Este documento apresenta 154 exercícios de álgebra linear envolvendo vetores em 2 e 3 dimensões. Os exercícios abordam tópicos como determinação de igualdade entre vetores, expressão de vetores como combinação linear de outros vetores, divisão de segmentos vetoriais em partes iguais e cálculo de normas e versores. As respostas são fornecidas de forma sucinta para cada questão.
This document discusses affine functions. It defines affine functions as functions of the form f(x) = ax + b, where a and b are real numbers. It provides examples of linear functions where b = 0, constant functions where a = 0, and the identity function where a = 1 and b = 0. It discusses the angular coefficient a and the linear coefficient b. It explains that the graph of an affine function is a straight line that can be increasing or decreasing. It also discusses finding the zero or root of an affine function and studying the sign of an affine function.
Mat exercicios resolvidos – superficies quadricastrigono_metria
Este documento apresenta diferentes tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides elípticos e cônicas. Fornece as equações para cada superfície e explica graficamente suas características. Resolve exemplos passo a passo para identificar superfícies a partir de suas equações.
O documento apresenta um resumo de conteúdos de matemática do 3o bimestre do 9o ano, incluindo razões trigonométricas, resolução de equações e problemas envolvendo triângulos retângulos e figuras geométricas.
(1) O documento apresenta exercícios resolvidos sobre fatoração de polinômios, incluindo fatoração simples, por agrupamento, diferença de dois quadrados e trinômios quadrados perfeitos.
(2) Demonstra também exemplos da fatoração da soma e da diferença de dois cubos, além de expressões tornadas irredutíveis.
(3) Fornece detalhadamente os passos para fatorar diferentes tipos de expressões algébricas.
Este documento apresenta exercícios sobre elipses, incluindo determinar seus focos, excentricidades, eixos, áreas e pontos de intersecção com outras curvas. O documento contém 8 questões que abordam como calcular propriedades geométricas básicas de elipses dadas suas equações ou elementos constituintes, como centro, vértices e focos.
O documento apresenta 30 exercícios sobre funções afins e inequações do 1o grau. Os exercícios envolvem identificar equações de retas a partir de pontos, determinar valores de variáveis para satisfazer propriedades das funções, resolver inequações e sistemas de inequações.
O documento apresenta exercícios sobre matrizes e determinantes. No primeiro exercício sobre matrizes, pede para calcular 2A + 3B para diferentes matrizes A e B. No segundo exercício, pede para escrever uma matriz A na forma de produto escalar e produto de matrizes. No terceiro, calcula produtos de matrizes e vetores. Sobre determinantes, pede para calcular determinantes, identificar valores que anulam determinantes e usar o teorema de Laplace.
This document discusses affine functions. It defines affine functions as functions of the form f(x) = ax + b, where a and b are real numbers. It provides examples of linear functions where b = 0, constant functions where a = 0, and the identity function where a = 1 and b = 0. It discusses the angular coefficient a and the linear coefficient b. It explains that the graph of an affine function is a straight line that can be increasing or decreasing. It also discusses finding the zero or root of an affine function and studying the sign of an affine function.
Mat exercicios resolvidos – superficies quadricastrigono_metria
Este documento apresenta diferentes tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides elípticos e cônicas. Fornece as equações para cada superfície e explica graficamente suas características. Resolve exemplos passo a passo para identificar superfícies a partir de suas equações.
O documento apresenta um resumo de conteúdos de matemática do 3o bimestre do 9o ano, incluindo razões trigonométricas, resolução de equações e problemas envolvendo triângulos retângulos e figuras geométricas.
(1) O documento apresenta exercícios resolvidos sobre fatoração de polinômios, incluindo fatoração simples, por agrupamento, diferença de dois quadrados e trinômios quadrados perfeitos.
(2) Demonstra também exemplos da fatoração da soma e da diferença de dois cubos, além de expressões tornadas irredutíveis.
(3) Fornece detalhadamente os passos para fatorar diferentes tipos de expressões algébricas.
Este documento apresenta exercícios sobre elipses, incluindo determinar seus focos, excentricidades, eixos, áreas e pontos de intersecção com outras curvas. O documento contém 8 questões que abordam como calcular propriedades geométricas básicas de elipses dadas suas equações ou elementos constituintes, como centro, vértices e focos.
O documento apresenta 30 exercícios sobre funções afins e inequações do 1o grau. Os exercícios envolvem identificar equações de retas a partir de pontos, determinar valores de variáveis para satisfazer propriedades das funções, resolver inequações e sistemas de inequações.
O documento apresenta exercícios sobre matrizes e determinantes. No primeiro exercício sobre matrizes, pede para calcular 2A + 3B para diferentes matrizes A e B. No segundo exercício, pede para escrever uma matriz A na forma de produto escalar e produto de matrizes. No terceiro, calcula produtos de matrizes e vetores. Sobre determinantes, pede para calcular determinantes, identificar valores que anulam determinantes e usar o teorema de Laplace.
Este documento lista uma série de "Questões Resolvidas" sobre diversos assuntos como matemática, física e lógica. As questões 1-20 abordam vários tópicos diferentes e as questões 21-26 discutem tópicos específicos como binômio de Newton, razões e problemas lógicos. O documento também fornece resumos detalhados das soluções para cada questão.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática sobre proporções e razões para alunos do 7o ano.
2) Os exercícios incluem cálculos de proporções, classificação de grandezas como direta ou inversamente proporcionais, cálculos de razões e porcentagens.
3) As questões envolvem tópicos como proporções, razões, porcentagens, gráficos, consumo de energia e produção.
1) Uma função quadrática é definida como f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
2) O sinal de a determina a concavidade da parábola, enquanto os zeros da função determinam os pontos onde a parábola intercepta o eixo x.
3) O vértice da parábola tem coordenadas (-b/2a, f(-b/2a)) e indica o ponto de mínimo ou máximo
A função do 1o grau passa pelos pontos (0,0) e (1,3). Determina-se a equação da reta y=x+3, que é crescente, e os valores de f para diferentes valores de x. A raiz da função é -3.
Resolução da prova do colégio naval de 20042marrow
[1] O documento apresenta um problema geométrico envolvendo a divisão de um retângulo ABCD em dois polígonos: um quadrado AEFD e um retângulo EBCF semelhante ao retângulo original.
[2] É dada a informação de que os lados do retângulo original são AB = a e BC = b, sendo a > b.
[3] O problema não fornece mais detalhes, mas parece requerer a análise da divisão do retângulo e a caracterização geométrica dos dois polígonos formados.
O documento contém exercícios sobre potenciação e radiciação. Inclui cálculos de potências com diferentes bases e expoentes, simplificação de expressões usando propriedades de potenciação, e transformação de expressões em radiciais. O documento fornece dicas e instruções para resolver os exercícios passo a passo e evitar erros.
O documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação. Nos exercícios 1 e 2, pede-se para calcular potências e observar os resultados. Nos exercícios 3 a 5, requer-se resolver potências passo a passo e simplificar expressões usando propriedades da potenciação. Nos exercícios 6 e 7, solicita-se simplificar expressões e resolver problemas usando potências de mesma base. Finalmente, o exercício 8 pede para transformar expressões em radicais.
The document discusses quadratic functions f(x) = ax^2 + bx + c. It defines quadratic functions and discusses their graphs, concavity, zeros (roots), vertex, axis of symmetry, and examples of sketching graphs of specific quadratic functions. It provides formulas for determining the vertex coordinates and zeros. Examples are worked out finding the domain, image, zeros, y-intercept, and sketching the graph for functions like f(x) = x^2 - 4x + 3.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre trigonometria que envolvem redução de ângulos ao primeiro quadrante, cálculo de ângulos formados entre ponteiros de relógio e expressões trigonométricas.
2. Os exercícios abordam tópicos como medida de ângulos centrais correspondentes a arcos, cálculo de valores trigonométricos, redução de ângulos ao primeiro quadrante e cálculo de ângulos formados entre ponteiros de relógio.
3. As questões variam entre
9 º ano função de 1º grau e teorema de tales exercíciosAndréia Rodrigues
1) O documento contém uma lista de exercícios sobre funções de primeiro grau. Inclui determinar valores de funções afins dadas, calcular valores de x para f(x)=g(x) e f(x)=constante, e classificar funções como crescentes ou decrescentes.
2) Também contém exercícios sobre interpretar tabelas e gráficos para identificar leis de formação de funções e seus zeros.
3) Inclui ainda problemas geométricos sobre cálculo de medidas de terrenos e comprimentos com base em informações dadas
Este documento es una guía de estudio para tercero medio sobre los teoremas de Pitágoras, Thales y Euclides. Contiene 15 problemas para aplicar estos teoremas al cálculo de lados, áreas y alturas de triángulos y figuras geométricas. El objetivo es que los estudiantes aprendan a aplicar estos teoremas matemáticos fundamentales para resolver problemas que involucren triángulos rectángulos y proporcionalidad.
1) O documento resume os principais conceitos de geometria analítica, incluindo como calcular a distância entre dois pontos e a razão de secção de um segmento, bem como as equações para reta, circunferência, elipse, hipérbole e parábola.
2) Também explica como determinar o ponto médio de um segmento, o baricentro de um triângulo, a condição de alinhamento e o coeficiente angular de uma reta.
3) Por fim, aborda as posições relativas de retas no plano e como
The document is about quadratic polynomial functions and contains the following information:
1. It discusses investigating relationships between numbers expressed in tables to represent them in the Cartesian plane, identifying patterns and creating conjectures to generalize and algebraically express this generalization, recognizing when this representation is a quadratic polynomial function of the type y = ax^2.
2. It provides examples of converting algebraic representations of quadratic polynomial functions into geometric representations in the Cartesian plane, distinguishing cases in which one variable is directly proportional to the square of the other, using or not using software or dynamic algebra and geometry applications.
3. It discusses characterizing the coefficients of quadratic functions, constructing their graphs in the Cartesian plane, and determining their zeros (
1) O documento apresenta uma lista de 21 exercícios de geometria envolvendo o teorema de Tales sobre retas paralelas cortadas por uma transversal. Os exercícios incluem calcular medidas desconhecidas, determinar comprimentos de segmentos e lados de triângulos, e resolver problemas envolvendo sombras, alturas de postes e dimensões de terrenos e quarteirões.
Este documento apresenta uma lista de exercícios de divisão de polinômios com 4 questões. As questões pedem para identificar o quociente ou resto resultante da divisão de determinados polinômios.
O documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação e radiciação. Os exercícios envolvem calcular potências com diferentes bases e expoentes, simplificar expressões usando propriedades de potenciação, e transformar expressões em radiciais.
1) O documento apresenta 10 questões de matemática sobre progressão aritmética.
2) As questões abordam tópicos como cálculo de termos, razão e soma dos termos de PAs.
3) É fornecido o gabarito com as respostas corretas para cada uma das questões.
Apostila de Função e Função do 1º Grau (25 páginas, 118 questões, com g...ZejucanaMatematica
O documento discute conceitos fundamentais de funções matemáticas do 1o grau, incluindo: (1) definição de função e representações gráficas de relações no plano cartesiano; (2) domínio, imagem e contradomínio de funções; (3) funções polinomiais do 1o grau e suas propriedades gráficas e algébricas. Exemplos e exercícios são fornecidos para auxiliar na compreensão dos conceitos.
