O objeto desce uma rampa parabólica com velocidade inicial v0. Sua velocidade é dada por v = v0√(1-x/a), a força normal é N = mg√(1-x/a) e a aceleração tangencial é at = -g√(1-x/a), onde a é o comprimento da rampa.

1. QUESTÃO 04:)
O objeto mostrado na figura tem massa m e desce uma rampa de perfil parabólico. Se o objeto
tem uma velocidade v0 na origem, determine: i) sua velocidade em função da posição; ii) o valor
da força normal e iii) a aceleração tangencial em função de x.
RESOLUÇÃO:
⃗
Sabe-se da segunda lei de Newton : ⃗⃗⃗ → , multiplicando
escalarmente a expressão em ambos os lados por , tem-se que :
⃗⃗⃗⃗⃗
→Integrando a expressão em relação ao tempo, tem-se que:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
∫ ∫ → Fazendo uma mudança de variável, tem-se
que:
⃗
∫⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ → ∫ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ , já que a
⃗⃗⃗⃗
resultante é dada por ⃗ ⃗ , também sabe-se que ⃗ é perpendicular a ⃗⃗⃗⃗ .
Assim, conclui-se que: ∫ ( ⃗ ⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ∫⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗
Como o movimento se inicia na origem, temos ⃗⃗⃗⃗⃗ , o que nos deixa com a
expressão: ∫⃗⃗⃗⃗ ( ⃗ ⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ , onde é o ângulo entre
⃗ , como mostra a figura logo abaixo.
Da geometria do problema, sabe-se que: | |. Conclui-se que
( ) assim, conclui-se que: √ (i)

2. y
x
⃗
∙
⃗
Considerando as coordenadas tangencial e normal, tem-se que na direção normal:
̂ ̂ ̂ , o coeficiente angular da reta tangente no ponto
em questão, é dado por e também sabe-se que como é seu suplementar,
( ( ) )
sabe-se que: , também sabe-se que
√ | |
⁄
assim utilizando o resultado do item (i), tem-se que
⁄
(ii)
√
Sabe-se também que a aceleração tangencial é dada por: , assim, da
expressão obtida para o , sabe-se que √ .
√ (iii)