresas A e B é:
a) 30 b) 40 c) 25 d) 50
33. (FATEC-SP) O conjunto A tem 20 elementos, A ∩ B tem 12 elementos e A
U B tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto B é:
a) 28 b) 36 c) 40 d) 48 e) 52
34. (FAAP-SP) Foi feita uma pesquisa com todos os alunos de uma escola e
constatou-se que 56 lêem a revista A, 21 as revistas A e B, 106 apenas uma
das revistas e 66 não lêem a revista B. Qual o número de alunos dessa
escola?
35. (FAAP-SP) Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos
acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100
acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?
36. (ENEM) Um fabricante de cosméticos decide produzir 3 diferentes
catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns
produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página
inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais
de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40
páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2
terão 10 páginas em comum, C1 e C3 terão 6, C2 e C3 terão 5, das quais 4
também estarão em C1. Nessas condições, o fabricante, para a montagem
dos 3 catálogos, necessitará de quantos originais de impressão?
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10. 37. (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B.
Exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que
todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que
lêem ambos é:
a) 48% b) 140% c) 60% d) 80% e) 40%
38. (FGV-SP) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de 3 marcas: A, B e
C, de um determinado produto apresentou os seguintes resultados:
A=48% B=45% C=50% A e B=18% B e C=25% A e C=15% Nenh.= 5%
a) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem as 3 marcas?
b) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma
das 3 marcas?
39. (UNESP-SP) Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as
publicações: Helena, Senhora, A Moreninha. Para isso pesquisou o mercado e
concluiu que, em cada 1000 pessoas consultadas.
600 haviam lida A Moreninha
- 400 haviam lido Helena
- 300 haviam lido Senhora
- 100 haviam lido Senhora e Helena
- 150 haviam lido A Moreninha e Senhora
- 200 haviam lida A Moreninha e Helena
- 20 haviam lido as três obras
Com estas informações calcule:
a) O número de pessoas que leram somente uma das três obras.
b) O número de pessoas que não leram nenhuma das três obras.
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.
40. (Mackenzie-SP) Sabe-se que:
A U B U C= {n ∈ N/ 1 ≤ x ≤ 10}
A ∩ C= {2,7}
A U B= {n ∈ N/ 1 ≤ x ≤ 8}
A ∩ B= {2,3,8}
B ∩ C= {2,5,6}
Determine o conjunto C.
41. (PUC-PR) Era um levantamento com 100 vestibulandos da PUC, verificou-
se que o número de alunos que estudou para as provas de matemática, física
e português foi o seguinte:
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11. -Matemática, 47;
-Física, 32;
-Português, 21;
-Matemática e Física, 7;
-Matemática e Português, 5;
-Física e Português, 6;
-As três matérias, 2;
Quantos dos 100 alunos incluídos no levantamento não estudaram
nenhuma das três matérias?
42. (UFMG-MG) Os conjuntos A, B e A U B têm, respectivamente, 10, 9 e 15
elementos. O número de elementos de A ∩ B é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
43. (UFPE) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados consumidores
sobre suas preferências em relação aos produtos A e B. Os resultados da
pesquisa indicaram que:
- 310 pessoas compraram o produto A.
- 200 pessoas compraram o produto B.
- 110 pessoas compraram os produtos A e B.
- 510 pessoas não compraram nenhum dos dois produtos.
Indique o número de consumidores entrevistados, divididos por 10.
44. (UFV-MG) Uma academia de ginástica possui 150 alunos; 40% deles
fazem musculação; 20%, musculação e natação; 22% natação e capoeira;
18% musculação e capoeira; e 12%, as três atividades. O número de pessoas
que faz natação é igual ao número de pessoas que faz capoeira. Pergunta-se
a) Quantas fazem capoeira e não fazem musculação.
b) Quantas fazem natação e capoeira e não fazem musculação.
45. (FUVEST-SP) Durante uma viagem choveu cinco vezes. A chuva caía pela
manhã ou à tarde, nunca o dia todo. Houve seis manhãs e três tardes sem
chuva. Quantos dias duraram a viagem?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
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