Lista de exercícios equações fracionárias e sistema de inequaçõesluisresponde
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre equações e sistemas de inequações fracionárias. Inclui resolução de equações, determinação de conjuntos-solução e valores de expressões.
2) A segunda questão pede para calcular o valor de uma expressão dada a solução de uma equação fracionária.
3) A última questão é um desafio que pede para calcular o tempo restante para encher um tanque dado o tempo de enchimento de 4 torneiras.
O documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação e radiciação. São propostos cálculos envolvendo potenciação de números inteiros, fracionários e radiciais, além de simplificação e transformação de expressões algébricas usando propriedades das potências.
1. O documento apresenta a resolução de exercícios sobre produto vetorial e produto misto. No primeiro exercício, calcula-se o ângulo entre os vetores u e v, que é de 5π/6. No segundo, determina-se um vetor a ortogonal a u e v, sendo a = (√3, -√3, -√3). No terceiro, calcula-se o valor de m para que a equação v = u × w tenha solução, sendo m = 12, e resolve-se a equação para este valor de m.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo:
1) Sistema de coordenadas cartesianas e localização de pontos no plano.
2) Noções de quadrantes, bissetrizes e distância entre pontos.
3) Condições para alinhamento de três pontos no plano.
O texto é acompanhado por exemplos resolvidos e exercícios propostos sobre os tópicos apresentados.
Este documento lista uma série de "Questões Resolvidas" sobre diversos assuntos como matemática, física e lógica. As questões 1-20 abordam vários tópicos diferentes e as questões 21-26 discutem tópicos específicos como binômio de Newton, razões e problemas lógicos. O documento também fornece resumos detalhados das soluções para cada questão.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática sobre proporções e razões para alunos do 7o ano.
2) Os exercícios incluem cálculos de proporções, classificação de grandezas como direta ou inversamente proporcionais, cálculos de razões e porcentagens.
3) As questões envolvem tópicos como proporções, razões, porcentagens, gráficos, consumo de energia e produção.
1) Uma função quadrática é definida como f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
2) O sinal de a determina a concavidade da parábola, enquanto os zeros da função determinam os pontos onde a parábola intercepta o eixo x.
3) O vértice da parábola tem coordenadas (-b/2a, f(-b/2a)) e indica o ponto de mínimo ou máximo
A função do 1o grau passa pelos pontos (0,0) e (1,3). Determina-se a equação da reta y=x+3, que é crescente, e os valores de f para diferentes valores de x. A raiz da função é -3.
Resolução da prova do colégio naval de 20042marrow
[1] O documento apresenta um problema geométrico envolvendo a divisão de um retângulo ABCD em dois polígonos: um quadrado AEFD e um retângulo EBCF semelhante ao retângulo original.
[2] É dada a informação de que os lados do retângulo original são AB = a e BC = b, sendo a > b.
[3] O problema não fornece mais detalhes, mas parece requerer a análise da divisão do retângulo e a caracterização geométrica dos dois polígonos formados.
O documento contém exercícios sobre potenciação e radiciação. Inclui cálculos de potências com diferentes bases e expoentes, simplificação de expressões usando propriedades de potenciação, e transformação de expressões em radiciais. O documento fornece dicas e instruções para resolver os exercícios passo a passo e evitar erros.
O documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação. Nos exercícios 1 e 2, pede-se para calcular potências e observar os resultados. Nos exercícios 3 a 5, requer-se resolver potências passo a passo e simplificar expressões usando propriedades da potenciação. Nos exercícios 6 e 7, solicita-se simplificar expressões e resolver problemas usando potências de mesma base. Finalmente, o exercício 8 pede para transformar expressões em radicais.
The document discusses quadratic functions f(x) = ax^2 + bx + c. It defines quadratic functions and discusses their graphs, concavity, zeros (roots), vertex, axis of symmetry, and examples of sketching graphs of specific quadratic functions. It provides formulas for determining the vertex coordinates and zeros. Examples are worked out finding the domain, image, zeros, y-intercept, and sketching the graph for functions like f(x) = x^2 - 4x + 3.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre trigonometria que envolvem redução de ângulos ao primeiro quadrante, cálculo de ângulos formados entre ponteiros de relógio e expressões trigonométricas.
2. Os exercícios abordam tópicos como medida de ângulos centrais correspondentes a arcos, cálculo de valores trigonométricos, redução de ângulos ao primeiro quadrante e cálculo de ângulos formados entre ponteiros de relógio.
3. As questões variam entre
9 º ano função de 1º grau e teorema de tales exercíciosAndréia Rodrigues
1) O documento contém uma lista de exercícios sobre funções de primeiro grau. Inclui determinar valores de funções afins dadas, calcular valores de x para f(x)=g(x) e f(x)=constante, e classificar funções como crescentes ou decrescentes.
2) Também contém exercícios sobre interpretar tabelas e gráficos para identificar leis de formação de funções e seus zeros.
3) Inclui ainda problemas geométricos sobre cálculo de medidas de terrenos e comprimentos com base em informações dadas
Este documento es una guía de estudio para tercero medio sobre los teoremas de Pitágoras, Thales y Euclides. Contiene 15 problemas para aplicar estos teoremas al cálculo de lados, áreas y alturas de triángulos y figuras geométricas. El objetivo es que los estudiantes aprendan a aplicar estos teoremas matemáticos fundamentales para resolver problemas que involucren triángulos rectángulos y proporcionalidad.
1) O documento resume os principais conceitos de geometria analítica, incluindo como calcular a distância entre dois pontos e a razão de secção de um segmento, bem como as equações para reta, circunferência, elipse, hipérbole e parábola.
2) Também explica como determinar o ponto médio de um segmento, o baricentro de um triângulo, a condição de alinhamento e o coeficiente angular de uma reta.
3) Por fim, aborda as posições relativas de retas no plano e como
The document is about quadratic polynomial functions and contains the following information:
1. It discusses investigating relationships between numbers expressed in tables to represent them in the Cartesian plane, identifying patterns and creating conjectures to generalize and algebraically express this generalization, recognizing when this representation is a quadratic polynomial function of the type y = ax^2.
2. It provides examples of converting algebraic representations of quadratic polynomial functions into geometric representations in the Cartesian plane, distinguishing cases in which one variable is directly proportional to the square of the other, using or not using software or dynamic algebra and geometry applications.
3. It discusses characterizing the coefficients of quadratic functions, constructing their graphs in the Cartesian plane, and determining their zeros (
1) O documento apresenta uma lista de 21 exercícios de geometria envolvendo o teorema de Tales sobre retas paralelas cortadas por uma transversal. Os exercícios incluem calcular medidas desconhecidas, determinar comprimentos de segmentos e lados de triângulos, e resolver problemas envolvendo sombras, alturas de postes e dimensões de terrenos e quarteirões.
Este documento apresenta uma lista de exercícios de divisão de polinômios com 4 questões. As questões pedem para identificar o quociente ou resto resultante da divisão de determinados polinômios.
O documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação e radiciação. Os exercícios envolvem calcular potências com diferentes bases e expoentes, simplificar expressões usando propriedades de potenciação, e transformar expressões em radiciais.
1) O documento apresenta 10 questões de matemática sobre progressão aritmética.
2) As questões abordam tópicos como cálculo de termos, razão e soma dos termos de PAs.
3) É fornecido o gabarito com as respostas corretas para cada uma das questões.
Apostila de Função e Função do 1º Grau (25 páginas, 118 questões, com g...ZejucanaMatematica
O documento discute conceitos fundamentais de funções matemáticas do 1o grau, incluindo: (1) definição de função e representações gráficas de relações no plano cartesiano; (2) domínio, imagem e contradomínio de funções; (3) funções polinomiais do 1o grau e suas propriedades gráficas e algébricas. Exemplos e exercícios são fornecidos para auxiliar na compreensão dos conceitos.
Lista de exercícios equações fracionárias e sistema de inequaçõesluisresponde
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre equações e sistemas de inequações fracionárias. Inclui resolução de equações, determinação de conjuntos-solução e valores de expressões.
2) A segunda questão pede para calcular o valor de uma expressão dada a solução de uma equação fracionária.
3) A última questão é um desafio que pede para calcular o tempo restante para encher um tanque dado o tempo de enchimento de 4 torneiras.
O documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação e radiciação. São propostos cálculos envolvendo potenciação de números inteiros, fracionários e radiciais, além de simplificação e transformação de expressões algébricas usando propriedades das potências.
1. O documento apresenta a resolução de exercícios sobre produto vetorial e produto misto. No primeiro exercício, calcula-se o ângulo entre os vetores u e v, que é de 5π/6. No segundo, determina-se um vetor a ortogonal a u e v, sendo a = (√3, -√3, -√3). No terceiro, calcula-se o valor de m para que a equação v = u × w tenha solução, sendo m = 12, e resolve-se a equação para este valor de m.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo:
1) Sistema de coordenadas cartesianas e localização de pontos no plano.
2) Noções de quadrantes, bissetrizes e distância entre pontos.
3) Condições para alinhamento de três pontos no plano.
O texto é acompanhado por exemplos resolvidos e exercícios propostos sobre os tópicos apresentados.
O documento discute tópicos de Geometria Analítica, incluindo coordenadas cartesianas no plano, área de triângulos, condição de alinhamento de pontos, equação geral da reta e outros.
O documento apresenta 11 problemas de geometria vetorial envolvendo cálculos com vetores, produto vetorial e misto. Os problemas incluem determinar coordenadas de vetores, valores que satisfaçam certas condições geométricas, áreas e volumes de figuras geométricas definidas por vetores.
1) O documento descreve as propriedades geométricas e equações de elipses, incluindo que a soma das distâncias de um ponto a dois focos é constante e que ondas de luz são refletidas entre os focos.
2) Exemplos mostram como obter a equação de uma elipse colocando os focos no eixo x e determinar coordenadas dos vértices.
3) Exercícios são resolvidos e propostos envolvendo encontrar focos, vértices e equações de elipses.
O documento discute os conceitos fundamentais de álgebra linear, incluindo tipos de vetores, operações entre vetores, representação de vetores no R2 e R3, produto escalar, produto vetorial e produto misto. É dividido em sete seções que introduzem esses tópicos de forma progressiva, com exemplos ilustrativos e exercícios resolvidos.
Este documento apresenta o índice detalhado de um livro sobre geometria analítica e vetores. O índice inclui tópicos como sistemas de coordenadas em 1, 2 e 3 dimensões, relações segmentares, vetores e suas aplicações geométricas clássicas.
O documento apresenta os conceitos básicos de cálculo vetorial, incluindo definições de vetor, adição e subtração vetorial, produto escalar e vetorial. Explica como representar grandezas físicas como vetores e como decompor vetores em componentes.
O documento apresenta o planejamento de uma recuperação final de Matemática para alunos do 8o ano do Colégio Visconde de Porto Seguro. O planejamento inclui um roteiro de estudos, listas de exercícios, revisão dos principais conteúdos, aulas para tirar dúvidas e uma prova de recuperação.
