Lista 1 Geometria Analítica e Álgebra Linear - Matrizes, Determinantes e Sistemas

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Lista 1 Geometria Analítica e Álgebra Linear - Matrizes, Determinantes e Sistemas

  1. 1. (01) Considere as matrizes A = (aij)2x2 tal que aij= i + j; i = j e B = (bij)2x2 , tal que (bij) = 2i – 3j. 0, i ≠ j Determine A+B. (02) Seja A = 1 2 3 6 . Ache uma matriz B = (bij)2x3 , com todos os elementos distintos, tal que AB = 0 (AB não implica A = 0 ou B = 0). (03) Construa a matriz real quadrada A de ordem 3, definida por: aij = 2i + j ; i < j i² – j + 1; i ≥ j (04) Dadas as matrizes A = a 0 0 ae B = 1 b b 1, determine a e b de modo que AB = I , em que I é a matriz identidade. (05) Dada a matriz A = 1 −2 0 3 , calcule A³. (06) Determine os valores de x, y e z na igualdade abaixo, envolvendo matrizes reais de ordem 2: 0 0 x 0. 0 x 0 0= x−y 0 x z + z−y 0 y−z 0 (07) Nos problemas abaixo, supondo as matrizes A, B e C quadradas, de mesma ordem e inversíveis, resolva as equações matriciais nas quais X é a variável. (a) A B X = C (b) C A XT = C LISTA DE EXERCÍCIOS 01 – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Turma: 0002001DP2 Professor: Anderson
  2. 2. (c) A D X = A B C (08) Dada a matriz M = cos x −sen x 0 sen x cos x 0 0 0 1, calcule Q = MMT e classifique a matriz Q. (09) Dadas as matrizes A = 2 3 8 −5 9 6 7 4 −1, B = −3 7 1 −4 2 6 6 9 4e C = 7 −8 3 4 −3 2 9 −5 1, calcule A + B, C – A e 3A – 2B + 4C. (10) Dadas as matrizes A = −1 −1 0 0 −1 −1 1 −1 −3e B = −2 3 −1 1 −3 1 −1 2 −1. Verifique se B é a inversa de A. (11) Dadas as matrizes A = 9 5 7 4e B = 4 n m 9, calcule m e n para que B seja a inversa de A. (12) Dada a matriz A = 6 1 4 −3 8 −5 2 −6 7 , encontre PT , sendo que P = A – AT . (13) Reduza a matriz abaixo à forma escalonada. A =  1 2 −4 −4 5 2 4 0 0 2 2 3 2 1 5 −1 1 3 6 6  (14) Calcule os determinantes das matrizes abaixo: (a) A = 7 5 2 4(b) B = 2 5 7 3 1 4 6 8 2 (15) Resolver as equações: (a) ∣x−2 x−3 x−1 2 1 3 3 2 1 ∣=60 (b) ∣x 3 2 5 x 1 1 3 1∣=12 (c) ∣3 5 7 2 x x 3 x 4 6 7 ∣=39
  3. 3. (16) Calcule o determinante da matriz abaixo: det D = ∣ 0 a b 1 0 1 0 0 a a 0 b 1 b a 0 ∣ (17) Determine x e y de modo que as matrizes A = 1 2 1 0e B = 0 1 x ycomutem. (18) Obter todas as matrizes B = (bij)2x2 que comutem com A = 1 −1 3 0 . (19) Considere A =  2 x2 2 x−1 0 . Se AT = A, calcule x. (20) Resolva: 5 x – 2 y + 3 z = 2 3 x + y + 4 z = -1 4 x – 3 y + z = 3 (21) Sejam A = 2 1 0 1 2 1, B = 0 0 2 6 4 2e C = 3 2 0 0 1 0, matrizes de M2X3 (ℝ). Calcular 3 ( A - ½ B) + C. (22) Determinar a matriz X ∈ M2X3 (ℝ) tal que ½ ( X + A) = 3 (X + (B – A)) – C, sendo A, B e C matrizes do exercício anterior. (23) Determinar X e Y ∈ M2X3 (ℝ) tais que: 2 X – Y = A X + 3 Y = B , em que A e B são as matrizes do exercício 21. (24) Determinar x, y, s e t, números reais, sabendo-se que: x 1 1 2+ 2 y 0 −1 = 3 2 z t . (25) Determine a.b, sabendo-se que:
