Pitágoras descobriu a importante propriedade de que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, conhecida como Teorema de Pitágoras. O documento explica a vida e contribuições de Pitágoras para a matemática, incluindo a descoberta e demonstração deste importante teorema.

1. Triângulo de Pitágoras
Pitágoras (850 a 507 a.C.) nasceu na ilha de Samos, na Grécia.
Pitágoras, como ponto central dos seus ensinamentos, tinha uma visão da
harmonia do universo, que se baseava nos números e nas fórmulas de
matemática abstracta. Assim, Pitágoras desejava encontrar a "harmonia
matemática" em todas as coisas. Por exemplo, ele descobriu que a soma de todos
os ângulos de um triângulo era sempre igual à soma de dois ângulos retos.
Finalmente, sabias que o conhecido Teorema de Pitágoras já tinha sido
descoberto? É verdade! No entanto, ele foi a primeira pessoa que a conseguiu
provar matematicamente.
Pitágoras descobriu uma propriedade importante para o triângulo retângulo
(triângulo que contém um ângulo de 90º).
Antes de mais, vamos dar nomes aos lados de um triângulo retângulo:
catetos são os dois lados adjacentes ao ângulo de 90º e hipotenusa é o lado
oposto a esse mesmo ângulo.
c = hipotenusa
a = cateto
b = cateto
Teorema de Pitágoras: num triângulo retângulo, o quadrado da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
c² = a² + b²
Vamos agora demonstrar o Teorema de Pitágoras.
O que se pretende demonstrar é que: dado um triângulo retângulo de catetos a
e b e hipotenusa c (HIPÓTESE) temos c² = a² + b².
Consideremos um quadrado de lado a + b.
O quadrilátero [ABCD] que se obtém unindo os pontos A, B, C e D é um
quadrado, já que:
• os lados são todos iguais a c pois, como se pode ver, eles são as
hipotenusas de triângulos retângulos iguais (os 4 triângulos que se obtêm
ao fazermos esta decomposição são iguais pelo caso LAL).

2. • os ângulos são todos retos. Observando a figura seguinte podemos chegar
a essa conclusão, visto que os ângulos 1 e 2 são complementares. Os
ângulos 1 e 3 têm a mesma amplitude, visto que entre ângulos
geometricamente iguais a lados iguais opõem-se ângulos iguais. Logo, o
ângulo 4 mede 90º.
Façamos agora outra decomposição do quadrado de lado a + b. Nesta
decomposição obtemos também 4 triângulos retângulos de catetos a e b e
hipotenusa c.
Se retirarmos o que é igual às duas decomposições que fizemos do quadrado de
lado a + b, obtemos:
As áreas destas duas figuras têm de ser iguais, já que, elas resultam de
decomposições do mesmo quadrado, ao qual foram retiradas partes iguais.
Logo, c² = a² + b², como queríamos demonstrar.
Repara no seguinte exemplo:

3. Como podes ver, o quadrado do cateto mede 3 somado com o quadrado do
cateto que mede 4 é igual ao quadrado da hipotenusa que mede 5:
3² + 4² = 5²
Nunca te esqueças que o Teorema de Pitágoras só é aplicado ao triângulo
retângulo.
No espaço, o Teorema de Pitágoras diz que o quadrado da medida da
diagonal de um paralelepípedo retângulo é igual à soma dos quadrados das três
dimensões das arestas.

4. Razões Trigonométricas de um
Triângulo Retângulo
Os primeiros geómetras sabiam que o ângulo reto era um dos conceitos
básicos da geometria. Euclides sabia-o também e na sua obra Elementos deu a
seguinte definição:
"Quando uma linha reta traçada sobre outra linha reta determina ângulos
adjacentes iguais entre si, cada um dos ângulos diz-se reto, e a linha reta diz-se
perpendicular aquela que intersecta".
Com base na seguinte figura,
Pelo Teorema de Pitágoras temos que , donde . Ora,
e e, portanto,
sen² α + cos² α = 1
Fórmula Fundamental da Trigonometria
Dividindo a fórmula fundamental por cos²α e sabendo que
temos que .
Analogamente, dividindo por sen²α e dado que
vem que .
Estas fórmulas são consideradas fórmulas básicas da trigonometria e
permitem deduzir, sem recorrer ao auxílio de tabelas ou de máquinas de
calcular, os valores exactos de todas as razões trigonométricas de um ângulo,
desde que se conheça uma delas.

5. Exemplo:
Supor que . . Então,
Círculo Trigonométrico
Círculo Trigonométrico é um círculo de centro na origem do referencial e raio
igual à unidade, ao qual se encontra associado um referencial ortonormado xOy.
Consideremos sobre o círculo trigonométrico de centro O, os pontos A e B
escolhidos como a figura indica.
Se aos pontos A e B fizermos corresponder as semi-retas OA e OB, o par
(OA,OB) define um ângulo.

