O documento descreve os principais conceitos relacionados a ângulos em geometria, incluindo os elementos de um ângulo, medidas de ângulos em graus, minutos e segundos, operações com medidas de ângulos, tipos de ângulos e relações entre ângulos.

1. Geometria
Ângulos
O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS
Duas semi-retas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem,
dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.
Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duas semi-retas
determinam dois ângulos:
Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam. O
vértice é a origem comum dessas semi-retas.
O ângulo convexo, de vértice O e lados
, é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.
1

2. Geometria
Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na mesma reta.
Nesses casos, formam-se também ângulos.


As semi-retas
As semi-retas
coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.
não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos ou de meia-volta.
Podemos, então, estabelecer que:
Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem.
2

3. Geometria
MEDIDA DE UM ÂNGULO
A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de
um ângulo é o grau, cujo símbolo é º.
Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos
180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um ângulo de 1º grau (1º).
Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vem
graduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º e de
360º.
O grau compreende os submúltiplos:

O minuto corresponde a
do grau. Indica-se um minuto por 1'.
1º=60'

O segundo corresponde a
do minuto. Indica-se um segundo por 1''.
1'=60''
Logo, podemos concluir que:
1º = 60'.60 = 3.600''
Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema
sexagesimal.
Como medir um ângulo, utilizando o transferidor
Observe a seqüência
3

4. Geometria

O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo.

A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semi-retas do ângulo

Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-reta
.
.
Leitura de um ângulo
Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras:
15º
(lê-se "15 graus'')
45º50'
(lê-se ''45 graus e 50 minutos'')
30º48'36''
(lê-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'')
Observações
Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem ângulos com maior precisão. Como
exemplos temos o teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado em navegação.
A representação da medida de um ângulo pode também ser feita através de uma letra minúscula ou
de um número.
Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180º.
O ângulo de uma volta mede 360º.
Questões envolvendo medidas de ângulos
Observe a resolução das questões abaixo:

Determine a medida do ângulo AÔB na figura:
4

5. Geometria
Solução
Medida de AÔB = x
Medida de BÔC = 105º
Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo raso, temos:
m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)
x + 105º = 180º
x
= 180º - 105º
x
= 75º
Logo, a medida de AÔB é 75º.

Determine a medida do 6angulo não-convexo na figura:
Solução
Verificamos que o ângulo não-convexo na figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam, juntos, um
ângulo de uma volta, que mede 360º. Assim:
5

6. Geometria
x + 50º = 360º
x = 360º - 50º
x = 310º
Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º.
Como construir um ângulo utilizando o transferidor
Observe a seqüência utilizada na construção de um ângulo de 50º:

Traçamos uma semi-reta
.


Colocamos o centro do transferidor sobre a origem da semi-reta (A).
Identificamos no transferidor o ponto (C) correspondente à medida de 50º.

Traçamos a semi-reta
, obtendo o ângulo BÂC que mede 50º.
Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º são ângulos especiais.
Eles podem ser desenhados com esquadro.
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
Como vimos, quando trabalhamos com medidas de ângulos, utilizamos o sistema sexagesimal.
Observe nos exemplos como efetuar transformações nesse sistema:

Transforme 30º em minutos.
Solução
Sendo 1º = 60', temos:
6

7. Geometria
30º = 30 . 60'= 1.800
'Logo, 30º = 1.800

Transforme 5º35' em minutos.
Solução
5º = 5 . 60' = 300'
300' + 35'= 335'
Logo, 5º35'= 335'.

transforme 8º em segundos.
Solução
Sendo 1º = 60', temos:
8º = 8 . 60'= 480
'Sendo 1'= 60'', temos:
480'= 480 . 60'' = 28.800''
Logo, 8º = 28.800''.

Transforme 3º35' em segundos.
Solução
3º = 3 . 60'= 180'
180' + 35' = 215'
215' . 60'' = 12.900''
Logo, 3º35'= 12.900''

Transforme 2º20'40'' em segundos.
Solução
2º = 2 . 60' = 120'
120' + 20' = 140'
140'. 60''= 8.400''
7

8. Geometria
8.400'' + 40'' = 8.440''
Logo, 2º20'40'' = 8.440''
Transformando uma medida de ângulo em número misto

Transforme 130' em graus e minutos.
Solução

Transforme 150'' em minutos e segundos.
Solução

Transforme 26.138'' em graus, minutos e segundos.
Solução
8

9. Geometria
Medidas fracionárias de um ângulo

Transforme 24,5º em graus e minutos.
solução
0,5º = 0,5 . 60' = 30'
24,5º= 24º + 0,5º = 24º30'
Logo, 24,5º = 24º30'.

Transforme 45º36' em graus.
solução
60'
1º
36'
x
x = 0,6º (lê-se ''seis décimos de grau'')
Logo, 45º36'= 45º + 0,6º = 45,6º.