  4. 4. 1 a b 2. 2 3 1 0 = 4 3 2 0 (26) Dadas as matrizes A = a b 1 −1 1 ae B = 1 −1 0 0 1 0com a, b ∈ ℝ. Se A.BT = 3 4 −2 1, determine a e b. (27) Determine o valor do seguinte determinante: det A = ∣k−1 2 4 k−3∣. (28) Encontre todos os valores de m para que os quais det (A) = 0 em cada item: (a) A = m−1 −2 1 m−4 (b) Agora, considere A = m−6 0 0 0 m −1 0 4 m−4. (29) Calcule o determinante da matriz A = 1 x x2 1 2 4 1 −3 9 e os valores de x que anulam esse determinante. (30) Dada a matriz M = −1 0 0 1, determinar o número real k, tal que M + M-1 = k M. (31) Seja o sistema: 3 x + y = k² - 9 x – 2 y = k + 3 Calcule k para que o sistema seja homogêneo. (32) Calcule os valores de x, y e z nos sistemas: (a) x + 2y – z = 2 (b) x + y – 10 = 0 2 x - y + 3 z = 9 x – z – 5 = 0 3 x + 3 y – 2 z = 3 y – z – 3 = 0 (33) Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas:
  5. 5. x – y = 1 mx – ny = - 1 2 x + y = 5 nx + my = 2 (34) Resolver por escalonamento: (a) x – 2 y - 3 z = 0 (b) Escreva o sistema na forma matricial. S : x + 4 y – z = 1 2 x - y + z = 2 (35) Resolva os seguintes sistemas: (a) x + 2 y + 3 z = 1 (b) x + 2 y + z = 0 4 x + 7 y + 7 z = 3 4 x + 10 y + 10 z = 0 2 x + 3 y + z = 0 x + 3 y + 4 z = 0 (36) Sejam A = 1 2 0 −1, B = 0 −3 4 1 2 −1e C = 1 1 1 2 −1 0. Determine a matriz X tal que X + 2C = A² (B – 3C) (37) Determine a matriz inversa, se houver: (a) A = 2 −1 6 −4 (b) 2 1 3 2 3 −2 −1 0 −3 (38) Sejam A = 3 2 4 1e 2 3 1 1. Determine det [ (A.B)t ] -1 (39) Sejam 3 7 −1 −2, C = 0 2 2 −1e 1 6 3 2. Sabendo que A.B + C = A. D. A-1 , determine det (B). (40) Calcule o determinante da matriz D = 2 −2 0 7 5 1 3 0 7pelas regras de Sarrus e Laplace. (41) Calcule a matriz inversa usando operações elementares:
  6. 6. (a)A = 1 2 3 −4 (b) B = 1 2 −1 3 4 2 1 1 1  (c) C = 0 3 −1 3 −1 2 2 1 1  Respostas: (01) 1 −4 1 2 (02) 2 4 6 −1 −2 −3(03) 1 8 16 4 3 32 9 8 7 (04) a =1, b = 0 (05) 1 −26 0 27  (06) x = 0, y = 0, z = 0 ou x = 3, y = 6, z = 9 (07) (a) X = B-1 A-1 C (b) X = (A-1 ) T (c) X = D-1 B C (08) Matriz Identidade de ordem 3 (10) não (11) m= -7, n =-5 (12) 0 −4 −2 4 0 −1 2 1 0  (13)  1 2 −4 −4 5 0 −1 10 9 −5 0 0 1 1 −1 0 0 0 0 24 (14) (a) 18 (b) 156 (15) (a) x = 24 (b) x = 3 ou x = 2 (c) x = 3 (16) a² + b² (17) x = ½ e y = - ½ (18)  a b −3b ab a, b ∈ ℝ (19) x = 1 (20) SPI, S = {(-k, -1-k, k)/ k ∈ ℝ} variável livre z = k. (21) 9 5 −3 −6 1 0  (22)  4 11/5 −12/5 −29/5 −8/5 −1 (23) X = 6/7 3/7 2/7 9/7 10/7 5/9, Y = −2/7 −1/7 4/7 11/7 6/7 3/7 (24) x = y = z = t = 1 (25) a.b = 0 (26) a = 7, b = 4 (27) k² – 4 k – 5 (28) (a) m = 2 ou m = 3 (b) m = 6 ou m =2 (29) det A = 5 x² – 5 x + 30, x = -3 ou x = 2 (30) k = 2 (31) k = -3 (32) (a) S = { (1, 2, 3)} (b) S = {(6, 4, 1)} (33) m =0 e n = 1 (35) (a) SI (b) S = {( 5k, -3k, k) / k ∈ ℝ} variável livre k = z.

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