Souza, sérgio de a. calculo vetorial e geometria analíticaDuke Wdealmei
Este documento apresenta o conteúdo do curso de Cálculo Vetorial e Geometria Analítica, incluindo informações sobre o professor, carga horária, objetivos, projeto da disciplina e unidades temáticas. O curso irá introduzir conceitos de vetores no espaço tridimensional e suas aplicações para resolução de problemas geométricos.
Este documento apresenta a resolução de quatro problemas de geometria analítica. O primeiro problema envolve escrever um vetor em função de outros dois vetores. O segundo problema determina valores que fazem com que o volume de um paralelepípedo seja 11 unidades. O terceiro problema envolve encontrar equações paramétricas e de interseção de uma reta com planos. O quarto problema localiza pontos equidistantes de dois outros pontos.
Este documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre produto escalar e geometria analítica. Os exercícios envolvem cálculo de ângulos entre vetores, determinação de vetores ortogonais, decomposição de vetores e projeções de vetores.
Resolução da P1 de Geometria Analítica, modelo A.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
Este documento fornece um resumo sobre funções do 2o grau. Em três frases ou menos:
A função do 2o grau é definida pela expressão y=ax2+bx+c, onde a, b e c são constantes. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola, cujo vértice pode ser encontrado calculando -b/2a. O sinal de a determina se a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo.
O documento fornece instruções sobre como resolver problemas de física em 4 etapas: 1) ler o problema cuidadosamente, 2) fazer um esquema para visualizar a situação, 3) montar as equações matemáticas e fazer os cálculos, e 4) interpretar os resultados de forma crítica para chegar à conclusão correta.
O documento apresenta uma lista de 53 exercícios de geometria plana sobre ângulos, triângulos e paralelismo de retas. Os exercícios envolvem cálculos de medidas de ângulos, propriedades de figuras planas e relações métricas entre os elementos das figuras.
Este documento apresenta a resolução de exercícios de cálculo de funções de várias variáveis. Os exercícios incluem encontrar funções para expressar relações geométricas e físicas, determinar domínios e conjuntos imagem de funções, e representar graficamente funções.
Questões Corrigidas, em Word: Vetores - Conteúdo vinculado ao blog http...Rodrigo Penna
As três frases essenciais do documento são:
1) O documento apresenta questões corrigidas sobre vetores, incluindo questões de aceleração, decomposição de vetores e soma vetorial.
2) As correções fornecem explicações concisas dos conceitos de vetores e cinemática envolvidos em cada questão.
3) Ao todo, 12 questões são apresentadas e corrigidas usando figuras, equações e raciocínio qualitativo para esclarecer os conceitos.
1) O documento discute grandezas físicas escalares e vetoriais, sendo que vetoriais possuem intensidade, direção e sentido representados por vetores.
2) A adição de vetores é feita pela regra da linha poligonal, enquanto a subtração é equivalente à adição do vetor oposto.
3) A multiplicação de um vetor por um escalar altera apenas sua intensidade, mantendo ou invertendo sua direção de acordo com o sinal do escalar.
Este documento apresenta 60 exercícios sobre vetores, incluindo determinação de vetores, operações entre vetores como soma, produto escalar e produto vetorial, decomposição de vetores, ângulos entre vetores e projeções. As respostas são fornecidas para cada exercício.
1) Triângulos semelhantes e suas propriedades métricas. 2) Teorema de Pitágoras e propriedades do triângulo retângulo. 3) Propriedades do triângulo equilátero. 4) Fórmulas para calcular áreas de figuras planas como paralelogramos, triângulos, trapézios e retângulos.
1) O documento contém uma série de exercícios sobre vetores geométricos. Inclui determinar se afirmações sobre figuras geométricas são verdadeiras ou falsas, calcular vetores com origem em pontos dados e realizar operações com vetores como soma, produto escalar e produto vetorial.
1) Qualquer ponto de um plano determina infinitas retas.
2) Cinco pontos distintos de um mesmo plano determinam, no máximo, dez segmentos de retas distintas.
3) Se A é o ponto médio do segmento AB e M é o ponto médio de AM, então a medida do segmento MB é 3 cm.
1) O documento descreve vários paralelepípedos definidos em referenciais ortonormados OXYZ, com dados sobre os vértices e equações dos planos das faces.
2) São apresentados exercícios sobre determinação de vértices, equações de planos, sistemas de equações de retas e condições que definem segmentos e semirretas.
3) São fornecidos ainda exemplos de sólidos compostos por um cubo e uma pirâmide, bem como um prisma triangular e um prisma quadrangular cortado por uma pirâmide
1) O documento apresenta 20 exercícios de matemática da Fuvest, cobrindo tópicos como geometria plana e espacial, trigonometria, álgebra, progressões aritméticas e probabilidade.
2) Os exercícios envolvem cálculos e resoluções de sistemas de equações, determinação de áreas, volumes, razões, probabilidades e outras grandezas matemáticas.
3) As questões requerem diferentes níveis de raciocínio matemático para chegar às respostas corretas.
Dois triângulos são semelhantes se tiverem ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes forem proporcionais. O Teorema Fundamental da Semelhança estabelece que se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo cortar os outros dois, determina um triângulo semelhante.
Este documento contém um teste de Português, Matemática, Física, Química e Biologia com questões de múltipla escolha. O teste inclui textos, figuras e tabelas para analisar as questões.
1. O documento apresenta 9 questões sobre ângulos em figuras geométricas.
2. As questões envolvem cálculo de medidas de ângulos, determinação de valores desconhecidos e escolha de alternativas corretas sobre figuras como triângulos, paralelogramos e estruturas mecânicas.
3. São requisitados conhecimentos básicos de geometria plana para resolver as questões.
1. O documento apresenta questões de matemática do 10o ano sobre geometria, álgebra e funções. 2. Aborda temas como hexágonos regulares, interseção de superfícies, áreas de triângulos, funções e suas propriedades gráficas. 3. Inclui também exercícios sobre representação de regiões planas, esferas, propriedades de funções e interpretação de gráficos.
O documento contém 28 exercícios sobre curvas e superfícies em coordenadas cartesianas e cilíndricas. Os exercícios incluem identificar equações de curvas e superfícies, esboçar gráficos, e encontrar interseções entre curvas e superfícies. Muitos exercícios envolvem sólidos definidos por combinações de curvas e superfícies.
Este documento fornece 5 testes de matemática do 11o ano sobre trigonometria, funções trigonométricas e geometria. Inclui os testes, respostas e oferece o material ao aluno.
O documento apresenta 25 questões sobre cônicas, principalmente elipses. As questões abordam conceitos como equações de elipses, área de elipses, distância focal, excentricidade, pontos de interseção entre elipses e retas, e locais geométricos definidos por elipses.
O documento apresenta 25 questões sobre cônicas, principalmente elipses. As questões abordam conceitos como equações de elipses, área de elipses, distância focal, excentricidade, pontos de interseção entre elipses e retas, e locais geométricos definidos por elipses.
Este documento apresenta 18 exercícios sobre áreas de figuras planas, incluindo triângulos, paralelogramos e polígonos. Os exercícios abordam cálculo de áreas utilizando fórmulas, propriedades geométricas e razões entre segmentos e áreas de regiões relacionadas.
1) O documento discute geometria analítica, especificamente cônicas como elipses, hipérboles e parábolas.
2) Inclui exemplos de problemas e suas respostas sobre equações de cônicas.
3) Fornece também dois testes de vestibulares com mais problemas sobre identificação e propriedades de curvas cônicas.
1. O documento apresenta um teste de matemática com 5 grupos de questões sobre trigonometria, funções, vetores e geometria espacial. Cada grupo contém entre 2 a 5 questões de escolha múltipla ou resolução de exercícios.
1. O documento apresenta 10 exercícios de vetores e geometria analítica envolvendo vetores, retas e planos. Os exercícios incluem determinar vetores, projeções, áreas, volumes, equações de retas e planos.
1. O documento apresenta 6 questões sobre relações métricas em circunferências. As questões envolvem cálculos de segmentos, perímetros e raios de circunferências.
2. A questão 1 pede para calcular o valor de GF, dados os comprimentos de outros segmentos relacionados a uma circunferência. A questão 2 pede para calcular o perímetro de um triângulo tangente a uma circunferência.
3. A questão 3 pede para calcular o perímetro de um triângulo inscrito em uma circunferência, dados
1) O documento contém 6 questões sobre geometria, física e funções matemáticas.
2) A questão 1 pede para calcular o perímetro de um quadrilátero e identificar quais lados são paralelos.
3) A questão 6 apresenta a fórmula do movimento uniforme e pede para calcular distâncias percorridas em diferentes intervalos de tempo.
As classes de modelagem podem ser comparadas a moldes ou
formas que definem as características e os comportamentos dos
objetos criados a partir delas. Vale traçar um paralelo com o projeto de
um automóvel. Os engenheiros definem as medidas, a quantidade de
portas, a potência do motor, a localização do estepe, dentre outras
descrições necessárias para a fabricação de um veículo
Em um mundo cada vez mais digital, a segurança da informação tornou-se essencial para proteger dados pessoais e empresariais contra ameaças cibernéticas. Nesta apresentação, abordaremos os principais conceitos e práticas de segurança digital, incluindo o reconhecimento de ameaças comuns, como malware e phishing, e a implementação de medidas de proteção e mitigação para vazamento de senhas.
PRODUÇÃO E CONSUMO DE ENERGIA DA PRÉ-HISTÓRIA À ERA CONTEMPORÂNEA E SUA EVOLU...Faga1939
Este artigo tem por objetivo apresentar como ocorreu a evolução do consumo e da produção de energia desde a pré-história até os tempos atuais, bem como propor o futuro da energia requerido para o mundo. Da pré-história até o século XVIII predominou o uso de fontes renováveis de energia como a madeira, o vento e a energia hidráulica. Do século XVIII até a era contemporânea, os combustíveis fósseis predominaram com o carvão e o petróleo, mas seu uso chegará ao fim provavelmente a partir do século XXI para evitar a mudança climática catastrófica global resultante de sua utilização ao emitir gases do efeito estufa responsáveis pelo aquecimento global. Com o fim da era dos combustíveis fósseis virá a era das fontes renováveis de energia quando prevalecerá a utilização da energia hidrelétrica, energia solar, energia eólica, energia das marés, energia das ondas, energia geotérmica, energia da biomassa e energia do hidrogênio. Não existem dúvidas de que as atividades humanas sobre a Terra provocam alterações no meio ambiente em que vivemos. Muitos destes impactos ambientais são provenientes da geração, manuseio e uso da energia com o uso de combustíveis fósseis. A principal razão para a existência desses impactos ambientais reside no fato de que o consumo mundial de energia primária proveniente de fontes não renováveis (petróleo, carvão, gás natural e nuclear) corresponde a aproximadamente 88% do total, cabendo apenas 12% às fontes renováveis. Independentemente das várias soluções que venham a ser adotadas para eliminar ou mitigar as causas do efeito estufa, a mais importante ação é, sem dúvidas, a adoção de medidas que contribuam para a eliminação ou redução do consumo de combustíveis fósseis na produção de energia, bem como para seu uso mais eficiente nos transportes, na indústria, na agropecuária e nas cidades (residências e comércio), haja vista que o uso e a produção de energia são responsáveis por 57% dos gases de estufa emitidos pela atividade humana. Neste sentido, é imprescindível a implantação de um sistema de energia sustentável no mundo. Em um sistema de energia sustentável, a matriz energética mundial só deveria contar com fontes de energia limpa e renováveis (hidroelétrica, solar, eólica, hidrogênio, geotérmica, das marés, das ondas e biomassa), não devendo contar, portanto, com o uso dos combustíveis fósseis (petróleo, carvão e gás natural).
