O documento apresenta os seguintes cálculos vetoriais para um cubo de aresta a: 1) A diagonal tem comprimento √3a 2) O ângulo entre a diagonal e um lado adjacente é de 45° 3) O ângulo entre a diagonal e uma face adjacente é de arccos(1/√3) ≈ 54.7° 4) O ângulo entre duas diagonais é de arccos(1/√3) ≈ 54.7°

1. 1ª Questão:
Usando métodos vetoriais determine: a) o comprimento das diagonais de
um cubo de aresta ; b) o ângulo das diagonais do cubo com os lados
adjacentes; c) o ângulo das diagonais do cubo com as faces adjacentes e d)
o ângulo entre as diagonais do cubo.
Solução
a) Colocando um vértice do cubo na origem de modo que o cubo fique
com todas as suas coordenadas positivas temos que um vetor ⃗
representante da diagonal do cubo pode ser escrito como:
⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗ ( ).
O comprimento de uma diagonal do cubo é dado pelo módulo do
vetor ⃗ . Logo: || ⃗ || √ √ √ .
b) Podemos tomar o vetor ( ) sobre o lado do cubo que está
sobre o eixo x. Temos que o ângulo entre uma diagonal do cubo e e
um de seus lados adjcentes é igual ao ângulo entre o vetor ⃗ e o
vetor .
Seja o ângulo entre esses vetores. Temos da definição de produto
escalar:
⃗
( )
|| ⃗ || || ||
⃗ ( ) ( )
|| || √ || ⃗ || || || √ √
Logo:
⃗
( ) ( )
|| ⃗ || || || √ √ √
Como , temos que .

2. c) Podemos tomar o vetor ( ) representando a diagonal da
face inferior do cubo. Temos que o ângulo entre uma diagonal do
cubo e uma face adjacente é igual ao ângulo entre o vetor ⃗ e o vetor
.
Seja esse ângulo. Temos:
⃗ ( ) ( )
|| || √ √ || ⃗ || || || √ √ √
⃗
( ) ( )
|| ⃗ || || || √ √ √
Como , temos que .
d) Podemos tomar outra diagonal do cubo:
⃗ ( ) ( ) ( )
|| ⃗ || || ⃗ || √ || ⃗ || || ⃗ ||
⃗ ⃗ ( ) ( )
O ângulo entre duas diagonais de um cubo é igual ao ângulo entre os
vetores ⃗ e ⃗ .
Seja esse ângulo. Temos:
⃗ ⃗
( ) ( )
|| ⃗ || || ⃗ ||
Como , temos que .