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GEOMETRIA
ESPACIAL DE POSIÇÃO
Escola SESC de Ensino Médio
Equipe de Matemática 2015-2017
Espaço, plano, reta e ponto
 O ponto não tem dimensão. Representamos
pontos por letras latinas maiúsculas (A, B, C, ...).
A
 A reta é unidimensional, infinita e ilimitada.
Representamos por letras latinas minúsculas (r, s, t,
...).
r
 O plano é bidimensional, infinito e ilimitado.
Representamos por letras gregas minúsculas (α, β,
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 Chamamos espaço o conjunto de todos os pontos.
O espaço é tridimensional, infinito e ilimitado.
 Todo conjunto não vazio de pontos do espaço é
uma figura geométrica. Uma figura geométrica
pode ser plana ou espacial.
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Postulados e definições
 Postulado 1: Numa reta, bem como fora dela, há
infinitos pontos.
 Postulado 2: Por dois pontos distintos, passa uma
única reta.
 Postulado 3: Num plano, bem como fora dele,
existem infinitos pontos.
 Postulado 4: Por dois pontos distintos (ou pela reta
que eles determinam), passam infinitos planos.
 Postulado 5: Por três pontos distintos não
colineares, passa um único plano.
 Postulado 6: Se dois pontos distintos pertencem a
um plano, então, a reta que eles determinam está
contida no plano.
Partes da reta, do plano e do espaço
 Semirreta e segmento de reta.
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 Semiplano.
α
 Semiespaço. s
α
Posições relativas de duas retas
DUAS RETAS DISTINTAS r E s
COPLANARES NÃO COPLANARES
PARALELAS CONCORRENTES REVERSAS
Postulado de Euclides: por um ponto fora de uma reta r, passa
uma única reta s, paralela a r.
r
s
t
Ângulo de duas retas
Duas retas concorrentes r e s formam, entre si,
quatro ângulos. Eles são, dois a dois, opostos pelo
vértice e, por isso, congruentes. O menor desses
ângulos é chamado ângulo entre as duas retas(θ).
r α
θ
s
θ = 90° → r e s são PERPENDICULARES
θ < 90° → r e s são OBLÍQUAS
 Define-se, também, ângulo entre duas retas
reversas.
r
θ s
t α
θ = 90° → r e s são ORTOGONAIS
Determinação do plano
Um plano fica determinado por:
 Uma reta e um ponto não pertencente a ela;
 Duas retas paralelas;
 Duas retas concorrentes.
Posições relativas de reta e plano
 Paralela (r);
 Secante(s); s
 Contida(t). r
α
t
Reta perpendicular a um plano
Uma reta r é perpendicular a uma plano α, se, e
somente se, r é perpendicular a todas as retas
contidas em α que contém o ponto em que r fura
α.
Se r não é perpendicular a α, dizemos que r é
oblíqua.
α
PERPENDICULAR
OBLÍQUA
Projeção de uma figura no plano
Por um ponto do espaço, pertencente ou não a
um plano α, pode-se traçar uma única reta
perpendicular a α.
Fazendo isto por todos os pontos de uma figura
geométrica obtemos, no plano, sua projeção
ortogonal.
Ângulo de reta plano
O menor ângulo θ entre uma reta r e a sua
projeção r’ é, por definição, o ângulo de r com o
plano α.
r
α
r’
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Posições relativas de dois planos
 Paralelos;
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α
β
αα
β β
OBLÍQUOS PERPENDICULARES
Se uma reta r é perpendicular a uma plano α, todo
plano que contenha r é perpendicular a α.
Ângulo de dois planos
Escolhendo um ponto P qualquer de r, traçamos,
por P, as retas s e t, perpendiculares a r, sendo uma
em α, e a outra em β. O ângulo θ entre s e t é, por
definição, o ângulo dos planos α e β.
Conceito geral de distância no
espaço
 Definição 1: se r é uma reta e P é um ponto não
pertencente a r, a distância entre P e r é a medida
do segmento PQ, sendo Q o ponto em que a
perpendicular a r, traçada por P, corta r.
P
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Q’
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PQ < PQ’
 Definição 2: se α é um plano e A é um ponto não
pertencente a α, a distância entre A e α é a medida
do segmento AB, sendo B a projeção de A em α.
A
α
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AB < AB’
 Bibliografia
RUBIÓ, Angel Panadés. Matemática: Ensino Médio, livro 2. Belo
Horizonte: Editora Educacional, 2012.