Este certificado confirma que Gabriel de Mattos Faustino concluiu com sucesso um curso de 42 horas de Gestão Estratégica de TI - ITIL na Escola Virtual entre 19 de fevereiro de 2014 a 20 de fevereiro de 2014.
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Álgebra Linear
6ª Lista de Exercícios – 154 Questões de Vetores
1)A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho).
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
p) | AC |=| FP |
a)AB = OF f )AO = MG k )AB ⊥ EG
b)AM = PH g)KN = FI l)AM ⊥ BL q) IF = MF
c )BC = OP h)AC // HI m)PE ⊥ EC r ) | AJ |=| AC |
d)BL = −MC i)JO // LD n)PN ⊥ NB s) AO = 2 NP
e)DE = −ED j)AJ // FG o)PN ⊥ AM
t ) | AM |=| BL |
RESP: a)V b)V c)F d)V e)V f)V g)F h)V i)F j)V
k)V l)V m)F n)V o)V p)V q)V r)F s)V t)V
2) A figura a baixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou
falsa cada uma das afirmações abaixo:
a)DH = BF e) AC = HF
b)AB = −HG f ) | AG |=| DF |
c )AB ⊥ CG g)BG // ED
d)AF ⊥ BC h)AB,BC e CG são coplanares
i)AB,FG e EG são coplanares j)EG, CB e HF são coplanares
k )AC,DB e FG são coplanares l)AB,BG e CF são coplanares
m)AB,DC e CF são coplanares n)AE é ortogonal ao plano ABC
o)AB é ortogonal ao plano BCG p)DC é paralelo ao plano HEF.
RESP: a)V b)F c) V d)V e)V f)V g)F h)F i)V
j)V k)V l)F m)V n)V o)V p)V
3) A figura abaixo representa um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O, o
ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa
cada uma das afirmações:
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f )H − E = O − C
a)EO = OG k )AO // OC
g) AC = BD
b)AF = CH l)AB ⊥ OH
1
c )DO = HG h) OA = DB m)EO ⊥ CB
2
d) C − O = O − B n)AO ⊥ HF
i)AF // CD
e) H − O = H − D o)OB = −FE
j)GF // HG
RESP: a)V b)F c)V d)V e)F f)F g)V h)V
i)V j)F k)V l)V m)V n)F o)V
4) Com base na figura do exercício1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com
origem no ponto A:
a)AC + CN e)AC + EO i)MO − NP
b)AB + BD f )AM + BL j)BC − CB
c )AC + DC g)AK + AN k )LP + PN + NF
d)AC + AK h)AO − OE l)BL + BN + PB
RESP: a) AN b) AD c) AB d) AO e) AM f) AK
g) AH h) AI i) AC j) AC k) AE l) 0
5) Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com
origem no ponto A:
a)AB + CG d)EG − BC
g)AB + AD + AE
b)BC + DE e)CG + EH
h)EG + DA + FH
c )BF + EH f )EF − FB
RESP: a)AF b)AE c )AH d)AB e)AH f )AF g)AG h)AD
6) Com base na figura do exercício 3, determinar os vetores abaixo, expressando-os com
origem no ponto A:
a)OC + CH d)EH + EF 1
g) BC + EH i)OG − HO
b)EH + FG e)EO + BG 2
h)FE + FG j)AF + FO + AO
c )2AE + 2AF f )2OE + 2OC
RESP: a)AE b)AC c) AC d)AB e)AO f )AD g)AH h)AD i)AO j)AC
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7) Determine as somas que se pedem:
a)AD + CD + DH + GC + HB + AG
b)ED + DB + BF
c )BF + BG + BC
d)HE + EF + FG + BG + BH
e)AE + EF + FG + GC
RESP: a)AC b)EF c)2BG d)2BG e)AC .
8)A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos
coordenados e de medidas 2,1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste
sólido, sabendo que A (2, –1,2).
RESP: B(2, –3,2), C(3, –3,2) , D(3, –1,2), E(3, –1,5), F(2, –1,5), G(2, –3,5) e H(3, –3,5)
9) Determine x para que se tenha AB = C D , sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e D(2x,x+6).
RESP: x=2
10) Escreva o vetor (7,–1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,–1) e
outro paralelo ao vetor (1,1). RESP: x = 3 e y = 4
11) Dados A(–1,–1) e B(3,5), determinar C, tal que
1 2 5
a) AC = AB b) AC = AB . RESP: a) x = 1 e y = 2 b) x = e y =3
2 3 3
12) Dados os vetores a =( 2,–1 ) e b =( 1,3) , determinar um vetor x , tal que:
a)
3 2
[
2 1 a+x
x + 2( x + a) − b = ]
2
b)
1 x+a
4a − 2x = b −
3 2
3 12 52 33
RESP: a) x = − , b) x = ,−
7 7 9 9
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13) Dados os vetores a =(–1,1,2) e b =( 2,0,4), determine o vetor v , tal que:
a)
2v
3
[
a−v
− 2( v + a ) − b =
2
] 2 b v −a
b) v − 2( v + a ) − b = −
3 4 2
[ ]
27 6 24 12
RESP: a)v = ,−3,− b)v = ,−3,−
5 5 5 5
14)Sendo A(1, –1,3) e B(3,1,5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no
sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor? RESP: (9,7,11)
15) Sendo A(–2,1,3) e B(6, –7,1) extremidades de um segmento, determinar:
a) os pontos C , D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de
mesmo comprimento;
b) os pontos F e G, nesta ordem que dividem o segmento AB em três partes de
mesmo comprimento.
5 3 2 5 7 10 13 5
RESP: a)C 0,−1, , D( 2,−3,2) e E 4,−5, ; b) F ,− , e G ,− , .
2 2 3 3 3 3 3 3
16)Dadas as coordenadas, x=4, y=–12, de um vetor v do ℜ3, calcular sua terceira
coordenada z, de maneira que v = 13. RESP: z=± 3
17)Sejam os pontos M(1,−2,−2) e P(0,−1,2), determine um vetor v colinear à PM e tal
1 1 4
que v = 3. RESP: v = ±
, ,
6 6 6
18)Achar um vetor x de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor v =6 i –2 j –3 k .
24 8 12
RESP: x = ,− ,−
7 7 7
19) No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5):
a) determinar a natureza do triângulo;
b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC.
RESP: a) isósceles b) AM = 2 2
20) Sejam a = i + 2 j − 3k e b = 2 i + j - 2k . Determine um versor dos vetores abaixo:
a) a + b B) 2 a –3 b c) 5 a +4 b
1 1 1
RESP: a) u = (3,3,–5) b) u = ( −4,1,0) c) u = (13,14,–23)
43 17 894
21) Determine um vetor da mesma direção de v = 2 i – j +2 k e que:
a) tenha norma (módulo) igual a 9;
b) seja o versor de v ;
c) tenha módulo igual a metade de v .
1 1
RESP: a) w =6(6,–3,6) b) u = (2,–1,2) c) p = (2,-1,2)
3 2
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22) Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são AC
=(4,2,–3) e B D =(–2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices.
RESP: C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3)
23)Sabendo que A (1,−1), B(5,1) e C(6,4) são vértices de um paralelogramo,determinar o
quarto vértices de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados.
RESP: (2,2), (0,−4), e (10,6)
24) Dados os vetores u =(3,2), v =(2,4) e w =(1,3), exprimir w como a combinação linear
1 7
de u e v . RESP: w = − u + v
4 8
25) Dados os vetores a =(3,–2,1), b =(–1,1,–2) e c =(2,1,–3), determinar as coordenadas
do vetor v =(11,–6,5) na base β = a, b, c . { }
RESP: v = 2a − 3b + c
26)Escreva o vetor v =(4,−1,0) , na base β = { v 1, v 2 , v 3 } ,sendo v 1 =(1,0,0) , v 2 =(3,2,1) e v 3
16 1 1
=(−1,−1,1). RESP: v = v 1 − v 2 + 3v 3
3 3 3
27)Dois vetores a =(2,–3,6) e b =(–1,2,–2), tem uma mesma origem. Calcular as
coordenadas do vetor c sobre a bissetriz do ângulo formado pelos vetores a e b
,sabendo que c = 3 42 . RESP: c =( 3, ±15, ± 12)
28) Dados os vetores a =(1,–1,0), b =(3,–1,1), c =(2,2,1) e d =(4,–3,1). Determinar o vetor
v =(x,y,z), tal que : ( v + a ) // b e ( v + c ) // d . RESP: v =( –10,4,–3)
PRODUTO DE VETORES
PRODUTO ESCALAR
29) Sendo u = ( 2,3,1) e v = ( 1,4, 5) . Calcular:
a) u • v b) ( u – v ) c)( u + v )2 d) (3 u – 2 v )2 e) (2 u -3 v )•(u +2 v )
RESP: a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 f)–28
30)Sendo a =(2,–1,1), b =(1,–2,–2) e c =(1,1,–1). Calcular um vetor v =(x,y,z), tal que v
• a = 4, v • b = –9 e v • c = 5. RESP: v =(3,4,2)
31)Sejam os vetores a =(1,–m,–3), b =(m+3,4–m,1)e c =(m,–2,7).Determinar m para que
a • b =( a + b )• c . RESP: m=2
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32) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e
13
C(a+1,–2,3). RESP: –1 ou
5
33) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine:
a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual?
b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores BD e AC .
21
= 102 0 36′44,22′′ .
RESP: a) Paralelogramo b) α = arccos
21
34) Os vetores u e v formam um ângulo de 60 . Sabe-se que u =8 e v =5, calcule:
0
a) u + v b) u – v c) 2 u +3 v d) 4 u – 5 v
RESP: a) 129 b)7 c) 721 d) 849
35) Os vetores a e b formam um ângulo de 1500, sabe-se que a = 3 e que b = 2 ,
Calcule:
a) a + b b) a – b c) 3 a +2 b d) 5 a – 4 b
RESP: a) 5 − 3 2 b) 5 + 3 2 c)
35 − 18 2 d) 107 + 60 2
36) Determinar o valor de x para que os vetores v 1 = x i –2 j +3 k e v 2 =2 i – j +2 k , sejam
ortogonais. RESP: x = –4
37) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores a =(2,6,–1) e b =(0,–2,1).
2 1 2
RESP: c = ,± ,±
3 3 3
38) Dados a =(2,1,–3) e b =(1,–2,1), determinar o vetor v ⊥ a , v ⊥ b e v = 5.
5 3
RESP: v = ± ( 1, 1, 1)
3
39) Dados dois vetores a =(3,–1,5) e b =(1,2,–3), achar um vetor x , sabendo-se que ele é
perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: x • a =9, e x • b =–4.
RESP: x =(2,–3,0)
40) Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar:
a)OA ⋅ OC d) OB e OG
b)OA ⋅ OD e)EG ⋅ CG
c )OE ⋅ OB (
f) ED ⋅ AB OG
a3 ,a3 3
) ( )
a a 2 e a 3 do cubo e uma, a
g)o ângulo agudo entre diagonal aresta;
h)o ângulo agudo formado por duas diagonais do cubo.
