Matrizes determinantes

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Matrizes determinantes

  1. 1. Uma matriz do tipo m x n (lê-se: m por n), m, n ≥ 1, é uma disposição tabular formada por m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas. As matrizes são representadas através de parênteses ( ), colchetes [ ] ou através de barras duplas || ||
  2. 2. Notação Condensada • Construir a matriz A = (aij)3x2, em que aij = 3i – j. a32a31 a22a21 a12a11 A =  aij = 3i – j a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1 a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4 a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 = 7 2 1 5 4 8 7 A =
  3. 3. TIPOS DE MATRIZES MATRIZ QUADRADA (An)           333231 232221 131211 aaa aaa aaa DIAGONAL PRINCIPAL i = j DIAGONAL SECUNDÁRIA i + j = n + 1 TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A a matriz de ordem n x m obtida, trocando-se de forma ordenada as linhas pelas colunas. Representa-se por At       049 132 A2x3 = At 3x2 =           01 43 92           085 813 532 A = SIMÉTRICA A = At           08-5 803- 5-30 A = ANTI SIMÉTRICA A = - At
  4. 4. MATRIZ IDENTIDADE (In)           100 010 001 DIAGONAL PRINCIPAL IGUAL A UM DEMAIS ELEMENTOS IGUAIS A ZERO I3 = ASSINALE V OU F O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48. UFSC - 2003 ( )F UFSC - 2005 V( ) UFSC - 2009 ( )V UFSC - 2006 V( ) Chamamos “traço de L” e anotamos tr(L) a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então tr(L) = tr(Lt ). NEUTRA NA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES A.I = A B.I = B C.I = C
  5. 5. ASSINALE V OU F UFSC - 2005 ( )F
  6. 6. OPERAÇÕESOPERAÇÕES ADIÇÃO E SUBTRAÇÃOADIÇÃO E SUBTRAÇÃO nxmmxnnxm CBA =±       − +      124 016 842 123       = 926 139  Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)  Comutativa: A + B = B + A  (A + B)t = At + Bt MULTIPLICAÇÃOMULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERODE UM NÚMERO POR UMA MATRIZPOR UMA MATRIZ –2 1 3 2 M = 3.M = 3.23.3 3.13.–2 = –6 3 9 6 3.M
  7. 7. PRODUTO DE MATRIZES pxmpxnnxm CB.A = nn = OPERAÇÕESOPERAÇÕES
  8. 8. –3 1 0 2 4 –2 –1 2 3 5 –2 6 B =A = –3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6      
  9. 9. –3 1 0 2 4 –2 –1 2 3 5 –2 6 B =A = –3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6       2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) 2.2 + 4.5 + –2 .6       − = 1214 16 A.B
  10. 10. PRODUTO DE MATRIZES pxmpxnnxm CB.A = nn = Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A ≠ 0 B ≠ 0. . 00 11       =      −10 10 0 0 0 0       Na multiplicação de matrizes não vale a COMUTATIVIDADE, ou seja, geralmente A.B ≠ B.A . A.I = I.A = A A2 = A.A OPERAÇÕESOPERAÇÕES
  11. 11. ( UEPG – 2010 ) As matrizes A, B e C são do tipo m x 4, n x r e 5 x p, respectivamente. Se a matriz transposta de (AB)C é do tipo 3 x 6, assinale o que for correto. 01. n.r = m.p 02. m = r + 1 04. p = 2m 08. n = r 16. n + r = p + m GABARITO: 18
  12. 12. GABARITO: 05
  13. 13. ( UEL – 2010 – SEGUNDA FASE ) O determinante da matriz         − x0x 0x2 021 é positivo se: a) x > −4 b) x < 0 c) x < 2 d) x < −4 ou x > 0 e) x > −2 ou x < −6
  14. 14. 1) CASOS ONDE O DETERMINANTE É NULO 0 3 9 0 8 3 0 4 1 0− = 0 241 2104 152 = 0 141 383 939 =− 0 743 189 431 =− Fila de elementos Igual a zero 2 Filas paralelas Iguais 2 Filas paralelas proporcionais Uma das filas é a soma de duas outras 2) Se trocarmos a posição de duas filas paralelas, o determinante trocará de sinal.
  15. 15. 3) Se multiplicarmos uma fila por um número real, o determinante será multiplicado por esse número. 4) Seja k, um número real e A uma matriz de ordem n det (k.A) = kn . det A Gabarito: -48 5) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.
  16. 16. 6) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Gabarito: 70 7) Se A e B são duas matrizes de ordem n o determinante do produto de A por B é o produto dos determinantes da matriz A pelo determinante da matriz B, ou seja: det(A.B) = det(A).det(B) Gabarito: 70
  17. 17. IFSC - 2013 Após assistir a uma aula sobre determinantes de matrizes, Pedro decidiu codificar sua senha bancária. A senha é composta pelos números A, B, C e D, justapostos nessa ordem e codificados através dos determinantes abaixo: 10000 01000 00400 00020 00003 D 20168 1284 3342 2021 C 1000 11200 32830 25171 B 121 213 421 A − − = − −− −− − = − − == Sobre a senha de Pedro, assinale no cartão-resposta o número correspondente à proposição correta ou à soma das proposições corretas. 01. A senha possui dois dígitos nulos. 02. A senha possui seis dígitos. 04. O último dígito da senha é zero. 08. Os dígitos da senha estão em ordem crescente. 16. A + B +C + D = 45 . 32. Os dois primeiros dígitos da senha são 1 e 5. Gabarito: 50
  18. 18. MATRIZ INVERSA A . A-1 = In detA 1 detA 1 =− • Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível. • Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular. ASSINALE V OU F UFSC - 2001 ( )F UFSC - 2004 ( )V UFSC - 2013 ( )V
  19. 19. MATRIZ INVERSA A . A-1 = In detA 1 detA 1 =− • Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível. • Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular. ASSINALE V OU F UFSC - 2011 ( )V UFSC - 2011 ( )F
  20. 20. UEL – 2010 UDESC – 2009
  21. 21. Regra de Chió Abaixamento de ordem de um determinante A = 1 2 4 2 3 7 5 6 1 10 4 5 3 8 2 3        −     7 (3.2) 5 (3.4) 6 (3.2) 10 (1.2) 4 (1.4) 5 (1.2) 8 (3.2) 2 (3.4) 3 (3.2) − − −   − − − −   − − −  det A= (-1)1+1 1 7 0 8 8 3 2 10 3 −   −   − −  det A = - 4 1) Procurar o elemento 1 na matriz. 2) Eliminamos a linha e a coluna em que se encontra o número 1. 3) Formamos uma nova matriz com os elementos restantes. 4) De cada elemento restante subtrai-se o produto dos números da linha e da coluna eliminada, que estão nos pés das perpendiculares traçadas desses elementos. 5) O determinante é o produto do número (-1)i + j pelo determinante da matriz resultante

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