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Geometria de Posição

  • 1. GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO Escola SESC de Ensino Médio Equipe de Matemática 2015-2017
  • 2. Espaço, plano, reta e ponto  O ponto não tem dimensão. Representamos pontos por letras latinas maiúsculas (A, B, C, ...). A  A reta é unidimensional, infinita e ilimitada. Representamos por letras latinas minúsculas (r, s, t, ...). r  O plano é bidimensional, infinito e ilimitado. Representamos por letras gregas minúsculas (α, β, γ, ...). α
  • 3.  Chamamos espaço o conjunto de todos os pontos. O espaço é tridimensional, infinito e ilimitado.  Todo conjunto não vazio de pontos do espaço é uma figura geométrica. Uma figura geométrica pode ser plana ou espacial. α
  • 4. Postulados e definições  Postulado 1: Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.  Postulado 2: Por dois pontos distintos, passa uma única reta.  Postulado 3: Num plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos.  Postulado 4: Por dois pontos distintos (ou pela reta que eles determinam), passam infinitos planos.  Postulado 5: Por três pontos distintos não colineares, passa um único plano.  Postulado 6: Se dois pontos distintos pertencem a um plano, então, a reta que eles determinam está contida no plano.
  • 5. Partes da reta, do plano e do espaço  Semirreta e segmento de reta. A B r  Semiplano. α  Semiespaço. s α
  • 6. Posições relativas de duas retas DUAS RETAS DISTINTAS r E s COPLANARES NÃO COPLANARES PARALELAS CONCORRENTES REVERSAS Postulado de Euclides: por um ponto fora de uma reta r, passa uma única reta s, paralela a r.
  • 8. Ângulo de duas retas Duas retas concorrentes r e s formam, entre si, quatro ângulos. Eles são, dois a dois, opostos pelo vértice e, por isso, congruentes. O menor desses ângulos é chamado ângulo entre as duas retas(θ). r α θ s θ = 90° → r e s são PERPENDICULARES θ < 90° → r e s são OBLÍQUAS
  • 9.  Define-se, também, ângulo entre duas retas reversas. r θ s t α θ = 90° → r e s são ORTOGONAIS
  • 10. Determinação do plano Um plano fica determinado por:  Uma reta e um ponto não pertencente a ela;  Duas retas paralelas;  Duas retas concorrentes.
  • 11. Posições relativas de reta e plano  Paralela (r);  Secante(s); s  Contida(t). r α t
  • 12. Reta perpendicular a um plano Uma reta r é perpendicular a uma plano α, se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas contidas em α que contém o ponto em que r fura α. Se r não é perpendicular a α, dizemos que r é oblíqua. α PERPENDICULAR OBLÍQUA
  • 13. Projeção de uma figura no plano Por um ponto do espaço, pertencente ou não a um plano α, pode-se traçar uma única reta perpendicular a α. Fazendo isto por todos os pontos de uma figura geométrica obtemos, no plano, sua projeção ortogonal.
  • 14. Ângulo de reta plano O menor ângulo θ entre uma reta r e a sua projeção r’ é, por definição, o ângulo de r com o plano α. r α r’ θ
  • 15. Posições relativas de dois planos  Paralelos;  Secantes. α β αα β β OBLÍQUOS PERPENDICULARES
  • 16. Se uma reta r é perpendicular a uma plano α, todo plano que contenha r é perpendicular a α.
  • 17. Ângulo de dois planos Escolhendo um ponto P qualquer de r, traçamos, por P, as retas s e t, perpendiculares a r, sendo uma em α, e a outra em β. O ângulo θ entre s e t é, por definição, o ângulo dos planos α e β.
  • 18. Conceito geral de distância no espaço  Definição 1: se r é uma reta e P é um ponto não pertencente a r, a distância entre P e r é a medida do segmento PQ, sendo Q o ponto em que a perpendicular a r, traçada por P, corta r. P Q Q’ r PQ < PQ’
  • 19.  Definição 2: se α é um plano e A é um ponto não pertencente a α, a distância entre A e α é a medida do segmento AB, sendo B a projeção de A em α. A α B B’ AB < AB’
  • 20.  Bibliografia RUBIÓ, Angel Panadés. Matemática: Ensino Médio, livro 2. Belo Horizonte: Editora Educacional, 2012.