RESP: a) 0 b) 0 c) 0 d) e) a2 f)
3 1
g) arc cos ≅ 54 0 44′ h) arc cos ≅ 70 0 31′
3 3
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41)Calcule o ângulo formado pelas medianas traçadas pelos vértices dos ângulos agudos
4
de um triângulo retângulo isósceles. RESP: θ=arc cos ,θ ≅360 52'11,6''
5
42)Um vetor v forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados
positivos. Calcule suas coordenadas sabendo que v = 3. RESP: v = 3 (1,1,1) .
43)Um vetor unitário v forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 60 0 e com os
outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de v .
1 6 6
RESP: v = , , ou 1 ,− 6 ,− 6
2 4 4 2 4 4
44) O vetor v = ( − 1,−1,−2) forma um ângulo de 600 com o vetor AB , onde A (0,3,4) e
B(m, −1,2). Calcular o valor de m. RESP: m=–34 ou m=2
π
45)Os vetores a e b formam um ângulo θ= , calcular o ângulo entre os vetores p = a + b
6
2 7
e q = a – b , sabendo que a = 3 e b = 1. RESP: cosθ= ,θ≅40053'36,2''
7
46) Dados u =(2,–3,–6) e v =3 i –4 j –4 k , determine:
a) a projeção algébrica de v sobre u ( norma do vetor projeção de v sobre u );
6
b) 0 vetor projeção de v sobre u . RESP: a)6 b) ( 2,−3,−6 )
7
47)Decomponha o vetor v =(–1,2,–3) em dois vetores a e b , tais que a // w e b ⊥ w , com
1 1 3 5
w =(2,1,–1). RESP: a = 1 , ,− e b = − 2 , ,−
2 2 2 2
48)São dados os vetores v 1 = (1,1,1), v 2 =(–1,2,3) e v 3 =(26,6,8). Decompor o vetor v 3
em dois vetores x e y ortogonais entre si, sendo x simultaneamente ortogonal a
v1 e a v 2 . RESP: x =(1,–4,3) e y =(25,10,5)
49)São dados v 1 =(3,2,2) e v 2 =(18,–22,–5), determine um vetor v , que seja ortogonal à
v 1 e a v 2 , tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que v =28.
RESP: v =(–8,–12,24)
50)Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as
coordenadas do vetor M H , onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ.
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RESP: M H =(2,2,1)
PRODUTO VETORIAL
51) Dados os vetores u =( –1,3,2), v =(1,5,–2) e w =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos
vetores:
a) u × v b) v × w c) v ×( u × w )
d) ( v ×u )× w e)( u + v )×(u + w ) f) ( u – w )× w
RESP: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(−24,−72,48) e)(24,0,64)
f)(–3,–13,18)
52)Determinar o vetor x , paralelo ao vetor ao vetor w =(2,–3,0) e tal que x × u = v , onde
u =(1,–1,0) e v =(0,0,2). RESP: x =(4.–6,0)
53) Determinar o vetor v , sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2,−3,1) e ao vetor b
=(1,−2,3) e que satisfaz a seguinte condição; v • (i + 2 j − 7k ) = 10 . RESP: v = ( 7,5,1)
54)Determinar v , tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e que u = v × w ,sendo u = (1,1,−1)
e w = (2,−1,1) . RESP: v =(1,0,1)
55) Dados os vetores v 1=(0,1,−1), v 2 =(2,0,0) e v 3 =(0,2,−3).Determine um vetor v , tal
que v // v 3 e v × v 1= v 2 . RESP: v =(0,4,−6)
56)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores v 1 =(–1,–1,0) e v 2 =(0,–1–1).
1
RESP: ± (1,−1,1)
3
57) Ache u tal que u = 3 3 e u é ortogonal a v =(2,3,−1) e a w =(2,−4,6). Dos u
encontrados, qual forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0). RESP: u = ( 3,−3,−3 )
58)São dados os vetores v 1 = (1,1,1), v 2 =(–1,2,3) e v 3 =(26,6,8). Decompor o vetor v 3
em dois vetores x e y ortogonais entre si, sendo x simultaneamente ortogonal a
v1 e a v 2 . RESP: x =(1,–4,3) e y =(25,10,5)
59) Dado o vetor v 1 =(3,0,−1).Determine o vetor v =(x,y,z), sabendo-se que v é ortogonal
ao eixo OX, que v × v 1 = 6 14 , e que v • v 1 =−4. RESP: v = (0, ± 6, 4)
60) São dados v 1 =(3,2,2) e v 2 =(18,–22,–5), determine um vetor v , que seja ortogonal à
v 1 e a v 2 , tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que v =28.
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RESP: v =(–8,–12,24)
61)Sendo v 1 =(–2,1,–1) e v 2 =(0,y,z), calcule y e z de modo que v 1 × v 2 = 4 3 e que
o vetor v = v 1 × v 2 faça ângulos congruentes com os eixos OX e OY. RESP: (0,±2,±2)
62) Resolva os sistemas abaixo:
x × (2 i + 3 j − k ) = 0
v × ( − i + 2 j + k ) = 8 i + 8 k
v • (3,−1,2) = −2
a) b) c )
x • ( 4 i − 2 j + k ) = 2
v • ( 2 i + k ) = 2
v × (2,3,0) = 3 i − 2 j − 3k
RESP: a)(4,6,-2) b)(2,4,–2) c)(1,3,–1)
63) Dados os vetores u =(1,−1,1) e v =(2,−3,4), calcular:
a) A área do paralelogramo de determinado por u e v ;
b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u .
RESP: a)A= 6u.a. b) h = 2u.c.
64)Dados os vetores u =(2,1,−1) e v =(1,−1,α), calcular o valor de α para que a área do
paralelogramo determinado por u e v seja igual a 62 u.a.(unidades de área).
RESP: α=3
65) A área de um triângulo ABC é igual a 6 . Sabe-se que A(2,1,0), B(–1,2,1) e que o
vértice C pertence ao eixo OY. Calcule as coordenadas de C.
1
RESP: (0,3,0) ou 0, ,0
5
66)Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,−1), B(−2,0,1) e C(1,−2,0).
3 35
Determine a altura relativa ao lado BC. RESP: h = u.c.
7
67) Determine a área do triângulo ABD, obtido pela projeção do vetor BA sobre o vetor
128 2
BC , onde A (5,1,3), B(−3,9,3) e C(1,1,2). RESP: A = ua
9
68) Calcule a distância do ponto P(–2,1,2) à reta determinada pelos pontos M(1,2,1) e
3 35
N(0,–1,3). RESP: d= u.c.
7
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PRODUTO MISTO
69)Qual é o valor de x para que os vetores a =(3,–x,–2), b =(3,2,x) e c =(1,–3,1) sejam
coplanares. RESP: x=14 ou x=–2
70)Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,–1,–1) e D(2,2,k)
sejam vértices de uma mesma face de um poliedro. RESP: k=– 1
71)Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos
vetores u = 2 i – j + k e v = i – j e w =x i + j –3 k , seja unitário. RESP: x=–5 ou x= –3
72)Sejam os vetores u =(1,1,0), v =(2,0,1) e w 1 = 3u − 2v , w 2 = u + 3v e w 3 = i + j − 2k .
Determinar o volume do paralelepípedo definido por w 1 , w 2 e w 3 . RESP: V=44 u.v.
73)Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A (2,1,–1), B(3,0,1) e C(2,–1,3). Calcular
as coordenadas do quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo OY.
RESP: D (0,–7,0) ou D(0,8,0)
74)São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor de
m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos
vetores AB, AC e AD . RESP: m=6 ou m=2
75)Determine sobre o eixo OX um ponto P, tal que, o volume do tetraedro PABC seja o
dobro do volume do tetraedro POBC. Dados: O (0,0,0) ,A(1,0,0) , B(0,1,0) e C(0,0,1).
1
RESP: (–1,0,0) ou ,0,0
3
76)Sendo u =(1,1,0), v =(2,1,3) e w =(0,2,–1). Calcular a área do triângulo ABC e o
volume do tetraedro ABCD, onde B=A+ u . C=A+ v e D=A+ w .
19 5
RESP: S= ua ,V= uv
2 6
77)Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,−2,4) ,C(2,1,−3) e D(0,−6,0).
4 6
RESP: h = u.c.
11
78)Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1) ,
5 174
B(1,1,–3) e C(–1,–3,0). RESP: u.c.
58
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79)Os vértices de um tetraedro são M (0,3,4), N(−1,2,2) e Q(2,–1,2) e P é um ponto
pertencente ao eixo coordenado OZ. Calcule:
a)as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1
uv;
b)a área e o perímetro da face NMQ;
c)os ângulos internos da face MNQ;
d)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ.
RESP: a)P(0,0,0) ou P(0,0,2) b)S= 3 3 u.a., 2p= 3 6 + 3 12 u.c.
1
c)α=300, β=900, γ=600 d) u.c.
3 3
80)A figura abaixo representa uma pirâmide de base quadrada OABC em que as
coordenadas são O(0,0,0), B(4,2,4) e C(0,6,6), e o vértice V é eqüidistante dos
demais, determine:
a) as coordenadas do vértice D;
b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é
igual a 72 u.v. RESP: a)D(–4,4,2) b) V(–2, –1,7)
81)São dados no espaço os pontos A(2,–1,0), B(1,–2,1) e C(1,0,2), determine o ponto D,
tal que O D , O A × O B e O A × O C sejam coplanares, O D • O B = –28 e que o volume do
tetraedro OABD seja igual a 14. RESP: D(0,0,–28) ou D(12,24,8)
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RETA NO ℝ 3
82) Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos
seguintes casos:
a)determinada pelo ponto A(1,–2,1) e pelo vetor v =(3,1,4);
b)determinada pelos pontos A(2,-1,3) e B(3,0,–2) ;
c)possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor
diretor v =(2,–2,3);
d)possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à reta determinada pelos pontos
A(5,–2,3) e B(–1,–4,3);
x + 2 y + 4 z −1
e)possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação r : = = ;
−5 3 2
f)possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor v = (–2,0,–2);
g)possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor v =(8,3,0);
h)possui o ponto A(2, –2,1) e é paralela ao eixo OX ;
i)possui o ponto A(8,0,–11) e é paralela ao eixo OZ.
x = 1 + 3m
x −1 y + 2 z −1 x = 3 y + 7
RESP: a) P=(1,–2,1) +m(3,1,4) , y = −2 + m , = = ,
z = 1 + 4m 3 1 4 z = 4 y + 9
x = 2 + m
z+2 y = x − 3
b) P=(2,–1,3) +m(1,2,–5) , y = −1 + m , x−3 = y = , ;
z = 3 − 5m −5 z = −5 x + 13
x = 1 + 2m x = − y − 1
x −1 y + 2 x − 3
c) P=(1,–2,3) +m(2,–2,3) , y = −2 − 2m , = = , 3 ;
z = 3 + 3m 2 −2 3 z = 2 y
x = 1 + 3m
x −1
d) P=(1,5,–2) +m(3,1,0) , y = 5 + m , = y − 5 ; z = −2 ;
z = −2 3
x = 2 − 5m − 5z + 4
x − 2 y −1 z x =
2
e) P=(2,1,0) =m(–5,3,2) , y = 1 + 3m , = = , ;
z = 2m −5 3 2 y = 3z + 2
2
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x = −6 + m
f) P=(–6,7,9) =m(1,0,1) , y = 7 , x + 6 = z −9; y = 7 ;
z = 9 + m
x = 8m
x y
g) P=(0,0,4) +m(8,3,0) , y = 3m , = ;z = 4 ;
z = 4 8 3
y = −2
h) P=(2,–2,1) = m(1,0,0) , ;
z = 1
x = 8
i ) P=(8,0,–11) =m(0,0,1) , .
y = 0
83) Determine as equações simétricas da reta que passa pelo baricentro do triângulo de
vértices A(3,4,–1), B(1,1,0) e c(2,4,4) e é paralela à reta suporte do lado AB do
x − 2 y − 3 z −1
triângulo. RESP: = = .