Transforme 5'54'' em minutos.
Solução
60''
1'
9

10. Geometria
54''
x
x = 0,9' ( lê-se ''nove décimos de minuto'')
Logo, 5'54'' = 5'+ 0,9'= 5,9'
OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS
Observe alguns exemplos de como adicionar medidas de ângulos:
Adição

30º48' + 45º10'

10º36'30'' + 23º45'50''

43º18'20'' + 25º20'30''
Simplificando 33º81'80'', obtemos:
Logo, a soma é 34º22'20''.
Subtração
Observe os exemplos:
10

11. Geometria

70º25' - 30º15

38º45'50'' - 27º32'35''

90º - 35º49'46''

80º48'30'' - 70º58'55''
Observe que:
Logo, a diferença é 9º 49'35''.
Multiplicação por um número natural
Observe os exemplos:

2 . ( 36º 25')

4 . ( 15º 12')
11

12. Geometria

5 . ( 12º36'40'')
Logo, o produto é 63º3'20''.
Divisão por um número natural
Observe os exemplos:

( 40º 20') : 2

( 45º20' ) : 4

( 50º17'30'' ) : 6
12

13. Geometria
ÂNGULOS CONGRUENTES
Observe os ângulos abaixo:
Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma medida. Eles são ângulos congruentes e podemos fazer a
seguinte indicação:
13

14. Geometria
Assim:
Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.
Propriedades da Congruência

Reflexiva:

Simétrica:

Transitiva:
ÂNGULOS CONSECUTIVOS
Observe a figura:
Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB.
Verifique em cada uma das figuras abaixo que:
Os ângulos AÔC e CÔB possuem:
Vértice comum: O
Lado comum:
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15. Geometria
Os ângulos AÔC e AÔB possuem:
Vértice comum: O
Lado comum:
Os ângulos CÔB e AÔB possuem:
Vértice comum: O
Lado comum:
Os pares de ângulos AÔC e CÔB, AÔC e AÔB, CÔB e AÔB são denominados ângulos consecutivos.
Assim:
Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum.
ÂNGULOS ADJACENTES
Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que:
Os ângulos AÔC e CÔB não possuem pontos internos
comuns
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16. Geometria
Os ângulos AÔC e AÔB possuem pontos internos comuns
Os ângulos CÔB e AÔB possuem pontos internos comuns
Verifique que os ângulos AÔC e CÔB são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Por
isso eles são denominados ângulos adjacentes.
Assim:
Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.
Observação:
Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes. Exemplos:
16

17. Geometria
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
Observe a figura abaixo:
m ( AÔC ) = m (CÔB ) = 20º
Verifique que a semi-reta
Nesse caso, a semi-reta
divide o ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔB e CÔB ) congruentes.
é denominada bissetriz do ângulo AÔB.
Assim:
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois
outros ângulos congruentes.
Utilizando o compasso na construção da bissetriz de um ângulo
Determinação da bissetriz do ângulo AÔB.

Centramos o compasso em O e com uma
abertura determinamos os pontos C e D
sobre as semi-retas
respectivamente.

,
Centramos o compasso em C e D e com
uma abertura superior à metade da
distância de C a D traçamos arcos que se
cruzam em E.
17

18. Geometria

Traçamos
, determinando assim a
bissetriz de AÔB.
ÂNGULO AGUDO, OBTUSO E RETO
Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto.

Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º. Exemplo:

Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º. Exemplo:

Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º. Exemplo:
18

19. Geometria
RETAS PERPENDICULARES
As retas r e s da figura abaixo são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos.
Dizemos que as retas r e s são perpendiculares e indicamos:
Observação
Duas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas de oblíquos.
Exemplo:
19

20. Geometria
ÂNGULOS COMPLEMENTARES
Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:
Verifique que:
m (AÔB) + m (BÔC) = 90º
Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são complementares.
Assim:
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.
Exemplo:
Os ângulos que medem 42º e 48º são complementares, pois 42º + 48º = 90º.
Dizemos que o ângulo de 42º é o complemento do ângulo de 48º, e vice-versa.
Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a
medida do ângulo agudo dado.
Medida do ângulo
x
Complemento
90º - x
20

21. Geometria
Exemplo:

Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º?
Solução
Medida do complemento = 90º - medida do ângulo
Medida do complemento = 90º - 75º
Medida do complemento = 15º
Logo, a medida do complemento do ângulo de 75º é 15º.
Observação:
Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de complementares, são também adjacentes. Dizemos
que esses ângulos são adjacentes complementares.
ÂNGULOS SUPLEMENTARES
Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:
21

22. Geometria
As semi-retas
formam um ângulo raso.
Verifique que:
m ( AÔB ) + m (BÔC) = 180º
Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são suplementares. Assim:
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.
Exemplo:
Os ângulos que medem 82º e 98º são suplementares, pois 82º + 98º = 180º.
Dizemos que o ângulo de 82º é o suplemento do ângulo de 98º, e vice-versa.
Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 180º
e a medida do ângulo agudo dado.
Medida do ângulo
Suplemento
X
180º - X
Exemplo:

Qual a medida do suplemento de um ângulo de 55º?
Solução
Medida do suplemento = 180º - medida do ângulo
Medida do suplemento = 180º - 55º
Medida do suplemento = 125º
Logo, a medida do suplemento do ângulo de 55º é 125º.
Observação:
22

23. Geometria
Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de
suplementares, são também adjacentes. Dizemos
que esses ângulos são adjacentes
suplementares.
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo:
Verifique que:
Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e CÔD são opostos pelo vértice (o.p.v). Assim:
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retas opostas aos
lados do outro.
Na figura abaixo, vamos indicar:
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24. Geometria
Sabemos que:
X + Y = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)
X + K = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)
Então:
Logo:
y=k
Assim:
m (AÔB) = m (CÔD)
AÔB
CÔD
m (AÔD) = m (CÔB)
AÔD
CÔB
Daí a propriedade:
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Observe uma aplicação dessa propriedade na resolução de um problema:

Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, expressas por x + 60º e 3x - 40º.
Qual é o valor de x?
24

25. Geometria
Solução:
x + 60º = 3x - 40º
x - 3x
-2x
x
ângulos o.p.v
= - 40º - 60º
= - 100º
= 50º
Logo, o valor de x é 50º.
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