6. O ponto O é o vértice do ângulo e as semi-retas OA e OB são, respectivamente, o
lado origem e o lado extremidade.
Há dois sentidos de percurso num círculo:
Ângulo positivo (ou direto) é o ângulo gerado no sentido contrário ao dos
ponteiros do relógio.
Ângulo negativo (ou indireto) é o ângulo gerado no sentido dos ponteiros do
relógio.
A um ângulo pode associar-se uma amplitude em sentidos chamando-se então
ângulo orientado.

7. LINHAS TRIGONOMÉTRICAS
P é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o arco que limita
o círculo trigonométrico.
O seno de α é a ordenada do ponto P.
O co-seno de α é a abcissa do ponto P.
C é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o eixo das
tangentes.
A tangente de α é a ordenada do ponto C.
D é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o eixo das co-
tangentes.
A co-tangente de α é a abcissa do ponto C.
Enquadramento de seno e do co-seno
O sinal de uma razão trigonométrica depende exclusivamente do sinal das
coordenadas do ponto associado ao círculo trigonométrico.
Para todo o α,

8. Para todo o α,
Redução ao 1º quadrante
Observando atentamente no círculo trigonométrico cada uma das situações em
causa, é possível concluirmos algumas relações importantes entre as relações
trigonométricas de certos ângulos.
Ângulos do 1ª Quadrante
Ângulos Complementares: α e 90°- α
Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a α e a
90-α, são simétricos em relação à reta de equação y = x.
Daí resulta que a abcissa de um é a ordenada do outro e reciprocamente, isto
é,

9. Ângulos do 2º Quadrante
Ângulos que diferem de 90°: α e 90° + α
A abcissa de Q é simétrica da ordenada de P, e a ordenada de Q é igual à abcissa
de P, isto é,
Ângulos Suplementares: α e 180° - α
Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a α e
180°- α, são simétricos em relação ao eixo das ordenadas. Daí resulta que as
ordenadas de P e Q são iguais e as suas abcissas são simétricas, isto é,
Ângulos do 3º Quadrante
Ângulos que diferem de 180º: α e 180° + α

10. Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a α e a
180° + α, são simétricos em relação a O.
Daí resulta que as suas ordenadas e as suas abcissas são simétricas, isto é,
Ângulos que somados valem 270º: α e 270º - α
Ângulos do 4º Quadrante
Ângulos que diferem de 270º: α e 270º + α

11. Ângulos Simétricos: α e −α
Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados α e
−α, são simétricos em relação ao eixo das abcissas.
Daí resulta que as abcissas de P e Q são iguais e as suas ordenadas são
simétricas, isto é,
OBS.: As relações que acabamos de estudar são válidas qualquer que seja a
amplitude α do ângulo (em graus ou radianos).
Valores de algumas razões trigonométricas:
1 0
°
0° °
30° °
45° °
60° °
90°
sen 0 1
cos
tg 0 1 ∞
cotg ∞ 1 0

12. Fórmulas Trigonométricas
Fórmula Fundamental
Fórmulas Secundárias
Fórmulas de Adição
Fórmulas de Duplicação
Fórmulas de Bissecção
Fórmulas de Transformação

13. OBS.: As fórmulas anteriores não são válidas se os denominadores tomarem
valores nulos.

14. Problemas Resolvidos
Nesta página são apresentados alguns problemas relacionados com o triângulo
retângulo. Para os resolver aplica os teus conhecimentos de trigonometria.
1. Uma cegonha tem o ninho num poste de alta tensão com
20 metros de altura (onde foi colocada uma placa especial
para a cegonha não correr nenhum risco). Vê um alimento
no chão e voa em direcção a ele numa inclinação de 35º.
Qual a extensão do voo da ave?
Solução: 1. Uma vez que nos é dado o ângulo de 35º e a medida do cateto adjacente a
esse ângulo e se pretende a medida da hipotenusa, o melhor é calcular o cos 35º.
Sabemos que
A extensão do voo da ave é de aproximadamente 24,4 metros.
2. Qual o ângulo de elevação da Lua quando numa
noite de lua cheia, a uma certa hora, a sombra de
uma pessoa com 1,80 m mede 3 metros?
Solução: 2. O melhor é calcular o valor da tg α, uma vez que nos é dada a medida do
cateto adjacente e a medida do cateto oposto.
O ângulo é de aproximadamente 31°.