2 3 −1
84) Os vértices de um triângulo são O (0,0,0) , A(3,4,0) e B(1,2,2). Forme as equações
ˆ
reduzidas da bissetriz interna do ângulo A O B e determine sua interseção com o lado
AB.
7
x = 5 z
7 11 5
RESP: e P , , .
y = 7 z 4 4 4
5
85) Os pontos de trisseção do segmento A(4,3,0) e B(–2,–3,3) são M e N. Unindo-os ao
ponto P(0,–1,0), obtêm-se as retas PM e PN . Calcule o ângulo formado pelas mesmas.
1
RESP: θ = arc cos ,θ ≅ 700 31'43,6''
3
x−2 +4 z
86) A reta r : = = , forma um ângulo de 300 com a reta determinada pelos
4 5 3
pontos A(0,−5,−2) e B(1,n−5,0). Calcular o valor de n. RESP: n=7 ou 1
87) Determine as equações da reta r definida pelos pontos A (2,–1,4) e B= r1 ∩ r2 , com
x = 3m
x −1 y − 3 z −1 y = − x + 1
r1 : = = e r2 : y = 1 + 2m . RESP:
2 4 −2 z = 2 + m z = x + 2
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88) Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das
retas:
x − 3 − 2y 2y − 44 z + 8
a) s : = = z+3 e r:x = = , e que passa pelo ponto P(2,3,5);
2 4 10 −2
x − 2 2y 2-y z
b) s : = = 3z + 3 e r:x+4 = = , e que passa pelo ponto P(2,–3,1);
2 −4 -2 −3
2y − 1
y = −2 x − 3 x = 2
c) r : e s: , e que passa pelo ponto P(3,−3,4).
z = 10 x + 18 z = − 6 y + 27
2
x = 2 − m x = 2 + 4m x = 3 − 4m
RESP: a)t: y = 3 + 5m b)t : y = −3 + 7m c) t : y = −3 + 13m
z = 5 + 12m z = 1 + 6m z = 4 + 3m
80)Estabeleça as equações, em função de x, da reta traçada pela interseção de
x = 3z − 2
r:P=(−6,1,0)+m(1,–1,1), com a reta s : , e que forma ângulos agudos
y = z + 5
y = x + 11
congruentes com os eixos coordenados. RESP: t :
z = x + 6
x = z + 1 x = z + 3
90) São dadas as retas r : e s: e o ponto A(3,–2,1). Calcule as
y = 2z − 1 y = z − 5
coordenadas dos pontos P e Q pertencentes, respectivamente a r e a s, de modo que
A seja o ponto médio do segmento PQ. RESP: P(1, –1,0) e Q(5,3,2)
91) Determine o ponto O', simétrico de da origem O dos eixos coordenados, em relação ã
x−2 z−4 1 5 2
reta r : = y +1= . RESP: O' , ,
−1 −2 3 3 3
92) Determine as coordenadas de A' simétrico de A (4,0,3), em relação a reta
x +1 z+2 2 20 101
s: = y + 1= . RESP: A ' − , ,
2 4 21 21 21
93) Estabeleça as equações paramétricas da reta traçada pelo ponto A(–1, 4,5) e que é
x = −1
perpendicular à reta r; P=(–2,1,1) + m(1,–1,2). RESP: r : y = 4 + 2m
z = 5 + m
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94)Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto A(2,–1,3), e é perpendicular à
x −1 y z + 2
reta s : = = . RESP: P= (2,−1,3)+m(−13,3,−33)
3 2 −1
95)Estabeleça as equações da reta s, traçada pelo ponto P(−1,−3,1), que seja
x = 3z − 1
concorrente com a reta r : e seja ortogonal ao vetor v = ( 2,0,−1) .
y = 2z − 2
y + 3 z _1
RESP: s : x + 1 = =
−1 2
PLANO
96) Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
a) passa pelo ponto D(1,–1,2) e é ortogonal ao vetor v =(2,–3,1);
b)possui o ponto A(1,−2,1) e é paralelo aos vetores a = i + j − k e b = i + j − 2k ;
c) passa pelos pontos A(–2,1,0) , B(–1,4,2) e C( 0,–2,2);
d) passa pelos pontos P(−2,1,0),Q(−1,4,2) e R(0,−2,2);
e)passa pelos pontos A(2,1,5), B(−3,−1,3) e C(4,2,3);
f) passa pelo ponto E( 1,2,2) e contém os vetores v =(2,–1,1) e w =( –3,1,−2);
g) possui o ponto P(2,−1,3) e é paralelo ao plano XOZ;
x − 7 y − 2 z −1 x −1 y + 2 z − 5
h) contém as retas r : = = e s: = = ;
3 2 −2 2 −3 4
x x +1 y − 2 z
i) contém as retas r : = y +1= z + 3 e s: = = ;
2 4 2 2
x = −3 + t
x+2 y−2
j) que contém as retas r : y = − t e s: = ,z = 0 ;
z = 4 2 −2
y = 2x + 3 x -1 y z
k)contém as retas r e s: = = ;
z = 3 x − 1 2 −1 4
x −1 y x−3 y −2 z−4
l) passa pela reta = = z − 1 e é paralelo à reta = =
2 2 2 −1 4
RESP: a) π:2x−3y+z−7=0 b) π:x−y−z=0 c) π:12x+2y−9z+22=0
d) π:12x+2y−9z+22=0 e) π:6x−14y−z+7=0 f) π:x+y−z−5=0
g) π:y+1=0 h) π:2x−16y−13z+31= 0 i) π:y−z−2=0
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j) π:4x+4y+3z=0 k) π:11x+2y−5z−11=0 l) π:3x−2y−2z−1=0
97) Determine a equação da reta interseção dos planos, nos seguintes casos:
x + 2y − z − 1 = 0 3 x − y + z − 3 = 0
a) b)
x + y + 1 = 0 x + 3 y + 2z + 4 = 0
x − 2y − z − 8 = 0 3 x − 2y − z − 1 = 0
c) d)
2x + 3 y + 13 = 0 x + 2y − z − 7 = 0
z −1
RESP: a)r:P=(−3,2,0)+m(−1,1,1) b) x = y − 2 =
−2
2 29
x+ y+ x z−7
c) 7 = 7 = z d) =y+4=
r: 2 4
3 −2 7
98) Forme a equação do plano que possui um ponto M(−2,1,3) e que é perpendicular à
x y −1
reta r : = = −z . RESP: π:2x + 3y − z +4 = 0
2 3
99) Dado o ponto P(5,2,3)e o plano π:2x+y+z−3=0,determinar:
a) a equação paramétrica da reta que passa por P e é perpendicular a π;
b) a projeção ortogonal de P sobre π;
c) o ponto P’ simétrico de P em relação a π;
d) a distância de P ao plano π.
x = 5 + 2t
RESP: a) r y = 2 = t b) I(1,0,1) c)P’(−3, −2, −1) d) d = 2 6
z = 3 = t
100)Forme a equação do plano mediador do segmento A(1,2,−3) e B(3,2,5)
RESP: π:x+4z−6=0
101)Determinar a equação do plano que contém os pontos A (1,−2,2) e B(−3,1,−2) e é
perpendicular ao plano π: 2x+y−z+8-0. RESP: π:x−12y−10z−5=0
102) Um plano π, traçado por P(3,3,−1) intercepta os semi-eixos coordenados positivos
OX,OY e OZ, respectivamente nos pontos A,B, e C, tais que || OA || = 2 || OB || e
|| OA || = 3 || OC || .Estabeleça a equação geral de π. RESP: π;x+2y+3z−6=0
103)Determine a equação do plano que contém a reta interseção dos planos
π1: 3x–2y–z−1=0 e π2: x +2y−z−7=0 e que passa pelo ponto M(2,0,−1).
RESP: π:9x+2y−5z−13=0
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104) Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é
paralela a cada uma dos planos π1: 2x–y–z+1=0 e π2:x+3y+z+5=0.
x = −1 + 2 t
RESP: y = −3t
x = 7t
105) Determinar equação geral do plano π,que passa ponto A(4, 1, 0) e é perpendicular
aos planos π1: 2x –y –4z– 6 = 0 e π2: x + y + 2z -3 = 0. RESP: π:2x−8y+ 3z=0
106) Determinar a equação do plano que contém o ponto A(3,−2,−1) e a reta
x + 2y + z − 1 = 0
. RESP: π:2x+3y+x+1=0
2x + y − z + 7 = 0
107) Determinar a equação do plano π , que passa pelo ponto P(2, 5, 3) e é perpendicular
à reta r, interseção dos planos π1: x − 2y + z − 1 = 0 e π2:3x + 2y − 3z + 5 = 0.
RESP: π: 2x + 3y + 4z − 31 = 0
3 x + 2y + 5z + 6 = 0
108) Determinar a equação do plano que passa pela reta r : , é
x + 4 y + 3z + 4 = 0
x −1 y − 5 z +1
paralelo à reta s : = = . RESP: π:3x + 2y + 5z + 6 = 0
3 3 −3
109) Dados os planos π1:2x + y − 3z + 1 = 0, π2:x + y + z + 1 = 0 e π3:x − 2y + z + 5 = 0,
ache uma equação do plano que contém π1∩π2 e é perpendicular a π3.
RESP: π:x + y + z +1= 0
110) Calcule o volume do tetraedro, cujas faces são os planos coordenados e o plano
20
π:5x+4y−10z−20=0. RESP: VT= u.v.
3
111)Determine o ponto A', simétrico de A (1,4,2) em relação ao plano π: x−y+z−2 =0.
RESP: R: A'(3,2,4)
y−2 z
112) Determine uma equação da reta t, simétrica de r : x − 3 = = , em relação ao
2 −1
x −1 z−2
plano π:2x+y−z+2=0. RESP: s : = y+2=
−7 2
113) Dado o plano π1:2x+5y+3z+3=0 e a reta AB, sendo A (1,1,1) e B(2,2,2), determina a
equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano π1 e é paralelo ao
3
plano π2:x−3=0. RESP: π: x + =0
10
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x −1
114) Considere as retas r:P=(1,1,0)+t(0,1,1) e s : = y = z . Seja A o ponto onde s fura
2
o plano π:x−y+z=2, e B e C ,respectivamente, os pontos onde r fura os planos XOZ e
3
XOY,respectivamente. Calcule a área de triângulo ABC. RESP: S= ua
2
115)Determinar a equação simétrica da reta r, que passa pelo ponto M(2,−4,−1), e pelo
3 x + 4 y + 5z − 26 = 0
meio do segmento de reta s : ,compreendido entre os planos
3 x − 3 y − 2z − 5 = 0
x − 2 y + 5 z +1
π1:5x+3y−4z+11=0 e π2: 5x+3y−4z−41=0. RESP: r : = =
2 5 3
116) Dados o ponto P(1,3−1), o plano π:x+z=2 e a reta s:P=(2,0,0)+m(1,0,1), obtenha
uma equação da reta r que passa por P, é paralela a π e dista 3 da reta s.
