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Álgebra e Geometria
Circunferência e círculo
• Todo segmento que liga um ponto da circunferência
ao centro é chamado de raio da circunferência.
• Todos os raios
têm a mesma
medida de
comprimento.

• Todo diâmetro
mede o dobro
do raio.
• Círculo é a região
plana limitada por
uma circunferência.

B

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A

O

• Todo segmento que
liga dois pontos da
circunferência e
passa pelo centro é
chamado de
diâmetro da
circunferência.
• O centro não
faz parte da
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• Uma circunferência é formada por todos os pontos de um plano cuja
distância a um ponto do mesmo plano (centro) é sempre a mesma.
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Álgebra e Geometria
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Circunferência
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Álgebra e Geometria
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Álgebra e Geometria
Posições relativas de uma reta e de uma circunferência

A reta t é tangente
à circunferência.

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C

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à circunferência.

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à circunferência.

r

d<r
B

r

d>r

4
Álgebra e Geometria
Propriedades da tangente
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perpendicular ao raio no ponto de tangência

s

r
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s é tangente à circunferência, então s
é perpendicular a
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a reta s tangente à circunferência no ponto A.
Álgebra e Geometria
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Álgebra e Geometria
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P

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P

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11
Álgebra e Geometria
Posições relativas de duas circunferências
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12
Álgebra e Geometria
Circunferências com dois pontos comuns
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13
Álgebra e Geometria
Ângulos em uma circunferência
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• O vértice O é o centro da circunferência.
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• Seus lados determinam dois raios da
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14
Álgebra e Geometria
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G

• Os lados determinam duas cordas na
circunferência (
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correspondente não contém o vértice.

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15
Álgebra e Geometria
Relação entre ângulo central e ângulo inscrito de mesmo arco
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mesmo arco correspondente, então a medida do ângulo central é o dobro
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A

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16
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Ângulos de segmento
Um ângulo com o vértice na circunferência, com um dos lados sobre uma
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Apresentação circulo e circunferência

  • 1. Álgebra e Geometria Circunferência e círculo • Todo segmento que liga um ponto da circunferência ao centro é chamado de raio da circunferência. • Todos os raios têm a mesma medida de comprimento. • Todo diâmetro mede o dobro do raio. • Círculo é a região plana limitada por uma circunferência. B D A O • Todo segmento que liga dois pontos da circunferência e passa pelo centro é chamado de diâmetro da circunferência. • O centro não faz parte da circunferência. • Uma circunferência é formada por todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto do mesmo plano (centro) é sempre a mesma. 1
  • 2. Álgebra e Geometria Circunferência, ângulo central, círculo e setor circular Circunferência Ângulo central em uma circunferência Setor circular Círculo 2
  • 3. Álgebra e Geometria Divisão da circunferência em partes iguais Construção de polígonos regulares Exemplo: Vamos construir um pentágono regular: 360º –35 10 –10 0 5 72º 72º 3
  • 4. Álgebra e Geometria Posições relativas de uma reta e de uma circunferência A reta t é tangente à circunferência. r C d=r A A reta s é secante à circunferência. A reta u é externa à circunferência. r d<r B r d>r 4
  • 5. Álgebra e Geometria Propriedades da tangente 1ª propriedade: Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência s r O T s é tangente à circunferência, então s é perpendicular a
  • 6. Álgebra e Geometria Propriedades da tangente Exemplo: Tendo como base a figura abaixo, calcular as medidas x, y e z, sendo a reta s tangente à circunferência no ponto A.
  • 8. Álgebra e Geometria Propriedades da tangente Veja a figura: Os triângulos PAO e PBO são congruentes pelo Caso Especial, já que: AO BO OP OP (lado comum)  O AP OBP 90
  • 9. Álgebra e Geometria Propriedades da tangente Exemplo: Qual o valor de x na figura? Aplicando a 2ª propriedade:
  • 10. Álgebra e Geometria Circunferência inscrita e circunferência circunscrita a um polígono Circunferência inscrita no quadrado Circunferência circunscrita no hexágono 10
  • 11. Álgebra e Geometria Posições relativas entre um ponto e uma circunferência P O P O O ponto P é pertencente à circunferência O O ponto P é interno à circunferência P d P pertence à circunferência d=r O ponto P é externo à circunferência P r O P r d O r P é interno d<r O P d P é externo d>r 11
  • 12. Álgebra e Geometria Posições relativas de duas circunferências Circunferências com um só ponto comum O1 C2 r1 A O1 ≡ O2 r2 O2 Tangentes externas: d = r1 + r2 d r1 C1 r2 Circunferências concêntricas d A O1 O2 Tangentes internas: d = r1 – r2, com r1 > r2 12
  • 13. Álgebra e Geometria Circunferências com dois pontos comuns A r2 r1 O2 O1 r1 – r2 < d < r1 + r2, com r1 ≥ r2 d B Circunferências sem pontos comuns d d O1 r1 O1 A B r2 Externas: d > r1 + r2 O2 O2 B A Internas: d < r1 – r2, com r1 > r2 13
  • 14. Álgebra e Geometria Ângulos em uma circunferência Ângulo central • O vértice O é o centro da circunferência. A S • x 360º – x • Seus lados determinam dois raios da circunferência ( e ). : ângulo central de medida x. O • B • (em azul): arco de medida angular x. (laranja): arco de medida angular 360º – x. 14
  • 15. Álgebra e Geometria Ângulo inscrito E • O vértice F é um ponto da circunferência. G • Os lados determinam duas cordas na circunferência ( e ). • O arco correspondente não contém o vértice. F 15
  • 16. Álgebra e Geometria Relação entre ângulo central e ângulo inscrito de mesmo arco Se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma circunferência têm o mesmo arco correspondente, então a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito. Demonstração: A é um ângulo central de arco e medida x. é um ângulo inscrito também de arco medida y. y e O x é um diâmetro da circunferência. B O C é isósceles, pois também mede y. (raios). Logo, Como é um ângulo externo do , sua medida x é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele (y + y). Logo, x = y + y ou x = 2y, como queríamos demonstrar. 16
  • 17. Álgebra e Geometria Ângulos de segmento Um ângulo com o vértice na circunferência, com um dos lados sobre uma tangente e o outro sobre uma secante, determinando uma corda, é chamado ângulo de segmento. O B A C 17