15. 3. Determina a altura do Padrão dos
Descobrimentos atendendo aos dados
α = 2º β= 39º
Distância do Padrão P ao aparelho
T = 60 m.
Solução: 3. Como a altura do padrão dos descobrimentos é a soma da altura a com a
altura b, então determinemos esses valores.
4. De acordo com os dados da figura ao lado e
sabendo que o escadote fechado tem 2 m de altura,
determine a distância entre a lâmpada e o topo do
escadote.
Solução: 4. Determinemos a altura do escadote aberto
Logo, a distância entre a lâmpada e o topo do escadote é, aproximadamente, 70 cm.

16. 5. O Eduardo e a Maria resolveram ir ao jardim Zoológico e combinaram
encontrar-se junto aos répteis às 15 horas. Por acaso, chegaram ambos antes da
hora marcada e foram dando umas voltas para fazer tempo. A Maria foi primeiro
aos pássaros, passou pelo café, pelas girafas a pelos macacos antes de chegar aos
répteis. O Eduardo foi direito aos leões, passou pelas girafas e seguiu para os
répteis.
Qual dos dois andou mais?
Solução: 5. A Maria andou 250+450+60 =760 até aos macacos.
Dos macacos aos répteis andou x e x²=60²+130²
donde x=143,2.
Logo, a Maria andou 760+143,2=903,2.
O Eduardo andou y até chegar aos leões. Ora, y²=250²+ 250²
donde y=353,5.
Depois andou z até chegar às girafas, sendo z²=(250+335)²+300²
donde z=657,4.
Logo, o Eduardo andou 353,5+657,4+130=1140,9 até chegar aos répteis.
Como vês foi o Eduardo quem andou mais

17. 6. Em casa do Timóteo há uma sala retangular que
tem o chão coberto de quadrados de lado 10 cm. Um
dos lados contém 93 quadrados e o outro 231. Timóteo
traça uma linha reta unindo os dois cantos opostos.
Quantos quadrados mede essa linha?
Solução: 6. Consideremos a linha reta de um canto
ao outro.
Pelo Teorema de
Pitágoras vem que
a²=930²+2310² e
portanto,
a=2490,180716
7. Diz se são verdadeirasou falsas cada uma das afirmações:
a) Num triângulo retângulo a soma dos catetos é igual à hipotenusa.
b) Num triângulo retângulo a soma dos catetos é igual à hipotenusa ao
quadrado.
c) Num triângulo retângulo a soma do quadrado dos catetos é igual à
hipotenusa ao quadrado.
d) Num triângulo retângulo é sempre verificável o Teorema de Pitágoras.
Solução: 7. a) Falsa
b) Falsa
c) Falsa
d) Verdadeira
8. "Num triângulo retângulo a hipotenusa é sempre o maior dos lados".
Diz se esta afirmação é verdadeira ou falsa e apresenta argumentos que a
validem ou a refutem.
Solução: 8. A afirmação é verdadeira.
9. O triângulo [ABC] é um triângulo retângulo e [BC] é perpendicular a [AC].
Completa as seguintes igualdades:
a) [AB]² + ...... = [AC]²
Solução: 9.
b) [AB]² = ...... + ......
c) [DC]² + ...... = ...... a) [AB]² + [BC]² = [AC]²
b) [AB]² = [AD]² + [DB]²
c) [DC]² + [BD]² = [BC]²

18. 10. Resolve a seguinte equação trigonométrica:
a)
b)
c)
Solução: 10.
a)
com K∈ Z.
b)
com K∈ Z.
c) Como
Então

19. 11. Recorrendo ao círculo trigonométrico exprime em função de sen b e cos b a
seguinte expressão:
11.Como
então,
12. Prova que, para todo o a e b, se tem:
12. Pela fórmula fundamental da trigonometria, temos que
e
Então
13. Verifica se a bengala da figura
cabe dentro da caixa.
13. A diagonal da base da caixa mede 85cm, pois pelo teorema de Pitágoras
x² = 75² + 40²
x² = 7225
x = 85
Logo a bengala cabe na caixa.

20. 14. Uma aranha encontra-se no canto superior A de um
salão retangular, com 20 m de comprimento, 15 m de
largura e 10 m de altura. Olhando ao longe, depara-se-lhe
um petisco apetitoso no canto mais longínquo do salão,
em G.
Qual o comprimento de fio de teia mínimo que a aranha
terá de tecer para conseguir atingir o tão desejado
almoço?
Para responder, precisas de saber o
Teorema de Pitágoras no espaço.
Será que és capaz de orientar a aranha
até ao seu petisco?
14. O caminho mais curto é o segmento [AG], que é a hipotenusa do triângulo retângulo
interno no salão
O segmento [EG] é a diagonal da base, então
[EG]² = 15² + 20²
[EG]² = 225 + 400 = 625
[EG] = 25
Então
[AG]² = 10² + 25² = 725
[AG] = 27
O caminho mais curto entre a aranha e o petisco é de 27m.