RESP: r:P=(1,3,−1)+m(−1,0,1)
COORDENADAS POLARES E
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
117)Dois dos vértices de um triângulo eqüilátero são os pontos A(0 , 75 0 ) e B( 3, 180 0 ).
Ache as coordenadas polares do terceiro vértice.
RESP: C (3,120 0 ) e C’( 3, -2400) ou C’(3,-1200)
118)Lado de um hexágono mede 4 u.c. Determine as coordenadas polares dos vértices
deste hexágono quando seu centro coincidir com o pólo do sistema e um de seus
vértices pertencerem ao eixo polar.
RESP: A (4, 0 0 ) , B( 4,600) , C( 4,1200), D( 4,1800) ,E( 4,2400) e F( 4,3000)
119)Determine as coordenadas polares dos vértices de um quadrado ABCD, sabendo-se
que o pólo é o ponto O'(1,2), que o eixo polar é paralelo ao eixo OX e que tem o
mesmo sentido deste. Sendo dados as coordenadas cartesianas dos vértices: A (4,2),
B(7,5), C(4.8) e D(1,5). ( )
RESP: A (3,00) , B 3 5,26 0 30' , C( 3 5 ,63,50 ), D(3,900)
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4π
120)Num sistema de coordenadas polares são dados os dois vértices A 3,− e
9
3π
B 5, do paralelogramo ABCD e o ponto de interseção das diagonais coincide com
4
o pólo. Achar as coordenadas polares dos outros dois vértices.
π 4π
RESP: C 5,− e D 3,
4 9
121)Determinar as coordenadas polares dos vértices do quadrado ABCD, sabendo-se
que o eixo polar é a reta paralela a diagonal AC, com o mesmo sentido desta, que o
pólo é o ponto médio de BC e que o lado do quadrado mede 6 cm.
RESP: A (3 5 ,161030') , B(3,–1350), C(3,450) e D(3 5,108 0 30′)
122)Transformar as seguintes equações cartesianas em equações polares:
a) x2 + y 2 = 25 b) x2 – y2 = 4 c) ( x2 + y 2 )2 = 4 ( x2 - y 2 ) d) x - 3y = 0 e)
y 2 + 5x = 0 f) xy =4 g) x 2 + y 2 + 4x - 2y = 5 h) ( x2 + y 2 ) 2 - 18 xy = 0
i) 4y2-20x – 25=0 j) 12x2 –4y2 –24x+ 9 = 0 k) x2+ y2 –2y = 0
Obs.: Somente considere a resposta em que ρ > 0.
RESP: a) ρ = 5 b) ρ2cos2θ=4 c) ρ2 = 4 cos 2 θ d) θ = arctg 1 / 3
e) ρsen2θ + 5 cosθ = 0 f) ρ2sen2θ=8 g) ρ2 + 2ρ (2 cos θ - sen θ ) = 5
5 3
h) ρ2 = 9 sen 2 θ i)ρ= j) ρ = k) ρ=2senθ
2(1 − cos θ ) 2 + 4 cos θ
123)Transformar as seguintes equações polares em equações cartesianas:
a) ρ = 4 b) θ = 1/ 4 π c) ρ = 8 cos θ d) ρ = 6 sen θ + 3 cos θ
e) ρ = 15 sec θ f) ρ (sen θ + 3 cos θ ) = 3 g) ρ (2 − cos θ ) = 4
h) 2ρ = 2 + cos 2θ i) ρ 2 = 4 cos 2 θ j) ρ = 4 ( 1 + cos θ )
RESP: a) x2 + y2 = 16 b) x = y c) x2 + y2 − 8x = 0 d) x2 + y2 − 3x − 6y = 0
e) x = 15 f)3x−y−3=0 g) 3x2 + 4y2 - 8x −16 = 0 h) 4 (x2 + y 2)3 = ( 3x2 + y2 )2
i) ( x2 + y2 )2 = 4x2 – 4y2 j) 16( x2 + y2) = ( x2 + y2 −4x ) 2
124) Transforme, em relação a um novo sistema de coordenadas de eixos paralelos aos
primeiros e origem conveniente para que na nova equação não figure os termos do 1o
grau, as equações:
a) x2 + y 2
- 6x + 2y - 6 = 0 b) xy –x + 2y – 10 = 0
c) x2 - 4y2 - 2x + 8y - 7 =0 d) x2 + 4 y 2 - 2x - 16 y + 1 = 0
e) 30xy +24x-25y-80=0 f)3x2+ 3y2 –10xy –2x+ 14y+27=0
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RESP: a) x’’2 + y’’2 = 16, O'(3,−1) b) x’y’=8, O'(−2,1) c) x’’2 - 4y’2 - 4 = 0, O'(1,1)
5 4
d) x’2 +4 y’2 - 16 = 0, O'(1,2) e)x’y’=2 ,O’ ,−
6 5
3
g) O′ ,0 , 4 x ′ − 4 x ′y ′ + 4 y ′ − 1 4 = 0
2 2
f) O’ ( 2,1) 3x’2+3y’2 −10x’y’+32=0
4
125)Transforme as equações abaixo, mediante uma rotação de eixos :
a) x2 + 2 xy + y 2 −32 = 0 b) xy −8 = 0 c) 31 x 2 + 10 3 xy + 21 y 2 - 144 = 0
d) 6x2 + 26y2 + 20 3 xy - 324 = 0 e)4x2+ 4xy +y2+ 5 x =1
g) 2xy +6x –8y=0 h) 7x2 – 6 3 xy + 13y2 – 16 =0
RESP: a) x’ = ± 4 θ=450 b) x’2 - y’2 = 16 θ=450
c) 9x’2 + 4y’2 - 36 = 0 θ=300 d) 9x’2 – y’2 – 81= 0 θ=600
e)5x’2+2x’−y’=1,θ=26,20 g) θ=450, x'2–y'2 – 2 x’−7 2 y’=0
h) θ= 300, x’2+4y’2– 4=0
CÔNICAS
ELIPSE
126)Achar a equação de uma elipse cujos focos se encontram sobre o eixo das
abscissas, e sabendo-se que:
3
a) a distância focal é igual a 6 e a excentricidade é e = ;
5
12
b) seu menor eixo é 10 e a excentricidade e e = ;
13
c) C(0,0), eixo menor igual 6, passa pelo ponto P − 2 5,2 ; ( )
d) focos F1(3,2) e F2(3,8),comprimento do eixo maior 8.
1 9
e) C(0,0), e = , P 3, , ponto da cônica;
2 2
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f) seus vértices são A1 (−2,2), A2(4,2), B1(1,0), B2(1,4);
g) vértices (7,2) e (1,2), eixo menor=2;
( )
h) C(0,0), P 15 ,−1 ponto da cônica, distância focal 8;
RESP: a) 16x2 +25y2 −400=0 b) 25x2 +169y2 − 4225=0;
c) x 2 + 4 y 2 − 36 = 0 d) 16 x 2 + 7 y 2 − 96 x − 70 y + 207 = 0
e) 3 x 2 + 4 y 2 − 108 = 0 f) 4 x 2 + 9 y 2 − 8 x − 36 y + 4 = 0
g) x 2 + 9 y 2 + 8 x − 36 y + 43 = 0 h) x 2 + 5 y 2 − 20 = 0
127) A órbita da Terra é uma elipse, com o Sol em um dos focos. Sabendo-se que o eixo
1
maior da elipse mede 2.999.338.000 km e que a excentricidade mede . Determine
62
a maior e a menor distância da Terra em relação a Sol.
RESP: MAD =152.083.016 km; med =147.254.984 km.
128) O centro de uma elipse coincide com a origem. O eixo maior é vertical e seu
comprimento é o dobro do comprimento do eixo menor, sabendo-se que essa elipse
7
passa pelo ponto P
2 ,3 , achar sua equação. RESP: 4x2 +y2 −16=0
129) Uma elipse é tangente ao eixo das abscissas no ponto A(3,0) e ao eixo das
ordenadas no ponto B(0,−4). Formar a equação dessa elipse, sabendo-se que seus
eixos de simetria são paralelos aos eixos de coordenadas.
RESP: 9x2 +16y2 −54x+128y+193=0
130) Achar a equação da cônica com centro C(3,1), um dos vértices A(3,−2) e
1
excentricidade . RESP: 9 x 2 + 8 y 2 − 54 x − 16 y + 17 = 0
3
131) Determine a equação da elipse de centro C(−2, 1), excentricidade 3/5 e eixo maior
horizontal de comprimento 20. RESP: 16x2 +25y2 +64x−50y−1511=0
1
132) Determine a equação da cônica de C(4,1), um foco (1,1) e excentricidade e = .
3
RESP: 8 x 2 + 9 y 2 − 64 x − 18 y − 511 = 0
2
133) Determine a equação da cônica de vértices A1(1,8) e A2(1,4) e excentricidade e = .
3
RESP: 9 x 2 + 5 y 2 − 18 x − 20 y − 151 = 0
2
134) Determine a equação da cônica de focos (–1, –3) e (–1,5), e excentricidade e = .
3
RESP: 9 x 2 + 5 y 2 + 18 x − 10 y − 166 = 0
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3
135) Determine a equação da elipse de excentricidade , cujos focos são pontos da reta
5
y −1=0 e sendo B(−2, 9) um dos extremos do seu eixo menor.
RESP: 16 x 2 − 25 y 2 + 64 x = 50 y − 1561 = 0
1
136) A uma elipse de excentricidade , circunscreve-se um retângulo de lados paralelos
3
aos eixos coordenados da elipse. Calcular a área do retângulo, sabendo-se que seu
(
perímetro vale 8 3 + 2 2 m . ) RESP: A = 96 2 m 2
137) Em cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos,
centro, excentricidade, corda focal, parâmetro e as equações das diretrizes:
x2 y2
a) + =1 b) 9 x 2 + 5 y 2 − 45 = 0 c) 4 x 2 + y 2 − 1 = 0
100 36
d) 25x2 +16y2 +50x+64y– 311=0 e) 16x2 +25y2 +32x–100y–284=0
f) 4 x 2 + 3 y 2 + 32x + 24 y + 64 = 0 g) 4 x 2 + 9 y 2 − 48 x + 72y + 144 = 0
RESP: a)C(0,0), A (±10,0), B(0,±6), F(±8,0), e= 4/5, eixo maior horizontal;
b) C(0,0),A(0,±3),B(± 5 ,0),F(0,±2),e =2/3, eixo maior vertical;
3
c) C(0,0),A(0,±1), F 0,±
,B(±1/2,0),e= 3 /2, eixo maior vertical;
2
d) C(−1,−2),A1 (−1,2),A2 (−1,−7), F1(4,0), F2(−1,−5), B1(3,−2), B2 (−5,−2), e =3/5, eixo
maior horizontal;
e) C(−1,2), A1(−6,2), A2 (4,2), F1(3,2), F2(−4,2), B1(−1,−2),B2(−1,6) e =1/2, eixo maior
horizontal;
(
f) C(−4,−4), A1(−4,0), A2(−4,8), F1(−4,−2), F2(−4,−6), B − 4 ± 2 3,−4 , e = ) 1
2
, eixo maior
vertical;
(
g) C(6,−4), A1(12,−4), A2(0,−4), F 6 ± 2 5,−4 , e = ) 3
5
, eixo maior horizontal;
HIPÉRBOLE
138) Determine a equação da hipérbole, nos seguintes casos:
a)de focos F(0,±5) e vértices A (0, ±3);
b)que tem focos no eixo das abscissas e eixos real e imaginário 10 e 8 , respectivamente;
c) de focos F(3,4) e (3,2) e excentricidade e=2;
d) de focos F (1,5) e (5,5) , eqüilátera
e) eixo real horizontal, eqüilátera, de vértices (−3,−4) e ( −3,4);
f) de C0,0),que passa pelo ponto (−5,3), é eqüilátera e de eixo real horizontal;
g) que tem eixo real vertical de comprimento 8 e passa pelo ponto (6,5);
h) eixo real sobre o eixo das abscissas ,distância focal é igual a 10 e eixo imaginário 8;
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12
i)eixo real sobre o eixo das ordenadas, as equações das assíntotas y=± x e
5
distância focal 52.
3
j) eixo real horizontal, distância focal é igual a 6 e a excentricidade ;
2
k) eixo real paralelo ao eixo OX, centro no ponto C(−1,−3), comprimento do eixo
3
imaginário é 4 5 e excentricidade ;
2
l) C(2, – 3), eixo real vertical, passando pelos pontos (3, –1) e (–1,0)( trabalhosa);
16
m)centro é o ponto C(0,4), um dos focos é (0,−1) e um de seus pontos P ,9 .
3
RESP: a) 9 x 2 − 16 y 2 + 144 = 0 b) 16 x 2 − 25 y 2 − 400 = 0
c) 4 x 2 − 12y 2 − 24 x + 24 y + 51 = 0 d) 2x 2 − 2y 2 − 8 x − 20 y − 51 = 0
e) x 2 − y 2 + 6 x + 25 = 0 f) x 2 − y 2 = 16
g) x 2 − 4 y 2 + 64 = 0 h) 16 x 2 − 9 y 2 − 144 = 0
i) 144 x 2 − 25 y 2 + 14400 = 0 j) 5 x 2 − 4 y 2 − 20 = 0
k) 5 x 2 − 4 y 2 + 10 x − 24 y − 111 = 0 l) 5 x 2 − 8 y 2 20 x − 48 y − 25 = 0
m) 16 x 2 − 9 y 2 − 128 y + 112 = 0
139) O centro de uma cônica está na origem, seu eixo real encontra-se ao longo do eixo
1
OY e cujas assíntotas são as retas y = ± x . Determinar a equação da cônica, se
4
RESP: x − 16 y + 64 = 0
2 2
seus vértices são os pontos A(0,62).
140) Determine a equação da hipérbole que tem como uma assíntota, a reta
2x + 3 2y = 0 eixo horizontal e passa pelo ponto (3,1). RESP: 2x 2 − 9 y 2 − 9 = 0
141) Determine a equação da hipérbole que tem como assíntotas, as retas 2x+y−3=0 e
2x−y−1=0, eixo horizontal e passa pelo ponto (4,6). RESP: 4 x 2 − y 2 − 8 x + 2y − 8 = 0
142) Determine a equação da hipérbole que tem como assíntotas, as retas 3x−4y+16=0 e
16
3x+4y−16=0, eixo vertical e que passa pelo ponto ,9 .
3
RESP: 9 x 2 − 16 y 2 + 128 y − 112 = 0
143) Determinar a equação reduzida da hipérbole, cujo eixo real tem por extremos os
focos da elipse 16x2 +25y2 −625=0 e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade
da elipse dada. RESP: 16 x 2 − 9 y 2 − 225 = 0
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x2 y2
144) Os focos de uma hipérbole coincidem com os da elipse + = 1 Forme a
25 9
equação da hipérbole, considerando-se que sua excentricidade é e= 2.
RESP: 3 x 2 − y 2 − 12 = 0
145) Determine a equação da elipse de centro na origem, cujos vértices coincidem com
os focos da hipérbole 64 x 2 − 36 y 2 − 2304 = 0 e cujos focos são os vértices da
hipérbole.
RESP: 16 x 2 + 25 y 2 − 400 = 0
146) Em cada uma das equações de hipérbole abaixo, determine as coordenadas dos
vértices, focos, centro a excentricidade, corda focal, parâmetro, equação das
diretrizes e das assíntotas.
x2 y2
a) − =1 b) 9x2 −16y2 =144
100 64
c)4x2 −5y2 +20=0 d) x2 −y2 =1
e)x2 −4y2 +6x+24y−31=0 f)16x2 −9y2 −64x−18y+199=0
g)9x2 −4y2 −54x+8y+113=0 h) 9 x 2 − 4 y 2 + 18 x − 24 y − 63 = 0
(
RESP: a) C(0,0),A(±10,0), F ± 2 41,0 , e = ) 41
5
4
,eixo real horizontal, ass : y = ± ,
5
5 3
b) C(0,0), A(±4,0), F(±5,0), e = , eixo real horizontal, ass : y = ± x ;
4 4
3 2 5 4
c) C(0,0), A(0,±2), F(0,±3), e = , eixo real vertical, ass; y = ± x, y=± ;
2 5 3
( )
d) C(0,0), A(±1,0), F ± 2,0 , e = 2 , eixo real horizontal, ass: y=±x;
( )
e) C(−3,3),A1(−1,3), A2(−5,3), F − 3 ± 5,3 , eixo real horizontal, ass1:x−2y−9=0,ass2:x +
2y−3=0,;
f) C(2, 1), A1(2, −3), A2(2, −3), F1(2, −4), F2(2, 6), eixo real vertical, ass1:4x−3y−5=0,
ass2:4x−3y−5=0;
( )
g)C(3,1), A1(3,4), A2(3,−2), F 3,1 ± 13 , ass1:3x−2y−1=0, ass2:3x=2y−5=0;
( )
h) C(−1, −3), A1(1, −3), A2(−3, −3), F − 1 ± 13 ,−3 , ass1: 3x − 2y − 3 = 0 e ass2: 2x + 2y -9
13
= 0, e =
2
PARÁBOLA
147) Determinar a equação da parábola:
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a) de vértice V(6,−2) , cujo eixo é y +2=0 e que passa pelo ponto (8,2);
b) de foco F(3,3) e diretriz y−1=0;
c) de vértice V(0,3) e diretriz x + 5=0;
e) de foco F(3,3) e diretriz y−5=0;
g)V(3,−6),eixo de simetria paralelo ao OY, e que passa pelo ponto (−3,−10);
i) F(4,3), diretriz y + 1 = 0 ;
3
k) Eixo // OY, V − ,2 passa pelo ponto M(−1,−1);
2
l) V(4, −1), eixo: y+1=0 e passa pelo ponto (3, −3)
n) F(3,1) e diretriz d : 2x − 1 = 0 ;
o) V(4,3) e F(4,1)
p) V(1,3), eixo de simetria paralelo ao eixo dos x, passa pelo ponto P(1,1)
q) V(3,2) , eixo de simetria y+2=0, passa pelo ponto P(2,2)
s) de foco F(–7,3) e diretriz x+3=0;
v) F(5,2), diretriz x − 7 = 0 ;
RESP: a) y 2 + 4 y − 8 x + 52 = 0 b) x 2 − 6 x − 4 y + 17 = 0
c) y 2 − 6 x − 20 X + 9 = 0 e) x 2 − 6 x + 4 y − 7 = 0
g) x 2 − 6 x + 9 y + 63 = 0 i) x 2 − 8 x − 8y + 24 = 0
k) 12x 2 + 36 x + y + 25 = 0 l) y 2 + 2y + 4 x − 15 = 0
n) 4 y 2 + 8 y − 20 x + 39 = 0 o) x 2 + 8 x + 8 y − 8 = 0
p) y 2 − 6 y + 8 x + 1 = 0 q) y 2 + 16 x + 4 y − 44 = 0
s) y 2 − 6 x + 4 y + 49 = 0 v) y 2 + 4 x − 4 y − 20 = 0
148)Determine a equação da parábola que tem eixo de simetria horizontal que passa
RESP: y + 4 x + 2y − 15 = 0 ; V(4,-1),
2
pelos pontos A(−5,5), B(3,−3) e C(3,1).
p=-2
149) Determine os pontos de interseção da hipérbole x 2 − 4 y 2 − 20 = 0 com a parábola
y 2 − 3x = 0 . (
RESP: 10,± 30 ) (
e 2,± 6 )
150) Achar a equação da parábola, cuja corda focal liga os pontos (3,5) e (3,−3).
RESP: y 2 − 2y − 8 x + 9 = 0 ou y 2 − 2y + 8 x − 39 = 0
151) Encontre na parábola y 2 − 8 x = 0 um ponto tal que sua distância à diretriz seja igual a
4. RESP: P(2,4) ou P(2,−4)
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152) Determine a equação da parábola que tem eixo de simetria vertical e passa pelos
1 1 1
pontos A(0,0), B(2,2,) e C(-4,20). RESP: V ,− ; P = ; x 2 − x − y = 0
2 4 2
153) Dada uma elipse de centro na origem, distância focal 8 e comprimento do eixo maior
12 e eixo maior paralelo ao eixo OX. Considere uma parábola que tem por diretriz, a
reta suporte do eixo menor da elipse e por foco, o foco à direita do cento da elipse.
Determine a equação da parábola. RESP: y 2 − 8 x + 16 = 0
154) Determinar as coordenadas do vértice, foco, a equação da diretriz e o parâmetro das
seguintes parábolas:
a) y2 −6x=0 b) x2 −5y=0 c)y2 +4x=0 d) y2 −4x+8=0
e)x2 −6y−2=0 f)x2 −6x+9y+63=0
j) y2 −8y−8x+40=0 k)y2 −8x−6y−7=0
3
RESP: a)V(0,0), F ,0 , d:2x+3=0, eixo de simetria horizontal,CVD;
2
5
b) V(0,0). F 0, , d: 4y+5=0, eixo de simetria vertical, CVC;
4
c)V(0,0), F(−1,0). d: x = 1,eixo de simetria horizontal, CVE ;
d)V(2,0), F(3,0), d:x−1=0,eixo de simetria horizontal, CVD ;
1 7
e) V 0,− , F 0, , d: 6y +11=0, eixo de simetria vertical, CVC;
3 6
33
f)V(3,−6), F 3,− , d:4y +15=0, eixo de simetria vertical, CVB;
4
i)V(4,−1), F(3,−1), d:x −5=0,eixo de simetria horizontal, CVE ;
k)V(−2,3), F(0,3), d:x +4=0,eixo de simetria horizontal, CVD;
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